基于时间的交易策略的设计与实现

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Design and Implementation of Schedule-Based Trading Strategies Based on
Uncertainty Bands》
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作者：
Vladimir Markov, Slava Mazur, and David Saltz
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We propose a design for schedule-based execution trading strategies based on uncertainty bands. This formulation: 1) simplifies strategy specification and implementation; 2) provides for flexible allocation among passive, opportunistic, aggressive, and dark pool crossing execution tactics; 3) allows for rapid enhancements as new optimization methods, scheduling techniques, alpha models, and execution tactics are developed; and 4) yields information at macroscopic (strategic) and microscopic (tactical) levels that is easily published to trading databases and front-end applications.
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中文摘要：
我们提出了一种基于不确定性带的基于时间表的执行交易策略的设计。这种表述：1）简化了战略的制定和实施；2）在被动、机会主义、攻击性和暗池交叉执行策略之间提供灵活的分配；3）随着新的优化方法、调度技术、阿尔法模型和执行策略的开发，允许快速增强；4）产生宏观（战略）和微观（战术）层面的信息，很容易发布到交易数据库和前端应用程序。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Design_and_Implementation_of_Schedule-Based_Trading_Strategies_Based_on_Uncertai.pdf
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nandehutu2022

2022-5-6 21:15:53

基于不确定性BandsVladimir Markova、Slava Mazurb和David的基于时间表的交易策略的设计和实现Saltzcavmarkov@liquidnet.com ,bsmazur@liquidnet.com ,cdsaltz@liquidnet.comLiquidnet，纽约第七大道498号，NY，10018简介我们提出了一种基于不确定性区间的基于时间表的交易策略设计。这一表述（1）简化了战略规定和实施；（2）提供灵活的分配，包括被动、机会主义、攻击性和暗池交叉执行策略；（3）随着新的优化方法、调度技术、阿尔法模型和执行策略的开发，允许快速增强；（4）产生宏观（战略）和微观（战术）层面的信息，这些信息很容易发布到交易数据库和前端应用程序中。尽管有大量关于最优交易策略的文献（Kissell和Glantz[2003]），但实际实施通常由启发式规则组成，这些规则是纳入和参数化金融市场的“程式化”事实所必需的（Bouchaud和Potters[2004]），处理边缘情况和实施与理论模型的其他偏离，并保持灵活性以满足客户需求。许多基于时间表的交易算法利用单一目标轨迹和攻击性模型，该模型将当前执行的股票与目标以及当前和最近的市场状况进行比较。这种方法之所以流行，是因为它实现简单。一个主要缺陷是高水平战略的纠结，该战略定义了宏观计划和执行策略，能够有效地捕捉买卖价差，并将即时市场影响和被动订单的不利价格选择降至最低。

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大多数88

2022-5-6 21:15:57

由于缺乏战术封装，很难重复使用低级交易逻辑，也很难对交易算法的各个组件进行测试。我们的建议是在不确定性区间的框架内实施基于时间表的策略，这是定义订单切片行为外部限制的交易轨迹。这些波段反映了嘈杂市场中交易安排的不确定性，客户对策略的自由裁量权，或其任何组合。正如置信区间比单一平均值更能洞察概率分布一样，不确定性区间比单一目标轨迹更能洞察订单执行的潜在路径。方法的制定基于进度的策略的主要示例包括参与（成交量百分比，或POV）、成交量加权平均价格（VWAP）和实施不足（IS）。所有这些策略在目标轨迹Xtgt（t）上按X共享的顺序工作，其中t是时间。订单在t=t时开始交易，在t=t时停止交易。有时是已知的，有时是XTGT（t）=X，也就是说，订单预计会完全完成，但这两个条件都不能保证。《交易杂志》，2011年秋季，第6卷，第4期，第45-52页。此外，在某些情况下，Xtgt（t）在所有t>t中都是预先知道的，但通常不是。在实时交易策略中，只有当t是当前时钟时间时，才能知道Xtgt（t）。在所有情况下，对于所有t<t，Xtgt（t）=0。我们将Xtgt（t）作为进度目标。该策略试图实现与进度目标非常接近的轨迹Xf（t）。在Xf（t）可以脱离Xtgt（t）的范围内，该策略在寻求价格改进方面有更多的自由裁量权。Xf（t）与Xtgt（t）的大幅偏离可能会产生负面的客户体验和更高的性能风险。

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何人来此

2022-5-6 21:16:00

可用贴现金额取决于策略模型、股票的历史交易特征、市场条件以及客户的交易指令，如最大参与率或风险规避。将Xmax（t）定义为上轨迹或上不确定性带，以便策略遵守约束0≤ Xf（t）≤ Xmax（t）≤ X对于所有t.定义Xmin（t）为较低的不确定性带，因此策略服从约束X≥ Xf（t）≥ Xmin（t）≥ 0表示所有t。在实践中，不可能100%地强制执行这些约束。相反，该策略的作用是使Xf>Xmin变得不太可能，当确实发生时，该策略暂停在展示（或可能是所有）场所的交易，直到满足约束条件。每当Xf<Xmin时，该策略执行空头Xmin- 在展示的市场中，支付差价和由此产生的任何影响成本，以便将违反约束的时间最小化。由策略发送以执行计划的子订单（切片）在较高级别上由市场订单和限额订单组成。市场订单是指将价格激进的订单发送到显示市场，用于快速弥补任何短缺（1）XA（t）=max{0，Xmin（t）- Xf（t）}。市场指令也可用于任意情况下的机会主义流动性捕获。限价订单是指所有其他订单，其定价旨在尽可能多地捕捉买卖价差，同时最大限度地减少市场影响。请注意，市场订单不一定具有市场订单类型；在大多数情况下，它们是具有限价订单类型的订单，其价格设置得足够激进，可以立即执行（按要价买入，按买入价卖出）。在这种情况下，市场指令和限价指令也分别被称为主动指令和被动指令。

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可人4

2022-5-6 21:16:03

在LimitOrder类别中，是暗订单（ATS），其定价可能很高，但通常以价差内的价格执行，如中点。可用于被动或机会主义切片的剩余份额为（2）XP（t）=max{0，Xmax（t）- max{Xf（t），Xmin（t）}。代表这些股票的流动性和自由裁量权。通常，这些股票被分割成不同价格水平的子订单，并发送到多个执行场所。实现这一路线的确切方式是在市场执行策略领域。战略引擎应允许最大限度的灵活性，根据各种因素选择执行策略的组合，包括订单属性、客户偏好和市场条件。根据其功能，一种策略可以作为智能订单路由器（SOR）或另一种策略来实施。一个非常简单的执行策略是，在任何主要展示市场的订单簿中，以最佳出价（如果购买；如果出售）公布全部可自由支配的数量。实施短缺策略试图在被认为具有可忽略信息泄漏的暗器中尽可能多地填充客户订单。在这样的暗池中执行死刑不会产生市场影响，并且没有买卖价差成本。尽管如此，保护措施仍必须采取，因为更知情的交易员可能会对暗池订单进行不利选择（Altunata、Rakhlin和Waelbroeck[2010]）。在任何时间t，可在黑暗池中执行的股份数量sis（3）XD（t）=X- Xmax（t），除了XP（t）的任何部分之外，还可以根据市场执行策略向池提供。

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何人来此

2022-5-6 21:16:06

在黑暗执行（通常是块大小）的情况下，执行的大小会立即添加到所有轨迹Xmin、Xmax、Xtgt和Xf中。暗池的参与由可用的暗池策略的任意组合来管理，类似于限额订单的处理。战略引擎应允许最大限度地灵活选择基于各种因素的暗池策略组合，包括订单属性、客户偏好和市场条件（Glukhov[2007]）。一个非常简单的暗池策略是将全部XD（t）传输到液网。除了IS策略外，POV策略根据展示市场的成交量率进行校准，还试图在暗池中尽可能多地交叉共享。这个公式清楚地区分了战略的高级调度和低级战术执行组件。在战术层面上，精确计算轨迹的方式无关紧要，因此一个战术驾驶员可以满足所有基于计划的策略的需求。最后，请注意，频带xmin和xmax用于将剩余阶数划分为主动、被动和暗共享的三种分配。或者，可以引入调度目标Xtgt来进一步分割被动共享，例如XP（t）=max{0，Xtgt（t）- max{Xf（t），Xmin（t）}，XP（t）=XP（t）- XP（t）。数量XP（t）代表相对于目标轨迹的额外短缺，而该目标轨迹未被积极的股票覆盖。如果当前的市场条件被认为适合市场执行（如α模型所示），那么人们可能会积极执行exp（t），只留下XP（t）进行被动市场参与。实施：连续时间方法下面我们描述了基于计划的策略VWAP、POV和andIS的参考实施。

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mingdashike22

2022-5-6 21:16:10

我们将这些实现分别称为αVWAP、αPOV和αIS，因为将α模型合并到该框架中非常简单。提出这些模型是为了证明我们方法的实用性，不应被解释为Liquidnet跨越策略的基础模型。VWAP。传统的VWAP策略遵循历史日内成交量分布，而αVWAP策略允许合理偏离历史曲线，以捕捉价格和流动性机会，包含在Xmin（t）和Xmax（t）区间内。将成交量曲线U（t）定义为截至时间t执行的股票日间交易量的分数。由于成交量曲线具有内在的不确定性，围绕随机变量U（t）的置信区间建立的带状时间表是合适的。假设u（t）是我们交易计划的标准化和有界的交易量曲线，（4）u（t）=u（t）- U（t）U（t）- U（t），设U（t）和δU（t）分别为U（t）的平均值和标准偏差。U（t）的一阶和二阶矩可以通过经验数据（历史数据，可能有日内调整）和模型概率分布的任意组合来确定。进度目标为（5）Xtgt（t）=u（t）X。如果假设u（t）在其平均值周围对称分布，则我们在进度目标周围形成一个密度区间，其宽度以标准偏差单位测量：Xmin（t）=max{0，Xtgt（t）- ηδu（t）X}，Xmax（t）=min{X，Xtgt（t）+ηδu（t）X}。无量纲参数η表示偏离计划目标的策略的自由裁量权。图1显示了在该模型中计算的交易轨迹示例。还显示了实现的轨迹Xf（t），它演示了如何在不确定性范围内成功完成订单。图1。

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mingdashike22

2022-5-6 21:16:13

αVWAP交易轨迹不确定性带的例子更现实地说，u（t）的分布是不对称的，因此基于量子化的带结构是合适的（Mazur[2011]）：Xmax（t）：P{u（t）X>Xmax（t）}=q，Xmin（t）：P{u（t）X<Xmin（t）}=q，其中q:0<q<1是自由裁量参数，即100（1）- q）不确定性等级的置信度百分比。小q对应于与历史轨迹Xtgt（t）的大偏差，因此对策略更谨慎。作为一种在不确定性带框架下实施的策略，αVWAP主动工作于父订单的一部分，被动工作于另一部分。主动（短缺）组件是通过积极定价的订单执行的，并确保实现的轨迹Xf（t）以Xmin（t）为界。被动组件面临利差和流动性捕获机会，其规模受到限制，以确保Xf（t）的上限为Xmax（t）。在“严格”的VWAP策略中，剩余部分不可用于交叉，但一些被动区域应暴露在黑暗场所。在不确定性区间框架内使用短期价格预测（α）模型，以利用股票特定的价格模式，例如短期价格飙升后是否预期均值回归或趋势延续。例如，可以通过分析未来价格增量（“响应”）的预期值来估计主导行为，前提是在不同时间尺度（扎伊采夫、扎伊采夫、列奥尼多夫和特莱宁[2009]）下实现的价格增量（“推动”）的值。当执行受强烈的短期购买信号影响的购买订单时，通常被动执行的部分XPS会被积极定价。这一部分的大小随信号的强度而变化。

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mingdashike22

2022-5-6 21:16:16

相反，一个强烈的卖出信号会触发逻辑，将一部分XP（可能还有XD）从市场中抽离。在均值回归模型中，除了价格改善外，随着算法与短期趋势相反，限价指令的失效概率增加，市场指令的市场影响降低。低于交易成本的利润机会与买方企业无关，但代表卖方企业的重大利益。参加在不确定性带框架下实施的具体策略的另一个例子是αPOV。根据客户各自的最低、最高和目标参与率，可以直接计算较低、较高和目标轨迹。在实践中，客户可能会指定一个单一的目标参与率ptgt，其公差意味着范围[pmin，pmax]，或者如果客户未指定，则该范围是指定的且ptgt=（pmin+pmax）。设Ve（t）为合格体积。合格交易量的确切定义有一些特殊情况，但在大多数情况下，Ve（t）是指在客户限制内和间隔[t，t]期间，在所展示市场的订单簿上交易的交易量。假设参与率是时间的函数，考虑到客户可能会对其进行修改或通过另一种算法进行战略性设置。然后，较低的轨迹是（6）Xmin（t）=zttmin（s）˙Ve（s）ds，对于xmax和Xtgt也是类似的，其中˙Vedenotes与它的时间参数不同。在αPOV中，用于αVWAP的同一战术驱动因素通过α模型在市场执行策略中分配主动和被动份额。类似的“严格”考虑也适用于POV。POV策略的默认行为通常是在暗池中最大化交叉，因此剩余的XD被完全分配。

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nandehutu2022

2022-5-6 21:16:19

然而，一些客户愿意放弃区块交叉机会，以便在更长的时间内分散订单执行，在这种情况下，XDshares不可用于交叉。如果在POV的默认版本中，在时间tB时执行大小为Xb的区块交易，则该区块不计入有效体积，而是添加到时间tB时的所有轨迹中，例如，（7）Xtgt（t）=Zttptptptgt（s）˙Ve（s）ds+Xbt≥ 肺结核。执行不足。实施不足策略可以设计为自适应POV策略或均值-方差框架（Almgren和Chriss[2000]）。在适应性POVA方法中，该策略根据交易环境对参与率pmin（t）、pmax（t）和ptgt（t）进行实时调整，例如，当市场价格朝有利于客户的方向移动时，或当大量显示的流动性实现时，通过增加参与率。在均值-方差方法中，通过平衡对市场影响和时机风险的预测，预先确定最优轨迹。适应交易环境的变化是通过重新优化和启发式实时调整交易日程来实现的。在这里，我们提出αIS策略作为均值-方差方法的实际实现。最优轨迹表示预期市场影响I和时机风险R之间的权衡。使用剩余份额Y（t）=X很方便- X（t）和体积时间t。我们将（t）建模为体积持续时间t上的幂律轨迹，（8）Y（t）=X1.-tTν.最佳轨迹Yopt（t）由最佳持续时间Toptand形状参数νopt参数化。以体积单位表示的时间。

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kedemingshi

2022-5-6 21:16:22

（8） v=1是一个VWAP交易时间表。考虑到客户对时间风险的厌恶，估计交易成本为（9）C[Y]=I[Y]+2ρR[Y]，其中ρ=（σDXP）/A，σDis为每日收益波动率，Pis为当前股价，以及isa无量纲风险厌恶参数。瞬时市场冲击J（˙Y（s））和冲击衰减核G（t）- s）执行交易计划Y（t）的预期成本由（10）I[Y]=ZTdt˙Y（t）ZtdsJ（˙Y（s））G（t）给出- s）。非平凡衰变核G（t）- s）解释了经验性高频价格数据中贸易标志的长记忆自相关，并且总体上具有幂律行为（Gatherel[2010]）。这里，我们假设交易策略在交易之间有一个合理的延迟，以避免通过衰减核放大市场影响，因此G（t- s） =δ（t）- s）。经验数据表明，瞬时市场影响J（˙Y）的幂律安萨茨（Bouchaud，Farmer和Lillo[2008]）（11）J（˙Y）=IσDP˙YVD！β、式中，Vd是预期的日销售量，Pis是价格，Iis是与库存相关的标度量。利用该模型，并假设瞬时衰变核，我们推导出了预期的实现短缺作为体积持续时间T的函数，并由ν和β（12）I（T；ν，β）参数化=νβ+11 + (ν - 1)(β + 1)IσDXPXT VDβ.幂律轨迹的定时风险约为（Kissell和Glantz[2003]）（13）R（T；ν）=σDPZTdtY（T）=（2ν+1）σDXPT。最佳交易期限是使Esc（T；ν，β）=I（T；ν，β）+2ρR（T；ν）最小化的T值。为了简单起见，我们将ν设为1，得到了dC/dT=0，（14）Topt的解=2βρI（1；1，β）R（1；1）β+1=6βIAβ+1XVDββ+1.请注意，交易量持续时间T=1意味着正好是一个交易日。虽然最优交易时间不依赖于波动性，但交易计划通过形状参数ν进行。

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大多数88

2022-5-6 21:16:27

与该计划对应的平均参与率为（15）popt=XToptVD=A6βIβ+1XVDβ+1.最优交易计划的预期执行差额为（16）I（Topt）=A6Iβββ+1νβ+11 + (ν - 1)(β + 1)IσDPXXVDββ+1~ σDXXVDββ+1经验观察到β=0.5的预期最优每股市场影响成本为Iopt/X~σDXVD1/3.用幂律衰减核Gpl（t）交易ipl的预期成本- s） =g/| t- s |γ由（17）Ipl=T1给出-γ-βIσDgXP十五βνβ+1Γ(1 - γ)Γ(ν)(2 - γ + (β + 1)(ν - 1))Γ(1 - γ + ν).可根据历史执行数据估算效率GCA。根据经验，指数γ≈ 0.5和γ+β≈ 1.由衰变核放大的原始连续交易IPLI的成本。它不依赖于中等交易率的交易持续时间，由“平方根”定律Ipl/X给出~ σDqXVD（Gatherel[2010]）。给定T=top和A，最优交易计划是通过使总交易成本C（Topt；ν）相对于形状参数ν：（18）ν=argminν；ν>1I（Topt，ν）+2ρR（Topt，ν）.最佳执行时间是交易量Topt的函数~ 五、-ωD，其中ω=ββ+1。因此，交易量的不确定性转化为交易时间的不确定性，并相应地转化为交易计划Ytgt，min，max（t）=X（1）的不确定性区间- t/Ttgt，最小值，最大值）ν。交易量的分布可以用对数正态分布LogN（uZ，σZ）来近似。

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能者818

2022-5-6 21:16:30

利用对数正态随机变量V的标准性质-ωD~洛根(-ωuZ，ωσZ）（艾奇森和布朗[1957]），平均u（V-ωD）和方差σ（V）-对数正态随机变量V的ωD）-ωd的形式为u（V-ωD）=exp-ωuZ+（ωσZ）,σ（V）-ωD）=exp（ωσZ）- 1.×exp-2ωuZ+（ωσZ）.可使用（19）Ttgt=cu（V）导出持续时间Ttgt、Tmax和Tminga-ωD），Tmin=c（u（V-ωD）- ησ（V）-ωD），Tmax=c（u（V）-ωD）+ησ（V）-ωD），其中c=Xω（6βI/A）β+1，η是一个离散参数。未来波动性的不确定性可以用类似的方式考虑。我们计算了一个数值例子，以探索所提出方法的定量性质。考虑购买X=100万股当前价格为P=24.7的股票的订单。平均日交易量VD=70M，日波动率σD=0.0113，β=0.5，I=0.1。当攻击性A=5时，音量时间的最佳持续时间为Topt=0.037(≈ 15分钟），最佳平均参与率popt=38%。数值计算得到的最佳形状参数为νopt=1.65。对数正常日体积的各自平均值和标准偏差分别为uZ=18和σZ=0.4。因此，体积的倒平方根用u（V）参数化-0.5D）=1.3×10-4和σ（V）-0.5D）=0.4×10-4.目标交易时间为Ttgt=Topt=0.037，最小交易时间为Tmin=0.025(≈ 10分钟），最大交易时间为0.049(≈ 19分钟）。图2显示了在该模型中计算的η=1的交易轨迹示例。图2。α的例子是具有不确定性波段的交易轨迹简化：离散化时间方法上述基于时间表的策略的连续时间公式是无状态的，因为只需要知道当前时间t的波段。在不确定性波段内交易的替代方案中，交易区间被划分为连续的子区间或BIN。

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mingdashike22

2022-5-6 21:16:33

基本时间坐标是时钟时间、交易时间或交易量时间中的任意一个。该策略分配要在当前bin（以及可选的未来bin）中执行的共享。必须注意清理未在currentbin内执行的股份的成本。如（Jeria、Schouwenaars和So fi anos[2009]）所示，清理成本可以显著超过子区间内特定策略的利差捕获节约。我们期望在相同原则下设计的任何策略都会有类似的模式。为了将清理成本降至最低，我们建议采用以下方法。设τ为柯森坐标系中的时间变量，并假设区间[τ，τ]被划分为N个等宽Δτ=（τ）的单元- τ）每个。让Tkbe在时钟时间内测量kthbin的宽度。我们假设存在一种机会主义、短期（“战术”）策略，该策略支持订单期限和最低额度。该策略从第一个仓位开始交易（τ=τ）。截至第一个仓位结束时，应完成的份额范围为[Xmin（τ+Δτ），Xmax（τ+Δτ）]。目前，这是唯一需要的关于交易时间表的信息。该策略将Xmax（τ+Δτ）份额路由到战术策略，持续时间为最小注入量Xmin（τ+Δτ）。在第二个仓位开始时（第一个仓位结束时），策略填充了Xf（τ+Δτ）份额，其中Xmin（τ+Δτ）≤ Xf（τ+Δτ）≤ Xmax（τ+Δτ）。根据这一结果以及最近和当前的市场状况，计算出下一个区间[Xmin（τ+2Δτ），Xmax（τ+2Δτ）]。基于时间表的策略路由Xmax（τ+2Δτ）- Xf（τ+Δτ）与战术策略共享，且最小注入量为Xmin（τ+2Δτ）- Xf（τ+Δτ）。

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何人来此

2022-5-6 21:16:37

重复此循环，直到订单完成或达到结束时间。例如，考虑VWAP并选择体积时间作为我们的时间坐标，以便tradingtrajectory是线性的。在交易开始时（第一个仓位），我们设置Xmin（τ+Δτ）=0和Xmax（τ+Δτ）=X/N。我们将X/N股票路由到战术策略的持续时间，没有最低的融资金额，因此战术有充分的自由裁量权执行任何金额，直到X/N。在时间τ=τ+Δτ时，我们要求未执行的股票X/N- Xf（τ+Δτ）将在下一个间隔内确定填充。因此，我们选择了2X/N路线- Xf（τ+Δτ）在持续时间和最小填充X/N上与战术策略共享-Xf（τ+Δτ）。我们一个接一个地继续这个过程，把任何不足的部分转到下一个部分的积极部分。结论我们提出了一个基于卖方时间表的交易策略的实用设计。本设计允许在连续和离散时间方法中简单实施流行的VWAP、参与和实施不足策略。它清晰地将高级调度与低级执行策略分开。将计划划分为积极、被动、机会主义和黑暗的股份取决于相对于乐队的填充股份位置，其各自执行策略之间的分配与计划生成脱钩。波段分离使战略可以自行决定是否等待并利用可盈利的价格和流动性模式，而该框架很容易为此采用α模型。感谢作者感谢Vacslav Glukhov和David Fellah的有益讨论和建议。参考Saitchison J.和J.A.C.Brown，“对数正态分布”，剑桥大学出版社，1957年。R.阿尔姆格伦和N.克里斯，“投资组合交易的最佳执行”，J.风险，第3卷，N.22000，第5-39页。阿尔图纳塔，S.，D.拉克林和H。

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大多数88

2022-5-6 21:16:40

Waelbroeck，“逆向选择与随机储蓄的对比”，《交易杂志》，2010年第5卷，第16-28页。Bouchaud，J.-P.，J.D.Farmer和F.Lillo，“市场如何慢慢消化供求变化”，http://arxiv.org/abs/0809.0822.BouchaudJ.-P.和M.Potters，“金融风险和衍生产品定价理论：从统计物理到风险管理”，剑桥大学出版社，2004年。Gatheral J.“无动态套利和市场影响”，定量金融，第10卷，第72010页，第749-759页。Glukhov S.，“存在未显示流动性时的最佳交易”，《交易杂志》，2007年第2卷，第30-37页。Jeria D.，T.Schouwenaars和G.So Fianos，“被动限价指令的全部成本”，StreetSmart，第38期，高盛，2009年。R.基塞尔和M.格兰茨，“最佳交易策略：管理市场影响和交易风险的定量方法”，AMACOM，2003年。Mazur S.“U型曲线和不确定性带”，液化天然气网络技术报告，2011年。Zaitsev，S.，A.Zaitsev，A.Leonidov和V.Trainin，“股票市场中的市场-工厂依赖模式：多尺度条件动态”，Physica A，第388卷，第21期，2009年，第4624-4634页。

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