参数β是对代理人i的风险倾向性的一种度量，而参数δjr反映了对象j的吸引力。对于pij=βiδjw的随机二部图，我们有Csind=dXj=1P（deg（j）>0）=dXj=11.-qYi=1（1- βiδj）（4.10）0.0.2 0.4 0.6δ=（1,0.1,0.1,0.1,0.1）β（Cind1）1α0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 10.0 0.4 0.8 1.2δ=（0.1,1,1,1,1,1,1）β（Cind1）1α0.1 0.3 0.5 0.7 1图4:Rasch模型：（Cind1（β））1/α表示不同的α：黑色表示α=0.8，蓝色表示α=1，绿色表示α=1，红色表示橙色表示α=1.5。一个人呢≤ 我≤ q、 Ciind=dXj=1EAαij=dXj=1βiδjq-1Xl=0（l+1）-αXb∈{0,1}q，bi=1，kbk=l+1qYk=1，k6=i（βkδj）1{bk>0}（1- βkδj）1{bk=0}。（4.11）此外，根据命题3.5，大量未投保损失的可能性dXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αdXj=1qYi=1（1- βiδj）。我们讨论两种特殊情况。例4.5（代理人的统一风险倾向性）。取i中的pij=βiδj常数；i、 e.，pij=βδj。

然后，公式（4.10）和（4.11）简化了toCSind=dXj=11.- (1 - βδj）q一个人呢≤ 我≤ q、 Ciind=dXj=1EAαij=dXj=1βδjq-1Xl=0（l+1）-αQ- 1l（βδj）l（1- βδj）q-1.-l、 插图见图4，在左边的图中，我们假设一个市场情况，其中一个物体与所有其他物体相比具有明显的吸引力；我们选择δ=（1,0.1,0.1,0.1,0.1），而对于右图，我们的市场只有一个0。0.5 1.0 1.5α=3，β=（1,0.1,0.1,0.1,0.1）δ（Cindi）1α0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.0 0 0.4 0.8α=3，β=（0.1,1,1,1,1,1,1）δ（Cindi）1α0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1图5:Rasch模型：（Ciind（δ1/α=1）适用于不同的试剂，适用于不同的试剂，适用于不同的试剂，适用于不同的试剂。与其他非常有吸引力的事物相比，物体没有吸引力；我们选择δ=（0.1,1,1,1,1）。通过增加代理风险倾向性的参数β来增加网络的连通性，在最终减少曲线的意义上，在左侧曲线图中不会产生实际可观察到的风险分担影响。这与右图相反，在右图中，我们可以观察到α>1的风险分担的效益，因为大量的对象具有相同的吸引力，导致市场情况与同质情况非常相似。例4.6（物体的均匀吸引力）。取pij=βiδ常数，单位为j；i、 e.，pij=βiδ。然后，公式（4.10）和（4.11）简化了toCSind=dXj=11.-qYi=1（1- βiδ）一个人呢≤ 我≤ q、 Ciind=dXj=1EAαij=dXj=1βiδq-1Xl=0（l+1）-αδl（1）- δ） q-1.-lXb∈{0,1}q，bi=1，kbk=l+1qYk=1，k6=i（βk）1{bk>0}1.- βkδ1- δ1{bk=0}。图5给出了单变量情况的一些见解。

如果只有一个关键参与者在场，这个关键参与者将不会从风险分担中受益，而相对不活跃的群体中的参与者最终会从经验中受益。4.2.4度相关性有人可能想知道（1.4）中的常数是否可以用平均对象度的总和统计来描述，即使在网络增长的情况下也是如此。以下是=1 1 0 · · · 0 00 1 1 0........................0 · · · 0 1 1 00 0 0 · · · 1 11 0 0 · · · 0 1eA=1 1 01 1 00 1 1· · · 0.........0 · · ·1 1 01 1 00 1 1表4.1：两个邻接矩阵eA和eaexample表明情况并非如此。我们考虑两个不同的网络，它们是确定性的，d=q（即代理数等于对象数），由它们的（二部）邻接矩阵给出。表4.1中给出的相邻矩阵称为“安第斯”。为了我们的论证，我们假设Q可以被3整除。相应的随机相交图在确保相同对象的所有代理之间分配边。所以图是非常不同的，模型1有一个强连接的组件，而模型2分解为小的独立组件。直觉上，他们在风险传染方面也会有很大不同。然而，在这两种情况下，平均代理度和平均对象度都等于2——实际上，在模型1中，所有度都等于2。在我们的框架中，我们比较了单变量和多变量风险度量，其中单变量和多变量之间的差异体现在（1.4）的单变量和多变量网络常数中。

我们计算出ciind（eA）=21-α和ciind（eA）=-α+ 3-α如果i（mod d）=1,2,1+3-α如果i（mod d）=0，则个体风险常数不同。4.3多元化效益在本节中，我们将讨论网络环境中多元化效益的概念及其与网络连通性的关系。众所周知，对于i.i.d.随机变量X，Xq∈ R(-α） 如果α>1，则风险值为次加性，如果α<1:limγ，则风险值为渐近超加性→0VaR1-γ（X+··+Xq）VaR1-γ（X）+··+VaR1-γ（Xq）≤ 1如果α>1，limγ→0VaR1-γ（X+··+Xq）VaR1-γ（X）+··+VaR1-γ（Xq）≥ 1如果α<1，则α=1等于（可加性）（参见[22,26,27,38,42]）。然后d:=1- limγ→0VaR1-γ（X+··+Xq）VaR1-γ（X）+··+VaR1-γ（Xq）（4.12）被解释为一种多元化效益（参见[21,26]）。显然，在D>0的情况下，变量是渐近次可加的，在D<0的情况下，VaR是渐近超可加的，并且D=0相当于VaR的渐近可加性。也可以计算条件尾部预期的D，而不是风险值。根据引理3.8，Dis的表达式完全相同。在多元规则变化向量F的背景下，随机图结构引入依赖性，我们现在讨论该图结构对D的影响以及可加性问题。正如我们从命题3.7中认识到的那样，关于网络结构对个人和市场风险的风险价值和预期缺口的影响的见解，仅包含在（1.4）中给出的两个常数Ciind和Csind中，我们现在只关注1-范数。

使用as表示法计算数量（4.12）（U表示单变量设置，S表示系统设置之前的设置）CUind:=qXi=1Ciind1/α=qXi=1dXj=1EAαij1/αSD=1- limγ→0VaR1-γ（kF k）Pqi=1VaR1-γ（Fi）=1-发现1/αCUind。（4.13）因此，对于给定的尾指数α，D不取决于常数CUindand的绝对大小发现1/α，但取决于它们的比率。不幸的是，在可用的网络结构方面，既没有对uindor CSindin的特别解释，也不能简单地进行计算，尤其是当维度较高时；但是命题4.1中的泊松近似-1-0.50.0 0.5股息收益。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1（a）均质模型-1-0.5 0.0 0 0.5分收益。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1（b）玩具模型图6：不同尾部指数α的差异效益：橙色表示α=1，蓝色表示α=5，绿色表示α=3，红色表示α=0.8，黑色表示α=0.7。如果边缘概率不太大，可以使用。对于r=1的玩具模型（4.8），我们计算了r=1-1/α3（1+b（21-α- 1） +b（21）-α- 1） +b（31）-α+ 1 - 22-α))1/α.该数量在图6中绘制为b的函数，这表明，当α<1时，该数量在b中增加，当α>1时，该数量在b中减少，尽管一直为负值。这意味着，VaR是可加的，但对于b=1，它是可加的。拉什模型的数量D如图7所示；这种行为在性质上是相似的，但在这两个例子中，D并没有达到0。在第4.2节中，我们用常数（1.4）和（1.5）解释了风险（小常数意味着小风险），现在我们重点讨论（4.13）中对多元化效益的定义。

我们所有的例子都有一个共同的特点，即网络连通度的增加意味着在α<1的情况下D增加，在α>1的情况下D减少。这是一个简单的结果，即分子中的量在α中总是减少，而分母中的量在α>1时减少，在α<1时增加。这意味着对于α<1，D的增加很小，而对于α>1，分子和分母的增加方向相反，在我们的例子中导致了微弱的减少。在α=1的情况下，网络中所有连接度的差异收益均等于0。如果连接度达到最大值；i、 例如，在完全二部图的特殊情况下-1-0.50.0 0.5 1.0德尔塔迪夫收益0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1（a）固定代理向量-1-0.50.0 0.5 1.0贝塔迪夫收益0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1（b）固定对象向量图7：拉什模型：不同尾部指数α的差异效益：橙色表示α=1，蓝色表示α=5，绿色表示α=3，红色表示α=0.8，黑色表示α=0.7。固定向量在两种情况下都是（0.1,0.3,0.5,0.7,0.9）。每个代理以概率1为每个对象提供保险，VaR是渐近可加的。的确发现1/αCUind=Pdj=1qαk（1，…，1）>kα1/αPqi=1Pdj=1qα1/α= 1. （4.14）4.4 r-范数和拟范数的问题在最后一小节中，我们讨论了1-范数的选择，并指出了替代选择。本讨论基于[18]、[30]和[36]中提出的系统性风险公理框架。该一般框架假设多变量风险F=（F，…，Fq）的系统风险度量ρ可以表示为具有聚合函数∧：Rq的单变量（单因素）风险度量ρ的组合→ Rq，所以ρ=ρo Λ.

这里，ρ通常被认为是凸的、单调的和正1-齐次的；典型的例子是单变量风险值和连续尾部预期指标。虽然聚集函数∧的详细条件各不相同，但一致认为∧对于a>0应满足∧（ax）=a∧（x）且∧（（1，…，1）>）=q。最后一个条件是满足的，例如∧=k·k 1-范数，但对于范数或拟形式kxkr=（Pqi=1 | xi r）1/rf对于0<r<1或r>1，则不满足。这里我们简要地讨论了0<r<1或r>1的情况。对于单调ρ，q<k（1，…，1）kr表示0<r<1，而q>k（1，…，1）kr表示1<r≤ ∞. 尽管InInd和CSindin（1.4）以及Cidepand CSdepin（1.5）的常数仍在定义中，但它们可能会增加得更快，或0.2 6α=0.8p（CindS）1α0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.4 0.8 1.6α=3p（CindS）1α0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8图8：同质概率：（CSind）1/α：黑色为不同标准，红色为0.7，红色为r=10，红色为r=10，当使用1-范数作为聚合函数时，与常量相比，随着个体风险数量的增加，最大范数的绿色分别增长较慢。这种效应可以用来解释一个假设，即在更大的市场中，风险可能不会严格地与规模成正比地增加，因此可以使用r>1来证明这一点。类似地，一个小型市场，其中监管机构可能会争取比风险总和更多的风险资本，或者监管机构希望防范来自不同机构的道德风险，可能会建议用户<1。然而，如第3.2节所述，对于r>1，这样的风险度量允许监管套利！即使代理人没有为任何损失投保，也可以通过将损失分摊给更多的代理人来减少损失，从而导致对风险度量的错误解释。因此，如果r>1，则应谨慎使用。

图8显示了同质模型下不同规范的风险常数。事实上，r>1的风险随着p的增加而降低，这发生在r>1之后-r>1的标准有利于多样化。我们强调，允许这种差异化效应的相同机制允许将其解释为监管套利的可能性。作为一种补救措施，我们建议修改加权邻接矩阵a，合并这样的权重Wijin（1.2）以满足kAijVjkr=Vj。这里我们集中讨论r>1的情况。选择Wij=deg（j）1-1/3.JVJKR=qXi=1Vrj1（i~ j） 度数（j）1-R1/r=Vj。（4.15）在该设置中，对于r>1，每个代理的风险比例乘以deg（j）r。这意味着代理为一个对象投保的越多，风险就越大。这个设置可以作为一个模型，当一些代理因为巨大的风险而违约时，幸存的代理将接管违约代理的风险。

这种类型的合同关系是现实的，在德国再保险池或德国核保险池中也有类似的实施（见[19]第131页）。对于（4.15）和r>1，单个常数的形式为Ciind=dXj=1KjE度数（j）1-1/r1（i）~ j）α和Cidep=EdXj=1K1/αjdeg（j）1-1/r1（i）~ j）α.此外| | Aej | | r=Pqi=11（i）~ j） （deg（j））r-1.1/r=deg（j），因此CSind=dXj=1Kjdeg（j）α，Cstep=EqXi=1（dXj=1K1/αjdeg（j）1-1/r1（i）~ j） ）rαr.与（4.1）、（4.2）和（4.3）相比，所有四个常数现在都在度deg（j）中增加，对于系统常数来说，度的大小超过了它们是否为0。这一观察结果与我们之前的结果形成对比，并说明必须非常谨慎地遵循规范，以反映系统的相关特征。致谢OK和CK感谢剑桥艾萨克·牛顿数学科学研究所“系统风险：数学建模和跨学科方法”项目的邀请，该研究所出色的工作条件极大地促进了该项目的开展。我们还要感谢参加同一个项目和各种讨论的同事们，这有助于澄清我们的想法。GR感谢EPSRC grant EP/K032402/1以及牛津马丁学院资源管理项目的支持。所有作者都要感谢推荐人的评论，这些评论使论文有了实质性的改进。参考文献[1]T.Adrian和M.K.Brunnermeier。科瓦尔。工作文件17454，国家经济研究局，2011年10月。[2] H.阿米尼和A.明卡。不均匀的金融网络和具有传染性的联系。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=2518840 orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2518840, 2014.[3] B.Bollob\'as、C.Borgs、J.Chayes和O.Riordan。有向无标度图。

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