养老金计划的随机模型

2022-5-6 15:25:57

养老金计划的随机模型planPaz-Grimberg和Zeev-Schuss*特拉维夫大学应用数学系，特拉维夫拉马特·阿维夫，特拉维夫69978，以色列2014年7月3日摘要构建可行的养老金计划是金融合同定价研究中出现的一个问题，如今具有特殊重要性。确定性养老金模型通常依赖于基于股票市场“平均”长期行为几个假设的预测。我们在这里的目的是在更现实的随机模型环境中检验一些流行的“平均”假设。因此，我们研究了这样一种观点，即股票市场投资类似于赌场赌博，而在尽职调查后，收购公司更安全，前提是作为全资拥有其他公司的控股公司，可以避免一些股票市场风险。我们表明，股票市场指数忠实地反映了其公司在发布时的业绩。我们将标准普尔500指数累计财务收益的历史动态变化与其价值进行比较，并发现高度相关性。我们得出结论，完全拥有超级信托基金对养老基金没有好处。通过检验历史数据，我们验证了股票收益遵循指数（几何）布朗运动，并估计了其参数。

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2022-5-6 15:26:00

该模型的稳健性通过对养老金领取者在一个储蓄期内累积资产的估计来检验。我们还估计了在养老金领取者剩余寿命内累积的个人基金的生存概率和平均生存时间。PACS编号：87.10、89.65-s、，89.65GMOS编号：91Bxx，91B60，91B62，91B70，91B28关键词：随机建模，市场模型，养老金计划，投资组合，投资1简介本文基于论文[1]，其中包含了下面讨论的模型的数字，分析和统计计算的许多额外细节。*电子邮件：pazgrimberg@gmail.com, schuss@post.tau.ac.il1.1什么是养老金计划？养老金计划是未来退休人员将其当前收入流的一部分转移到退休收入的一种方法。养老金计划通常分为两类：1。明确的福利计划——养老基金（如雇主）保证退休人员在退休时获得固定的、预先确定的福利，无论投资表现如何。2.固定缴款计划——养老基金对一个基金池进行预先确定的缴款，通常免税，为养老基金的未来收益预留。然后代表退休人员对该基金池进行投资，使其能够在退休时获得收益。退休人员获得的最终收益取决于投资绩效。养老金通常在退休人员退休后一次性支付。然而，在一些国家，如英国，法律要求会员购买年金，然后提供固定收入。养老金在西方文明中有着悠久的历史。养老金的概念可以追溯到罗马帝国[2]，那里的统治者和议会为他们的工人提供养老金，这些工人帮助他们的政权永久化。

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2022-5-6 15:26:02

两千多年前，罗马共和国的衰落和帝国的崛起与军队养老金的支付或不支付有着密不可分的联系。1875年，美国运通公司在美国设立了第一家私人养老金公司[3]。1870年以前，私营部门的计划并不存在，主要是因为大多数公司都是小型家族企业。1.2公共和私人养老基金公共养老基金受公共部门法律监管，而私人养老基金受私营部门法律监管。在某些国家，公共或ZF养老基金与私人养老基金之间的区别可能难以评估。在其他国家，法律对这一区别做出了明确规定，对管理和投资有非常具体的要求。例如，美国的地方ZF机构受制于各州通过的法律，这些地方存在这些法律，包括规定允许投资的类别和最低市政义务[4]。1.3养老金危机退休时固定的、预先确定金额的福利义务使保险人面临巨大风险。福利金额的计算基于难以衡量或预测的财务假设。这些假设包括员工的寿命、养老金投资获得的回报、未来税收和罕见事件，如自然灾害。另一方面，固定缴款计划将风险转移到被保险人身上，被保险人在退休日依赖养老基金的表现。2009年退休的个人获得的收入远低于2011年。

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2022-5-6 15:26:05

以下数据描绘了英国和美国养老金计划的严峻前景。在美国，2008财年末，美国各州必须留出2.35万亿美元用于支付员工退休福利，与这些承诺的3.35万亿美元价签之间有1万亿美元的差距[5]。截至2010年8月，社会保障项下未备基金债务的现值约为54亿美元[6]。此外，根据美国国会预算办公室[7]，美国州和地方养老金计划表现出结构性短缺，这可能会造成一个长期存在的问题。在英国，许多员工面临着收入远低于预期的退休。向固定缴款计划缴款40年的员工可能只能获得预期退休收入的一半[8]。根据国际货币基金组织[9]，西方经济体将不得不额外留出2010年GDP的50%来支持退休人员。有人建议进行几项改革来解决养老金危机。1.4改革方案可分为三类。1.为了满足预先存在的固定福利义务，应提高退休年龄。2.为了降低风险和减少债务，应将养老金计划从固定收益转移到固定缴款。3.为了提高累积财富，应该通过提高缴费率和税收来增加养老金的资源配置。第一次改革没有展示任何结构性解决方案，而是试图推出一项改革。第二项改革仍然存在明确的缴款计划的风险，第三项改革涉及提高税收，这可能会降低工作报酬，从而降低工作激励。建立超级信托基金是基于这样一种信念，即其投资政策能够实现低波动、低风险和稳定增长。

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2022-5-6 15:26:08

这些政策包括对生产基础产品或大宗商品的公司100%的股份购买，这些产品或大宗商品具有潜在的经济实体和高而稳定的需求。超级信托基金不进行没有基本价值的投资。超级信托认为有风险的投资包括股票、债券、货币、套利交易、期货、期权和所有形式的衍生品。这种方法的动机基于一长串历史金融危机。只举几个例子：1。黑色星期一（1987）——道琼斯工业平均指数一天内下跌22.61%[11]。储蓄和贷款（20世纪80年代、90年代）——美国近25%的储蓄和贷款协会失败，价值4020亿美元[12]。仅1996年一年的危机成本就估计为1600亿美元，1996年的总成本为3700亿美元，其中92%来自纳税人。3.俄罗斯金融危机（1998年）-一些因素，例如特别高的固定汇率和长期的金融危机，导致俄罗斯ZF使债务贬值，拖欠国内债务，并暂停向外国债权人付款[13]。因此，当年的通货膨胀率达到了84%。银行关门了。数百万人失去了毕生积蓄。其直接后果是，美国对冲基金崩溃，包括长期资本管理公司（LTCM），该公司在美联储的监督下获得了36亿美元的救助[14]。4.网络泡沫（2000年）——纳斯达克综合指数下跌78%$公司市值损失5万亿美元。5.次贷危机（2008年）——美国人损失了超过四分之一的互联网价值。房价下跌，GDP开始收缩，失业率从5%上升到10%。标准普尔500指数较2007年10月的峰值下跌57%。

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2022-5-6 15:26:10

美国国债总额从危机前占GDP的66%上升到危机后的103%以上[15]。此外，算法交易、系统交易、高频交易和对冲基金的兴起催生了新型股市崩溃——计算机代码崩溃。例如，2010年的Flash崩溃[16]，以及2012年的Knight Capital Group崩溃[17]，都是运行复杂算法的计算机崩溃的结果。这些危机导致超级信托寻求净收入增长，而不是股市回报。1.4.1 S&P500指数作为养老金领取者资产的模型为了养老基金建模，我们采用S&P500指数方法[18]作为养老基金投资政策的代表性策略。具体而言，标准普尔500指数的资格标准为1。市值超过46亿美元。2.年度美元交易价值大于纳入前6个月的市场价值。3.在纳入前的6个月内，其每月至少有250000股股票交易。4.这是一家美国公司。5.公司至少有50%的股份提供给公众。纳入前至少连续4个季度盈利为正。7.在过去6-12个月内，首次公开募股（IPO）尚未上市。如果下列情况之一成立，公司将被排除在基金之外。1.涉及至少1次违反上述资格标准的合并或收购（M&a）。2.公司在ongoingbasis上至少违反了上述资格标准中的一项。这种投资方法与养老基金的目的一致，因为符合上述要求的公司是可定义的：它们表现出连续4个季度的正收益，而且不表现出持续的负收益。此外，这些公司流动性强，市值超过46亿美元。

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mingdashike22

2022-5-6 15:26:13

此外，标普500指数97%的减记是由于toM&As，且一家公司在指数中的平均停留时间为16.7年，这一历史事实强化了这样一种观念，即这些公司总体上是可盈利和稳定的。因此，这些特点使他们有资格成为具有实质性经济成分的公司，适合养老基金的投资。1.4.2投资绩效养老基金是公司净利润的收益，由管理层自行决定其相关公司保留的净利润金额以及累积到养老基金中的金额。为了能够衡量基金的业绩，我们假设投资组合的净利润没有一个是由相关公司确定的，并且基金累积了整个投资组合的净收益。因此，相对于初始时间t，基金在时间t的净收入增长由R（t）=Pi=1NIi（t）Pi=1NIi（ti）给出，其中NIi（t）是在时间t时标普500中的第i家公司的净收入，ti是该公司首次纳入指数的时间。1.4.3[19]中引入了投资策略Fama的有效市场假说（EMH）。该假说指出，不可能“击败市场”，因为股票市场的效率导致现有股票价格始终包含并反映所有相关信息。

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mingdashike22

2022-5-6 15:26:16

根据指数ρ系数&P50 0.89S&P500 0.92表1：市场代表性美国指数经CPI调整后的收益表现与CPI调整后的价格表现之间的相关性。根据有效市场假说，股票在证券交易所的交易总是以公允价值进行的，这使得投资者既不可能购买低估的股票，也不可能以低估的价格出售股票。因此，可以合理地假设，以标准普尔为代表的整个市场的集体价格应包含并反映有关其组成部分的所有信息，包括其发布时的盈利表现。我们通过比较两个标准普尔指数的历史收益率与它们的位移值来证明这一论点，通过在财务报表所指的季度加上3个月来近似计算。例如，如果一家公司报告了第二季度的净收入，我们将9月30日指定为公布日期。之所以选择3个月轮班，是因为法律要求美国公司在下一个季度结束前公布季度财务报告。我们从CRSP/COMPUSTAT合并数据库[20]中获取财务报表和价格数据，并绘制1970年至2011年经CPI调整的净收入增长率R（t）的历史月度表现。我们还绘制了0.6%的窗口移动平均线，以突出其趋势。为了强调其动态的高度相关性，我们将CPI调整后的收益表现与净收益曲线的变化趋势进行对比。所选代表市场的指数分别为areS&P50和S&P500（见图1、2）。此外，我们还计算了转移收益（原始、非平滑）与收益表现之间的皮尔逊相关系数。

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2022-5-6 15:26:19

皮尔逊系数由ρ（X，Y）=Cov（X，Y）σXσY=E[（X）给出- uX）（Y）- uY）]σXσY。这些结果似乎推翻了人们普遍持有的观点，即股市投资类似于赌场赌博，而购买公司是安全的。我们的结论是，股票市场指数忠实地反映了公司发布时的业绩，从而强化了有效市场假说。此外，根据对历史数据的分析，股票价格表现更好，同时也同样安全。鉴于上述情况，我们重新制定了建议的投资策略，购买标准普尔500家公司的股份，而不是100%的股份。我们的股票计划中包含了对股票市场的初始贡献。60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 15-40-30-20-10010203040倍标准普尔500指数净收益标准普尔500指数净收益简单移动平均值60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 1502040 020040标准普尔500指数净收益的百分比变化图1：（左）标准普尔500指数调整后的净收益增长率R（t）（青色）。R（t）的移动平均值（黑色）。（右）标准普尔500指数调整后收益率（青色）。标准普尔500指数调整后净收益增长的移动平均值（黑色）。60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 15-1001020304050TimeS&P 50净收益SP50净收益简单移动平均60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 150102030405060 0510152025SP50回报SP50 SMA净收益的百分比变化图2：（左）青色S&P50 CPI调整后净收益增长率R（t）。（左）R（t）的黑色移动平均值。（右）青色标准普尔500指数调整后的回报。（右）标准普尔50指数调整后净收益增长的黑色移动平均值。2随机模型及其分析在本节中，我们提出了一个投资于经济的养老金储蓄组合的连续时间随机模型，该模型由标准普尔500指数表示。

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2022-5-6 15:26:27

我们公式化了关于投资组合稳健性和可靠性的概率问题。这些问题被重新表述为养老金投资组合和工资增长的联合概率密度函数的福克-普朗克方程的初边值问题，并通过数值求解方程来回答。投资组合的当前价值以标准普尔500指数（S&P500 index）为模型，该指数旨在代表养老金领取者的资产。被保险人的工资对基金的持续贡献也被建模为一个随机过程。这两个模型被组合成一个养老基金增长的二维模型，该模型取决于养老金领取者的初始工资。我们对个人受益的可能性感兴趣。二维模型的结果总结在模型的无量纲参数表和三维数值结果图中。此外，我们定义了一个随机消费过程，该过程描述了个人的资源消耗状态。我们假设养老金领取者的年度费用的固定美元金额率，并计算养老金消费过程的生存概率，即在给定的退休年限后仍有养老金剩余的概率。

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2022-5-6 15:26:30

我们还将消费过程的平均首次通过时间（MFPT）计算为0，这是养老金用完的预期时间。最后，我们假设养老金领取者的寿命是随机分布的，根据一定的密度函数，并计算养老金计划在养老金领取者身上存活的概率，即养老金领取者在消费所有养老金之前死亡的概率。2.1扩散模型资产价格建模中的一种常见做法是用马尔可夫过程（如扩散和跳跃扩散过程）来表达各种因素，如有效市场假设和随机性[27]。因此，我们将工资和市场波动建模为差异过程，并根据历史数据证实其漂移和差异系数。我们使用股票市场指数增长模型的历史价格数据和工资模型的历史年度工资数据。

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2022-5-6 15:26:33

我们对离散时间过程使用连续时间近似。向量值扩散过程x（t）是一个连续时间马尔可夫过程，其轨迹几乎肯定是连续的，满足以下条件[32]，limT→0tE{x（t+（t）- x（t）|x（t）=x}=a（x，t）limT→0十[x（t+（t）- x（t）][x（t+（t）- x（t）]t | x（t）=xo=σ（x，t）（1）limT→0tE|x（t+（t）- x（t）| 2+δ| x（t）=x= 0，对于某些δ>0的情况。我们考虑的离散模型是它的解^o随机微分方程（SDE），形式为dx（t）=a（x（t），t）dt+B（x（t），t）dw（t），（2），其中w（t）是一个向量标准数学布朗运动（MBM）[32]，B（x（t），t）是一个矩阵，使得σ（x，t）=B（x（t），t）BT x（t），t）。在（2）的长时间数值模拟中，我们通过（2）的离散欧拉近似方案的解，用漂移系数向量a（x，t）和扩散矩阵B（x，t）来近似连续轨迹，这是根据历史经验向量估计的。2.1.1模型简化如上所述，漂移a（x，t）和扩散矩阵B（x，t）通过（1）中历史数据的样本平均和插值函数的拟合获得。我们可以假设这些系数也是随机的，因为它们取决于驱动MBM a（x，t）的特定轨迹，或者由它们自己的随机方程控制，而不是通过插值来近似It^o系数。2.1.2指数布朗运动概述标量指数布朗运动x（t）是几何布朗运动的修正，由线性It^o方程dx（t）=a（t）x（t）dt+b（t）x（t）dw（t），x（0）=x（3）定义，其中a（t）和b（t）为连续函数，w（t）为MBM。该解决方案以一种简单的方式给出，即byx（t）=xexptZ甲(s)-乙(s)ds+tZb（s）dw（s）.

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2022-5-6 15:26:38

（4）所有k>0的力矩mk（t）=Exk（t）由mk（t）=xkexp给出ktZa（s）ds+K- KtZb（s）ds. （5）图塞克斯（t）=xexptZa（s）dsVar[x（t）]=xexptZa（s）ds经验tZb（s）ds- 1.. （6）或者，可以通过观察x（t）具有对数正态分布x（t）来计算x（t）的矩~ LN（u，σ），其中u=对数（x）+tZ甲(s)-乙(s)ds，σ=tZb（s）ds。因此，力矩为e[x（t）]=eu+σ=xexptZ甲(s)-乙(s)ds+tZb（s）ds= xexptZa（s）dsVar[x（t）]=eσ- 1.e2u+σ=xexptZa（s）ds经验tZb（s）ds- 1.. （7）非齐次线性SDEdX（t）=[a（t）X（t）+a（t）]dt+[b（t）X（t）+b（t）]dW（t），X（t）=X（8）的解由X（t）=H（t）给出1+tZt甲(s)- b（s）b（s）H（s）ds+tZtb（s）H（s）dW（s）. （9）其中H（t）是齐次SDEdH（t）=a（t）H（t）dt+b（t）H（t）dW（t）的解（4），H（t）=X，（10）由H（t）=Xexp给出tZt甲(s)-乙(s)ds+tZtb（s）dW（s）. （11） 2.2长期股票收益的随机模型标准普尔500指数的收益过程只有一条轨迹，因此为了构建其长期差异模型，我们将该指数表示为潜在单个股票收益的加权平均数。因此，我们首先对标准普尔500指数成份股的消费者价格指数调整（CPI调整）回报的动态和影响进行建模。因为股票收益率xi（t）是无量纲的，也就是说，以百分比来衡量，我们假设，尽管在统计上是独立的，但它们在统计上是相同的。也就是说，ALL和P500股票收益率xi（t）是单个SDEdx（t）=a（x（t），t）dt+b（x（t），t）dw（t），x（t）=1的输出。等价地，xi（t）可以被认为是相同且独立的sdexi（t）=a（xi（t），t）dt+b（xi（t），t）dwi（t）的输出，对于i=1，2。

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2022-5-6 15:26:41

，（12）其中wi（t）是独立的MBM。2.2.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们用S（τ，x）表示在τ月末，标准普尔500指数组成的所有股票收益的集合，其价格相对于其指数包含价格乘以x倍。如果astock在τ之前不止一次被纳入S&P500，则取最后一次纳入日期。第j只股票的股票收益过程轨迹用xj（t）表示。（12）的连续轨迹经CPI指数贴现后，被认为是离散月度CPI调整收益向量的近似值。因此，股票收益的漂移和扩散系数（1）近似为a（x，τ）=S（τ，x）|Xs∈S（τ，x）[xs（τ+1）-xs（τ）]（13）b（x，τ）=|S（τ，x）|xs∈S（τ，x）[xs（τ+1）-xs（τ）].2.2漂移和扩散面插值历史S&P500数据的来源是CSRP/计算合并数据库，用于历史月度股价和历史S&P500组成。我们使用美国劳工统计局的历史消费者价格指数（CPI）值。我们计算1970年1月至2011年12月之间τ的（13），以获得漂移和波动表面Ga={（x，t，a（x，t））}，Gb=x、 t，b（x，t）.这些曲面通过投影到t轴上进行插值，以获得1970年的GA[t]={（x，a（x，t））}≤ T≤ 2011年，Gb[t]=（x，b（x，t））, 1970年≤ T≤ 2011.对于每个t，平面曲线Ga[t]和Gb[t]分别用一个线性函数Ga[t]和一个二次多项式Gb[t]进行插值。

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mingdashike22

2022-5-6 15:26:44

重新组装的平面内插器形成内插曲面Ga=nx、 t，~Ga[t]（x）∈ R1970≤ T≤ 2011o，~Gb=nx、 t，~Gb[t]（x）∈ R1970≤ T≤ 2011年。2.2.3数值结果构造形式为（x，t）=Ga[t]（x）=q（t）x+q（t）b（x，t）=Gb[t]（x）=r（t）x+r（t）x+r（t）x+r（t）x+r（t）t的插值器（Ga[t]，（14）我们确定q（t），q（t），r（t），r（t），r（t），r（t）∈ R通过最小化最小平方传感器中的残差xhGa[t]- Ga[t]i，Xxh~Gb[t]- Gb[t]i，每1970年≤ T≤ 2011.根据投影Ga[t]和Gb[t]绘制的插值函数Ga[t]和Gb[t]在[1]中给出。2.2.4图3中绘制了1970年的系数q（t）≤ T≤ 2011.为了简单起见（见2.1.1），我们用移动平均值近似函数q（t），也就是说，在每一点上，函数等于前面N点上函数值的平均值。所得近似值为康斯坦特（t）=0.002742。函数q（t）是为1970年绘制的≤ T≤ 2011年及其恒值Q（t）的移动平均结果≡ 0.在图4中，绘制了1970年的系数r（t）≤ T≤ 2011年及其移动平均值为常量估价师（t）=0.01。函数r（t）是为1970年绘制的≤ T≤ 2011年，其移动平均值为常数（t）=0。函数r（t）是为1970年绘制的≤ T≤ 2011年，其移动平均值为恒常值（t）≡ 0.代入q，q，r，r，rinto（12），我们得到dxi（t）=qxi（t）dt+rxi（t）dwi（t），xi（ti）=x.（15）2.2.5时间尺度的变化随机过程xi（t）的时间单位是月。我们改为年的时间尺度，这样我们就可以匹配年收入数据的时间尺度。-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3图3：（左）1970年至2011年间的坡度q（t）（青色）。带5%窗口（黑色）的坡度q（t）的移动平均值。（右）1970年至2011年间的常数项q（t）（青色）。

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kedemingshi

2022-5-6 15:26:47

具有5%窗口（黑色）的常数项q（t）的移动平均值。-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2.5-2.-1.5-1.-0.500.511.5-50510图4：（左）1970年至2011年间领先的二次系数r（t）（青色）。r（t）的移动平均值，带有5%的窗口（黑色）。（中）1970年至2011年之间的系数r（t）（青色）。具有5%窗口（黑色）的常数项r（t）的移动平均值。（右）1970年至2011年间的系数r（t）（青色）。带5%窗口（黑色）的r（t）移动平均值。对于任何正常数c，过程变换W（t）=cw（t/c）（16）也是MBM[32]。利用（4），由xi（t）=xoexp给出（15）的解Q-Rt+rwi（t）, （17）再加上（16）和c=1/√12，我们用xi（t）=xexp的年份来测量t，得到xi（t）Q-Rt+√12跑道（t）（18）它满足随机方程dxi（t）=ψxi（t）dt+φxi（t）dwi（t）xi（ti）=x，（19），常数ψ=12q=0.0329，φ=√12r=0.3464.2.3股票市场收益率指数的随机模型我们接下来寻求确定股票市场收益率指数的随机动力学。Thereturns指数由其组成部分收益的加权平均数决定。我们在下面展示，对于大量求和，在某些假设下，加权平均值的行为与算术平均值一致。2.3.1加权平均数的弱大数定律我们考虑一系列i.i.d.随机变量，具有有限的第一矩u和方差σ。对于权重λi，n，i=1，2，n和n=1，2。使得pni=1λi，n=1，pni=1λi，n=O（n-1).

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2022-5-6 15:26:50

加权平均Xn（t）=Pni=1λi，nxia的前两个矩由[Xn]=nXi=1λi，nExi=u，Var[Xn]=E给出nXi=1λi，nXi！- u==Xi6=jλi，nλj，nE[xi]E[xj]+nXi=1λi，nE[xi]- u=uXi6=jλi，nλj，n+σ+ unXi=1λi，n！- u=unXi=1λi，n！+σnXi=1λi，n！- u=σnXi=1λi，n=σO（n-1).切比雪夫不等式- u| > } ≤Var[Xn]=σO（n）-1)= σO（n）-1）因此 > 0limn→∞Pr{|Xn- u| > } = 画→∞σO（n）-1) = 0.这就跟那个利姆一样→∞公关(nXi=1λi，nXi-nnXi=1xi> )= 0.（20）2.3.2等权重指数模型2001年至2011年的标准普尔500指数年末权重与λi，n=iα/Pni=1iα非常接近，α=18（见[1]）。这种权重满足加权平均的弱大数定律。实际上，λi，n=iαPni=1iα=n在里面αPni=1在里面αn≈N在里面αRxαdx=（α+1）n在里面α和nxi=1λi，n≈（α+1）nnXi=1在里面2αn≈（α+1）nZx2αdx=n-1（α+1）2α+1=O（n-1).因此，通过（20），我们假设此后的等权indexXn（t）=nnXi=1xi（t）。（21）对数正态随机过程之和的漂移是线性的，因此等于潜在漂移的平均值。然而，通过将n个独立的MBMs运动组合成一个，可以获得扩散系数。因此，Xn（t）的SDE是给定的nBydxn（t）=dnnXi=1xi（t）！=ψ（t）nnXi=1xi（t）dt+φ（t）nnXi=1xi（t）dwi（t）=ψ（t）Xn（t）dt+nφ（t）VuTutnxi=1xi（t）dW（t）。（22）关于确定对数正态随机变量（rvs）平均值的分布，已经做了很多研究。大偏差理论和中心极限定理方法往往会失败，因为对数正态rvs不存在矩母函数。已经提出了几种数值方法来近似对数正态rvs之和。在[33]中，最速下降技术用于使用Lambert-W函数对对数正态rvs之和的累积分布函数（cdf）进行数值评估。

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2022-5-6 15:26:52

这种方法只适用于少数方差相对较低的求和。在我们的例子中，如果考虑长期投资，差异会变得更大。在Fenton-Wilkinson（F-W）方法[34]，[35]中，总和用另一个对数正态分布近似，其前两个矩与总和相匹配。数值模拟表明，F-W方法是一种很好的长期平均过程近似方法。2.3.3对数正态i.i.d.随机变量pdf的对数正态近似我们利用F-W矩匹配技术构造线性随机方程dzn（t）=ψ（t）Zn（t）dt+Φ（t）Zn（t）dw（t）。（23）这样。Zn（0）=Xn（0）2。E[Zn（t）]=E[Xn（t）]，每t≥ 03.Var[Zn（t）]=Var[Xn（t）]，每t≥ 选择函数ψ（t）和Φ（t）以满足条件（3）。利用对数正态矩的公式（5），我们得到Var[Zn（t）]=Zn（0）expZtψ（s）ds经验ZtΦ（s）ds- 1.. （24）直接计算Xn（t）的方差，我们得到var[Xn（t）]=nVar“nXi=1xi（t）#=nnXi=1Var[xi（t）]=nxexpZtψ（s）ds经验Ztφ（s）ds- 1.. （25）将（24）和（25）与Zn（0）=Xn（0）=xi（0）相等，我们得到expZtΦ（s）ds=N经验Ztφ（s）ds+ N- 1., （26）henceZtΦ（s）ds=log经验Ztφ（s）ds+ N- 1.- 对数n.（27）不同，我们发现Φ（t）=φ（t）expnRtφ（s）dsoexpnRtφ（s）dso+n- 因此，SDE（23）由dzn（t）=ψ（t）Zn（t）dt给出+φ（t）expnRtφ（s）dsoexpnRtφ（s）dso+n- 1.Zn（t）dW（t），（29）及其溶液满足条件（1）-（3）。我们注意到Φ（t）-→ φ（t）as t→ ∞,这意味着Zn（t）的渐近行为与Xn（t）的基础股票的渐近行为一致。

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2022-5-6 15:26:55

（23）的解由zn（t）=xexp给出Ztψ（s）-Φ（s）ds+ZtΦ（s）dW（s）, （30）就标的股票而言，Zn（t）=xexp（Zt“ψ（s）-φ（s）expRsφ（p）dp经验Rsφ（p）dp+ N- 1.#ds+Ztφ（s）expRsφ（p）dp经验Rsφ（p）dp+ N- 1.德国西部(s).最后，我们将估计的系数ψ（s）=ψ，φ（t）=φ合并到getZn（t）=xexp中Ztψ-φeφs2（eφs+n- 1)!ds+Ztφeφseφs+n- 1.德国西部(s)=xexpψt-日志eφt+n- 1.+对数（n）+Ztφeφsφeφs+n- 1.德国西部(s)=xeφt+n- 1n！-经验ψt+Ztφeφsφeφs+n- 1.德国西部(s). （31）2.3.4 Xn（t）的Euler格式模拟随机微分方程的维纳解释对于SDE的概念理解和推导控制pdf解演化的微分方程都是有用的[32]。关于格tk=t+k上随机积分的It^o定义t、与t=t/N和w（t）=w（t+（t）- w（t）定义SDE（3）的解，或等价地定义It^o积分方程x（t）=x+tZa（x（s），s）ds+tZb（x（s），s）dw（s），（32）作为Euler模式n（t+t） =xN（t）+a（xN（t），t）t+b（xN（t），t）w（t），xN（0）=x（33）asT→ 0.增量w（t）是独立的随机变量，可以用Levy的方法[32]构造，如下所示：w（t）=n（t）√t、其中，数值网格上每个t的随机变量n（t）是独立的标准高斯rvs n（0，1）。根据递归方案（33）。在数值网格上的任何时间t，过程xN（t）取决于s的采样轨迹w（s）≤ t、因此，这是英国《金融时报》改编的。

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2022-5-6 15:26:58

极限x（t）=limN的存在性→∞如果a（x，t）和b（x，t）是x中的一致Lipschitz连续函数，则xN（t）由以下定理1（Skorokhd[36]）保证∈ R、 t∈ [t，t]，那么极限x（t）Pr=limN→∞xN（t）（概率收敛）存在，是（32）的解。pdf的收敛性由定理2（[32]）保证，（33）的解xN（t，ω）的pdf pN（x，t | x）收敛于asN→ ∞ 关于FPE的解p（x，t | x）p（y，t | x，s）t=[b（y，t）p（y，t|x，s）]Y- [a（y，t）p（y，t|x，s）]在初始条件限制下↓ sp（y，t | x，s）=δ（y）- x）。通过对Xn（t）的500条基本轨迹xi（t）进行平均，我们构造了10000条Xn（t）的轨迹≤ T≤ 600个月。轨迹xi（t）是用schemexi（t）=xi（t）构造的- 1） +φxi（t）- 1） ·N（0，1），代表1≤ T≤ 600，xi（0）=1。对数正态分布的质量如[1]所示。2.4工资的随机模型我们假设，成员i在时间t之前的工资增长si（t）由SDEdsi（t）=a（si，t）dt+b（si，t）dwi（t），si（t）=1，（34）控制，其中wi（t）是独立的MBM。2.4.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们通过（34）的连续轨迹近似年度CPI调整工资向量的离散轨迹。我们用S（τ，x）表示在τ时间测量的所有个体相对于其初始值乘以x的集合。第j个人的薪酬增长轨迹用xj（t）表示。近似SDE（34）的系数由经验平均值（13）确定。工资模型的构建数据（13）取自收入动态数据库[37]的面板研究。PSID是自1968年以来对美国个人和家庭的代表性样本进行的纵向调查。

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2022-5-6 15:27:01

不断收集个人及其后代的信息，包括就业、收入、财富、支出、健康、婚姻、生育、儿童发展、慈善、教育和许多其他主题的数据。出于养老金目的，我们对个人的养老金计划缴款感兴趣。不幸的是，PSIDdatabase不提供完整的跨年度个人养老金缴款时间序列，因此我们使用从劳动中赚取的总工资，并假设缴款比率。此外，由于数据的不连续性和稀疏性，奖金、独立业务、二级专业实践、佣金、小费和其他来源的收入不包括在内。建造的轨迹跨越1970年至1992年。总共考虑了58807人，其中只有3669人在1970年开始工作。图5（第21页）给出了每年开始工作的人数。所有工资数据均根据生活成本进行调整，使用劳工统计局的历史CPI值。对于高噪声波动率估计，最大波动率值的3%被忽略为异常值，最高工资增长率的5%也被忽略（25000%的增长率等）。1965 1970 1975 1980 1985 1990 19950500100150020002500300040004500就业人数图5:PSID调查的每年就业人数。工资模型的漂移系数和差异系数的计算如第2节所示。2.2. 具体来说[1]，dsi（t）=ξsi（t）dt+ηsi（t）dwi（t），si（ti）=1，（35）和ξ（t）≡ -0.0328，η（t）≡r、（36）2.5养老基金随机模型的构建在我们的养老计划模型中，养老基金的资产投资于股票市场指数，如标准普尔500指数。

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