,联合国大学和一个消失的短期利率rt“0在本节中，并将我们自己置于第5节的背景下。其想法是考虑一个无套利过程X，并研究无套利双随机期限结构模型，其中默认指标过程H“1tdτu的补偿器由HPT”ztKφpsq`ψpsqJKXs ds`n"yi”1těuiu\'1KφiKψJi Xui给出。（35）为了确保Hpis不递减，我们将要求φpsq`ψpsqJ¨Xsě0用于allě0，φi`ψJi¨Xuiě0用于all i“1，…，N。我们将自己置于第5节的双随机集中，并额外假设概率空间pOhm, G，pGtqtě0，Qq携带d维布朗运动W，pGtqtě0由W生成，通常由空集增广。这里不需要额外的点过程，这一点很快就会清楚。在这方面，考虑一个标准形式的状态空间X“Rmě0^rnm，ně0m`n”d和一个d维布朗运动W。让u和σ在X上定义为upxq“ud"yi”1xiui，（36）σpxqJσpxq“σd"yi”1xiσi，（37）其中u，uiP Rd，σ，σiP Rd^d，对于所有i P t1，…，du。我们假设参数ui，σi，i，i，i“0，…，d在[20]中定理10.2的意义下是可容许的。那么随机微分方程dxt”upXtqdt`σpXtqdWt，X”X，（38）的连续唯一强解是状态空间X上的一个有效过程X，参见[20]中的第10章详细说明。如果存在函数a:Rě0^Rě0^R，B:Rě0^Rě0ěRěRěRd，则我们称债券价格模型为a。根据假设2.1，我们假设Ap，Tq和Bp，Tq是右连续的。此外，我们假设TThaApt和Tq是右导数。

以下命题给出了充分条件，使得一个简单的广义默顿模型是无套利的。提议6.1。假设φ：Rě0ěR，ψ：Rě0ěR是连续的，ψpsq′ψpsqJ¨xě0适用于所有sě0和x P x以及常数φ，φnP R和ψ，ψnP rdx满足φi′ψJi¨xě0对于所有1didn和x P x。此外，假设函数A:DEFAULTABLE TERM STRUCTURE Modeling 21Rě0^Rě0ěR和B:Rě0ěRě0ěR是APT的唯一解，Tq“0Apui，Tq”Apui，Tq\'φi\'B\'tApt，Tq”φptq\'uJ¨Bpt，Tq¨Bpt，Tqj¨σ¨Bpt，Tq，（40）和Bpt，Tq“0Bkpui，Tq”Bkpui\'，Tq¨ψi，k\'B\'tBkpt，Tq”ψ0，kptq¨Bpt，Tqj¨k¨Bpt，Tq，（41）对于0dT，Tq，Tq“0Bkpui，Tq”，Tq”Bkpui，Tq“Bkpui，Tq”Bkpui，Tq”Bkpui，Tq”Bkpui，Tq，Tq¨Bkpui，Tq¨Bkpui，Tq¨T¨Tq¨“zTtapt，uqdu\'"yi:uiPpt，tsφiBpt，tq”Ttbpt，uqdu\'u255; i:uiPpt，tsψi与适当的函数a和带apt，tq”φptq以及bpt，tq”ψptq。将（39）与（24）进行比较，得出以下结果：一方面，对于T“uiP U”，我们得到f pt，uiq“φi`ψJi Xt”。因此，计算（9）中的系数apt，tq和bpq“ψJi¨upXtq和bpt，uiq”ψJi¨σpXtq。另一方面，对于tru，我们得到fpt，tq“apt，tq`bpt，tqj¨Xt。然后，系数apt，tq和bpt，tq可以用它的公式计算，即apt，tq”Btapt，tq`Btbpt，tqj¨Xt`bpt，tqj¨pxqbtt，tq”bpt，tqt，tq“bpt，T，tqq”bpt，T，T，tqqqt，T，tqt，T，T，tqt，T，T，T我们注意到，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们从（42）中得到的，我们得到，我们从（42）中得到，我们从（42）中得出）的）的，我们得到，我们从（42）中得到，我们从中得到的，我们的，我们得到，我们从中得到，我们的，我们从中得到，我们的，我们的，我们的，我们从中得到，我们的，我们的，我们的，我们从（42）中得到，我们得到，我们的，我们从（42）的）的，我们的，我们从从T q“zTtbpt，uquMpduq”zTtbpt，uqdu\'"yuiPpt，T sψJi¨σpXtq“0dTdTdT的Bpt，T qJ∑pxtq。

我们现在表明，在我们的假设下，漂移条件（26）（27）成立：首先，假设2.1是满足的。通过等式（40）、（41）和效率规范（36）和（37），观察漂移条件（27）成立。此外Hpuiq“φi`ψJi–Xui22 FRANK GEHMLICH和THORSTEN SCHMIDTand hpsq”φpsq`ψpsqJ–Xsby（35）。我们恢复了Hpui“Γi”1'expp'φi'ψJi¨xuiq假设取r0，1q的值。因此，（26）成立，索赔如下。例6.1。在一维情况下，我们考虑X，作为xt“pu`uXtqdt`σaXtdWt，tě0的解给出。为了简单起见，我们假设u“1和N”1存在一个单一的风险时间，1，并选择uMpduq”δpduq。此外，让φ“0，ψ”1以及φ“0和ψě0“ztXsds`1ttě1up1\'e'ψXq。因此，在1之前的时间1没有违约的概率由e'ψX给出，比较例2.1。可以通过根据命题6.1选择A和B来获得无套利模型，可以使用[20]中的引理10.12立即实现（具体参见CIR短期利率模型的第10.3.2.2节）：表示θ”Au`2和lptq“2peθt\'1q，Lptq”θpeθt\'1q`upeθt\'1q，Lptq“θpeθt\'1q，Lptq”σpeθt\'1q。然后apsq“2μσlog\'2θepσ'uqtLptq”，Bpsq“\'lptqlptq是边界条件为bp0q“0”和边界条件为Ap0q“0”的Riccati方程B“σB'ubw”的唯一解对于0dtdta1，命题6.1的条件成立。同样，对于1dtdt，选择Apt、tq“Aptdtq和BpT，tq”BpTatq再次意味着（40）和（41）的有效性。

另一方面，对于0dta1和tě1，我们根据（41）和letApt设置t q“Bp1，t q`ψ”BpT`1q`ψ，t q”2σlog`2θepσ'uqp1'tqplp1'tqp1'tqupT，t q'Lp1'tqp1'tqupp1'tquptqp1'tqupT，很容易看出（40）和（41）在这种情况下也是令人满意的，尤其是Ap1，T q“\'φ”0和Bp1，注意，当X是连续的时，债券价格不是随机连续的，因为它们几乎肯定会在u处跳跃“1.我们通过命题6.1得出结论，这一有效模型是无套利的。7.结论在本文中，我们研究了一类新的具有信用风险的动态期限结构模型，其中违约时间的补偿器可能在可预测的时间跳变。这扩展了现有理论，并允许在一个简化形式的模型中包括许多结构性方法，如默顿模型，用于定价cr编辑衍生品。如果（违约）风险时间，即违约发生的可预测时间具有正概率，甚至是确定性的，我们在一类广义默顿模型中研究了这一点，则可以获得更易处理性。违约期限结构模型23最后，我们提供了一类新的高度可处理的有效模型，这些模型仅是分段随机连续的。参考文献[1]Artzner，P.和Delbaen，F.（1995），“违约风险保险和不完全市场”，数学金融5（3），187-195。[2] B\'elanger，A.，Shreve，S.E.和Wong，D.（2004），“pricingcredit风险的一般框架”，数学金融14（3），317-350。[3] Bielecki，T.和Rutkowski，M.（2002），《信用风险：建模、估值和对冲》，斯普林格·韦拉格。柏林海德堡纽约。[4] Black，F.和Cox，J.C.（1976），“公司证券的估值：债券契约条款的一些影响”，《金融杂志》31351–367。[5] Br’emaud，P.和Yor，M.（1978），“过滤和概率度量的变化”，Z.Wahrsch。没错。

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