具有动态订单流不平衡的最优执行

2022-5-6 21:54:42

动态订单流不平衡的最优执行Kyle BechlerStatistics和Applied Probability加州大学圣巴巴拉米尔分校LudkovskiStatistics和Applied Probability加州大学圣巴巴拉分校2014CTOBER 21摘要我们研究了同时考虑市场微观结构影响和信息成本的最优执行模型。信息足迹与订单流量相关，由交易员对流量不平衡过程的影响表示，而微观结构的影响由瞬时价格影响捕获。我们提出了一个平衡这两个成本的连续时间随机控制问题。考虑到订单流量不平衡，需要考虑当前市场状态，尤其是订单是否与当前订单流量一致，这是文献中执行模型经常忽略的关键因素。特别是，为了应对不断变化的订单流量，我们将交易范围内化。在发展了一般的无限期公式之后，我们研究了几个易于处理的近似方法，这些近似方法依次优化了价格影响和T。这些近似值，尤其是基于滚动地平线控制的动态版本，被证明是非常准确的，并与流行的阿尔姆格伦-克里斯框架相联系。我们还讨论了经验顺序流的特征，以及我们的模型与Easley等人的“最优执行期”之间的联系（数学金融，2013）。关键词：最优执行、订单流量、限价订单簿、信息足迹1简介金融市场中的最优执行概念涉及通过优化交易产生的交易成本来实现交易资产的最佳价值。这些成本由两个基本组成部分驱动：市场微观结构摩擦和信息不对称。

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2022-5-6 21:54:46

市场微观结构意味着市场流动性是有限的，交易会产生价格影响。信息成本反映了一个事实，即交易被其他参与者观察到，然后这些参与者会调整自己的策略和资产价值观，并产生逆向选择。当今市场微观结构的复杂性导致了各种各样的方法，关注问题的不同方面。Almgren和Chriss[3,4,5]的开创性工作开创了不同的中间价模型框架，其中交易是连续的，价格影响取决于交易率。在[1]中可以找到该模型的扩展，以解释限制订单弹性，在[22]中可以找到其他瞬时价格影响。或者，专注于通过限价指令进行交易，[7,12,24]调查了不连续库存轨迹下的执行风险。[11,25,26]中出现了混合限制和市场指令的混合模型。上述方法提供了建模价格影响和执行成本的框架，但没有提到信息成本。虽然有一些研究[28]分析了逆向选择，但到目前为止，这方面的研究主要局限于长期（“永久”）价格影响的实证研究。例如，Bouchaud等人。[9,8]和Farmer等人[19]分析了订单流量数据的特征，断言订单流量在长达几天的时间尺度内是可预测的，订单流量在价格形成中起着重要作用。最近一个值得注意的贡献是al.[17]的byEasley，他在静态环境中最小化了信息泄漏和波动风险的组合。重要的是，[17]断言流动性过程对通过订单流联系的交易员的执行策略很敏感。

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2022-5-6 21:54:49

具体而言，市场毒性理论[16]意味着，订单流量的预期绝对不平衡可用于近似交易基于信息的概率。因此，单边市场可能会产生逆向选择，因此在这种有毒的情况下，做市商会扩大其提供流动性的范围。Cartea等人[12]给出了一个定性相似的结果，其中做市商的下单会随着单边市场订单的流动而深入到限价订单簿中。因此，通过影响订单流量，交易者的行为会对市场毒性产生短暂影响，进而影响执行成本。在本论文中，我们在一个组合动力学模型中架起了上述思想的桥梁。我们保持Almgren Chriss设置的基本特征，包括连续交易和由市场微观结构引起的（二次）瞬时价格影响。然而，我们也为订单流量加入了一个新的随机因素（Yt），它同样受到已执行交易的影响。对Y的短暂影响代表了交易者的信息足迹，并在问题中引入了一个反馈回路。它允许交易者对不断变化的市场条件做出反应，特别是从买入驱动到卖出驱动的市场变化，反之亦然。据传闻，这种顺序流反馈被纳入了大多数已实施的从业者算法中，并在与流动性上升（尤其是闪电崩盘，见[27]）相关的问题上受到质疑。我们使用我们的模型来研究Easley等人在一个单周期版本中引入的最优执行期限的动态问题。[17]. 因此，与Almgren Chriss和典型的执行模型相比，我们内生了根据市场流动性最佳选择的执行期限。

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2022-5-6 21:54:52

直觉上，当信息成本较高时，交易应该放缓，当信息成本较低时，交易应该加快。从这个角度来看，最优执行不是一个纯粹的优化问题，而是关于交易价格影响和信息泄漏对时间风险的影响。此外，即使潜在资产价值是鞅，内生执行期限也会生成动态执行策略。这允许获得内在的适应性交易，而不是流行模型（例如[1,4,5]）中只考虑价格影响的决定策略。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了动态有序流模型，并推导了相关的内生水平HJB方程。在第3节中，我们讨论了各自的固定期限问题，该问题允许我们在执行期限内进行优化后，获得几个封闭形式的近似策略。后者在第4节中，我们也比较了几种策略的结果。第5节介绍了有关订单流量的一些程式化事实，并讨论了校准。2最佳执行问题考虑的问题是规模为x=x的头寸的清算。我们假设一个持续时间设置，交易持续进行，且金额极小。也就是说，交易者在时间t交易˙xtdt股票，因此他的库存XT跟随动态XT=˙xtdt。（1）执行在随机水平点结束：=inf{t≥ 0:xt=0}，因此库存耗尽。自始至终，时间应该是以交易量为单位的。除了库存xt，我们模型的主要状态变量是订单流量不平衡Yt。订单流量不平衡反映了由买方和卖方发起的订单和交易数量不等而实现的证券供需之间的内在矛盾。

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2022-5-6 21:54:57

在短时间尺度上（从一天到几天），它是经验准静态的，即观察到的体积比净不平衡的偏差大几个数量级，参见第5.1节。此外，它非常嘈杂，而且似乎是均值归零。因此，我们选择用平均零平稳过程来建模（Yt）。让我在交易者不在场的情况下陈述流动不平衡。作为起点，我们将（Yt）设为一个平均回复参数为β的Ornstein-Uhlenbeck过程，dYt=-βYtdt+σdWt。（2）平均回归强度β控制着记忆流动不平衡的时间尺度，而波动性σ控制着流动不平衡中的流动大小。因为不平衡正好在这个范围内[-1,1]（分别代表100%买家和100%卖家的市场），分数σ/（2β）是Y的平稳方差，应该在σ/（2β）的前面∈ [0.01, 0.2].交易者的执行程序由于他的抛售给订单失衡过程带来了下行压力。交易者行为泄露的信息在已实现的订单不平衡Yt中造成漂移，将其推至Yt以下。通过替换其他订单，交易者会影响对未来订单流量的预期，并产生负面选择。第5.2节介绍了使用（更现实的）离散时间设置和离散交易对该机制的更精确描述。我们假设DYT=-β-Ytdt- φ（˙xt）dt+σdWt，（3）其中φ（·）捕获信息泄漏。观察Yt=Yt+Zteβ（s-t） φ（˙xs）ds，（4）所以执行程序对Y产生指数衰减的影响+→ R+不随φ（0）=0递减。

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2022-5-6 21:55:00

我们考虑的三种主要情况是：φ（˙xt）≡ 0对应于零信息足迹；φ（˙xt）=φt与确定性（但非零）影响相关；比例（线性）冲击φ（˙xt）=η˙xt。Linearimpact在计算上很方便，但不一定是交易员的活动如何影响订单流量预期的最现实反映。第5.2节研究了取决于流量不平衡当前值的影响。信息泄露是“抽象的”，因为它不会产生交易成本。然而，根据[17]我们假设，在一个不平衡的市场中，存在与交易相关的逆向选择成本。在这里，我们假设该成本在Yt中是对称的（但请注意，代理人的行为只会导致Yt的单方面影响）；对于易处理性，我们采用二次型。此外，我们从Almgren Chriss中扣除了两项成本：以汇率˙xt进行交易的即时影响g（˙xt），以及持有xtatt头寸的库存成本λ（xt）。连续时间执行问题是最小化相应的预期执行成本sinf（xt）之和∈X（X）前，yZTg（˙xs）+κYs+λ（xs）ds, （5）超容许执行策略（xt）∈ X（X）。上述期望是有条件的，即初始值Y=Y和初始库存x，这会导致测量值Px，Y。水平线是解决方案的一部分，因此在整个未来s上正式进行优化∈ [0, ∞). 虽然（5）中的第一项激励交易者放慢速度以降低其即时流动性成本，但成本函数的下两项是这样的，即在某些市场条件下，加速交易以更快退出市场可能是最佳选择。设Ft=σ（Ys:s）≤ t）表示Y生成的过滤。

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2022-5-6 21:55:05

可接受策略（xt）∈ X（X），由（Ft）组成-渐进可测量，绝对连续轨迹图7→ x=x，limt→∞xt=0和r∞g（˙xs）ds<∞ P-a.s.我们还要求对模型成分进行以下假设：o瞬时冲击函数g:R+7→ R+是严格凸的信息成本参数κ≥ 0;o 库存风险λ：R+7→ R+在x中不递减。（5）中的成本函数与文献中采用的其他方法一致。假设g（˙x）是凸的，这与市场参与者喜欢将一个大的“母”订单分成较小的订单以降低交易成本的经验事实相吻合。在限价订单簿（LOB）中，g（·）代表任务端LOB的深度。如果该深度为常数，则瞬时交易成本为二次g（˙x）=˙x（通过重新缩放κ和λ，我们在不失去普遍性的情况下假设领先系数为1）。这一假设也出现在[4,11,20]等文章中。由于我们的主要关注点是信息成本，因此目前我们假设对资产价值没有其他短暂/永久性影响，并进一步假定战略独立于资产动态。第5.3节我们回到这个问题，讨论允许资产价格动态（St）和订单流量（Yt）之间正相关的扩展。我们的第二个成本项κyti主要是由[17]中提出的模型驱动的，它捕获了信息泄漏的成本。主要前提是，在流动不平衡的市场中，流动性成本（如逆向选择的可能性）更高。然而，与[17]不同，我们的模型在流量不平衡过程（Yt）中结合了均值回归和随机性。因此，这个术语所模拟的影响是暂时的，并且在某种程度上与极限订单书[1,22]中调查弹性的Tomodel有关。

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2022-5-6 21:55:08

对于其他考虑了随机执行成本的论文，请参见[3]。（5）中的最后一项λ（xt）代表时间风险，惩罚交易者使其仓位暴露在不利的价格波动中。执行文献中应用了几个风险术语。Almgren和Chriss的开创性工作在amean方差成本函数上进行了优化，将其简化为一个变量演算问题和风险项λ（x）=cx。Gatheral和Schied[20]研究了风险度量中的时间加权值与λ（x）=cx的比例。在时间风险的背景下，λ（x）=c产生的成本与执行时间成正比，这是一个非常重要的修改，一旦期限不确定。备注1。在（5）中，我们将注意力限制在纯粹的销售策略上，这样就不会增加。因此，我们所有的成本函数仅定义为正销售率。根据信息泄漏的强度，约束˙xt可能≥ 0具有约束力，即在市场条件改善之前暂停执行。将该框架扩展到双边交易算法，这超出了本文的范围[2,22]。双边交易算法会引发潜在的市场操纵问题[2,22]。2.1限价指令的执行成本在继续解决（5）之前，我们将讨论我们的设置与目前主导美国和欧洲股票交易的电子LOB市场的交易之间的联系。LOB交易在空间和时间上都会留下双重足迹。在空间中，已执行的卖出指令消耗出价方匹配的长期限制指令。（在我们的框架中，由于不存在任何风险，所有交易都假定为市场订单。）这缩短了图书出价端的相应队列，因此可以移动最佳出价。这就是上述由g（˙x）表示的价格影响。

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2022-5-6 21:55:12

在时间上，已执行的订单由其他参与者记录在影响观察到的订单流量的交换消息报价器上。影响既有直接的（即执行了˙XS股的卖出指令的直接事实），也有间接的（即市场参与者调整了他们对订单流量的统计观点）。因此，只要市场参与者监控报价器（而不仅仅是观察LOB的快照），订单就会产生信息足迹。有很多轶事证据表明，许多HFT算法确实会跟踪订单的时间序列（例如，检测暂时的交易模式），Hence会对这一足迹做出反应。这意味着信息成本至少与即时流动性消耗同等重要。模拟有序流动仍处于起步阶段。事实上，虽然LOB在空间上可以简单地概括为一组队列（通过深度函数[1]建模），但随着市场参与者处理多个信息流，交易所股票代码的时间序列要复杂得多。既有已执行交易（即由市场指令触发的交易），也有限价指令，它们本身可以根据交易所的不同以其他方式添加、取消或修改。订单还包含数量、时间戳和可能的参与者类型（可以在LOB的任何级别输入限额订单）。此外，这些多维数据还以非平凡的方式耦合在一起，具有系列内（例如，订单间持续时间的自相关）和系列间（例如，执行的市场订单往往会增加触屏时限价订单的到达率）的时间链接。例如，见Cartea等人[12]的一个最新模型，该模型将交叉激励霍克斯流程配置为基本订单流程，以最佳出价和最佳出价排队。

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2022-5-6 21:55:15

鉴于这种挑战，我们提出的Ornstein-Uhlenbeck过程的模型顺序流是一种折衷方案，显然需要在校准到实际数据之前进行更多调整。在第5.1节中，我们带着一些关于订单流的经验程式化事实回到这个问题。备注2。在本文中，我们关注的是时间顺序流及其相关的不平衡，这是Easley等人[15,16,17]推测的与市场毒性有关的。其他作者，如[13]对一个不同的对象，即“空间”秩序失衡，使用了秩序流动失衡（或仅仅是秩序失衡）的术语。也就是说，在排队符号的激励下，它们指的是最佳出价和最佳出价下的长期限制订单之间的净差异。如[13]和[14]所示，订单不平衡可以预测下一个价格变动（即与下一个价格上涨或下跌的概率相关），并且受到大多数HFT算法的密切监控。虽然LOB深度与提交的限价订单历史有关，但这种关系非常复杂（由于中间价变动、隐藏订单等）。因此，我们的订单流量不平衡并不意味着与LOB深度或任何直接LOB属性直接相关，而是提供最近提交的订单的时间摘要。2.2 HJB公式（5）我们采用标准随机控制方法，利用动态规划原理和Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）偏微分方程。在此框架内，战略由其销售率αt:=-˙XT且可容许策略A（x）类由所有非负（Ft）-渐进可测过程（αt）0组成≤T≤t对于其中的xαt：=十、-Ztα-sds+, 0≤ t、属于X（X）。我们问题的值函数可以表示为v（x，y）=inf（αt）∈A（x）前任，yZTg（αs）+κYs+λ（xαs）ds. （6）如果存在，我们将相应的最优策略定义为α*（x，y）。

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2022-5-6 21:55:18

对于Yt的每一条路径，α*导出实现的执行视界T（x，y）=inf{T:xα*t=0}这是一个随机变量，取值于[0，∞).标准参数表明，值函数v（x，y）将满足形式为0=σvyy的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程- βyvy+κy+λ（x）+infα≥0{g（α）- αvx- φ（α）vy}，（7）所有y的边界条件v（0，y）=0。我们观察到（7）是（x，y）中的非线性抛物偏微分方程，相应的理论（例如关于经典解的存在性）相当有限。在本节的其余部分，我们将集中讨论线性信息泄漏和二次价格影响情况g（α）=α，φ（α）=ηα。在这种情况下，反馈形式的候选优化器是α*（x，y）=vx+ηvy。（8）将这个反馈控制代入PDE（7），我们得到0=σvyy- βyvy+κy+λ（x）-vx+ηvy. （9）由于容许策略A（x）类的状态依赖性，问题（6）是一个有限燃料控制问题。因此，似乎不存在满足x=0的零边界条件的可处理闭式解。在附录a中，我们展示了一种通过有限差分格式数值求解（9）的相对简单的方法。为了理解（8）中的反馈策略，我们停下来考虑Vx和vy的导数。正如我们将看到的，Vx总是正的，但Vy可以是正的或负的。因此，第（8）项中的候选人可能不具备非负面特征。引理1。地图x7→ v（x，y）对于任何y证明都是严格递增的。固定x<x=x+ 对于一个绝对积极的考虑一下(-最优）策略α对于v（x，y）。设Tx:=inf{t:xt=} 是使用α出售x股的随机周期. 然后是t7的绝对连续性→ xt，Tx<T（x，y）。此外，α（x，y）：=αt（x，y）1{t≤Tx}是初始条件（x，y）的一个可容许策略，因为它正好清算x- = xshares。

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2022-5-6 21:55:21

利用α对于v（x，y）是次优的，并且第二项和第三项sin（5）几乎肯定是严格正的事实，我们发现v（x，y）≤ v（x，y；α）<v（x，y）。在（9）中，地平线是不确定的，最终清算仅通过边界条件建模。因此，理解已实现的执行视界T（x，y）只有隐含的可能性。此外，（9）中的非线性使分析变得困难。为了实现可追溯性，我们考虑了一个近似的两阶段过程。因此，我们首先通过施加约束T=T来确定地平线。然后，我们解决由此产生的固定视界问题，以找到最佳策略*（T，x，y）和值函数v（T，x，y）。在第二步中，我们对T进行优化，以找到静态最优水平T*（x，y）。最后，我们建立了半动态策略α（xt，yt）=α*（T）*（xt，yt），xt，yt）。因此，α重新计算T*随着状态变量（xt，yt）的演变，使用相应的静态交易率。这种方法适用于非线性控制中的后退视界设置[29]。事实上，α的最初使用*（T）*t=0时的（x，y），x，y）对应于模型预测控制，而α（xt，yt）则由于遇到的随机波动而连续滚动初始条件。上述计划分别在第3节和第4节中实施。在后一节中，我们还将比较各种策略的执行轨迹和由此产生的成本。3有限水平上的线性二次设置∞. 我们考虑[0，T]上（7）的类似物。为了避免混淆，当在固定的视界上定义时，我们让u表示值函数：u（T，x，y）=inf（αT）∈A（T，x）Ex，yZTαs+κYs+λ（xαs）ds. （10）出于解释目的，我们使用u的到期时间参数化，因此Firstargument T代表截止日期之前的时间。

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2022-5-6 21:55:24

[0，T]上的策略定义与第2节中的策略定义类似，但在终端时间T时约束xT=0。通过T强制液化，如果未完成，则通过设定最终惩罚来实现，从而导致formlimT的初始条件不规则↓0u（T，x，y）=（如果x=0，则为0+∞ 如果x6=0。（11）请注意，（10）中的第二项继续累积，直到结束时间不考虑清算是否提前完成。因此，我们没有使用边界条件v（0，y）=0，而是（因为对于xt，零是吸收的）u（t，0，y）=E0，y[Rtκ（YS）ds]；后一个表达式的显式公式见引理3。为了获得（10）的显式解，下一节将讨论φ在固定视界上与α无关的情况。换句话说，交易者可能会影响订单流程，但影响可以用确定性的方式建模。然后，第3.2节讨论了比例足迹φ（α）=ηα的情况，仍然在固定的时间范围内。结果表明，第3.1-3.2节中获得的策略与第2.3.1节中提出的不确定视界模型相比并不是太次优。短视执行策略在经典的最优执行模型[1]、[4]和[5]中，最优执行率是确定性的，即α是预先确定的。在这种情况下，信息成本也将是不确定的。因此，我们研究φ（α）独立于α（但可能取决于时间t）的情况。在这种假设下，我们可以在（5）中分离这两个术语，因为（Yt）的动态不受交易者的直接影响；性能标准适用于INF（xt）∈X（X）ZT˙xs+λ（xs）ds+ZTκEy[Ys]ds。（12）因为（Yt）独立于控制α，所以最优策略仅由（12）中的第一项定义。因此，得到的（αt）与y无关，因此与t7无关→ 十、*这是决定性的。

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2022-5-6 21:55:27

因此，基于（12）的策略是短视的，因为它们完全忽略了交易者行为所留下的潜在“足迹”，而不是只关注不必要的成本和库存风险。下面的引理，在附录B中得到了验证，为（12）的库存风险的流行选择提供了解决方案。引理2。考虑findingi（T，x）：=inf（xt）ZT（˙xt+λ（xt））dt的变分法问题，其中最小化在所有绝对连续曲线t7上→ 在x=x，xT=0且x不增加的约束下。然后是最佳的“近视”策略（αt≡ -˙xt）是xMLt=x（T）- t） t；αMLt=xT；IML（T，x）=xT，如果λ（x）=0；(13)xMHt=x sinh(√c（T）- t））信义(√cT）；α-MHt=√舒适的(√c（T）- t））信义(√cT）；IMH（T，x）=√科思(√cT），如果λ（x）=cx；(14)xMQt=ct- tc^T+x^T！+十、{t<^t}；αMQt=c^T+x^T-计算机断层扫描！{t<^t}；IMQ（T，x）=-c^T+c^T x+x^T！；式中，^T:=min（T，√十、√c） ,，如果λ（x）=cx。（15）上标M L、MQ、MH分别代表近视线性模型、二次模型和双曲模型。第一种情况下，ML产生线性销售和TWAP策略，或者，如果时间以批量时间参数化，则产生经典的VWAP交易策略。第二种策略XmHt及其对应的利率αmHt呈现指数销售，是原始Almgren-Chriss模型[4]中提出的最佳策略。该风险期限是交易员将清算成本差异降至最低的努力结果。从库存风险度量的角度来看，一个自然的替代方案是λ（xs）=cxs，它具有与风险价值成正比的吸引力，并导致销售策略xmqt在t中是二次的。然而，正如[20]中对类似问题所解释的，购买可能会导致仓位规模相对于t较小。

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2022-5-6 21:55:30

施加xmqt减小的约束，然后导致修改的解决方案（15），在^T<T的情况下，会导致清算在终止时间T之前结束。图1详细描述了引理2中描述的x=3和T=3的三条执行曲线。与VWAP策略xML相比，策略xMHand xMQlead中的非零库存风险术语最初会导致更高的销售率。xMHis proportional to x，cf.（14）中的执行率和清算正好发生在T。相比之下，随着XMQT变小，线性风险项CXMQT变得更具惩罚性，结束清算时间tInventory xt0 1 2 30 1 2 3xtmLxtmQxtmH可能是最佳选择图1：引理2的最佳轨迹。为初始库存x=3、水平T=3和c=2绘制的图。这导致了^T=√十、√c=2.45，在二次情景下为xMQof（15）。在时间T之前。图1显示库存量xmqtt在时间^T达到0=√6如（15）所述。现在，我们将注意力转向订单流量不平衡带来的预期执行成本。固定（α）*t），我们可以查看相应的信息影响φ（α）*t）同时也是t的确定函数，允许使用Yt的明确可用高斯分布直接计算（12）中的第二项。引理3。给定一个确定性的、随时间变化的水流冲击φ（αt）=φt，Y=Y，Y为第二动量Yt= ut+σt，（16）式中ut=ye-βt-中兴通讯-β（t-s） φsds，σt=σ2β（1- E-t（2β）。（17）引理3可以通过直接求解SDE（3）并回忆Yt的高斯分布来验证。综合所有因素，我们得出命题1中短视执行策略系列的预期总成本。我们重申，虽然实现成本瞬间取决于随机过程（Yt），但本节中的策略纯粹是确定性的，不适用于（Yt）。

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2022-5-6 21:55:34

以下溶液按λ（x）的形式标注；虽然（12）中的两个术语通常是解耦的，但将瞬时价格影响部分的结果解I与相应的期望值Ey[RTYsds]匹配当然是合乎逻辑的，这是我们在命题1中遵循的惯例。提议1。假设φt（α）=φt。相应的值函数u由um（t，x，y）=I（t，x）+O（t，x，y），（18）给出，其中I定义在（13）-（15）中，O=κZT（ut+σt）dt来自引理3iso（t，x，y）=κy2β1.- E-2βT+κσ4β2βT+e-2βT- 1.如果φt≡ 0; （19） OML（T，x，y）=O（T，x，y）+κηxyβT2e-βT- 1.-E-2βT（20） +κηx2βT2βT+4e-βT- E-2βT- 3.如果φt=ηαmlt封闭式表达式也可用于OMQand OMH，见附录C。因此，清算的总成本有两个组成部分：仅依赖于（t，x）的I（t，x）项，以及也依赖于y的信息足迹项O（t，x，y）。对于x，如果φt=0，O是常数，如果φt=ηαML，O是线性的，否则是二次的。作为y的函数，由于（Yt）的线性动力学和二次信息成本，O是二次的。从财务角度来看，由于在不平衡的市场中进行交易，yterm代表了更高的成本，而y期调整为在买方主导的市场中销售有利于与其他卖方竞争稀缺的流动性。下面的推论表明，y的“最佳”水平为正（如果φt=0，则为0）。直觉上，最好是在订单流量为正的环境下开始交易，这样交易者的销售活动将订单不平衡推向0，并降低信息成本。推论1。假设φt（α）=φt≥ 0.那么使预期执行成本最小化的流量不平衡是非负的，arg miny{u（T，x，y）}≥ 0表示任何T，x证明。如前所述，uM（T，x，y）在y中是二次的，而Yi的系数在（19）中一直是二次的。经检查呈阳性。

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2022-5-6 21:55:37

对y的依赖性来自O项，其形式为O（T，x，y）=κZT（ye）-βt- 在这里在≥ 0（只要φt在正测度区间上大于0，则严格为正，参见（40））。因此，yin-uM（T，x，y）的系数是κRTe-2βtdt>0，y为-RT2κe-β-tAtdt≤ 0.因此，设置yuM（T，x，y）=0，求解y得到一个非负结果。3.2动态执行策略我们现在回到（10）中的问题，让φ（αt）=ηαt。最佳动态策略适用于订单流量不平衡过程（Yt）和交易者的直接卖出率（Yt）。为了避免混淆，我们将分别用αdtud和uD表示动态策略和预期成本。uD（T，x，y）的HJB偏微分方程为uDT=σuDyy- βyuDy+κy+λ（x）+infα≥0g（α）- α-uDx- ηαuDy, （21）有uD（0，x，y）=+∞ 除非x=0。请注意，（21）与（6）相同，但用于等式左侧的时间导数，这是由于受约束的地平线T产生的时间依赖性而引入的。假设g（α）=α，λ（x）=cx，并插入如（9）中所示的反馈控制，得到一个半线性抛物型PDEuDT=σuDyy- βyuDy+κy+cx-uDx+ηuDy！。（22）初始条件（11）。为了得到（22），我们让α是无约束的，并允许它为负。这使我们能够通过利用线性二次结构找到以下候选解决方案。动机来自于uMin提案1，我们在提案1中得到了类似的结果：x和y的平方和xy项，当y<0时会增加额外成本。提议2。

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可人4

2022-5-6 21:55:41

（22）的解的形式为：uDH（T，x，y）=xA（T）+yB（T）+xyC（T）+xD（T）+yE（T）+F（T），（23），其中D（T）=E（T）≡ 0，A，B，C，F求解矩阵Riccati常微分方程（ODE）A（T）=-A.- ηAC-ηC+cB（T）=-ηB- B（ηC+2β）+κ-CC（T）=-ηC- C（ηB+A+β）- 2ηABF（T）=σB，（24），我们有以下初始条件极限↓0A（T）=+∞B（0）=C（0）=F（0）=0。（25）最优清算率为αDHt（T- t、 xt，Yt）=xt（2A（t- t） +ηC（t）- t））+Yt（C（t）- t） +2ηB（t）- t））。（26）关于命题2的证明，见附录D。我们重申，在（24）中，A、B、C、F是剩余时间的函数，我们通过省略（24）右侧的时间参数（即A=A（T）等）简化了符号。接近最后期限T时，冲击Y的影响消失，（22）收敛到（13）的近视线性情况。这可以通过在区域T中正式线性化Riccati系统（24）来观察-t=使用初始条件（25）。我们得到了下面的展开式：:A() =+ O()B() = κ + O();C() = -ηκ + O();F() =σκ+ O().（27）插入（26）给出了短期交易率αDH(, xt，Yt）=xt+ O(). 这试探性地证实了策略（26）是可接受的，这也可以在下面的图4中观察到：→ 动态交易率稳定，类似于VWAP策略。备注3。对于库存风险λ（x）的其他函数形式，也可以建立和求解线性二次问题。在线性情况下λ（x）=cx，得到的Riccati系统将具有x和y的非零线性系数D（T）和E（T）。

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何人来此

2022-5-6 21:55:44

但是，动态地满足约束x≥ 0是不可控制的（参见（13）中的^T），我们发现，由此产生的无约束策略往往会导致疯狂的买卖。在常数λ（x）=c的情况下，Riccati系统几乎与（24）（againE（T）=D（T）相同≡ 0）除了c项移到第四行：FDL（T）=σB（T）+c。在续集中，我们使用这两种解决方案进行数值说明。可以使用软件包（如R）处理（24）中的方程。然而，有必要用条件限制替换奇异初始条件（11）↓0uD（T，Y，x）=（0，如果x=0M，如果x 6=0（28），对于常数M大，基本上允许在时间T处出现非零头寸，然后必须以某种额外成本在单个订单中进行清算。这相当于引入Cincinga边界层[0，] 在T上求解∈ [, ∞] 因此M=1/ 是基于（27）的正确选择。最优交易率αDin（26）在XT和Yt中都是线性的。前者的特征类似于（14）中的双曲线情况，其中αmhts在xt中也是线性的。接下来，我们将举例说明动态策略αD与短视策略αMt的对比情况。对于固定的终端时间T，交易者在策略αD下加速或减速的动机来自交易者对更平衡的订单流的渴望。请注意，没有任何动机加速交易，以完成任务并在交易成本从Y累积到T之前退出市场。对于正订单流量不平衡，当前交易速度更快，未来执行成本更低，因为（Yt）将因其活动而接近0。同样，如果订单流量不平衡为负，则最好降低阅读速度，以免将（Yt）拉离0。对于负Y和足够大的T（或足够大的κ，β），αdt可能变为负（即。

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2022-5-6 21:55:47

这可能是最佳的开始购买），但这只发生在极端的参数。图2展示了命题2的结果，模拟了近视αMH和适应性αDH的（Yt）路径。可以观察到，这两种策略的形状非常相似，αD在αMH附近“流动”。我们还观察到，α-MH最初的攻击性较小，开始较慢，然后在大于1.5后加速（相对于α-MH）。时间t交易率αt0 1 2 30.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2 1.3αtMHαTDH图2：样本模拟路径（Yt）的交易率αDH和αMHT。为参数值T=3，κ=10，σ=0.14，β=0.05，η=0.05，λ（x）=0.1x，初始条件x=3，Y=0.4优化执行范围绘制了该图。我们现在进入近似解方案的第二步，并移除fixedhorizon约束。给定u（T，x，y），定义*:= arg minTu（T，x，y）。下一个引理表明*到目前为止，在所有考虑的情况下都是有限的。引理4。对于任何固定的x，都不存在Tu（T，x，y）>0表示所有T>\'T和ally。证据回想一下u=I+O，参见（18）。作为T→ ∞, I的变分问题（12）与T无关。通过检查，limT→∞IML（T，x）=0和limT→∞IMH（T，x）=√cx。在二次型情况下，对于足够大的T，^T=√十、√cso那个极限→∞IMQ（T，x）=x3/2√c用于初始库存的某些功能。相比之下，O（T，x，y）=RTuT+σtdtgrows至少在T中自limt起呈线性变化→∞σt=σ2β。此外，第一项是非负的，因此TO（T，x，y）≥σ2β渐近为T→ ∞ 对于任何y.因此，总的来说，它不够大。图3展示了带有值函数Udh的动态双曲策略的引理4。我们观察到uDH（T，x，y）在T中似乎是凸的，具有唯一的全局最小值T*（x，y）。此外，T*（x，y）对于y\'0最大，对于负y最小。

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2022-5-6 21:55:50

这符合这样一种直觉，即在信息成本巨大的平衡市场中，交易速度最慢，而在进一步信息泄露最少的抛售驱动市场中，交易速度最快。1 2 3 4 5执行期限6执行成本uDH4 6 10 12 14 Y=0 Y=0.3 Y=- 0.3图3：对于订单流量不平衡y的不同值，作为T函数的预期执行成本uDH（T，x，y）。虚线表示达到最小值的T值。为β=0.05、σ=0.14、η=0.05、κ=10、λ（x）=0.1x和库存x=3绘制的图。给定初始值（x，y）和相应的T*（x，y），设αMt（T）*, x、 y）和类似的αDt（T*, x、 y）是固定范围内的最终策略[0，T*). 这提供了一个静态或开放的最优执行策略，因为*是固定的，不随订单流量变化而调整。我们还可以通过不断重新计算T来构建“动态”策略*（xt，Yt）使用最新的基准（xt，Yt）。我们将后者表示为αMt（x，y）：=αM（T）*（xt，yt），xt，yt）与相关的值函数uM。相应的αD（x，y）和μD以相似的方式定义。“滚动”地平线的方法*由于潜在的随机状态变化被称为滚动时域控制或模型预测控制，参见例[29]。备注4。重新计算T*可以在任何频率下完成。也就是说，给定一个（随机）集合0=t<t<。，我们可以构造策略α（T（T），xt，Yt），其中T（T）：=T*（xtk，Ytk）和tk=max{ti:ti<t}。例如，可以取tk=inf{t:xt≤ （K）-k） x/k}，给出再平衡期，在每个期间，总库存的1/k被清算。在继续之前，我们先暂停一下，总结一下已经确定的各种策略。第2节中解决原始不确定水平控制问题（7）的全动态策略表示为α*（x，y）。

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2022-5-6 21:55:53

在第3.1节中，我们定义了固定视界上的一系列近视策略，通常表示为αM（T，x，y）和Emma 1中提到的特定案例。不断优化T*然后得出了后退地平线策略αM（x，y）。在第3.2节中，我们介绍了动态策略αD（T，x，y），该策略适应固定范围内不断变化的流量不平衡，以及相应的后退αD（x，y）。我们继续比较所述策略的执行成本统计数据。为了便于解释，我们考虑零库存惩罚的情况，λ（x）=c独立于x，因此基准策略（无信息成本）为VWAP，即恒定交易率。精确的参数是：定时风险λ（x）=c=0.1（即线性定时成本），初始库存和初始订单流量不平衡分别为x=3和y=0，η=0.075，κ=10，β=0.05和σ=0.14。与最初的策略相反*（x，y）中，我们还比较了自适应的α和αML。这两种方法都通过在固定视界解决方案中优化T来调整执行视界。实际上，这是通过离散化intime实现的(t=.01）并重新计算t*（xt，Yt）在每个时间步，见备注4。回想一下αMLt=xt/T*（t）。为了了解上述“再平衡”的频率，我们还展示了策略αMLt（T）的结果*（2），x，y），当xt=x时，在清算过程的中途重新计算地平线。因此，xt的相应路径是分段线性的，有两段，见图4。这是V W AP设置中一个方便的折衷方案，很好地说明了当允许交易者调整执行期限时获得的优势。最后，了解适应性调整T的重要性*, 我们还比较了静态αDL（T*, x、 y）和αML（T*, x、 y）=x/T*（x，y）。表1显示了有关已实现成本分布的一些汇总统计数据J（α）：=RTαs+κYs+cds。

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2022-5-6 21:55:57

使用2000条（Yt）模拟路径生成结果。每种策略的实际实现订单流量不平衡路径反映了φ（αt）=ηαt表示信息泄漏的真实形式的假设。除了平均预期成本u（x，y）：=Ex，y[J（α）]之外，我们还报告了标准偏差SD和分位数q·（在5%和95%的水平上），这对风险管理非常重要。最后，我们还报告了平均实现视界E[T]。当然，对于非适应性策略，T≡ T*（x，y）是常数。将每个α与其各自的固定期限进行比较，证明了利用“自适应”执行期限的重要性。类似地，将各自的短视策略与动态策略进行比较表明，前者的确定性信息泄漏建模与后者的完全动态比例信息泄漏策略相比并不太次优。通过优化视野而实现的成本改进往往主导着通过采用动态策略而不是短视策略而获得的成本改进。特别有趣的是，为uMLand resultingstrategyαMLT计算的闭式解形成了（6）-（9）中难以确定的视界设置的合理近似值。全动态α的成本改进*超过VWAP策略αMLisOptimal Execution strategy vuDuM LuM L（2）uDuM LE[J（α）]4.257 4.264 4.317 4.411 4.483 4.547SD（J（α））1.50 1.45 1.39 1.49 1.77 1.84q。05（J（α））2.702.762.832.963.113.12q。95（J（α））7.33 7.28 7.10 7.50 8.19 8.42E[T]3.87 3.70 3.48 3.44 3.43 3.43表1：六种执行策略的统计数据，包括平均实现成本J（α）、标准差、.05- 95-已实现成本的分位数以及平均已实现执行期限。大约6.8%。

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大多数88

2022-5-6 21:56:02

这似乎有些温和，但请注意，后一种策略适用于地平线[0，T]*], 这是在t=0时使用值函数uML计算的静态最佳视界。图4展示了模拟订单流不平衡路径（Yt）示例的各种策略。这种特定模拟中的单边订单流动导致“自适应”水平策略相对于固定水平策略加速交易并缩短水平。4.1比较静态针对单一策略αDLt，我们简要讨论了调整参数c、η和κ的值如何影响交易率和实现期限。增加c对应于对时间风险的容忍度较低，并直观地导致在所有y值中实现的时间较短，交易率增加。κ和η的选择分别取决于交易者对订单流量不平衡时交易成本增加的评估，以及交易者对向其他参与者透露信息的敏感程度。增加κ提高了对订单流量不平衡的敏感性，这会导致交易速度的增加和执行期限的缩短，尤其是当（Yt）远离0时。在另一个极端，设置κ=0导致引理2中所述的策略具有零信息成本。η增加的效果取决于市场状态，当订单流量向购买订单倾斜时，交易量增加，当订单流量平衡或销售订单占主导地位时，交易量减少。具体而言，η的增加意味着对订单流动过程有更强的贸易影响，因此，在买入市场中，容忍略高的即时成本是有益的，因为交易者可以更有效地捕获未来更平衡的订单流动带来的节约（在抛售倾斜的市场中反之亦然）。图5以κ和ν的形式说明了这些∧αdL的比较静力学。

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2022-5-6 21:56:05

请注意，虽然理论上αDLfrom（26）可能为负值，但在我们所有的图中，αDLfrom远未为零且表现良好。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5交易率αtαt*α~tDLα~tMLα（2）MLαtDLαML0。6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0 0 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5时间扭矩流量不平衡（Yt0）-0.4-0.2 0.0图4：表1中六种策略的交易率（αt）的比较，给出了（Yt）的模拟路径（实现（Yt）取决于选择的策略）。请注意，每种策略都以一个不同的带正方形的TINNED结尾。4.2已实现执行视界我们现在探索在遵循动态策略αDt（xt，Yt）时已实现执行视界T（x，y）的一些特征。图6的左面板突出显示了不同初始市场状态下的ofT（x，y）分布。我们观察到，在不平衡的市场中，Ttends最长。事实上，在这种情况下，交易者最关注的是最小化其足迹和即时执行成本，因此交易速度较慢。由于正平衡Yt>0，他有动力以更快的速度进行交易，以使市场进入更平衡的状态。另一方面，当一个市场由Yt<0的卖方订单主导时，交易者发现自己在竞争流动性，交易以更快的速度进行。即使信息成本κy不对称，这些效应的不对称效应也会产生一种扭曲。图6的右面板进一步显示了这种现象，该图显示了塔加内斯特终端YT的散点图。同样清楚的是，问题不仅在于订单流量是平衡还是不平衡，更重要的是，交易的一面与最优策略和实现的范围非常相关。

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2022-5-6 21:56:09

一般来说，不平衡0。0.5 1.0 1.5 2.0阶流量不平衡Y变速率αtDL-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6κ=10κ=5κ=1η=0η=0.075η=0.15图5：交易率αDL（x，y）作为信息成本κ和信息泄漏强度η的不同值的流量不平衡y的函数绘制。库存水平为x=3。订单流量会导致更高的交易成本和更短的期限，但显然，正如人们所预料的那样，与当前的订单流量进行交易（当订单流量以购买订单为主时卖出）更可取。我们注意到，在T固定的情况下，随着Ytin希望订单流动过程将恢复到更平衡的状态，流动性成本将在未来下降，执行率将降低。然而，允许调整视野带来了一种新的激励，即加速执行，以便完全退出市场，阻止信息泄露。这是一种幻觉，尤其是在恐慌或投降的时候，当最小化足迹不如寻找流动性重要时，即使代价更高。我们还观察到，已实现执行成本和已实现执行期限之间存在很强的相关性。订单流量不平衡会导致长期成本增加。此外，由于不平衡的订单流导致交易加速，交易者也会因瞬时成本项αt而产生更高的成本。因此，在更长的执行期内，成本往往较低。图7通过突出显示几个特定的库存轨迹和相应的已实现订单流路径，提供了关于该功能的另一个视角。它还表明，在已实现的水平上的传播是显著的，可以高达静态T的50%*.4.3静态信息泄漏本次分析的动机之一是Easley等人[17]（ELO）的工作，他们考虑了一个相关的静态最优执行期模型。

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何人来此

2022-5-6 21:56:12

通过我们的设置，[17]处理了信息成本仅通过YTratherthan而非（5）中的积分项来衡量的情况。具体而言，ELO将信息足迹等同于终端流量不平衡| YT |的绝对值。此外，ELO（隐式）假设执行范围T01 2 3 4 5y=0y=.3y=-.32.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5实现的执行期限T0订单流不平衡YT0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0 0.2 0.4 0.6图6：左侧：已实现执行期限的分布跟随策略αDLfordi初始流量不平衡Y=Y的不同值。右侧：已实现执行期限标记初始不平衡Y=0时的最终订单流量不平衡Y。[0，T]上的VWAP执行策略相当于零库存风险λ（x）=0和瞬时冲击RT˙xsds，并转化为短视策略αmlOf恒定交易率。最后，时间风险直接建模为∧（T）=c√受ST波动性的相同结构形式的激励，[17]中的总体问题在于此≥0nE[|YαT |]+c√到，αt=x/t。（29）我们的框架允许在动态设置中处理（29），即超越近视策略和静态优化以获得t*（x，y）。[17]中使用的直接包含∧（T）形式的计时成本的可能性，可以在（5）中更普遍地处理，因为后一项与第3.1-3节中的固定时间问题没有区别，因此只出现在第二步优化中。基于数值实验，用终端成本代替运行的Y-成本∝ YT倾向于减缓以销售为主的市场中的最佳交易策略，这使得订单流程中的均值回归能够起作用，并降低终端成本。

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2022-5-6 21:56:16

在存在正序流的情况下，交易率的变化可以是任意一个方向，取决于φ（α）以及瞬时成本和信息成本之间的权衡。5模型校准为了实施建议的执行策略，交易员必须遵守订单流程。此外，他们需要能够校准Yt的参数。该清单xt0 1 2 3 4 50.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00 1 2 3 4 5时间扭矩流量不平衡（Yt）-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4图7：顶部：动态自适应策略¨αDLt的200条模拟轨迹（xt）。重点介绍了三条由不同的已实现订单流量不平衡（Yt）路径产生的轨迹。底部：订单流量不平衡t 7的相应实现→ 嗯。需求不同于在“开环”环境下运行的典型执行策略，即没有任何即时的市场数据输入。当然，大多数经验性交易都是“闭环”的，动态地响应市场信息。在本节中，我们简要讨论市场信息的校准和转换为模型输入。5.1经验订单流程我们首先关注已执行订单，从流程的角度可以总结为顺序V，V，式中，Vkis为所讨论证券的已签署市场订单量（买入为正，卖出为负）。我们假设交易是以成交量为单位的，因此没有单独的时间戳组件。然后，原始订单流将是累积的sumPkVk。假设参与者关注最近的交易（即市场记忆有限），就会考虑Vk的移动平均值。

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