假设T>T′cCELt[1/πT]<ELt[CT]ELt[CT/πT]<cCELt[1/πT]。因此日志ELt[CT]ELt[CT/πT]/ 对数（T- t） 概率收敛到γ。（ii）可以类似地证明。定理3.5的证明。根据假设和等式（3.8），我们可以通过将概率测度改为G:ρLt，T（GT）=λ+T来写- tlogEGt[πT/πGT]πtEGt[1/πGT].根据假设，我们立即得到等式（3.9）。离散时间环境我们将展示Alvarez和Jermann（2005）在离散时间环境中的结果如何自然地嵌套在我们的定理3.1和3.2中。Alvarez和Jermann（2005）在离散时间内使用定价核St，t=0，1。。。，并做出以下假设（在Pt+τ以下是时间t+τ到期的纯贴现债券的时间t价格和单位面值，其中t，τ=0，1，…）。假设B.1。（Alvarez和Jermann（2005）假设1和2）（i）存在一个常数λ，使得0<limτ→∞eλτPt+τt<∞ 几乎可以肯定的是，对于所有t=0，1。。。。（ii）对于每个t=1，2。。。存在一个随机变量XTEPT-1[xt]<∞ 例如eλ（t+τ）StPt+τt≤ 对于所有τ=0，1，…，几乎可以肯定。。。。任何离散时间自适应过程都可以嵌入到连续时间半鞅中，如下所示。对于离散时间过程（Xt，t=0，1，…），定义一个连续的时间过程≥0这样，在整数倍时，它与离散时间过程X的值相同，并且在整数倍之间是分段常数，即Xt=X[t]，其中[t]表示t的整数部分（floor）。该过程具有RCLL路径，是一个半鞅（它具有有限的变化）。下面的结果表明，命题1 inAlvarez和Jermann（2005）嵌套在定理3.1和3.2中。B.1提案。考虑离散时间正定价k ernel（St，t=0，1，…）带EP[St+τ/St]<∞ 对于所有的t，τ。假设纯di-s计数键Pt+τt=EPt[St+τ/St]满足假设B。1.

然后给出相应的连续时间正半鞅定价核（~St）t≥0满足定理3.1和定理3.2中的条件，因此，定理3.1和定理3.2中的所有结果都成立。命题B.1的证明。我们首先证明等式（3.1）是满足的。我们首先考虑t和τ的整数值。通过一个假设（ii），我们有stpt+τtPt+τeλ（t+τ）Pt+τ≤ xt。回想一下mt+τt=EPt[St+τ]EP[St+τ]=StPt+τtPt+τ表示t，τ≥ 因此，我们有mt+τteλ（t+τ）Pt+τ≤ 对于t，τ≥ 0.根据假设（i），eλtptha是一个正的有限极限，如T→ ∞ . 因此，存在一个常数c>0，使得所有T的eλTPT>c。因此，Mt+τt≤ C-福特，τ≥ 0.此外，对于所有t，τ≥ 我们可以写出emt+τt=StPt+τtPt+τ=eλtSteλτPt+τteλ（t+τ）Pt+τ。根据假设（i），limτ→∞Mt+τ几乎肯定是正的。我们称之为M∞t、 自Mt+τt≤ C-Xt和Xt是可积的，根据支配收敛定理，我们得到了Mt+τt→ M∞tin Lasτ→ ∞ 对于每个固定整数t=0，1。。。。现在我们考虑t和τ的实值，并回顾我们将离散时间自适应过程嵌入到具有分段常数路径的连续半鞅中的过程。对于每个实t和τ，我们有Mt+τt=MNn，其中n，n是两个整数，这样t∈ [n，n+1）和t+τ∈ [N，N+1）。因此，Mt+τt→ M∞tin Lasτ→ ∞ 对于每个固定的真实t≥ 0.这证明了等式（3.1）。PT-t/ptt对所有t>0收敛是eλtpt对所有t>0收敛这一事实的简单结果。C第4项的证明我们首先证明了假设5.1下债券定价函数P（t，x）的以下可测性。引理C.1。如果定价核心标准满足假设5.1，那么债券定价函数P（t，x）=EPx[St]相对于B（R+）是可共同测量的 E*, 其中b（R+）是R+，E上的Borelσ-algeb ra*是E上普遍可测集的σ-代数（见Sharpe（1988）第1页）。证据设Pn（t，x）=EPx[St∧ n] 。

Chen和Fukushima（2011）练习A.1.20固定t Pn（t，x）为E*-可测量的由于sti是右连续的，根据固定x的有界收敛定理，函数Pn（t，x）在t中是右连续的。因此，在[0，1）×E上，我们可以写出：Pn（t，x）=limm→∞Pnm（t，x），其中Pnm（t，x）：=mXi=1[（i-1） /m，i/m）（t）Pn（（i）- 1） /m，x）。（C.1）因此，在[0,1）×E上，函数Pnm（t，x）相对于B（[0,1]）是可联合测量的E*. 同样地，我们可以证明Pnm（t，x）对于B（R+）是联合可测的E*. 根据等式（C.1），Pn（t，x）也可以相对于B（R+）进行测量 E*.由于Stis是可积的，由控制收敛定理limn→∞Pn（t，x）=P（t，x）。因此，P（t，x）也可以相对于B（R+）共同测量 E*.接下来我们证明以下结果。引理C.2。假设PK S aties假设5.1和等式（3.1）对每个x都适用∈ E.然后对于每个t>0和x∈ 我们可以写一篇长篇大论∞t（x）=b∞（t，x，Xt）>0（C.2）Px，其中b∞（t，x，y）是一个普遍可测量的y函数，适用于每个固定的t>0和x∈ E.证据。长期债券B∞t（x）是第3节定义的过程BTt（x）的ucp极限。对初始状态X=X的依赖性来自于在定义BTt的时间零点除以初始债券价格P（0，X）。对于每个t>0和x∈ E、 随机变量BTt（x）=PTt（x）/PT（x）=P（T- t、 Xt）/P（t，x）带t≥ t转化为B∞t（x）as t→ ∞ 在概率上。引理C.1，P（T）- t、 P（t，x）是σ（Xt）-可测的（x）被视为一个随机元素，取E中的值，与σ-代数E相等*, 因此σ（Xt）是由普遍可测集的逆生成的。它的概率极限是B∞t（x）也可以是σ（Xt）-可测的，通过doob-Dynkin引理，我们可以把它写成b∞（t，x，Xt），其中对于每个固定的t>0和x∈ E、 b∞（t，x，y）是y的一个普遍可测函数。

通过引理，对于每个t>0和x∈ E随机变量P（T）- t、 Xt）/P（t，x）收敛到ra-ndom变量b∞（t，x，Xt）在Px下的概率。在理论上。1，我们将其加强为函数P（T）的整体收敛- t、 y）/P（t，x）asT进入完整性，即对于每个t>0和x，y∈ E:limT→∞P（T）- t、 y）P（t，x）=b∞（t，x，y）>0。（C.3）现在我们准备好证明定理4.1。定理4.1的证明。通过引理C.1，P（t，x）与B（R+）共同可测 E*. 因此，通过等式（C.3），P（T- t、 y）/P（t，x）对于B（R+）是完全可测的 E* E*. 因此，函数b∞（t，x，y）也可与B（R+）的响应共同测量 E* E*.对于任何t，s>0和x，y，z∈ 我们可以写：b∞（t+s，y，z）=limT→∞P（T）- t、 z）P（t+s，y）=limT→∞P（T，x）P（T+s，y）P（T- t、 z）P（t，x）=b∞（s，y，x）b∞（t，x，z）。（C.4）取式（C.4）中的x=y=z，我们有b∞（t，x，x）b∞（s，x，x）=b∞（t+s，x，x），这意味着对于每个固定的x∈ E b∞（t，x，x）满足Cauchy的乘法函数方程作为时间的函数。自从b∞（t，x，y）相对于B（R+）是可联合测量的 E* E*, 对于固定x ln b∞（t，x，x）相对于toB（R+）是可测量的。众所周知，满足柯西函数方程的Borel可测函数是线性的。因此，我们有b∞（t，x，x）=eλL（x）t.再次通过等式（C.4），对于任何x，y∈ 我们有∞（2t，y，x）=b∞（t，y，x）b∞（t，x，x）=b∞（t，y，y）b∞（t，y，x），我们有b∞（t，y，y）=b∞（t，x，x）。因此，λL（x）独立于x。在等式（C.4）中，Takingy=x，我们有b∞（t+s，x，z）=eλLsb∞（t，x，z）。因此，e-λLtb∞（t，x，z）独立于t.Fix∈ E和定义πL（x）：=E-λLtb∞（t，x，x）。它独立于t和xis。根据等式（C.4），b∞（t，x，x）b∞（t，x，x）=b∞（2t，x，x）=e-2λLt.因此，b∞（t，x，x）=eλLt1/πL（x）。

最后，我们有了B∞（t，x，y）=b∞（t/2，x，x）b∞（t/2，x，y）=eλLtπL（y）πL（x）。通过等式（C.2），我们得到了b∞t（x）=eλLtπ（Xt）π（x）。πLis是具有特征值e的定价算子ptr的特征函数-λltf表示M∞t=StB∞这是一个鞅。因此，我们用与本征函数πL相关的本征测度来确定长前向测度，然后确定L=QπLthus。备注C.1。我们注意到这里的设置与秦和林茨基（2016）的设置之间的差异。在这里，我们不假设定价op era t或mapsBorel函数提前到Borel函数。由于长键eλLtπL（Xt）πL（x）是一个右连续半鞅，C,inlar等人（1980）给出的函数π局部表示两个1-过量函数的差。对于一个Borel-right过程，它的过度功能通常只能是普遍可测量的，但不一定是Borel可测量的。因此，上述本征函数πLwe-find也不一定是Borel可测的，而是普遍可测的。因此，在从数据生成度量到长前向度量的度量变化之后，在L=Qπ下，马尔可夫过程X可能不是一个相对正确的过程，但它是一个正确的过程。如果我们明确假设定价算子将Bor-el函数映射为Borel函数，就像Qin和Linetsky（2016）所做的那样，那么本征函数πLis自动Borel和X在QπL下是Borel-right过程。在这里，我们选择了这个稍微更一般的设置，以便不对定价核施加进一步的限制。定理4的证明。2.设QπR（t，x，·）表示x在QπR下的跃迁测度∞t=MπRt，与循环本征函数相关的鞅。

然后，这将eλRtπR（Xt）πR（X）与长bo nd B识别∞我们注意到，对于任何估值过程V，条件（3.1）可以写在任何由QV | Ft=StRV0，tP | Ft:limT定义的局部等效概率测度QVde下→∞EQV[| BTt/Vt- B∞t/Vt |]=0。（C.5）我们可以利用这种自由选择方便的测量方法或手头的设置。在这里，我们选择在QπR下验证它，也就是说，我们将在QV=QπR下验证等式（C.5），并使用它的方便形式。SincePTt=e-λR（T）-t） πR（Xt）EQπRXt[πR（Xt）-t） 我们有-λRtPTtπR（X）PTπR（Xt）=EQπRXt[πR（Xt）]-t） [EQπRX[πR（XT）]。设J:=RE（dy）πR（y）（由假设4.2确定）。由于等式πRx[πR（Xt）]=ZEQπR（t，x，dy）πR（y），通过等式（4.5）我们得到了t- T≥ t:J-cπR（Xt）e-α（T）-（t）≤ 等式πRXt[πR（XT-t） ]≤ J+cπR（Xt）e-α（T）-t） ，（C.6），对于每个初始状态X=X∈ E和T≥ 最大值（T，T+T）：J-cπR（x）e-αT≤ 等式πRx[πR（XT）]≤ J+cπR（x）e-每个x的αT（C.7）∈ 对于T来说，存在一个Tsuch≥ T、 cπR（x）e-αT≤ J/2。我们可以为每个x写∈ E:-1.≤ E-λRtPTtπR（x）PTπR（Xt）- 1.≤JcπR（Xt）e-α（T）-t） +cπR（x）e-αT,因此E-λRtPTtπR（x）PTπR（Xt）- 1.≤JcπR（Xt）e-α（T）-t） +cπR（x）e-αT+ 1.因为对于每个t，Ft可测随机变量πR（Xt）在每个x的Qπrxf下是可积的∈ E、 对于每个t，Ft是可测量的随机变量E-λRtPTtπR（x）PTπR（Xt）- 1.被一个可积随机变量所限定。此外，根据等式（C.6）和（C.7），limT→∞E-λRtPTt（ω）πR（x）PTπR（Xt（ω））- 1.= 每ω0。因此，通过支配收敛定理，等式（C.5）用B进行验证∞t=eλRtπR（Xt）πR（X）。参考。阿尔瓦雷斯和U·J·杰曼。用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《特里卡经济》，73（6）：1977-2016年，2005年。N.H.宾厄姆、C.M.戈尔迪和J.L.泰格尔。规则变化，第27卷。剑桥大学出版社，1989年。E.C,inlar、J.Jacod、P.Protter和M.J.Sharpe。

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