引理A.6意味着P1b（t，S；Γ，ψ）更大，因为它有更大的终值和障碍物。根据命题4.6，与支付Γ+、ψ+isP（t，St；σκ，Γ+、ψ+）相关的投标价格，以及与支付Γ-, Ψ-是P（t，St；0，Γ）-, Ψ-). 因此，我们有投标价格的下限：P1b（t，S；Γ，ψ）≥ 最大值P（t，St；σκ，Γ+，ψ+），P（t，St；0，Γ）-, Ψ-).为了完成这一部分，我们给出了美式期权的差异价格与风险中性价格的收敛结果，如欧洲期权案例的3.5提案所示。命题4.8假设命题4.5中的假设满足，先验集为Θ，容许集为∏。然后，当先验集合Θ中的上界κ收敛到零时，买入价P1b和卖出价p1收敛到风险中性价格p，具体来说，|P1b- P |+| P1s- P|≤ Cκ*（1+| S |）在NT中，其中C是独立于κ的常数*.我们在附录中留下了证据。附录A相关PDE的一些结果在本附录中，我们提供了有关公用事业独立价格的相关定价PDE结果的一些技术细节。

主要参考文献是Lieberman[21]和Ladyzenskaja等人[20]。我们考虑以下一般形式的半线性抛物线偏微分方程：-总磷- LP=0英寸QT，P=ψ开启pQT，（A.1）其中pq是QT的后向抛物线边界，它是有界或无界后向抛物线域，微分算子lp，nXi，j=1aijSiSjP+nXi=1biSiP+cP+F（t、S、P、DSP）。假设A.1系数函数A在qt中是连续的，并且存在一个正常数，使得| A（t，S）|（1+| S |）-2+| b（t，S）|（1+| S |）-1+| c（t，S）|≤ K表示任何（t，S）∈ QT。假设A.2存在一个正常数K，使得| F（t，S，u，v）- F（t，S，u，v）|≤ K（1+| S |）（| u）- u |+| v- v |）表示任何（t，S）∈ QT，u，u∈ R、 v，v∈ 注册护士。首先，我们给出了（A.1）强解的存在唯一性结果：引理A.3设QT=[0，T）×Q，其中Q是一个有界开域，有界开域，假设满足假设A.1和A.2，并且满足QT中的一致正定义条件，即nXi，j=1aij（T，S）ξiξj≥ |ξ|/K表示任意（t，S）∈ QT，ξ∈ 注册护士。此外，F（·，·，0，0）∈ Lp（QT），ψ∈ W2，1p（QT）和一些p≥ 1.然后（A.1）有一个唯一的强解P∈ W2，1p（QT）。此外，以下估算值为SKP kW2，1p（QT）≤ CkF（·，·，0，0）kLp（QT）+kψkW2，1p（QT）,其中常数C取决于K，p，n，QT。接下来，我们给出了具有局部边界的PDE（A.1）的内部W2、1p估计和Cα估计，这是研究边界上低正则性问题或无边界do-main问题的关键工具。引理A.4设qt为有界或无界后向抛物域，Q*t是一个紧凑的QT子集。假设假设假设假设A.1和A.2满足，A满足Q中的一致正定义条件*T

此外，F（·，·，0，0）∈ Lp（Q）*T） 加一些p≥ 1.那么下面的估算值为kW2，1p（Q**（T）≤ CkF（·，·，0，0）kLp（Q*T） +kP kLp（Q）*（T）,Q在哪里**这是Q的一个紧子集*T、 C依赖于K，p，n，Q**T、 和距离（QT，Q*T） ，区（Q）*T、 Q**T） 。引理A.5设QT，[0，T）×Q，其中Q是具有连续边界的Rn中的开域，且*是Q的一个紧子集。假设假设假设a.1和a.2满足，并且a在Q中是统一的正定义*T、 [0，T）×Q*. 此外，F（·，·，0，0）∈ Lp（Q）*T） ，ψ∈ Cα，α/2（Q*) s omep>n+2，α∈ (0 , 1).然后存在一个常数β∈ （0，α）使得下面的估计值保持skp kCβ，β/2（Q**（T）≤ CkF（·，·，0，0）kLp（Q*T） +kP吉隆坡∞（Q）*T） +kψkCα，α/2（Q*),Q在哪里**是Q的一个紧集*, C，β依赖于K，p，n和α，T，dist（Q，Q*), 地区（Q）*, Q**).我们还给出了变分不等式（A.2）的A-B-P比较原理（见Friedman[11]和Tso[25]），这与经典解的比较原理类似。由于变分不等式的解通常是强解，而不是经典解，因此A-B-P比较理论更适合于变分不等式。另一方面，如果我们选择一个足够小的较低的障碍物Γ，使得解P>Γ（见定理B.1），则偏微分方程可以被视为变分不等式的特例。

因此，下面的引理也适用于我们考虑的偏微分方程。引理A.6，对于l=1，2，设PLP分别是下列变分不等式的强解-第三方物流- LPl=flif Pl>Γland（t，x）∈ QT，-第三方物流- LPl≥ flif Pl=Γland（t，x）∈ QT，Pl=ψlonpQT。（A.2）假设假设满足假设A.1和A.2，且A满足非负定义条件inQT，即nXi，j=1aij（t，S）ξiξj≥ 0表示任何ξ∈ Rn，（t，S）∈ QT。此外，ψl，Γl∈ C（QT），Pl∈ W2，1p，位置（QT）∩ C（QT）和一些p>n+2，并且存在一个正常数C和一个正整数n，使得| p |+| p |≤ C（1+| S | N）。然后我们有P≥ 引脚QTF≥ f、 ψ≥ Ψ, Γ≥ Γin QT。B命题的证明命题3.5的证明。证明P1b的结果是有效的，而P1b的证明是相似的。在不失去普遍性的情况下，我们假设κ*≤ 1.注意在这种情况下dO（v，Bt）=κTv+。然后是P1bsatis fies-tP1b- LP1b=（t）- NT中的（σ（t）κ）t（SDSP1b）+；P1b（T，S）=ψ（S）。（B.1）根据命题3.4，我们得到了P1b≤ 接下来，我们证明存在正常数C，C依赖于κ，因此p1b≥ P-κ*W、 W，CeC（T）-t） （1+| S |）。（B.2）事实上，由于Ql=SlP，l=1，n满足-tQl-在NT中，eLlQl=0；Ql（T，S）=Slψ（S），式中，nXi，j=1aij（t）SiSjSiSj+nXi=1小时（t）+ali（t）iSi硅。通过应用引理A.6，我们可以推断|SlP|≤ K、 whe re K是ψ的Lipschitz常数。此外，检查这一点并不困难SiW=CeC（T-t） Si | S |，| SiSiW|≤ W、 | SiSjSiSjW|≤ 因此，我们有-t（P-κ*W）- L（P- κ*W）- （t） +（σ（t）κ）t（SDS（P- κ*W）+=(-总磷- LP）+κ*(tW+LW）- （t） +（σ（t）κ）t（SDSP- κ*SDSW）+≤ -κ*（CW）- CW）+Cκ*|SDSP|≤ 只要足够小心。注意，这些常数与κ无关。通过再次应用引理A.6，我们证明了（B.2）。通过重复同样的论点，我们可以得出结论≤ P+κ*W

因此，如果我们表示P=P1b- P、 我们已经证明了|P|≤ κ*CeC（T）-t） （1+| S |）。（B.3）根据PDE（B.1）和引理A.4，我们得到了以下估计kp1bkW2，1p（N*（T）≤ CK吉隆坡（新界）+kP1bkLp（新界）≤C（B.4）对于任何紧致子集N*Tof NT，其中常数C，C依赖于N*T、 但与κ无关。很明显满足感-TP- LP=-（σ（t）κ）t（SDSP1b）+in-NT。通过再次应用引理A.4，我们推断出P kW2，1p（Q*（T）≤ Ck（σ（t）κ）t（SDSP1b）+kLp（Q）*T） +kkLp（Q*（T）≤ Cκ*,我们使用（B.3）和（B.4）的地方。命题4.5的证明。首先，我们证明了线性质量变量（4.6）的强解PBS的存在性。我们使用惩罚方法来近似变量不等式（4.6）。-tPm- LPm=（t）- dO（（σ（t））TSDSPm，Bt）+m（Pm）- Γ)-在新界；Pm（T，S）=ψ（S）。（B.5）由于上述问题m位于无界域，且终值ψ的正则性不高，我们需要平滑ψ，并使用以下有界域中的问题来近似无界域中的上述偏微分方程。-tPk，m- LPk，m=（t）- dO（（σ（t））TSDSPk，m，Bt）+m（Pk，m）- Γ)-在NkT；Pk，m（t，S）=ψk（S）onpNkT，（B.6）其中NkT，[0，T）×Nk，和Nk，{S∈ 注册护士：1/k≤ 硅≤ k、 i=1，··，n}，k∈ N+。ψkis是ψ的光滑函数，定义如下。用η表示标准摩尔数，然后ηk（S）=knη（kS），ψk（S）=ZRnψ（y）ηk（S）- y） dy+kk，其中ψ（y）=0，如果y/∈ N很明显，ψk∈ C∞（Q） 对于任何k∈ N+。对于任何α，都不难推断ψkC与ψinCα（NR）重合∈ （0,1），R∈ N+作为k→ ∞, 存在一个独立于m，k和Γ的常数C，使得|ψk|≤ C（1+| S |），DSψk |≤ C、 ψk≥ Γ.

（B.7）自非线性项-dO（σ（t）v，Bt）+m（u）- Γ)-Lipschitz关于u，v，and是连续的吗-dO（0，Bt）+m（0）- Γ)-在NkT中有界，我们推导出问题（B.6）有唯一的强解PK，m∈ W2，1p（NkT）∩ 引理A.3的C（NkT）。接下来，我们证明了Pk，m的一些估计，它们与k，m无关，以获得一些适当的收敛结果。首先，我们给出了Pk，m的上界。更准确地说，存在常数C，Cindependent of m，k，因此Pk，m≤ W，CeC（T）-t） （1+| S |）。（B.8）事实上，我们首先选择了足够的坦率，以便≥ Γ，那么我们有-tW- LW- （t） +dO（（σ（t））TSDSW，Bt）- m（W）- Γ)-≥ CW- CW- C≥ 此外，通过（B.7），很明显W（t，S）≥ ψk（S）=Pk，m（t，S）on给我足够的照顾。那么引理A.6意味着（B.8）。接下来，我们证明了Pk，m的下界，即有常数C，C依赖于m，k和Γ，这样Pk，m≥ W-CeC（T）-t） （1+| S |）。（B.9）事实上，我们可以选择足够的坎德·克拉奇-tw- Lw- （t） +dO（（σ（t））TSDSw，Bt）- m（w）- Γ)-≤ Cw- Cw+C+C |（σ（t））TSDSw |≤ 0;w（t，S）≤ ψk（S）=Pk，m（t，S）onpNkT。引理A.6意味着（B.9）。通过将Le mma A.4和A.5应用于域NRTwith k>R，R中的PDE（B.6）∈ N+，我们导出了常数C依赖于m，R，但与k无关，因此kpk，mkW2，1p（NRT∩{t≤T-1/R}）+kPk，mkCβ，β/2（NRT）≤ 铬kPk，mkL∞（NRT）+kdO（0，Bt）kLp（NRT）+km（Pk，m）- Γ)-kLp（NRT）+kψkkCα（NR）+1≤ C、 我们使用了（B.8）和（B.9）。由于上述估计，我们可以通过[28,27]中的方法证明（B.6）的解近似于（B.5）的解。更重要的是，存在一个函数pm，使得某些子类nc eof{Pk，m}∞k=1在W2，1p（NRT）中弱收敛到PM2∩ {t≤ T- 1/R}）和C（NRT）中的强函数∈ N+，PMI是（B.5）的强溶液。

此外，通过→ ∞ 在（B.8）和（B.9）中，我们有- CeC（T）-t） （1+| S |）≤ 下午≤ CeC（T）-t） （1+| S |）inNT，（B.10）其中C，C，C，Care独立于m，C，Care独立于Γ。为了证明（B.5）的解近似于变分不等式（4.6）的解，我们需要证明pm的另一个下界，比如pm≥ Γ -Wm、W、CeC（T）-t） （1+| S | N+2）（B.11）前提是m足够大，其中C是独立于m的Care常数。实际上，表示w*=Γ- W/m，我们可以检查一下-tw*- Lw*- （t） +dO（（σ（t））TSDSw*, （英国电信）- m（w）*- Γ)-≤ (-tΓ- LΓ）-CW- CWm+C+C |（σ（t））TSDSΓ- W≤ C（1+| S | N+2）- W≤ 0C，注意大尺寸无。引理A.6表示Pm≥ Γ- 通过重复相同的公式，我们可以推断出Pk，m≥ Γ- W/m，所以（B.11）是显而易见的。通过应用Le-mma A.4和A.5，我们推导出存在一个常数依赖于m，例如kPMKW2，1p（NRT∩{t≤T-1/R}）+kPmkCβ，β/2（NRT）≤ 铬kPmkL∞（NRT）+kdO（0，Bt）kLp（NRT）+km（Pm）- Γ)-kLp（NRT）+kψkCα（NR）+1≤ C、 我们使用了（B.10）和（B.11），常数C独立于m。由于上述估计，我们可以通过[11,28]中的方法证明（B.5）的解近似于（4.6）的解。更精确地说，存在一个函数P，使得{Pm}的某些子序列∞m=1在W2，1p（NRT）中弱收敛到P∩ {t≤ T- 1/R}）和C（NRT）中的强∈ N+，P是问题（4.6）的强解。因此，我们证明了变分不等式（4.6）强解的存在性。由于R是任意的，我们推断出Pb∈ W2、1p、loc（新界）∩ C（新界）。此外，通过→ ∞ 在（B.10）中，我们有- CeC（T）-t） （1+| S |）≤ PB≤ CeC（T）-t） （1+| S |）在新界，（B.12），其中C，独立于Γ的护理。变分不等式（4.6）强解的唯一性来自引理A.6。结果的证明与此相似。第4.8节的提案证明。

这个证明类似于P位置3.5的证明。首先，我们证明了P1b的结果。在不失去普遍性的情况下，我们假设κ*≤ 1.我们首先证明|SlP|≤ 对于任何l=1，··，n，（B.13），其中K是Γ和ψ的利普希茨常数。由于变分不等式（4.6）解的正则性不足，我们必须从罚问题（B.5）开始证明结果。注意，在这种情况下dO（v，Bt）=0，那么惩罚问题是-tPm- LPm=（t） +m（下午）- Γ)-;Pm（T，S）=ψ（S）。表示Ql=SlPm，l=1，··，n满足-tQl-bLlQl=m新界的SlΓI{Pm<Γ}；Ql（T，S）=Slψ（S），其中bll，nXi，j=1aij（t）SiSjSiSj+nXi=1小时（t）+ali（t）iSi硅- mI{Pm<Γ}。通过应用引理A.6，我们得到|SlPm|≤ 对于任何l=1，··，n，通过让m→ ∞, 我们推断（B.13）。注意，在这种情况下dO（v，Bt）=κTv+。然后是P1bsatis fies-tP1b- LP1b=（t）- （σ（t）κ）t（SDSP1b）+如果P1b>Γ；-tP1b- LP1b≥ （t）- （σ（t）κ）t（SDSP1b）+如果P1b=Γ；P1b（T，S）=ψ（S），（B.14）从命题4.7，我们得到了P1b≤ 接下来，我们证明存在正常数C，C依赖于κ，这样p1b≥ W*= P- κ*W、 W，CeC（T）-t） （1+| S |）。（B.15）事实上，重复第3.5条的论证，我们已经（t） ,，- tw*- Lw*+ （σ（t）κ）t（SDSw）*)+-- 总磷- LP+ （t） =κ*(tW+LW）+（σ（t）κ）t（SDSP- κ*SDSW）+（t）≤ -κ*（CW）- CW）+Cκ*|SDSP |+（t）≤ （t） 提供C，足够的护理，在我们使用的地方（B.13）。因此，变分不等式为*满足感-tw*- Lw*+ （σ（t）κ）t（SDSw）*)+= E（t） 如果w*> Γ - κ*W-tw*- Lw*+ （σ（t）κ）t（SDSw）*)+≥ E（t） 如果w*= Γ - κ*WW*（T，S）=ψ（S）-κ*W（T，S）。通过再次应用引理A.6，我们得到了（B.15），从而证明了P1bhas的结果。接下来，我们证明P1s的结果。

由于P1s=Γ=P1bin集合{P1b=Γ}，P1b的结果是|P1s- P|≤ Cκ*在{P1b=Γ}中。然后证明上述不等式在集合{P1b>Γ}中成立。从命题4.7中，我们得到了P1b≤ P、 所以{P1b>Γ} {P>Γ}。因此，在集合{P1b>Γ}中，p1和Psatisfy-TP1- LP1s=（t） +（σ（t）κ）t（SDSP1s）-在{P1b>Γ}中；-总磷- LP=（t） 在{P1b>Γ}中|P1s- P |=| P1b- P|≤ Cκ*（1+| S |）开p{P1b>Γ}。重复上述相同的步骤，我们已经证明了P1s的结果。为了完成附录，我们给出了变分不等式（4.6）和偏微分方程（3.4）之间的以下联系，这是（B.12）的直接结果。定理B.1假设假设假设2.1、2.2、3.1满足，则存在一些函数Γ∈ C∞（NT）满足假设4.1，使得（4.6）等同于（3.4）。证据根据（B.12）和假设3.1，我们可以选择一个足够大的常数C，使得Γ=-2Cp1+| S |，满足假设4.1，以及∈ C∞（NT）带Pb>Γ。既然Pb>Γ，那么（4.6）意味着-tPb- LPb=（t）- NT中的dO（（σ（t））TSDSPb，Bt）。因此，（4.6）相当于（3.4）。参考文献[1]安·德森E、汉森L、萨金特T.稳健性、检测和风险价格。技术报告，芝加哥大学，1999[2]安·基什内尔S，伊姆凯勒P，多斯·赖斯G.基于不可交易基础的衍生产品定价和定价。数学金融，20（2）：289-312（2010）[3]Becher D.恒定绝对风险规避下综合风险的理性对冲和估值。保险：数学与经济学，33（1）：1-28（2003）[4]陈，Z，爱泼斯坦L.连续时间中的模糊性、风险和资产回报。《计量经济学》，70:1403-1443（2002）[5]Cheridito P，Hu Y.具有一般约束的不完备市场中的最优消费和投资。斯托克。戴恩。，11283:283-299（2011）[6]续。模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。

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