块状订单的高弹性极限

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《High-Resilience Limits of Block-Shaped Order Books》
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作者：
Jan Kallsen, Johannes Muhle-Karbe
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We show that wealth processes in the block-shaped order book model of Obizhaeva/Wang converge to their counterparts in the reduced-form model proposed by Almgren/Chriss, as the resilience of the order book tends to infinity. As an application of this limit theorem, we explain how to reduce portfolio choice in highly-resilient Obizhaeva/Wang models to the corresponding problem in an Almgren/Chriss setup with small quadratic trading costs.
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中文摘要：
我们证明了Obizhaeva/Wang的块状订单簿模型中的财富过程收敛于Almgren/Chriss提出的简化模型中的财富过程，因为订单簿的弹性趋于无穷大。作为这个极限定理的一个应用，我们解释了如何将高弹性Obizhaeva/Wang模型中的投资组合选择减少到具有小二次交易成本的Almgren/Chriss模型中的相应问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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可人4

2022-5-6 23:13:46

块状订单的高弹性极限*Jan Kallsen+Johannes Muhle Karbe2014年9月25日摘要我们表明，Obizhaeva/Wang[23]的块状订单簿模型中的财富过程收敛于Almgren/Chriss[3,4]提出的简化形式模型中的财富过程，因为订单簿的可靠性趋于一致。作为这个极限定理的一个应用，我们解释了如何将高弹性Obizhaeva/Wang模型中的投资组合选择减少到具有小二次交易成本的Almgren/Chris系统中的Corres-ponding问题。1简介快速执行的大额订单会对市场价格产生不利影响。这种“价格影响”构成了大型机构投资者和对冲基金的主要交易成本。因此，有大量且不断增长的文献研究如何通过合理安排订单流量来降低这些成本（参见[13,12]了解最新概述）。使用最广泛的两个模型分别由阿尔姆格伦和克里斯以及奥比扎瓦瓦和王提出。Almgren和Chriss[3,4,2]提出了一个简化模型，该模型直接描述了特定功能，描述了给定秩序的临时和永久影响。该模型的具体规定非常容易处理，以实现最佳执行[4,2,27]，如果价格影响是线性的，也适用于更复杂的问题，如投资组合选择[11,10,14,22]和h边缘[5,22]。特别是，即使在非常一般的情况下，对于小的线性临时影响，也能得到完全明确的公式[22]。Ob izhaeva/Wang[23]的模型是结构性的，因为它没有直接假设一些价格影响函数，而是从对基础限额订单簿的描述开始。在今天的电子市场中，后者收集所有未完成的限额买卖订单，从而提供当前流动性的快照。

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mingdashike22

2022-5-6 23:13:50

Obizhaeva和Wang假设订单是“块状”的，即流动性均匀分布在最佳买入价和卖出价之外。由于每笔交易都会侵蚀订单，这会导致另一个具有线性价格影响的模型。然而，在每次交易之后，这本书现在都以一定的弹性率恢复，导致了“暂时”的价格影响，既不是暂时的，也不是完全的。虽然风险中性的临时执行问题在这种情况下仍然是可行的[23,1,24]，但到目前为止，更复杂的优化已被证明是可行的。在本研究中，我们发现Almgren/Chriss和Obizhaeva/Wang的模型密切相关。事实上，随着Obizhaeva/Wang模型中订单簿的弹性增加，*我们感谢Yan Dolinsky、Martin Herdegen、Sebastian Hermann和Ren Liu的富有成效的讨论。+Christian Albrechts Universit–在德国基尔D-24098西环383号数学大师研讨会上，emailkallsen@math.uni-基尔。德埃斯·祖里奇，瑞士祖里奇，阿米斯特拉斯101，瑞士祖里奇，瑞士金融研究所，电子邮件：约翰内斯。穆勒-karbe@math.ethz.ch.部分由ETH基金会支持。Bertsimas和Lo[7]、Madhavan[21]以及asHuberman和Stanzl[16]同时提出并研究了类似的模型。为了与大多数文献保持一致，我们仍然坚持使用术语“Almgren/Chriss模型”。例如，比较[1,24]以获得对更一般订单簿形状的扩展。相应的财富过程收敛到阿尔姆格伦/克里斯设置中的对应过程，具有较小的线性临时价格影响。

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可人4

2022-5-6 23:13:53

后者是根据订单簿的可观察属性明确确定的，即i）订单簿的高度、ii）订单簿的弹性，以及iii）订单簿在买卖双方的对称性。鉴于这一极限定理，高弹性Obizhaeva/Wang模型中的优化问题可以与具有较小线性价格影响的Almgren/Chriss模型中的对应问题相关联。Weill利用Moreau等人[22]在Almgren/Chriss框架下的结果，在Obizhaeva/Wang环境下获得渐近最优的交易策略，对投资组合选择进行了说明。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了Obizhaeva和Wang的块状极限订单书模型的一般版本，特别是相应的财富动态。在第3节中，我们将讨论Almgren/Chriss类型的简化形式模型。第4节包含了我们的主要结果，表明Almgren/Chriss模型随着b锁形订单的高弹性限制而出现。最后，第5.2节讨论了该极限定理对投资组合选择的含义，即使用块形指令集进行交易，我们定义了一个过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈考虑Obizhaeva和Wang[23]提出的订单模型的一般版本。也就是说，有一种安全的资产，其价格过程标准化为≡ 1.风险资产。后者的基本价格过程被建模为连续半鞅S，与外生比例交易成本ε进行交易↓, ε↑分别用于销售和购买。这意味着，在没有大型交易商的情况下，可以以最低价出售内部设备- ε↓为St+ε购买的tand↑t时间t，r，即ε↓, ε↑它们不受买卖价差的影响。除了这种外生摩擦，大型交易也会影响市场价格。

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kedemingshi

2022-5-6 23:13:57

继Obizhaeva和Wang[23]之后，这是一个具有有限体积的块状订单簿。为了使这一点更加精确，请考虑一个经过调整的、正确的连续有限变化过程所描述的交易策略↑-φ↓.块状订单簿的高度为h↑买方为吨，高度为h↓在卖方。因此，一份购买订单dа↑t提高最优惠的要价↑tdа↑t、而目前的最佳投标价格保持不变。每笔交易完成后，买卖价格无需恢复到基本价格，而是恢复到某个参考价格，该参考价格还考虑了过去交易的永久影响。如[23]所示，这对参考价格的永久影响是线性的，由分数α给出↑T∈ [0，1/2]的最佳要价移动。因此，购买订单↑t增加ask排列ε↑t与引用q的关系为1-α↑th↑tdа↑看跌价差ε↓tbyα↑th↑tdа↑t、每次购买后，出价和要价都意味着恢复到外生基线水平ε↓t、 ε↑两次恢复率κ↓tandκ↑t、分别。销售订单的影响是类似的。[26]中提出了一个具有随机市场深度和弹性的类似模型。给你↑- φ↓是将φ分解为最小的非减损右连续过程φ↑, φ↓.由于价格操纵，非线性永久性价格影响通常会导致“准套利”，见H ub ermanand Stanzl[15]。给你，阿尔法↑≡ 1/2表示参考报价为中间价。

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nandehutu2022

2022-5-6 23:14:01

对于α↑≡ 0，一个取而代之的是有趣的dament alprice，因为它没有永久性的价格影响。因此，α↑≤ 1/2确保买入交易对买入方利差的影响不会超过对卖出方利差的影响。综上所述，参考价格如下dS~nt:=dSt+α↑th↑tdа↑T-α↓th↓tdа↓t、（2.1）且相应的买卖价差根据ε洎演变，↓t=κ↓t（ε）↓T- εφ,↓t） dt+1- α↓th↓tdа↓t+α↑th↑tdа↑t+dε↓t、 ε~n，↓= ε↓, （2.2）dε~n，↑t=κ↑t（ε）↑T- εφ,↑t） dt+1- α↑th↑tdа↑t+α↓th↓tdа↓t+dε↑t、 ε~n，↑= ε↑. （2.3）自始至终，我们施加了以下规则性条件，这些条件尤其意味着，对于任何交易策略，参考报价和相应的买卖价差都是明确的：假设2.1。κ↑, κ↓, H↑, H↓是阳性的，α↑, α↓取[0,1/2]中的值，所有这些过程都是连续的和自适应的。ε↓, ε↑是正的，连续的半鞅。对于任何给定的交易策略↑- φ↓, 相应的买卖价差ε，↓, εφ,↑从（2.2-2.3）求解带有外生驱动项的线性SDE。因此，[25，定理V.52]表明，它们由ε~n显式给出，↓t=ε↓t+Zte-Rtsκ↓rdr1- α↓嘘↓sd~n↓s+α↑嘘↑sd~n↑s(2.4)εφ,↑t=ε↑t+Zte-Rtsκ↑rdr1- α↑嘘↑sd~n↑s+α↓嘘↓sd~n↓s（2.5）现在让我们推导出与自我融资策略对应的财富动态。自我融资条件规定，所有购买和销售必须在相应的安全账户中入账。由于订单簿是s形的，每个订单的平均执行价格是初始出价或要价与交易完成后获得的价格之间的平均值。这将导致todаt=-S k t-+ εφ,↑T-+2小时↑tdа↑Td~n↑t+Sаt-- εφ,↓T--2小时↓tdа↓Td~n↓t=-S k t-d k t- εφ,↑T-d~n↑T- εφ,↓T-d~n↓T-2小时↑td[~n↑]T-2小时↓td[~n↓]t、（2.6）现在，转向根据参考价格Sа评估的风险头寸。

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可人4

2022-5-6 23:14:04

[17，I.4.45]和[17，定理I.4.52]中的部分积分yieldd（tSt）=t-dS k t+S k t-d~nt+dφ↑- φ↓,α↑H↑d~n↑-α↓H↓d~n↓t=~nt-dS k t+S k t-d~nt+α↑th↑td[~n↑]t+α↓th↓td[~n↓]t、综上所述，上述公式导致了（纸面）财富过程的以下动态Xа=а+аSа，对应于（2.6）给出的安全账户а的自我融资策略：定义2.2。策略的（纸面）财富过程↑- φ↓在Obizhaeva/Wangmodel中，dynamicsdXOWt（~n）：=~nt-dS k t- εφ,↑T-d~n↑T- εφ,↓T-d~n↓T-1/2 - α↑th↑td[~n↑]T-1/2 - α↓th↓td[~n↓]t、（2.7）在投标报价中，↓, εφ,↑以及（2.1-2.3）中的参考价格。3简化模型下，我们介绍Almgren和Chriss简化模型的一般版本[3,4,2]。在这个框架中，交易策略是↑- φ↓被限制为绝对连续，具有固定的周转率˙~nt=˙~n↑T- ˙φ↓t:=dt/dt，相应的财富动态由dxact（）：=tdSt给出- ε↑tdа↑T- ε↓tdа↓T- λ↑t（˙˙˙˙）↑t） dt- λ↓t（˙˙˙˙）↓t） dt。（3.1）在这里，对于（2.1）中的Obizhaeva/Wang型模型，参考价格通过p asttrades线性移动：dS~nt:=dSt+γ↑tdа↑T- γ↓tdа↓t、（3.2）对于连续过程γ↑, γ↓≥ 0.过程ε↓, ε↑在（3.1）中，表示第2节中的外生b id ask spreadsa，这导致交易成本在卖出和买入价格中呈线性˙˙~n↓, ˙φ↑. 最后，正的连续过程λ↓, λ↑在相应的周转率上征收额外的四分之一交易成本。动态（3.1）再次受到线性价格影响的推动。事实上，假设一个单独的购买↑t在一段时间间隔内执行，dt将平均交易价格移动λ↑tdа↑t/dt，即价格影响在交易规模和交易速度上都是线性的。然后，价格影响的额外执行成本由λ给出↑t（d~n↑t/dt）dt，符合（3.1）。

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nandehutu2022

2022-5-6 23:14:07

价格影响纯粹是暂时的，因为每笔交易都不会通过这个渠道影响后续交易。（永久性影响通过参考报价（3.2）的变动单独建模。）因此，该模型对应于一个区块形状的订单簿，在下一笔交易进入之前，该订单簿在每次交易后完全恢复。这一启发性论点表明，它与高弹性订单有着密切的联系。然而，它并没有揭示持续贸易和有限弹性是如何相互作用的。使这种联系精确是本文的主要贡献。4高弹性渐近我们现在表明，第2节中的Obizhaeva/Wang ty pe模型中的财富过程与对应的Almgren/Chriss模型中的财富过程相似，具有较大的弹性极限，即订单从执行的交易中恢复得越来越快。为此，写下弹性κ↑, κ↓asκ↑t=κK↑t、 κ↓t=κK↓t、对于积极、持续、适应的过程K↑, K↓与κ无关的渐近参数∈ R+将被发送到单位。因为我们想在续集中研究与块状订单书的联系，所以我们在这里重点关注线性时间价格影响。关于非线性冲击函数的扩展，请参见[2]。考虑一个绝对连续的交易策略d˙t=˙˙tdt。以下极限理论表明，在具有高弹性的Obizhaeva/Wang模型中，对应的财富过程可以用Almgren/Chriss模型的简化形式近似：定理4.1。确定初始捐赠x>0，并考虑一个绝对连续的策略D˙t=˙ntdt，持续周转率˙~n=˙↑- ˙φ↓.

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mingdashike22

2022-5-6 23:14:10

然后：XOW，κ（）=x+Z·tdSt-Z·ε↑t˙~n↑t+ε↓t˙~n↓Tdt- κ-1Z·1- α↑tK↑th↑t（˙˙˙˙）↑t） +1- α↓tK↓th↓t（˙˙˙˙）↓t） !！dt+o（κ）-1），在概率上均匀分布在紧集上，如κ-→ ∞.也就是说，作为κ-→ ∞, 具有弹性κK的Obizhaeva/Wang模型中的财富过程XOW，κ（ν）↑, κK↓在具有临时二次影响成本λ的Almgren/Chriss模型中重组其对应物XAC，κ（~n）↑:=1.-α↑κK↑H↑, λ↓:=1.-α↓κK↓H↓= O（κ）-1），永久线性冲击γ↑:=α↑H↑, γ↓:=α↓H↓= O（1）和比例交易成本ε↑, ε↓= O（1）。也就是说，永久性的价格影响与订单的弹性无关。相反，随着弹性的增长，投资者的其他交易成本分为两部分。一方面，交易产生了外生基线利差。此外，投资方收取的是由I）订单簿的高度、ii）其弹性和iii）价格对买卖价格影响的不对称性决定的正交交易成本。根据订单簿的可观察属性，这表明Almgren/Chriss的交易成本降低。定理M4.1的证明。修正T>0。通过本地化，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设↑, K↓两者都以K>0为界，且过程˙~n↑:= ˙φ+, ˙φ↓:= ˙φ-以及-α↑H↑,1.-α↓H↓,α↑H↑,α↓H↓, ε↑, ε↓都一致地被某个常数C所包围∈ (0, ∞).根据定义2.2，Jensen不等式和˙~n的有界性↑, ˙φ↓, 这需要展示κ(εφ,↑T-ε↑（t）-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T{ ˙φ↑t> 0}dt，ZTκ(εφ,↓T-ε↓（t）-1.- α↓tK↓th↓t˙~n↓T{ ˙φ↓t> 0}dt-→ 0，a.s.，（4.1）asκ-→ ∞. 证明这一点的参数是两个积分的相同点，因此我们将重点放在第一个积分上。

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能者818

2022-5-6 23:14:14

显式表示（2.5），结合˙~n的有界性↑, ˙φ↓,1.-α↑H↑,α↓H↓, K的下限，以及一个初等积分，意味着κ(εφ,↑T- ε↑（t）-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T≤2CK。因此，通过支配收敛定理，就足以证明这个被积函数收敛到零点方向的f或每个t∈ （0，T）。因此，让我们乘以ω∈ Ohm 和t∈ [0，T]。所有未解决过程的连续性意味着，对于每一个δ>0，都存在| K↑s- K↑t|≤ δ、为了所有的人∈ [t]- ν、 t]，（4.2）和1.- α↑嘘↑s˙~n↑s-1.- α↑th↑t˙~n↑T≤ δ、为了所有的人∈ [t]- ν，t]。（4.3）此外，如果˙˙t>0，持续交易率在[t]上为正-ν、 t]（如有必要，在减少ν后）。因此，（2.5）中与（4.2-4.3）结合的ask排列的显式公式给出κ(εφ,↑T- ε↑（t）-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T{ ˙φ↑t> 0}≤ κCZt-νe-κK（t-s） ds+Ztt-νκe-κRtsK↑rdr1- α↑嘘↑s˙~n↑sds-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T≤杰克-κKν+Ztt-νκe-κ（K）↑T-δ）（t）-s）一,- α↑th↑t˙~n↑t+δ！ds-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T+Ztt-νκe-κ（K）↑t+δ）（t-s）一,- α↑th↑t˙~n↑T- δ!ds-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T=杰克-κKν+1.-α↑th↑t˙~n↑t+δK↑T- δ1.- E-κ（K）↑T-δ)ν-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T+1.-α↑th↑t˙~n↑T- δK↑t+δ1.- E-κ（K）↑t+δ）ν-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T.现在，首先选择δ足够小，然后选择κ足够大。这就建立了应用支配收敛定理获得（4.1）所需的点态收敛，从而得到了估值。备注4.2。例如，在效用最大化的背景下，人们可能希望将定理m 4.1应用于一系列（κ）κ>0的交易策略，随着市场变得更具流动性以获得更高的收益κ，这些策略变得越来越活跃-→ ∞. 为此，定理4.1可以修改如下：假设˙φκt=κ1/4˙φκtdt，（4.4）对于连续的、适应的过程˙φκ，κ>0，其集合{φκt:κ∈ (0, ∞), T∈ [0，T]}是任何T>0的概率范围，即。

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kedemingshi

2022-5-6 23:14:17

，交易率以κ1/4的速率偏离最大值。然后，在定理4.1的证明中论证v erbatim，得到xhow，κ（νκ）=x+Z·κtdSκt-Z·ε↑t˙~nκ，↑t+ε↓t˙~nκ，↓Tdt- κ-1Z·1- α↑tK↑th↑t（˙~nκ，↑t） +1- α↓tK↓th↓t（˙~nκ，↓t） !！dt+o（κ）-1/2），概率一致地分布在紧集上，如κ-→ ∞.鉴于备注4.2，如果相应的交易率没有迅速膨胀，定理4.1对策略族仍然有效。在有限期内，对交易率征收的四元成本再次由价格影响的不对称性决定，除以订单的高度及其弹性。与定理4.1相比，只有收敛速度发生了变化。备注4.3。定理4.1中关于概率紧集的一致收敛性可以加强为关于Lp（P），P紧集的一致收敛性∈ [1, ∞) 如果相应的有界性假设一致成立，而不是仅局部成立。事实上，su Propose K↑, K↓是从零到过程˙~n，1的一致边界-α↑H↑,1.-α↓H↓,α↑H↑,α↓H↓以及ε↑, ε↓都是一致有界的。然后，定理4.1证明中的参数和支配收敛定理的另一个应用证明了所断言的一致Lp（P）-收敛。类似地，注释4.2的设置也遵循了这一点。定理4.1中的绝对连续策略的极限动力学表明，大宗交易或其他“更粗糙”的策略由于投资组合周转过快，在这种情况下会导致不必要的交易成本。事实上，通过[20,6,9]中的平滑版本来近似这些策略，由于价格影响降低，随着弹性的增长，执行成本也会降低。这可以在Obizhaeva和Wang[23，图4]的最佳执行路径中看到，在这种情况下，大宗交易可以逐渐被绝对连续的交易率所取代。下面的观察结果更能说明问题。

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nandehutu2022

2022-5-6 23:14:21

固定0<T′<T<∞ 并考虑一系列大宗交易：为了严格增加停站时间τ<τ<…<τN≤ T′，以及相应的局部有界区块交易θn相对于Fτn可测量。然后，如果φ6=0，则存在一系列绝对连续策略（φκ）κ>0，其终端收益在有效大弹性κ：P-limκ中占主导地位→∞hXOW，κT（κ）- XOW，κT（~n）i>0。证据通过线性插值近似简单策略，交易率为orderO（κ1/4），时间间隔为O（κ-1/4). 然后，相应的策略νκ具有O（1）阶的总变化量，并逐点收敛到νasκ-→ ∞. 此外，根据定义2.2和备注4.2，我们有xow，κT（κκ）- XOW，κT（~n）≤ZT（νκt）- ~nt）dSt+ZTα↑th↑tκ，↑tdκ，↑T-ZTα↑th↑t~n↑tdа↑t+ZT1/2- α↑th↑td[~n↑]T-ZTα↓th↑tκ，↓tdκ，↓t+ZTα↓th↓t~n↓tdа↓t+ZT1/2- α↓th↓td[~n↓]T-ZTε↑td（ηκ，↑T- φ↑（t）-ZTε↓td（ηκ，↓T- φ↓t） +O（κ）-概率为κ的1/2），（4.5）-→ ∞, 因为ε~n，↑- ε↑, εφ,↓- ε↓都是非负的。通过定位，我们可以得到μ、所有μκ以及α↑/H↑, α↓/H↓, ε↑, ε↓是一致且有界的。

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能者818

2022-5-6 23:14:24

然后（4.5）右侧的第一项根据随机积分的主导收敛理论，概率趋于零。接下来，使用α的连续性↑/H↑, 我们可以通过定义线性内插器φκ：ZTα来验证↑th↑tκ，↑tdκ，↑T-→ZTα↑th↑t~n↑T-d~n↑t+ZTα↑t2h↑td[~n↑]助教。s、，asκ-→ ∞.自α↑∈ [0，1/2]，这意味着（4.5）右侧第二行的限制为非负，如果至少有一次非平凡的购买，则严格为正。同样，（4.5）右边的第三行也收敛到一个非负极限，如果至少有一个非平凡的销售，这是严格的正极限。最后，利用有界被积函数的右连续性，并考虑到κ的定义，可以得出（4.5）右侧最后一行中的项趋于零。综合所有这些估计，断言如下。5投资组合选择的影响在本节中，我们应用上述极限定理，将第2节的Obizhaeva/Wangtype模型中的投资组合选择减少到第3节的Almgren/Chriss设置中的相应问题。更具体地说，我们认为Moreau等人确定的最佳交易策略。

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何人来此

2022-5-6 23:14:27

[22]在临时交易成本较小的Almgren/Chriss模型中，具有高弹性的相应Bizhaeva/Wang模型也是最优的。为此，假设没有外部基线sp读数（ε↑= ε↓= 0），也没有永久性的价格影响（α↑= α↓= 0）s o价格过程等于基本值（s k=s）。此外，假设订单簿是对称的（K↑= K↓=: K和h↑= H↓=: h）。总之，定理4.1中的近似阿尔姆格伦/克里斯模型中的财富动态如下所示：dXAC，κt（~n）=ΒtdSt-κKh˙˙tdt。考虑一个具有效用函数U:R的代理→ R在某个计划期T>0时，使终端财富的预期效用最大化。写下∞对于无摩擦优化器，用R表示无摩擦投资者的风险容忍过程，我们假设该过程是积极的、连续的和适应的（例如，指数效用常数，有关更多细节和直觉，请参见[18]）。假设定理4.1中的二次交易成本λ=1/κKh，以及基本价格过程的驱动系数和扩散系数dSt=uStdt+σstdwtar有效地调节了时间t、当前价格St和一些辅助状态变量yt的确定性函数，然后进行自动扩散[22，定理4.7]表明∞T- νκt）dt，νκ=∞, （5.1）在前导阶O（κ）处是最优的-1/2）。

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nandehutu2022

2022-5-6 23:14:31

也就是说，它支配着所有竞争家族（θκ）κ>0直到高阶o（κ-1/2）：EhUXAC，κT（θκ）我≤ 埃胡XAC，κT（νκ）i+o（κ）-1/2），如κ-→ ∞.这里，O（κ）-1/2）确实是由于小p-rice冲击而产生的“领先阶”修正，因为（νκ）κ>0在达到该阶项时实现最佳无摩擦性能[22，定理4.3]。我们现在表明，s ame家族（κ）κ>0在高弹性Obizhaeva/Wangmodels中也是最优的，在追踪有效规则无摩擦目标的竞争策略中，效用函数U是严格递增的，严格凹的，并且是连续两次可区分的。相应交易策略的可接受性可以定义为Biagini和ˋCern\'y[8]中的定义。自始至终，我们认为无摩擦问题的适定性在于一个独特的最优策略∞存在。即风险承受能力-作为当前财富函数的间接效用u的u′/u′。交易率最多为O级（κ1/4）。为此，我们首先建立了这类策略的一些性质：引理5.1。考虑以下策略家族（θκ）κ>0:dθκt=κ1/2Mt（θ∞T- θκt）dt，θκ=θ∞, （5.2）对于一些持续、积极、调整的交易利率M和遵循It^o过程的无摩擦目标策略，dθ∞t=θ∞tdt+σθ∞具有连续漂移和扩散系数的TDWT∞, σθ∞.然后，策略家族（5.2）对[0，T]表示满意（4.4）。此外，XAC，κ（θκ）-→ x+Z·θ∞tdSt，asκ-→ ∞ , 概率一致。（5.3）如果过程∞, σθ∞, M是一致有界的，M在远离零的地方是一致有界的，那么（4.4）和（5.3）中的收敛性在L（P）中一致成立。证据通过局部化，我们可以假设连续过程M，θ∞, θ∞被某个常数C>0包围，而M被某个常数M>0离零包围。

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可人4

2022-5-6 23:14:34

因此，通过定义θκ，可以证明{κ1/4θ∞T- κt，κ∈ (0, ∞), T∈ [0，T]}在L（P）中有界，以建立κ概率的有界性-1/4dθκ/dt在（4.4）中断言。要看到这一点，首先要注意的是[25，定理V.52]暗示|θ∞T- θκt|=中兴通讯-κ1/2RtsMrdrdθ∞s.因此，代数不等式（a+b）≤ 2a+2b、Jensen不等式、Doob极大不等式和It^o等距yieldE“supt”∈[0，T]κ1/2 |θ∞T- θκt|#≤ 2κ1/2CTZTe-2κ1/2M（T-s） ds+8κ1/2CTZTe-2κ1/2M（T-s） ds≤5CTM。因此，该家族（θκ）κ>0满意度（4.4）。与支配收敛定理一起，这立即产生了断言的第二部分。如果所有涉及的过程都是一致有界的，则不需要局部化，并且相同的过程在L（P）中一致收敛。现在，我们可以证明[22]中的策略（5.1）不仅在具有小暂时价格影响的阿尔姆格伦/克里斯模型中是最优的，而且在具有大弹性的相应Obizhaeva/Wang模型中也是最优的：定理5.2。相反，策略家族（κ）κ>0从（5.1）开始在前导顺序（κ）下是最优的-1/2）在Almgren/Chriss模型中。交易率较高的家族导致订单交易成本大于O（κ）-1/2）在极限Almgren/Chriss模型中，因此受（κ）κ>0支配，即使不考虑无摩擦优化器的位移[22，定理4.3]。由于大宗交易也是渐近次优的（参见引理4.4），这表明人们可以限制这种类型的策略，而不会在第一个渐近阶失去效用。Arigorous p屋顶超出了我们的范围。参见[22]了解有效条件。

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大多数88

2022-5-6 23:14:37

特别是，如果风险容忍度R为常数，则基本价格过程S和状态变量y的漂移和差异系数uS（y）、σS（y）、uy（y）、σy（y）均为有界且光滑，且所有阶导数均为有界且光滑，且波动率σS（y）、σy（y）均远离零[22，定理8.1]。此外，假设效用函数U具有有界的绝对风险规避-U′/U′，以及类核蛋白κ1/2U′hXAC，κT（νκ）ihXOW，κT（νκ）- XAC，κT（νκ）i：κ>0o（5.4）以及κ1/2U′hXOW，κT（νκ）i+U′hXAC，κT（νκ）ihXOW，κT（κ）- XAC，κT（νκ）i：κ>0（5.5）是一致可积的。然后，家族（κ）κ>0在前导顺序O（κ）时也是最优的-1/2）在Obizhaeva/Wangmodel中，在满足（5.4）的形式（5.2）的所有策略家族中（θκ）κ>0。证据让（θκ）κ>0成为任何竞争策略家族。根据定理4.1，极限Almgren/Chriss模型中效用函数U的凹性和φκ的最优性XOW，κT（θκ）我≤ EhU（XAC，κT（θκ）i+EhU′（XAC，κT（θκ））（XOW，κT（θκ）- XAC，κT（θκ））i≤ EhU（XAC，κT（θκ）i+EhU′（XAC，κT（θκ））（XOW，κT（θκ）- XAC，κT（θκ））i+o（κ-1/2）。通过注释4.2和引理5.1，我们得到了κ1/2hXOW，κT（θκ）- XAC，κT（θκ）i-→ 0为κ-→ ∞, 不可能。此外，U′[XAC，κT（θκ）]-→ U′[x+RTθ∞通过引理5.1，使这两项的乘积在概率上收敛到零。再加上假设的一致可积性（5.4），这表明L（P）和E[U（XOW，κT（θκ）]≤ E[U（XAC，κT（~nκ）]+o（κ-1/2). （5.6）现在，考虑候选家族（κ）κ>0。二阶泰勒展开yieldsEhUXOW，κT（κ）i=EhU（XAC，κT（~nκ）i+EhU′（XAC，κT（~nκ））（XOW，κT（~nκ）- XAC，κT（Дκ））i+EhU′（ξ）（XOW，κT（Дκ）- XAC，κT（~nκ））i，对于XOW，κT（~nκ）和XAC之间的一些（随机）ξ，κT（~nκ）。如上所述，第一阶项为o阶（κ-1/2）。

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nandehutu2022

2022-5-6 23:14:40

对于二阶项，回想一下，风险规避是从上面开始的(-U′/U′≤ C）且边际效用U′在增加。从那里：EhU′（ξ）（XOW，κT（νκ）- XAC，κT（νκ））i≤ 总工程师U′[XOW，κT（κ）]+U′[XAC，κT（κ）]XOW，κT（κ）- XAC，κT（νκ）.同样通过注释4.2和引理5.1，右边的被积函数是o（κ）阶-概率为1/2）。由于（5.5）中假设的一致可积性，这种收敛性也适用于inL（P）。因此，E[U（XOW，κT（~nκ）]=E[U（XAC，κT（~nκ）]+o（κ-1/2）。将其与（5.6）相结合，得出族（νκ）κ>0的断言渐近最优性。定理5.2的前提条件只要求充分可积。因此，如果模型的所有原语都是有界的，则它们是自动满足的：推论5.3。假设订单簿的弹性K和高度h都是统一边界，并且有界远离ze ro。考虑（5.2）中的一系列政策。如果相应的交易率M i有界且有界远离零，则无摩擦目标策略θ∞以及它的漂移和差异∞, σθ∞则相应的类（5.4）是一致可积的。如果波动率σ和无摩擦风险容限过程R有界且从零开始有界，则无摩擦优化器φ∞是一个有界It^o过程，具有有界漂移和微分系数，那么（5.4）和（5.5）对于族（5.1）是u形式可积的。特别是，定理5.2适用于[22，定理8.1]的设置。推论5.3的证明。因为风险厌恶-效用U的U′/U′是有界的，并且从零开始有界，U′（x）≤ C经验(-对于某些常数B，C>0（参见[19，备注2.3]）。

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可人4

2022-5-6 23:14:43

结合柯西-施瓦兹不等式，可以证明(-2BXAC，κT（κ），κ>0和（κ1/2[XOW，κT（κ）- XAC，κ（θκ）]、κ>0在L（P）中有界，以证明断言的第一部分。要了解这一点，请首先调用thatXAC，κT（θκ）=x+ZTθκtdSt-ZT（˙θκt）κKthtdt。接下来请注意，由于无摩擦目标策略θ∞当交易率有界且偏离零时，根据Gronwall引理，族θκ，κ>0也是一致有界的。因此，It^o过程的漂移和扩散系数Xac，κT（θκ）是一致有界的，因此(-2BXAC，κT（θκ））来自诺维科夫病。与（κ1/2[XOW，κT（θκ））相应的L（P）-结合- XAC，κ（θκ）]源自注释4.3中的L（P）-收敛。如果波动率σS、风险容限过程R以及订单簿的阻力K和高度h是统一边界，且远离零，则上述参数尤其适用于系列（5.1）。在这种情况下，族（5.1）的一致可积性（5.5）也遵循相同的规律。参考文献[1]A.阿方西、A.弗鲁思和A.席德。具有一般形状函数的极限顺序b中的最优执行策略。定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。[2] R·F·阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。阿普尔。数学《金融》，10（1）：1-18，2003年。[3] R·F·阿尔姆格伦和N·克里斯。清算中的价值。风险，12（12）：61–631999年。[4] R·F·阿尔姆格伦和N·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险》，2001年3:5-40。[5] R.F.Almgre n和T.M.Li。全动态闭式解-利用市场影响进行套期保值。预印本，2011年。[6] P.银行和D.鲍姆。大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化。数学《金融》，14（1）：1-18，2004年。[7] D。

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kedemingshi

2022-5-6 23:14:47

贝尔西马斯和A·W·洛。执行成本的最优控制。J.菲南。市场，1（1）：1-501998。[22]的清算罚金在前导ord er O（κ）中可以忽略不计-1/2）用于形式（5.2）和所述假设的策略。事实上，它来自于引理5.1和推论5.3的证明中相同的论点，即惩罚是O（κ）级的-1）在这种情况下。[8] S.Biagini和A.ˇCern\'y.半鞅投资组合选择中的可容许策略。暹罗J.ControlOptim。，49(1):42–72, 2011.[9] U.C,etin、R.A.Jarrow和P.E.Protter。流动性风险与套利定价理论。，8(3):311–341, 20 04.[10] N.加里诺和L.H.佩德森。带摩擦的Dyna-mic投资组合选择。预印本，2013年。[11] N.加里诺和L.H.佩德森。具有可预测回报和交易成本的动态交易。《金融杂志》，68（6）：2309-23402013年。[12] J.Gatheral和A.Schied。市场影响的动态模型和订单执行算法。印第安。P.Fouque和J.Langsam主编，《系统性风险手册》，第579-602页。剑桥大学出版社，加利福尼亚州姆布里奇，2013年。[13] 好的，A.F.罗奇和H.M.索纳。连续和离散时间的流动性模型。《金融高级数学方法》第333-365页。斯普林格，海德堡，2011年。[14] P.Guasoni和M.We ber。动态交易量。预印本，2013年。[15] G.Huberman和W.Stanzl。价格操纵和准套利。《计量经济学》，72（4）：1247-12752004。[16] G.Huber man和W.Stanzl。最佳流动性交易。牧师。《金融》，9（2）：165-2002005。[17] J·J·阿科德和A·N·希里亚耶夫。随机过程的极限定理。斯普林格，贝林，第二版，2003年。[18] J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。具有小交易成本的最优投资和消费的一般结构。预印本，2013年。[19] C.K–uhn和J.Muhle Karbe。限价订单市场中的最优流动性供给。

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大多数88

2022-5-6 23:14:51

预印本，2014年。[20] S.Kusuoka。具有交易费用的期权复制费用的极限定理。安。阿普尔。Probab。，5(1):198–221, 19 95.[21]A.马达万。市场微观结构：一项调查。菲南杂志。市场，3（3）：205-258，2000。[22]L.Moreau、J.Muhle Karbe和H.M.Soner。价格影响小的交易。预印本，2014年。[23]A.A.奥比扎耶娃和J.王。最佳交易策略和供需动态。J.菲南。《市场》，2013年第16（1）期：1-32页。[24]S.Predoiu、G.Shaikhet和S.E.Shreve。一般单边极限订货簿中的最优执行。暹罗·J·费南。数学2(1):183–212, 2011 .[25]体育普罗特。随机积分和微分方程。柏林斯普林格，第二版，2005年。[26]A.F.罗奇和H.M.索纳。交易的弹性价格影响和流动性不足的成本。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，16（6）：1350037（27页），2013年。[27]A.Schied和T.Schoneborn。非流动市场中的风险规避和最优清算策略动态。圣奥赫金融公司。，13(2):181–204, 2009.

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