也就是说，f（英国）=infl6k-1f（ul）/2条件是uk<ulfor每L6K- 1和f（英国）=（supl6k-1f（ul）+1）/2，条件是每k的ul<uk- 1.6 l.在某种意义上，对于所有∈ V和t∈ 因为V没有最大值，所以存在英国∈ V使得um<uk<unand k>n，m.Letk=min{k>n，m:un<uk<um}。通过f的构造，由于（a）成立，它遵循f（uk）=f（un）+f（um）=f（s）+f（t）。在（7.2）Yieldsupvf（s）+infWf（t）中加入两个不等式-ε6f（英国）6supVf（s）+infWf（t）+ε，因此supVf（s）<f（英国）<infWf（t）与英国相矛盾∈ 五、第3步：定义g:S→ R乘以g（s）=supu∈U、 u6sf（U）。通过构造，g是f的条件严格递增扩张，因为U是S的条件可数阶密子集。设（S，t）是g（S）的条件间隙，a是最大事件，使得S<t，即（S，t）=（S，t）|a+{S}B。在不丧失一般性的情况下，假设a=Ohm B=. 定义V={u∈ U:f（U）6s}和w={U∈ U:f（U）>t}。由于s<t和V，必须违反上一步的（a）和（b）。因此，V和W在一些最大非空事件C上分别有一个条件最大值和最小值，即对于一些n，m，C上的s=f（un）和t=f（um）。因此s | C，t | C∈ g（S）| C表示（S，t）|C=]S，t[|C.如果C不等于Ohm, 我们遵循同样的论证，但条件是CCC，这与C的极大值相矛盾。因此，（s，t）=]s，t[这结束了这个论证。定理7.3。任何可数值表示的条件上半连续偏好序都允许条件上半连续数值表示。证据

设U是一个条件上半连续偏好序<的数值表示。根据Debreu的Gap引理7.2，存在一个条件函数g:Im（~U）→ R使得g（Im（~U））的所有条件间隙（s，t）的形式如下（s，t）=s | A+]s，t[| B，对于s<t。由于g严格增加，因此U=go~U也是<的条件数值表示。显然，Im（U）=g（Im（~U））。为了验证上半连续性，选择m∈ R.在下列情况之间进行区分：o如果m=U（y），则{x∈ X:U（X）>m}={X∈ {X}>U:y∈ X:X<y}通过假设条件关闭如果我∈]s、 t[其中]s，t[是Im（U）的条件间隙，那么对于某些y，t=U（y）∈ 十、 因此{X∈ X:U（X）>m}={X∈ X:U（X）>t}={X∈ X:U（X）>U（y）}={X∈ X:X<y}也通过假设条件封闭如果m=s，其中{s}是Im（U）的条件间隙，那么（sn）=（U（yn））v Im（U）是一个条件序列，使得sn%s保持{x∈ X:U（X）>s}=un{X∈ X:U（X）>sn}=un{X∈ X:U（X）>U（yn）}=un{X∈ X:X<yn}，作为闭集的条件交集是条件闭的。由于R=Im（U）t[Im（U）]@和[Im（U）]@是由形式为（s，t）={s}|A+]s，t[|B]的间隙构成的，因此任何m∈ R有条件地属于前三种情况之一。因此U是有条件的上半连续的。A.技术证明A。1.定理4.8的证明。证明（定理4.8的证明）。设O=（On）n∈Nbe x的一个条件可数拓扑基和u是N上的一个严格正测度。我们知道Z（x）：=U（x）@对everyx是条件开的∈ 修理一些∈ 设A为Z（X）所在的事件。然后{n∈ N:On | avz（x）}是N的条件子集。下一个定义（x）=u（{N∈ N:On | avz（x）}A+0 | Ac.如果x<y，那么U（x）>U（y），因为Z（y）vz（x）。

否则如果x y、 然后是y∈ Z（x）。由于Z（x）是条件开的，因此存在y的邻域Oiv Z（x）。然而，自从∈Z（y）@uoi，因此Oi不是Z（y）的子集。因此，U（x）>U（y）+u（{i}）>U（y）。根据定理7.3，我们可以选择U是条件上半连续的，从而结束证明。A.2。定理5.1的证明。我们将遵循适用于条件设置的经典证明。引理A.1。设<是一个满足条件独立性和阿基米德公理的条件完全偏好序。那么以下断言成立：（i）如果x y、 然后是βx+（1）- β） y αx+（1）- α） y表示所有0 6α<β6 1。（ii）如果x z和x<y<z，则存在唯一的α∈ [0,1]带y~ αx+（1）- α） z.（iii）如果x~ y、 然后是αx+（1）- α） z~ αy+（1）- α） z代表所有α∈ [0,1]和所有z∈ M.证明。（i） 严格地类似于经典证明，例如参见[23，第54页]。（ii）在条件作用下，我们可以假设x Y z、 候选者是α：=sup{β∈ [0,1]：y<βx+（1）- β） z}我们得到了Ohm 以至于~ αx+（1）- α） z在A上，y αx+（1）- α） B上的z和αx+（1）-α） z 分别以B和C为条件，我们可以应用经典论证，例如[23，第54页]，得出一个矛盾，表明B=C= 因此A=Ohm 这就是证据。至于独特性，这是第一点的结果。（iii）让∈ [0,1]和z∈ 存在一个a，B，C的分区Ohm 使得αx+（1- α） z~αy+（1）- α） A上的z，αx+（1）- α） z αy+（1）- α） B上的z和αx+（1）- α） z αy+（1）- α） z onC。与经典案例相同的矛盾论证[23，第54-55页]，分别以B和C为条件，表明B=C= 因此A=Ohm. 证明（定理5.1）。让x，y∈ X是这样的 定义条件凸集Nx，y:={z∈ X:X<z<y}。

为了z∈ 引理A.1的第（ii）部分给出了一个唯一的α∈ [0,1]这样~ αx+（1）- α） y.设置U（z）：=α，z∈ Nx，y为Nx，yto[0，1]提供了一个定义良好的条件函数。事实上，让[ai，zi] A×Nx，y，表示αi=U（zi）和α=U（Pzi | Ai）。在这个条件下，x~ y设置α=1，条件是~ z、 设置α=0。存在一个分区a，B，COhm 使得α=Pαi | Aion A，α>Pαi | Aion B和Pαi | Ai>αonC。尤其是α>α离子B∩ a和αi>C上的α∩ 因此，如果B或C不是空事件，这将与某些α离子B的唯一性相矛盾∩ Ai6= 还是C∩ Ai6=. HenceB=C= 表明A=Ohm. X的扩展遵循与经典案例完全相同的论证，见[23，第55页]。A.3。命题6.1的证明。在具有条件拓扑对偶的条件拓扑空间X中*, 一个v X生存集的条件绝对极化子Ohm 是由o={x*∈ 十、*: |hx*, xi | 6所有x的1∈ O} 引理A.2。设X是具有条件对偶X的条件拓扑向量空间*O X中0的邻域的条件基*=去∈哦o。证据让x*∈ 十、*, 那么V=[x*]-1([-1，1]）是0的条件邻域。特别是x*∈Vo。选择O∈ O这样O v v。然后是Vovoo，然后是x*∈ Oo。倒数是直接的Oovx*. 提案A.3。设X是局部凸的条件拓扑向量空间X，它是条件可分的。相对于任何条件σ（X）*, 十） -紧子集Cvx，σ（X*, 十） -拓扑学是有条件可度量的。证据在不丧失普遍性的情况下，根据Banach-Alaoglu定理[14]的条件版本和之前的引理，我们可以假设对于X中0的某个条件邻域O，C=Oo首先，我们在Oo上构造一个条件距离，如下所示。

设（xn）v O为O中的条件稠密序列，定义d:Oo×Oo→ R+byd（x）*, Y*) =Xn∈Nn | hx*- Y*, xni | 1+| hx*- Y*, xni |，x*, Y*∈ Oo。（A.1）简单的检查表明，它是一个定义良好的条件函数，并且是Ooo上的平移不变量距离。实际上，作为一个局部凸的条件拓扑向量空间，X分隔了X的点*更重要的是Oo。此外，{x*∈ 十、*: |hx*, xki |<r，16k6n}v十、*∈ 十、*: d（0，x）*) < r+2-n+1= Br+2-n+1（0），每n∈ N和r>0。这表明d在Oo上生成的条件拓扑比σ（X）弱*, 十） 也就是τdvσ（X*, 十） 。其次，我们证明了这些拓扑是一致的。为此，我们考虑身份映射Id:（Oo，σ（X）*, 十） )→ （Oo，d）这是一个双射。让（x）*α） voo是一个条件网收敛，这样的度量的构造可以在X上类似地完成*通过考虑X上元素的条件稠密序列（xn），以及X上由d诱导的拓扑*因此比σ（X）弱*, 十） 。σ（X）*, 十） 到X*∈ Oo。对于r>0，选择k∈ N以至于pn>k-n<r.自x以来*α、 x*∈ Ooandxn∈ O、 因此| hx*α- 十、*, xni | 6每n 2∈ N.因此，d（xα，x）6X16n6k | hx*α- 十、*, xni |+2r（A.2）自| hx*α- 十、*, xni|→ 每n 0∈ N、 因此，每r>0，lim sup d（xα，x）6 2r。这表明Id是连续的。现在，（Oo，σ（X）*, 十） ）是条件紧的，这是由于Banach-Alaoglu的条件变换，而（C，d）是条件Hausdorff，因此Id是条件双连续的。因此，V∈ τd每V∈ σ（X）*, 十） 表明τd=σ（X*, 十） 相对于Oo。证明（命题6.1）。通过（On）X中0的条件可数邻域表示，定义Oonof的条件限制。显然，<nis条件σ（X*, 十） -每n的上半连续。此外，根据Banach-Alaoglu的条件版本，Oonisσ（X*, 十） 紧凑型。

第二个命题是有条件可数的，因此它是有条件可数的。定理4.8意味着<nis可表示，并且通过定理4.6，它包含一个条件可数阶稠密子集Znv Oon。通过[14，引理2.33]，Z:=tZnis是一个条件可数集。借助引理A.2，直接检验表明Z是<-条件序密的。因此，再一次通过定理4.6，<允许条件数值表示。定理7.3保证了这种条件数值表示可以选择σ（X*, 十） -上部半连续。A.4。自动连续性结果的证明。提议A.4。设X是条件Fréchet格，zvx是条件单调凸的。如果f-对于每个给定的对x，y，1（Z）在[0，1]中是有条件闭合的∈ 十、 其中f:[0，1]→ 十、 α7→ αx+（1）- α） 那么Z在X证明中是条件闭的。用d表示X上的条件Fréchet距离，并让（xn）Z上的条件元素序列条件地收敛到X∈ 对于快速条件子序列，我们可以假设d（xn，X）≤ 2.-n/n，n∈ N.接下来是pk>1k（xk- x） +有条件地收敛。事实上，由于条件弗雷切特距离尊重条件绝对值，因此n<mdX16k6nk（xk- x） +，X16k6mk（xk- 十）+6天0，Xn<k6mk（xk- 十）Xn<k6mkd（x，xk）6Xn<k6m-K-----→m、 n→∞因此，X的条件完备性意味着y=X+Pk>1k（xk- x） +定义明确，每个α∈ [0,1]它保持αx+（1- α） y=x+（1）- α） Xk>1k（Xk- x） ++>x+（1）- α） n（xn- x） +每个条件连续双射f:C→ 其中C是条件紧的，D是条件双连续的。

事实上，每个条件闭集F v C都是条件紧集，而且由于F是条件连续的，因此F（F）是条件紧集，见[14，命题3.35]。此外，由于D是条件Hausdorff，它认为f（f）是条件闭的。每n∈ N.选择N>1/（1）- α） 产生αx+（1- α） y>x+（1）- α） n（xn- x） ++>x+（xn- x） +>xn∈ 通过Z的单调性，它保持αx+（1）- α） y∈ Z.因为n可以选择任意大，所以[0，1[vf-α7的1（Z）→ x+（1）- α） y，α∈ [0，1]。根据假设，后一个集合在[0,1]中是条件循环的，因此为1∈ F-1（Z），也就是x∈ 结束证据。（命题6.3）的证明。修正一个x∈ X并用Z表示：=U（X）。那么Z是条件凸且单调的，因为<是如此。我们证明了I:=f-1（Z）在[0,1]中是有条件闭合的，其中f:[0,1]→ 十、 α7→ αx+（1）- α） 对于任何给定的x，y∈ 在条件反射之前，我们可以假设我是livesonOhm – 特别是我不是有条件地空着。因为Z是条件凸的，f是条件凸的，所以I是条件凸的。因此，I是区间（s，t）v[0，1]，其中s=inf，t=sup I。如果s=t，则I是单态，因此是条件闭的。否则，让我们在不失去一般性的情况下。现在，为了矛盾起见，假设s∈ I@.也就是说，αx+（1- α） x<y sx+（1）- s） 每个α∈]s、 单面阿基米德公理产生aβ∈]0，1[诸如此类] β（αx+）（1- α） z）+（1- β） （sx+（1）- s） z）=γx+（1）- γ） 其中γ=βα+（1- β） s.由于β>0且s<α，因此γ>s与s的定义相矛盾。因此，sx+（1- s） z∈ Z、 因此∈ （s，t）。通过对t的类似论证，可以得出（s，t）=[s，t]。根据命题A.4，它认为Z是条件闭的，从而结束了证明。参考文献[1]B.Acciaio、H.F"ollmer和I.Penner。

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