唯一自然的例子是，当（6.2）保持c=时，每个分布函数Fmki围绕其平均值对称。从风险管理的角度来看，这不是一个相对应的类别，但参见Abdous和Remillard（1995），其中对分位数和期望值之间的关系进行了更详细的研究。6.2. 鞅分析。为了更进一步，我们需要利用鞅性质。如果我们定义（6.3）Xk=~Yk- unk，Sn=nXk=1xkw，S=0，那么sni是自Em[Xk | Gk]以来的零平均Pm鞅-1] = 0. 我们想通过使用鞅的SLLN来确定校准条件。在这个主题中，一个关键角色由真实分析的克罗内克引理扮演。引理6.1。设xn，bn是bn>0，bn的数字序列↑ ∞, 让un=Pnk=1xn/bn。如果联合国→ U∞对于某些人来说∞thenlimn公司→∞bNxk=1xk=0。鞅收敛定理指出，如果SNI是一个过滤概率空间上的零均值鞅，且存在常数K，则E | S（n）|≤ K代表n，然后是Sn→ S(∞)a、 在哪里(∞) 是一个随机变量，使得E | S∞| < ∞.现在让Xk，sk如上文（6.3）所定义，让zk成为一个可预测的过程，即ZkisGk-1-可测量，使Zk>0和Zk↑ ∞ a、 设XZk=Xk/zk和SZ（n）=PnXZk。然后SZnis是martin gale，因为-1] =ZkEm[Xk | Gk-1] = 0.如果我们能找到zk，使得对于某些常数cz，Em | SZ（n）|<cz，那么SZ收敛于a.s.，因此由Kronecker-lemmaZ（n）s（n）=Z（n）nXk=1（~Yk）- unk）→ 公元前0年，我们展示了建议6.2。在上述条件下，统计量s（F）=RxF（dx）为(l, Z） 根据定义（4.2），在P类中校准，其中l（x，u）=x- u.请注意，校准功能l 是从可引出性中衍生出来的，参见（3.2）。当然，就目前而言，上述主张毫无用处，因为还没有提供系统的方法来指定规范化过程。

我们可以通过移动到一组平方可积鞅来部分解决这个问题（参见Williams，1991，第12章）。如果S（n）∈ Lwe定义“尖括号”流程hsnby（6.4）hSin=nXk=1E[Xk | Gk-1].这是su bmartingale S（n）的Doob d ecomposition中不断增加的过程成分。SZ是S.18 MARK H.a.的随机积分或“鞅变换”。大卫建议6.3（威廉姆斯1991）。如果S（n）是平方可积鞅，那么S（n）/hSin→ 集合{ω：hSi上的0∞(ω) = ∞}.鞅W（n）=Pk的证明≤nXk/（1+hSik），用于whichE[（W（n）- W（n）- 1） ）|Gn-1] =（1+hSin）（hSin）- 辛-1)≤1+辛-1.-1+信纳。s、 因此，hW i∞≤ 1.从Williams（1991，定理12.13）中，这意味着Limnwenxists，因此从S（n）/hSin的Kronecker引理中→ 0只要辛↑ ∞. 命题6.3表明，在squ是可积的情况下，我们可以在命题6中取Z=hSi。2.然而，我们不能按目前的情况使用hSi，因为它不满足弱序原理，这要求规范化序列只能使用观测数据和估计的数值进行计算。为了实现这一点，我们遵循Hall和Heyde（1980）提出的一条推理路线，将可预测的四次变量Hsi与已实现的二次变量qn=nXk=1（Sk）联系起来- Sk-1） =nXk=1Yk。正如霍尔和海德指出的，两个随机变量Qn和hSin（定义为（6.4））具有相同的预期，我们对Qn/hSin的比率感兴趣。要了解情况，请考虑这样一种情况，即你的i.i.d.具有方差σ。然后hSin=σn和（6.5）limn→∞QnhSin=σlimn→∞SNXK=1Yk=1A.s.由SLLN提供。正如Heyde（1980）中的收敛，我们可能没有在一般情况下的收敛。我们不会在这里详细介绍他们的分析，但满足于以下定义。定义6.4。

让体育 P是概率度量的集合，因此（i）k、 ~Yk∈ L（下午）。（二）林→∞辛=∞ a、 SNI定义为（6.3）。（iii）存在m>0，使得Qn/hSin>m对于大n，a.s.Pm。现在我们可以陈述我们的最终结果。定理6.5。平均统计量s（F）=RxF（dx）为(l, Qn）针对Pe类进行校准，其中l（x，u）=x- u.证据假设下午∈ 体育课C定义6.4的条件（i）和（ii）意味着S（n）/hSin→ 0比6.3。使用条件（iii）我们有S（n）Qn=新津S（n）辛≤mS（n）辛对于大n.结果如下。正如我们所见，必须施加重要条件以确保均值型估计的一致性，而分位数估计（定理5.2）几乎不施加任何条件。定理5.2是基于LIL的结果，而定理6.5是基于SLL的。关于鞅的LIL（参见Hall and Heyde，1980），有大量文献，内部风险度量E估计的验证19，但需要许多非常复杂的条件，这些条件在均值估计的上下文中都是不可检查的，因此这里似乎不值得探索这条路。Dawid和Vovk（1999）以及Lai等人（2011）在类似的背景下使用了基于鞅收敛的参数。验证基于均值的估计的有效性总是比基于分位数的统计的相同问题更麻烦。事实上，平均值估计的整个过程更具问题性，因为仅从基本定义（6.1）来看，平均值在本质上取决于分布函数F的尾部，在任何涉及真实数据而非模型生成数据的情况下，我们在试图估计尾部时会在某个点使用数据，但未估计的部分可能会对平均值产生重大影响。

我们将在下一节讨论CVaR估计的问题，在这里可以非常清楚地看到这种困难。7.估算CVARTH本节侧重于计算CVaR。Cont、Deguest和Scandolo（2010）指出，CVaR对计算数据序列中的小变化过于敏感。在这里，我们希望提出一个更普遍的观点，即任何平均值计算都依赖于分布的尾部，其方式不容易控制。下文第7.2节对此进行了讨论，但首先，在第7.1节中，我们介绍了由于toRockafellar和Uryasev（2000），CVaR作为某个凸函数的最小值的特征。Holzmann和Eulert（2014）最近的工作强调了这一结果与合法性之间的关系。7.1. CVaR作为最小化问题的解决方案。设F属于集合Fc↑在R+上的连续且严格的分布函数。由（1.1）可知，β水平的CVaR可表示为asCVaRβ（F）=qβ+1- βZ∞qβ（y）- qβ）F（dy）=1- βZβqτdτ。其中qτ是F的唯一τ-分位数。Rockafellar和Uryasev（20002002）给出了CVaR的一个特征，作为一个最小化问题的解决方案，如下所示。提议7.1。为了x∈ R、 β∈ （0,1）设ψFβ（x）=x+1- βZ∞x（y）- x） F（dx）。ThenCVaRβ（F）=minx∈RψFβ（x）=ψFβ（qβ）。Holzmann和Eulert（2014，§3.2）指出，该结果与分位数qβ的可引出性性质密切相关。回想第3.1.2节，分位数的分数函数的形式为S（x，y）=（1x≥Y- β） （g（x）- g（y））。如果我们取g（x）=x/（1）- β） 然后我们发现（7.1）S（x，y）=x+1- β（y）- x） 1y>x-y1- β= s*（x，y）-y1- β.术语y/（1）- β） 在最小化过程中不起作用，EF[S]*（x，Y）]=ψFβ（x）。

因此，EF[S]的最小值*（x，Y）]，在x=qβ时达到，正是CVaRβ。这一结果为我们提供了一个诊断测试，用于比较经过校准和独立性测试的VaR估值器。给定一个数据序列Y，Y。，让^qmk，k=1，2。20马克·H·A。由两种算法m=1,2产生的β-分位数预测的戴维斯序列。然后，如果（7.2）nnXk=1S，我们将预测因子1转化为预测因子2*（^qk，Yk）<nnXk=1S*（^qk，Yk）。这种比较已实现平均s岩芯的程序称为Diebolt-Mariano试验（Diebold and Mariano，1995），另见Gneiting（2011，§1.1）。在没有外部混合或其他假设的情况下，测试没有严格的合理性，但它被证明是有效的。例如，让^qkbe预测图2.1中FTSE100数据的90%返回分位数的预测值，该预测值由下文第8节所述的算法（8.1）、（8.2）生成，并让^qkbe Holzmann和上文第5.3节所述的欧勒特“无意义”预测值生成。该算法的两个p参数l，h取为l=-0.06，h=+0.06，接近返回序列的下限和上限SF，见图2.1（b）。我们计算（7.2）中的平均值，n=500，但取一个移动的数据窗口。xj=49j，具体计算*（^qmk，Yk），j=1，1000，m=1，2。从图7.1中可以看出，第8节的算法始终优于无意义算法。0 200 400 600 800 10000.010.020.030.040.050.060.07图7.1。由（7.3）定义的xjand xj与j=1，1000.Lowercurve是xj。7.2. CVaR估计中的基本问题。在第2.2节中，我们看到FTSE100数据集的收益率经验分布显示出幂尾（在脚注中精确定义），尾部指数为2.35，位于左侧（=损失）。

我们不应该对此进行太多解读，因为它并没有声称回报是来自同一分布的样本，但它确实增加了将幂尾分布视为第4节定义的模型候选者的可信度。为了澄清CVaR估计中的困难，请考虑以下命题，其中F假设具有精确的幂尾。它的证明是一个简单的计算。提议7.2。设0<β<η<1，F是R+上的连续分布函数，例如x≥ q+ηF（x）=1- (1 - η)xqη-κ内部风险度量E的κ验证估计21，其中κ>1。然后（7.4）CVaRβ（F）=1- βZηβqτdτ+κκ- 1(1 - η） qη.我们将在下一节中看到，金融数据的分位数估计至少可以令人信服地达到95%的显著水平。进一步的一点是，这种表述显然与通过估计一系列分位数来估计分布的想法有关，更多细节请参见Cer vera和Munoz（1996）或Gneiting和Raftery（2007，§6.1）。假设我们希望计算CVaRβ，并且能够可靠地估计τ的分位数qτ≤ η，但不超过η，此时数据已恢复。那么（7.4）右边的第一项和qη的值是已知的，但结果也取决于κ和CVaRβ（F）的值→ +∞asκ↓ 1.要确定CVaR的上限，需要对尾部指数κ进行可靠的估计，但根据定义，这是不可能得到的。

结论是，CVaR的任何估计都依赖于关于尾部行为的先验假设，而这些假设无法基于任何确定的数据集（无论多大）进行验证。可以采用各种方法：（i）如果经验回报数据显示出幂尾，例如FTSE100数据，当尾部指数为κ=2.35时，则在可以准确估计数量的最后一点之后使用该值。（ii）使用计量经济学模型。任何模型都意味着尾部行为，这可能取决于时间和数据。（iii）使用基于极值理论的方法（Embrechts等人，1997年）。（iv）外推：给出qβ和qη的可靠估计，并假设在qβ处已经处于尾状态，则可以撤销κ的隐含值。然而，这可能是一个非常嘈杂的估计。（v） Cont等人（2010）建议将CVaRβ的定义修改为η- βZηβqτdτ，对于某些η<1的情况，证明了一个可靠的可计算统计量。（vi）Kou等人（2013年）提议用CMVaR代替CVaR，CMVaR是指超出VaR的条件中值损失。显然，CMVaRβ=VaRη，η=（1+β）/2，因此计算减少到VaR估计。所有这些都有其缺点。第（i）项假设CVaR的经验分布和条件分布之间存在一种关系，这种关系不能严格地进行调整。第（ii）项是一种广泛的brus h方法，通常使用经验尾部估计来推断模型的i.i.d.驱动因素的可测选择。在第（iii）项中，极值理论是对i.i.d.样本的分析，在目前的情况下，它最适合于外部风险管理的极高水平β。

第（iv）项是基于功率尾部预测的，肯定不是“稳健的”，而剩余的两个CUT在某个点上完全偏离了尾部，这可能会错过真正的风险。这两种方法都要求可靠的VaR估计值达到η>β水平，而eβ是要求CVAR的水平。从实践的角度来看，计算CVaR的目的是建立一些thr EShold Beyond VaR，以使gap（CVaR- VaR）为极端情况提供了足够的缓冲。从这个角度来看，CMVaR似乎是正确的选择，因为它易于计算，具有明确的统计意义，h是公理支持（Kou等人，2013）。22 MARK h.a。大卫8。分位数预测算法通过举例说明，我们在本节中介绍了一种非常简单的数据驱动算法，用于提前1周预测FTSE100指数上10%或5%的收益分位数。数据为1994-2013年指数的周值。图2.1显示了指数值和周收益率系列。这一系列展示了典型的“程式化事实”：显著的不确定性和明显的非平稳性。为了预测收益的分位数，传统的方法是估计计量经济学模型的参数，如GARCH或EGARCH，然后计算1周的条件分布。然而，一种更为简单的数据驱动方法在校准方面似乎具有竞争力。一如既往，我们只是通过这些测试来检查必要的条件。我们从90%分位数开始。作为第一步，我们在时间步k计算最近20个rk值的90%分位数-19, . . . , rk。最大的分位数当然只是20个值中的第二大，这是我们对rk+1的预测分位数^qk+1。uantile的平均校准时间超过10%。图8.1显示了实现的校准，即。

图syk=kkXj=1（rj>^qj）。1月90日1月95日1月00日1月05日1月10日1月150日。050.10.150.20.250.30.350.4校准，α=0图8.1。FTSE100初始算法的校准。可以看出，该算法的校准有点错误，平均超标率约为9%，而不是预期的10%，这表明平均阈值太高。这可能与我们选择了尽可能大的分位数有关，但在任何情况下，都可以通过简单的反馈或自适应机制来校正已实现性能中的错误。具体而言，新的分位数预测为（8.1）_qk+1=^qk+1+~n（_yk）- 0.1），其中（8.2）ˇyk=kkXj=1（rj>ˇqj）和ˇ是一个参数。该算法和原始算法的性能如图8.2（a）所示，而图8.2（b）则显示了该算法产生的阈值序列，这些阈值随时间发生显著变化。（直线是中值阈值，约为0.028。）内部风险度量E的验证估计23所选的φ值为1.2。性能对这个值不是很敏感，但一些大于1的数值会加速算法的收敛。k最小%最大%伯努利SD50 8.96 11.22 4.24%100 9.09 11.22 3.00%250 9.50 10.53 1.90%500 9.67 10.33 1.84%表8.1。自适应算法的校准性能表8.1量化了算法的性能。表中的每一行都显示了在左栏中的周数k中，从该时间到样本结束所经历的最小和最大异常频率esmin{yk，…，y}和最大异常频率max{yk，…，y}。为了进行比较，最后一列显示了标准偏差PP（1- p） 成功率p=0.1的k个独立Bern-ou lli试验的平均值/k。所有数字均以百分比表示。

与理论10%异常频率的偏差似乎在i.i.d.假设下预期的s采样误差范围内。在2007-09年的金融危机期间，我们一直保持着稳定的校准，当然，实际阈值会随着市场条件的变化而变化。Kuester、Mittnik和Paolella（2006）对VaR估计技术进行了信息量大且非常彻底的比较研究。他们的结论总结如下：在本研究中，我们比较了现有方法和一些新模型在单变量环境下预测风险价值（VaR）的样本外性能。利用纳斯达克综合指数30多年的日收益率数据，我们发现大多数方法表现不佳，尽管在当前的模型充分性监管评估规则下，有几个模型是可接受的。啊，brid方法，结合重尾[…]GARCH滤波器采用基于极值理论的方法，整体性能最佳。鉴于这一结论以及所调查方法的高度计算需求，从本文的结果来看，数据驱动的方法，包括强化学习等技术（Dempster和Leemans，2006）值得进一步研究。1月90日1月95日1月00日1月05日1月10日1月150日。050.10.150.20.250.30.350.4校准：阿尔法=0（蓝色），阿尔法=1.2（绿色）（a）校准JAN90 Jan95 Jan00 Jan05 Jan10 Jan1500。020.040.060.080.10.120.14预测阈值。中位数2.7%（红线）（b）分位数估计图8.2。反馈算法的性能24马克·H·A。大卫8。1.测试序列相关性。我们现在实施第5.2节中介绍的串行依赖性测试。无效假设：Ykare i.i.d。

P[Yk=1]=u。他拒绝了if^qβ/∈ [t，t]；表5.1和表5.2规定了不同重要级别和数据长度的时间间隔。首先，我们取β=0.9，如上所述，并对FTSE100返回序列的最大数据长度1500进行测试。图8.3（a）所示的校准结果与图8.2的较短数据长度结果相似。对于独立性测试，我们确定相对频率n，然后计算^q（\'n，\'n）。根据定理5.3，\'n，\'nunder Hare（1）的极限值- β） β分别为0.01和0.81。在我们的测试中获得的值为‘n（1500）=0.0100‘n（1500）=0.8120^q0。9（\'n，\'n）=0.8980。与理论极限值的一致性几乎是完美的，^q0的值。9在独立条件下，与正确值相差不超过20个基点。然而，该测试基于整个30年的数据序列，只给出了一个估计。更好的评估方法是在更短的时间内进行评估。图8.3（b）s显示了长度为500的移动窗口的估计结果。这是zk与k的对比图，其中（8.3）zk=kXj=k-501（rj>ˇqj）表5.1中的置信区间表明，H仅偶尔会在5%的显著水平上被拒绝。0 500 1000 1500-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.060.07（a）整个样品。0 200 400 600 800 10000.840.860.880.90.920.940.960.9811.02（b）使用数据窗口500运行校准zkof（8.3）。图8.3。用β=0.90进行校准。最后，我们以行业标准值β=0.95重复这些测试。结果如图8.4所示。分位数预测算法与之前相同，只是我们现在将前20个返回值中的最大值（而不是第二大值）作为我们的预测值。如图8.4（a）所示，校准仅比之前稍差一点。

至于独立性测试，在这种情况下，\'n\'的极限值为（1- β） ，β=0.0025，0.9025，内部风险度量E估计值的验证为25，而达到的值为“n（1500）=0.0027”n（1500）=0.9007^q0。95（\'n，\'n）=0.9481。^q0的值。距离理论“独立性”值仍在20个基点以内。在图8.4（b）所示的runnin g 500测试中，即使在50%的显著水平下，估计值也不会超出表5.2中报告的范围。然而，该试验不太符合要求，因为在这种情况下，上壁障始终等于1，因此该试验减少为单面障。0 500 1000 1500-0.02-0.0100.010.020.030.040.05（a）整个样品校准。0 200 400 600 800 10000.910.920.930.940.950.960.970.980.991（b）使用数据窗口500运行校准zkof（8.3）。图8.4。用β=0.95进行校准。附录A.马尔可夫链模型在模型Hu，θ中，链的转移概率如表A.1所示，其中f=（1- u)/u ≤ 1.该表还显示了符号ni，i=1，4我们用e来计算大小为n的样本中四对00、11、01、10的出现次数。应该清楚的是，Nandn在这个问题中没有真正的作用，因为从代数角度来看，它必须是|n- n|≤ 1，所以对于大样本n≈ N≈（n）- N- n） 。xk-1xkpθ（xk | xk-1） pu（xk | xk-1） #在样本中0 1- θ 1 - un1 1- θfun0 1θun1 0θf 1- 表A.1。马尔可夫链转移概率，f=（1）- u)/u. 样本量为n+n+n+n。对于任何k，yk的概率质量分布为m（x）=1- u + (2u - 1） 当n>0时，（Y，…，Yn）ispθn（x，…，xn）=m（x）nYk=1pθ（xk | xk）的分布-1） 26马克·H·A。David当θ=uYkare i.i.d.具有联合分布pun（x，…，xn）=Qnm（xk）时，参考表A.1，似然比LRn=pθn/pu由rθn（x。

，xn）=（1- θ） n（1）- θf）nθn（θf）n（1）- u)-（n+n）u-（n+n）={（1）- θ） n（1）- θf）nθ（n+n）}{fn（1）- u)-（n+n）u-（n+n）}={（1）- θ） n（1）- θf）nθn-N-n} {fn（1）- u)-（n+n）u-（n+n）}当然还有LRun≡ 因此，对数似然比为rθ（n，…，n）=Lθ（n，n）+M（n，…，n），其中（A.1）Lθ（n，n）=nlog（1）- θ） +nlog（1）- θf）+（n- N- n） 对数θ和M=LLRθ- Lθ不依赖于θ。提议A.1。对于β≥, 最大似然估计由（A.2）^θ（\'n，\'n）=2f给出\'n-2+f\'n-1.-p（f）- c） +4f（c）- c）哪里-i=（n）- ni）/n=1- “我知道。证据为了计算最大似然估计，我们在θ上最大化Lθ。我们有Lθθ= -n（1）- θ)-fn（1）- θf）+n- N- nθ=Q（θ）θ（1）- θ)(1 - θf）式中（A.3）Q（θ）=fnθ- （n）- n+（n- n） f）θ+（n）- N- n） 。Q isD=（n）的判别式- n+（n- n） f）- 4fn（n）- N- n） =n[（f+c）- 4fc]，其中c=1-n+fnn，c=1-n+nn。根据我们的立场≥我们有f≤ 1，因此是c≥ c、 现在D可以表示为asD=n[（f- c） +4f（c）- c） ]中，显示D≥ 考虑到Q（0），Q（1/f）>0和Q（1）<0，我们很容易看到Q在每个区间（0，1），（1，1/f）s中都有一个根，使^θ最大∈ （0，1）是两个根中较小的一个，由（A.2）给出。提议A.2。在任何模型中，Hu，θ和u∈ [, 1], θ∈ [0,1]，估计量^θ是一致的，即^θ（\'n，\'n）→ θa.s.作为n→ ∞.内部风险度量E的验证提供了证据。与链Yk相关联的是四态马尔可夫链Yk，k=1，2。式中，当（Yk）时，Yk分别取1,2,3,4-1，Yk）=（0,0）、（1,1）、（0,1）、（1,0）。该链的转移矩阵=1.- θ0 θ0 θ′0 1 - θ′0 θ′0 1 - θ′1 - θ0θ首先考虑θ的情况∈ (0, 1). 然后，链是不可约的和循环的，因此具有唯一的平稳分布m，其特征是m′（I-P） =0，其中I是4×4单位矩阵。

这个方程组很容易求解=(1 - θ)(1 - u)u - (1 - u)θθ(1 - u)θ(1 - u),这里我们用（5.4）中的θ′代替。上面介绍的数字只是长度为n的样本中链Y访问状态i的次数。由于Y是重复出现的，（a.4）limn→∞nin=mia。s、 ，i=1，（A.3）的二次型Q可以写成（A.5）nQ（θ）=fθ- (1 - \'-n+（1）- \'n）f）θ+（1- \'n- \'\'n）。如果我们代入\'ni=mi，i=1，2，我们会发现Q（θ）=0，因此^θ（m，m）=θ。现在θ（\'n，\'n）是两个参数的连续函数，因此根据（a.4），我们有limn→∞θ（\'n，\'n）=θa.s.我们现在考虑θ=0，1的情况。当θ=0，Yk=yf对于所有k，所以n=n，n=0或n=0，n=n，从（A.1）中给出Lθ等于n log（1）的值-θ） 或n log（1-θf）分别。在这两种情况下，Lθ在θ=0=θ时最大。θ=1的情况有点棘手。给你-1= 0 => Yk=1，所以n≡ 0.示例路径由以单个零分隔的字符串组成。从1到0的波动概率为f，因此一串1的平均长度为1/f。每一个从1到0的波动和从1到N的波动，每一个长度为m的波动加上m- Nando中的平均增长率为1- 1 = (2u - 1)/(1 - u），这意味着，粗略地说，花在培养nis上的时间减少了（2u）- 1)/(1 - u))/((2u - 1)/(1 - u) + 2) = 2u - 1.我们的结论是→∞\'n=2u- 1 a.s.在极限值下，nLθ=（2u- 1） 日志（1）- θf）+2（1）- u）对数θ和关于θ的导数为-u(1 - f） f1- θf+2（1）- u)θ.这等于+∞ 在θ=0时为有限值，θ>0时为递减值。θ=1时的值为1- u>0，我们得出结论，最大值出现在θ=1处。现在，一个简单的连续性论证表明，limn→∞^θ（0，\'n）=1=qa。s28马克·H·A。David Referencesabdous，B.和B.Remillard（1995年）。

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