应用方程式（11）计算每年两个时间步的触发概率，需要评估路径，我们会遇到容量问题。对于δt=0.5，我们使用方程（31）的方法，但不使用exp(-rT）WT，我们使用指示函数{WT=0}来考虑具有超过ADOWN运动的较低节点的概率。5.3套期保值和无套期保值的比较我们调查波动性对费用、触发因素和损失的影响。参数为：g=10%、T=10、P=100和δT=1。无风险利率r为5%，基础资产的漂移项u为7.5%。我们认为σ=15%，σ=30%。各自的公平费用是多少？分别为41.8bps和216。7磅。物理测量下τ的概率质量函数如图2所示。回想一下τ=∞ 当WT>0时。选择这两个σ值是为了放大可用性、触发时间分布和骑手支出之间的相互作用。更高的波动性意味着更不利的市场回报和更大的提前触发可能性。对Trigger的另一个影响来自附加费。费率对波动非常敏感，费用会进一步拖累账户价值，导致更频繁的提前触发时间。我们考虑第2.3小节中规定的无套期保值和动态增量套期保值策略。定义∏：=exp(-当 按照规定的投资组合流程（16），我们获得对冲利润∏H。如果 ≡ 0我们在无套期保值的情况下获得收益∏NH。当清楚我们正在分析哪些性能时，上标将被省略。图3显示了这两种情况-π手-完整结果集的∏NHagainstτ（2=1024条路径）。价值为每100美元初始保险费。C.Hyndman&M。

图2：τ的概率质量函数：不同的波动率（a）（b）图3：套期保值和无套期保值损失，r=5%和g=10%动态增量套期保值策略不会导致损失。在没有套期保值的情况下，每个随机触发时间的潜在损失范围有下降趋势，因为触发时间越晚意味着额外的费用收入期和更少的附加条款担保支付期。对于τ=∞. 当σ=15%时，最终账户价值为正的概率为87%，但收益很小。另一方面，τ=∞ 当σ=30%时，但由于高昂的费用，潜在利润很大。图4显示了无套期保值时利润的累积分布函数。我们为NHP下的无套期保值利润∏提出了几种风险度量。标准差为Denoted SD（∏）。风险尾部值为T V aRγ（π）：=EP[-Π|Π ≤ -V aRγ（π）]，其中V aRγ（π）=-inf{x:P（π）≤ x） >γ}。表6显示了σ的敏感性分析值。使用真实世界概率度量只会放大σ对保险人风险的影响，并强调彻底对冲方案的重要性。5.3.1套期保值在连续模型中，在二项式模型中，可以实现完美的套期保值。相反，假设基础资产遵循（4）给出的几何布朗运动过程。在这种情况下，一个完美的套期保值需要通过在任何时候持有一个头寸来持续平衡套期保值头寸US的Wunits（见6）。实际上，这些头寸每年只会重新平衡一定次数，从而引入对冲错误。我们将费用和提款建模为仅在年底发生，以对比C。亨德曼和M。

2009年7月5日，温格GMWB骑手在一个二项式框架中，每100美元的价值σ=15%σ=30%EP（NH）1.84 4.19SDP（NH）4.28 21.34T V aR0。10（英国∏NH）9.30 32.60表6：无套期保值（无过失）的利润指标图4:PC.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项框架中的CDF 2019年7月5日（a）无套期保值（b）周套期保值图5：g=10%，r=5%，u=7.5%，σ=15%，α=45bps每100美元无套期保值（周）EP[∏]1.86 0.07SDP[∏]4.63 0.36T V aR0的连续模型。10（π）10.15 0.61表7：与δt=1的二项模型中之前的结果相比，连续模型每周套期保值且无套期保值的利润指标。这与亨德曼和温格[15]的连续模式不同，后者不断扣除费用和取款。使用的参数为P=100、g=10%、r=5%、u=7.5%、σ=15%和T=10。我们用蒙特卡罗模拟得到α？≈ 45bps（模拟了50000条路径）。我们分析了一种动态套期保值策略的有效性，该策略每周对P.for t.生成的500个路径结果进行重新平衡∈ {0，，，，，，10}和w∈ R+，蒙特卡罗模拟（使用1000条路径）得出Ut（w-1） 和Ut（w+1）。我们估计U威思t（Wt）=（Ut（Wt+1）- Ut（Wt）- 1） ）/2其中使用同一组生成的路径来获取分子中的两个值。使用相同的路径并采取中心差异已被证明可以减少结果的可变性（13）。图5显示了每个生成路径的无套期保值和每周套期保值的贴现损失。根据模拟结果，P（τ=∞) = 84.4%. 如表7所示，每周的Hedging显著降低了股权风险。

与基础模型是二项式的情况相反，当基础模型是连续的时，会出现负对冲误差。5.4公平骑手费与投降者我们接下来比较α的结果？当文学作品中允许提前投降时。对于所有i的g=7%、r=5%和ki=1%的参数集，表8将δt=1的二项式模型与米列夫斯基和索尔兹伯里[19]进行了比较。尽管与表1相比，结果在比例上更接近，但差异是否主要是由于δt=1，或者Milevsky和Salisbury[19]在失效情况下给出的结果是否与非失效情况下的不准确度相同，这是不确定的。我们采用亚洲近似方法，参数g=10%，r=5%，σ=20%，C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders于2019年7月5日在二项框架中采用σ（%）15 18 20 25 30米列夫斯基和索尔兹伯里[19]97 136 160 320 565二项（δt=1）33 89 138 283 455表8：α的比较？以前的结果；g=7%，r=5%，k=1%。nα？（bps）V（α=146.4）（美元）α？（实际）1131.00 99.689 130.542 141.98 99.933 141.753 143.37 99.9494 146.04 99.9945 146.40 1006 146.70 100.005表9：亚洲近似结果-表9中的失效和k=3%。收敛速度比无失效情况下的要慢，但这是早期投降决定的结果，这些决定正在被近似化。这与Stabile等人[7]的发现一致。最右边的一列显示α？在原始二项模型下。α的增加？当n从1增加到2时，表明表8中的很大一部分差异可归因于二项模型中n的低值。我们将r设为瞬时无风险利率长期平均值，将σ设为Bacinello等人在随机利率和波动过程中使用的方差长期平均值。

[2].我们发现，比较不同α的vf，在无失效的情况下，二项式模型即使δt=0.5也能提供接近的估计。在表10中，我们列出了两种方法之间合同价值的差异，即α和P=100、g=10%、r=3%、σ=20%和k=3%的变化。这些模型存在根本性差异，我们不希望在极限条件下获得准确的结果。g、r和σ的灵敏度结果如表11所示。基线情况设置为g=10%，r=5%，σ=20%，CDSC为k=3%。公平的费用？随着g和σ的增加而增加，但随着r的减小，然而，公平费用对r最敏感。公平费用对r的敏感性是由于合同的持续时间较长。因此，纳入随机利率模型是合理的，尽管超出了本文的范围。α（%）1 2 3 4 5VB（α）- VBMOP（α）a，b：（无失效）-0.186-0.113-0.035-0.05-0.096VB（α）- VBMOP（α）：（失效）0.153 0.546 0.75 0.78 1.04avb表示二项式方法，δt=0.5。BVB参考Bacinello等人[2]。表10：VW与之前结果的比较：g=10%，P=100，r=3%，σ=20%，k=3%。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中的情况2019年7月5日G%α？（bps）V（α）（美元）σ%α？V（α）r%α？V（α）53097.2101009711199108.2164797.871514497.842673105.5476898.4418799.083397103.2989098.95201420410401101.43911099.3825318102.46514210010141030562105.1217798.87aBaseline病例g=10%，r=5%，σ=20%，k=3%，α=142bps。b对于第一列，g的δt=1≤ 9%. 所有其他值使用δt=2。表11：α？在参数g=10%、r=5%、σ=25%和δt=1下，CDSC调度对α的影响？如表12所示。允许投降而不受惩罚，公平的费用将过高，以补偿这一选择。

随着罚金的增加，费用接近无过失模型中的相应费用。对于足够高的罚款，放弃的选择不会产生边际价值。5.5套期保值和无放弃套期保值我们考虑参数：P=100、g=10%、r=5%、σ=25%和δt=1。s的漂移为u=7.5%。适用的退保费用表为ki=max（.09）- .01i，0）对于i=1。10.图6绘制了无退保模型和提前退保模型的所有结果集的总损失，贴现为时间零。分别收取公平费用。在图6b中，无套期保值结果用L和T表示：前者是失效的最佳结果，而后者是未发生失效的结果。表13显示了P-触发时间和投降时间的分布，其中η？表示异常提前投降。注意P（τ=∞) ≈ 当不允许自首时为60%，但这降低到P（τ=∞) ≈ 允许自首时为0.65%。当市场表现良好时，允许保单持有人失效，而不是面临未被触发的附加条款到期的可能性，这在许多结果中变得更可取，因此允许失效会导致一种转变。对于最适合失效的结果，保险公司的利润在3至7年内呈下降趋势。这是由于移交费用表ki的设计。较早年较高的退保费用超过了以后发生退保时收取的额外费用。退保期权价值L的数值结果如图7所示。当α很小时，几乎没有提前投降的动机≈ 0.对于较大的α值，有意向放弃并避免支付未来费用。

这种关系反映在LW的增长中，α6扩展了模型：包括死亡率风险。几篇关于GMWBs的论文中使用了忽略死亡率的简化，包括Milevsky和Salisbury[19]以及Dai等人[9]。在实践中确实需要考虑死亡率因素。根据分析的目标，包括死亡率所达到的精度水平可能无法证明模型的额外复杂性和维度是合理的。特别是，在提到的论文中，重点是研究最优投保人行为策略，只考虑死亡率会影响结果的呈现。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中的情况2019年7月5日附表a的描述？（bps）i=1的无失效模型152ki=0，9 491ki=1%表示i=1，9对于i=1，…，K=3%，9 309ki=5%表示i=1，9 217ki=7%表示i=1，9 169ki=8%，对于i=1，9 155ki≥ 对于i=1，…，为8.38%，9 152ki=（10- i） %，对于i=1，9 171ki=（9- i） %，对于i=1，表12:k对α的影响？（a） 无过失（b）SC从8%开始，每年减少1%。图6：套期保值和无套期保值，有过失和无过失：g=10%，r=5%，σ=25%。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日无失效模型，失效P（τ=i）P（τ=i）P（η？=i）30%20.28%40%16.73%52.90%2.90%4.91%65.80%5.80%8.11%7.83%3.57%86.29%9.08%4.42%9.48%7.37%10.23%5.98%0∞ 60.47%。65%0总和1 39.61%60.39%表13：图6中τ和失效的概率分布图7：L:g=10%，r=5%，σ=25%，δt=1，以及递减的SC计划。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日死亡风险通常被认为独立于财务风险。

此外，在独立生命和确定性死亡力（危险率）的假设下，简单应用强大的数定律可以证明死亡风险是可分散的。通过发行足够大的同质保单组合，保险人可以通过在适当的死亡率概率分布（5）下计算索赔付款的预期价值，完全考虑死亡风险。因此，在这些假设下，在经济均衡（无套利）方法中，死亡风险不是由资本市场定价的，物理和风险中性指标之间没有差异（20）。在随机死亡率框架中，死亡率风险的不可分散部分必须在合同中定价。Milevsky等人[20]将即时年金市场中的容量限制列为证明对死亡风险收费是合理的几个行业趋势之一。我们注意到，在可变年金市场中，风险资本的有限需求和监管限制都支持对产能约束进行建模，以确定是否存在不可忽略的影响。GMWBs死亡率的影响显然取决于死亡效益（DBs）。当死亡和存活的收益支付相似时，影响最小。事实上，Bacinello等人[2]发现，在存在其他生前福利附加者且期限相对较短的情况下，保证最低死亡福利（GMDB）附加者对合同几乎没有增加价值。我们将模型从第2节和第3节扩展到包括生命独立假设下的死亡率和死亡率的确定性力量。很容易获得V和U，这取决于每个被保险人的生存状态。

假设可分散的死亡风险，以及对冲组合，获得附加费；然而，我们考虑了一个数值模拟，以强调在容量限制和有限数量的政策下存在死亡风险，并且产品没有完全对冲。6.1死亡率风险框架在本节中，我们建立了死亡率框架。经典精算理论和符号遵循Bowers等人[4]的精算理论和符号。此外，计量理论方面和计数过程的包含密切遵循Moller[21]和Wang[25]的框架。假设12。同质保单是向一群年龄为x的投保人签发的。从签发日期开始，随机死亡时间由{Txj；j=1，…，lx}表示，其中txji是投保人j的死亡时间，是绝对连续的、独立的、同分布的，并且位于概率空间上(OhmM、 FM，PM）。考虑一个具有代表性的随机变量tx，其中txh的分布与Txj相同。Txis[0，T？）的支持T在哪里？≤ ∞ 是x岁的人的最大剩余寿命。对应于δt=1/n和n的二项模型∈ N+，让Kxdenote表示死亡发生的时间。那么Kx=dTx/δte。换句话说，Kx=i等于（i-1） δt<Tx≤ iδt.Forj=1，lx，定义计数过程Dx，j={Dx，ji:=1{Kxj≤i} )；i=1，N} 。我们使用{Dx，j}1生成的过滤≤J≤九、过滤为FM，x:={FM，{x，lx}i}1≤我≤Nwhere FM，{x，lx}i:=FM，x，1i∨ ··· ∨ FM，x，lxian和FM，x，ji=σ（Dx，jl；l=1，…，i）。我们对结果空间进行过滤(OhmM、 FM，{x，lx}N，FM，x，PM）。备注6。符号G∨ H、 其中G和H是σ-代数，指由G生成的σ-代数∪ H.我们定义了当被保险人j仍然活着时，通过Ax，ji:=1产生1的过程- Dx，jifori∈ 在里面根据假设12，txh是密度函数fTx。

其累积分布函数表示为FTx（t）：=P（Tx≤ t） 。死亡的决定性力量ux（t）被定义为TXA时间t的条件概率密度函数，考虑到该时间的存活率。然后。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日图8：使用Makeham定律，a=0.7×10-3，B=0.05×10-3和c=100.04ux（t）：=fTx（t）1- FTx（t）。（33）我们引入了一些额外的精算符号：jpx+i:=P（Kx>i+j | Kx>i）=P（Tx>（i+j）δt | Tx>iδt），j | lqx+i:=P（i+j<Kx）≤ i+j+l | Kx>i），我们写px+iforpx+i，jqx+ifor0 | jqx+i，和qx+iforqx+i-iqx，andj |lqx+i=j+lqx+i-jqx+i.从（33）我们有fTx（iδt）=ux（iδt）iδtpx和jpx+i=e-Rjδtux+iδt（u）du（详情见Bowers等人[4]）。请注意，FTx、FTx和ux定义在实数上，而jpx+iandj | lqx+i定义在整数上。Bowers等人[4]提供了几种死亡率分析定律。定义13。根据马克厄姆定律ux（t）：=A+Bcx+twb>0，A≥ -B、 c>1和x+t≥ 因此，根据马克厄姆定律：ipx=exp-我是塔塔-Bln（c）（cx+iδt）- cx）.例1。根据Makeham定律inBowers等人[4]，用于开发说明性寿命表的参数为：A=0.7×10-3，B=0.05×10-3和c=100.04。图8绘制了x=60和t的fTx（t）和P（Tx>t）∈ [0, 50].C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中，2019年7月5日，我们陈述了王[25]的一个额外有用结果。因为我≤ j、 P（Tx>jδt | FM，xi）=（1- Dxi）j-ipx+iandP（iδt<Tx≤ jδt | FM，xi）=（1- Dxi）j-iqx+i.6.2死亡福利设计我们同时考虑ratchet DB和premium DB的回报。ratchet DB具有以下特征：在每个ratchet日期，死亡福利基数将增加到当前账户价值，前提是账户价值更高。Let0≤ t<t<··<tm≤ t在到期前提交一组棘轮日期。

然后，根据二项式时间段，重新缩放集isI=tδt，tδt，tmδt 在里面GMWB和GMDB被视为一个附加条款，旨在解决公平费用α？和以前一样。或者，可以将两者分开，并从外部指定GMDB附加费。让DBB在时间点i以DB=P表示死亡福利保证基数。那么DBi=db（i，Wi-, DBi-1） ，其中db:IN×R+×R+7→ R+定义为（db（0，x，y）=x，db（i，x，y）=maxw（x）1{i∈一} ，w（x）xe-αy.（34）如果我=, 然后，ratchet DB降低为premium DB的简单回报。注意，对于i，DBi=0≥ τ . 然而，我们假设，在生存到触发日期的条件下，无论生命状态如何，都会支付保证付款；也就是说，如果之前发生过触发，剩余款项的现值在死亡时支付。最大死亡收益（DBi，Wi+1-) 如果死亡发生在第（i+1）个周期但在触发时间之前，则在时间（i+1）δt支付。极限为δt→ 0这相当于死亡时支付的死亡抚恤金。（34）中的死亡抚恤金基数通过按比例提取的方式减少，这意味着其减少的比例与账户价值相同。另一种方法是美元兑换美元。假设投保人持有GMDB和DBi的大量资金 Wi（其中x y表示y比x小得多）。通过提取0.9WI并忽略退保费用，在美元对美元扣减法下，投保人持有的GMDB仅为前一账户价值的10%，但死亡福利基数为DBi- 0.9Wi 0.按比例计算，新的死亡福利基数为0.1DBi DBi- 0.9Wi。6.3单一合同的定价和套期保值本文阐述了我方剩余工作的主要基本假设。假设14。生物特征和财务风险之间存在独立性。

让(OhmS、 FSN、FS、QS）和(OhmM、 FM，{x，lx}N，FM，x，PM）分别是第2节和第6.1节中构造的过滤概率空间。我们与产品领域合作(Ohm, FN，F，Q）在哪里Ohm := OhmM×OhmS、 F:={Fi}Ni=0，Fi:=FM，{x，lx}i×FSi:=σ（{A×B:A∈ FM，{x，lx}i，B∈ FSi}）和Q:=PM×QS。我们提出了更一般的模型，允许提前退保，如第3节所述，假设投保人的最佳行为。无失效模型是在以下假设下得到的。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，假设2015年7月5日。（无失效模型）对于所有i<N和kN=0，退保费用满足ki=1。这意味着可接受的失效策略集是L={N}。在不丧失普遍性的情况下，从现在起直到第6.4小节之后，我们考虑在x岁时将单一合同出售给个人的情况，也就是说，我们假设lx=1。值进程{VMi}0≤我≤Nis定义为Vmi=Aximaxη∈Li，\'τiEQhDx\'τi∧η最大值（DBKx）-1、WKx-)E-\'r（Kx-i） +GaKx-1.-我+ Ax′τi∧ηGaη-i+Wη（1）- kη）e-\'r（η）-（一）|菲伊。观察所有η∈ Liare FS停止时间与死亡率概率测量无关。任何失效策略η只有在被保险人仍然活着的情况下才能执行。当然，最佳的失效策略必须存在于Li，τi中 锂。以死亡时间为条件，以PM为期望值（由qs和PM的独立性调整），我们得到Vmi=AxiVi，其中vi=maxη∈Li，\'τiVηiandVηi=EQS\'\'τi∧η-1Xj=ij-i | qx+i最大值DBj，Wj+1-E-r（j+1）-i） +Gaj-我（35）+τi∧η-ipx+iGaη-i+Wη（1）- kη）e-\'r（η）-（一）FSi#。公平费率α的定义？保持不变，满足VM=P。选择任意η∈ L.表示Vηito是本放弃策略下截至时间点i的合同总付款，并贴现为t=0。ThenRVηi=τ∧η∧我-1Xj=0Axj- Axj+1hmax（DBj，Wj+1-)E-\'r（j+1）+Gaji+Axτ∧η∧iGaη∧i、 LetRVηi:=EPM[RVηi]。

那么我们有rvηi=τ∧η∧我-1Xj=0j | qxhmax（DBj，Wj+1-)E-\'r（j+1）+Gaji+τ∧η∧ipxGaη∧i、 对于任何0≤ 我≤ N、 定义重新调整过的过滤系数FS，i={FS，ij:=FSj+i；0≤ J≤ N- i} 。然后过程η，i=nYη，ij=e-r（（j+i）∧η） （j+i）∧ηpxVη（j+i）∧η+RVη（j+i）∧ηo0≤J≤N-i（36）是（QS，FS，i）鞅。最优投降策略^ηi由（21）给出（证明类似，并使用鞅（36））。因为{Wi，DBi}i=0,1，。。。这是一个二维马尔可夫过程，我们有vmi=Axiv（i，Wi，DBi），其中v:IN×R+×R+7→ R+由v（N，x，y）=xC递归定义。Hyndman&M.Wenger GMWB车手在一个二项框架中，2019年7月5日，0≤ 我≤ N- 1v（i，x，y）=max{e-r[px+i（G+pv（i+1，w（ux），db（i+1，ux，y））+qv（i+1，w（dx），db（i+1，dx，y））+qx+i（（p max（y，ux）+qmax（y，dx））1{x>0}+1{x=0}GaN-i） ]，x（1）- 基尼。这意味着边界条件v（i，0，y）=GaN-i、 附加价值流程必须考虑以下现金流组成部分。附加费在被保险人活着且未投降时支付。如果投降发生在触发时间之前，则GMWB骑手不承担任何费用。如果未发生退保，且被保险人在触发时间仍然有效，则定期支付GMWB保函，直至到期（无死亡）。如果死亡发生在触发时间或退保时间之前，则死亡福利超过经常账户价值的任何部分都是骑手产生的成本。综合起来，我们得到了umi=Aximaxη∈Li，τiEQηXj=i+1e-\'-r（j）-i） hAx′τiG- Wj-E-α+- AxjWj-1.- E-α- kηWηe-\'r（η）-i） Axηi+Dxη（DBKx-1.- WKx-)+E-\'r（Kx-i） |Fi.

（37）然后UMi=AxiUi=Axiu（i，Wi，DBi），其中u:IN×R+×R+7→ R由（u（N，x，y）=0，u（i，x，y）=max{e）来描述-\'-r（pu）-（i+1，ux，y）+qu-（i+1，dx，y）），-kix}，（38）和u-: I+N×R+×R+7→ R由u给出-（i，0，y）=G–aN-i+1，u-（i，x，y）=px+i-1[（G）- xe-α)+- x（1）- E-\'-α）+u（i，w（x），db（i，x，y））]（39）+qx+i-1（y）- x） +。符号-ai+1=1+ai是到期的年金。在假设15下，很容易检查(-kix）永远不会有约束力。请注意，Axi-1u-（一、Wi-, DBi-1） 是FSi×FM，{x，lx}i-1-可测量。这是我在已知过去一段时间内的市场走势后，但在发生任何交易（即费用、提款或死亡福利）之前评估的时间点的附加价值。也就是说，被保险人知道基金在过去一段时间内的确切市场增长情况，但正在等待了解投保人的状况。当假设15成立时，我们用{UM，NLi}来指代（37）。退保期权的边际附加值为LMi:=UMi- 嗯，NLi≥ 0，可以写成lmi=Aximaxη∈Li，τiEQNXj=η+1e-\'-r（j）-i） 朝觐-1.- E-α- Ax′τiG- Wj-E-α+我- AxηhkηWηe-\'r（η）-i） +DxN（DBKx）-1.- WKx-)+E-\'r（Kx-i） i|Fi. （40）然后LMi=轴（i，Wi，DBi），其中l:IN×R+×R+7→ R+由l（N，x，y）=0，l（i，x，y）=max{px+ie给出-r（pl（i+1，w（ux），db（i+1，ux，y））+ql（i+1，w（dx），db（i+1，dx，y）），-uNL（i，x，y）- kix}。反向感应验证l（i，x，y）=u（i，x，y）- uNL（i，x，y）。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日16。对于任何α>0，我们都有VMI=UMi+AxiWi（41）或等效的YVMI=UM，NLi+LMi+AxiWi（42）Q-a.s.用于所有0≤ 我≤ N.证据。等式（41）可以直接从（35）和（37）证明，也可以通过应用于函数v、u和u的反导证明-.

这个过程类似于定理7的证明。我们省略了细节。财政司司长调整投资组合程序{i} 定义为我=（i，Si，Wi，DBi），其中 : 在里面-1×R+7→ R由（i，w，x，y）=u-（i+1，ux，y）- U-（i+1，dx，y）wu- wd。（43）注意（i，w，0，y）=0。对于给定的保单，保险人遵循{i} 直到保单持有人死亡或保单交回。与第3节类似，我们定义了一个消费过程{Ci}0≤我≤N-其中Ci=c（i，Wi，DBi）和c:IN×R+×R+7→ R+是定义的asc（i，x，y）：=v（i，x，y）- E-r[px+i（G+pv（i+1，w（ux），db（i+1，ux，y））+qv（i+1，w（dx），db（i+1，dx，y））]+qx+i（（p max（y，ux）+qmax（y，dx））1{x>0}+1{x=0}GaN-i） ]=u（i，x，y）- E-\'r[pu-（i+1，ux，y）+qu-（i+1，dx，y）]。（44）第二个等式可以使用命题16进行验证，类似于（28）。假设15，我们有C≡ 0.从初始资本X=X开始，遵循投资组合流程，构建复制投资组合{i} 。因为我∈ I+Nwe haveXi=（Xi-1.- 阿西-1(我-1Si-1+Ci-1） ）e\'r+Axi-1.我-1Si+AxihFi-G- Wi-E-α+我- （Axi）-1.- Axi）（DBi）-1.- Wi-)+{τ≥i} +G–aN-i+1{τ<i}. （45）费用、支出、投资组合流程和消费流程均已在财务报表中定义。当然，它们只适用于保单有效期间（在死亡或投降之前）。由于这个原因，在（45）中，这些术语都带有Axifactors。给出投降策略η∈ 五十、 保险公司将在时间点η结束其头寸，利益过程为{Xi∧η}0≤我≤N.时间零点特性∏=e-rηXη，因为如果死亡发生在η之前，那么除了利息累积之外，在死亡和η之间的所有时期，投资组合都保持不变。虽然我们不再几乎确定UMand X关于productmeasure Q的等价性，但考虑到关于PM的条件期望，类似的结果成立。定理17。

假设收取费率α，初始资本为x=UM。然后（45）描述的Xi和（37）给出的UMi之间存在以下关系：C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架中，2019QS年7月5日（EPM【Xi- UMi]=0）=1对于所有i∈ 在里面证据见附录A6。4.多个合同的死亡风险分散假设同质保单出售给x岁的独立投保人，每个人的初始保费为P，公平附加费为α？他被起诉了。对于lxxx被保险人群体，时间iδt和（i+1）δt之间的死亡人数是lx，xi:=lxXj=1斧头，吉- Ax，ji+1因为我∈ 在里面-1.在i isAlx，xi=lxXj=1Ax，ji=lx时活着的成员数-我-1Xj=1Dlx，xj。根据强大数定律（SLLN），如lx→ ∞,Dlx，xilx→i | qxandAlx，xilx→ipxPM-a.s.，就我所知∈ 在里面聚合复制组合过程是（45）给出的单个复制组合过程的总和：X{lx}i=lxXj=1Xji，其中Xji∈ FSi×FM，x，jifor 1≤ J≤ LX和1≤ 我≤ N.总附加值过程是um，{lx}i=lxXj=1UM，ji=Alx，xui，因为如果Ax，ji=0，Uji=0。我们定义了两个过程{X？i=EPM[X{1}i]}Ni=0和{U？i=EPM[UM，{1}i]}Ni=0，这两个过程都位于(OhmS、 FSN、FS、QS）。然后通过SLLN我们得到了（X{lx}ilx）→ {X？i}和（嗯，{lx}ilx）→ {U？i}PM-a.s.，作为lx→ ∞. 从X开始？=0，从（46）我们有X？i=X？我-1e’r+i-1pxh我-1（Si）- 硅-1e（r）- 词-1e‘r+px+i-1hFi-G- Wi-E-α+我- qx+i-1.（DBi）-1.- Wi-)+{τ≥i} +G–aN-i+1{τ<i}如果我∈ I+N.你马上就要走了吗？i=ipxUi。最后，从定理17我们得到了x？i=U？iQS-a.s.，对我来说∈ 在里面C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中，死亡率风险分散达到lx的极限→ ∞, 我们有完美的对冲。假定每个投保人都有最佳的退保行为，则确定退保费。

如果投保人的行为不合理，那么保险人可以在每次发生这种不合理行为时从每个投资组合中消费。池的限制总投资组合过程是基于所有投保人的同质行为构建的，无论他们是否理性行事。备注7。极限过程是在假设同质策略的情况下得到的。这一假设可以被削弱，以允许不同保单的初始保费P不同，尽管每个保单必须有一个x的投保年龄和一个共同的附加费α。这是事实，因为P可以从所有流程中缩减，附加费与溢价P无关。让保单的保险费为π。假设{Pi；i≥ 1} 满意度=1Pi→ ∞ 作为n→ ∞. 进一步假设{Pi}是单调递增且满足的≥1NPNI=1Pi<∞ 或者{Pi}是单调递减的，在这种情况下不需要条件。根据Etemadi[11]中的定理1，作为lx→ ∞, 我们有plxj=1PjAx，jiPlxj=1Pj→ipxPM-a.s.为所有我∈ 在里面因此（X{lx}iPlxi=1Pi）→ {X？i}，对于U？有类似的结果？。平均值是以每溢价美元为基础计算的，两者都是X？你呢？我们考虑两个例子。使用示例1对死亡率进行建模。例2。图9描绘了公平骑手费用α？针对GMWB的年龄x问题，其回报率为特优DB，年度ratchet DB无失效。参数为：g=7.14%，T=14，r=5%，σ=20%，δT=1。棘轮为合同增加了相当多的价值。右图放大了40-70岁的年龄段。GMWB plus premium DB rider的回报对x非常不敏感。在这种情况下，死亡或存活时的支付相当相似。在没有死亡率的二项模型下，我们有α？=53个基点或V（10053bps）=100。对于x=60的优质DB，我们有α？=58bps和VM（10053bps）=100.35。

根据产品规格和参数，死亡率可能只有很小的影响。例3。文献中经常使用快速死亡率假设。鉴于规定的投资组合流程（43）假设风险是可分散的，我们考虑只有有限数量的保单售出时的对冲损失。对于lx∈ {10,1000,100000}我们模拟每个保单的死亡时间，以获得{bTxj}1≤J≤lx，并计算二项模型中每条路径每100美元保费的平均赔付保单。使用的参数为：x=60、g=10%、T=10、r=5%、σ=15%、δT=1和P=100。不允许自首。对于具有年度棘轮DB的GMWB，图10显示了在增量对冲策略下，随着Lx的增加，对冲损失收敛到零。这些值是时间零点现值和C。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中2019年7月5日图9：α？作为发行年限X的函数，还显示了无对冲情况下的损失。图11描绘了限制性portfolioX？的损失？。表14提供了公式[1∏|{bTxj}1的绩效指标≤J≤lx]和SDQ[π|{bTxj}1≤J≤lx]用于套期保值和无套期保值，其中∏是贴现为t=0的每份保单的平均收益。当DB rider是溢价回报（ROP）时，也会给出结果。两种DBs的结果都是使用相同的模拟死亡时间集获得的。lx=∞ 表示X？的结果？。带棘轮的fairfee为57个基点，带ROP的fairfee为44个基点。

这些指标是使用Q下的精确二项分布计算财务风险，并使用模拟死亡计算死亡风险。为了检验lx的收敛性，我们假设没有风险的市场价格（即u=r）。在这种情况下，出售数量有限的保单或面临容量限制不会给保险人带来重大风险，因为死亡或存活时的赔付是相似的，并且会迅速发生转移。ROP的平均套期保值收益更高，但由于回报更高、费用更高，ROP的收益（损失）随棘轮波动更大。在Q下，套期保值和无套期保值下的预期利润相等。通过套期保值减少的是方差。在没有死亡风险的情况下，池中的每个保单都会面临普通股风险，在二项世界中，正确的对冲策略适用于任何数量的保单。死亡风险将不完全性引入模型。在死亡风险分散的假设下，市场恢复了完整性。这是通过出售规模相对较小的大型池来实现的。除了风险共担和分散之外，其他风险管理选项还有再保险和长寿债券。此外，典型的大型人寿保险公司在人寿保险和年金方面拥有大量的承保业务，由于这些工具部分降低了风险，因此风险自然会有所降低。假设这些选项都不可用——没有再保险公司，不存在长寿债券，保险公司只出售年金——保险公司降低风险敞口的主要工具是出售大量金额相对较小的保单，从而降低预期死亡率周围实现死亡率的波动。C.Hyndman&M。

2009年7月5日图10：GMWB和ratchet DB的损失收敛为lx→ ∞ 其中显示了每个市场结果在模拟死亡率下的平均损失。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，2019年7月5日图11:GMWB加ratchet DB的损失（X？）每100美元套期保值价值无享乐x10 1000 100000∞GMWB+棘轮DBEQ[1∏|{bTxj}1≤J≤lx]0.122 0.030 0.004 0.122 0.030 0.004 0SDQ[∏|{bTxj}1≤J≤lx]0.7680.1750.008 5.631 5.787 5.860 5.860GMWB+优质DBEQ的回报率∏|{bTxj}1≤J≤lx]0.261 0.054 0.001 0.261 0.054 0.001 0SDQ[π|{bTxj}1≤J≤lx]0.446 0.091 0.004 5.560 5.736 5.776 5.777表14：GMDBsC有无套期保值的利润指标。Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架下，于2017年7月5日得出结论在本文中，我们构建了一个包含最优保单持有人退保行为的可变年金的二项式资产定价模型。通过考虑被保险人和保险人的估值视角，我们将Hyndman和Wenger[15]的连续时间结果推广到离散时间二项模型。这些扩展允许我们证明公平附加费的存在性和唯一性，并使用GMWB Riderin将可变年金的价值分解为特定支付和嵌入衍生工具。此外，在离散时间二项模型中，我们能够提供明确的完美对冲策略和最优退保策略。从计算角度来看，与蒙特卡罗方法相比，使用二项式模型的基本工具对早期自首进行建模的能力是一个明显的优势。另一个优势是在二项式（CRR）世界中轻松获得明确的对冲策略，该策略被证明能完美对冲产品。

二项模型的一个缺点是非重组二项树的O（2N）增长。然而，由于模型的可处理性及其有限性，只要时间步长的数量可控，就可以直接获得有关产品任何方面的数值结果。从这种分析中得出的定性结论通常适用于更一般的连续模型。我们给出了全面的数值结果，与更复杂模型中给出的结果一致。二项模型框架进一步扩展，以考虑可分散的死亡率风险。关于死亡风险的多元化论点有时在文献中被滥用。在应用多元化论点以获得公平的费用和套期保值结果后，我们通过考虑有限的资金池施加了容量限制，并发现多元化发生得相当快。研究结果支持了保险公司能够分散死亡风险的普遍说法。致谢：本研究得到了加拿大自然科学与工程研究委员会（NSERC）和自然与工程技术基金会（FQRNT）的支持。附录A技术结果证明引理4的证明。根据（31）中v（i，x）的等价表达式，连续性结果是立即的。Wx，Ini的最大可能值是通过对应于ωj=u的路径获得的，NThusbx，i=min{α≥ 0:Wx，iN（uu…u）=0}。From（30），Wx，iN（uu…u）=0当且仅当iff（α）：=x（e）-αu）N-我- GN-我-1Xj=0（e）-αu）j！≤ 0.但是f∈ C∞和limα→∞f（α）=-G<0。我们有f（0）>0当且仅当（10）成立。如果f（0）>0，则存在0<bx，i<∞. 如果f（0）≤ 0，然后bx，i=0。其余的证明与Hyndman和Wenger的证明相似[15，引理4]。假设（i，x）是bx，i>0。LetAα：={Wx，iN（α）>0}。那么Aα6= 对于α<bx，i。

修正α∈ [0，bx，i）并考虑α（1），使α<α（1）<bx，i.当限制到集合Aα（1），（30）时，在二项式框架中暗示C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders，20190年7月5日<Wx，in（α（1））<Wx，in（α），这反过来又暗示了α（1） Aα。我们得出结论：v（i，x；α（1））<v（i，x；α）。定理5的证明。引理4，对于α≥ 对于r>0，我们有V（P，α，g）=GaN<P。在（13）中对U的定义中，我们有U≥ 0表示α=0。根据定理7，V（P，α=0，g）=U（P，α=0，g）+P≥ P.根据引理4的连续性和严格递减性，存在唯一的α？∈ [0，bP，0）.定理7的证明.我们应用反向归纳法，证明了v（i，x）=u（i，x）+x对于所有（i，x）∈IN×R+。定义v（N，x）=u（N，x）+x表示所有x∈ R+。假设v（i，x）=u（i，x）+x对所有x都成立∈ 对一些人来说是R+≤ 我≤ v.证明我们需要- 1，y）=u（i- 1，y）+y代表所有y∈ R+。应用归纳假设，v（i）- 1，y=e-r[G+pv（i，w（uy））+qv（i，w（dy））]=e-r[pu（i，w（uy））+qu（i，w（dy））+p（w（uy）+G）+q（w（dy）+G）]。从等式（14）和（15）中，我们得到了（i- 1，y=e-\'rpu（i，w（uy））+qu（i，w（dy））+p[（G- 尤耶-α)+- uy（1）- E-\'-α]+q[（G- 染料-α)+- dy（1）- E-α)].观察（y）- （G）- 耶-\'\'α）+=ye-α- G.Thenw（y）+G- （G）- 耶-\'-α）++y（1）- E-α=y，因此（i）- 1，y）- u（i）- 1，y=e-r[puy+qdy]=Ysise pu+qd=e通过定义风险中性概率（3）。因此（我）- 1，y）=u（i- 1，y）+y对于所有y∈ R+，结果成立。C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在一个二项式框架中，2019年7月5日定理11的证明。按照什里夫[23]的方法，我们进行归纳。假设X=U，假设为0≤ 我认为Xi=Ui。我们需要证明，对于所有的ωi，Xi+1（\'ωiu）=Ui+1（\'ωiu），Xi+1（\'ωid）=Ui+1（\'ωid）。为了简洁起见，我们省略了ωinotation。

用uin代替Xiin（29），使用（16）、（28）和offact q=u-伊鲁-dwe获得XI+1（u）=iSi（美国）- e-r）+（用户界面- Ci）e\'r+Fi+1（u）- （G）- Wi+1-（u） e-\'-α）+=q[u-（i+1，uWi）- U-（i+1，dWi）]+（pu-（i+1，uWi）+qu-（i+1，dWi）+Fi+1（u）- （G）- 维尤-\'-α）+=u-（i+1，uWi）+Fi+1（u）- （G）- 维尤-\'-α）+=u（i+1，w（uWi））=Ui+1（u）。类似的论证表明Xi+1（d）=Ui+1（d）。因为ωi是任意的，所以我们有Xi+1=Ui+1，结果成立。定理17的证明。我们采用归纳法。假设X=UM。假设EPM[Xi]=EPM[UMi]QS-a.s.对于某些i∈ 在里面-1.对于一个进程，我们将其在特定路径ωiωi+1的时间i的值写为Hi（\'ωi；j）。Nω∈ OhmS（其中ωjcan为allj>i取{u，d}中的任意值）和特定集合（Kx）-1（j）∈ FM，{x，1}N.对于任何固定的ω，我们需要证明这一点EPM[Xi+1（\'ωiu；Kx）]=EPM[UMi+1（\'ωiu；Kx）]，EPM[Xi+1（\'ωid；Kx）]=EPM[UMi+1（\'ωid；Kx）]。我们证明了第一个等式，第二个等式以相同的方式显示。为了简洁起见，我们省略了ωi。观察到EPM[UMi+1（u；Kx）]=i+1pxUi+1（u）。此外，Xi+1（u；j）=Xi+1（u；Kx>i+1）表示所有j>i+1，因为Xi+1∈ Fi+1。从（45）中，我们得到了所有j的Xi+1（u；j）=Xi（；j）e’rf≤ i、 因此，Pm[Xi+1（u，Kx）]=NXj=1j-1 | qxXi+1（u，j）+NpxXi+1（u，Kx>N）=iXj=1j-1 | qxXi（| j）e | r+i | qxXi+1（u，i+1）+i+1xxi+1（u，Kx>i+1）。将（45）应用于Xi+1（u，i+1）和Xi+1（u；Kx>i+1），我们得到了c。亨德曼和M。

二项框架下的温格GMWB车手2019年7月5日EPM[Xi+1（u，Kx）]=EPM[Xi（；Kx）]e¨r+ipx[iSi（美国）- e’r）- Cie\'r- px+i（（G- 维尤-α)+- Wiu（1）- E-α)) (46)- qx+i（（DBi- Wiu）+{τ>i}+G–aN-i{τ≤i} ）]。根据归纳假设，EPM[Xi（；Kx）]e `r=ipxUie `r。然后替换（43）和（38）并应用（39）（形式为U）-i+1，但条件是τ>i），wehaveEPM[Xi+1（u，Kx）]=ipx[（Ui- Ci）e’r+（U）-i+1（u）- U-i+1（d））q- Gpx+i{τ≤i} +1{τ>i}（px+iUi+1（u）- U-i+1（u））- qx+i（G¨aN）-i{τ≤i} ）]=ipx[U-i+1（u）1{τ≤我}- Gpx+i{τ≤i} +1{τ>i}px+iUi+1（u）- qx+iG–aN-i{τ≤i} ]=i+1px[1{τ>i}Ui+1（u）+GaN-（i+1）{τ≤i} =i+1pxUi+1（u）。这就完成了证明。参考文献[1]A.R.Bacinello。股票挂钩人寿保险退保条件的内生模型。《保险：数学与经济学》，37（2）：270–2962005。[2] A.R.巴西内洛、P.米洛索维奇、A.奥利维耶里和E.皮塔科。可变年金：一种统一的估值方法。保险：数学与经济学，49（3）：285–2972011。[3] F.布莱克和M.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637-6541973。[4] N.鲍尔斯、H.格伯、J.希克曼、D.琼斯和C.内斯比特。精算数学。精算师协会，伊利诺伊州绍姆堡，第二版，1997年。[5] P·博伊尔和E·S·施瓦茨。股权挂钩合同下担保的均衡价格。《风险与保险杂志》，44（4）：639-6601977年。[6] 陈志强、K·维扎尔和P·A·福赛斯。建模参数对MWB担保价值的影响。保险：数学与经济学，43（1）：165–1732008。[7] M.Costabile、I.Massabo和E.Russo。亚洲期权定价的调整二项模型。《定量金融与会计评论》，27（3）：285–2962006。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中2019年7月5日[8]J.C.Cox、S.a.Ross和M.Rubinstein。期权定价：一种简单的方法。

《金融经济学杂志》，7（3）：229-2631979年。[9] 戴先生、郭永康先生和宗先生。可变年金中保证的最低提款收益。《数学金融》，18（4）：595-6112008。[10] D.杜菲动态资产定价理论。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，第三版，2001年。[11] 埃特马迪。重新讨论了随机变量加权平均值的收敛性。《美国数学学会学报》，134（9）：2739-27442006。[12] R·格斯克和K·沙斯特里。近似估值：可选期权估值技术的比较。《金融与定量分析杂志》，20（1）：45-711985。[13] 格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格·维拉格，纽约，2004年。[14] J.赫尔和A.怀特。评估欧洲和美国路径依赖的有效程序。衍生工具杂志，1（1）：21-311993。[15] C.海德曼和M.温格。gmwb附加条款可变年金的估值视角和分解。《保险：数学与经济学》，第55:283–290页，2014年3月。[16] A.Kling、F.Ruez和J.Russ。保单持有人行为对可变年金中提款收益担保的定价、对冲和对冲效率的影响。《欧洲精算杂志》，4（2）：281-3142014。[17] J.李和A.Szimayer。投保人理性对有退保担保的单位关联人寿保险合同的影响。《定量金融》，14（2）：327–342，2014年。[18] Y.刘。对可变年金中保证的最低提款收益进行定价和对冲。滑铁卢大学博士论文，2010年。[19] M.A.米列夫斯基和T.S.索尔兹伯里。保证最低取款限额的财务估值。保险：数学与经济学，38（1）：21–38，2006年。[20] M.A.米列夫斯基、S.D.普罗米斯洛和V.R.杨。杀死大数定律：致命风险溢价和夏普比率。

《风险与保险杂志》，73（4）：673-6862006。[21]T.Moller。单位关联人寿保险合同的风险最小化对冲策略。《新闻公报》，28（1）：17-471998年。[22]彭智强、梁国新和郭耀国。定价保证最低取款收益低于短期利率。《定量金融》，12（6）：933–9412012。[23]S·E·史莱夫。金融随机演算I：二项式资产定价模型。斯普林格金融，纽约，2004年。[24]S·E·史莱夫。金融随机演算2：连续时间模型。斯普林格金融，纽约，2004年。[25]王S。长寿风险：建模和金融工程。乌尔姆大学博士论文，2008年。