趋势跟踪策略的最优配置

2022-5-7 02:35:45

格雷本科夫），杰里米。serror@gmail.com（Jeremy Serror）2014年10月31日提交给Physica A的预印本采用了以下（TF）策略，这些策略根据过去的价格变化向dj发出买入或卖出信号，并根据不同时间段的趋势[1、2、3、4]制定。虽然它的实际稳定性存在很大争议[5,7,8,9]，但趋势跟踪仍然是专业资产管理者广泛使用的策略。由于许多交易者都在寻找相同的盈利机会，因此预期（净）收益很小，尤其是在短期内，并且受到随机波动的影响。为了提高收益并降低风险，基金经理建立了多样化的投资组合，以尽可能地关联组成TF策略。我们的目标是展示这种传统的方法会产生次级投资组合。特别是，我们说明，如果适当考虑资产间相关性，有助于趋势检测，从而显著提高风险调整后的投资组合回报率。在之前的工作中，我们考虑了一种线性TF策略，该策略应用于具有自相关回报的集合[10]。该模型依赖于市场参与者评估市场自相关性的能力，或者等效地评估过度方差。为了从风险回报的角度研究趋势跟踪，引入了资产收益的显式持续性。通过在高斯市场模型中加入一个随机趋势项来建模价格持续性，我们推导出了策略利润和损失（P&L）的均值和方差的分析公式s。例如，考虑到市场交易成本，我们能够计算ut o相关性的阈值，低于该阈值，趋势跟踪者就没有希望在实际市场条件下实现盈利。基金经理通常使用这些标准来选择一组对趋势跟踪交易感兴趣的资产/市场。

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2022-5-7 02:35:49

许多TF策略应用于股票市场、外汇市场和大宗商品的例子都有报道[2,12,13,14]。在金融行业，多元化基金将TF策略应用于大量资产，希望从所谓的多元化效应中获益[15,16]。在本文中，我们将模型从[10]扩展到多元情况，其中引入了显式随机趋势和资产间协方差结构。特别是，我们研究了市场趋势的相关性如何影响投资组合风险回报率。换言之，虽然资产回报率可能表现出给定的协方差结构，但其t r端成分可能有不同的协方差结构。考虑到交易策略的趋势跟踪性质，我们擅长解决投资组合优化问题。我们的目标是证明，未能考虑趋势相关性（即仅使用资产收益率协方差）会导致风险调整后的portfo lio回报率不理想。从马科维茨[17]的开创性工作开始，现代投资组合理论[18,19,20]为资产配置问题[21]带来了许多优化技术。马科维茨考虑的最初问题是确定投资组合权重，即分配给每项资产的资本量，根据预期市场回报和协方差结构最大化投资组合均值-方差目标。Markowitz模型依赖于市场参与者评估预期回报的能力，并提供了一种将资产差异纳入投资过程的方法。在我们的方法中，资产预期回报被表征市场趋势的预期超额方差（或自相关）取代[10,22]。我们通过指定资产价格波动趋势和噪声分量的相关结构来解决动态策略的静态分配问题。

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可人4

2022-5-7 02:35:52

作为动态分配问题的另一种方法，人们通常会在所谓的多期Markowitz框架[11,23]中考虑一系列静态投资组合。我们从[10]中选择简单的建模假设，以得出问题的精确解：（i）应用TF策略隐含地假设价格变化的持续性。我们将价格变化建模为随机趋势加上白噪声。（ii）真实市场表现出资产间（或交叉）相关性[24,25]。我们分别介绍了趋势中的相关性和噪声中的相关性。例如，两种资产可能表现出相似的长期趋势，并在短期内呈负相关。在这些假设下，我们发现，静态分配问题（其中为每项资产分配了最佳权重）会导致次优的风险调整回报。即使趋势和噪声的相关性相等，将经典的马科维茨方法应用于TF策略也是次优的。然后，我们建立了一个动态分配框架，从而使投资组合的风险调整收益得到改善。我们的动态定位方法包括通过其他策略信号的线性组合来校正每个策略信号。这个交叉校正项可以被视为超前滞后校正[26,27]。我们证明了n个动态策略的分配问题可以简化为一组具有显式导出的预期收益和协方差结构的虚拟资产的静态马尔科维茨问题。我们推导出一个简单的经验法则：对于两个资产i和j，给定它们各自的策略信号sit和Sjt，以及i和j之间的互相关ρi，jb，我们应该按照-Sjtρi，jand第j个信号的曝光与-静坐ρi，j。

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2022-5-7 02:35:55

例如，如果两个信号都是正的，则通过交叉校正项，交叉相关性的增加会减少曝光。由于第i项资产的交叉修正与j-thasset过去收益的线性组合成正比，我们将其称为超前滞后项[26,27]。论文的结构如下。以秒计。2.我们引入了标准的数学工具来解决端口对开分配问题。以秒计。3.我们详细研究了两资产组合问题。4扩展到具有相同相关性的多个资产的情况（例如，市场的一个部门）。与静态分配方案相比，我们量化了投资组合的预期夏普e比率（或风险调整后的回报）和夏普收益的改善。结论部分总结了主要结果，而技术推导在附录中报告。2.市场模型和交易策略我们首先介绍n资产的数学市场模型，并描述近期趋势跟踪策略。然后，我们提出了基于策略信号线性组合的动态投资组合分配。在这个框架中，我们推导了利润的均值和方差，建立了最优分配问题，并将其简化为虚拟资产的标准静态分配问题。2.1. 市场模型我们假设，在时间t时，j-t h资产的收益RJTO有两个贡献：瞬时波动（噪声）εjt和随机趋势，通常作为随机波动ξjt′的线性组合给出，rjt=εjt+t-1Xt′=1Ajt，t′ξjt′，（1）其中矩阵aj描述了第j资产的随机tr端，而εj，εjt和ξj，ξjt是两组独立的高斯变量，在本文中，为了简单起见，每天的价格变化被称为“收益”。

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2022-5-7 02:35:59

严格地说，我们考虑通过已实现的波动性调整加性对数回报，这是期货市场的常见做法[6,28]。虽然资产可以改变各种非高斯特征（所谓的“程式化事实”[29、30、31、32、33、34]），但通过合理的波动性调整大小，可以在一定程度上减少波动性及其相关性变化的影响[35、36]，并更接近收益率的高斯次命题[37]。平均零和以下协方差结构：hεjtεkt′i=δt，t′Cj，kε，hξjtξkt′i=δt，t′Cj，kξ，hεjtξkt′i=0，（2）其中δt，t′=1表示t=t′，否则为0。这里，Cε和Cξ分别是描述噪声εjt和随机趋势分量ξjt的资产间相关性的协方差矩阵。这就产生了澳大利亚资产收益到beCj，kt，t′的协方差矩阵rIX≡ hrjtrkt′i=δt，t′Cj，kε+Cj，kξ（AjAk，+）t，t′，（3）其中+表示矩阵转置。对于每项资产，随机趋势都会由于独立于短时噪声εjt的外生随机变量ξjt的线性组合而产生自相关。此外，这些自相关性（由矩阵Aj描述）的结构被认为与资产间相关性（由矩阵Cε和Cξ描述）无关。特别地，协方差矩阵Cε和Cξ不依赖于时间。如[10]所述，自相关的存在使得TF策略即使对于收益率为零的资产也是可行的。用她的话说，我们认为资产自相关性是TF策略可行性的来源。虽然可以对无nzero平均收益进行整体分析，但可以方便地施加hεjti=hξjti=hrjti=0，以强调TF策略相对于简单买入和持有策略的收益（在这种情况下是无收益的）。

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2022-5-7 02:36:02

TF投资组合的收益和损失TF投资组合的增量收益和损失（即t时间t时投资组合的总回报）为δPt=nXj=1rjtSjt-1，（4）其中Sjt-1时间t时，TF策略在第j资产上的位置是什么-1.在常规设置中，位置Sjt-1根据早期回报确定。“头寸”一词指的是对给定资产的敞口或投资。它通常用于期货交易，头寸可以是正（长）或负（短）[38]。rj。。。，rjt-第j项资产的第1项。在本文中，我们将说明，由于传统的资产选择，我们将进行次优的资产选择。为了克服这个限制，我们引入了位置Sjt-1是所有资产信号的加权线性组合：Sjt-1=nXk=1ωj，ksk（rk，…，rkt）-1）式中sk（rk，…，rkt）-1）是来自第k个资产的信号，权重ωj，ktobe已确定。注：权重被视为与时间无关，这与之前关于与时间无关的资产间相关性的假设一致。投资组合的增量损益变成δPt=nXj，k=1ωj，krjtsk（rk，…，rkt）-1）式中ωj，kc可解释为第k个信号在第j个资产位置上的权重。对角权重的特殊情况（当ωj，k=0，j 6=k）对应于权重为ωj，j的n个TF策略的投资组合。因此，标准的投资组合分配问题包含在我们的框架中，其中对角权重ωj，j表示分配给第j资产的资本l的数量。一般而言，非对角项允许从资产间相关性中受益，以增强TF portfo lio的稳定性。[10]之后，我们考虑一种TF策略，其信号由早期收益的线性组合决定（例如，指数移动平均值，见下文）：sk（rk。

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kedemingshi

2022-5-7 02:36:06

，rkt-1） =t-1Xt′=1Skt，t′rkt′，（7）所以δPt=nXj，k=1ωj，kt-1Xt′=1Skt，t′rjtrkt′，（8）给定矩阵Skt，t′。利用模型的高斯特性，我们在附录a中计算了N资产组合的增量收益和损失的均值和方差：hδPti=nXj，k=1ωj，kMj，kt，var{δPt}=nXj，k，j，k=1ωj，kωj，kVj，k；j、 kt，（9）式中，mj，kt=Cj，kξ（SkAkAj，+）t，t，Vj，k；j、 kt=Cj，jεCk，kε（SkSk，+）t，t+Cj，jεCk，kξ（skakk，+Sk，+）t，t+Ck，kεCj，jξ（sksksk，+）t，t（AjAj，+）t，t+Cj，jξ（AjAj，+）t，tCk，kξ（skakakk，+Sk Sk）t，t，t+Cj，kξCk，jξ（SkAk，+Aj）t，t，t（skakakakk，+10）公式之间的结构相关性也反映了这些资产之间的相互关系。2.3. 优化问题一旦增量损益的均值和方差以（9）的形式推导出来，趋势跟踪策略组合的动态分配问题就简化为n个“虚拟”资产（由双指数j，k索引）组合的标准优化问题，其均值为Mj，k，协方差为Vj，k；j、 kt。因此，可以搜索优化所选标准的权重ωj，k（例如，在马科维茨理论的固定预期收益下最小化方差）。在这项工作中，我们研究了使平方夏普比率（或投资组合的平方风险调整收益率）最大化的最佳权重ωj，k:S≡hδPtivar{δPt}=（M+tω）（ω+Vtω），（11）其中，权重ωj，kare在这里由大小为n的单个向量ω表示。通过设置sωj，k=2（M+tω）（ω+Vtω）Mj，kt（ω+Vtω）- （Vtω）j，k（M+tω）= 0（j，k=1，…，n），（12），我们使用了矩阵Vt的对称性：Vj，k；j、 kt=Vj，k；j、 kt。更明确地说，这些方程readnXj，k，j，k=1Mj，ktVj，k；j、 kt- Vj，k；j、 ktMj，ktωj，kωj，k=0（13）对于所有指数j，k=1，n、一般来说，这是一组未知权重ωj，k的nqadratic方程。

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2022-5-7 02:36:09

然而，δp的均值和方差的原始表达式在ωj，kbyωk，j的替换下保持不变。这与所考虑的趋势跟踪策略的线性有关。接下来，我们考虑对称权重，这样就有n（n+1）/2个未知权重，方程数目相同。例如，一个人需要分别为两个、三个和四个资产的投资组合求解3、6和10个方程。还要注意，上述优化问题的任何解决方案都被定义为一个乘法因子。事实上，等式（11）中的平方夏普数在权ωj，kby乘以任何非零常数下是不变的。因此，ωj，k应被解释为相对权重。一般来说，方程的解。（13）取决于两个协方差矩阵Cε和Cξ（资产间相关性）、矩阵Aj（资产自相关）和矩阵Sj（TF策略的信号）。一旦所有这些矩阵都被指定，优化问题就可以通过数值求解。然而，在实践中，不可能从市场数据中推断出如此大量的参数，也不可能理解它们对最佳权重的影响。出于这个原因，我们进一步说明了这个问题，以减少原始的、非常大的参数集。首先，我们选择秒。2.4自相关（矩阵Aj）和TF信号（矩阵Sj）的特殊形式。之后，我们考虑了两种资产情况和一个部门模型的协方差矩阵Cε和Cξ的几种特殊形式。通过这种方式，我们确定了少量最相关的参数，并研究它们对最佳TF端口的影响。2.4. 指数移动平均在[10]中，我们使用指数移动平均（EMA）来描述TF策略的随机趋势和信号。

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nandehutu2022

2022-5-7 02:36:12

这相当于选择由离散的Ornstein-Uhlenbeck过程引起的随机趋势，其中t′=（βj（1- λj）t-t′-1，t>t′，0，t≤ t′（14），其中βjandλjare是第j个随机趋势的强度和速率。类似地，TF策略的信号也被选择为EMA[39,40]：Sjt，t′=（γj（1- ηj）t-t′-1，t>t′，0，t≤ t′（15），其中γjandηjare表示第j个TF策略的强度和速率。将这些矩阵的元素设置为0表示t≤ t′实现了因果关系：t时刻的趋势和信号仅依赖于t′<t时的早期回报。在下文中，我们关注的是利率λjofall资产相同（λj=λ）且所有策略的利率ηjo相同（ηj=η）的特定情况。在静止极限下→ ∞, 我们在附录A中得出：Mj，k∞=qp1- p（1）- pq）（1- q） Cj，kξ，β，Vj，k；j、 k∞= Cj，jεCk，kε+2Cj，jεCk，kξ，β（1- pq）（1-q） +Cj，jξ，βCk，kξ，β1+q- 2pq（1）- pq）（1- q），（16）式中q=1-λ、 p=1-η、我们设置γk=p1- pas是一种适当的标准化（见[10]）。一般来说，通过数值求解方程组或方程组，可以找到使夏普比平方最大化的o pt ima l权重。（13），或Sin方程（11）的无约束最大化问题。为了理解最优TF策略背后的机制，我们首先关注两种资产的特殊情况，对于这两种资产，可以通过分析得出许多结果，然后很容易说明（第3节）。之后，我们在第二节中考虑。4.n个类似资产的部门模型。3.两项资产对于两项资产，有三个独立的权重：ω、ω和ω。协方差矩阵的形式很简单：Cε=σσσσρεσσρεσσ, Cξ=1 ρξρξ, （17）其中ρε和ρξ是两个相关系数（分别在资产间价格噪声εt、εt和随机趋势分量ξt、ξt之间），而σ和σ是噪声εjt的波动率。

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2022-5-7 02:36:16

请注意，随机趋势分量ξjt的波动性可以包含在自相关强度βjt中，从而可以编写协方差矩阵Cξ的简化形式。将这些关系代入式（16）中，我们得到了增量利润和损失δP的均值和方差的显式公式∞在稳定状态下：hδP∞i=qp1- p[β]1- pqκω+ 2ρξκω+ ω,var{ΔP∞} = [σ]Ohm+ 2.Ohm/Q+ROhm/Q（18）（β1,2=β1,2/p1- q）所以夏普比的平方等于q（1）- p）（κω+2ρξκω+ω）QOhm+ 第二季度Ohm+ ROhm, （19）在哪里Ohm≡ νω+ 4ρενω[νω+ ω] + 2νρεωω+ 2ν(1 + ρε)ω+ ω,Ohm≡ νκω+ 2ωωνκ(νρξ+ κρε) + 2ωωνκρερξ+ ω(ν+ 2νκρερξ+ κ) + 2ωω(νρε+ κρξ) + ω,Ohm≡ κω+4ρξκω[κω+ω]+2κρξω+2κ（1+ρξ）ω+ω，（20）和q≡(1 - pq）[σ][β]，R≡ 1+q- 2pq，κ≡ββ, ν ≡σσ. （21）在不丧失一般性的情况下，我们假设β≤ β、即κ≤ 1.如第节所述。2.最大化SLE的优化过程可归结为三个关于权ω、ω和ω的二次方程。定义两个独立的比率，z=ω，x=ω，（22）一个得到三个方程，其中包含项z，x，zx，z，x和常数。方程式sω=0不包含t erm z，而sω=0不包含t项x。通过适当的线性组合，可以表示并消除项xz。最后，我们将处理一个单次方程。虽然这个方程的显式解析解是可能的，但对于任何实际应用来说都太麻烦了。反过来，最大化平方夏普比的原始问题可以作为标准的最小化问题进行数值求解。方程式中的夏普比平方。

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kedemingshi

2022-5-7 02:36:19

（19）取决于模型的以下参数：两个速率λ（=1）-q）和η（=1-p）随机趋势和TF策略的EMA；两个资产波动率σ和σ；两个自相关强度β和β；以及两个相关系数ρε和ρξ。为了说明和讨论最优解的各种特征，我们考虑了几个实际感兴趣的特殊情况，即哪些显式解相对简单。3.1. 不相关资产（ρε=ρξ=0）我们首先考虑两个不相关资产的情况：ρε=ρξ=0。在这种情况下sω=0导致方程（νQ+Q（ν+κ）+κR）xz=0。因为xz前面的系数是严格正的，所以x=0或z=0。第二种选择（z=0）不满足其他方程，而前一种情况yieldsxopt=ωω=0，zopt=ωω=κ（Q+2Q+R）νQ+2νκQ+κR，（23）具有平方最优Sharpe ratioSopt=Q（1）- p）Q+2Q+R+κνQ+2νκQ+κR. （24）由于两个资产是不相关的，因此，根据公式（23），通过包含前导la g项，ω=0，无法获得额外信息。从本质上讲，ZOPT决定了最优投资组合中两种资产的权重，直到一个乘法因子。加上一个约束ω+ω=1，可以确定ω和ω是相对权重。当两个资产具有相同的特征（即σ=σ和β=β，其中ν=κ=1）时，等式（23）得出zopt=1，即bot h资产具有预期的同等权重。在这种情况下，最优投资组合的平方夏普比是sset:Sopt（κ=1）=2q（1）的夏普比的两倍-p） Q+2Q+R，符合多元化原则。在相反的极限κ=0时，第一项资产没有自相关性（β=0），因此基础TF策略是无利益的，因此被排除在投资组合之外：ω=zopt=0。One检索第二个资产的平方Sharpe ra io:Sopt（κ=0）=q（1-p） Q+2Q+R。

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nandehutu2022

2022-5-7 02:36:23

图1显示了最优投资组合中第一项资产的相对权重ω=100%zopt1+Zopto，以及作为κ函数的年度最佳Sharpe比率从0到1不等。对于波动率相同的两种资产（即ν=1），第一个资产负债表中较低资产的相对权重ω在0%到50%之间变化，而平方资产的相对权重则是预期的两倍。当第一个（不太可靠）资产的波动性增加两倍（ν=2）时，即使tκ=1，其相对权重也不超过10%，而夏普比率几乎没有改善（虚线）。反过来，如果不太可靠的资产组的波动性小两倍（ν=0.5），则其相对权重迅速增长，在κ处超过50% 0.18. lessvolatile资产的加入大大提高了夏普比率。使用Eqs。（23,24），我们可以研究波动率和自相关性对不相关资产的最优投资组合的相对影响。3.2. 不可区分的相关资产（κ=ν=1）为了揭示资产间校正的作用，我们考虑两个具有相同自相关离子结构（即κ=ν=1）的资产，这使得它们彼此不可区分。由于每项资产提供相同的预期TF回报，因此预计诊断权重相同：ω=ω。因此，我们研究了超前-滞后校正ω的最大值（这两种资产都是相同的），以及该交叉校正项带来的最佳端口的夏普比。在附录B中，我们导出了这个极小化问题的最优解：zopt=1，xopt=-Q（2ρε）- ρξ- ρερξ）+2Qρε（1）- ρξ）+Rρξ（1）- ρξ）Q（1）- 2ρερξ+ρε）+2Q（1）- ρξ）+R（1）- ρξ），（25）因为我们研究了增量利润和损耗δPt，所以方程式中的夏普比。

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2022-5-7 02:36:26

（11）描述投资组合在TF策略的一个时间步上的ris k调整回报。在许多交易平台中，TF策略每天都会实现（即每天更新一次）。同时，传统的做法是将每日夏普率重新调整为年化夏普率√在哪里√255是一个标准的预处理因素，日历年为255个工作日。为了快速掌握这种重新缩放，我们可以将一种年回报率为10%，年化波动率为10%的资产作为参考点，对应于夏普比率1。在系统对冲行业，从长期来看，只有少数基金的市盈率高于1[28,41,42]。0.2 0.4 0.6 0.8 1020406080100κ相对权重w11（%）（a）ν=0.5ν=1ν=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.511.522.5κ年化夏普（b）ν=0.5ν=1ν=2图1：最优投资组合中第一项资产的相对权重ω=100%zopt1+zopt1和年化最优夏普比率（a）√255 Sopt（b），与κ=β/β相比，对于不相关资产（即ρε=ρξ=0），β=0.1，β=κβ，λ=η=0.01，σ=1，σ=νσ，其中ν=0.5,1,2。平方最优夏普比isSopt=2q（1- p）(1 - ρξ)问题（1）- ρε）+2Q（1）- ρερξ）+R（1）- ρξ)+ 2Q（ρε）- ρξ)问题（1）- ρε）+4Q（1）- ρερξ）+R（1）- ρξ)×问题（1）- ρε）+R（1）- ρξ)+ 4Q（1）- ρε)(1 - ρξ）+4QR（ρε）- ρξ)-1.（26）在典型情况下，R<< Q（见等式（21）），如果ρε不太接近1，可以忽略与R的项，以获得更简单的近似关系：Sopt 第2季度（1）- p）一,- ρξ1 - ρεQ[1- ρε+ 2(ρε- ρξ)] + 2(1 - ρερξ）Q（1）- ρε）+4Q（1）- ρερξ) + 4(1 - ρξ).（27）为了评估包含超前滞后项的增益，可以将ω=ω和ω=0（即，没有超前滞后项）与式（19）中的夏普比S进行比较：S=q（1）- p） Q（1+ρε）+2Q（1+ρερξ）+R（1+ρξ）。

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2022-5-7 02:36:29

（28）图2显示了最优投资组合的xopt和夏普增益Sopt/Sof如何取决于两个相关系数ρε和ρξ。正如预期的那样，当ρερξ接近-1，例如，当随机趋势-101-101-1.-0.500.51ρξρε（a）xopt-101-1011234ρξρε（b）夏普增益图2：对于β=β=0.1，σ=σ=1，λ=η=0.01的两个不可区分资产，作为两个相关系数ρε和ρξ的函数的最佳超前-滞后权重比xopt=ω/ω（a）和夏普增益选择/S（b）。对于第二个图，两个相关系数都不同于-0.9到0.9，以排除ρε和ρξ在±1左右的不现实的大幅度增益。强相关（ρξ） 1）而噪声是强反相关的（ρε -1) . 这种极端情况表明，需要区分趋势和噪音之间的相关性。在传统的投资组合优化中，只有资产间的相关性才能起作用，这两种影响的明确分离是不可能的。因此，在此类模型中，利润率的显著增加可能会被忽略。同时，从财务数据中可靠估计两个相关系数仍然具有挑战性。为了更好地理解xopt和Sopt的行为，我们考虑了几种特殊情况：（i）当ρξ=±1（完全相关的随机趋势）时，得到xopt=±1，与ρε无关。如图2a所示，这种行为是不稳定的：取|ρξ|稍微小于1，就可以得到xoptonρε的依赖关系。（ii）当ρε=±1（完全相关噪声）时，得到xopt ±1，对ρξ的依赖性非常弱。与上述情况相反，该行为适用于所有接近±1的ρε（图2a）。（iii）当ρε=0（未相关的无ISE）时，一个结果xopt=ρξQ- R（1）- ρξ）Q+（2Q+R）（1-ρξ)≈ρξ1 + (1 - ρξ）Q，（29），其中在第二个关系中忽略了小项R。

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2022-5-7 02:36:32

在这里，我们可以看到相关趋势对不相关市场的影响。请注意，超前-滞后校正与tr末端相关系数ρξ具有相同的符号。（iv）当ρξ=0（不相关随机趋势）时，一个getsxopt=-ρε2Q（Q+1）Q（1+ρε）+2Q+R≈-ρε1 - (1 - ρε）Q2（Q+1），（30），其中在第二个关系式中忽略了带R的小项。人们可以看到相关噪音对具有独立趋势成分的市场的影响。与上述情况相反，超前-滞后校正具有与噪声相关系数ρε相反的符号。（v）当ρε=ρξ=ρ时，得到xopt=-ρ、也就是说，第一项资产的头寸应减少第二项资产的相对ρ，以便最大程度地消除它们之间的相关性。此外，平方最佳夏普比不依赖于相关性：Sopt=2q（1- p） Q+2Q+R.（31）换句话说，这种相关性不能提高最佳夏普比，但需要纠正TF策略以消除相关性的影响。这个案例特别有趣，因为它有助于表明静态分配在不引入超前-滞后校正的情况下是次优的。图3左栏中的曲线图进一步说明了两个不可区分资产上不同相关系数ρε和ρξ的TF策略最优组合的一些性质。两种资产都以相同的权重进行交易，ω=ω，即zopt=1。等式（25）中的最优超前滞后校正xopt=ω/ω，在ρε=-1（完全反相关噪声）至-ρε=1时为1（完全相关噪声），如图3a所示。下降率取决于ρξ。正如所料，当ρε=ρξ=0时，无需进行校正。

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2022-5-7 02:36:35

通常，水平线a txopt=0决定了相关系数f的集合，或者不需要超前-滞后校正项。图3c显示了年度最佳夏普比率√255个SOPT变化，相关系数ρε和ρξ。当ρε=0时，a nnalizedSharpe比率接近1（对于所选的自相关离子水平β=0.1），并且它弱地依赖于随机趋势相关性（ρξ）。反过来，当|ρε|>0.5时，这个比率会强烈增强，当ρε和ρξ的符号相反时，这个比率就会增强。相比之下，当两个相关性的符号相同时，年化最佳锐化率可能会降低。最后，当|ρε|接近1时，增强甚至更强，与ρε和ρξ的交互符号无关。然而，这一地区对市场来说似乎不现实。图3e说明了由于引入超前滞后校正项而产生的夏普增益Sopt/SDU。对于高度相关的资产（当|ρε| a和/或|ρξ| a再大时），这种收益是巨大的。正如预期的那样，增益总是大于（或等于）1，因为这是最佳解决方案。3.3. 两种不同资产的示例：κ=0.5为了进行比较，我们在图3的右栏中给出了两种具有不同随机趋势（β=0.05，β=0.1，即κ=0.5）的资产的类似数量。在本例中，自相关系数较低的第一项资产对TF策略的影响较小。虽然纳入第一项资产并不能改善平均收益和损失，但它仍然可以通过减少因多元化而产生的差异来提高夏普比率。图3f显示了最佳权重比zopt=ω/ω。当没有相关性（ρε=ρξ=0）时，等式（23）产生zopt≈ 0.40，即两项资产的相对权重分别为28.6%和71.4%（对于所选参数）。对于相关资产，最佳权重比可以小于或大于0.4。

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2022-5-7 02:36:38

例如，当ρε和ρξ都是同一符号时，FirstAsset的相对权重可以减少到几乎为零（zoptis接近于0）。相比之下，当|ρε|接近1时，两种资产必须包含几乎相同的权重（Zoptapproach 1）。图3b、d显示了最佳超前滞后校正xopt和年度最佳夏普比。这两个数量表现出与难以区分资产（左列）相似的特征。夏普增益也类似于耳肝病例（未显示）。行业模型上述分析可以扩展到多个资产。虽然理论上的解决方案是正式可用的，但大量的权重（g rowingas n（n+1）/2）使得其投资在总体上具有挑战性。同时，人们仍然可以通过标准优化工具进行数值最小化来确定最优解。在本节中，我们考虑一个市场部门的特殊情况，即所有资产的资产间相关性相同[15]。

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2022-5-7 02:36:42

我们还假设所有的r eturn都是通过-1.-0.5 0 0.5 1-1.-0.500.51ρεxopt（a）ρξ=-0.9ρξ = -0.5ρξ = 0ρξ = 0.5ρξ = 0.9-1.-0.5 0 0.5 1-1.-0.500.51ρεxopt（b）ρξ=-0.9ρξ = -0.5ρξ = 0ρξ = 0.5ρξ = 0.9-1.-0.5 0.5 1012345ρε年化夏普（c）ρξ=-0.9ρξ = -0.5ρξ = 0ρξ = 0.5ρξ = 0.9-1.-0.5 0.5 1012345ρε年化夏普（d）ρξ=-0.9ρξ = -0.5ρξ = 0ρξ = 0.5ρξ = 0.9-1.-0.50 0.5 10.511.522.533.54ρε夏普增益（e）ρξ=-0.9ρξ = -0.5ρξ = 0ρξ = 0.5ρξ = 0.9-1.-0.50.5 100.20.40.60.81ρεzopt（f）ρξ=-0.9ρξ = -0.5ρξ=0ρξ=0.5ρξ=0.9图3：两种不可区分资产（β=β=0.1，κ=1，左）和两种随机变量不同的资产（β=0.05，β=0.1，κ=0.5，右）的最优投资组合之间的比较：最优超前-滞后校正xopt=ω/ω（a，b），年化最优夏普比率√255 Sopt（c，d），Sharpe比率的增益Sopt/Sdue到超前滞后校正（e），以及最佳资产权重比率zopt=ω/ω（f）（注意，对于左侧不可区分的资产，zopt=1）。对于不同的ρξ，这些质量被表示为ρε的函数，我们设置σ=σ=1（即，ν=1）和λ=η=0.01。挥发性，即σj=1。换句话说，我们考虑噪声和随机趋势的协方差矩阵为beCε=1 ρερε... ρερε1 ρε... ρερερε1 ... ρε... ... ... ... ...ρερερε... 1., Cξ=1 ρξρξ... ρξρξ1 ρξ... ρξρξρξ1 ... ρξ... ... ... ... ...ρξρξρξ... 1.. （32）这些矩阵中的每一个都有两个特征值，ν=1+（n-1） ρ和ν=1-ρ.由于协方差矩阵必须为正定义，所有特征值均应为负，这意味着ρε≥ -1/（n）- 1） ρξ≥ -1/（n）- 1). 接下来，我们只考虑ρε≥ 0和ρξ≥ 0.当资产不可区分时（即βj=β），它们在TF策略的最优投资组合中的权重应相同，ωjj=ω，并且所有超前-滞后修正均相同：ωjk=ω，对于所有的j 6=k。

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2022-5-7 02:36:45

对于不可区分资产的这种特殊情况，未知权重的数量是从n（n）中推导出来的-1） /2到2，可以推导出分析解决方案，并研究其作为资产数量函数的行为。在附录D中，我们导出了最优解：xopt=ω=-五、- （n）- 1） ρξVV- （n）- 1） ρξV，（33）Sopt=nq（1）- p）（n）- 1） ρξV- 2ρξ（n）- 1） V+VVV- 式中V=Q（1+（n- 1） ρε）+2Q（1+（n）- 1） ρερξ）+R（1+（n）- 1） ρξ），V=（n- 1)Q（2ρε+（n）- 2） ρε）+2Q（ρε+ρξ+（n）- 2） ρερξ）+R（2ρξ+（n）- 2)ρξ),V=nQ（1+（n）- 1） ρε）+2Q（1+（n）- 1） ρε）（1+（n）- 1）ρξ）+R（1+（n）- 1) ρξ)- 五、- 2V。（35）虽然这些公式是明确的，但它们对于理论分析来说相当麻烦。对于n=2，检索秒的结果。3.2对于两项无法区分的资产。在下面的内容中，我们考虑几个特殊情况，以说明最优解的主要作用以及投资组合规模（资产数量）的作用。常规交易从没有铅滞后修正项（ω=0）的“常规”交易开始是有益的，公式（D.4）yieldsSn=n q（1- p） Q（1+（n）- 1） ρε）+2Q（1+（n）- 1） ρερξ）+R（1+（n）- 1)ρξ). （36）对于n=1，检索单个资产的平方夏普比：S=q（1- p） Q+2Q+R.（37）如果没有资产间相关性（ρε=ρξ=0），则SNN资产的Sharperatio SNN的平方将比单一资产的SFO大n倍：Sn=nS，这是由于多元化而产生的预期结果。在这种不相关的情况下，我们还找到了bexopt=0，Sopt=Sn（ρε=ρξ=0）=nS的最优解。（38）相关性的存在降低了多样化的影响，并降低了Sn。此外，对于大n，这种降低更为强烈。在接下来的内容中，我们表明，加入铅la g项可以恢复甚至进一步提高夏普比。

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2022-5-7 02:36:49

换言之，尽管差异性可能会因强相关性而减少，但它们的适当会计处理会使它们更加有利。4.2. 等趋势和噪声相关性（ρε=ρξ）对于ρε=ρξ=ρ，我们得到v=（1+（n- 1） ρ[Q+2Q+R]，V=（n）- 1）（2ρ+（n）-2）ρ[Q+2Q+R]，V=（n）- 1）（1+2（n）- 2） ρ+ρ（n）- 3n+3））[Q+2Q+R]。将这些表达式代入式（34），我们推导出xopt=-ρ1+（n）- 2） ρ，Sopt=nq（1）- p） Q+2Q+R=nS。（39）对于两种资产的情况，o pt imal Sharpe比率不依赖于相关性，而超前滞后项依赖于ρ。如前所述，可以将平方最优夏普比与Sn进行比较（即，在没有超前-滞后校正的情况下）：SoptSn=1+（n- 1)ρ. （40）可以看出，通过引入超前滞后项来解释相关性可能会显著增加夏普比率的平方。当n=1时，这种影响明显消失。请注意，即使是弱相关性也可以通过在投资组合中包含许多资产来增强。这种次要影响（除了增加Sn的投资外）有利于大型投资组合，这与基金经理的常见做法一致。4.3. 当ρξ=0时，不相关随机趋势（ρξ=0），等式。（33,34）yieldxopt=-VV，Sopt=nq（1- p） VVV- V.（41）图4说明了超前滞后校正xopt和年度化最优Shar-pe比率的相关性√255索普顿ρε。正如预期的那样，需要负的最佳超前-滞后校正来降低正的噪声相关性。较大的n需要较小的校正振幅|xopt |（图4a）。同时，每个资产都有n个- 1相同的超前-滞后校正（来自其他n- 1评估），使总修正值显示为（n- 1） xopt（图4b）。对于较大的n，总修正迅速达到水平-1，即使对于相对较小的ρε。

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2022-5-7 02:36:52

换句话说，当大量资产被交易时，即使是较小的资产间相关性，如果被忽略，也会显著降低夏普比率。因此，需要包括超前-滞后校正。为了了解极限值的快速逼近-1.一个人可以扩展（n）- 1）小参数1/（n）的xoptimenters- 1）在大n as（n）的极限下- 1） xopt -1+Q（1）- ρε）+2Q（1）- ρε）+RQρε（n）- 1） +O（n）- 1). （42）注意，这里的第一个修正项的数量级为1/（n）- 1).图4c显示了按资产数量计算的年度最佳夏普比率，√255 Sopt/√n、作为ρε的函数。当不存在相关性（ρε=0）时，该量不依赖于n，正如等式所预期的那样。（38），所有曲线都指向同一点√255秒≈ 0.788 5（对于0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.-0.8-0.6-0.4-0.20ρεxopt（a）n=2n=3n=5n=10n=500 0.20.40.60.81-1.-0.8-0.6-0.4-0.20ρε（n）-1） xopt（b）n=2n=3n=5n=10n=500 0.20.40.60.8100.511.522.53ρεSopt（255/n）1/2（c）n=2n=3n=5n=10n=50n=∞0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81ρεSn（255/n）1/2（d）n=2n=3n=5n=10n=500 0.2 0.4 0.6 0.8 10246810ρεSharpe增益（e）n=2n=3n=5n=10n=500 20 40 80 10001234n年度化每资产夏普（f）ρε=0（最佳）ρ=0.5（最佳）ρ=0.9（最佳）ρ=0（最佳）ρ=0.9（最佳）ρ=0（conv.）ρ=5n=5n=5n）conv=5n.conv=0- 1） xopt（b），即每一sset的年度最佳夏普比率，√255 Sopt/√n（c），即每项资产的年化对流夏比，√255锡/√n（d）和夏普增益Sopt/Sn（e），作为ρε的函数，对于n个不可区分资产，ρξ=0，βj=0.1，λ=η=0.01。最后一个图（f）显示了每资产的年度最佳夏普比率√255 Sopt/√n（行）和年化常规夏普资产比率√255锡/√n（符号）作为n的函数（所选参数集）。

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2022-5-7 02:36:55

当ρε增大时，年化最优资产收益率也单调增大。这与无铅滞后修正的常规交易的年度夏普每资产比率形成鲜明对比，√255锡/√n、如图4d所示。正如预期的那样，资产间相关性减少了多样性，从而减少了Sn/√n如果忽略超前滞后项。无花果的比较。4c和4d表明，资产间相关性可以通过引入超前-滞后项显著提高夏普比率。与传统观点相反，如果正确解释，这些相关性不是恶化的，而是有益的。图4e显示了夏普增益（即，最佳夏普比与常规夏普比之间的比率，Sopt/Sn），这是由于考虑了超前-滞后校正。对于较大的ρε和较大的n，这种影响尤其重要。与较早的情况ρε=ρξ的差异也值得一提，对于这种情况，每项资产的年度最佳夏普比率与n和相关性无关。换言之，噪音和随机趋势之间的资产间相关性相等，这并不能提供增加夏普比率和相关性的机会。反过来，噪声之间的相关性使TF策略能够更好地估计并消除它们的影响，从而增强随机趋势的贡献。有趣的是，图4c中不同n的曲线并不一致，这可能是不相关情况下的结果。资产数量n越大，资产的增长速度越快√255 Sopt/√n、换句话说，投资组合的夏普比率增长略快于√n、同时，这些曲线逐渐接近极限曲线，如n→ ∞画→∞Soptn=q（1）- p）问题（1）- ρε）+2Q（1）- ρε）+R.（43）该显式函数（由bla ck实线显示）精确地再现了中等n=50时每项资产的年度最佳夏普比率。

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可人4

2022-5-7 02:36:58

图4f显示了达到极限的快速方法，图中（通过线条）显示了每项资产的年度最佳夏普比率，√255 Sopt/√n、作为n的函数，这个量迅速饱和到一个恒定的水平，与n相反√255锡/√n.f指随着n逐渐减少的常规交易（用符号表示）。不相关噪声（ρε=0）另一种极限情况ρε=0更有趣。图5显示了最佳超前-滞后校正xopt，即年度最佳夏普比率资产，√255 Sopt/√n、年化常规夏普每资产比率√255锡/√n、和夏普增益Sopt/Sn，作为ρξ的函数。最佳超前-滞后校正xoptis正值（图5a），与两种资产情况相同。这一观察结果听起来可能有悖常理，因为人们可能认为需要负超前滞后项来纠正正相关的随机趋势。此外，一旦xoptis乘以n-1（图5b），我们可以清楚地看到，对于n=1000，超前滞后项确实为负（但对于小n和中等n，仍然为正）。最令人惊讶的是，对于小ρξ和大ρξ，n=10 00的超前滞后校正为正，而对于中间值，超前滞后校正为负。为了澄清这种情况，我们考虑了大n：（n）的最优超前滞后校正的渐近行为- 1） xopt -1+Q+2Q（1- ρξ）+R（1）- ρξ)ρξ(1 - ρξ）R（n）- 1） +O（n）- 1). （44）正如直觉所预期的，总的超前-滞后校正接近-1，对于前面的情况，ρξ=0，从秒开始。4.3. 尽管一阶修正项在极限n内消失→ ∞, 这个术语前面的系数更大，因为<< 问：因此，为了接近极限，你需要考虑成千上万的资产-1.与Sec之前的案例形成鲜明对比。4.3.

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2022-5-7 02:37:01

我们得出结论，对于目前的情况ρε=0，极限n中的渐近公式→ ∞ 没有用处，甚至在适用于中等数量的资产时可能会产生误导。特别是，我们在Sec的两个资产案例中发现了正的滞后修正。3.2.另一个令人惊讶的特点是，每个sset的年度最佳夏普比率的非单调行为，√255 Sopt/√n（图5c）。我们可以看到，对于少量资产（高达10），该数量随ρξ单调增长；对于中等n=50，该数量表现出非单调行为；对于非常大数量的资产（n=1000），该数量减少。此外，n=10的曲线位于n=50的曲线上方，与图4c形成鲜明对比。图4f也显示了这一点，图4f显示了与n函数相同的数量。然而，请注意，总的年化夏普比率，√255 Sopt，对于更大的n，仍然更高，因为fa cto r√n、换句话说，如果添加更多具有相关噪声（ρε>0）的资产，则夏普比的增加幅度甚至超过因子√n、增加更多具有相关随机t r端（ρξ>0）的资产可能会使夏普比率增加小于该系数√n、从图4e a和图5e的夏普增益比较中可以明显看出：对于相关随机趋势（ρξ>0），夏普增益是适度的（高达20%），即使在非常高的相关系数ρξ下；相比之下，对于相关噪声（ρε>0），Sharpegain非常大（系数10或更高）。n=1000时，每项资产的年化o Optima l Sharpe比率的下降可以通过考虑限制n来理解→ ∞, 为了什么→∞Soptn=q（1）- p）（1）- ρξ）Q+2Q（1）- ρξ）+R（1）- ρξ). （45）该极限函数（图5c中Black实线所示）随ρξ单调减小。对于f或xopt，接近极限的速度非常慢，因此极限曲线不能捕捉到中等大n的行为。

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kedemingshi

2022-5-7 02:37:04

我们得出结论，相关随机趋势的情况显示出一些违反直觉的特征，需要基金管理者特别注意。结论港口资产管理的多元化原则[15,16]要求投资尽可能多的不相关资产，以降低投资组合风险。同样的原则也适用于趋势跟踪投资组合。在典型情况下，每个TF策略的风险敞口由交易资产的早期回报决定，独立于其他资产。然后，调整每个策略的权重，以考虑资产协方差结构。在这种情况下，投资相关资产的风险更大，因此产生的风险调整回报率（或夏普比率）较小。然而，对相关性来源进行适当建模，可以作为一种更可靠地估计表观趋势的手段，更有效地调整TF投资组合，从而提高夏普比率。本文旨在定量分析这一事实。为此，我们引入了一个简单的高斯模型，在该模型中，每种资产的波动率标准化收益有两个贡献：模拟瞬时非信息价格波动的短程噪声（如每日），以及在较长时间尺度（如每月）上模拟TF稳定性的随机趋势。高斯假设允许我们分析得出投资组合收益和损失的均值和方差，从而明确地表述夏普比率最大化问题。对于两个资产和n个类似资产的部门模型，该问题通过分析解决，而一般来说，精确的数值解是可能的。如前所述，每个策略都应该包含来自其他策略的信息。

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可人4

2022-5-7 02:37:08

我们将每项资产投资视为线性组合0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.200.20.40.60.8ρξxopt（a）n=2n=3n=5n=10n=50n=10000 0.20.4 0.6 0.8 1-1012345ρξ（n）-1） xopt（b）n=2n=3n=5n=10n=50n=100000.20.40.60.81ρξSopt（255/n）1/2（c）n=2n=3n=5n=10n=50n=1000n=∞0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n最佳超前滞后校正（a），（n）- 1） xopt（b），即每一sset的年度最佳夏普比率，√255 Sopt/√n（c），即每项资产的年化对流夏比，√255锡/√n（d）和夏普增益Sopt/Sn（e），作为ρξ的函数，对于n个不可区分资产，ρε=0，βj=0.1，λ=η=0.01。最后一个图（f）显示了每资产的年度最佳夏普比率√255 Sopt/√n（行）和年化常规夏普资产比率√255锡/√n（符号）作为所有资产策略信号中n的函数。权重ωj，kre表示第j项资产投资的修正项，因为其与第k项资产相关。这个交叉校正或超前滞后项实际上与第k个策略信号成正比，其本身是第k个资产过去收益的线性组合。我们将这些增强策略形成的最优投资组合与单个策略的最优投资组合进行了比较。

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2022-5-7 02:37:11

我们的广义投资组合分配问题不是确定n个TF策略的权重（每个资产一个），而是以n个权重ωj，k进行操作。我们可以将其视为虚拟策略上的静态分配问题，包括n个常规的个人交易策略，加上n（n-1）超前-滞后策略，利用另一个资产过去的价格变化继续贡献于一个资产头寸。我们证明了当集合之间没有相关性时，这两种方法是等价的，并且最优权重矩阵ωj是对角的。然而，在存在资产间相关性的情况下，最优组合权重包含非对角项。因此，静态分配方案是次优的，而引入具有ωj、kmade资产间相关性的超前滞后项是非常有益的，正如我们在一个简单的两资产组合上所展示的那样。我们还研究了噪声（ρε）和趋势（ρξ）资产间相关性的各自作用。对这两种机制的单独解释是我们模型的一个新特点。当ρε=ρξ（即噪音和趋势的资产间相关性的相同结构）时，n个不可区分资产的最佳锐化率等于√n倍于一项资产的夏普比率，正如多元化所预期的那样。即使对于高度相关的资产，包含leadlag correctionωj，也会使该最佳Sharpe比率降低一倍，但在不相关资产的基准情况下，也不能表现得太好。反过来，当ρε6=ρξ时，由于统计上更可靠的估计，最优夏普比可能比基准情况下的夏普比大得多。由于短期价格波动和长期趋势背后的经济和金融机制可能非常不同，人们可以推测由于ρε和ρξ之间可能不匹配而隐藏的机会。

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