使用[42]：φs（x）- xe∏∞5吉隆坡φs（x）kxe∏（64）和n（|s |）→ |s | p，其中p>0是遇到xin s的平稳概率，我们得出结论：Prφs（x）- xe∏∞5吉隆坡φs（x）kxe∏5.!> 1.- E-|标准普尔=>公共关系φs（x）- xe∏∞> !5 e-|标准普尔(65)=>公共关系φs（x）- xe∏∞> 4.5 e-|标准普尔(66)=>公共关系φs（x）- xe∏∞> 5 e-|标准普尔（67）这就完成了证明。4串话的概率模型考虑两个遍历平稳QSP HA，HB分别在两个有限字母∑A，∑b上演化。对于这两个字母表的属性，我们不做其他假设，只要求它们是有限的，即∑A、∑B可以是相同的、不相交的或有不同的基数。假设过程HB对第一个过程的动态依赖性由串扰图F（下一步定义）决定，该图规定了给定第一个过程中的某些特定字符串，第二个过程中可能出现字符串的概率。符号5。给定一个有限字母表∑，以及相应的严格有限字符串集∑ω，以及定义4中构造的σ-代数B，我们将形式为∑ω，B，u的所有概率空间集表示为P∑。定义14（串扰图F）。给定平稳遍历QSPsHA，HBover fine alphabets∑A，∑b分别，由串扰映射F:{x∑ωA:x确定的苯环的依赖性∈ Σ?A}→P∑b定义为：十、∈ Σ?A、 F（x∑ωA）=（ωB，BB，uFx）（68），其中BB是定义4后构造的∑B上的σ-代数。

如果由HBis（ωB，BB，uB）诱导的概率空间（见引理1），则串扰映射需要满足以下一致性标准：F（ω∑）=（ωB，BB，uB）（一致性）。此外，我们假设串扰映射是遍历的，如果F（y∑ωA）=（ωB，BB，uFy），F（xy∑ωA）=（ωB，BB Fxy），则：x、 y，z∈ Σ?A、 林| y|→∞kuFy（z∑ωA）- uFxy（z∑ωA）k=0（遍历性），即某些初始段x的影响在极限内消失。串扰映射引出了交叉导数的概念。定义15（交叉衍生）。给定两个平稳的遍历QSPsHA，HBover fi fine alphabets∑A，∑bre，以及串扰映射F，交叉导数φHA，HBxat x∈ Σ?是∑b上的概率分布，如果φHA，HBx=p··pi··T、 然后，HB中的下一个符号是σi和概率pi，假设字符串在HAis x.引理8（交叉导数的显式表达式）中发生。给定平稳遍历QSPs HA、HBover fine alphabets∑A、∑B、串扰映射F，并假设HB具有PFSA表示（QB、∑B、δB、eπB），我们得到：σi∈ ∑B，φHA，HBx | i=Xτ∈Σ?BuFτ∑ωBeπB[τ] ，σi（69）证明：对于任何τ∈ Σ?B、 uFτ∑ωB是在给定字符串x的情况下，它在HBV中出现的概率∈ Σ?A.回顾与τ对应的终端状态或等价类由[τ]表示，我们注意到产生σ的概率∈ ∑Bafterτ由πB给出[τ] ，σi. 注意到x处交叉导数的输入是HB中生成σinxt的预期概率，由此得出结果。推论3（到引理8）。

空弦处的交叉导数可表示为：φHA，HBλ=Bλe∏B（70），其中Bλ是HB的aPFSA表示态上唯一的平稳分布。证明：使用引理8给出的表达式，我们得到：σi∈ ∑B，φHA，HBλ| i=Xτ∈Σ?BuFτ∑ωBeπB[τ] ，σi（71）=Xτ∈Σ?BuBτ∑ωBeπB[τ] ，σi（使用F的一致性，见定义14）=HBPr（[τ]）eπB的Xe等价类[τ] ，σi=Bλe∏Bi（72）我们打算用类似于概率自动机的对象来建模QSP之间的交叉依赖；为了达到这一效果，我们需要在这种背景下正式确定国家的地位。如前所述，我们通过定义一个适当的等价关系来实现这一点，我们称之为概率交叉-节点关系。定义16（概率交叉电极等效关系）。给定平稳遍历QSPs HA、HBover fi fine alphabets∑A、∑b，以及串扰映射F，则串扰能等效为∑？A、 表示为~哈哈，定义为：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比夫Z∈ Σ?A、 φHA，HBxz=φHA，HByz（73）显然，交叉电极等价是右不变的，即，x、 y∈ Σ?A、 x~哈比=> Z∈ Σ?A、 xz~HAHByz（74）提出了国家的概念，即如果两条弦相等，我们可以忘记哪一条才是真正的历史。这就引出了交叉概率有限状态自动机的概念，即表示交叉依赖关系的逻辑机。4.1交叉概率有限状态自动机（XPFSA）交叉自动机有一个输入字母表和一个输出字母表，其思想是建模一个有限状态概率传感器，该传感器将输入字母表上的字符串映射到输出字母表上的一组细数分布。请记住，这些字母表的元素或基数不一定相同。形式上，我们定义：定义17（交叉概率有限状态自动机）。

跨越概率有限状态自动机（XPFSA）是一个4元组≡ （Q，∑，δ，eπ∑），其中Q是一组有限的状态，∑是一组符号（称为输入字母），δ：Q×∑？→ qi是递归扩展的转移函数，∑是一个有限的输出habet，可能有∑，和π∑：Q×∑→ [0，1]是由输出字母∑参数化的输出变形函数。特别地，eπ∑（q，σ）是生成σ的概率∈ 来自astate q的∑∈ Q、 因此：Q∈ Q、 Pσ∈∑eπ∑（q，σ）=1。带有标记初始状态q的XPFSA∈ Q、 是一个带有初始标记的XPFSA，由增广的五元组（Q，∑，δ，eπ∑，Q）描述。引理9（交叉Nerode等价于初始标记的XPFSA）。与有限指数的跨极等效关系可由XPFSA编码。证明：对于平稳遍历QSP HA，HBover fine alphabets∑A，∑b，分别设Q为fine index cross Nerode关系的等价类集合~哈哈（定义16），不提| Q |<∞, 定义函数δ：Q×A→ Q、 eπ：Q×∑B→ [0,1]作为：十、∈ Σ?A、 δ（[x]，σ）=[xσ]（75a）十、∈ Σ?A、 σi∈ ∑B，eπ∑B（[x]，σi）=φHA，HBx如果要选择x∈ [x] （75b）其中我们递归地将δ扩展到y=σx∈ Σ?当δ（q，σx）=δ（δ（q，σ），x）（76）表示[λ]为q时，我们对~HAHBas a初始标记为xpfsa（Q，∑a，δ，eπ∑B，qo）。使用与消除PFSA初始决策相同的遍历性参数，我们注意到qc可以在不丢失任何信息的情况下被删除。后来我们认为XPFSA具有唯一的（直到状态重命名）最小实现，具有强连通图。图4显示了PFSA和XPFSA之间的差异。请注意，除了PFSA中的符号标签外，状态间转换还具有生成概率，而在XPFSA中，转换仅使用输入字母表中的符号进行标记。

另一方面，XPFSAson在每个状态下都有一个输出分布。这种输出分布在输出字母表上，如图4板B和C所示，输出字母表（或其元素）的大小可能不同于输入字母表的大小。4.1.1特殊情况：无依赖性和相同的样本路径下，我们调查平稳遍历过程之间可能出现的一些特殊依赖性。第一种情况是不存在依赖性，例如，HBV的进化无法从血液进化的知识中预测到任何程度。定理5（XPFSA结构：第一个结果）。对于固定的遍历字母表HA，HBover fine alphabets∑A，∑b，以下陈述是等价的：1）x、 y∈ Σ?A、 x~哈比（2）十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=v，其中v是常数向量3）十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=Bλe∏B极限：1）→ 2） ：让x，y∈ Σ?A.从定义16开始，我们有：~哈比=> Z∈ Σ?A、 φHA，HBxz=φHA，hbz=λ，使用1）我们得出结论，φHA，hbx必须是所有x的恒定向量∈ Σ?A.1）→ 2） ：根据定义16.3）→ 2） ：琐碎的。q0q1σ1 | 0.15σ0 | 0.85σ1 | 0.25σ0 | 0.75A。概率论有限状态自动机（PFSA）q0q1σ1σ0σ1σ00.2σ000.2σ010.6σ02输出分布0。5σ000.4σ010.1σ02B。（三字母输出字母表）q0q1σ1σ0σ1σ00.9σ00.1σ10.2σ00.8σ1输出分布。（两个字母的输出字母）交叉概率有限状态自动机（XPFSA）q0q1σ1 | 0.15σ0 | 0.85σ1 | 0.25σ0 | 0.75D。概率论有限状态自动机（PFSA）表示为等效交叉自动机aq0q1σ1σ0σ1σ00.85σ00.15σ10.75σ00.25σ1XPFSA，用于状态同步相同的第二个进程图。4.交叉概率有限状态自动机的说明。图A显示了一个PFSA，而图B和C显示了两个遍历平稳过程之间的交叉自动适应依赖关系。

图版B中的机器捕获了从2字母字母{σ，σ}演变为3字母{σ，σ}的过程的依赖关系。图C显示了一个XPFSA，它捕获了同一个两字母字母表{σ，σ}上的进程之间的依赖关系。请注意，XPFSA在结构上与PFSA不同；虽然后者具有与状态之间的转换相关的概率，但前者没有此类规定。另一方面，XPFSA在每个州都有一个输出分布，因此每次到达新闻状态时，XPFSA可能会被认为生成一个从特定州的输出分布中提取的输出符号。因此，可以将PFSA表示为XPFSA，如图D所示。在这种情况下，输出分布必须在同一个字母表上，在特定状态下输出特定符号的概率将是该符号从该状态产生的概率。2) → 3） ：设置x=λ，并使用引理8的推论3：φHA，HBλ=v=Bλe∏B（77）这就完成了证明。定理5基本上确定了XPFSA的结构，当它独立于第一个过程HA时，也就是说，对后一个过程中发生的字符串的了解不会影响HB中的下一个符号分布。这正是2）中所述的：交叉导数是任何字符串x∑的常数向量？A.定理5证明了在这种情况下，最小XPFSA是一个单状态机，并且这个单状态的输出分布由Bλe∏B.对于同一进程的状态同步副本，出现了最简单的非平凡依赖关系。更具体地说，给定任意量化随机遍历平稳过程的一条样本路径，我们可以将单步右移样本路径视为第二个过程。

在这种情况下获得的XPFSA（见图4，图D）计算起来很简单：4.1.2方向（in）依赖性的概念随机过程之间独立性的标准定义如下：定义18（两个随机过程的独立性）。随机过程{X（t）}，t∈ T和{Y（T）}，T∈ 不管怎样，他们都是独立的∈ N、 和ti，tn∈ 随机向量X，{X（T），··，X（tn）}和Y，{Y（T），··，Y（tn）}是独立的。引理10（独立意味着微不足道的XPFSA）。对于平稳遍历QSPs HA、HBover fine字母∑A、∑b，如果HA和HBa是独立的（定义18），那么我们有：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比^x、 y∈ Σ?B、 x~哈伊（78）也就是说，对于独立进程，两个方向上的最小XPFSA只有一个状态。证明：考虑由processesHA，hb生成的样本路径，由相应字母表上的符号序列sA，sb表示，并将流中的kthsymbol表示为sAk，sBk。修理∈ N、 考虑随机向量sv，{sA，····，sAn-1} ，W，{sB，···，sBn-1}. 同样，让zn表示sB中n符号的随机变量。那么，独立意味着：十、∈ Σ?A、 z∈ Σ?B、 σ∈ ∑B，Pr（V=x，W=z，Zn=σ）=Pr（V=x）Pr（W=z，Zn=σ）（79）让我们来描述HBbe的PFSA（Q，∑B，δ，eπB）。假设遍历过程HB的标准描述，在不损失一般性的情况下，我们将初始状态定义为平稳分布Bλ（见定义8）。然后，通过边缘化W，我们得到：十、∈ Σ?A、 σ∈ ∑B，Pr（V=x，Zn=σ）=Pr（V=x）Xqi∈QBλ即πB（qi，σ）（80），这意味着：十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=Bλe∏B（81）类似地，使用HBto-HA的参数，我们得到Y∈ Σ?B、 φHB，HAy=Aλe∏A（82），然后使用引理5完成证明。引理11（单向依赖，独立）。

存在独立的平稳遍历QSP HA，HBover fine alphabets∑A，∑b，因此：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比，也就是说，哈托HBO公司的minimalXPFSA只有一个州。证据：我们给出了一个明确的例子。考虑通过以下递归规则（其中sAk，sbkar是步骤k的符号）生成样本路径sA，sbr的二进制字母表{0，1}上的过程sha，hb：sB=0，sA=0（83）Pr（sAk+1=0 | sBk=0）=0.8，Pr（sAk+1=1 | sBk=0）=0.2（84）Pr（sAk+1=0 | sBk=1）=0.2，Pr∈ {0,1}=0.5，Pr（sBk+1=1|sAk）∈ {0，1}）=0.5（86）从等式（86）可以直接得出：x、 y∈ Σ?A、 x~HAHBy和henceit根据引理5得出结论，哈托HBO的最小XPFSA只有一个状态。由于sb中的当前符号决定了sA中下一个符号的分布，因此进程也不是独立的。引理12（平稳分布的过渡）。设G=（Q，∑，δ，eπ）是平稳遍历QSP的PFSA表示。IfG作为其平稳分布分布分布在其状态上λ、 然后根据分布生成下一个符号λe∏，则下一个预期状态分布保持不变。证明：设v=λe∏。然后是下一个州的分布, 可使用|Q |×|Q |变换矩阵Γσ，σ计算∈ ∑（定义7）如下：= λ∑Xi=1∑ivi=λ| Q | Xj=1λj∑Xi=1∑ie∏ji（87）SinceP∑∑∑Xi=1∑∏和 j、 Pie∏ji=1，p | Q | j=1λj=1，我们得出结论：= λ| Q | Xj=1λj∏=λΠ = λ（88），完成了证明。引理13（平凡的XPFSA暗示独立的条件）。对于平稳遍历QSPs HA，HBover有限字母∑A，∑b，如果我们有：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比^x、 y∈ Σ?B、 x~哈伊（89）然后哈勃和哈勃独立了。证明：为了给考虑中的过程中的随机变量序列指定明确的标签，让HA={WAk}，HB={WBk}，k∈ N

对于一些任意固定的s，t∈ N、 满足s5t，letHsA={WAk+s}，HtB={WBk+t}，k∈ N、 即，分别为HsA、HtBare和HbA过程的右转变体。在不丧失普遍性的情况下，我们假设过程的正则表示的初始状态为HA，HBareλ，Bλ（各因果状态的平稳分布，见定义8）。我们声称：十、∈ ∑sA，φHAs，HBtx=Bλe∏B（权利要求A）为了证实这一权利要求，我们回顾，从一个过程到另一个过程的交叉导数的定义与第二个过程中传输的对应字符串无关。换句话说，我们在第二个过程中边缘化了传输的字符串。假设Hb在平稳分布下初始化Bλ，我们得出结论，在HB中所有字符串的边缘化可能会发生在某些x中∈ ∑sA，预期状态仍然为k=s时的Bλ。因为式（89）中的第一个连词意味着：十、∈ ∑sA，φHA，HBx=Bλe∏B（90）因此，HBat k=s+1的预期状态仍然为Bλ（使用引理12）。继续边缘化k=s+1和k=t之间可能发生的所有序列，我们得出结论，k=t处的状态仍然存在Bλ，因此下一个符号将被分配为Bλe∏B。这确立了权利要求A。接下来，我们要求：十、∈ ∑tB，φHBt，HAsx=Aλe∏A（权利要求B），紧接着指出，如果x=x···xs··xt=yxs+1··xt，那么它从第二个连词inEq开始。

(89):y=x··xs∈ ∑sB，φHBs，HAsy=Aλe∏A（91），并且未来的符号xs+1··xt不会影响k=s处的下一个符号分布。此外，请注意，与之前一样，当我们计算φHBt，HAsx时，我们可以在HA中出现的所有长度s串上边缘化，这意味着k=s处的预期状态是λ。使用权利要求A和B，以及过程在k=sand k=t时的预期状态的事实，HBtareBλ和Aλ，我们得出结论：σi∈ ∑A，σj∈ ∑b，Pr（WAs+1=σi，WBt+1=σj）=Aλe∏A我Bλe∏Bj=Pr（WAs+1=σi）Pr（WBt+1=σj）（92），其确定了以下内容：s、 t∈ N、 最后，我们使用归纳法来完成证明。我们考虑序列k，kmwithi、 基∈ N.对于我们的归纳基础，我们注意到索赔C意味着WAt，WBTAR是成对独立的。作为我们的归纳假设，让随机向量WAt··WAtm-1和WBT·WBtm-1.独立。为了总结证据，我们认为：WAt··WAtm，WBt··WBtm=公共关系沃特·沃特姆-1、WBt·WBtm-1.×PrWAtm，WBtm沃特·沃特姆-1、WBt·WBtm-1.（93）=公共关系沃特·沃特姆-1.公共关系WBt·WBtm-1.×PrWAtm，WBtm沃特·沃特姆-1、WBt·WBtm-1.（94）=Pr沃特·沃特姆-1.公共关系WBt·WBtm-1.×Pr沃特姆沃特·沃特姆-1.公共关系WBtmWBt·WBtm-1.=公共关系沃特·沃特姆公共关系WBt·WBtm（95）这就完成了证明。定理6（方向依赖）。为了使平稳的各态遍历都是独立的，两个方向上的最小遍历都必须有一个单一的状态。证明：从引理10，11，和13紧随其后。定理6及其引理证明XPFSA捕捉到了方向依赖的概念，非常适合确定不同过程之间的方向因果关系。

虽然XPFSA是生成模型，但对方向依赖程度进行标量量化是有用的。4.1.3方向依赖度第一作者的早期工作[34]中介绍了概率自动机空间上同步合成的二进制操作，用于初始标记PFSA。我们修改了定义，将其应用于遍历平稳QSP的PFSA表示，其中初始状态不重要。定义19（概率自动机的同步合成）。设G=（Q，∑，δ，eπ）是平稳遍历CQSP的PFSA表示。设H=（Q，∑，δ）表示强连通的directedgraph，使得qi是节点集，并且齐，qj∈ Q、 有一条有向边-→ qj，用σ标记∈ ∑，当且仅当δ（qi，σ）=qj。让G= （Q×Q，∑，δ）,eπ) 成为PFSA，相关功能定义如下：气∈ Q、 qj∈ Q、 σ∈ Σ,(δ（（qi，qj），σ）=（δ（qi，σ），δ（qj，σ））eπ（（qi，qj），σ）=eπ（qi，σ）（96）然后G，H的同步合成，表示为G H、 G的任意强连通分量.我们证明了定义19是一致的，即G的任何两个强连通分量在结构上是同构的。引理14（同步合成的充分必要性）。让, G是G的两个强连通分量, 如定义19中所述。然后，我们有：1）G和G在结构上是同构的。qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ6的1.0 0 0 0.0 0.9σ，0.9σ0.9，0.9σ0.9σ0 0.9σ0 0 0.0 0.9σ0 0 0 0 0.9σ0 0 0 0 0 0.9σ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9σ0 0 0 0.9σ0 0 0 0 0 0 0 0 0.9σ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9σ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9σ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ6 6 5σ0 | 0.13q1q2σ1 | 0.31σ0 | 0.69σ1 | 0.28σ0 | 0.72GHG 嗯 游戏打得好啊GFig。5.同步和投影合成的插图。

通过构造同步合成，同一字母表上的两个PFSA G，H始终可以在同一个（可能更大）图形上表示。因此，G H和H G具有相同的图，但边上的概率规格不同。没有信息损失，因为通过同步合成获得的PFSA是相同基础度量的非最小实现。我们可以使用投影合成（如图所示，我们可以计算G在H图中的表示形式，反之亦然）将PFSA强制为更小的结构，但这涉及到信息的丢失。预测分布（见定义21）仍保持不变。2） Gi、 i=1，2编码了G编码的概率Neroderelation的一个元素。证明：为了建立陈述2），我们必须证明G对于任何初始状态的选择，是G编码的Nerode关系的最小实现。要查看这一点，请选择状态q∈ Q、 并将G增强为初始标记的PFSA（Q，∑，δ，eπ，Q）。另外，选择astate（q，q）∈ Q×Q，并增广Gas（（Q×Q，∑，δ）,eπ, （q，q））。然后，立即：x、 y∈ Σ?δ（（q，q），x）=δ（（q，q），y）=> δ（q，x）=δ（q，y）（97）这确立了声明2）。接下来，考虑PFSA G的图表, 并用一个新的变形函数eπ对其进行扩充，从而得到一个PFSA G=（Q×Q，∑，δ）,eπ），使得每一行∏是不同的。因此，Gmay中的任何一个州都不能与另一个州合并，因为对于任意两个州q，q∈ Q×Q，以及任意σ∈ ∑，我们通过构造得到：eπ（q，σ），eπ（q，σ）。因为H是强连通的，所以Gre在∑上给出了一些特殊的概率内极等价？（请注意，相比之下，如果H有多个组件，那么初始状态的选择可能很重要）。将与G编码的平稳遍历QSP对应的Nerode关系表示为~现在，考虑两个强连通分量G，Gfor G，状态集Qj Q×Q，Qj Q×Q。

由于定理1确定PFSA的强分量是由完整模型编码的同一个极性关系的实现，因此我们得出结论，GAND Gare是PFSA的两种编码~G、 也就是说，存在一个mapH:Q→ E，H:Q→ E，其中E是~我们注意到H，Hare满射是直接的。从Nerode等价的定义来看，也可以得出结论，没有两个状态可以映射到同一等价类（以避免合并），这意味着H，Hare内射，也意味着逆映射为H-1:E→ Q、 H-1:E→ Qare定义明确。现在，我们构造映射ξ：Q→ Q、 ξ：Q→ Qas如下：Q∈ Q、 ξ（Q）=H-1H（q）（98）Q∈ Q、 ξ（Q）=H-1H（q）（99）如下：Q∈ Q、 ξ（ξ（Q））=H-1HH-1H（q）=q（100），意味着ξ是双射的。由于G是G的组成部分，我们注意到：σ ∈ ∑，q∈ Qj Q×Q，δ（q，σ）=H-1（[xσ]），十、∈ H（q）=> ξ(δ（q，σ））=H-1HH-1（[xσ]）=H-1（[xσ]）=δ（ξ（q），σ）（101）同样地，假设由Gisu编码的∑ω上的概率测度，我们也有：σ ∈ ∑，q∈ Qj Q×Q，eπ（q，σ）=u（xσ∑ω）u（x∑ω），十、∈ H（q）（102）以及：σ ∈ ∑，q∈ Qj Q×Q，eπ（ξ（q），σ）=u（x∑∑ω）u（x∑ω），十、∈ H（ξ（q））=H（q）（103），这意味着：σ ∈ ∑，q∈ Qj Q×Q，eπ（q，σ）=eπ因此，G，Gare在结构上是同构的。注意到变形π是任意的，这就完成了证明。接下来我们介绍投影合成。同样，在作者的早期作品中引入了一个略有不同的版本[34]。定义20（投影合成）。

对于给定的PFSA G=（Q，∑，δ，eπ）和强连通有向图H=（Q，∑，δ），使得Qis是节点集，并且齐，qj∈ Q、 有一个直接的边缘-→ qj，用σ标记∈ ∑，当且仅当δ（qi，σ）=qj，投影成分GH=（Q，∑，δ，eπ）是一个PFSA，具有：Q∈ Q、 σ∈ ∑，eπ（q，σ）=X（q，q）∈Qeπ（q，q），σλ（q，q）X（q，q）∈Qλ（q，q），ifP（q，q）∈Qλ其中q（G）>105，否则 H=（Q，∑，δ，eπ），和λ是Q上相应的静态分布。请注意，同步和投影合成被定义为对一对参数进行操作，第一个参数是PFSA，第二个参数是强连通图，其边由同一字母表中的符号标记。然而，我们可以将它们扩展为固定字母表上强连通PFSA空间上的二进制运算符，使用第二个PFSA的图形作为运算符的第二个参数。因此，谈论TG是有意义的 G、 G H、 G其中G，H是具有强连通图的PFSA。事实上，我们可以很容易地证明，对于任何这样的PFSA G，H:G G=G（106）GG=G（107）（G）H）H=GH（108）此外，投影合成保留了投影分布。定义21（预计分布）。

假设一个PFSA G编码概率空间（∑ω，B，uG），一个PFSA H=（QH，∑，δH，eπH），投影分布Hof G相对于H是一个向量 ∈ [0,1]| QH |，因此： J∈ {1，···，|QH |}，j=Xx∈EjuG（x∑ω）（109）表示G中任何初始状态的选择，其中Ej是对应于状态qj的过渡等价类（见引理6）∈ QH，同样适用于H中初始状态的任何选择。我们注意到~G他总是一个“概率向量”，即。， j、 ~GHj=0和| QH | Xj=1~GHj=Xx∈Σ?uG（x∑ω）=uG（∑ω）=1（110）引理15（投影分布定义良好且不变性）。对于PFSA P和G编码的平稳遍历QSP在同一个参数上：1）~G他独立于初始状态的选择（定义212）~G他给出了G与H的射影复合态的平稳分布，即我们有：~GH=~GHH（111）证明：我们注意到，语句2）暗示了语句1）的遍历性。为了建立陈述2），我们的论证如下：设G=（Q，∑，δ，eπ），H=（Q，∑，δ，eπ），也设GH=（Q，∑，δ，eπ）。让~GH=?. 另外，假设G的状态为平稳分布 H可以表示为.我们声称?也是G的平稳分布H.表示G编码的度量值为uG，以及对应于状态qj的过渡等价的等价类∈ Qas E（qj），我们注意到：?j=Xx∈E（qj），qj∈QuG（x∑ω）=Xq∈Q（q，qj）（112）其中我们使用了G中的状态 H的形式为（q，q），带q∈ Q、 Q∈ Q

转移概率矩阵∏forGH（每个条目是在一个步骤中通过可能不同的符号从一种状态过渡到另一种状态的概率）定义为∏i j=Xσ∈∑：δ（qi，σ）=qjeπ（qi，σ）（113），我们设置（假设?是行向量）：v=?π（114）意味着我们有：qk∈ Q、 vk=| Q | Xj=1?j∏jk=| Q | Xj=1Xσ：qj-→σqk?jeπ（qj，σ）=|Q | Xj=1Xσ：qj-→σqkXq∈Q（q，qj）eπ（（q，qj），σ）=Xq∈Q | Q | Xj=1（q，qj）Xσ：qj-→σqkeπ（（q，qj），σ）=Xq∈Q | Q | Xj=1（q，qj）π（q，qj），（q，qk）（115）自，是G的平稳分布 H、 内容如下：qk∈ Q、 vk=Xq∈Q（q，qk）=?k（116），它确定v=?, 即。，?是G的平稳分布H.通过遍历性，可以得出G和G的平稳分布H是唯一的，这就完成了证明。我们现在已经准备好定义因果依赖的系数。我们从定义15中回忆起，给定两个平稳的遍历QSPsHA，HBover有限字母∑A，∑B，交叉导数φHA，HBxat x∈Σ?根据HAis x.definition 22（因果依赖系数）中字符串的知识，描述HB中的下一个符号分布。设有限字母∑A，∑b上的HA，bBest平稳遍历QSP分别为。HBon HA的因果关系系数，表示为γAB，定义为HB中下一个符号分布的熵的预期变化与HB中下一个符号分布的熵的比值。在HA中没有观测的情况下，即γAB=1-前任∈Σ?A.HφHA，HBxHφHA，HBλ（117）其中离散概率分布u的熵h（u）由piuilogui给出。我们假设HBV不是一个简单的过程，只产生一个字母符号，因此排除了分母为零的可能性。引理16（XPFSA到因果依赖系数）。

对于静态遍历qsp HA，HBover alphabets∑A，∑B，让编码过程的pfsa分别为A=（QA，∑A，δA，eπA）和B=（QB，∑B，δB，eπB）。同样，让来自哈托HBbe的XPFSA为BA=（QAB，∑B，δAB，eπAB）。如果QAB={q，···，qm}，那么我们有：γAB=1-*~A.文学士文学士，HeπAB（q，·）...HeπAB（qm，·）+HBλeπB（118）其中h·，·i是标准内积，以及Bλ是B状态的平稳分布。证明：分母遵循推论3到引理8。让A对概率空间进行编码（ωA，B，u）。然后，我们有：前∈Σ?A.HφHA，HBx=Xx∈Σ?Au（x∑ωA）hφHA，HBx（119）q00（p=12）1（p=12）A（HA的自模）q00（p=12）1（p=12）B.HBq0100的自模。500.51摄氏度。哈托HBq0q110100的交叉模型。800.210.200.81输出分配。HBto HAsB0=0，sA0=0Pr（sAk+1=0 | sBk=0）=0.8Pr（sAk+1=1 | sBk=0）=0.2Pr（sAk+1=0 | sBk=1）=0.2Pr（sAk+1=1 | sBk=1）=0.8Pr（sBk+1=0 |sAk∈ {0,1}=0.5Pr（sBk+1=1 | sAk）∈ {0，1}）=0.5递归系统描述（sAk，Sbk HA，HB的样本路径）γAB=0γBA=0.2781依赖系数fig。6.具有单向依赖性的示例过程。对于上面列出的系统描述，我们得到了两个自模型（板A和B），它们是单态PFSA。同样的，过程HAcannot predicted任何符号在过程HB中，我们得到了从A到B的XPFSA作为一个单状态机（图C）。然而，通过观察HB，过程HAI在某种程度上是可预测的，我们得到了在这个方向上有两种状态的XPFSA（图D）。注意两个方向的相关系数列表。

因为在这个例子中，HAis是熵率为1位/字母的伯努利-1/2过程，因此在过程hb中进行观察会降低下一个符号分布的熵（以哈比0.2781位为单位）。注意到交叉电极等价的等价类~hahb对应于集合QAB中的元素，我们用∑表示字符串的等价类？A对应于状态q∈ 卡巴斯E（q）。然后：Xx∈Σ?Au（x∑ωA）hφHA，HBx=Xq∈QABXx∈E（q）u（x∑ωA）hφHA，HBx（120）我们注意到：十、∈ E（q），φHA，HBx=EπAB（q，·）（121），因此我们使用定义21和引理15:Xq∈QABXx∈E（q）u（x∑ωA）hφHA，HBx=Xq∈QABheπAB（q，·）Xx∈E（q）u（x∑ωA）=Xq∈QABheπAB（q，·）~A.文学士q（122）=Xq∈QABh公司eπAB（q，·）~A.文学士文学士q（123）完成了证明。定理7（因果依赖系数的性质）。

对于静态遍历QSPs HA，HBover字母∑A，∑B，我们有：1）γAB∈ [0,1]2）Ha和HbA是独立的当且仅当γAB=γBA=0。证明：我们注意到熵的非负性意味着：∈Σ?A.HφHA，HBxHφHA，HBλ= 0=> γAB=0（124）对于上界，我们注意到通过从φHA，HBx边缘化x，我们得到：φHA，HBλ=Ex∈Σ?AφHA，HBx（125）=>前任∈Σ?A.HφHA，HBxHφHA，HBλ=前任∈Σ?A.HφHA，HBxH前任∈Σ?AφHA，HBx（126）由于熵是凹的，詹森不等式[43]保证：∈Σ?A.HφHA，HBx5小时前任∈Σ?AφHA，HBx=> γAB5 1（127）这建立了语句1）。接下来我们注意到：γAB=0=>前任∈Σ?A.HφHA，HBx= H前任∈Σ?AφHA，HBx(128)=> 十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=v，其中v独立于x（129）=> x、 y∈ Σ?A、 x~ABy（130），这意味着巴哈是一个单一的国家在其最低限度的实现。然后从定理6得出：γAB=γBA=0=> HA，HBare独立（131）要建立相反的关系，我们只需注意，如果HA，HBareindependent，那么AB，BAhave都是单态最小实现（定理6），这意味着x、 y∈ Σ?A、 x~阿比=> 十、∈ Σ?A、 φHB，HBx=φHA，HBλ=> γAB=0（132），并且：x、 y∈ Σ?B、 x~海湾=> 十、∈ Σ?B、 φHB，HAx=φHB，HAλ=> γBA=0（133）这就完成了证明。我们重复使用引理11中构造的例子来说明依赖系数的计算。该系统通过一组下一个符号分布的递归规范来定义（见图6）。我们注意到，在这种情况下，两个自模型都是单态PFSA，实际上代表了伯努利-1/2过程。

一个方向上的XPFSA也是微不足道的，导致依赖系数为零，而另一个方向上的系数正说明了单向依赖的情况（见图6）。5算法基因：自模型推理我们构建了一个有效的程序，从QSP H和预先指定的 > 0.本节（第5节）主要出现在其他地方[31]，但为了完整起见，将其包括在内。5.1实施步骤PFSA的推理算法寻求类似的符号导数（类似的含义是差异的一致性范数在某个预先规定的范围内）), 以及“合并”派生结果相似的字符串片段，即定义它们以达到基础模型中的相同属性。这对于状态拆分或状态合并更为普遍，因为这两个过程同时进行：当我们发现一个符号导数与已经遇到的任何导数不匹配时，我们创建一个新状态；而如果我们找到这样一个匹配，那么我们会合并两个发现派生词相似的字符串。至关重要的是，我们首先要找到一个-同步字符串，并查看其正确的扩展以执行合并和拆分；由于前面的理论发展，这确保了我们能够找到基本PHI的状态 在实体规范中存在错误。我们将我们的算法称为“使用自相似语义的生成器提取”，即对于观测序列s，包含三个步骤：1）识别-同步字符串x：使用观察到的轨迹s（定义13）构造一个派生堆Ds（L），并将L设置为由所有字符串组成，直到足够大但有限的深度。我们建议首先选择L作为对数∑1/. InL非常大，那么推断的模型结构不会因较大的值而改变。

然后我们确定D的凸包的顶点∞, 通过任何标准算法计算船体[44]。选择XA作为到该顶点的字符串映射。2） PH结构的识别，即过渡函数δ：我们生成δ如下：对于每个状态q，我们将astring Identifier xidq关联起来∈ x∑？，概率分布hqon∑（是状态q对应的∏行的近似值）。我们递归地扩展了这个结构：a）将集合Q初始化为Q={Q}，并将集合xidq=x，hq=φs（x）。b） 对于每个状态q∈ Q、 计算每个符号的σ∈ ∑，找到符号导数φs（xidqσ）。If | |φs（xidqσ）-hqσ||∞5.对于一些问题∈ Q、 然后定义δ（Q，σ）=Q。另一方面，如果在Q中找不到这样的qc，则添加一个新的状态qto Q，并定义xidq=xidqσ，hq=φs（xidqσ）。当每个q∈ Q有一个目标状态，foreachσ∈ Σ. 然后，如有必要，我们使用[45]确保强连接。3）识别弧概率，即函数eπ：a）选择任意初始状态q∈ Q.b）按照δ的指示，在识别的图形中运行序列s，即，如果当前状态为Q，从s读取的下一个符号为σ，则移动到δ（Q，σ）。计算弧遍历，即生成数值nijqiσj--→Nijqk。c） Generatee∏by row normalization，即∏i j=Nij/（PjNij）报告的递归结构扩展算法[35]，[46]缺乏-同步步骤，并且仅限于推断可同步或短内存模型，或长内存模型的大近似值。5.2复杂性分析和PAC可学习性基因对状态数没有上限；这是过程复杂性本身的函数。当hq（第2步）逼近这些∏行时，我们通过遍历计数的标准化来确定弧概率。

HQ仅使用序列sin x∑？，而遍历计数使用的是整个序列，因此更准确。我们假设对应于不同状态的∏行在sup范数中至少分离了. 具有不同政治家风度的PFSA可能具有对应于多个州的相同行。然而，并不是所有的行都可以相同，因为这样各州就会崩溃，我们就会得到一个单一的州PFSA。提出的算法可以很容易地进行修改，以解决这个问题；如果两个状态具有相同的对应∏行，则可以消除它们与具有相同标签的输出跃迁的多重性之间的歧义；不过，我们不在这里讨论这个问题。另一个问题是获得强连接的PFSA，如果在第2步之前，我们从第1步推断的结构中提取一个强组分，就可以确保这一点。这可以使用Tarjan算法[45]有效地实现，该算法具有O（|Q |+|∑|）渐近空间和时间复杂度。定理8（时间复杂性）。

假设| s |>|∑|，基因的渐近时间复杂度为：T=O | s |∑|!（134）证明：假设|s |>|∑|，我们注意到Geneses执行以下计算：通过计算φs（x）forO（1）来计算导数堆的C1计算/) 字符串（推论1），每个字符串都涉及读取输入s并对∑上的分布进行归一化，从而分配O（1）/ ×（|s |+|∑|）=O（1）/ ×|s |）。C2找到堆的凸包的顶点，最坏的情况是检查O（1）/) 点（通过字符串生成堆进行编码），贡献O（1）/ ×|∑|），其中每个检查在O（|∑|）时间内完成。C3发现δ，涉及计算字符串标识符处的导数（步骤2），从而贡献O（|Q |×|∑|×| s |）。C4使用遍历计数和归一化识别弧概率，以弧数为时间线性，i.eO（|Q |×|∑|）。把贡献加起来，我们得到：T=O（1/ ×|s |+1/ ×|∑|+| Q |×| s |×|∑|+| Q |×|∑|）=O1/ + |Q |∑|）×s|（135）注意到| Q |以可区分的符号派生词的最大数量为界，因此以1为界/, 我们得出结论：T=O | s |∑|!（136）这就完成了证明。有限概率识别被称为可能近似正确的学习[30]、[47]、[48]（PAC学习），它接受了一个假设，该假设与高概率的正确语言没有太大区别。一种识别方法被称为识别目标语言L？在可能近似正确（PAC）的意义下[30]、[47]、[48]，如果它总是停止并输出L，则：, δ>0，P（d（L？，L）5) = 1.- δ（137），其中d（·，·）是目标语言空间的度量。如果存在一种算法，即PAC识别类中的每种语言，并以1的时间多项式运行，则一类语言是高效PAC可学习的/, 1/δ、样本输入长度和推断的模型大小。

我们首先通过在∑上建立概率自动机空间的度量来证明QSP的PAC可学习性。5.3 QSP的PAC可识别性我们首先建立一个适当的度量来建立基因的PAC可学习性。引理17（概率自动机的度量）。对于两个强连接的PFSA G，G，让符号导数在x处∈ Σ?分别命名为φsG（x）和φsG（x）。那么，Θ（G，G）=supx∈Σ?（林| s |，| s）|→∞φsG（x）- φsG（x）∞)（138）定义了∑上概率自动机空间的度量。证明：非负性和对称性紧随其后。三角不平等是因为注意到φsG（x）- φsG（x）∞Is上界为1，因此对于stringsin∑的任何选定顺序？，我们有两个`∞序列，在sup范数下满足三角线质量。由于对于任何足够长的s，s，任意x处的符号导数一致收敛于相应∏矩阵行的某种线性组合，因此度量是明确的。现在，我们可以确定具有有限个因果状态的遍历平稳QSPs类是PAC可学习的。定理9（QSP的PAC可学习性）。遍历的、平稳的QSPs，其概率内极等效有一个有限的指标满足以下性质：对于, η>0，对于QSP H生成的每一个足够长的序列s，GenESeSS计算PHA和PHwith:Pr的估计值Θ（PH，PH）5= 1.- η（139）渐近运行时间是1中的多项式/, 1/η，|s |。证明：定理3的Geneses构造和推论2暗示，一旦-同步字符串xis已识别，x的右扩展（在同步状态下出现的概率非零）为-同步在哪里= C、 用C<∞ 如等式中所定义。

(53).如果目标QSP有| Q |状态，那么|Q |状态需要通过正确的扩展来访问-同步字符串x。因此，对于任何> 0，公关部Θ（PH，PH）5 C | Q|= 1.- 公共关系||φs（x）- xe∏||∞> =>公共关系Θ（PH，PH）5= 1.- E-|s|C-|Q | O（1）（使用等式（67））因此，对于任何η>0，如果我们有| s |=O（C | Q|logη），则满足等式（139）的要求条件。多项式运行时在OREM 8中建立。推论4（定理9：样本复杂性）。使用Geneses进行PAC学习所需的输入长度在, 对数η，但因果状态数为指数| Q |。证明：从定理9直接得到。备注2（样本复杂性）。样本复杂度对目标QSP因果状态数的指数渐近依赖性不应被解释为无效。与PAC学习的标准化处理不同，这里我们没有一组独立的样本作为训练，而是一个较长的输入流。注意到输入s由指数数量的子环（所有长度的总和）组成，如果将这组子序列作为样本集处理，则对|Q |的指数依赖性消失。因此，如何选择定义该设置的样本复杂性概念是一个问题。备注3（关于卡恩斯硬度结果的备注）。我们对卡恩斯的硬度结果免疫[49]，因为 > 0加强了状态可分辨性[50]，而且，我们感兴趣的系统对遍历平稳动力系统的限制，产生了无终止痕迹，使得卡恩斯用奇偶函数[49]的特殊构造不适用。6算法XGeneses：交叉模型推理我们注意到，PFSA之间的结构同构概念（见定义9）自然延伸到XPFSA，后者的输出变形函数在前者中扮演变形函数的角色。

特别是，我们注意到，假设过程和串扰映射的遍历性（见定义14），意味着我们得到了类似于定理1的结果；也就是说，XPFSA有唯一的最小实现，它们是强连接的。引理18（存在唯一的强连通极小XPFSA实现）。对于平稳遍历QSPs HA，HBoveralphabets∑A，∑B，如果概率交叉Nerode关系~哈哈∑？A（关于一致的遍历串扰映射，Seed定义14）有一个有限的索引，然后它有一个强连接的XPFSA生成器，该生成器在结构同构上是唯一的。证明：该论点与定理1中的论点相同，使用引理9中描述的构造。-同步在基因研究中起着重要作用。相应的同步概念对于推断XPFSA是必要的。然而，由于XPFSAs模型是进程之间的依赖关系，而不是进程本身，因此-这种情况下的同步不能仅基于XPFSA结构或其输出变形。具体地说，由于XPFSA中的转换缺乏生成概率，因此在与PFSA相同的意义上讨论同步是没有意义的。然而，同步仍然是必要的，以确保我们推断XPFSA状态，而不是它们的分布。我们需要诱导交叉分布，即在第一个过程中给定观测字符串的XPFSA状态上的分布，以明确同步的概念。定义23（诱导交叉分布）。

给定平稳遍历Cqsps HA，HBover字母∑A，∑B，一个用于HA的PFSA生成器，以及来自HAto HB，eachx的最小XPFSA BA=（QAB，∑A，δ，eπ∑B）∈ Σ?a导出一个分布HA，HBxover QABde递归定义为：HA，HBλ7→ ~GA文学士文学士（140a）哈，HBxσ7→哈，HBxΓBAσ哈，HBxΓBAσ（140b）我们假设HA，HBxis是行向量，ΓBAσ是将输出变形作为形态函数的符号特定变换矩阵（见定义7）。引理19（诱导交叉分布的解释）。给定静态遍历QSPs HA，HBover字母表∑A，∑B，一个用于HA的PFSAgenerator Ga，以及来自HAto HB的最小XPFSA BA=（QAB，∑A，δ，eπ∑B），诱导交叉分布哈佛商学院：十、∈ Σ?A.HA，HBxe∏∑B=Ey∈Σ?AφHA，HByx（141）假设与之前一样哈，HBxis是一个行向量。证明：表示HAas（ωA，B，uA）诱导的概率空间，以及对应于状态q的等价类∈ QABas E（q），我们注意到：Ey∈Σ?AφHA，HByx=Xy∈Σ?AuA（y∑ωA）φHA，HByx=Xq∈QABXyx∈E（q）uA（y∑ωA）φHA，HByx=Xq∈QABXyx∈E（q）uA（y∑ωA）eπ∑B（q，·）（142）最后，注意到定义21和23意味着：哈，HBx=Xyx∈E（q）uA（y∑ωA）（143）完成了证明。定义24(-XPFSA的同步）。对于平稳遍历QSPs HA，HBover字母∑A，∑B和XPFSA BA=（QAB，∑A，δ，eπ∑B），从HAto HB，字符串x∈ Σ?人工智能-与BA同步，如果Q∈ QAB，嗯∈Σ?AφHA，HByx-eπ∑B（q，·）∞5. （144）下一个结果减少了-将XPFSA的字符串与特定PFSA的字符串同步。定理10(-通过投影合成同步XPFSA）。

给定平稳遍历QSPs HA，HBover字母∑A，∑B，其中A=（Q，∑A，δ，eπ）是编码HA的PFSA，ba=（QAB，∑A，δ，eπ∑B）是来自HAto HB的XPFSA，A stringx∈ Σ?人工智能-如果xis-与PFSAA同步文学士（定义10）。证明：我们注意到引理19意味着对于任何x∈ Σ?A、 最大值=1，··，| QAB|HA，HBxi=1- => Q∈ QAB，嗯∈Σ?AφHA，HByx-eπ∑B（q，·）∞5. （23）注意到定义意味着：哈，HBx=A.BAx（146）完成了证明。因此-同步XPFSA BA，我们只需找到-PFSA A的同步字符串这是一个我们已经解决的问题（见引理7和定理4）。然而，衍生堆的定义（见定义13）需要适当概括（见定义27）。然而，在我们进入XPFSA推论之前，我们注意到，上述的简化使我们得到了以下重要的推论，从而证明了这一点-同步字符串存在于任何 > 0.推论5（定理10:-正在同步XPFSA的字符串）。无论如何 > 0，平稳遍历QSPs HA，HBoveralphabets∑A，∑B，和给定的XPFSA Ba，从HAto HB，存在字符串x∈ Σ?Athat-同步BA。证明：紧跟定理10和定理2。在介绍推理算法xGenESeSS之前，我们需要一种有效的方法来计算交叉导数。首先，我们概括了定义11中引入的计数函数。定义25（符号交叉计数功能）。对于字母∑A，∑B上的字符串sA，sB，交叉计数函数#sA，sB:∑？A×∑B→ N∪ {0}，统计sA中某个特定子字符串出现的次数，后面紧跟着sB中的某个特定符号。

计数是重叠的，即在字符串sA=000100，sB=012212中，我们计算字符串00在sA中出现的次数，紧接着是符号2在sB中出现的次数，如：000100 00010012212 012212包含#sA，sB（00，2）=2。然后，我们使用交叉计数函数定义交叉导数的估计量。定义26（交叉导数估计）。对于字符串sA，sB超分辨字母∑A，∑B，交叉导数估计φsA，sB:∑？A.→ [0,1]|∑B |是一个非负向量，求和为单位，中心定义为：十、∈ Σ?A、 φsA，sBx）i=#sA，sB（x，σi）xσi∈∑B#sA，sB（x，σi）（147）和之前一样（见定理3），我们有以下收敛性。引理20(-交叉导数的收敛性）。对于平稳遍历qsp HA，HB，∑A，∑B，产生各自的stringssA，sB，和一个给定的XPFSA bahato HB，如果x∈ Σ?人工智能同步，然后： > 0，lim | sA |，| sB|→∞φsA，sBx-eπ∑B（[x]，·）∞a、 美国。 （148）证明：由于φsA，sBxis是φHA，HBx的经验分布，因此使用定理3的论证得出的结果来自Glivenko-Cantelli定理[39]。与第5节中描述的PFSA推断类似，我们在这里寻求类似的交叉导数，并“合并”导数结果相似的字符串片段，即定义它们，使其在推断的XPFSA中达到相同的状态。首先，我们需要将衍生堆的定义概括如下：定义27（交叉衍生堆）。对于平稳遍历QSPsHA，HB，∑A，∑B上，产生相应的字符串sA，sB，交叉导数堆DsA，sB:2∑？A.→ D（|∑B |- 1） 是为字符串L的子集计算的∑B上的概率分布集 Σ?Aas:DsA，sB（L）=φsA，sBx:x∈ L Σ?A.（149）我们注意到引理7和定理4立即推广：引理21（交叉导数堆收敛）。

1） 定义：D∞, lim | sA |，| sB|→∞极限→Σ?ADsA，sB（L）（150）如果你∞是D的凸包∞, u是u的顶点∞andeπ∑Bis从HAto HB的输出变形XPFSA，那么我们有：Q∈ Q、 使得u=eπ∑B（Q，·）（151）2）对于平稳遍历QSPs HA，HB，在∑A，∑B上，产生相应的字符串sA，sB，让DsA，sB（L）用L=O（log（1）计算/)). 如果是x∈ ∑O（log（1）/))A、 φsA，sBxis是DsA，sB（L）的凸包的顶点，那么我们有：Pr（xis不是-（3）5 e-|sA| p（152），其中pis表示遇到辛萨的概率。证明：参见引理7和定理4.6.1 XGeneses的实现步骤我们在XGeneses中有两个步骤，这两个步骤推断出强连通的最小实现BA=（QAB，∑A，δ，eπ∑B）：1）识别-同步字符串x：使用观察到的记录道sA，sB构造一个派生堆DsA，sB（L）。（定义27），并设置L=log |∑A | 1/. 然后我们确定D的凸包的顶点∞, 通过任何标准算法计算船体[44]。选择XA作为到该顶点的字符串映射。2） 转换函数的识别：我们生成δ如下：对于每个状态q，我们关联一个字符串识别码xidq∈ x∑？A、 概率分布hqon∑B（它是状态q对应的∏∑B行的近似值）。