中国结构性合约的效用无差异定价与套期保值

2022-5-6 12:31:29

能源市场结构性合同的效用差异定价和套期保值*Giorgia Callegaro+Luciano CampiValeria Giusto§Tiziano Vargiolu+2016年2月20日摘要本文在一个由众多随机因素驱动的一般不完全多元市场模型中，使用指数效用差异定价方法，研究了能源市场中结构性产品的定价和对冲，如摆动和虚拟天然气存储。此类合同的买方被允许在远期市场进行交易，以对冲其头寸的风险。我们根据合适的非线性偏微分方程的连续粘度解，充分描述了给定产品的买方效用差异价格。这提供了一种方法，为结构化产品的最佳行使策略以及相应的套期保值策略确定合理的候选者。此外，在一个包含两个相关资产（一个交易资产和一个未交易资产）的模型中，我们得到了一个价格表示，作为风险中性概率下辅助的简单优化问题的值函数，可以将其视为最小熵鞅测度的扰动。最后给出了数值结果。关键词：摇摆契约，虚拟存储契约，效用差异定价，HJB方程，粘性解，最小熵鞅测度。1简介在过去的五年里，自欧洲和美国开始能源市场放松管制和私有化以来，能源市场的研究从实践和理论角度都成为一个具有挑战性的课题。尤其重要的是能源合同的定价和对冲问题。

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2022-5-6 12:31:33

由于模型的特殊性，而且由于这些合同通常具有非常复杂的结构、合并可选性特征，买方可以多次行使这些特征，因此这一点远非微不足道。能源市场中用于初级供应的两个主要产品是摇摆合同和远期合同。虽然远期合约的结构相当简单，但摇摆合约是*这项工作得到了帕多瓦大学CPDA138873-2013“具有空间结构的随机模型和数学金融新挑战的应用，重点关注2008年后的金融危机环境和能源市场”基金的部分支持。这项工作的一部分是在第四作者于2013年11月访问伦敦政治学院时完成的，第二作者于2014年6月和2015年7月访问帕多瓦大学的科学家时完成的：感谢这两个机构的财务贡献。此外，作者希望感谢Ren\'e Aid、Enrico Edoli、Paola Mannucci和2014年巴黎ISEFI会议的与会者提出的宝贵意见。+帕多瓦大学数学系，经的里雅斯特6335121帕多瓦，意大利通讯作者。地址：英国伦敦大学霍厄特街10号，伦敦经济学院。电邮：L。Campi@lse.ac.uk§Phinergy S.r.l.S.，途经意大利帕多瓦的德拉·克罗斯·罗萨11235129号。更重要的是，它们给了买方一定程度的自由，可以在每个子周期内购买能源的数量，通常是每日或每月规模，在合同期内受到累积约束。

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mingdashike22

2022-5-6 12:31:36

这种灵活性深受合同买家的欢迎，因为能源市场受到许多意外事件的影响，例如与突然的天气变化、发电厂故障、金融动荡等相关的消费峰值。许多其他类型的合同都是在能源市场上交易的，它们通常是通过谈判达成的，其中一些合同，例如虚拟存储合同，也包括与swing合同类似的期权成分。这些产品的定价在离散时间模型中有一个统一的传统（参见[20]或[27]以及其中的参考文献），它主要基于动态规划。这两篇论文[36]和[37]提出了一种基于最优量化理论的不同方法。在连续时间模型中，第一种方法基于最佳切换技术（如[13]）或多次停止（如[14]）。在所有这些条款中，结构化产品的可选性特征可以在一组离散的停止时间内执行，买方可以选择这些时间。一种不同的方法是将合同支付与其连续时间对应物近似。[11]和[16,22,45]分别针对swingcontracts和虚拟存储合同提出了这一想法（并在[3]中进一步加以利用）。结构化合同的其他例子也可以用同样的方法处理，参见Benth和Eriksson[8]中的灵活装载合同和收费协议。这种方法的主要优点是，它使定价问题更容易处理，因为它允许在基于PDE方法的连续时间内使用随机控制理论。在这些论文中，与美式期权类似，结构性合同的价格被定义为买方所有可用策略的预期收益的最高值，即在给定的风险中性度量下进行预期。

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2022-5-6 12:31:39

当结构性合同的基础模型是马尔可夫模型时，正如在实践中使用的大多数模型中所出现的那样，定价问题归结为求解相应的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。请注意，风险中性指标的选择并不明显，因为能源市场模型通常是不完整的，因为存在承担非交易风险的资产。此外，除了[46]专注于天然气储存合同并使用增量套期保值方法外，这些文件并未考虑这些结构性产品多头仓位带来的风险增加问题。在能源市场上，对冲此类合同可能是一项相当棘手的任务，因为合同的标的物通常不可交易，因此买方必须交易与标的物具有良好相关性的其他资产。对于现有文献的广泛回顾，以及交易量最大的合同的描述，以及主要文章之间的详细比较，我们参考最近的一本书[1]。我们对文献的贡献在于建立在[3,11]中不断逼近收益的思想上，以便提供一个总体框架，在这个框架中，结构化合同的定价和套期保值问题都可以以一致的方式解决。本文的主要创新之处在于，允许给定结构化合同的买方（至少部分地）通过交易远期合同来对冲其头寸，远期合同写在结构化合同本身的基础上，或写在与基础相关的某些资产上。我们将远期市场建模为一个一般的不完全多元市场模型，其中包含大量远期合约（到期日不同），随着时间的推移，其系数取决于一定数量的马尔可夫动态外生随机因素。

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2022-5-6 12:31:42

结构化合同的基础定义为这些因素的函数。这种设置包括许多以前在文献中提出和研究过的模型，例如[2,12,15,44]和一些。由于市场不完全，我们采用效用差异价格（UIP）方法，这是不完全市场中最具吸引力的定价方式之一，因为它自然将买方偏好纳入合同价格中。我们假设买方的报价可以被编码成一个风险规避参数γ>0的指数效用函数。UIP方法已广泛用于在各种金融市场模型中为欧洲和美国期权定价。我们参考[29]了解关于这种方法的卓越观察。这种方法已经在菲奥伦扎尼[23]中用于能源衍生品，但据我们所知，从未用于结构化产品的评估。我们用这种方法来计算一个相当普遍的结构化导数。其buyingUIP将被描述为试剂的两个对数值函数（有和没有合同）之间的差异，可以作为可测量HJB方程的唯一粘度解获得。在完整市场模型的情况下，我们的结果与[3,11,16,22,45]中的结果一致。此外，HJB方程的形状为结构性产品的最优退出策略以及相关对冲策略提供了合理的候选方案。最后，我们在两个具体例子中进一步推广了我们的一般结果。其中一个是一组模型，其中有两种风险资产，一种是交易资产，一种是非交易资产，并且具有恒定的相关性。这包括具有非交易资产和基差风险的模型，许多作者已经对其进行了研究（例如，仅引用文献[18,28,34]）。

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2022-5-6 12:31:45

对于这些模型，我们得到了在风险中性概率下，价格作为一个辅助的简单优化问题的值函数的表示，它可以被视为最小熵鞅测度的扰动。这种扰动是由于交易资产的漂移和波动性依赖于非交易资产，并且依赖于没有合约的价值函数。对于不完整的市场文献来说，这种衡量标准的变化似乎是新的。第二个例子基于[15]中针对能源市场开发的双因素模型的一个轻微推广，其中的因素可以相互关联。论文的结构如下。在第2节中，我们通过介绍结构化合同的一般支付、市场模型和（指数）效用差异价格来阐述定价问题。在第3节中，我们用合适的HJB方程的粘性解来描述UIP。在第4节中，我们考虑了上述两个例子，而第5节给出了我们结果的一些数值应用。最后，第6节得出结论。符号在下文中，除非明确说明，否则向量将是列向量，符号“*”将表示转置，方矩阵a的轨迹将由tr（a）表示。此外，ha，bi:=a*b代表欧几里德标量积。我们选择作为矩阵范数| A |=ptr（AA）*). 在所有n阶对称平方矩阵的集合sno上，我们定义了A阶≤ B当且仅当B- A.∈ S+n，非负有限矩阵inSn的子空间。我们将在n.2维的单位矩阵中表示问题的形式，T>0是有限时间范围。下面介绍的所有过程将在标准概率空间中定义(Ohm, F、 P）在哪里Ohm := C（[0，T]；Rd）是从[0，T]到Rd的所有连续函数的空间。

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2022-5-6 12:31:48

对于ω∈ Ohm, 我们设置Wt（ω）=ω（t）和定义（Ft）t∈[0，T]作为最小的右侧连续过滤，因此W是可选的。此外，F:=FT。我们让P bethe Wiener测量(Ohm, （英国《金融时报》）。我们可以在不丧失普遍性的情况下假设这样的过滤是完整的。2.1结构化产品在本节中，我们简要介绍了在能源市场上交易的主要结构化产品。典型的支付由一系列随机变量SCUT给出：=ZTL（Ps，Zus，us）ds+Φ（PT，ZuT），（2.1）由一个控制u索引，它通常代表购买商品的边际数量，它属于一组合适的可接受控制u，我们将在后面指定。特别是，对于给定的reshold\'u>0，可容许控件在某个有界区间[0，\'u]内取值。上述等式（2.1）中的变量P表示商品（如天然气）的现货价格，Zut:=z+RTUSD，适用于所有t∈ [0，T]，对于某些初始值z≥ 0.出于技术原因，我们需要对结构化产品进行以下假设，这将在我们的结果证明中变得清晰。假设2.1。函数L:R×[0，\'uT]×[0，\'u]→ R和Φ：R×[0，\'uT]→ （2.1）中的R是连续且有界的。能源市场中最常见的结构化产品是swing和virtual storagecontracts。更多细节见下文。另请参见随后的备注2.4，说明如何安全地修改这些合同，以满足假设2.1。例2.2（摇摆合同）。对于摇摆合同，一个有（例如，参见[3,11]）L（p，z，u）=u（p- K），其中K是购买价格或履约价格，u是任何可接受的控制。这些产品通常包括一些附加功能，如u或累积控制的跨时间约束，或支付中出现的一些惩罚函数。

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2022-5-6 12:31:52

更准确地说，对u和ZuT的约束通常是ZuT的形式∈ [m，m]，带0≤ m<m，在Zuti上可能有更多的中间约束，ti<T，i=1，k、在没有此类额外约束的情况下，通常会出现罚金，罚金可以表示为终端现货价格pT和累计消费ZuT的函数Φ。Φ的典型形式是Φ（p，z）=-C（m）- z） ++（z）-M）+（2.2）对于常数C>0和0≤ m<m（见[3,11]及其参考文献）。我们将重点讨论后一种情况，即一个非零惩罚函数Φ（PT，ZuT），在允许的控制上没有任何其他限制。示例2.3（虚拟存储合同）。这些产品复制了实际的天然气储存位置，同时作为纯交易合同处理。在这种情况下，一个hasL（p，z，u）=p（u- a（z，u）），Φ（p，z）=-C（M）- z），C，M>0合适的常数，a（z，u）：=\'a1u<0，其中控制u为UT∈ [uin（Zut），uout（Zut）]，t∈ [0，T]，其中uin，u是流体物理给出的合适的确定性函数：它们的典型形状是uin（z）：=-Krz+Zb+K，uout（z）：=K√Zb，Ki>0，i=1,2,3，给定常数[16,22,45]。备注2.4。假设2.1中L的有界性在两个示例2中未得到验证。2和2.3，其中L在p中是线性的，原则上可以取任何实数。在实践中，我们可以通过引入L（p，z，u）：=max来对L进行艺术约束(-κ、 min（L（p，z，u），κ），所以|L（p，z，u）|≤ κ表示所有（p，z，u），适用于适当选择且足够大的阈值κ>0，以使瞬时概率不应大于绝对值κ。

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2022-5-6 12:31:55

同样的截断参数也可以应用于惩罚函数Φ（p，z）。或者，我们可以截断支付L和Φ中出现的无界变量p。2.2市场模型作为结构性产品基础的商品现货价格p被建模为Pt:=p（t，Xt），其中p:[0，t]×Rm→ R是一个可测量的函数，X代表驱动市场的因素。我们假设过程X具有马尔可夫动力学Xt=b（t，Xt）dt+dt∑*（t，Xt）dWt，X=X∈ Rm，（2.3）带漂移b:[0，T]×Rm→ Rmand波动率矩阵∑：[0，T]×Rm→ 我们还假设n≤ d商品P的远期合约在市场上交易，到期日为T<…<Tn，带T≥ T让Fito表示到期日为Ti，i=1，n、我们假设F:=（F，…，Fn）的动力学由dft=diag（Ft）（uF（t，Xt）dt+σ给出*F（t，Xt）dWt，F=F∈ Rn，（2.4）对于某些函数uF:[0，T]×Rm→ RnandσF:[0，T]×Rm→ Rd×n.关于X和F系数的假设如下。在整篇论文中，我们总是假设利率为零。请注意，远期合约不一定写在spotprice为P的商品上，因为它们也可以写在一些相关商品上。例如，P可以是汽油的现货价格，而F写在石油上，如[12,23]所示。这也可能是由于流动性不足或与商品相关的远期合约不存在：有关这一现象的详细讨论，请参见[12，第2.3节]。我们将始终在以下关于模型系数的长期假设下工作：假设2.5。

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2022-5-6 12:31:58

（i）函数p:[0，T]×Rm→ R是连续的。（ii）系数b:[0，T]×Rm→ Rmand∑[0，T]×Rm→ Rd×mof因子过程x是连续函数，x中的Lipschitz在t中是一致的，在t中是线性增长的。（iii）漂移uF:[0，t]×Rm→ r和波动率σF：[0，T]×Rm→ Rd×nare连续函数，x中的Lipschitz在t中一致，x中的线性增长在t中一致。在这样的假设下，众所周知，SDE（2.3）和（2.4）承认一个唯一的强解（X，F），使得X=X和F=F（例如，参见[43，第五章]中的定理13.1）。2.3可接受策略和效用差异价格我们考虑一个代理人，其偏好由指数效用函数U（X）建模=-γe-γx，x∈ R、风险规避参数γ>0。我们假设他在q中有一个很长的位置≥ 给定结构性产品的0个单位，支付效果=（切割）u∈Uwith CuTas in（2.1）。此外，为了规避此类合同的风险，他在前一节所述的远期合同金融市场进行交易。在任何时候∈ [0，T]，代理人在i=1的远期合约中投资财富πIs，n、因此，代理人投资组合的演变是πs，dFsFs=nXi=1πisdFisFis=hπs，uF（s，Xs）ds+σ*F（s，Xs）dWsi，我们记得h·，·i表示RN中的欧几里德标量积，我们使用符号DFSF：=dFisFisi=1，。。。，n=uF（s，Xs）ds+σ*F（s，Xs）dWs，s∈ [0，T]。此时，我们需要指定一组可接受的策略。定义2.6。设u>0为给定阈值。容许控制集A是所有耦合（u，π）的集合，其中u是任何适应的过程，使得ut∈ [0，\'u]表示所有t∈ [0，T]，π是任何渐进可测的Rn值过程，因此∈[0，T]E经验ε|πt|< ∞, （2.5）对于某些ε>0。我们将用U表示所有可容许控制的集合。

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2022-5-6 12:32:01

此外，At（resp.Ut）将是从t开始的容许控制（u，π）（resp.容许控制u）集合。现在，我们准备介绍结构化产品CT的q单位的效用差异（购买）价格。我们将使用符号Cut，t表示从时间t开始的结构化合同Cut的支付，即Cut，t=ZTtL（Ps，Zus，us）ds+Φ（PT，ZuT），t∈ [0，T]。此外，我们将CuT=Cu0，T定义设为2.7。位置q在时间t的效用差异（购买）价格≥ 从初始投资组合价值yt开始，结构化产品中的0被定义为唯一可测量的随机变量vtsolution（无论何时存在）到V（yt- vt，q）=V（yt，0），（2.6），其中V（yt，q）：=sup（u，π）∈阿泰特-γexp-γyt+ZTtπs，dFsFs+ qCut，T, （2.7）和Et代表给定Ft的条件期望。显然，V（y，q）给出了终端财富的最大预期效用，计算时间为0，具有指数效用的代理可以从初始财富开始，通过位置q获得≥ 结构化产品中的0。因此，上述（购买）UIP代表买方愿意为结构化合同的q单元支付的最高价格。通过如下适当地重新定义状态变量集，最大化问题（2.7）可以很容易地转化为标准的马尔可夫控制问题。让我们∈ [0，T]。

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2022-5-6 12:32:05

首先，使用等式（2.1），我们可以将终端财富改写为以下YT+ZTtπs，dFsFs+ qCut，T=yt+ZTtπs，dFsFs+ qZTtL（Ps，Zus，us）ds+qΦ（PT，ZuT）。利用Pt=p（t，Xt）是因子过程X的函数这一事实，我们得到（2.7）中的值函数v（t，X，y，z；q）：=sup（u，π）∈AtEt，x，y，zGXT，Yu，πT，ZuT, （2.8）其中奖励函数G由G（x，y，z）给出：-γe-γ（y+qΦ（p（T，x），z）），（2.9）和状态变量（x，Yu，π，Zu）随时间演化dXs=b（s，Xs）ds+*（s，Xs）dWs，dYu，πs=（hπs，uF（s，Xs）i+qL（p（s，Xs），Zus，us））ds+hπs，σ*F（s，Xs）dWsi，dZus=usds，（2.10），初始条件（Xt，Yu，πt，Zut）=（x，y，z）。请注意，假设2.5中设置的线性增长特性与假设2.1中L的有界性结合，给出了受控状态过程（X，Yu，π，Zu）的以下估计：Et，X，y，z“supt≤τ≤T |（Xτ，Yu，πτ，Zuτ）|p#≤ Cu，π（1+|（x，y，z）| p），t∈ [0，T），p≥ 1，（2.11）对于某些常数Cu，π>0，这可能取决于控制（π，u），在t中是一致的。备注2.8。通过应用Gronwall引理，观察到b和∑（参见假设2.5（ii））上的线性增长条件意味着∈[0，T]Eheη| Xt | i<∞, （2.12）对于某些η>0。在这个公式中，q的UIP≥ 结构产品的0个单位是唯一的解决方案vt=v（t，x，y，z；q）（无论何时存在）到v（t，x，y）- vt，z；q） =V（t，x，y，z；0）。备注2.9。原则上，示例2.3中描述的与虚拟存储合同相关的控制不满足定义2.6，其中控制属于[0，\'u]，且具有\'u常数。然而，通过简单地重新参数化控件，这个例子可以简化为我们的设置。

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2022-5-6 12:32:10

事实上，我们可以定义一个新的控制c，其值为[-1，1]这样，对于给定的适当函数f（c，z），旧控制u满足f（ct，Zt）：=（cKqz+Zb+K，0≤ C≤ 1，cK√Z-1.≤ C≤ 0，Z=f（ct，Zt）dt，Z=Z。备注2.10。在这里，我们简要地讨论了两篇论文[31]和[40]，它们（严格地说）不符合结构化产品的文献，但在某种程度上是相关的。事实上，他们都使用UIP方法和投资组件来应对实物/工业资产的定价。然而，尽管[31,40]中的优化问题在数学上与本文所考虑的问题相似，但影响资产的控制是在切换控制，控制的状态有很多。因此，他们基于最佳切换和BSDE的方法不同于我们的方法。最后，我们的模型比他们的模型更具体，因为它是为能源结构性合同的定价和对冲量身定制的。3粘度解的UIP特征在本节中，我们在下面给出的一些进一步的技术假设下，对适当柯西问题的粘度解的UIPin项进行了特征化。更准确地说，我们证明了初始财富为零的问题（2.8）的对数函数定义为asJ（t，x，z；q）：=-γ测井(-V（t，x，0，z；q）），q≥ 0，（3.1）可以刻画为可测Cauchy问题的唯一二次增长连续粘性解。

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2022-5-6 12:32:14

UIP作为两个对数值函数之间的差异，对应于有无结构化产品的问题。这是通过使用Pham[38]中开发的一些技术，以及Da Lio和Ley[17]中建立的一类二阶Bellman-Isaacs方程的最新结果来实现的。3.1关于值函数Pd的启发式在本节中，我们以启发式的方式推导出UIP定义中出现的值函数预期满足的PDE。在存在指数效用函数的情况下，这是一个经典性质（例如，见文献[4,5,6,29，，]）我们可以计算出初始财富y，所以v（t，x，y，z；q）=e-γyV（t，x，0，z；q），y∈ R.因此，通过定义UIP，我们推断-γ（y）-v） v（t，x，0，z；q）=v（t，x，y-v、 z；q） =V（t，x，y，z；0）=e-γyV（t，x，0，z；0），因此UIP v由v=-γlogV（t，x，0，z；q）V（t，x，0，z；0）=J（t，x，z；q）- J（t，x，z；0），（3.2），其中J表示（3.1）中定义的对数值函数。根据马尔可夫状态变量随机最优控制的一般理论，很明显，值函数V应满足以下HJB方程vt（t，x，y，z；q）+sup（u，π）∈[0，\'u]×RnLu，πV（t，x，y，z；q）=0，（3.3），终端条件V（t，x，y，z；q）=G（x，y，z），其中lu，πV=（hπ，uFi+qL）Vy+hb，Vxi+uVz+|π*σ*F | Vyy+tr∑∑*Vxx）+π*σ*F∑*vxy是状态变量（X，Y，Z）的生成器。回顾V（t，x，y，z；q）=-E-γy-γJ（t，x，z；q），我们可以很容易地从（3.3）推导出对数函数J的以下偏微分方程：=J（t，x，y，z；q）：Jt+sup（u，π）∈[0，\'u]×Rnhπ，uFi+qL+hb，Jxi+uJz-γ|π*σ*F|-γ∑Jx |+tr∑*∑Jxx）- γπ*σ*F∑Jx= 0.（3.4）其中的哈密顿量通过控制^π最大化，由^πq=（σ）给出*FσF）-1.uFγ- σ*F∑Jx.

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2022-5-6 12:32:17

（3.5）将^πqin代入方程（3.4）中，得到jt+2γh（σ）*FσF）-1uF、uFi+HB、Jxi+supu∈[0，\'u]huJz+qLi-γJ*xBJx+tr（σ）*∑Jxx）=0，（3.6），其中`b:=b- Σ*σF（σ*FσF）-1uF（3.7）和B是由B:=给出的m×m对称矩阵*Σ - (σ*F∑）*(σ*FσF）-1(σ*F∑）=∑*（Id）- σF（σ*FσF）-1σ*F） ∑。（3.8）V的终端条件转化为j（T，x，z；q）=对数γγ+qΦ（p（T，x，z），（x，z）∈ Rm×[0，\'uT]。（3.9）备注3.1。为了计算方程（2.6）中的UIP，我们首先计算J（t，x，z；0），这使方程（3.6）满足终端条件J（t，x，z；0）=对数γγγ。这是一个经典且直观的结果，在这种情况下，J（t，x，z；0）不依赖于z。为了简单起见，用J（t，x）表示J（t，x，z；0），我们有一个完整的fillsjt+2γh（σ）*FσF）-1uF，uFi+HB，Jxi-γJ0，*xBJx+trΣ*∑Jxx= 因此，从方程（3.6）中减去方程（3.10），并使用以下事实：-γJ*xBJx+γJ0，*xBJx=-γv*xBvx- γJ0，*xBvX我们为UIP v获得以下PDE:vt+h\'b、vxi+supu∈[0，\'u]huvz+qLi+tr（∑）*∑vxx）-γv*xBvx- γJ0，*xBvx=0，（3.11），终端条件v（T，x，z；q）=qΦ（p（T，x），z）。（3.12）请注意，求解上述UIP v（t，x，z；q）的HJB方程需要了解j，这是无索赔的最优投资问题的对数值函数。这种现象是由于不可交易因素X在正向合约F的动力学中的存在，在[5]中的一个稍有不同的模型中观察到了这种现象，其中不可交易因素遵循纯跳跃动力学。3.2存在性和唯一性结果在本节中，我们证明了对数函数J是唯一的连续粘性解，具有等式（3.6）的二次增长和终端条件（3.9）。从这里，可以通过等式（3.2）轻松找到UIPv。

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2022-5-6 12:32:21

我们将在以下假设下工作。回想一下，矩阵B已在（3.8）中定义。假设3.2。下列性质成立：（i）b是C，b和h∑*σF（σ*FσF）-1，uFi在t.（ii）uFis有界和h（σ）中均匀地分布在x中*FσF）-1uF，uFi在t.（iii）σ中均匀地表示x中的C和Lipschitz*FσFis有界且一致椭圆，即对于某些 > 0,(σ*FσF）（t，x）≥ In，for all（t，x）∈ [0，T]×Rm。（3.13）（iv）矩阵B是正半无限的，存在一个常数δ>0（在t，x中均匀），因此δ|ξ|≤ hξ，Bξi≤ δ|ξ|（3.14）对于所有向量ξ∈ Im（B），B的图像。对这些假设的一些评论是有序的。为了应用[17]中建立的方法和结果，除了C-正则性和uF的有界性（线性增长实际上是有效的）外，必须施加上述所有假设。特别是，B上的条件（iv）与[17]中假设A1中的矫顽力假设有关，这在证明它们的比较定理中起着至关重要的作用。此类财产必须根据具体情况进行验证。第4节提供了一些验证该假设的例子。[38]中的附加C-正则性假设以及uFallow us的有界性，得到了无索赔投资问题的对数值函数的二次增长条件。此外，由于结构化合同的假设2.1，后一个属性将由带有索赔的对数值函数J继承。我们现在准备陈述论文的主要结果。定理3.3。假设2.1和2.5成立。

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2022-5-6 12:32:24

在假设3.2下，（3.1）中定义的对数值函数J是唯一的连续粘度解，具有终端条件（3.9）下Cauchy问题（3.6）的二次增长。在证明该定理之前，我们给出了一个初步结果，表明该值函数在其域的内部是一个哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程（可能不连续）粘性解。其证明被推迟到附录中。提议3.4。假设2.1和2.5成立。在假设3.2下，（2.8）中的值函数V是HJB方程vt（t，x，y，z；q）+sup（u，π）的一个（可能是不连续的）粘度解∈[0，\'u]×RnLu，πV（t，x，y，z；q）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×Rm×R×R（3.15），终端条件V（T，x，y，z；q）=G（x，y，z），其中lu，πV=（hπ，uFi+qL）Vy+hb，Vxi+uVz+|π*σ*F | Vyy+tr∑∑*Vxx）+π*σ*F∑*Vxy。现在我们可以证明定理3.3了。定理3.3的证明。我们首先考虑存在。这是上述命题3.4的一个简单推论，它给出了值函数V是方程（3.15）的粘度解。然后，可以使用粘度溶液的定义来检查（3.1）中定义的对数值函数JD是否是PDE（3.6）的粘度溶液（可能是不连续的）。为了完成证明，还需要证明，对于柯西问题（3.6）和（3.9），J在所有具有二次增长的连续粘性解类中是唯一的。唯一性的主要思想是使用[17，Th.2.1]中的比较定理。为了方便读者，我们把其余的证据分为两个步骤。（i）还原为Da Lio和Ley[17]设置。首先，我们使用芬切尔-勒让德变换将定价PDE（3.6）中的二次项表示为Bof图像上的一个适当函数。更准确地说，我们在凸分析中应用了一个经典结果（例如[42，第三章，第。

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2022-5-6 12:32:29

12] ）到getF（w）：=-hw，Bwi=infα∈Im（B）{-~F（α）- hα，wi}=infα∈Rm{-~F（α）- hα，wi}，（3.16）对于所有向量w∈ Rm，式中F是F的共轭，也可由F（α）=-hα，B-1αi，当α∈ Im（B）和-∞ 否则请注意，由于矩阵B在我们的框架中不一定是可逆的，因此第一个in fim in（3.16）是在B的图像上计算的。利用（3.16），我们可以重写方程（3.6）asJt+2γh（σ*FσF）-1uF、uFi+HB、Jxi+supu∈[0，\'u]huJz+qLi+γF（Jx）+tr（σ）*∑Jxx）=0，（3.17），b如（3.7）所示，终端条件J（T，x，z；q）=logγγ+qΦ（p（T，x，z）。为了将这个偏微分方程简化为[17，等式（1.1）]，我们采用时间反转变换bj（t，x，z；q）：=J（t- t、 x，z；q），将PDE（3.17）转换为以下内容-bJt+2γh（σ）*FσF）-1uF、uFi+HB、bJxi+supu∈[0，\'u]hubJz+qLi+γF（bJx）+trΣ*∑bJxx= 初始条件为bj（0，x，z；q）=对数γγ+qΦ（p（T，x），z）。（3.19）请注意，这个柯西问题是[17]中研究的一个特殊情况，因为我们的假设2.1、2.5和3.2暗示了[17]中的假设（A1）、（A2）、（A3）。特别是假设。2（iv）表示B具有相同的属性-1，在【17】中给出（A1）（iii）。实际上，在B的图像上，B1/2A是它的逆B-1/2定义良好。自从B-1/2:Im（B）→ Im（B），我们有，例如，（3.14）中的LHS意味着δ-1 | B-1/2年|≤ 血红蛋白-1/2岁，BB-1/2易如反掌∈ Im（B），领导hy，B-1yi≤ δ| y |对于所有y∈ Im（B）。另一个不等式也是以类似的方式得到的。（二）独特性。我们自相矛盾地前进。假设在终端条件（3.19）下，柯西问题（3.18）存在另一个二次增长的连续粘性解。然后，打电话给J*和J*他们的u.s.c.信封和J*和J*根据粘度溶液的定义，他们的l.s.c.封套*,~J*是u.s.c.粘度亚溶液和J*,~J*你是l.s.c。

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2022-5-6 12:32:32

方程（3.18）的粘度上解，显然是J*≤~J*. 我们也有*（T，x，z；q）≤对数γ+qΦ（p（T，x），z）≤ J*（T，x，z；q），通过定义上下信封。我们现在想证明这一点*（T，x，z；q）≤对数γ+qΦ（p（T，x），z）≤ J*（T，x，z；q），（3.20）表示所有的q≥ 0，x∈ Rm，z∈ [0，\'uT]。为了证明不等式（3.20），必须应用定理4。[39]中的3.2和后续备注4.3.5。此外，还证明了J（t，x，z；q）在（x，z）中有二次增长，在t中一致，对于所有q≥ 0（参考附录中的引理B.1）。然后，通过比较定理[17，定理2.1]，我们得到了j*≤ J*≤~J*≤~J*≤ J*在[0，T]×Rm×R上，这意味着J*= J*= J=~J，并且J是连续的。因此，证明是完整的。作为定理3.3中结果的一个结果，我们有一个很好的最优套期保值策略的候选者，由^hq:=^πq给出- ^π= -(σ*FσF）-1σ*F∑vx，（3.21），其中vx是关于UIP的因子变量的梯度（如果存在）。事实上，给出了组合中有或没有结构化产品的候选最优策略，即在我们的例子中，[39]中定理4.3.2中出现的函数G可以选择为任意正数。通过方程（3.5），其中J=J（t，x，z；q），在这两种情况下q>0或q=0。因此，最优套期保值策略^hqis由^πq给出- π=π（t，x，z；q）- π（t，x，z；0）=-(σ*FσF）-1σ*F∑（Jx（t，x，z；q）- Jx（t，x，z；0））=-((σ*FσF）-1σ*F∑vx）（t，x，z；q），与[4，5]类似。关于结构化合同的最优执行策略^u，通过求解最大化问题maxu给出了反馈形式的条件∈[0，\'u][uvz（t，x，z；q）+qL（p，z，u）]。对于一个显式公式，考虑L（p，z，u）=u`（p，z）和`有界的情况。

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2022-5-6 12:32:35

在这种情况下，很容易看出^u（t，x，z；q）=u1[vz（t，x，z；q）>q`（p，z）]。尽管使用粘度解决方案无法严格证明此类控制的最佳性，但我们观察到，它们与过去文献中针对更具体模型得出的最佳策略一致（参见[3,11]）。备注3.5。注意，我们研究的是对数值函数的PDE（3.6），而不是价格v的PDE（参见等式（3.11））。这样做的原因是，后者更容易处理，因为它包含对数值函数的第一个导数JxO，没有声明。将Da Lio和Ley的结果直接应用于方程（3.11）将需要t中Jxuniformly的aLipschitz连续性，这在一般情况下很难实现。尽管如此，当满足Cartea Villaplana（见第4.2小节）和例4.6中的线性动力学模型中的条件时，使用的假设比定理3.3中的假设少。事实上，支付L和Φ的有界性意味着UIP v是有界的，因此它具有二次增长。因此，不再需要引理B.1，也不再需要假设3.2中的所有C-正则性和uFas的有界性。在剩下的假设下，当Φfh在t中均匀地在x中线性增长（代替其有界性）时，我们可以证明v是唯一的连续粘性解，具有等式（3.11）的二次增长和终端条件（3.12）。该证明类似于第3.3条，因此省略。备注3.6（完整的市场案例）。当市场完全时，即d=n和σFhas fullrank，我们有B=0，因此假设3.2（iv）基本满足，并且jxd不再出现在v的PDE中。在这种情况下，我们可以沿着前面的备注3.5中所述的同一条线直接使用v的PDE。

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2022-5-6 12:32:38

因此，在假设2.1、2.5和3.2（i）-（ii）-（iii）下，可以证明v是唯一的连续粘性解，具有HJB方程vt+hb的二次增长- Σ*(σ*F）-1uF，vxi+tr（∑）*∑vxx）+supu∈[0，\'u]huvz+qLi=0，（3.22），终端条件v（T，x，z；q）=qΦ（p（T，x，z）。（3.23）此外，我们可以削弱μF的有界性，只需要在x uniformlyin t中线性增长。这一结果扩展到我们在[3,11,16,22,45]中的设置，这些设置是针对特定类型的结构化合约获得的，例如，波动和虚拟存储，并且没有远期合约交易。4例。1一类具有两种资产且具有恒定相关性的模型在本节中，我们重点关注以下不完全市场模型：dFtFt=uF（t，Xt）dt+’σF（t，Xt）dWt，dXt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）ρdWt+p1- ρdWt,（4.1）其中W=（W，W）是二维布朗运动，ρ∈ (-1, 1). 这显然是前一节中带有σ的一般模型的一个特例*F（t，x）=（\'）σF（t，x），0，∑*（t，x）=σ（t，x）（ρ，p1）- ρ）对于某些连续函数p（t，x），Pt=p（t，Xt）。该模型是具有基差风险的Black-Scholes模型（参见[18,28,34]等）的推广，其附加特征是非交易资产或因子X可以出现在交易资产F的系数中。我们假设假设2.1和2.5是有效的。关于假设3.2，我们将把它专门化为目前的设置，如下所示。首先观察数量h∑*σF（σ*FσF）-1，假设3.2（i）中出现的uFi读数为灰分∑*σF（σ*FσF）-1，uFi（t，x）=ρuF（t，x）σ（t，x）－σF（t，x），而标量积h（σ*FσF）-假设3.2（ii）ish（σ）中的1uF，uFi*FσF）-1uF，uFi（t，x）=uF（t，x）－σF（t，x）。和（σ）*假设3.2（iii）中的FσF（t，x）对应于（σ*FσF（t，x）=σF（t，x）。最后，我们有B（t，x）=（1）- ρ） σ（t，x）。

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2022-5-6 12:32:43

因此，假设3.2由下面列出的条件保证，定理3.3中的一般结果可以安全地应用。假设4.1。让下列属性保持不变：（i）b∈ C、 σ∈ C（ii）以uFis为界；（iii）σ和‘∑有界且远离零；（iv）uF′σF∈ c在x中是Lipschitz，在t中是一致的。在这个更具体的设置中，我们可以获得关于结构性产品q单位买家价值函数结构的更多信息，前提是我们有以下假设4.2。让对数函数Jxbe-Lipschitz在x中均匀地在t中。在这个假设下，我们不需要假设uFis有界，如上面4.1（ii）所示。事实上，注释3.5中的注意事项适用，因此，特别是ufca可以是x的线性函数，如下面的示例4.6所示。假设Cut是（2.1）中给定结构化合同的报酬。受inOberman和Zariphopoulou[41]结果的启发，这反过来又将El Karoui和Rouge[19]扩展到了Americanoptions，我们得到了结构化产品切割的UIP表示为仅与控制u有关的辅助优化问题的值函数，在包含无索赔问题的对数值函数的导数jxo的可测等价鞅测度下，其中γ替换为修正的风险规避eγ=γ（1- ρ).让我们考虑一下被定义为asdQdP的量度Ft:=Dt:=exp-Ztθ*乌德乌-Zt |θu | du, T∈ [0，T]，（4.2），其中W=（W，W）*θ由θt=（θt，θt）给出*=uF′σF，γp1- ρσJx*（t，Xt）。（4.3）请注意，由于X具有连续路径，且uF/？∑Fis连续，因此，对于每个t，随机积分θudwu都得到了很好的定义。此外，由于σ（t，Xt）的连续性和Jx的线性增长，第二个积分θudwu也得到了很好的定义（参见。

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2022-5-6 12:32:47

引理B.1）。最后，为了让方程（4.2）定义一个概率测度，我们需要强制E[DT]=1。例如，当Jxis有界时，这种等式成立，因此特别适用于阿尔诺维科夫的标准。更一般地说，可以使用[32]中提出的确定性标准（例如其中的定理2.1）。备注4.3。在F的系数不依赖于状态变量X的情况下，例如，当两者都遵循具有常数相关性的几何布朗运动时，我们得到了JX≡ 0，Qcoincides与最小熵鞅测度。因此，可以将测度qc视为最小熵鞅测度的扰动（参见[？]）其中修正涉及最优纯投资问题的对数值函数。在接下来的内容中，我们将需要以下初步引理，说明鞅测度Q下的现货价格动态。它的证明是基于标准应用的吉尔萨诺夫定理，因此省略。引理4.4。假设E[DT]=1。然后，由dxt=~b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt（4.4）给出的q下X的动力学，其中~~b（t，Xt）：=B- ρ∑uF′σF- ~γσJx（t，Xt）和dWt:=ρdWt+p1- ρdWt+ρuF′σF＋γσJx（t，Xt）dt定义了一个Q-布朗运动，并且∧γ=γ（1）- ρ).以下命题延伸到我们在奥伯曼和扎里波普卢[41，第10号提案]中的人物塑造。提案4.5。让现有假设2.1、2.5、4.1（i）-（iii）-（iv）和4.2成立。然后UIP v=v（t，x，z；q）满足性v（t，x，z；q）=supu∈美国犹他州-γln Et，x，zhe-γqCut，Ti, （4.5）其中Et，x，zdenotes是Q证明下的条件期望。我们证明了这个结果，证明了候补函数v=v（t，x，z；q）：=supu∈美国犹他州-γln Et，x，zhe-γqCut，Ti将方程（3.11）与终端条件（3.12）相匹配，我们使用Da Lio和Ley[17，Th.2.1]中的比较得出结论。

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2022-5-6 12:32:51

为此，将v写成v（t，x，z；q）=-γln(-w（t，x，z；q）），（4.6）带w（t，x，z；q）：=supu∈乌特，x，zh-E-γqCut，Ti。上面的值函数w在粘性意义上（wt（t，x，z；q）+supu）解决了下面的柯西问题∈[0，\'u][Luw（t，x，z；q）- γqL（p（t，x），z，u）w（t，x，z；q）]=0w（t，x，z；q）=-经验(-γqΦ（p（T，x，z）），其中luw=~bwx+uwz+σwxx。立即得到了相应的柯西问题v：~vt（t，x，z；q）+supu∈[0，\'u]h＠Lu＠v（t，x，z；q）+qL（p（t，x，z，u）i=0＠v（t，x，z；q）=qΦ（p（t，x），z），（4.7）带＠Lu v=＠b＠vx+u＠vz+σ■vxx- -γ-vx,这是等式（3.11）在这种情况下的特殊情况。为了用UIP v来识别v并得出结论，我们需要一个Cauchyproblem（4.7）的唯一性结果。由于Jxis在t中一致地假设为x中的Lipschitz，我们可以使用Remark3。5.证明了Cauchy问题（4.7）具有二次增长的唯一连续粘性解的存在性。最后，付息T的有界性（参见假设2.1）明确地表明，价值函数v（T，x，z）具有二次增长。因此，证据是完整的。前面的命题建议采用以下方法来计算UIP以及在这种情况下给定结构性产品的相应（部分）对冲策略：o首先，在没有索赔的情况下解决纯最优投资问题V（t，x，y；0）其次，利用新的概率测度Qas以及相应的x动力学，计算对数值函数j的x导数最后，解决（4.5）中的最大化问题，该问题现在仅针对控制u进行计算；其价值函数给出UIP，而其相对于X的衍生工具通过（3.5）给出对冲策略。例4.6（线性动力学模型）。

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2022-5-6 12:32:54

这个例子是[12，第2.2节]：dFt=Ft中研究的模型的一个轻微推广（a）- kXt）dt+/σFdWt, （4.8）dXt=δ（θ）- Xt）dt+σρdWt+p1- ρdWt, （4.9）如果a，k，“∑F，δ，θ，σ是实常数，则相关性ρ属于(-1，1）和（W，W）和以前一样是二维布朗运动。这里F代表期货合约的价格，到期日为T，期货合约的现货价格为Pt:=eXt，即p（T，x）=exin。当k=1时，我们正好得到[12，第2.2节]中的模型。请注意，如果σF>0、σ>0和k=0，则假设4.1成立，而在一般情况下，当k 6=0时，假设4.1（ii）不满足。然而，正如我们将要看到的，在本例中，Jxis Lipschitz，因此备注3.5适用。因此，我们可以如上所述，取x。要知道Jxis-Lipschitz，考虑方程（3.10），在这个设置中，它变成了jt+2γ（a）- kx）’σF-ρσ′σF（a）- kx）Jx+δ（θ）-x） Jx-γσ(1 - ρ)Jx+σJxx=0。然后，与[9]类似，我们猜测解J为一般形式J（t，x）=α（t）+β（t）x+Γ（t）x，因此J（t，x）≡对数γ。

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mingdashike22

2022-5-6 12:32:58

这个安萨茨给出了一阶颂歌系统α+a2γ′σF+δθ - ρσ′σFaβ -γσ(1 - ρ)β+ σΓ = 0,β+ρkσ′σF- δ - 2γσ(1 - ρ)Γβ -akγ′σF+2δθ - ρaσ′σFΓ=0，Γ+k2γ′σF+2ρkσ′σF- δΓ - 2γσ(1 - ρ） Γ=0，最终条件α（T）=logγγγ，β（T）=0，Γ（T）=0。上述系统是封闭形式可解的，因为第三个方程是Γ中的Riccati方程，第二个方程是β中的线性方程，已知Γ后可以求解，最后，第一个方程可以通过积分在α中求解。请注意，如果出现在正向漂移中的参数k为零，那么远期合约的动力学不依赖于X，因此Jdoes不依赖于X，从而导致β≡ Γ ≡ 0.最后，在这种情况下，方程式（3.11）由Vt给出+δ(θ - 十）- ρσ′σF（a）- （kx）- γσ(1 - ρ）（β+2Γx）vx+σvxx-γσ(1 - ρ） vx+supu∈[0，\'u]huvz+qLi=0，终端条件v（T，x，z；q）=qΦ（ex，z）。（4.10）4.2具有相关性的Cartea-Villaplana模型在这里，我们考虑Cartea和Villaplana在[15]中引入的电力现货价格双因素模型的一个轻微推广。虽然这两个因素在原始文献[15]中是独立假设的，但这里我们考虑到它们之间可能存在非零（常数）相关性。我们简要回顾了该模型的主要特点。电力现货价格ptatime t分解为两个随机因素xc和XD之和，即Pt=expη（t）+αCXCt+αDXDt,αC<0且αD>0，其中η表示季节性连续确定性分量。系数Xit，i=C，D分别是驱动发电厂容量和电力需求的Ornstein-Uhlenbeck过程。

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2022-5-6 12:33:03

它们的动力学由dxit=-kiXitdt+σi（t）dWit，其中kiare常数系数σi（t）是时间的确定可测函数，每个Wi，对于i=C，D，是一维布朗运动，使得dhWC，WDit=ρdt，具有常数相关ρ∈ (-1, 1). 注意，当αC=αD=1，kC=0（或kD=0）时，Cartea Villaplana模型简化为Schwarz-Smith模型[44]。在本例中，我们在以下长期假设下工作：假设4.7。设σC（t）和σD（t）是连续的，有界的，并且有界远离零[0，t]。由于利率为零，到期日为t的远期合约在t时的价格可以通过通常的公式Ft=EQ[PT | Ft]，t来计算∈ [0，T]，选择适当的风险中性度量Q，保持模型的高斯结构，如[15，第5节]。按照[15]中的方法，我们可以得到风险中性测度Q asdFtFt=αCe下的远期价格动态-kC（T）-t） σC（t）dWQ，Ct+αDe-kD（T-t） σD（t）dWQ，Dt，其中WQ，Cand，WQ，与ρ相关的两个Q-布朗运动。在[15]中选择适当的市场风险价格，并使用假设4.7，我们可以在目标概率P下获得以下正向动力学：dFtFt=uF（t）dt+αCe-kC（T）-t） σC（t）dWCt+αDe-kD（T-t） σD（t）dWDt，其中漂移uF（t）是时间的有界函数。我们分别处理两种不同的情况：单远期合约的不完全市场情况（回想一下，我们有两个随机因素）和双远期合约的完全市场情况。4.2.1在一个远期合约的情况下，在这种情况下，代理行可以通过只在一个远期合约中进行交易来对冲结构性产品。

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mingdashike22

2022-5-6 12:33:07

Cartea Villaplana模型符合第2.2小节的一般设置，X=（XC，XD）*, 谁的同事是B（t，xC，xD）=-kCxC-kDxD, Σ*（t，xC，xD）=σC（t）00σD（t）·10ρp1- ρ.注意，∑具有满秩，除非ρ=±1，如∑*Σ =σCρσCσDρσCσDσD.让我们考虑一个到期日为T的远期合约F。这里σF（t，Xt）只依赖于t，因此为了简单起见，我们设置σF（t）：=σF（t，Xt），我们有σ*F（t）=αCe-kC（T）-t） σC（t）αDe-kD（T-t） σD（t）·10ρp1- ρ=αCe-kC（T）-t） σC（t）+ραDe-kD（T-t） σD（t），p1- ραDe-kD（T-t） σD（t）.我们注意到，由于现货和远期原木价格之间的相关性不是恒定的，因此该模型不符合第4.1节中的设置。在这个模型中，矩阵B的秩等于1。事实上，通过定义（参见等式（3.8）），我们得到了b=∑*（一）- σF（σ*FσF）-1σ*F） ∑，带（σ）*FσF（t）=αDσD（t）e-2kD（T）-t） +αCσC（t）e-2kC（T）-t） +2ραCαDσC（t）σD（t）e-（kC+kD）（T-t）。（4.11）考虑x=∑-1σF，然后x6=0，我们有hx，Bxi=σ*F（I）- σF（σ*FσF）-1σ*F） σF=σ*FσF- σ*FσF（σ*FσF）-1σ*FσF=0。因此，在等式（3.16）中处理B的图像在这里是完全正确的，因为秩（B）=1。现在，我们证明假设3.2（iv）在这种情况下是满足的。事实上，直接计算表明b=κ（t）·αDe-2kD（T）-（t）-αCαDe-（kC+kD）（T-（t）-αCαDe-（kC+kD）（T-t） αCe-2kC（T）-t） !！式中κ（t）：=（1）- ρ） σC（t）σD（t）αDσD（t）e-2kD（T）-t） +αCσC（t）e-2kC（T）-t） +2ραCαDσC（t）σD（t）e-（kC+kD）（T-t）。因此，B的两个特征值是λ（t）≡ 0和λ（t）=κ（t）αDe-kD（T-t） +αCe-kC（T）-（t）> 通过假设4.7，我们得到σC（t）和σD（t）有界且有界远离零[0，t]，产生δ≤ λ（t）≤ 对于一些δ>0的δ，与t无关∈ [0，T]。这意味着假设3.2（iv）。因为在这个例子中，两个因子xC和xD并没有进入正向契约动力学的系数，所以我们预计对数值函数的导数jxO为零。事实上，这可以从J。

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