（10） becomeMj，kt=γk（EpEqE+q）t，tCj，kξ，β，Vj，k；j、 kt=γkγkCj，jεCk，kε（EpE+p）t，t+Ck，kεCj，jξ，β（EpE+p）t，t（EqE+q）t，t+Cj，jεCk，kξ，β（EpEqE+qE+p）t，t+Cj，jξ，βCk，kξ，β（EqE+q）t，t（EqE+qE+p）t，t+Cj，k，k，βCk，β+qE，β+EqE+t,（A.4）式中[Eq]t，t′=qt-t′-1对于t>t′，否则为0，以及Cj，kξ，β≡ βjβkCj，kξ。[10]的补充材料提供了固定极限t中矩阵Ep和Eq的各种乘积的显式公式→ ∞, 一个瘦身→∞（EpE+p）t，t=1- p、 极限→∞（EpEqE+q）t，t=q（1）- q） （1）- pq），limt→∞（EpEqE+qE+p）t，t=1+pq（1- pq）（1- q） （1）- p） ，（A.5），我们从中得到Mj，k∞=qp1- p1- pqCj，kξ，β，Vj，k；j、 k∞= Cj，jεCk，kε+Ck，kεCj，jξ，β+Cj，jεCk，kξ，β1+pq1- pq+Cj，jξ，βCk，kξ，β1+pq1- pq+Cj，kξ，βCk，jξ，βq（1- p） （1）- pq），（A.6）式中Cj，kξ，β≡ Cj，kξ，β/（1）- q） ，我们设置γk=p1- (1 - ηk）=p1- p、 [10]中提出了这种标准化，以设置没有自相关（即，当β=0时）的单一资产的固定增量损益的单位方差。对于多变量情况，这种归一化产生期望的形式Vj，k；j、 k∞= 当所有βj=0时，Cj，jεCk，kε。对于矩阵，可以进一步简化矩阵权重。(16).附录B.两项不可区分资产当β=β=β（即κ=1）和σ=σ=1（即ν=1）时，两项资产具有相同的aut o相关性结构，使得它们彼此不可区分。在这种情况下，Eqs。

（18，20）是减少的t oS=q（1- p） （ω+2ρξω+ω）QOhm+ 第二季度Ohm+ ROhm, （B.1）与Ohm= ω+ 2ω+ ω+ 2ρε(ω+ ωω) + 4ρεω(ω+ ω),Ohm= ω+ 2ω+ ω+ 2ρερξ(ω+ ωω) + 2(ρε+ ρξ)ω(ω+ ω),Ohm= ω+ 2ω+ ω+ 2ρξ(ω+ ωω) + 4ρξω(ω+ ω).（B.2）在这种情况下，确定权重比的三个二次方程，z=ω/ω和x=ω/ω，are2Ax+2Bxz+2Cx- Dz+D=0，Dz+2Ax+2Cxz- Dz+2Bx=0，Bz+Axz+2Cz+Ax+B=0，（B.3），其中Q=1- 2ρερξ+ρε）+2Q（1）- ρξ）+R（1）- ρξ），B=Q（Q+1）（ρε- ρξ），C=Qρε（1）- ρερξ）+Q（ρε+ρξ）- 2ρερξ）+Rρξ（1）- ρξ），D=Q（1）- ρε）+2Q（1）- ρερξ）+R（1）- ρξ).（B.4）等式中前两种关系之间的差异。（B.3）收益率（z-1） [2（B）- C） x- D（1+z）]=0，从中可以确定z和x。可以证明与选择z=2（B）对应的二次方程-C） x/D-1没有真正的解决方案。因此，我们得到了最小化问题的以下解：zopt=1（即ω=ω），而xtopis由式（25）给出。附录C.两个资产没有超前滞后项最简单的情况是，可以考虑两个资产的线性组合，权重为ω和ω，而不引入超前滞后项：ω=0。在这种情况下，平方夏普比的公式（19）变为（1）- p） q（ωκ+ω）aω+2bωω+cω，（c.1）其中=q+2Qκ+Rκ，b=qρε+2Qκρερξ+Rκρξ，c=q+2Q+R，（c.2），我们设置σ=σ=1。优化得到了以下关于权重ω[bκ]的二次方程- aκ]+ωω[cκ- a] +ω[cκ- b] =0，（C.3），其解可以显式写出：z=ω=a- cκ±p（a）- cκ）- 4（cκ- b） （bκ- aκ）2（bκ- aκ）。（C.4）在不可区分资产（即κ=1）的特殊情况下，一个hasa=C，上述方程的两个解为ω=±ω，即ρε和ρξ的值。注意，ω=ω时达到最大值（而在相反的情况下S=0ω=-ω). 因此，我们需要像预期的那样，采用权重相等的线性组合。

我们得到n=2（1）-p） qa+b，其中一个从中检索等式（28）。附录D.部门模型的推导我们考虑n个不可区分资产的情况（βj=β，σj=σ=1）。在TF策略的最优组合中，所有资产a都被期望具有相同的权重，ωjj=ω，以及所有超前-滞后修正都是相同的：ωjk=ω代表所有的J6=k。将这些权重代入等式。（9,16），一个getshδP∞i=qp1- p1- pqnXj，kCj，kξ，βωj，k=qp1- pβ1- pqωn+ωn（n- 1)ρξ,var{ΔP∞} =nXj，k，j，kVj，k；j、 kωj，kωj，k=ω＠V+2ω＠V+ω＠V，（D.1）其中＠V≡Xj，kVj，j；k、 k=XjCj，kεCj，kε+2β1- pqCj，kεCj，kξ+βR（1- pq）Cj，kξCj，kξ= N1 +2β1 - pq+βR（1）- pq）+ n（n）- 1)ρε+2β1 - pqρερξ+βR（1）- pq）ρξ,~V≡Xj，j6=kVj，j；j、 k=Xj，j6=kCj，jεCj，kε+2β1- pqCj，jεCj，kξ+βR（1- pq）Cj，jξCj，kξ= n（n）- 1)2ρε+（n）- 2)ρε+2β1 - pq（ρε+ρξ+（n- 2） ρερξ）+βR（1）- pq）（2ρξ+（n- 2)ρξ),~V≡Xj6=k；j6=kVj，k；j、 k=~V-~V- 2伏，伏≡Xj，k，j，kVj，k；j、 k=Xj，k，j，kCj，jεCk，kε+2β1- pqCj，jεCk，kξ+βR（1- pq）Cj，jξCk，kξ= N（1+（n）- 1) ρε)+2β1 - pq（1+（n- 1） ρε）（1+（n）- 1）ρξ）+βR（1）- pq）（1+（n）- 1) ρξ),（D.2）我们使用了恒等式CεCξ=a b b。。。bb a b。。。bb b a。。。Bb。。。A.,（a=1+（n）- 1） ρερξ，b=ρε+ρξ+（n- 2)ρερξ.（D.3）我们得到n=q（1）- p） n（ω+ω（n）- 1） ρξ）ωV+2ωV+ωV，（D.4）其中新的系数Vj≡~Vj（1）-pq）nβ从等式中获得。(35). 将Swith对ω的导数设为零，可以得到等式（33）中的最优权重比xoptin，以及等式（34）中相应的平方最优sharpe比。由于xopt和soptar的显式公式过于繁琐，因此考虑它们在n趋于完整时的渐近行为是有指导意义的。因为每个资产都有n个- 1超前滞后项，可以方便地将小参数输入为1/（n）- 1） （而不是1/n）。特别是一个g etsxopt-1n- 1+ρξ[Q（1- ρε）+2Q（1）- ρε)(1 - ρξ）+R（1）- ρξ)](1 - ρξ）[Qρε+2Qρερξ+Rρξ]（n- 1)+ . .

（D.5）参考文献[1]M.W.Covel，趋势跟踪（更新版）：学会在上涨或下跌的市场上赚取数百万美元皮尔逊教育，新泽西州，2009年。[2] A.F.Clenow，《跟随趋势：多样化管理期货交易》，威利父子公司，英国奇切斯特，2013年。[3] 冯文华及谢德安牧师。北卡罗来纳州国际泳联。螺柱。14 (2001) 313.[4] C.S.Asness，T.J.Moskowitz，L.H.Pedersen，J.Finance 68（201 3）929。[5] M.Potters，J.-P.Bouchaud，威尔莫特杂志（2006年1月2日）；在线：ArXiv physics-0508104（2005）。[6] R.Martin，D.Zou，Momentum Trading:《扭曲我》，风险杂志（2012年）。[7] 陈立国，N.杰加迪什，J.拉科尼肖克，J.金融51（1996）1681。[8] N.Jegadeesh，S.Titman，J.Finance 56（2001）699。[9] T·J·莫斯科维茨，Y·H·Ooi，L·H·佩德森，J·菲南。经济部。104 (2012)228.[10] D.S.Grebenkov和J.Serror，Physica A 394（2014）288。[11] N.G^arleanu和L.H.Pedersen，J.Finance 68（2013）2309。[12] 艾伦和泰勒，经济学人。J.100（1990）49。[13] C.Wilcox和E.Critenden，D.对股票的趋势跟踪工作？，《技术分析员》第14期（2005年）。[14] A.C.Szakmary，Q.Shen和S.C.Sharma，J.银行金融34（2010）409。[15] W.F.Sharpe，G.J.Alexander和J.V.Bailey，《投资》，第六版，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯普伦蒂斯庄园，1999年。[16] A.Ilmanen A和J.Kizer，J.Portfolio Mana g.38（2012）15。[17] H.M.Markowitz，《投资组合选择》，J.Finance 7（1952）77。[18] R.C.默顿，J.Economo。理论3（1971）373。[19] E.J.Elton和M.J.Gruber，J.银行金融21（1997）1743。[20] B.Pfa FFF，金融风险建模和投资组合优化，R，John Wiley&Sons，2013年。[21]J.Y.Campbell和L.M.Viceira，《战略资产配置：长期投资者投资组合指南》，牛津大学出版社，2002年。[22]J.-P.Bouchaud和R.Cont，欧元。菲斯。J.B 6（1998）543。[23]D.Li和W.-L.Ng，数学。财务10（1998）387。[24]P.Embrechts，A。

McNeil和D.Straumann，《风险管理中的相关性和依赖性：公共关系和陷阱》，第176-223页，《风险管理：风险价值及其超越》，剑桥大学出版社，2002年。[25]D.J.Fenn，M.A.Porter，S.Williams，M.McDonald，N.F.Johnson和N.S.Jones，Phys。牧师。E 84（2011）026109。[26]H.R.斯托尔和R.E.惠利，J.F.伊南。定量。分析25（1990）44 1。[27]K.Chan，Rev。菲南。研究5。(1992) 123.[28]S.Thomas，A.Clare，P.N.Smith，J.Seaton，趋势是我们的朋友：全球资产配置中的风险平价、动量和趋势跟踪。工作文件（2012年）；在线：ssrn-id2126478[29]J.-P.Bouchaud，M.Potters，《金融风险理论与衍生定价：从统计物理到风险管理》，剑桥大学出版社，2003年。[30]R.Mantegna，H.E.Stanley，《经济物理学导论》，剑桥大学出版社，剑桥，1999年。[31]R.Mantegna，H.E.Stanley，《自然》杂志376（1995）46。[32]J.-P.Bouchaud，M.Potters，Physica A 299（2001）60。[33]D.Sor nette，Phys。众议员378（2003）1。[34]J.-P.Bouchaud，Y.Gefen，M.Potters，M.Wyart，Quant。财务4（2004）176。[35]J.-P.Bouchaud，A.Matacz，M.Potters，Phys。牧师。莱特。87 (2001) 1.[36]S.Valeyre，D.S.Grebenkov，S.Aboura，Q.Liu，Quant。财务13（2013）1697。[37]T.G.安徒生、T.博勒斯列夫、F.X.迪博尔德、P.拉比、Multinat。《金融杂志》第4期（2000）159页。[38]J.C.赫尔，期权，期货和其他衍生品，第七版，皮尔逊·普伦蒂斯大厅，上鞍河，新泽西州，2009年。[39]P.R.温特斯，管理科学6（1960）32 4。[40]R.G.Br own，《离散时间序列的模拟和预测的平滑》，新泽西州恩格伍德克利夫斯：普伦蒂斯霍尔，1963年。[41]G.Burghardt和B.Walls，《机构投资者管理期货：分析和投资组合构建》，新泽西州威利父子公司：Hobo ken，2010年。[42]A.W.罗，财务部。肛门。J.58（2002）36。