动态风险管理中的道德风险

2022-5-6 08:37:44

所有现有文献都使用前者，即所谓的“弱公式”的原因是，对于任何给定的合同，代理人的问题都是可以处理的。相反，我们通过将可容许契约族限制为一组自然的契约，从而使代理人的问题易于处理，从而对代理人的问题进行易于处理的描述。本质上，我们将可接受合同限制为代理人问题可解的合同。可以说，从实践的角度来看，这些是唯一相关的合同——其他合同，委托人不知道他们将为代理人提供什么样的激励，可能不会提供。此外，我们还证明了在经典的Holmstrom-Milgrom模型中，限制族实际上完全没有限制。因此，除了用波动率控制来解决新的代理问题外，我们还提供了一种仅用漂移控制来研究经典问题的新方法。我们刚才描述的是我们在方法论方面的主要贡献。原则上，我们的方法可以应用于任何效用函数。然而，与HM（1987）一样，只有终端支付，唯一可处理的情况是具有CARA（指数）效用函数的情况。本文的主要经济观点如下。最优契约是线性的（在CARA的情况下），但不仅在HM（1987）中的输出过程中，而且在这些因素中：输出、其二次变化、可收缩风险源（如果有），以及输出和可收缩风险源之间的交叉变化。因此，当风险管理存在道德风险时，使用路径依赖合同自然会出现。特别是，我们的模型与样本夏普比率在补偿投资组合经理时的使用是一致的。

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2022-5-6 08:37:47

然而，与夏普比率的典型用法不同，有一些参数值是委托人奖励代理人，使其获得更高的二次变化值，从而承担更高的风险。如果有两个风险源，且至少有一个是可观察和可收缩的，则获得第一个最佳值，因为有两个风险因素和至少两个可收缩变量，即输出和至少一个风险源；然而，为了获得第一个最佳结果，最优契约利用了二次和交叉变异因子。对于两个不可收缩的风险源，我们用二次成本函数数值求解了一个CARA例子。在这种情况下，通常无法达到第一个最佳状态。数值计算表明，如果委托人不使用最优契约的路径依赖成分，预期效用的损失可能会很大。文献综述。Sung在1995年出版的《持续道德风险》一书中写道。然而，在那篇论文中，道德风险是只在最后时刻可以观察到的结果，而不是因为多个风险来源。因此，最优合同仍然只是终端产值的线性函数。欧阳（2003）的论文表明，在一个所有风险来源（所有可用于投资的风险资产）都是可观察的，但产出只有在最终时间才可观察的经济体中，最优合约取决于产出的最终价值和“基准”投资组合。他的一些研究结果在Cadenilas、Cvitani’cand Zapatero（2007）中得到了扩展，他们表明，如果市场是完整的，那么第一个最佳结果可以通过仅依赖于产出最终价值的合同实现。因此，只有在市场不完整的情况下，次优可能不同于FirstBest。

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能者818

2022-5-6 08:37:50

在我们的模型中，委托人观察产出的整个路径，但不是所有的外部风险源，而且存在非零努力成本，这使得市场不完整。因此，对于一般参数配置，第一最佳和第二最佳确实是不同的。最近，Wong（2013）在一个不同于我们的模型中考虑了风险承担的道德风险：与Sannikov（2008）一样，地平线是有限的，虽然波动性是固定的，但代理人的努力影响了输出过程中泊松冲击的到达率。Lioui和Poncet（2013）与我们一样，考虑了一个委托代理问题，其中波动率由代理选择。它们是最好的框架；然而，与上述论文不同的是，他们假设代理人有足够的讨价还价能力，要求合同在产出和基准因子上是线性的。工作文件Leung（2014）提出了一个模型，在该模型中，由于存在一个外生因素乘以代理人的（一维）波动性选择，且委托人未观察到该因素，因此会产生波动性道德风险。在方法论技术方面，数学文献中的许多论文一直在开发工具，用于比较与不同波动率结构相对应的随机微分系统。我们在论文的主体部分引用了他们，因为我们使用了他们的很多结果。在这里，我们只提到两篇论文，它们不仅有助于这些工具的发展，而且还将它们应用于金融经济学中的问题：Epstein and Ji（2013）和（2014）。他们的问题不是委托代理问题，而是模糊性问题，也就是说，决策者对市场因素的漂移和波动有多个先验的模型。

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2022-5-6 08:37:55

在我们的模型中没有模糊性，是代理控制输出过程的漂移和波动。我们从第2节开始，在我们的上下文中给出了最简单的例子，使用CARA效用函数和二次惩罚，我们在第3节描述了一般模型，在第4节介绍了收缩问题和我们解决它的方法，我们在第5节考虑了无异源收缩因子的情况，并在第6节结束。较长的证据见附录。2.例子：带有CARA效用和二次成本的投资组合管理作为一个说明性的易处理的例子，我们在这里提出了Merton的投资组合选择问题，其中有两个风险资产，即s和一个无风险资产，其连续复合利率集等于零。在资产i中，投资组合价值过程遵循dynamicsdX=vSdS+vSdS。假设dsi，t/Si，t=bidt+dBit，其中Biare是独立的布朗运动和Biare常数。我们有dxt=[v1，tb+v2，tb]dt+v1，tdBt+v2，tdBt。委托人雇佣一名代理人来管理投资组合，也就是说，选择vt=（v1，t，v2，t）的值，持续时间。我们假设代理人只在最后时间T支付金额ξT。委托人的效用上升（XT）- ξT）且该试剂的效用为UA（ξT）- KvT）其中KvT:=RTk（vs）ds和k:R→ R是非负凸代价函数。如果委托人只观察X的路径，那么她可以推断v1，t+v2，t的值，但不能分别推断v1，t和v2，t的值，这会导致道德风险。另一方面，如果她也观察其中一种资产的价格路径，比如S，那么她可以推断出V1的（绝对）值和v2的（绝对）值。

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2022-5-6 08:37:58

为了区分这些情况，用1表示指示函数，如果Sis路径可观察且可收缩，则等于1，否则等于0。我们假设委托人和代理人具有指数效用函数，UP（x）=-E-RPx，UA（x）=-E-雷克斯。代理人的投资组合运行成本（v，v）的形式为k（v，v）=β（v）- α） +β（v）- α).因此，将波动率从αi移到另一个方向的成本很高，且成本强度为βi。一种解释是，αi是经理开始合同时公司的初始风险敞口。2.1第一最佳合同给定一个“议价能力”参数ρ>0，委托人的第一最佳问题定义为assupvsupξTE[UP（XT- ξT）+ρUA（ξT）- KvT）]。ξ的一阶条件为（XT- ξT）=ρUA（ξT）- KvT）。利用CARA工具，我们得到ξT=RA+RPRPXT+RAKvT+logρRARP.因此，最优的最优契约在产出的最终价值上是线性的。回到优化问题，我们得到它等价于-Cρinff经验-RARPRA+RP（XT）- （KvT）= -CρinffE-RARPRA+RPZTvs·dXs经验-RARPRA+RPZTf（vs）ds,其中x·y表示内积，Cρ是常数，E表示Dol\'eans-Dade随机指数*, andf（v）：=b·v- k（v）-RARPRA+RPkvk。*随机指数定义为：ZutXsdBs= E-Rut | Xs | ds+RutXsdBs。在技术条件下，可以应用Girsanov定理，上面可以写成-Cρinffebp经验-RARPRA+RPZTf（vs）ds.对于一个合适的概率测度b。因此，第一最佳v=vFBis确定性，由函数f（·）的逐点最大化确定，由+vFBi:=bi+βiαiβi+\'R给出，其中¨R:=RA+RP.（2.1）2.2第二最佳合同现在考虑到控制v的不是委托人，而是代理人。

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2022-5-6 08:38:01

我们考虑基于可观测投资组合价值X的路径、X的可观测二次变化，以及可能的Svia B，以及X和B的协变的线性合约。更准确地说，让ξT=ξ+ZTZXsdXs+YXsdhXis+1OZsdBs+YsdhX，Bis+ Hsds, （2.2）对于一些常数ξ，以及一些适应过程ZX，Z，YX，Yand H。为了与后面的一般理论中的旋转一致，为了将来的符号方便，我们用任意适应过程ZX，Z，ΓX，Γ和G来代替=ΓX+RA（ZX）,Y=Γ+razzz，H=-G+RA（Z）。如果这些过程是确定性的，那么解决代理的问题将很容易，但对于这些过程的任意选择来说就不容易了。我们将允许它们是随机的，但我们将限制过程Gt的选择，其动机是对代理问题的随机控制分析，将在后面一节中讨论。我们将在这一节中看到，Gt的自然选择是Gt:=G（ZXt，Zt，ΓXt，Γt），其中G（ZX，Z，ΓX，Γ）：=supv，vg（v，v，ZX，Z，ΓX，Γ）：=supv，v-k（v，v）+ΓX（v+v）+ZXb·v+1OΓv. （2.3）我们的主要结果之一，定理4.1，描述了具有上述形式表示的合同的特征，此处定义了GTA。特别是，该定理将表明，将同样的方法应用于经典的Holmstrom Milgrom（1987）问题，不会导致+中的一般性损失。在成本β为零的情况下，第一最佳波动率vFBI只是风险溢价和聚合谨慎1/R的产物。选择可能的合同（包括非线性合同），我们将认为，这种合同选择包括所有实际相关的合同。代理正在最大化-E[-经验(-RA（ξT）- KvT）]，并在（2.2）中使用ξTas。

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大多数88

2022-5-6 08:38:04

这是一个简单的优化问题：根据Girsanov定理（假设适当的技术条件），与第一个最佳问题类似，代理的目标可以写成-EP*这个-拉特[gs]-Gs]dsi，对于适当的概率P*. 通过我们对G的定义，我们发现它永远不会大于-1，对于任何一对（v）来说，它都等于-1*（s），v*（s））（如果存在）使g最大化：=g（ZXs，Zs，ΓXs，Γs），s乘以s，ω乘以ω。因此，代理会选择其中一对。请注意，这意味着委托人总是可以让代理人对其中一个投资组合头寸漠不关心。例如，如果bis不是零，她可以设置ZX=-αβ/b和ΓX≡ β、使g独立于v，因此代理人对v不感兴趣。如果只有一种股票，比如S，这也是可能的，因此在这种情况下，如果我们假设代理人在不感兴趣时会选择对委托人最有利的股票，就可以通过这样的合同获得第一个最佳股票。2.2.1可收缩S：如果观察到Sis，则可通过两种风险资产获得第一个最佳结果，然后观察到Sand X之间的协变量，这意味着观察到vis。由于还观察到了二次变化，因此观察到了| v |，并且，如果观察到的过程是可收缩的，我们预计第一个最好的结果是可以实现的。的确，（v）*,五、*) 通过最大化g=-β（v）- α)-β（v）- α） +ZXb·v+Γv+ΓXkvk+Zb+（Z）+2ZZXv。例如，假设b6=0，β≤ β. 假设主集ΓXt≡ β、 ZXt≡ -αβ/b，Γt=-αβ- ZXtb+（β- β） vFB，Z≡ 0.那么，g=（β- β)五、- vvFB+ 康斯特。我们看到代理人对vhe适用的内容漠不关心，他会选择*= vFB。因此，如果在漠不关心的情况下，代理人会选择对委托人最有利的行为，他会选择最有利的行为。

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2022-5-6 08:38:08

还可以证明委托人将通过本合同获得第一预期效用。2.2.2不可收缩SIf Sis不可收缩，最佳（v*,五、*) 通过最大化g（v，v）=-β（v）- α)-β（v）- α） +ZXb·v+ΓXkvk。例如，假设β≤ β. 如果ΓX>β，那么代理将最佳选择|v*| = ∞. 这是为了验证这对委托人来说不是最优的。如果ΓX=β且ZXis不等于(-αβ). 如果ΓX=β和ZX=-αβ，那么代理对于选择哪个vto是无关紧要的。如果ΓX<β≤ β、最佳位置为V*i=ZXbi+αiβiβi- ΓX.委托人的效用与-Ehe-RP（RT[（1-ZXs）dXs-ΓXsdhXis+Gsds]）i.使用上述选项v*i、通过与上述类似的Girsanov概率测度变化，可以进一步验证，在Z=zx和Γ=ΓX，b·v上，最大化与最大化是相同的*（Z，Γ）-[RAZ+RP（1- Z） ]千伏*K- k（v）*（Z，Γ）。这是一个可以用数字来解决的问题现在，我们给出一个数字示例，它将向我们展示：第一，无法获得第一个最佳结果；第二，最优合同包含非零二次变化分量，忽略它可能导致预期效用的重大损失；第三，委托人奖励代理人承担高风险的参数值（不同于实践中投资组合夏普比率的典型使用）。在图1中，我们绘制了当改变参数α并保持其他一切不变时，委托人的第二最佳效用确定性与第一最佳效用确定性的相对损失百分比。对于初始暴露α的极端值，损失可能非常大。也就是说，当初始风险敞口远不理想时，向代理人提供激励以调整风险敞口的道德风险成本很高在附录中，我们提供了优化器存在的充分条件。

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可人4

2022-5-6 08:38:11

在数值上，我们找到了所有参数选择的优化器。在图2中，我们将委托人的第二最佳确定性与她将获得的第二最佳确定性进行了比较，如果提供的合同在输出中是线性的，但不依赖于其二次变化的，则该合同是最优的。我们再次看到，相应的相对百分比可能很大。图3绘制了系数（灵敏度）乘以最优契约中的二次变化的值。我们看到，委托人使用二次变异作为激励工具：对于初始风险敞口α的低值，她希望通过奖励高变异来增加风险敞口（敏感性为正），对于其高值，她希望通过惩罚高变异来降低风险敞口（敏感性为负）。这是因为当初始风险敞口α不是期望值v时*, 需要采取激励措施，使代理人付出昂贵的努力来调整暴露。在本文的其余部分中，我们对这个例子进行了概括，旨在描述可以用（2.2）表示的合同支付，其定义类似于（2.3）。3一般模型我们考虑输出过程Xv的以下一般模型，a:Xv，at=Ztσs（vs）·（bs（as）ds+dBs），（3.1），其中（v，a）表示代理的控制对，还允许单独的控制a偏移，其中v和a是适应的过程，取Rm×Rn的某些子集v×a中的值，用于某些（m，n）∈ N*×N*.

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2022-5-6 08:38:15

此外，b:[0，T]×A-→ Rd和σ：V-→ 给出了确定函数kb（a）k+kσ（v）k≤ C（1+kvk+kak），（3.2）对于某些常数C>0，B=（B，…，Bd）是d维布朗运动，乘积是向量的内积，或作用于向量的矩阵。委托投资组合管理的例子对应于m=n=d，σt（v）：=vTσ，bt（a）：=b，（3.3）对于某些固定的b∈ 以及一些可逆的d×d矩阵σ。在这种情况下，过程Xv，AI的解释是投资组合价值过程的解释，取决于代理人选择波动矩阵σ为d的风险资产中投资组合美元持有量的向量V，以及风险溢价的向量b。另一个特例是Holmstrom和Milgrom（1987）的原始连续时间委托代理模型，当d=1时，v是固定的，且代理人仅控制a。除了输出过程Xv，a，我们可能希望允许基于额外可观察和可收缩风险因素B的合同，。。。，Bd，大约1≤ d<d。例如，St=S+uSt+σsbt可能是可收缩股票指数的模型。通常在契约理论中，为了便于处理，模型在其所谓的弱公式中被考虑，在该模型中，代理人不是通过直接改变控制（v，a），而是通过改变潜在概率空间上的概率度量来改变输出过程。在标准的连续时间合同模型中，当努力只存在于漂移中时，改变度量是通过Girsanov定理来实现的。然而，直到最近，这种工具还不能用于改变波动性时所需的单一度量变化，这里的例子就是这样。

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2022-5-6 08:38:19

我们现在可以用数学严格地表述我们问题的弱表述。§然而，我们采取了一种不同的方法：我们将采用随机控制的标准强公式（不改变度量），而不是假设弱公式。我们仍然能够明确地描述代理问题的解决方案，但只能在一个受限的可接受合同族中。我们将提供一个假设，根据该假设，合同属于受限制的家族，我们将论证该家族包括所有实践中相关的合同，并且如果v是固定的，我们将证明该假设不具有限制性。因此，我们也提供了一种新的替代方法来解决Holmstrom Milgrom（1987）的问题。我们首先需要介绍一些符号和框架。我们研究正则空间Ohm [0，T]上的连续函数及其Borelσ-代数F。d-维标准过程表示为B，F:=（Ft）0≤T≤这是它的自然过滤。让Pdenote the d-二维维纳测度Ohm. 因此，B是d-P下的维布朗运动。我们用P下的期望算子表示。取v×A值的一对（v，A）F-可预测过程称为可容许的ifZT |σs（vs）·bs（as）|+∞, P- a、东南部经验pZT | |σs（vs）| | ds< +∞, 对于所有p>0，（3.4）和Z·bs（as）·dBs是L1+η中的P-鞅，对于某些η>0，（3.5）§我们在本文的早期版本中使用了弱公式。有趣的是，为了得出这些结果，即使我们使用强公式，我们也需要在证明中使用弱公式。事实上，对于我们限制族中的可容许契约，代理问题的弱公式和强公式是等价的。式中kσs（vs）k-D∑i=1σis（vs）6= 0.

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mingdashike22

2022-5-6 08:38:22

（3.6）此外，我们假设载体b的第一个序列不依赖于控制过程a（因为它们将对应于外源性收缩因子）。克雷马克3.1。条件（3.6）实际上不需要证明我们的结果；只有在我们的计算中，才需要激发可接受合同的定义。如前一节中的示例所示，我们假设代理人仅在最后一个时间T支付金额ξT。当代理人选择控制（v，a）∈ U，委托人的效用为up（Xv，在- ξT），且该试剂的效用为-E-RA（ξT）-Kv，a0，T），其中Kv，at，T=ZTtk（vs，as）ds。k:Rm×Rn-→ R是一个非负（凸）成本函数。4第二个最佳可收缩风险在本节中，我们假设只有一个外部可收缩风险因素，即我们设置d=1**. 因此，我们将Bas解释为可观察和可收缩的系统性风险。4.1设置我们允许合同报酬同时取决于输出Xv、a和B。也就是说，如果代理人选择了pairu:=（v，a），委托人可以提供与FobsT有关的可测量合同报酬，这是一个包含在过滤FOB中的σ字段：=FXv，a∨ fbx由（Xv，a，B）生成，其中fxv，a:={FXut}0≤T≤这是输出过程产生的（完成的）过滤。回想一下，我们的假设意味着B不依赖于a，并为可收缩和非可收缩因子引入以下符号：bob，v，a:=（Xv，a，B）T=Z·us（vs，as）ds+Z·∑s（vs）dBs，k上述可积条件适用于CARA效用函数的情况，并且可能需要对其他效用函数进行修改。下面我们将简要讨论一般情况。还请注意，如果a=0且σ=Id存在投资组合管理问题，则条件（3.6）意味着投资者必须投资至少一个非收缩风险源。

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可人4

2022-5-6 08:38:25

当没有可收缩的风险源时（即当d=0时），该条件降低为σs（vs）6=01，d。**我们可以使{B，…，Bd}的任何子集都是可收缩的，其余的都是不可收缩的。为了简单起见，我们假设只有一个可收缩的风险源，因为它也符合“系统风险-股票指数”的解释。我们将在下一节中考虑所有风险源都不可收缩的情况。波布--,v、 a:=Z·∑⊥s（vs）dBs，其中任何（v，a）∈ V×A和任何s∈ [0，T]，Rvectorus（v，a）和2×d矩阵∑s（v）由us（v，a）定义：=σTs（v）bs（a）！，∑s（v）：=σTs（v）I1，d！，对于I1，d：=101，d-1.,式中，0p，qdenotes是零的p×q矩阵。此外，∑⊥姐姐a（d）- 2） x d矩阵满足，对于任意v∈ V和任何s∈ [0，T]∑⊥s（v）∑Ts（v）=0d-2,2与∑⊥s（v）Σ⊥sT（v）=Id-2.换句话说，我们把与可收缩风险源“正交”的一切都视为不可收缩风险源。注意向量Bobs，v，aBobs--,v、 a当且仅当其二次变化的密度可逆时，t生成与B相同的过滤F。使用∑的定义⊥∑我们可以很容易地计算出Bobs，v，aBobs--,UTEsds=∑s（vs）∑Ts（vs）02，d-二维-2,2Id-2.它是可逆的当且仅当∑s（vs）∑Ts（vs）本身是可逆的。简单的计算使我们得出以下必要和充分的条件kσs（vs）k-σs（vs）6=0，这正好是d=1时的（3.6），从而解释了我们为什么假设（3.6）。4.2可接受的合同在本小节中，我们将定义可接受的合同报酬集。为了激发我们的定义，考虑在给定的控制选择（v，a）下，代理人在时间t的价值函数∈ UVA，v，at:=essup（v，a）∈U（（v，a），t）EthUA（ξt）- 其中集合U（（v，a），T）表示与（v，a），dt×P重合的U元素子集-a、 e.在[0，t]上。

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2022-5-6 08:38:28

注意，我们在收益和值函数的终值之间有以下明确的关系：ξT=U-1A（VA、v、aT）. （4.8）我们的想法是考虑我们可以合理预期的价值函数Vat的最一般表示，然后通过（4.8）确定可接受的合同报酬。当ua是一个CARA效用函数时，我们可以从（4.8）中猜测，它收缩ξ皮重，使得ξtca可以写成各种积分的线性组合。例如，在没有外部可收缩因子的特殊情况下d=0，我们可能期望合同满足Yua（ξT）=C exp-拉ZTZsdXv、as+ZTYSDHV、ais+ZTHsds,对于一些常数C<0和一些适应过程H，Y，Z，UA（x）=-E-RAx，这将给出ξT=~C+ZTZsdXv，as+ZTYsdhXv，ais+ZTHsds，（4.9）对于一些常数C。我们将完全承认这种形式的合同，但考虑到（4.8），我们将对过程H施加一些限制。

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2022-5-6 08:38:32

接下来，我们将以一种正式的方式呈现这种推理，以激发随后的定义。注意，VA，v，atis是一个Ft-可测量的函数，因此可以写成函数形式asVA，v，at=VAt、 Bobs，v，a，Bobs--,v、答。= 弗吉尼亚州t、（Bobs，v，as）s≤t、（Bobs--,v、 as）s≤T.如果价值函数在Dupire（2009）功能分化的意义上是平滑的（有关更多详细信息，请参见Cont和Fourni’e（2013）），那么，Dupire时间导数tVA，v，aexists，你可以找到可预测的过程Zv，a=~Zobs，v，aZobs--,v、 a！和Γv，a=Γobs，v，aΓobs--,v、 a！，带着~~Zobs，v，a，~Zobs--,v、在兰德路-分别为2，Γobs，v，a，Γobs--,v、 A空间和Sd中的最大值-对于对称矩阵，我们对其^o规则进行了以下推广（见Dupire（2009）中的定理1或Cont和FourniKe（2013）中的定理4.1），dVA，v，at=tVA，v，at+TrhΓobs，v，atdhBobs，v，aiti+TrhΓobs--,v、 atdhBobs--,v、 aiti+~Zobs，v，at·dBobs，v，at+~Zobs--,v、 at·dBobs--,v、在=tVA，v，at+TrΓobs，v，at∑t（vt）∑Tt（vt）+TrΓobs--,v、在+~Zobs，v，at·u（vt，at）dt+∑Tt（vt）~Zobs，v，at+Σ⊥TT（vt）~Zobs--,v、在· dBt，P- a、美国。

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2022-5-6 08:38:35

（4.10）例如，如果我们恰好处于马氏情形，其中VA，v，at=f（t，Bobs，v，at，Bobs）--,v、 at）对于一些光滑函数f（t，x，y），那么，根据它的^o法则，过程Zobs，v，a，~Zobs--,v、 a和Γobs，v，a，Γobs--,v、 a由Zobs，v，at=xf（t、防喷器、v、at、防喷器--,v、在……佐布斯--,v、 at=yf（t，Bobs，v，at，Bobs--,ut），Γobs，v，at=xxf（t，防喷器，v，at，防喷器--,v、在--,v、 at=yyf（t，Bobs，v，at，Bobs--,v、在），与十、xx，Yyy表示对相应变量的偏导数。接下来，根据经典随机控制理论的鞅最优性原理，动态规划原理建议过程VA，v，ateRAKv，a0，t对于所有容许控制（v，a）都应该是一个上鞅，对于任何最优控制（v*,A.*), 只要存在这种情况。通过正式证明超鞅的漂移系数为非正，鞅的漂移系数必须为零，我们得到了以下路径相关的HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程：- tVA，v，at+RAVA，v，atG（t，Zv，at，Γv，at）=0，其中（Zv，at，Γv，at）：=-拉瓦，v，在~Zv，at，~Γv，at, 其中g（t，z，γ）：=sup（v，a）∈V×Ag（t，z，γ，V，a），（4.12）和g（t，z，γ，V，a）：=-k（v，a）+zobs·ut（v，a）+Trγobs∑t（v）∑Tt（v）+Trγobs--.将上述内容代入（4.10），其结果如下：- a、 s，d（VA，v，ateRAKv，a0，t）=- RAVA，v，ateRAKv，a0，tg（t，Zv，at，Γv，at，vt，at）- G（t，Zv，at，Γv，at）dt- 拉瓦特拉科夫，a0，t∑t（vt）TZobs，v，at+Σ⊥T佐布斯--,v、在· dBt。

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2022-5-6 08:38:38

（4.13）然后我们通过直接求解后一个随机微分方程thatVA，v，aT=VAexp拉ZTG（t，Zv，at，Γv，at）-TrΓobs，v，atdhBobs，v，ait-TrΓobs--,v、在dt×exp-拉ZTZobs，v，at·dBobs，v，at+razzzobs，v，at·dhBobs，v，aitZobs，v，at×exp-拉ZTZobs--,v、 at·dBobs--,v、 at+RAZT佐布斯--,v、在dt, P- a、接下来，我们记得委托人必须仅基于Fobsonly信息集提供合同。根据Gwe的定义，可以检查ξt的表达式是否与Γobs无关--,v、我们希望它也不依赖于Zobs--,v、 a，也就是说，有佐布斯--,v、 a≡ 0.在这种情况下，从（4.8）开始，表示gobs（t，zobs，γobs）：=sup（v，a）∈V×Agobs（t，zobs，γobs，V，a），（4.14）和gobs（t，zobs，γobs，V，a）：=-k（v，a）+zobs·ut（v，a）+Trγobs∑t（v）∑Tt（v）.合同报酬ξ2的定义如下：定义4.1。可容许合同报酬ξT=ξT（Z，Γ）是一个FobsT-满足（ξT（Z，Γ））=Ce的可测量随机变量-拉特涅茨·德博斯，v，at-Gobs（t，Zt，Γt）dt+TrΓt+razzttdhBobs，v，aito、（4.15）对于某些常数C<0，以及某些有界fob对（Z，Γ）-可预测的过程，其值分别为S和S，因此存在一个最大化器（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ U of gobs（·，Z，Γ），dt×dP-a.e。。我们用C表示所有可容许契约的集合，用U表示相应（Z，Γ）的集合。有界性假设是技术性的，假设它可以简化证明，并且可以放松。如示例部分所示，如果最优Z和Γ是常数过程，则满足假设。需要gobs（·，Z，Γ）具有最大化子的假设来证明合同ξT的激励相容性，并解决委托人的问题。备注4.2。

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2022-5-6 08:38:41

除了常数项和“dt”积分项外，使用UAa CARA效用函数，可容许契约在以下因素中是线性的（在积分意义上）：可收缩变量，即输出和可收缩风险源；以及收缩变量的二次变异和交叉变异过程。正如在numericalexample中所看到的，最优契约通常使用所有这些组件。这与第一最佳合同以及HolmstromMilgrom（1987）中仅使用输出的漂移控制情况形成对比，。备注4.3。我们现在认为，在技术条件下，对于给定函数F，一个形式为ξT=F（Xv，aT，BT）的“类选项”契约是一个可容许契约。为了简单起见，假设b=0，a=0，考虑偏微分方程，下标表示偏导数，G=G（z，z，γ，γ，γ，γ），其中γ和γ是对称矩阵γ的对角项，γ是非对角项的值，ut+G（ux，uy，uxx）- 劳克斯，乌伊- 劳伊，尤西- RAuxuy）=0，（t，x）∈ [0，T）×R，u（T，x，y）=F（x，y）。然后，假设偏微分方程有一个光滑解，它遵循^o的公式应用于tou（T，Xv，T，Bt）thatF（Xv，0T，Bt）=u（0，0，0，0）+ZTux（s，Xv，0s，Bs）dXv，0s+ZTuy（s，Xv，0s）dBs+ZTuxx（s，Xv，0s，Bs）dhXv，0is+uyy（s，Xv，0s，Bs）dhBis+ZTuxy（s，Xv，0s，Bs）dhXv，0，Bis-ZTGobsux，uy，uxx- 劳克斯，乌伊- 劳伊，尤西- 劳克斯（s，Xv，0s，Bs）ds。因此，F（Xv，0T，BT）的形式为ξT（Z，Γ），其中向量zt具有由ux（T，Xv，0T，BT）和uy（T，Xv，0T，BT）给出的条目，其中矩阵Γ是由（uxx）给出的对角线条目-劳克斯（t，Xv，0t，Bt），（uyy）- RAuy）（t、Xv、0t、Bt）和（uxy）给出的非对角线条目- 劳克斯（t，Xv，0t，Bt）。在本节末尾，我们表明，根据上述可受理合同的定义，可以描述代理人的最佳行为。

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2022-5-6 08:38:44

在给定Z，Γ：V（Z，Γ）={（V）的情况下，介绍一组对最大化采空区而言是最佳的控制*（Z，Γ），a*（Z，Γ）），以满足定义4.1的条件。下一个命题指出，对于给定的合同ξT（Z，Γ）∈ C、任何控制（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈V（Z，Γ）对于代理是最优的。提议4.1。可容许契约ξT（Z，Γ）∈ （4.15）中定义的C与V（Z，Γ）是激励相容的。也就是说，给定合同ξT（Z，Γ），任何控制（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ V（Z，Γ）等时性。此外，相应主体的价值函数满足方程（4.13）和（Zobs，Zobs）--) = （Z，0）和（Γobs，Γobs）--) = (Γ,0).证明：设（Z，Γ）是U中的任意配对过程，考虑合约ξT（Z，Γ）的代理问题：VA，v，atξT（Z，Γ）:= essup（v，a）∈U（t，（v，a））EthUAξT（Z，Γ）- Kv，at，T）i，P- a、 s.我们首先计算所有（v，a）∈ U（t，（v，a）），UA（ξt（Z，Γ））eRAKv，at，t=UA（ξt（Z，Γ））E- 拉兹。tZr∑r（vr）dBrT×exp拉兹特采空区（r，Zr，Γr）- 采空区（r、Zr、Γr、vr、ar）博士, P- a、其中，当我们用t代替t时，UA（ξt（Z，Γ））与UA（ξt（Z，Γ））具有相同的形式（4.15）。由于Z以定义为界，且σ满足线性增长条件（3.2），因此我们有U的定义（尤其见（3.4））即经验拉兹特∑Tr（vr）Zr博士< +∞.因此，我们可以用“新密度”来衡量概率-拉兹。tZr∑r（vr）dBr那么，等等UAξT（Z，Γ）eRAKv，at，T= UAξt（Z，Γ）E’PtheRARTtGobs（r，Zr，Γr）-gobs（r，Zr，Γr，vr，ar）dri。自从戈布斯- 采空区≥ 0，我们看到了UAξT（Z，Γ）eRAKv，at，T≤ UAξt（Z，Γ）,通过（v，a）的任意性∈ U（t，（v，a）），那么VA，v，at（ξ（Z，Γ））≤ UAξt（Z，Γ）.因此，任何控制（v*,A.*) 其中Gobs（r，Zr，Γr）=Gobs（Zr，Γr，v*r、 a*r），达到上限。因此，VA，v，atξT（Z，Γ）= UAξt（Z，Γ）,以及上述VA，v，atare的动力学。2标记4.4。

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mingdashike22

2022-5-6 08:38:47

当UA不是一个CARA效用函数时，如果agentdraw形式UA（ξT）的效用/不效用，同样的方法也会起作用- 如果效用是可分性的，那么效用是可分性的。例如，在只有X=Xv，ais可收缩且σ=Id的情况下，我们将可容许的契约ξT=ξT（Z，Γ）定义为满足（ξT（Z，Γ））=C+ZTZudXu+ZTΓudhXiu的契约-ZTeG（Zu，Γu）du，对于一些常数＠C，一些FXv，a-具有R值的可预测过程Z和Γ，以及与上述类似定义的过程G（Zt，Γt）。因此，需要UA（ξT）而不是ξT是线性的（在积分意义上）。然而，虽然代理人的问题是可以处理的，但前提是，一般来说，很难解决委托人的最大化问题。4.2.1 C类有多普遍？这个问题与非马尔可夫情形下价值函数的HJB特征化的可能性有关，通过引入和研究所谓的二阶BSDE来解决这个问题；例如，见Soner、Touzi和Zhang（2012）。然而，最优控制的识别（甚至存在）是一项非常困难的任务，这可能需要很强的规律性假设。利用这一最新理论的结果，我们在附录中证明，仅在漂移控制的情况下（如inHormstrom和Milgrom（1987））任何可行的合同报酬都具有形式（4.15），而在波动性控制的情况下，在额外的规律性假设下，这是正确的。更准确地说，我们有下面的定理。定理4.1。

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2022-5-6 08:38:50

如果v不受控制且固定为v∈ 如果有常数C>0和ε∈ [1,+∞) 这样的利姆卡克→+∞k（v，a）kak=+∞,kDak（v，a）k≤ C1+kakε,++一种可能的解释是，函数k以一种程式化的方式代表了风险厌恶对v和A的选择及其成本的共同影响。（在二次成本的情况下满足的条件），则代理人价值函数定义良好的任何FobsT可测量随机变量ξt可表示为（4.15）。更一般地说，（4.15）是指在假设7中存在“二阶灵敏度”过程的意义下，代理价值函数的非鞅分量的“光滑性”。附录1。基本上，通过在表格（4.15）中加入适当选择的GOB，我们可以确保相应的合同支付足够顺利，从而使代理人的价值函数过程也顺利。换句话说，有了这样一个契约，代理的价值函数就是我们在（4.11）中启发式推导的路径依赖HJB方程的解。在现有文献中（仅存在漂移控制），无论模型的层位是有限的还是有限的，都是如此。实际上，始终使用鞅表示和比较定理类型的结果，这相当于路径相关的HJB方程。对于价值函数退化到不能满足这种弱光滑形式的合同，似乎不太可能解决代理人的问题。在实践中，这意味着委托人也不知道代理人在签订此类合同的情况下会做什么，委托人可能不会考虑这些合同。4.3第一名的可实现性。在本节中，我们假设漂移力a不受代理控制，并固定为零。

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2022-5-6 08:38:53

此外，我们采用了（3.3）的设置，带有V=Rd和CARA实用函数。我们认为，当成本函数为零时，总是可以达到第一个最佳。换言之，在v的选择上没有约束，选择v也没有成本，因此不存在代理摩擦。一对（Z，Γ）∈ R×S，我们引入符号z:=zz！和Γ：=γ！。如果我们选择γ<0，并假设成本k（v，0）为0，那么很容易看到最优的v*∈ Rd在Gobs（Z，Γ）的定义中，是以下等式Zσb+γσ.1+γd的唯一解∑i=1σ。i·v*σ.i=0，其中任意1≤ 我≤ d、 σ。iis是矩阵σ的第i列。这直接导致*= -γ（σσT）-1（zσb+γσ.1）。（4.16）委托人可选择值Z:=RPRA+RP，γ=-RARP（RA+RP），γ：=0，以及zandγ的任意值。那么，这个契约显然是可接受的，因为Z和Γ是有界的且恒定的，从（4.16）可以看出，当σ=Id时，它实现了以下最优波动率*=RA+RPRAPB。当k=0时，这正好等于（2.1）中得到的最佳波动率vfBob（对于d=2，但对于任何d都成立），这很容易验证，对于一般σ也成立。这一结果与Cadenilas、Cvitani’c和Zapatero（2007）的观点不一致，他们指出，在一个无摩擦且完全的市场（即，波动努力的零成本，布朗运动的数量等于可观测资产的数量）中，具有任意效用函数的情况下，使用仅依赖于产出最终价值的契约可以获得第一个最佳结果。我们在这里看到，对于指数函数，完整性是不必要的，线性契约是最优的。事实上，通过上述zandΓ，我们得到了，设置z=0，ξT（z，Γ）=const。

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能者818

2022-5-6 08:38:56

+RPRA+RPXT，这与k（v）=0.4时的第一个最佳合同相同。4委托人的CARA效用问题在本节中，我们假设委托人和代理人的效用都是指数的，即我们有UI（x）=-E-RIx，I=RA，RP.固定一个可容许的ξT（Z，Γ）∈ C并介绍符号Z=ZXZB！Γ=ΓXΓXBΓXBΓB！。委托人将其最终收益Xv的预期效用最大化- ξT（Z，Γ）。由于契约ξT（Z，Γ）在命题4.1的意义上是激励相容的，因此代理人的最优波动率和漂移选择对应于任何（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ V（Z，Γ）。然后，假设代理让委托人在对代理来说是最优的控制选择中进行选择，则主要问题是：sup（Z，Γ）∈U，（v）*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈V（Z，Γ）E向上的十五、在- ξT（Z，Γ）.表示（v）*,A.*) := （五）*（Z，Γ），a*（Z，Γ）），并将表达式替换为ξT（Z，Γ），我们得到xv，在- ξT（Z，Γ）=-C+ZTσTs（v）*s） bs（a）*s）（1）- （中新社）-σs（v）*（s）ΓXs+RAZXsds+ZT采空区（s、Z、Γs）-ΓBs+RAZBsds-ZTΓXBs+razzszbsdhX，Bis-ZTZBsd（Bobs，v*,A.*)s+ZT1.- ZXs五、*s·σdBv*,A.*s、 P- a、引入向量θ*:= σs（v）*s）并表示其第一个条目θ*（s），并用θ表示*-1(s)(d)- 1）无第一项的维度向量。与命题4.1的证明完全一样，特别是通过分离适当的随机指数，可以得出主要问题归结为θ最大化*s（Z，Γ）·bs（a）*s（Z，Γ））1.- ZX-kθ*s（Z，Γ）kΓX+RAZX+ 采空区（s、Z、Γ）-ΓB+RAZB-ΓXB+razzbθ（s，Z，Γ）-RPhθ*-1（s，Z，Γ）1.- ZX+θ*（s，Z，Γ）1.- ZX- ZB我

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