我们注意到，每天都必须处理数万笔已执行交易的数据，但事实上这只是冰山一角，因为LOB中记录了数十万笔其他交易。500000 1000000 1500000 2000000 2500000卷（Ik）-0.75-0.50-0.25 0.00 0.25 0.50 0.75β = 8 × 10-6β = 4 × 10-5图8:2011年5月3日单一日期Teva Pharmaceutical（股票代码：Teva）的EWMA订单流量不平衡指标。这些数据包括纳斯达克、BATS和Direct Edge交易所的已执行订单，这些交易所占当天总交易股份8059668股中的2497623股。我们还展示了在（31）和（32）中分别使用V=25000和n=20的VPIN样指标。备注5。虽然传统上只使用执行交易来确定订单流量，但在limitorder books中，这种方法值得怀疑。事实上，在2010年代，市场订单占总订单流量的比例不到5%，见表2。同时，就LOB队列的快照和各自的深度而言，在触摸时添加/取消的限制订单（最高出价/最低要价水平）实际上相当于市场订单。因此，在计算Ikin（30）时，可能应该包括这样的限制指令。表2显示，限价订单的分布与市场订单明显不同，平均而言，限价订单倾向于减少约50%。深入账簿的限价单也可能包含实质性信息，可以考虑（根据相应的深度级别确定相应的权重）。

因此，确定订单流量的确切方法并不明确。每日订单汇总MSFT TEVA BBBY32、748、575、3、809、972、222、164订单26、814 13、811 8、302平均交易量1、222 271 148限制交易量271、383、713 25、523、228 13、558、498订单#订单577、164 182、541 127、362触摸平均订单量469 1075、466、734 98、398、817 70、149、547订单总数544、534、534、，557平均订单量526 181 132表2：纳斯达克、BATS BZX、EDGA和DGX交易所的MSFT（微软）、TEVA（TEVA Pharmaceutical）和BBBY（黑莓）股票上LOB订单的每日统计摘要。我们报告了2011年5月2日至2011年5月6日这一周（5个交易日）的平均值。另一种确定经验订单流量不平衡的方法是基于bucketing。这种方法更符合离散模型，如ELO[17]中的模型，指数按同样大小的成交量切片流动，而不是按单个交易流动。也就是说，考虑大小为V=VB`+VS`的（已执行）成交量切片，其中（VB`）和（VS`）分别代表第`个切片的买卖成交量。桶流不平衡I`是I`:=VB`- VS`V=2VB`- 1.（31）与（30）相比，我们有链接V\'1/β来实现（Ik）和（~I`）的相同时间尺度。（31）的难点在于订单量是厚尾的，必须以某种方式处理溢出到多个卷存储桶的大型订单。此外，（31）中的I本质上与所选的桶尺寸V有关（参见[6]和[18]了解关于合适桶尺寸的不同论证）。最后，如（30）中所述，当直接观察到定义的容积桶和相应的VBand与定义的IkandI`时，必须决定如何包含限制订单信息，并且可以尝试将其用作前几节中使用的流动过程（Yt）的基础。

根据[15,16,17,18]，信息成本来自订单流毒性，而订单流毒性又与参与者对逆向选择概率的信念有关。因此，将I中包含的过去信息翻译成Y需要判断这些关于未来秩序的信念是如何形成的。人们普遍认为，某些交易具有流动性或信息性，而其他交易对市场几乎没有影响。考虑到这一点，即使相关交易量很大，交易可能对做市商的预期流量不平衡几乎没有影响。因此，交易泄露给市场的私人信息是交易规模以外的许多因素的产物：连续订单的间隔、市场的主导状态、LOB形状等。因此，（Ik）和（Yt）之间的确切关系仍然是开放的。关于最相关的时间尺度，或观察到的订单不平衡的最近历史可能如何影响预期的未来订单不平衡的进一步问题被推迟到未来的实证研究。备注6。在[18]中，ELO认为订单流量毒性与“知情”交易水平有关，可以通过以下基于（31）的VPIN度量来近似计算，VPIN`=n`-1Xk=`-n | | Ik |，（32），其中n与桶大小V一起选择表示与订单流持续性相关的窗口。因此，VPIN是n个最新体积切片的观察值的移动平均值。据ELO称，VPIN很好地接近了市场庄家对当前VPIN失衡的预期`≈ E | | I ` |，因此可以用作Ytin（29）的代理。换句话说，交易者应该采取行动，尽量减少他们对VPIN的影响，VPIN是预期的绝对订单流量不平衡。由于VPIN直接基于观察到的交易量，这也允许明确定义交易者的信息影响，见下文（34）。

ELO建议采用V=V每日/50和n=50，这使得VPIN成为流量不平衡的每日移动平均值。这似乎相当长，在图8中，我们让nsmaller更专注于日内规模。5.2离散时间公式建立在（31）和（32）的基础上，一个人可以构建一个离散模型来优化执行。这涉及到根据观察结果将策略α重新解释为参与率，即执行的抛售交易本质上会影响下一桶的不平衡，因为它实际上会从该桶中置换一些其他量。离散时间模型还允许检查更一般的成本和模型动态。固定一个交易量桶V，我们假设交易者每一步选择一个参与率αkat，其中xk+1=xk- αkv和k指数的交易量。交易者的参与通过Yk+1=F（Yk，k+1）- φ（αk，Yk）（33）式中k+1是独立的随机扰动，F（y，·）对Yk中除了交易者之外发生的动力学进行建模，φ（α，y）是给定先前不平衡Yk=y的信息泄漏。推广泄漏函数的一个动机是[17]中提出的交易影响，Yk+1=ψ（αk）（Yk（1- αk）- αk）+（1- ψ（αk））Yk+k+1，（34）这里还有αk∈ [0,1]和函数ψ∈ [0,1]是单调递增的。新的预期顺序流量不平衡是两个极端结果的凸组合：根据ψ（第一项）完全泄漏和无泄漏（第二项）。（34）简单脚趾[Yk+1]=Yk- αkψ（αk）（Yk+1）=:Yk- φ（αk，Yk）。与第2节类似，交易者的目标是最小化总预期成本，直到整个头寸被清算，v（x，y）：=infαEx，y“T-1Xk=0g（αk）+κYk+λ（xk）#，T=min{k:xk=0}。

（35）控制αk受到约束，使αk∈ （0，1]并假设为反馈形式，αk=α（xk，Yk）。不确定期限控制问题（35）可以通过引入一个辅助“时间”变量t来解决，使得执行在t步后停止（如果它尚未终止），并且在t步的剩余库存产生终端成本H（xt）=Axt（假设t步后立即清算，参见（13）中的VWAP策略）。这个辅助问题有（36）中定义的值函数v（t）。作为t→ ∞, 这个执行范围约束消失，我们希望恢复（35）的时间平稳解v（x，y）。用t作为到期时间，我们得到了离散时间动态规划方程sv（0）（x，y）=H（x），v（t）（x，y）=infα∈（0,1]Eyhg（α）+κy+λ（x）+v（t）-1） （十）- αV，Y）i（36），其中Y=Yα由（33）和V（t）（0，Y）=0定义y、 （36）中的一阶段问题可以通过离散y的状态空间和α的有界控制空间（这也使得XT的状态空间离散化），使用马尔可夫链近似方法来解决。上述程序允许（Yk）超过（34）的任意动态，因为人们可以使用蒙特卡罗或其他方法来计算过渡密度pY（·| Y=Y，α）。5.3未来方向所提出的模型中缺少的一个重要方面是价格风险。在一个假设区间内，未受干扰的资产价格是鞅的假设使得RealizedEvenue只取决于执行风险。然而，一旦经纪人有权延长执行期限，情况就不再是这样了，交易员也可以追求更高的回报。这种目标的显式建模必然会增加维度，因为必须添加另一个随机状态变量（中间）价格St。尽管如此，在某些假设下，这种更普遍的设置仍然可以处理。

特别是，通过采用[21]中的假设，可以保持线性二次结构。Gatheral和Schied[21]假设S由几何布朗运动描述，投资风险由时间平均风险值（VAR）测量，即λt=λxtSt。在（5）中进行调整会导致最小化ˇu（T，S，x，y）：=ES，x，y的问题ZT˙xt+κYt+λxtStdt. （37）假设线性信息泄漏，且S和Y具有相关性ρ∈ [-1,1]，dW（S）tdW（Y）t=ρdt允许一个封闭形式的解ˇu（t，S，x，Y）=xˇa（t）+YˇB（t）+xyˇC（t）+SˇD（t）+SxˇE（t）+Sy F（t）+G（t），其中系数a，再解一首里卡蒂颂歌。此外，对于与Yt有关的短视策略，完全封闭的形式解决方案是可能的（详见[20]）。如备注3所示，主要困难在于x中线性的库存风险不能保证x≥ 0，因此很可能包括购买，使优化超过Tdelicate。在动态情况下，执行策略由αD（t，St，xt，yt）=nxt（2ˇA（t）给出-t） +ηˇC（t）-t） ）+Yt（ˇC（t）-t） +2ηˇB（t）-t） ）+St（ˇE（t）-t） +ηˇF（t）-t） 因此，oand在价格St中是线性的（短视策略在St中也是线性的）。请注意，只有执行成本ˇu受ρ的影响，而策略本身与资产价格和订单流量之间的相关性无关。实际上，对订单流量和资产价格的共同行为仍然知之甚少。事实上，市场订单流量和资产价格之间的正相关性直接表明逆向选择会影响流动性提供者，参见最近的预印本[10]。进一步调查订单流量和资产价格的变动如何影响执行成本似乎是有必要的。另一个可能被添加的部分是LOB弹性，即。

消耗流动性的中间效应，暂时影响执行价格。如前所述，它在分析上非常类似于对Y的模拟影响，而是直接作用于S。弹性允许将不会增加毒性的对LOB的临时影响与对Y的“永久”影响分开，后者会改变参与者对未来流量的预期，并产生信息足迹。（9）的有限差分方法我们采用显式有限差分方案来找到（9）的近似解。表示vi，j:=v（xi，yj），其中xi=ix表示i=0，1，N和yj=y+jy表示j=0，1，M.v的导数近似为xv（xi，yj）=vi+1，j- 六，j十、yv（xi，yj）=vi，j+1- 六，j-12Yyv（xi，yj）=vi，j+1- 2vi，j+vi，j-1(y） 我们应用边界条件v（0，y）=v0，j=0j、 在y中，我们使用vi，0和vi，Mvia的边界条件v（xi，y）y=v（xi，yM）-1)y=0，选择y和YM，使P（（Yt）/∈ [y，yM]）≈ 0.代入（9）我们有0=σ六，jY- βyj六，jy+κyj+λ（xi）-六，jx+η六，jY重新排列术语yieldsvi+1，j=vi，j+十、κyj+λ（xi）- βyjvi，j+1- 六，j-12y+σvi，j+1- 2vi，j+vi，j-1(y）1/2- ηvi，j+1- 六，j-12Y因此，我们在x中有一个所谓的“时间推进”方案，其中每个库存水平i+1处的v可以用前一个库存水平i的值来近似。这个明确的方法适用于适当的参数值，其中α*> 0持有。对于更极端的参数值，我们可以使用α*= 0（回想一下，我们约束α*≥ 0). 在这种情况下，对于某些网格点，我们的显式方法将失败，因此有必要使用另一种方法。引理的证明。我们跳过了平凡的情况λ（x）=0。λ（x）=cx时的详细信息，请参见[23]。对于λ（x）=cx，当x是无约束的时，该问题是euler-Lagrange方程的直接应用。

对于成本函数F（x，˙x，t）=˙xs+cxs，最优轨迹xmqt必须满足dFdx-ddtdFd˙x= 0（38）应用x减小的约束将在x=0时引入边界条件。然后，约束极小化问题的最优轨迹要么位于满足Euler-Lagrange方程的曲线上，要么位于边界上，从前者到后者的过渡发生在Xmqt与直线x=0相切的地方。为了找到这种转变发生的点，我们找到了Tsuch thatdx*tdtt=t=0。很容易证实=√十、√C满足要求，因此我们有^T=min（T，√十、√c） 。在计算了每个选择库存风险项的xmt后，αmt和IMare分别通过对t的微分和区间[0，t]的积分来计算（IMQ为[0，^t]）。C.命题的证明。Fubini定理的一个应用，允许期望和积分的交换，这给我们留下了一个直接但冗长的积分计算。O isO（T，x，y）=ZT（ye）的一般表达式-βt- At）+σ2β（1）- E-2βt）dt（39）式中：中兴通讯-β（t-s） φsds（40）捕捉所有信息泄漏。将其他两项积分为givesO（T，x，y）=κZT（ye-βt）+σtdt=κy2β1.- E-2βT+κσ4β2βT+e-2βT- 1..计算其余三种情况下的积分很简单，但很繁琐。我们提供每种情况下的At值。

对于φt=ηαMLt，我们有AMLt=ηxβt（1- E-βt）。当φt=ηαMQtwe haveAMQt=ηZtc^t+x^t-计算机断层扫描！E-β（t-s） ds=ηβc（1- βt+e-βt）+β（1- E-βt）c^t+x^t！！。最后，当φt=ηαMHtand√c6=β，我们有amht=ηZt√舒适的(√c（T）- s） ）信义(√cT）e-β（t-s） ds=η√cx（c）- β） 信义(√cT）（λsinh(√c（T）- t） )+√总工程师-贝琴(√（cT）- βcosh(√c（T）- t） ）+βe-βtcosh(√cT）。如果√c=β，则最终表达式简化为toAMHt=ηxe-β-te-βT2βte2βT+e2βT- 1.4βsinh（βT）。最终可以公开集成（例如使用符号集成软件）（39）∈ [0，T]获取OMQ和OMH的闭式表达式。根据作者的要求，可以获得包含几行内容的结果公式。D.屋顶的证明。将（23）代入HJB PDE（22）中，我们得到了udt=σB（T）+κy+cx- βy（2yB（T）+xC（T））-2xA（T）+yC（T）+η（2yB（T）+xC（T））= 十、C- （A（T））- ηA（T）C（T）-（ηC（T））+ yκ- 2βB（T）-C（T）- ηB（T）C（T）-（ηB（T））！+xy-βC（T）-A（T）C（T）-2ηA（T）B（T）-η（C（T））- ηB（T）C（T）+ σB（T）。另一方面，uDT=xA（T）+yB（T）+xyC（T）+xD（T）+yE（T）+F（T）。在等式两边匹配适当的x，y的幂，得到了Riccati微分方程组（24），边界条件（11）转化为（25）。如前所述，如果库存风险项为订单xor 1，则不需要x和y中的第一订单项D（T）和E（T）。参考文献[1]奥埃琳·阿方西和亚历山大·希德。限价订单模型中的最优交易执行和无价格操纵。暹罗J.金融数学。，1:490–522, 2010.[2] 奥尔埃林·阿方西、亚历山大·希德和阿拉·斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：511–533，2012年。[3] 罗伯特·阿尔姆格伦。具有随机流动性和波动性的最优交易。

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