带交易的多先验模型中的无差异定价与套期保值

2022-5-8 00:26:51

具有交易约束的多先验模型中的差异定价与套期保值*严惠文+梁格春周扬§摘要本文考虑了模型不确定性和交易约束下衍生工具的效用差异估值，其中效用被表述为一种加性随机差异效用，包括短期消费和终端财富，根据Chen和Epstein（2002）的多先验模型对不确定前景进行排序。价格由两个正倒向随机微分方程的最优随机控制问题（美式期权的最优停止时间混合）决定。通过倒向随机微分方程和偏微分方程方法，我们证明了在修改股息率的情况下，买入和卖出价格与布莱克-斯科尔斯风险中性价格密切相关。如果没有交易约束或模型的不确定性消失，这两个价格实际上会相互吻合。最后讨论了欧式期权和美式期权的两个应用。关键词：差异定价，随机差异效用，交易约束，模糊性，变分不等式，美式期权。AMS主题分类（2000）：35R60、47J20、93E201简介本文考虑了模型不确定性（模糊性）和交易约束的不完全金融市场中的衍生品定价。不完全性意味着投资者不确定市场上用于为衍生品定价的风险中性概率指标。投资者根据Chen和Epstein[4]的多先验模型对不确定前景进行排序，其中多先验效用的连续时间跨期版本是通过使用反向随机微分方程（BSDE）制定的。

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2022-5-8 00:26:54

不完整性的另一个来源是由于交易约束，如短期销售约束。我们采用独立定价法，将投资者的效用计算为跨期消费和终端财富的加性随机差异效用（见Duffeeand Epstein[8]）。差异估值的概念最初是由Hodges和Neuberger[15]提出的，其中衍生工具的价格是投资者愿意支付的现金金额，这样她就不会受到更大的影响*这项工作得到了中国国家自然科学基金会（编号11271143、11371155）、大学博士点专项研究基金（编号20124407110001）、浙江省国家自然科学基金会（编号Y6110775）和牛津曼定量金融研究所的支持。感谢两位匿名推荐人对我们的论文提出的宝贵意见和有益建议。+广东财经大学数学与计算机科学学院，广州510320，hwyan10@gmail.com伦敦国王学院数学系，英国伦敦WC2R 2LS，格春。liang@kcl.ac.uk§华南师范大学数学科学学院，中国广州510631，yangzhou@scnu.edu.cnexpected比没有衍生工具的情况下更有用的术语。Henderson[13]、Musie la和Za riphopoulou[23]以及Sicar和Zariphopoulou[24]等在马尔可夫环境下使用偏微分方程（PDE）方法，Hu等人[16]、Mania和Schweizer[22]以及Ankirchner等人[2]在一般非马尔可夫环境下使用BSDE方法（见其中更多参考文献）进一步发展了这一思想。另一方面，Becher[3]和Davis[7]使用对偶方法研究差异对冲策略。

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2022-5-8 00:26:57

然而，现有的研究大多基于这样的假设，即投资者只关心自己的最终财富，而忽略了自己的跨期消费和消费中的风险厌恶。似乎唯一的例外是Cheridito和Hu[5]，他们在Hu等人[16]的框架下，将消费置于终端财富之上。在我们的模型中，投资者不仅考虑了终端财富，还考虑了跨期消费，并且在消费中她是风险规避者，而不是终端财富。与大多数效用差异定价模型不同，在效用差异定价模型中，投资者对其终端财富的风险厌恶严重影响了差异价格，而且之前总体上比较复杂，我们模型中的差异价格独立于投资者的风险厌恶，并与风险中性价格具有显著差异。事实上，我们表明，在我们的模型中，买入价和卖出价都与风险中性价格密切相关，且股息率经过调整。这种偏差实际上是由投资者对风险中性概率测度的不确定性和tr ADIGCONSTRAINTS的存在引起的。模型不确定性是衍生产品定价的一个重要方面。事实上，期权定价模型选择的不确定性可以在期权组合估值中模拟风险，因此必须将风险（已知概率的结果的不确定性）和模糊性（不确定性）分开。在他们的开创性工作中，陈和爱泼斯坦[4]在随机微分效用的框架下引入了一个多先验模型。Cont[6]引入了不同的风险度量来量化模型的不确定性。

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2022-5-8 00:27:01

在差异定价框架中，Jaimungal a和Sigloch[17]引入了稳健差异定价（利用终端财富）的概念，该概念结合了风险规避和模型不确定性。他们主要使用Anders on等人[1]的思想，通过修改优化表m，使终端财富的预期惩罚效用最大化，同时在一组等效度量上最小化预期的最终效用。由于风险中性概率测度自然是一种主导定价测度，我们采用Chen和Epstein[4]的多先验模型，以纳入模型的不确定性，其中先验集合中的概率测度相当于风险中性主导定价测度。将陈安和爱泼斯坦的多先验模型应用于衍生品定价的想法并不新鲜。例如，郭等人[12]考虑了奇异期权的定价问题，尤其是巴黎期权，也在Chen和Epstein[4]的多先验框架下。然而，他们使用了超级复制的思想，而不是效用差异估值，因此他们获得的是定价界限，而不是价格。另一方面，他们更多地关注定价边界的数值解，这与我们试图在模型不确定性下建立差异定价框架的论文不同。此外，我们的模型还包括模型不确定性顶部的交易约束。实际上，这两个因素导致了我们模型中的市场不完全性。虽然模型不确定性导致买卖价格偏离风险中性价格，但我们证明，如果不存在交易约束，那么即使在模型不确定性下，买卖价格也将与风险中性价格一致。

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何人来此

2022-5-8 00:27:04

事实上，如果没有交易约束，投资者可以在标的股票上任意投资头寸，以对冲我们独立定价设置中的模型不确定性。另一方面，如果存在交易约束，则价格将偏离风险中性价格。例如，如果期权的支付相对于标的物的价格是单调的，投资者需要持有相反的头寸，以对冲其风险敞口。卖空约束等交易约束将禁止其任意持仓，从而导致价格不同于风险中性价格。我们应该注意到，价格偏差不仅是由交易约束引起的，而且是由模型不确定性引起的。在欧式期权和美式期权的情况下，这两个事实上的风险纠缠在一起会影响投标和风险价格。当模型不确定性消失时，我们还获得了差异价格与风险中性价格的趋同率（欧洲期权的情况见命题3.5，美式期权的情况见命题4.8）。如果允许投资者在到期前的任何时间行使其期权，如在美国期权设定中，则需要修改相应差异价格的定义。在这种情况下，投资者需要比较两个具有不同时间范围的最优投资问题，并不仅选择其最优交易策略，还选择其最优行使时间。通过时间一致性，我们得出了跨期财富，它不仅包括通常的财富，还包括剩余最优消费的价值（见定义4.2）。

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nandehutu2022

2022-5-8 00:27:09

在马尔可夫环境下，我们还有效地利用变分不等式的Alexandrov-Bakel\'man-Pucci（a-B-P）比较原理来推导美式期权的投标和投标价格的各种性质。效用差异定价模型通常表示为两个最优投资组合问题（见（2.7）和（2.8））。具体地说，价格P由方程F（·，P（·））=G（·）和函数F和G确定，其中两个最优随机控制问题的值函数。解决这些问题有两种方法，例如BSDE方法和PDE方法。BSDE方法基于鞅最优性原理（见[16,22]）或风险敏感控制（见亨德森和梁[14]最近的一项工作），价格通过两个BSDE的解来表示。PDE方法基于动态规划原理，价格通过两个HJB方程的解来描述（见[13,23,24]）。由于BSDEs和HJB方程的复杂性，通常很难研究效用差异价格的性质。在我们的模型中，价格仍然由方程F（·，P（·））=G（·）决定，其中F和G是前向后随机方程（FBSDE）的两个最优控制问题的价值函数。在期权情形下，最优控制问题涉及最优停时问题，最优策略由最优消费、最优投资和最优停时组成。为了完全解决这些问题，我们首先分析了两个最优投资组合问题，并通过以下思想将价格表示为非线性BSDE的解。

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2022-5-8 00:27:12

我们通过从原始随机微分效用（SDU）中提取财富（和或有权益）来定义间接效用，将差异价格表示为具有Lipschitz连续驱动力的BSDE解。在数学上，我们将FBSDE的原始随机控制问题m转化为具有不同驱动因素的B SDE族的最大解。然后根据BSDE的比较原理，我们找到最优解的非线性BSDE，并通过相应的FBSDE表示价格。通过应用Feynman-Kac公式，我们将价格表示为qua-si线性偏微分方程（适用于欧式期权）或变分不等式（VI，适用于美式期权）的解。然后通过偏微分方程的方法，改进了价值函数的正则性，分析了价格、最优投资、消费和停止策略的性质。在本文中，我们给出了一个一般性的和技术性的证明，证明了在终端值和障碍物的正则性较低的情况下，改进了PDE或VI解的正则性。此外，我们还证明了在一般假设下选择适当的障碍物时，偏微分方程是VI的特例。由于改进了规则性，我们获得了一些如上所述的简洁结果。有了这些结果，就很容易用标准方法计算价格或从理论上分析其属性。此外，我们使用了一些偏微分方程估计来显示当模糊市场与标准市场一致时，修正价格的收敛结果。本文的组织结构如下：我们在第二节介绍了我们的差异定价和套期保值模型，并分别在第三节和第四节将其应用于两种具体情况，即欧式期权和美式期权。

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可人4

2022-5-8 00:27:15

附录中提供了有关PDE结果的进一步技术细节。2 T>0的固定时间水平的差异定价和套期保值模型，设W=（W，···，Wn）T为过滤概率空间上的n维布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}，P）满足通常条件，其中F是布朗运动W产生的增强过滤，P被解释为风险中性亲婴儿措施。这里上标T表示矩阵变换。该市场由一个无风险资产B和n个无风险利率r（·）组成，n个风险资产S=（S，···，Sn）T，其在风险中性概率测度P下的价格过程由SIS=Sit+Zstr（u）Siudu+nXj=1Zstσi j（u）SiudWju（2.1）为1给出≤ 我≤ n和0≤ T≤ s≤ 式中σ（·）=（σij（·））1≤i、 j≤这是波动矩阵。系数满足以下假设：假设2.1无风险利率r（·）和波动率矩阵σ（·）是连续函数，波动率矩阵σ（·）是正定义。然而，投资者对风险神经概率测度P不确定，并根据多先验模型对不确定前景进行排序，该模型最初由Chen和Epstein[4]提出。它们代表了一系列的先验知识(Ohm, FT）通过一组相当于P:Θ（Q:dQdP=exp）的概率度量-ZT|ξs|ds-ZT（ξs）TdWs！），对于ξ=（ξ，··，ξn）T∈ Ξ，其中Ξ是在compa-ct和c-onvex子集合中估值的F-适应过程集 RN包括原点0。更一般地说，密度(Ohm, Ft）定义为EP[dQdP | Ft]。

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能者818

2022-5-8 00:27:19

因此，Θ实际上是一组等效概率测度，其中包括风险中性概率测度作为主导定价测度。无论何时开始∈ [0，T]，代表性投资者进行跨期消费，并将剩余财富投资于无风险资产和剩余时间间隔[T，T]内的风险资产，得出其财富等式：XXt；π、 cs=Xt+ZstXXt；π、特写-Pni=1πiuBudBu+nXi=1ZstπiuSiudSiu-Zstcudu=Xt+Zsthr（u）XXt；π、特写- cuidu+Zst（πu）Tσ（u）dWu，（2.2）其中（π，c）是组合消费策略，c是跨时间消费率，π=（π，···，πn）T是投资于风险资产S=（S，··，Sn）T的金额，两者都在容许集∏[T，T]，{（π，c）：π∈ LF（t，t；A），c∈ LF（t，t；R+）}与LF（t，t；A），（π：F-适应，在A中取值，和EP“ZTt|πs|ds#<∞),其中A是Rn的闭d子集。注意，投资者实际上是在Q下做出决定的，而不是在P下，因为她不确定风险中性概率P。根据Girsanov的理论，W=（W，···，Wn）Twith Wj=Wj+R··ξJSD是Q下的布朗运动，而投资者在Q下的财富方程（2.2）是XXT；π、 cs=Xt+Zsthr（u）XXt；π、特写- 铜-nXi，j=1σij（u）πiuξjuidu+nXi，j=1Zstσij（u）πiudWju=Xt+Zsthr（u）XXt；π、特写- 铜- （πu）Tσ（u）ξuidu+Zst（πu）Tσ（u）dWu。（2.3）因此，投资组合消费策略（π，c）确实会影响投资者的财富XXt；π、通过它的漂移术语。投资者在先验集合Θ上定义了一个加性效用，它被定义为一个随机微分效用，如Du ffee和Epstein[8]：UQt，EQ“Zτtv（u，cu）- r（u）UQudu+UQτFt#，遗赠在最后时刻T:UQT=XXt；π、 cT，其中τ∈ U[t，t]是F-在[t，t]中取值的停止时间va的集合，v（·，·）是跨时间消耗率c和XXt的时间依赖效用；π、这是财富的过程。

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2022-5-8 00:27:22

投资者从先验集合Θ中选择最坏的情景作为她的效用：Ut=infQ∈ΘUQt。（2.4）消费率c的效用v（·，·）满足以下假设：假设2.2适用于任何t∈ [0，T]，依赖于时间的效用v:[0，T]×r7→ [-∞, ∞) 为（1）凹面、不减损和上半连续；（2）半直线domt（v），{x∈ [ 0, +∞) : v（t，x）>-∞} 是[0]的另一个子集，∞); 和（3）xv（t，·）在domt（v）和limx的内部是连续的、正的、严格递减的→+∞监督∈[0，T]xv（t，x）=0。v（·，·）的一个典型例子是电力公司，它被惩罚为-∞ 当消费率为负时。根据Karatzas和Shreve[19]的第3.4节，存在bc（t）这样的*（t），v（t，bc（t））- bc（t）=supx∈R{v（t，x）- x} 。（2.5）也就是说，v*（t）是v（t，·）在t的1级上的凸对偶∈ [0，T]。投资者评估市场中的一个或有类别，其收益是一个可测量的随机变量ξ∈ LFT（R+）：LFT（R+），ξ：FT可测量，用R+表示，和EP|ξ|< ∞.如果风险中性概率测度P没有歧义，没有跨期消费，也没有交易约束，则已知该未定权益的风险中性价格过程D和相应的对冲策略Y=（Y，···，Yn）T（由波动率矩阵σ（·）归一化）是以下线性BSDE的唯一解：Dt=ξ-ZTtr（u）都都-ZTt（Yu）TdWu=以弗所-（D，Y）的RTtr（u）duξ| Fti（2.6）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。有关更多详细信息，请参见El Karoui et a l[10]的第1部分。然而，由于模糊性、消费和贸易限制，（2.6）是无效的。我们考虑了这种或有权益的效用差异估值，其收益为ξ。

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何人来此

2022-5-8 00:27:25

当我们想要强调效用U对遗产XXt的依赖性时，我们写效用Utas Ut（XXt；π，cT）；π、 cT。定义2.3或有债权的出价Pb（Xt；ξ）和要价Ps（Xt；ξ）与支付ξ之间的关系由以下要求隐含定义：。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt）-Pb（Xt；ξ）；π、 cT）；（2.7）ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut(-ξ+XXt+Ps（Xt；ξ）；π、 cT），（2.8），其中XXt；π、 c·遵循财富方程（2.2），从P下的时间t开始，或在Q下等效（2.3），Ut（·）是时间t的随机微分效用的最坏情况，由（2.4）定义，即Ut=Ut（XXt；π，cT）满意度=infQ∈ΘUQt=infQ∈ΘEQ“ZTtv（u，cu）- r（u）UQudu+XXt；π、 cT英尺#。因此，就效用最大化而言，我们在购买或不购买或有权索赔与支付出价Pb（Xt；ξ）之间没有区别，在出售或不出售或有权索赔与支付出价Ps（Xt；ξ）之间也没有区别，而效用则被选为先验集合Θ中最糟糕的情景。我们的模型在以下三个方面与现有文献不同：（1）效用是根据跨期消费和最终财富的随机差异效用来描述的，而大多数现有文献只考虑最终财富的预期效用；（2）采用Chen和Epstein[4]的多优先级模型，以动态一致的方式考虑了模型的不确定性；（3）在我们的差异评估模型中也考虑了阅读结构。我们将看到（2）和（3）导致独立性的一些新的和有趣的特征。我们描述差异价格的主要工具是BSDE理论。

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nandehutu2022

2022-5-8 00:27:29

根据Chen和Epstein[4]的定理2.2，效用U表示为以下BSDE的唯一解：Ut=XXt；π、 cT+ZTtv（u，cu）- r（u）Uu- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-nXj=1zTZJUDWJU（2.9）表示（U，Z）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。本文中的BSDE总是在上述空间中考虑的。请注意，上述括号中的最大项实际上是路径最大值：最大ξ∈ΞnXj=1ξjtZjt（ω） =最大ξt（ω）∈对于任何t，OnXj=1ξjt（ω）Zjt（ω）∈ [0，T]和ω∈ Ohm, 因此，我们将把上述两个最大化问题同义地写下来。我们的第一个主要结果是投标价格和要价的以下表示结果。定理2.4假设假设满足假设2.1和2.2，则投标价格Pb（Xt；ξ）和要价Ps（Xt；ξ）由定义2.3唯一确定，且两者均独立于初始值Xt。它们分别表示为Pb（t；ξ）和Ps（t；ξ），其表示形式为：Pb（t；ξ）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）- R（t）≤ Dt，（2.10）Ps（t；ξ）=- 字母S。sup（π，c）∈π[t，t]Ut(-ξ+X0；π、 cT）+R（t）≥ Dt，（2.11），其中R（·）是最佳消耗的值：R（t）=ZTte-Rstr（u）duv*（s） ds。证据我们只考虑出价的情况，而要价的情况类似。注意，（2.7）左侧（LHS）的效用最大化表m是ξ=0的右侧（RHS）的特例。我们首先证明了（2.7）中效用最大化问题的解是存在的，即ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt；π，cT）<+∞任何报酬∈ LFT（R+）和任何初始财富∈ LFt（R）。

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2022-5-8 00:27:32

事实上，如果我们通过减去未定权益D和财富XXt来定义间接效用BU；π、 c从原始实用程序U asbUs=Us（ξ+XXt；π，cT）- （Ds+XXt；π，cs）；bZjs=Zjs-Yjs+nXi=1σij（s）π是！对于s∈ [t，t]，通过（2.2）、（2.6）和（2.9），很容易验证（bU，bZ）满足以下BSDE:bUt=ZTt-r（u）bUu+[v（u，cu）- [特写]- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-nXj=1ZTtbZjudWju。（2.12）注意v（u，cu）- 铜≤ 五、*（u） )；- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju≤ 0.根据BSDE比较定理m（参见[10]中的定理2.2），但是≤ R（t），其中R由R（t）=ZTt[-r（u）r（u）+v*（u） ]杜-ZTt（Q（u））TdWu，（2.13）在LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）中有唯一解：（R（T），Q（T））=ZTte-Rstr（u）duv*（s） ds，0！。因此Ut（ξ+XXt；π，cT）≤ 任意（π，c）的Dt+Xt+R（t）∈ 我们已经证明了上界：ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt；π，cT）≤ Dt+Xt+R（t）<∞. （2.14）接下来，我们展示表示（2.10）。我们首先明确地解决了（2.7）的LHS上的效用最大化问题。通过在（2.9）中取（π，c）=（0，bc），我们得到了but=ZTt-r（u）bUu+v*（u）- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-nXj=1ZTtZjudWju，wherebUs，美国（XXt；0，^cT）- XXt；0，bcsfor s∈ [t，t]。上述BSDE在LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）中有唯一的解，这与（2.13）相同：（但是，Zt）=（R（T），Q（T））。亨塞斯。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）≥ Ut（XXt；0，bcT）=但是+Xt=R（t）+Xt。上述不平等实际上就是平等。实际上，通过在（2.14）中取ξ=0，我们得到了上界：ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）≤ R（t）+Xt，我们已经证明了这一点。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=R（t）+Xt（2.15），最优组合消费策略（π）*, C*) = （0，bc）对于（2.7）的效用最大化问题。另一方面，请注意（2.7）的RHS上的效用最大化问题与初始财富无关：ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）+Xt。

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2022-5-8 00:27:36

（2.16）通过组合（2.15）和（2.16），我们得到了表示式（2.10），这也表明投标价格Pb（t；ξ）与初始财富Xt无关。最后，通过在不等式（2.14）中取Xt=0，并使用表示式（2.10），我们得到了投标价格的上界：Pb（t；ξ）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）- R（t）≤ Dt+Rt- Rt=Dt。我们的下一个结果进一步描述了BSDE解决方案的差异价格。我们证明了不同的容许集∏会导致不同的投标价格Pb（t；ξ）和要价Ps（t；ξ），特别是，如果∏中没有约束，那么即使模型模糊，投标价格和要价都与风险中性价格一致。对于t∈ [0，T]和ω∈ Ohm, 我们定义了子集Bt（ω） RnbyBt（ω），（z）∈ Rn:zj=nXi=1σij（t）πit（ω）与πt（ω）∈ A）。注意Bt（ω）仍然是闭合的，因为A是闭合的，σij（·）是有界的。对于任何z∈ Rn，我们进一步引入了o（z，Bt（ω））=minz∈Bt（ω）maxξt（ω）∈OnXj=1ξjt（ω）（zj+zj），其中O是rnx的一个闭凸集，包括原点0。由于Bt（ω）是闭的，因此Bt（ω）中至少有一个点使紧凸集O的支撑函数δO（·）最小：δO（z，z）=maxξt（ω）∈OnXj=1ξjt（ω）（zj+zj），我们将这样的极小点表示为argmin（z，Bt（ω））。在下文中，如果不出现混淆，我们将省略ω。定理2.5假设假设满足假设2.1和2.2，那么投标价格Pb（t；ξ）=UB和要价Ps（t；ξ）=Ust，其中UB和USE分别是以下BSDE的唯一解：Ubt=ξ+ZTth- r（u）Ubu- dO（Zbu，Bu）idu-ZTt（Zbu）TdWu；（2.17）Ust=ξ+ZTth- r（u）Usu+dO(-Zsu，Bu）idu-ZTt（Zsu）TdWu（2.18）代表（Ub，Zb）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）和（Us，Zs）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。

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2022-5-8 00:27:39

投标价格的最优组合消费策略为（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Zb，B），bc），而要价为（π）*, C*) = （（σT）-1 argmin(-Z，B），bc）。此外，如果A=Rn，即不存在交易约束，那么投标价格Pb（t；ξ）和ASK价格Ps（t；ξ）都与风险中性价格Dt:Pb（t；ξ）=Ps（t；ξ）=Dt=EPhe一致-RTtr（u）duξ| Fti。投标价格的最优投资组合消费策略为（π）*, C*) = (-（σT）-1Y，bc），对于askprice（π*, C*) = （（σT）-1Y，bc），其中Y由（2.6）给出。证据我们再次只考虑出价的情况，因为要价的情况类似。根据表述（2.10），我们只需要解。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）。对于初始财富Xt=0，通过减去财富X0确定间接效用U；π、 cfrom原始效用U asUs=Us（ξ+X0；π，cT）- X0；π、 cs；Zjs=Zjs-nXi=1σij（s）πIs表示s∈ [t，t]。通过（2.3）和（2.9），很容易验证（U，Z）满足以下BSDE:Ut=ξ+ZTt-r（u）Uu+[v（u，cu）- [特写]- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-ZTtZTudWu。（2.19）上述括号中的最大项可以用z asmaxξ重写∈ΞnXj=1ξjuZju=ma xξ∈ΞnXj=1ξjuZju+nXi=1σij（u）πiu！=δO（Zu，（σ（u））Tπu），这是Lipschitz连续的inZu，所以比较原理适用于（2.19）。对于任意（π，c）∈ π，韦哈维夫（t，ct）- 计算机断层扫描≤ 五、*（t） )；-δO（Zt，（σ（t））tπt）≤ -dO（Zt，Bt）和for（π，c）=（（σT）-argmin（Z，B），bc），我们有等式：v（t，c）*（t）- C*t=v*（t） )；-δO（Zt，argmin（Zt，Bt））=-dO（Zt，Bt）。根据BSDE比较原理，Ut≤ U*t对于任何（π，c）∈ π，whe re U*BSDE的解决方案是什么*t=ξ+ZTt- r（u）u*u+v*（u）- 做（Z）*u、 Bu）杜-ZTt（Z*u） TdWu，（2.20）和（Ut，Zt）=（u*t、 Z*t）对于（π，c）=（（σt）-1 argmin（Z，B），^c）。因此，ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut=U*t最优组合消费策略（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Z）*, B），^c）。

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2022-5-8 00:27:42

最后，很容易验证（U*T- R（t），Z*t） =（Ubt，Zbt），这是BSDE（2.17）的唯一解决方案。最后，如果A=Rn，即不存在交易约束，那么Bu（ω）也是Rn值，do（Zbu，Bu（ω））=minz∈Bu（ω）maxξu（ω）∈O（ξu（ω））T（Zbu+z）=0其中argmin（Zbu，Bu（ω））=-Zbu。在这种情况下，定价BSDE（2.17）降低为BSDE（2.6）。通过（2.6）解的唯一性，我们得到（Ub，Zb）=（D，Y）。在这种情况下，最优投资组合消费策略减少到（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Z）*, B），^c）=(-（σT）-1Y，^c）。在以下两个部分中，我们将把公用事业独立性的BSDE代表性结果应用于欧洲期权和美国期权。另一个潜在应用是考虑巴黎期权等外部期权。例如，郭等人[12]也在陈和爱泼斯坦[4]的框架下考虑了巴黎人的移民问题。然而，他们使用的是超级复制的概念，而不是效用差异估值，因此他们获得的是定价界限，而不是价格。3对欧式期权的应用在本节中，我们通过假设偶然目标的支付形式：ξ=ZTt，在马尔可夫环境中指定我们的模型（u） du+ψ（ST），（3.1）式中是收益率，ψ是或有权a在到期日t的最终支付。

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何人来此

2022-5-8 00:27:46

他们满足以下假设：假设3.1收益率（·）是一个连续函数，且最终的payoffψ是一致的，是连续的：|ψ（S）- ψ（S）|≤ K|S- S |代表S，S∈ Rn+，所以ψ（·）呈线性增长。在上述马尔可夫假设下，出价Pb（t；ξ）和要价Ps（t；ξ）可以写成时间t和状态St的函数：Pb（t，St；ψ）、Pb（t；ξ）和Ps（t，St；ψ）、Ps（t；ξ）。根据orem 2.5，Pb（T，St；ψ）和Ps（T，St；ψ）分别是下列BSDE的解：Pb（T，St；ψ）=ψ（St）+ZTth（u）- r（u）Pb（u，Su；ψ）- dO（Zbu，Bu）idu-ZTt（Zbu）TdWu；（3.2）Ps（t，St；ψ）=ψ（St）+ZTth（u）- r（u）Ps（u，Su；ψ）+dO(-Zsu，Bu）idu-ZTt（Zsu）TdWu，（3.3），其中状态S由（2.1）给出。此外，根据非线性Feynman Ka c公式（见[10]的定理e m 4.2），Pb（t，S；ψ）和Ps（t，S；ψ）是以下半线性偏微分方程的唯一粘度解：-tPb- LPb=（t）- NT中dO（（σ（t））TSDSPb，Bt）；-tPs- LPs=（t） +做(-NT中的（σ（t））TSDSPs，Bt）；Pb（T，S；ψ）=Ps（T，S；ψ）=ψ（S），S∈ (0, +∞)n、（3.4）式中，NT，[0，T）×（0+∞)nand SDSP（S）SP，···，SnSnP）T，并且算子lqi由byLq，nXi，j=1aij（T）SiSj给出SiSj+nXi=1[r（t）- 齐（t）]Si硅- r（t）（3.5）与aij（t），Pnl=1σil（t）σjl（t）。算子LQI中的m q（·）=（q（·），··，qn（·））被解释为风险资产的股息率，我们将看到，在具有交易约束的不确定性模型下，通过调整标的资产的股息率，买入价格和卖出价格可以与风险中性价格相关联。为了进一步研究买卖价格的性质及其相关的混合策略，我们需要改进PBP和Ps的规律性。下面，我们给出了PDE的强解（3.4）。提案3.2要求满足假设2.1、2.2和3.1。

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nandehutu2022

2022-5-8 00:27:49

然后，偏微分方程（3.4）具有线性增长的唯一强解。具体来说，Pb（t，S；ψ），Ps（t，S；ψ）∈ W2、1p、loc（新界）∩ C（NT）表示任何p≥ 存在一个常数C，使得|Pb（t，S；ψ）|+|Ps（t，S；ψ）|≤ C（1+| S |）表示任何（t，S）∈NT，其中W2，1p，loc（NT）是域N上限制的所有函数的集合*t至W2，1p（N）*T）对于任意紧致子集N*Tof NT和W2，1p（N*T）是C语言的完成∞（N）*T）根据标准：KPKW2，1p（N*T），“锌*T| P | P+|tP | p+| DSP | p+| DSP | pdSdt#p，其中DSP，DSP表示p相对于S的梯度和Hessian矩阵。我们将在附录中说明，偏微分方程（3.4）是变分不等式（4.6）的特例（见定理B.1）。因此，上述存在性和正则性结果只是命题4.5中变分不等式（4.6）相应结果的一个特例。在本节的其余部分中，我们通过指定相应核ξt（ω）的值集O来考虑先验集Θ的一个具体例子∈ O:O，{x∈ 注册护士：-κi≤ xi≤κi，i=1，··，n}，其中κi，κi≥ 0.相应的先验集表示为Θ，这是[4]第3.3节中κi=κi的推广。利用上述先验集Θ，支持函数δO（z，z）可以计算为δO（z，z），nXi=1κi（zi+zi）+κi（zi+zi）-= κT（z+z）+κT（z+z）-.根据orem 2.5，如果没有交易约束，即使模型不确定，买入价和卖出价都与ris k-中性价格一致。在下面，我们通过限制A=[0]中的值来指定容许集∏，∞)n、这相当于卖空限制。

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2022-5-8 00:27:52

相应的容许集表示为∏。我们表示Black-Scholes模型下的风险中性价格，股息率q（·）和派息率ψ为P（t，S；q，ψ），而先验集Θ和容许集∏为P1m（t，S；ψ）的差异价格为m∈ {b，s}。通过假设δO（z，z）=0，我们可以将Black-Scholes框架视为差别定价模型的特例。我们在本节中的主要结果是不同股息率下的不同价格和风险中性价格之间的关系。提案3.3的前提是假设2.1、2.2和3.1满足，前提集为Θ，允许集为∏如果每种成分Si中的ψ（S）都在增加，那么投标价格由p1b（t，S；ψ）=P（t，S；σκ，ψ）和最优投资组合消费策略（π）给出*, C*) = （0，^c），最优组合消费策略（π）下的要价由p1s（t，S；ψ）=P（t，S；0，ψ）给出*, C*) = （SDSP，^c.）如果每种成分Si中的ψ（S）都在减少，那么投标价格由p1b（t，S；ψ）=P（t，S；0，ψ）和最优投资组合消费策略（π）给出*, C*) = (-SDSP，^c），并且在最优投资组合消费策略（π）下，给出了卖出价为yp1s（t，S；ψ）=P（t，S；σκ，ψ）*, C*) = （0，^c）。证据我们只证明了ψ（S）在每个分量Si中增加的情况，而减少的情况是相似的。从（2.1）中可以明显看出，site=SitexpZTtr（u）-nXj=1 |σij（u）|du+ZTtnXj=1σij（u）dWju.因此，如果ψ（ST）在每个组分SiT中增加，那么它在SiT中也会增加。根据BSDE对EOREM的比较，对于m∈ {b，s}，P1m（t，St；ψ）在每个组分中也在增加。从P1m开始∈ W2，1p，任何p的位置（NT）≥ 1.Sobolev spa ce的嵌入定理e m暗示DSP1m∈ C（NT）如果我们选择sep>n+2。因此SiP1m≥ 每i=1，2，··，n取0。

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2022-5-8 00:27:57

回顾Bt=[0，∞)n、我们推断，对于投标价格的情况：dO（（σ（t））TSDSP1b，Bt）=minz∈英国电信κT（（σ（T））TSDSP1b+z）+κT（（σ（T））TSDSP1b+z）-= （σ（t）κ）TSDSP1B与优化器z*= 0，或相当于π*= 0.对于要价的情况：dO(-（σ（t））TSDSP1s，Bt）=minz∈英国电信κT(-（σ（t））TSDSP1s+z）++κt(-（σ（t））TSDSP1s+z）-= 0使用优化器z*= （σ（t））TSDSP1s，或等效的π*= SDSP1。然后根据定价方程（3.4）得出结论。直观地说，如果期权的收益随着所有标的股票的价格而增加，投资者需要在每个标的股票中持有空头头寸，以对冲该期权中的多头头寸，并在每个标的股票中持有多头头寸，以对冲该期权中的空头头寸。然而，由于存在卖空约束（即A=[0，∞)n），对冲期权的多头头寸是不可能的，投资者能做的最好的事情就是不交易任何标的股票。反过来，投资者必须以等价股息率σκ补偿期权价格。另一个观察结果是，先验集合Θ中的下限κ=（κ，···，κ）不会影响P1s和P1s之间的差异，这是由于交易约束集A=[0，∞)n、此外，买卖价差为P1b- 根据风险中性的股息率和修改后的股息率给出的p1：|P（t，S；0，ψ）- P（t，S；σκ，ψ）|。对于一般支付ψ，没有明确的买入价和卖出价公式。然而，我们仍然可以根据风险中性价格和修改的分割利率对差异价格进行限制。

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2022-5-8 00:28:00

由于偏微分方程（3.4）是变分不等式（4.6）的特例（见定理B.1），我们将在命题4.7中给出相应变分不等式（4.6）的证明，并将偏微分方程（3.4）的以下证明留给读者。提案3.4的前提是假设2.1、2.2和3.1满足，先验集为Θ，允许集为∏投标价格满足以下不平等性：最大P（t，S；σκ，ψ+），P（t，S；0，ψ-)≤ P1b（t，S；ψ）≤ 任意q的P（t，S；q，ψ）∈ [0，σκ]，最优组合消费策略为（π）*, C*) = （（SDSP1b）-, ^c.）要价满足了以下不平等性：P（t，S；σκ，ψ）≤ P1s（t，S；ψ）≤ 闵P（t，S；σκ，ψ）-), P（t，S；0，ψ+）,最优组合消费策略为（π）*, C*) = （（SDSP1s）+，^c）。这里是ψ+/ψ-是以ψ和ψ+/ψ为界的任何增/减函数吗-是以ψ为界的任何递增/递减函数。为了完成本节，我们研究了当先验集Θ缩小到只有负密度的概率集时，差异价格如何收敛到相应的风险中性价格，即模型不确定性的正部分消失。3.5假设假设2.1、2.2和3.1满足，先验集为Θ，允许集为∏。然后，当先验集合Θ中的上界k收敛到零时，买入价p1和卖出价p1收敛到风险中性价格p。具体地说| P1b- P |+| P1s- P|≤ Cκ*（1+| S |），|P1b- P |+| P1s- P|W2，1p（N*（T）≤ CN*Tκ*,κ在哪里*= max{κ，··，κn}，和n*这是NT的任何紧子集，C是一个与N无关的常数*T、但是中国*这是一个常数，取决于N*我们在附录中留下了证据。4适用于美国期权在本节中，我们扩展了我们的模型，以允许尽早行使或有权。

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2022-5-8 00:28:03

假设未定权益有支付：ξ=Zτ∧Tt（u） du+Γ（τ，Sτ）1{τ<T}+ψ（ST）I{τ=T}，（4.1）其中τ∈ U[t，t]是[t，t]中的任何F停止时间，如果期权在到期日T之前行使，则Γ为提前支付，ψ为到期日T的最终支付。收益率和最终支付满足假设3.1，实际支付满足以下假设：假设4.1早期支付一致Lipschitz连续：|Γ（t，S）- Γ（t，S）|≤ K（| t）- t |）+|S- 代表t，t∈ [0，T]和S，S∈ Rn+，并以ψ为界。由于美式期权的买方有权在到期日之前行使期权，因此定义2.3中的差异价格需要相应修改。首先，请注意，投资者的最大效用满足以下时间一致性条件：对于任何F停止时间τ∈ U[t，t]，ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，τ]Utess。sup（π，c）∈π[τ，T]Uτ（XXt；π，cT）！=字母S。sup（π，c）∈π[t，τ]Ut（R（τ）+XXt；π、 cτ），我们在上一个不等式中使用了（2.15）。换言之，为了具有时间一致性，在任何F-stop时间τ的中间财富不仅包括财富XXt；π、 cτ，以及从τ到成熟度T的剩余最优消费R（τ）的值。我们修改了定义2.3，并对美式期权的不同投标价格给出以下定义。定义4.2带支付τ的美式期权的投标价格Pb（t，St；Γ，ψ）∧Tt（u） du+{τ<T}Γ（τ，Sτ）+1{τ=T}ψ（ST），其中τ∈ U[t，t]是运动时间，由运动时间的要求隐式定义。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。supτ∈U[t，t]ess。sup（π，c）∈π[t，τ]UtZτ∧Tt（u）杜+R（τ）+XXt-Pb（t，St；Γ，ψ）；π、 cτ+Γ（τ，Sτ）{τ<T}+XXt-Pb（t，St；Γ，ψ）；π、 cT+ψ（ST）{τ=T}！。

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2022-5-8 00:28:06

（4.2）与定理e m 2.4的证明类似，很容易检查（4.2）的RHS上的优化问题是其初始值ess的平移不变性。supτ∈U[t，t]ess。sup（π，c）∈π[t，τ]UtZτ∧Tt（u）杜+R（τ）+X0；π、 cτ+Γ（τ，Sτ）{τ<T}+X0；π、 cT+ψ（ST）{τ=T}！+Xt- Pb（t，St；Γ，ψ）。另一方面，（4.2）的LHS是R（t）+Xtby（2.15）。因此，美国期权isPb（t，St；Γ，ψ）=ess的投标价格。supτ∈U[t，t]ess。sup（π，c）∈π[t，τ]UtR（τ）+X0；π、 cτ+Γ（τ，Sτ）{τ<T}+X0；π、 cT+ψ（ST）{τ=T}+Zτ∧Tt（u）杜！- R（t）。定理4.3假设假设满足假设2.1、2.2、3.1和4.1，则投标价格Pb（t，St；Γ，ψ）=Ubt，其中Ubt≥ Γ（t，St）是反映BSD E的唯一解决方案：Ubt=ψ（St）+ZTth（u）- r（u）Ubu- dO（Zbu，Bu）idu+ZTTKU-ZTt（Zbu）TdWu（4.3）代表（Ub，Zb）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn），K是连续的，递增的，从K=0开始，满足以下条件：ZT[Ubu]- Γ（u，Su）]dKu=0。投标价格的最优投资组合消费策略为（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Zb，B），bc），最佳运动时间为τ*= inf{s≥ t:Ubs=Γ（s，Ss）}∧ T.证明。与2.5定理的证明类似，通过减去财富x0定义独立的效用u；π、 C来自原始实用程序U asUs=UsZτ∧Tt（u）杜+R（τ）+X0；π、 cτ+Γ（τ，Sτ）{τ<T}+X0；π、 cT+ψ（ST）{τ=T}！- X0；π、 cs；Zjs=Zjs-nXi=1σij（s）πIs表示s∈ [t，t]。

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2022-5-8 00:28:09

通过（2.3）和（2.9），很容易验证（U，Z）是以下BSDE的解：Ut=（R（τ）+Γ（τ，Sτ））1{τ<T}+ψ（ST）1{τ=T}-Zτ∧Tt（Zu）TdWu+Zτ∧Tt（u）- r（u）Uu+[v（u，cu）- [特写]- δO（Zu，（σ（u））Tπu）杜。根据BSDE比较原理，Ut≤ U*t对于任何（π，c）∈ π[t，τ]，其中U*解决方案是什么*t=（R（τ）+Γ（τ，Sτ））1{τ<t}+ψ（ST）1{τ=t}+Zτ∧Ttn（u）- r（u）u*u+v*（u）- 做（Z）*u、 Bu）odu-Zτ∧Tt（Z）*u） TdWu。和（Ut，Zt）=（U*t、 Z*t）对于（π，c）=（（σt）-1 argmin（Z，B），^c）。此外，根据El Karo ui等人[9]的第2.3条*T≤ U**t对于任何停止时间τ∈ U[t，t]，其中**T≥ R（t）+Γ（t，St）是以下反映的BSDE的解：**t=ψ（ST）+ZTth（u）- r（u）u**u+v*（u）- 做（Z）**u、 Bu）idu+ZTtdKu-ZTt（Z**u） TdWu，在Skorohod条件下：ZT[u]**U- R（u）- Γ（u，Su）]dKu=0，和（u）*t、 Z*t） =（U）**t、 Z**t）对于τ=τ*. 因此，ess。supτ∈U[t，t]ess。sup（π，c）∈π[t，τ]UtZτ∧Tt（u） du+（R（τ）+X0；π、 cτ+Γ（τ，Sτ））1{τ<T}+（X0；π，cT+ψ（ST））1{τ=T}= 字母S。supτ∈U[t，t]ess。sup（π，c）∈π[t，τ]Ut=ess。supτ∈U[t，t]U*t=U**t最优组合消费策略（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Z）**, B），^c）和最佳运动时间τ*.最后，很容易验证（U**T- R（t），Z**t） =（Ubt，Zbt），这是反映BSDE（4.3）的独特解决方案。重要的是，索赔的买方决定合同何时执行。衍生工具的作者没有这个机会，因此，她将不得不在买方的最佳行动上意外地最大化其效用。从某种意义上说，卖方的估值问题归结为一种barr-ier类型，到期日由买方最佳选择的行使时间τ决定*, 而payo off是1{τ*<T}Γ（τ，Sτ）+1{τ*=T}ψ（ST）。这种不对称性在存在唯一价格的完整市场中没有观察到。

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能者818

2022-5-8 00:28:13

然而，在不完全市场中，这种不对称自然会出现，并导致实际的价差。建议4.4美式期权的要价Ps（t，St；Γ，ψ），带付款人τ*∧Tt（u） du+{τ*<T}Γ（τ）*, Sτ*) + 1{τ*=T}ψ（ST）由thaess的要求隐含定义。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，τ*]UtZτ*∧Tt（u）杜+R（τ）*) + XXt-Pb（t，St；Γ，ψ）；π、 cτ*+Γ(τ*, Sτ*){τ*<T}+XXt-Pb（t，St；Γ，ψ）；π、 cT+ψ（ST）{τ*=T}. （4.4）假设假设满足假设2.1、2.2、3.1和4.1，那么要价Ps（t，St；Γ，ψ）=Ust，其中Us是BSDE的唯一解：Ust=Γ（τ）*, Sτ*)1{τ*<T}+ψ（ST）1{τ*=T}+Zτ*∧Tth（u）- r（u）Usu+dO(-Zsu，Bu）idu-Zτ*∧Tt（Zsu）TdWu（4.5）代表（美国，Zs）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。卖价的最优组合消费策略为（π）*, C*) = （（σT）-1 argmin(-Z，B），bc）。证据这个证明类似于定理2.5的证明，所以我们省略了它。根据非线性Feynman-Kac公式，Pb（t，S；Γ，ψ）和Ps（t，S；Γ，ψ）分别是下列变分不等式和半线性偏微分方程的唯一粘性解：-tPb- LPb=（t）- dO（（σ（t））TSDSPb，Bt）如果Pb>Γ和（t，S）∈ 新界；-tPb- LPb≥ （t）- dO（（σ（t））TSDSPb，Bt）如果Pb=Γ和（t，S）∈ 新界；Pb（T，S；Γ，ψ）=ψ（S），（4.6）和-tPs- LPs=（t） +做(-{Pb>Γ}中的（σ（t））TSDSPs，Bt）；Ps=Γin{Pb=Γ}；Ps（T，S；Γ，ψ）=ψ（S）。（4.7）对于（4.6）和（4.7）的强解，我们有以下的存在性和正则性结果。注意，早期支付函数Γ通常采用Γ=max{Γ，0}的形式，其中Γ是一些支付，如果投资者行使期权。例如，Amer ic的早期支付功能——一个买入/卖出期权——仅为- K） +/（K）- S） +在执行价格K的情况下，提案4.5要求满足假设2.1、2.2和3.1。

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2022-5-8 00:28:16

此外，早期Payoff函数Γ的形式为Γ=max{Γ，Γ}，其中Γ和Γ都满足假设4.1，而DSΓ和DSΓ具有多项式增长，即存在一个正常数C和一个正整数N，例如|DSΓ+| DSΓ≤ C（1+| S | N）。那么（4.6）和（4.7）都有线性增长的非唯一强解。具体来说，Pb（t，S；Γ，ψ）∈ W2、1p、loc（新界）∩ C（新界）；Ps（t，S；Γ，ψ）∈ W2、1p、loc（新界）∩ {Pb≥ Γ}) ∩ C（NT），存在常数C，使得|Pb（t，S；Γ，ψ）|+Ps（t，S；Γ，ψ）|≤ C（1+| S |）。我们在附录中留下了证据。在本节的第一部分中，我们考虑一个具有先验集Θ和容许集∏的具体例子，其中Θ和∏在最后一节中给出。

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2022-5-8 00:28:19

我们用股息率q（·）和支付率Rτ表示风险中性的美式期权价格∧Tt（u） du+1{τ<T}Γ（τ，Sτ）+1{τ=T}ψ（ST）为P（T，S；q，Γ，ψ），与先验值SΘ和容许的se∏为P1m（T，S；Γ，ψ）的差异价格为m∈ {b，s}。我们可以将标准美式期权定价框架视为我们的投标价格独立定价模型的一个特殊情况，假设δO（`z，z）=0。命题4.6假设命题4.5中的假设是满足的，先验集是Θ，可容许集是∏如果每种成分Si中的Γ（S）和ψ（S）都在增加，那么投标价格由p1b（t，S；Γ，ψ）=P（t，S；σκ，Γ，ψ）和最优组合消费策略（π）给出*, C*) = （0，^c），以及最佳运动时间τ*= bτ，inf{s≥ t:P1b（s，Ss；Γ，ψ）=Γ（s，Ss）}∧ T.要价以p1b（T，S；Γ，ψ）为界≤ P1s（t，S；Γ，ψ）≤ P（t，S；0，Γ，ψ）与最优组合消费策略（π）*, C*) = （SDSP1s，^c.）如果每种成分Si中的Γ（S）和ψ（S）都在减少，那么投标价格由p1b（t，S；Γ，ψ）=P（t，S；0，Γ，ψ）和最优组合消费策略（π）给出*, C*) = (-SDSP，^c），以及最佳锻炼时间τ*= bτ。要价以p1b（t，S；Γ，ψ）为界≤ P1s（t，S；Γ，ψ）≤ P（t，S；σκ，Γ，ψ）与最优组合消费策略（π）*, C*) = （0，^c）。证据我们只证明了ψ（S）在每个分量Si中增加的情况，而减少的情况是相似的。让P，p1和P1b分别记录P（t，S；0，Γ，ψ）、P1s（t，S；Γ，ψ）和P1b（t，S；Γ，ψ）。首先，在命题3.3的证明中，通过BSDE比较定理和强解的正则性，我们推导出DSiP1m≥ 0代表m∈ {b，s}。

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可人4

2022-5-8 00:28:23

因此，对于投标价格，使用优化器π，dO（（σ（t））TSDSP1b，Bt）=（σ（t）κ）TSDSP1b*= 0，对于要价的情况：dO(-（σ（t））TSDSP1s，Bt）=0使用优化器π*= SDSP1。然后P1b（t，S；Γ，ψ）=P（t，S；σκ，Γ，ψ）来自于pricingequation（4.6）。与欧式期权不同的是，美国期权持有人的最优交易策略会影响卖方的要价。换句话说，（4.6）的解会影响（4.7）的解，因此我们不能期望卖出价与标准Black-Scholes市场的价格相等。我们首先证明了要价的下限。在（4.7）中的{P1b=Γ}域中，P1s=P1b=Γ就是这样。在域{P1b>Γ}中，注意dO（·，Bu）≥ 0，那么我们有了-tP1b- LP1b= （t）- dO（（σ（t））TSDSP1b，Bu）≤ （t） +做(-（σ（t））TSDSP1s，Bu）=-TP1- LP1。关于{P1b>Γ}的抛物线边界上P1b的连续性和边界条件。通过应用mma a.6，我们推导出P1b≤ P1s。接下来，我们使用类似的方法来证明要价的上界。自从P≥ Γ，我们嘲笑P≥ 域{P1b=Γ}中的p1来自（4.7）。注意dO（·，Bu）=0=dO(-（σ（t））TSDSP1s，Bt），我们推导出在{P1b>Γ}-TP1- LP1s=（t）≤ -总磷- LP。此外，p1的连续性简化了P1s=Γ的情况≤ 庞p{P1b>Γ}∩ 新界。另一方面，P1s=Ponp{P1b>Γ}∩ pNT。通过应用引理A.6，我们推导出P1s≤ P.命题n 4.7假设命题4.5中的假设满足，先验集为Θ，可容许集为∏。

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