我们关注这种类型的合约主要有两个原因：第一，swingoptions是大宗商品市场中的主要容量合约类型，第二，我们想将我们的结果与[11]中的结果进行比较。更具体地说，在第5.1小节中，我们考虑了执行价格K=0和最小累计数量m=0的基准情况，并将根据UIP方法获得的价格与[11]中的价格进行了比较；在5.2小节中，我们考虑了K>0和m>0的更一般的摆动选项。在这两部分中，我们都使用有限的微分方程计算相关偏微分方程的解，如[11]所示。5.1与Benth等人[11]的结果进行比较。在这里，我们将通过求解非线性偏微分方程（3.11）获得的UIP与能源市场文献中可以找到的风险中性价格（例如[3,11,16,22,45]）进行比较。后者以基本上是线性的偏微分方程的形式给出，除了z中的一阶导数，其形式与方程（3.22）相同。如[11]所述，我们考虑一个参数值为sk=0、\'u=1、T=1、m=0、m=0.5的摆动期权（即，我们取q=1），即控制u属于[0,1]，持有人面临选择商品最优惠价格的问题，直到某个总交易量m。我们将无风险利率设置为零。此外，为了尽可能接近Benth等人[11]中考虑的设置，ZuT被限制为ful fil ZuT≤ M=0.5，我们使用惩罚函数Φ（p，z）=min（0，-C（z）-0.5））（5.1），C=1000。事实上，文献[3]中的作者证明→ ∞ 如（5.1）中所述，违约金Φ的合同价格收敛于上述约束条件下的合同价格。此外，为了与[11]进行比较，我们选择了示例4.6的线性动力学模型的一个特例，其中k=0.01，δ=0.4，σ=0.55，θ=3.5，σF=0.3，a=0.03，ρ=0.5。

（5.2）最后，风险规避参数设置为γ=0.01。所有数值试验均在MATLAB R2015b中进行。备注5.1。注意，上述系数δ、θ和σ分别对应于[11]中的κ、u和σ，它们的数值与[11]中的数值相同。剩余的系数σFand a指的是远期合约F的动态，它不是[11]中模型的一部分，ρ是现货价格P和F（的对数）之间的相关性。我们计算此类期权的两种价格（风险中性价格和UIP），通过有限差分法和后向时间步进方案数值求解相应的PDE。为了一致性起见，现货价格对数的近似域与[11]中的相同，而Z的域显然是[0，\'uT]=[0，1]，因此产生了一个全局域D:=[0，T]×[xmin，xmax]×[0，1]，其中xmin=ln（21.6）和xmax=ln（73.9）。网格和边界条件与[11]中的相同，以及Vt和vz的数值近似值（在时间上是明确的）和vxx，而关于x的偏导数存在差异（见Benth，[11，方程（4.9）和（4.10）]）：用vni表示，j用n表示v（tn，xi，zj；q）的近似值∈ {0，…，N}，i∈ {0，…，I}和j∈ {0，…，J}我们有Vx（tn，xi，zj）~=vn+1i+1，j- vn+1i-1，j2x、 与x:=xmax-克米尼。我们在图1中绘制了时间t=0.5时swing合同的价格，这是通过两种方法获得的（类似的图片可以在任何其他日期提供）。为了强调这两种价格之间的差异，我们不绘制z的曲面∈ [0.25,0.5]（记住M=0.5）。正如我们所看到的，这两个价格面具有相似的形状，尽管当原木价格较高时，“经典”程序稍微高估了UIP选项的价格。

这两个价格之间的差异显然是由于潜在市场和远期市场之间的风险规避γ和相关性ρ造成的，买方可以在远期市场进行投资。我们通过在下面的表1和表2中说明这两个参数分别对UIP的影响来结束这一部分。关于表1中总结的UIP对γ的依赖性，我们选择x、z和t，以使变化的γ的UIP和γ=0.01的UIP之间的差异尽可能最大（在更大的离散化域上，xmin=ln（0.01）和xmax=ln（500）），结果x=6.1903，z=0.4178，t=0.5。类似地，表2显示了当x=6.0931、z=0、t=0.5和γ固定为0.01时，UIP如何随ρ变化。如我们所见，UIP在γ中减小，而在ρ中增大。这两种影响都是很自然的，因为买方更高的风险规避预期会导致更低的价格，而随着ρ与远期市场的相关性增加，预计价格会更高，因为这会扩大买方的获利机会，从而降低风险。γ和ρ的综合效应在总体上尚不清楚。γ0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10UIP 54.8927 52.9527 48.3202 43.5541 39.9692 37.7116表1：不同γ和x=6.1903，z=0.4178，t=0.5的UIP的不同值。ρ0.01 0.25 0.50 0.75 0.99UIP 283.6143 287.3581 300.0573 322.1527 350.3785表2：不同ρ和x=6.0931，z=0，t=0.5.100.25200.2300.15404.3500.14.24.140.053.93.83.703.6（对数）现货价格累积数量“经典”价格与摇摆合同的“经典”价格（上图）和UIP（下图1:“经典”价格（上图）。

价格计算为t=0.5.5.2一个更现实的例子我们现在重点计算更现实的摆动期权合同的UIP，q=1，K=exp（2.5），\'u=1，t=1，m=0.1，m=0.5。事实上，swing合同通常具有严格正的执行价格和非零的最小累计采购量。我们使用的惩罚函数是等式（2.2）中的一个，C=1000。我们继续在示例4.6中的线性动力学模型下工作，k=0.01，参数如（5.2）所示。我们在域D=[0，T]×[xmin，xmax]×[0，1]上使用向后时间步有限差分法求解v的偏微分方程，现在我们设置xmin=ln（0.01），xmax=ln（500）。注意这里的[xmin，xmax]比前面小节中的要宽，因此X属于这个区间的概率更高。这将导致更稳定的数值结果。vt、vz、Vx和vxxare的近似方案如第5.1小节所述，以及边界条件，x=xmin除外：如果x=xmin，则最佳操作行为仍然包括在行使前尽可能长时间等待（这是因为从长远来看，xmin比x的预期小得多，因此预计价格会上涨），但现在我们必须考虑约束m=0.1（回想一下[11]中的m=0]）。因此我们设定：我们=0，s∈t、 t-（m）-z） +\'ui\'u，s∈T-（m）-z） +u，T.通过选择u，可以显式计算近似价格（回想一下，在例4.6中的线性动力学模型中，现货价格为Pt=ext，`u=1）Et，xmin，zZTtus（eXs- K） ds+Φ（外部，ZuT）= Et，xmin，z“ZTT-（m）-z） +（eXs）- K） ds+Φ（eXT，ZuT）#如Benth等人[11，附录A]所述。在图2中，我们绘制了两个不同日期的swing期权价格。

注意，在2004年。5100.1204300.2400.33.50.43 0.5（对数）现货价格累计数量（a）t=0.5004.550.1104150.2200.33.50.43 0.5（对数）现货价格累计数量（b）t=0.75图2：最小年数量m=0.1、最大数量m=0.5的一份摇摆合同的价格。在图2（a）和（b）中，我们在z中切割域，以便关注正价格：for0。5=M<z<1惩罚函数起关键作用，价格变为负值。我们可以看到，UIP在z（如[11]中所示）中下降，在x中上升。此外，从图2（b）可以清楚地看出，对于z>0.25，价格正在严格下降。这可以解释如下：对于固定的对数点x值和t=0.75，如果z>0.25，则合同的价值低于z≤ 因为到期时间等于0.25，所以如果z>0.25，买方行使期权的机会就会减少，因此利用（可能的）更高价格的可能性就会减少。此外，作为一个例子，在图3中，我们显示了最佳行使策略^u在时间t=0.75时，作为（对数）现货价格x和累计数量z的函数。在灰色区域^u=\'\'u，而在白色区域^u=0。从图3可以明显看出，除非现货价格非常低，如果累计数量z<m=0.1，那么行使期权总是最佳的，以避免罚款。此外，当x>2.5时，现货价格等于履约价格K=exp（2.5），因此最优策略包括在z∈ [0, 0.25].

另一方面，如果现货价格高于履约价格，x>2.5，如果累计数量满足z>0.25，那么行使期权就不是最佳选择：在当前状态下，m<z<m，因此我们没有受到惩罚，我们使用的控制越多，在我们愿意行使之前，现货价格就必须越高。我们通过在图4中显示等式（3.21）中找到的候选最优套期保值策略^h，作为（对数）现货价格x和累计数量z的函数，在时间t=0.5时结束本节。我们注意到，当UIP在x中增加时，Vx在我们的域中是正的。图3：时间t=0.75时的最优控制^u。在灰色区域^u=\'u=1，在白色区域^u=0-43-31-2-10.803.50.610.440.24.50（对数）现货价格累计数量图4：候选最优套期保值策略^hat time t=0.5。（回想等式（3.21）），因此^his始终为负：为了对冲摇摆期权中的买方头寸，出售远期合约始终是“最佳”的。此外，对于固定z，随着（原木）现货价格的上涨，远期合约的销售数量也会增加。另一方面，对于固定的x，π作为z的函数增加，对于z∈ [0,0.5]（这意味着随着累计数量z朝着M=0.5的方向增加，卖出远期合约的需求会减少），而^h=0表示z≥ M=0.5，如预期。6结论在本文中，我们使用（指数）效用差异定价方法，从买方的角度考虑了能源市场结构性产品的定价和套期保值问题。现有文献的主要创新之处在于，买方有可能在远期市场进行交易，以对冲结构性合同带来的风险。我们用合适的非线性微分方程的连续粘性解来描述UIP。

因此，我们能够确定结构性产品的最佳执行策略以及部分对冲财务头寸的投资组合策略的候选人。此外，在一个具有两种资产和常数相关性的更具体环境中，我们证明了UIP等于风险中性概率下一个辅助的更简单优化问题的值函数，这可以解释为最小熵人工测度的扰动。最后，我们在swing选项的情况下提供了一些数值应用。特别是，我们通过有限差分方案求解相应的非线性偏微分方程，计算了线性动力学模型中单摆期权买家的UIP价格以及最优行使和套期保值策略。我们强调了与[11]中经典价格的差异，并讨论了一些定性性质。参考文献[1]R.Aid.电力衍生品。SpringerBriefs在定量金融领域。斯普林格，2015年。[2] R.Aid，L.Campi，N.Langren\'e，H.Pham。高维多开关优化问题的概率数值方法。《暹罗金融数学杂志》5（1）（2014），191-231。[3] M.Basei，A.Cesaroni，T.Vargiolu。能源市场中摆动合约的最优执行：一个积分约束随机最优控制问题。暹罗金融数学杂志5（1）（2014），581-608。[4] D.贝切勒。在持续绝对风险规避下对综合风险进行合理对冲和估值。保险：数学。还有经济。33 (2003), 1–28.[5] D.贝切勒。通过反应差异系统进行效用差异对冲和估值。过程。皇家学会A，460（2004），27-51。[6] D.贝切勒先生，施韦泽先生。与It^o和点过程相互作用的混合问题的反应扩散系统的经典解。《应用概率年鉴》15（2）（2005），1111-1144。[7] G。

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假设2.1）我们有| G（At，At）|≤ C经验-γy+ZTtπs，dFsFs,对于某些常数C>0。因此，为了证明目标函数的下半连续性，必须证明随机变量族经验-γZTtπs，dFsFs: T∈ [0，T]是一致可积的。我们证明了对于所有容许控制，它们在LF中是有界的，即supt∈[0，T]E经验-2γZTtπs，dFsFs< ∞,这意味着一致可积性。设Ft，t为t后布朗增量产生的最小过滤，且满足通常条件。考虑Ft，T:dQtdP:=exp上测量值的以下变化-2γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs- 2γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds, （A.1）由于σ的有界性，它满足[30]第220-221页中的标准，因此得到了很好的定义*FσF（参见假设3.2（iii））和可采性属性（2.5）。此外，衡量标准（A.1）的变化也令人满意∈[0，T]E[（dQt/dP）]<∞. 这是π的容许性的结果，如（2.5）所示。事实上，dQtdP≤ 经验-2γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs,“给那个”dQtdP#≤ E经验-4γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs≤ E经验-8γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs- 2δZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds1/2×Ehe2δRTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）| dsi1/2=Ehe2δRT |π*sσ*F（s，Xt，xs）|dsi1/2，δ等于2δ=（8γ）/2，因为上面第二个不等式中的第一个指数是一个随机鞅。此外，由于π是可容许的，我们有Ehe2δRT |π*sσ*F（s，Xt，xs）|dsi<∞. 作为序列，我们得到了dQt/dP是平方可积的。所以我们有经验-2γZTtπs，dFsFs= EQt经验-2γZTtπ*suF（s，Xt，xs）ds+2γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds≤ E“dQtdP#E经验-4γZTtπ*suF（s，Xt，xs）ds+4γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds.利用μf的线性增长条件和σ的有界性*FσF（参考假设3.2（ii）和（iii）），我们有-4γZTtπ*suF（s，Xt，xs）ds+4γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds≤ 经验ZTc |πs |+c |πs |+c |Xs|ds,对于一些正常数c，c，c。

最后，我们需要证明上述RHS对于P是可积分的。这是根据π的可容许性得出的，如（2.5）中所示，以及X的指数统一边界（2.12）。最后，即使我们的设置中可容许控制的空间小于[10]中的空间，值函数是相同的，因为它们的空间中的任何控件都可以在一个通过截断的过程中被允许的控件清楚地逼近。结果如下。B.对数值函数的正则性性质为了证明下一个引理，我们严格遵循Pham[38]中的方法，该方法也在[33]中用于一个稍有不同的模型，该模型具有跳跃随机波动性和指数效用。由于证据与[38]中的论点非常相似，我们只对它们进行了注释，指出了主要的差异。引理B.1。让q≥ 0.假设2.1和2.5成立。在假设3.2下，在（3.1）中定义的对数函数J（t，x，z；q）在（x，z）中具有均匀的二次增长。由于索赔在控制u（参见假设2.1）中一致地在（x，z）中有界，因此必须证明纯投资问题的对数函数J（t，x）在t中均匀地在x中有二次增长。首先，重复与[38]中定理3.1的证明完全相同的论点，我们得到，如果终端条件为J（T，x）=logγγγ的PDE（3.10）允许一个属于C1,2（[0，T）×Rm）的唯一解∩ C（[0，T]×Rm），其x-导数呈线性增长，则该解与J（T，x）重合。为了总结证明，我们需要证明，PDE（3.10）有一个唯一的光滑解，其x-导数具有线性增长。我们在[38，Th.4.1]的前提下，根据他的假设（H3a）调整我们的设置。

事实上，请注意，我们的假设3.2（i）以及假设2.5（ii）中假设的b的Lipschitz连续性对应于[38]中的（H3a）（i）。此外，假设3.2（ii）意味着（H3a）（ii），而假设3.2（iii）保证（H2）（b）（见[38]中的备注2.3]）。在q=0的情况下考虑PDE（3.17），其中F（w）被fk（w）替换：=infα∈Bkn-~F（α）- hα，wio，w∈ Rm，（B.1），其中Bk是半径为k的Rm中的中心球≥ 1.回想一下，~F是F的凸共轭，由~F（α）=-hα，B-1αi，α∈ Im（B），当它等于-∞ 否则按照[38，Th.4.1]的证明进行，我们可以应用定理6。在[24]中，给出了唯一解J0，k的存在性∈ C1,2（[0，T）×Rm）∩C（[0，T]×Rm）在x上多项式增长，对于抛物型PDEJ0，kt+2γh（σ*FσF）-1uF，uFi+γFk（J0，kx）+trΣ*∑J0，kxx= 0，（B.2）终端条件为J0，k（T，x）=对数γγ。请注意，在（B.1）中定义Fk（w）时出现的F的凸共轭F可以取这个值-∞, 这在这里不是问题，因为该值不影响α的最小值。下一步包括，如[38]中所述，使用解J0的随机控制表示，kto导出导数的一致界，与近似无关。事实上，从标准的验证参数中，我们可以得到j0，k（t，x）=infα∈BkEQZTt∧（s，Xs，αs）ds | Xt=x,式中∧（s，x，α）=2γh（σ*FσF）-1uF，uFi（s，x）- γ~F（α），其中bk是以k为界的Rm值适应过程α的集合，Q下X的受控动力由dxs=（\'b（s，Xs）给出- γαs）ds+∑*（s，Xs）dWQs，其中wqi是Q和‘b下的d维布朗运动，已在（3.7）中定义。注意，因为∧取这个值-∞ 在B的映像之外，则沿最优路径^α（s，^Xs）评估的最优马尔可夫控制将位于Im（B）a.s.上∈ [t，t]。

我们可以使用[25]中的引理11.4和[38，引理4.1]中相同的估计来获得| J0，kx（t，x）|≤ C（1+| x |），n，（t，x）∈ [0，T]×Rm，对于一些不依赖于k的正常数C。现在我们在[38，Th.4.1]的证明中，在（H3a）的情况下，推导出|αk（T，x）|≤ C代表所有t∈ [0，T]和| x |≤ 对于某个正常数C（独立于k）和任意大的M>0。因此，我们得到了，对于k≤ C、 Fk（J0，kx）=F（J0，kx）表示所有（t，x）∈ [0，T]×BM。让M倾向于+∞, 我们最终得出J0，kis是一个光滑的解，在偏微分方程（3.17）（Q=0）的导数上线性增长。综上所述，我们得到了J=J0，k足够大，特别是，给出了x在t中均匀的二次增长。因此证明是完整的。