Mazur引理和Krein-Smulian定理的随机版本

2022-5-7 04:15:41

郭，在L-模结构下广泛研究泛函分析中的定理；首先，考虑关于L-半形的随机收敛拓扑，参见[14,15,16,18]，以及后来由Filipovic等人[9]引入的局部L-凸拓扑，以及两者之间的联系，参见[17,19,21,22]。同样值得注意的是，Eisele和Taieb[8]将泛函分析中的一些定理推广到环L上的模∞.用标量代替R意味着一些困难。例如，Lneither是一个域，也不具有总序，而且局部L-凸拓扑缺少0的可数邻域基∈ L.在其他困难中，这就是为什么在L-模的结构下，从泛函分析中证明定理的论点经常失败的原因。*穆尔西亚大学，Dpto。Matem\'aticas，30100西班牙穆尔西亚埃斯皮纳多，电子邮件：jmzg1@um.es+作者感谢匿名审稿人对手稿的仔细审查。由于这个原因，许多著作经常在代数结构或拓扑结构上考虑额外的“稳定性条件”或“可数串联性质”，参见[9,17,29]。例如，在[29]中引入了相对稳定子集的概念（在[29]中，这种子集被称为可数连接下的闭子集），以便提供拓扑由一系列L-半形诱导的拓扑L-模的特征。本文的目的是证明局部L-凸模中泛函分析的一些相关结果。首先，我们将证明L-赋范模的Mazur’slemma的一个随机版本，其运算和保持子集的相对稳定性。其次，我们提供了KreinˇSmulian定理的随机版本。

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2022-5-7 04:15:44

从[4]和[12]中可以清楚地看出，风险度量或风险评估的一些基本定理依赖于克莱恩-斯穆利定理。此外，这个经典结果在资产定价的基本定理中起着关键作用（见[5]）。因此，我们认为，这一结果可能会导致在动态时间配置中的财务应用。在文献中，我们有一些相关的结果：Mazur的早期版本可以在[18，推论3.4]中找到，但在随机收敛的拓扑中。关于L的KreinˇSmulian定理∞-模块可在[8]中找到。此外，条件局部凸空间的KreinˇSmulian定理可以在[7]中找到，具有不同的策略证明和强稳定性。本手稿的结构如下：第1节专门介绍注释和序言。在第二节中，我们证明了Mazur引理的随机版本。第三节致力于证明KreinˇSmulian的随机版本。为了方便读者，让我们列出一些注释。设一个概率空间(Ohm, F、让我们考虑一下(Ohm, F、 P），或者简单地说是L，实值F-可测随机变量的等价类集合。众所周知，三重五十、 +,·被赋予几乎确定优势的部分序的是一个格序环。我们将遵循识别随机变量及其等价类的常见做法。对于给定η，ξ∈ 五十、我们将写“η”≥ ξ“如果P（η）≥ ξ） =1，同样，如果P（η>ξ）=1，我们将写出“η>ξ”。我们还定义了L+：=η ∈ Lη ≥ 0L++：=η ∈ Lη > 0. 我们将用L表示，F-可测随机变量的等价类集合，取R=R的值∪ {±∞}, 几乎确定的支配地位的部分顺序自然地延伸到了“林”。

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2022-5-7 04:15:47

此外，给定一个子集H 五十、众所周知，H在几乎确定的支配地位顺序上同时拥有一个内确界和一个上确界，这将用ess表示。inf H和ess。分别是sup H。该命令还允许我们定义拓扑。我们定义了Bε：=η ∈ L|η| ≤ ε半径ε的球∈ L++以0为中心∈ L.那么η+Bε；η ∈ 五十、 ε∈ L++是L上Hausdor ff拓扑的基础（参见Filipovic等人[9]）。L[|·|]代表这种拓扑结构的借出。我们用A表示与F相关的度量代数，该度量代数是通过识别F的两个事件而获得的，当且仅当其对称差为P-可忽略。同样，我们确定了F的一个元素及其等价类A。我们还确定了A+：={A∈ A.P（A）>0}。给一个家庭{Ai}i∈在A中，其上确界表示为∨我∈我和它的妈妈∧我∈IAi。对于给定的B∈ A、我们定义了B的划分集，由∏（B）：={Ak}k给出∈NA.∨Ak=B，Ai∧ Aj=0，对于所有I6=j，i，j∈ N} 。让我们回顾一下局部L-凸模理论的一些概念：定义1.1。[9，定义2.1]拓扑L-模E[T]是赋予拓扑T的L-模E，其拓扑T为1。E[T]×E[T]-→ E[T]，（x，x）7→ x+x和2。L[|·|]×E[T]-→ E[T]，（η，x）7→ ηxare与相应的产品拓扑是连续的。定义1.2。[9，定义2.2]如果邻域基U为0，则L-模E上的拓扑T称为局部凸∈ 使每个∈ 你是1。L-凸，即ηx+（1- η） y∈ U代表所有x，y∈ U和η∈ Lwith 0≤ η ≤ 1.2.L-吸收，即适用于所有x∈ 有一个η∈ L++使x∈ ηU；3.L-平衡，即ηx∈ U代表所有x∈ U和η∈ l带|η|≤ 1.在这种情况下，E[T]被称为局部L-凸模。定义1.3。[9，定义2.3]函数k·k:E→ L+是E上的一个L-半形式，如果：1。kηxk=|η| kxk表示所有η∈ 土地x∈ E2.

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2022-5-7 04:15:51

kx+yk≤ kxk+kyk，对于所有的x，y∈ E.此外，如果kxk=0意味着x=0，那么k·k是元素P上的L-范数，是L-模E上的L-半形族。给定P和ε的有限子集∈ L++，我们定义，ε：={x∈ EkxkF≤ ε} ，其中kxkF:=ess。sup{kxk；k·k∈ F}。然后你：=UF，ε；ε ∈ L++，F P有限社区基数为0∈ 对于局部L-凸拓扑T，称为P诱导的拓扑（见[9]）。赋予这种拓扑结构的E用E[P]表示。定义1.4。给定L-模E中的序列{xk}和分区{Ak}∈ Π(Ohm), 元素x∈ 如果所有k的1Akxk=1Akx，则称E是{xk}沿{Ak}的串联∈ N.下面的例子表明，对于给定的{Ak}∈ Π(Ohm) 和{xk} E、沿着{Ak}可以有一个以上的{xk}串联。例1.1。让我们采取行动Ohm = （0,1），F=B(Ohm) Borel的σ-代数，Ak=[k，k]-1） withk∈ N和P=λ勒贝格测度。我们在L(Ohm, F、 P）以下等效关系X~ y如果1Akx=1Aky，对于所有k，但对于绝大多数k∈ N.如果我们用x表示x的等价类，我们可以定义x+y:=x+y和η·x:=ηx，得到E:=L/~ 是一个L-模。那么，对于x∈ 五十、我们有1Akx=1Akx=0。因此，E的任何元素都是{0}kalong{Ak}k的级联∈ Π(Ohm) 和序列{xk} E、如果存在沿着{Ak}的{xk}的唯一连接，它将由形式上的sumPAkxk表示。现在，我们将收集一些L-模的稳定性概念，其中更多包含在现有文献中（不同名称下），参见[9,17,29]。定义1.5。设E为L-模，则：1。K 如果对于K中的每个序列{xk}和每个部分{Ak}，则称E是稳定的（具有唯一性）∈ Π(Ohm), 它认为存在（唯一的）串联x∈ 沿着{Ak}的{xk}的E。

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2022-5-7 04:15:54

如果序列{xk}的每个串联x K沿着一个分区{Ak}∈ Π(Ohm) 也是在K中（以及沿着{Ak}等于x的{xk}的任何其他串联）。备注1.1。请注意，相对稳定的性质与[29]中介绍的可数连接下的闭合性质完全相同；我们只更改房产的名称。在相对稳定的性质中，我们不要求串联的存在，我们只要求如果它存在，那么它属于K。显然，如果K E是稳定的，它也是相对稳定的。注意，每个L-模E总是相对稳定的；然而，我们可以找到不稳定的L模块的示例（见下面的示例）。特别是，我们发现相对稳定的属性比稳定的属性要弱得多。检验表明，稳定L-模E的每个相对稳定子集K也是稳定的。例1.2。[9] 考虑概率空间Ohm = [0,1]，F=B[0,1]Borelσ-代数和P:=λ[0,1]上的勒贝格测度，以及define:=spanLn[1]-N-1,1-n] )；N∈ 不，E是一个不稳定的L-模，但它相对稳定。我们有一个定理，它刻画了由一个L-半形族导出的局部L-凸拓扑。定理1.1。[29，定理2.6]设E[T]是拓扑L-模。当且仅当邻域基为0时，T由一个L-半群诱导∈ E为哪一个∈ U是L-凸、L-吸收、L-平衡且相对稳定的。此外，Zapata[29]以及Wu和Guo[27]分别给出了一个例子，表明在上述定理中，相对稳定的性质不能被放弃（参见[29，例子2.1]）。关于序列沿着一个分区连接的唯一性，我们得到了以下结果：命题1.1。

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2022-5-7 04:15:57

设E[T]是局部L-凸模，并假设T由一个L-半形族诱导，是Hausdor ff。那么对于给定的{Ak}∈ Π(Ohm) 和{xk} E、如果存在沿着{Ak}的{xk}的串联，那么正好存在其中一个。证据假设U是0的邻域基∈ 如定理1.1所示。因为T Ishausdorff，通过遵循经典案例的论点，我们得到了thatTU={0}。对于给定的x，y∈ E{xk}沿着{Ak}的串联，很明显- y是序列0，0。。。沿着{Ak}走。因此，由于美国∈ U相对稳定，它保持x- Y∈ 为了所有的你∈ U因此，我们得出结论，x=y。一个L-半形细胞家族的稳定外壳是在[9]中引入的。由于[9]家族中的L-精原细胞型在有限上限下是不变的，我们采用了郭等人[21]提出的定义：定义1.6。设P是L-模E上的一个L-半形族。我们将P的稳定壳定义如下：Pcc：=主键∈NAkk·kFk；Ak∈ Π(Ohm), Fk 菲尼特, 使用kxkFk:=ess。sup{kxk；k·k∈ Fk}。Filipovic等人[9]引入了拓扑L-模E[T]的拓扑对偶，表示为byE[T]*= E*=u：E→ Lu是L线性且连续的.我们也可以考虑弱者和弱者-* 拓扑结构。事实上，让我们考虑一下L亚型σ（E，E）家族*) = {qx*}十、*∈E*由qx定义*（x）：=|x*（x） |对于x∈ 类似地，我们也有弱者-* 拓扑结构。然后，我们可以考虑稳定壳σ（E，E）*)cc，它诱导的拓扑比弱拓扑更好。同样，σ（E）*, E） C引导的拓扑结构比弱拓扑结构更好-* 拓扑结构。σ（E，E）诱导的拓扑*)c和σ（E）*, E） cc将被称为稳定的弱者和稳定的弱者-* 分别是拓扑结构。以下示例显示，两种拓扑不一定相同。例1.3。[25，例1.2]菲利波维奇等人。

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2022-5-7 04:16:01

[9] 介绍了以下局部L-凸模，它们被称为Lptype模。也就是说，让我们(Ohm, E、 P）一个概率空间，使得F是E和P的次σ代数∈ [1, +∞]. 然后我们可以定义L-模LpF（E）：=L（F）Lp（E），其中x | Fkp:=（EP[|x | p | F]1/pif p<∞字母S。infY∈L（F）；Y≥ |x|如果p=∞定义一个L-范数。此外，众所周知，对于1≤ p<+∞, 如果1<q≤ +∞ 当1/p+1/q=1时，mapT:LpF（E）→ LqF（E），y 7→ 由Ty（x）定义的类型：=EP[xy | F]是L-等距同构（见[17，定理4.5]）。定义了弱拓扑，以及setsUF族，ε：={x∈ LpF（E）|EP[xy | F]|≤ ε, Y∈ F}，其中F是LqF（E）和ε的有限子集∈ L++（F），构成0的邻域基∈弱拓扑的LpF（E）。让我们考虑一下具体情况：Ohm = （0,1），E=B(Ohm) Borel的σ-代数，Ak=[k，k]-1）和k∈ N、 F:=σ（{Ak；k）∈ N} ）和P表示勒贝格度量。而且，对于每个k∈ N、考虑到Ak中F的轨迹和条件概率P（·| Ak），让我们定义Lk:=L（Ak）。每x∈ Lkwe表示kx | Akk:=EP[x | Ak]1/2。在这种情况下，L（F）={Pk∈纳克；rk∈ R} ，检查显示LF（E）={Pk∈NAkxk；xk | Ak∈Lk}对于x∈ 如果（E），我们有kx | Fk=Pk∈NAkkx | Akk。对于每个k，让我们选择一个可数集{ykn；n∈ N} 其中{zkn}是Lk的早期独立子集。LetU:=Xk∈NAkU{yk，…，ykk}，1。我们知道U是0的邻域∈ LF（E）表示拓扑σ（LF（E），LF（E））cc，但不表示拓扑σ（LF（E），LF（E））。事实上，通过矛盾的方式，让我们假设LF（E）和ε有一个有限的子集F∈ L++（F），式中ε=Pk∈Narkwith rk∈ R+，所以uF，ε U.现在，让我们以k:=#F+1为例。让我们定义Fk:={y | Ak；y∈ F}，thenuff，rk U{zk，…，zkk}，1in-Lk。每一天∈ Lk，让我们表示uy（x）：=EP[xy | Ak]。

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nandehutu2022

2022-5-7 04:16:04

然后，它将\\y∈Fker（μy）k\\i=1ker（uyki）。但这是不可能的，因为∈Fker（uy）是LK的一个向量子空间，其余维小于k，包含在一个余维为k的向量子空间中。2 Mazur-lemma的一个随机版本经典凸分析的著名结果是Mazur-lemma，它表明，对于Banach空间中的任何弱收敛序列，都有一个其成员的凸组合序列强收敛到同一极限。我们将把这个工具推广到L-赋范模中的网络。在证明这个结果之前，我们需要回顾一下L-模的规范函数，它在[9，定义2.21]中介绍过：设E为L-模。量规函数pK:E→集合K的L+ E由pk（x）定义：=ess。infη ∈ L+；十、∈ ηK.此外，在其他属性中，如果K是L-凸和L-吸收的，则可以通过取η来定义上述本质界∈ L++，也是PKI的次可加性，对于所有x，ηpK（x）=pK（ηx）∈ E和η∈ L+。此外，如果K是L-平衡的，那么PKI是L-半形式（见[9，命题2.23]）。考虑到Lis不是一个完全有序的集合，下面的结果在某些情况下是有用的：引理2.1。让C Lbe的范围低于（分别高于）且相对稳定，然后对于每个ε∈ L++存在ηε∈ C就是这样。inf C≤ ηε<ess。inf C+ε（分别为ess.sup C≥ ηε>ess。sup C- ε）特别地，给定一个L-模E和K E、这是L-凸的，L-吸收的，相对稳定的，对于ε∈ L++，存在ηε∈ L++与x∈ ηεK使得pk（x）≤ ηε<pK（x）+ε。证据首先，让我们看看C是向下的。的确，对于给定η，ξ∈ C、呼吸：=（η<ξ）。由于C相对稳定，我们得到1Aη+1Acξ=η∧ ξ ∈ C.因此，对于ε∈ L++，C中存在一个递减序列{ηk}，收敛于ess。几乎可以肯定。让我们考虑AA中的顺序：和Ak:=（ηk<ess。

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2022-5-7 04:16:07

inf C+ε）- Ak-1对于k>0。然后{Ak}k≥0∈ Π(Ohm), 我们可以定义ηε：=Pk≥0Akηk.假设C相对稳定，则ηε∈ C.对于第二部分，必须看到，如果K相对稳定η ∈ L++；十、∈ ηK也相对稳定。事实上，考虑到{Ak}∈ Π(Ohm) 和{ηk} L++使x∈ ηkK foreach k∈ N、让我们取η：=Pn∈NηnAn∈ L++。然后我们得到x/η是{x/ηk}沿{Ak}的串联。自x/ηk∈ K代表所有人K∈ N和K是相对稳定的，我们得出结论x/η∈ K、证据是完整的。备注2.1。注意，在后一个结果中，我们认为K是相对稳定的，而不是稳定的更强条件。这是因为η，因此x/η，是通过使用Linstead的稳定性来构造的，而Linstead在E中具有某种稳定性。一旦x/η存在，我们只需要确保它属于K。但由于K的相对稳定性，情况就是这样。同样的策略被用来证明[29]的命题2.3。在陈述主要结果之前，我们需要引入一些概念并证明一些初步结果：定义2.1。给予 E、我们定义：oA:coL（A）：=（Xi）的L-凸壳∈Iηixi；最后，xi∈ A、 ηi∈ L+，Xi∈IηI=1）oA:Acc:={x的稳定壳∈ E{xk} A、 {Ak}∈ Π(Ohm) 这样x是{xk}沿{Ak}的串联。备注2.2。在许多工作中，假设E是stablecf，定义了子集K的稳定壳。[17, 19]. 请注意，此处提供的定义不需要这样的假设。还要注意的是，Kcc是包含K的最不相对稳定的集合。特别是，当且仅当Kcc=K时，K是相对稳定的。命题2.1。设E[T]是拓扑L-模，设C E是L-凸的和L-吸收的。那么以下是等价的：1。pC:E→ 莉丝：继续。二∈ 在这种情况下，如果加法C是相对稳定的C={x∈ E个人电脑（x）≤ 1} ，其中C表示C相对于T的闭包。证据

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2022-5-7 04:16:11

证据与真实情况完全相同。为了平等。“”: 它是从pC的连续性中获得的。””: 让x∈ E满足pC（x）≤ 1.通过引理2.1，我们得到了每一个ε∈ L++存在ηε∈ L++使1≤ ηε<1+ε，带x∈ ηεC.然后，{x/ηε}ε∈在C语言中，L++是一个向x和x收敛的网络（向下看L++）∈ C.所以，证据是完整的。下面的例子（取自[29]）表明，对于后一种解释中证明的等式，C需要相对稳定。例2.1。考虑概率空间Ohm = （0,1），E=B(Ohm) Borel的σ-代数，An=[n，n]-1）和n∈ N、 P:=λ勒贝格测度，E:=L（E）赋|·|。我们定义了setU：=η ∈ L 我有限元，|η1Ai |≤ 1. 我∈ N- 我.检查表明，U是L凸的，L吸收的，U=U。但是，对于所有x，pU（x）=0∈ 五十、所以{x；pU（x）≤ 1} 实际上，它需要证明pu（1）=0，因为pu是一个L-半形式。通过矛盾的方式，假设pU（1）>0。然后，就有了m∈ N使得P[（pU（1）>0）∩ Am]>0。定义A:=（pU（1）>0）∩ Am，ν：=（pU（1）+1Ac），η：=1Ac+ν1a和x:=1Ac+νA。因此，我们有1=ηx∈ ηUandP（pU（1）>η）>0，一个矛盾。我们需要一个新概念：定义2.2。设E是L-模，我们说E的和保持相对稳定性，ifL，M E相对稳定意味着L+M相对稳定。下面的例子表明，一般来说，两个相对稳定的子集之和不一定是相对稳定的。例2.2。让我们采取行动Ohm = （0,1），Ak=[k，k-1）每k∈ N、 F=σ（{Ak；k）∈ N} 由{Ak}和P生成的西格玛代数，勒贝格测度仅限于F(Ohm, F、 P）是一个概率空间。

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何人来此

2022-5-7 04:16:14

让我们把L:=L(Ohm, F、 P）。让我们定义以下L-模，它是L（R，F）的L-子模：E:=spanL{（1，0），（0，1Ak）；k∈ N} 。让我们也考虑以下子集：L:={（0，-1Ak）；K∈ N} ccM:={（1Ak，1Ak）；k∈ N} cc，这显然是相对稳定的。我们还有（1,0）∈ E和k（1，0）=1Ak（0，-1Ak）+（1Ak，1Ak））∈ 1Ak（L+M），因此（1,0）∈ L+Mcc。然而，检查显示（1,0）/∈ L+M。我们得出结论，L+M不是相对稳定的。下面的结果很容易通过检验来证明，我们省略了证明：命题2.2。设E为L-模。如果E是稳定的，那么它的和保持相对稳定。根据上述结果，对于L-模E，保持稳定的性质强于保持相对稳定的具有和的性质。下面的结果表明，事实上，前者严格地比后者强。提议2.3。存在一个不稳定的L-模E，但其和保持相对稳定。证据让我们重温例1.2中定义的L-模：E:=spanL{1An；n∈ N} 带有：=[1-N-1, 1 -n] 每n∈ N.E是一个不稳定的L-模。让我们证明E的和保持相对稳定性。的确，让我们假设L，M是E的相对稳定子集∈ E和{Bk}k∈ Π(Ohm) 使1Bkz=1Bk（lk+mk）和lk∈ L和mk∈ 每个k的M∈ N.首先注意下面的setFL:={k∈ N1Akl 6=0表示所有l∈ 五十} 必然是有限的。让我们用一种类似的方式来定义FMF，它也是有限的。让我们把它放在一起∈F、 k∈奈∩Bk（lk+mk）=Xi∈F、 k∈奈∩Bk（lk+mk）+Xi∈佛罗里达州∪调频-F、 k∈奈∩Bk（lk+mk）=l+m，其中l=Pi∈F∪佛罗里达州∪FMPk∈奈∩Bklk，m=Pi∈F∪佛罗里达州∪FMPk∈奈∩Bkmk。由于L和M相对稳定，我们得出结论∈ 我和m∈ M

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2022-5-7 04:16:17

最后，我们给出了经典Mazur引理的L-模的一个版本：定理2.1。[Mazur引理的随机版本]设（E，k·k）为L-赋范模，其和保持相对稳定性，设{xγ}γ∈Γ是E中的一个网，它收敛到x∈ E.那么，对于任何ε∈ L++，存在szε∈ coccL{xγ；γ∈ Γ}这样kx- zεk≤ ε.证据定义M:=球菌{xγ；γ∈ Γ}. 我们可以假设0∈ M、用x代替x- xγ和xγ乘以xγ- 某些γ的xγ∈ Γ固定和所有γ∈ Γ.通过矛盾的方式，假设每个z∈ 这里有Az∈ A+这样的kx- zk>ε在Az上。表示Bε：={x∈ Ekxk≤ε} ，定义M:=Sz∈Mz+Bε。那么M是一个0的L-凸L-吸收邻域∈ E、这是相对稳定的（这是因为Mand Bε相对稳定，E之和保持相对稳定）。此外，对于每个z∈ 存在Cz∈ A+和kx- zk≥ε在Cz上。所以/∈ 因此，根据命题2.1，我们得到存在C∈ A+使得Pm（x）>1（1），其中Pm是M的规范函数。进一步，给定η，ξ∈ 对于1Cηx=1Cξx，它认为C上的η=ξ。实际上，定义A=（η- ξ ≥ 0）C |η- ξ| pM（x）≤ pM（1C |η）- ξ| x）=pM（（1A）- 1Ac）1C（η）- ξ） x）=pM（0）=0。鉴于（1），我们得出C上η=ξ的结论。在本文的最早版本中，意外地忽略了关于E有和的假设，该假设保持了相对稳定性。

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kedemingshi

2022-5-7 04:16:21

作者感谢郭铁新向他指出可能缺乏这种条件，并为激发例2.2和命题2的一些有趣的讨论提供了便利。3.然后，我们可以定义以下L-线性映射u：spanL{x}-→ Lu（ηx）：=η1CpM（x）。此外，我们还有u（z）≤ pM（z）代表所有z∈ spanL{x}。因此，根据定理A.1，u扩展到E上定义的L映射应用程序u，使得u（z）≤ pM（z）代表所有z∈ E.因为M是0的邻域∈ E、根据命题2.1，规范函数pMis continuouson E。因此u是定义在E上的连续L-线性函数。此外，我们也有这样的结论。苏普兹∈Mu（z）≤ 字母S。苏普兹∈Mu（z）≤≤ 字母S。苏普兹∈MpM（z）≤ 1<pM（x）=C上的u（x）。因此，x不能是与xγ弱收敛于x的假设相反的弱累积点。我们有以下推论：推论2.1。设（E，k·k）为L-赋范模，其和保持相对稳定性，且 E是L-凸且相对稳定的，我们得到范数中的闭包，弱拓扑中的闭包，以及稳定弱拓扑中的闭包是相同的，即Kk·k=kσ（E，E*)= Kσ（E，E）*)复写的副本。证据我们发现范数拓扑比稳定的弱拓扑好，后者比弱拓扑好。

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2022-5-7 04:16:25

因此我们得到了kk·k Kσ（E，E）*)复写的副本 Kσ（E，E）*).另一方面，对于给定的x∈ Kσ（E，E）*), 让我们选择一个网络{xγ} 收敛到x的K。由于定理2.1，对于每个ε，K是L-凸且相对稳定的∈ L++，我们可以找到ε∈ coccL{xγ；γ∈ Γ} K、这样kzε- xk≤ ε.这意味着x∈ Kk·k.然后，从现在开始，假设E有保持相对稳定性的和，或者更具体地说，如果E是稳定的，对于任何L-凸子集k是相对稳定的，我们将用k表示拓扑闭包，而不指定拓扑是弱的、稳定的还是强的。让我们回顾一下[9]中介绍的一些概念：定义2.3。设E[T]是拓扑L-模。函数f:E→“Lis称为适当的iff（E）∩L6= f>-∞; 如果f（ηx+（1），则称为L-凸-η）十）≤ ηf（x）+（1）-η） f（x）表示所有x，x∈ E和η∈ Lwith 0≤ η ≤ 1.它说如果A的1Af（x）=Af（1Ax），则具有本地属性∈ A+，和x∈ E最后，如果能级setV（η）={x，f称为下半连续∈ Ef（x）≤ η} 关闭所有η∈ L.推论2.2。设（E，k·k）是一个L-赋范模，其和保持相对稳定性，设f:E→Lbe是一个适当的L-凸函数。如果f是连续的，则f是弱拓扑的下半连续的。证据众所周知，如果f是L-凸的，则它具有局部性质（见[9，定理3.2]）。作为f L-凸且具有局部性质，我们得到V（η）是L-凸且相对稳定。因为η是连续的，因为它是闭的。3 KreinˇSmulian定理的随机版本在本节中，我们在L-赋范模的上下文中推广了KreinˇSmulian的经典定理。我们将使用完备性参数和随机双极定理（见A.2）。

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2022-5-7 04:16:28

在附录中，我们回顾了极性和结果相关的概念。在证明本节的主要结果之前，让我们先介绍一些必要的概念。设（E，k·k）为L-赋范模。给定ε∈ L++定义新ε：={（A，B）；A，B E、 kx- yk≤ ε表示所有x∈ A、 y∈ B} 。那么W:={Wε；ε∈ L++}是E上一致性的基础。设G是E.A网{Aγ}γ的所有非空闭子集的集合∈据说G中的Γ收敛到A∈ G如果每个ε∈ L++有一些γε和（Aγ，A）∈ 所有γ的Wε≥ γε. 请注意，A是唯一的。{Aγ}γ∈对于每个ε，Γ被称为柯西∈ L++有一些γε和（Aα，Aβ）∈ 所有α，β的Wε≥ γε.此外，如果每个柯西网{xγ}γ∈Γ E收敛到somex∈ E.提案3.1。如果（E，k·k）是完备的，那么每个柯西网{Aγ}∈Γin G收敛。此外，如果{Aγ}γ∈Γ减小，然后收敛到A:=Tγ∈ΓAγ。证据如果{Aγ}γ∈Γ是Cauchy，每个ε都有∈ L++存在γε，使得kx- yk≤ ε表示所有x∈ Aα，y∈ Aβ和α，β≥ γε（2）特别是，每个净{xγ}γ∈Γ与xγ∈ Aγ是柯西函数，因此当E完全时收敛。定义A:={lim xγ；xγ∈ 所有γ的γ∈ Γ}. 让我们证明{Aγ}γ∈Γ收敛到A。的确，给定x∈ 存在一个网{xγ}γ∈Γ与xγ∈ 一个收敛到x的γ，然后（2）它保持kxγ- yk≤ ε表示所有y∈ Aα，带α，γ≥ γε.取γkx的极限值- yk≤ ε表示所有y∈ Aα，带α≥ γε.自从x∈ A是任意的，它认为（A，Aα）∈ 所有α的Wε≥ γε，证明是完整的。最后，让我们证明随机版本的克里恩-斯穆利定理3.1。[KreinˇSmulian定理的随机版本]设（E，k·k）是一个完全赋范模，它稳定且唯一，且设k E*要相对凸。那么下面的陈述是等价的：1。K很弱-* 关闭2.K∩ {z∈ E*; kzk*≤ ε} 他很虚弱-* 每个ε都是闭合的∈ L++。证据

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2022-5-7 04:16:30

1.=> 2：很明显，因为{z∈ E*; kzk*≤ ε} =Boε较弱-* 关闭2.=> 1：对于每个ε∈ 我们有Bεo∩ K很弱-* 关闭然后是{（Bεo∩K） o}ε∈L++是柯西。的确，对于δ，δ≤ ε/2，通过使用极性的性质（见A.1）和双极性定理（见A.2）：（Bδo∩ K） o+Bε （Bδo）∩ K） o+Bε/2=（（Bδo∩ K） o+Bε/2）oo （（Bδo）∩ K）哦∩ Boε/2）o=（Bδo∩ K∩ Boε/2）o （Bδo）∩ K） o.由于命题3.1，网络在减少，它收敛到C:=Tε∈L++（Bεo）∩ K）让我们看看K=Co。事实上，C （Bεo）∩ K） oso Bεo∩ K coforallε∈ L++和K Co.让ε，r∈ r>1的L++语言。由于网络收敛到C，因此存在δ∈ L++与（Boδ）∩ K） o C+（r- 1） Bε （C）∪ Bε）oo+（r- 1）（C）∪ Bε）oo=r（C∪ Bε）oo通过取极，可以得出[r（C∪ Bε）oo]o=r（C∪ Bε）o （Boδ）∩ K） oo=Boδ∩ 坎特索斯公司∩ Boε r（Boδ）∩ K）无论如何∈ L++，r>1。因此，ε∩ 有限公司\\R∈L++，r<1r（Boδ∩ （K） Boδ∩ K=Boδ∩ K K、证据是完整的。备注3.1。在写完本文的第一个版本后，作者从阿斯加·詹姆斯山那里了解了这部作品[7]。因此，作者感谢阿斯加·詹姆斯山指出了这一点。S.Drapeau等人[7]抽象地介绍了条件集代数，其中假设所有结构都具有强稳定性。这个框架与L理论有关，在这个意义上，如果我们假设一个L模上具有唯一性的稳定性性质，我们就得到了一个条件集。在这种情况下，它被证明是具有不同策略证明的KreinˇSmulian定理的一个版本。然而，我们想强调的是，我们研究的是弱稳定性性质。例如，相对稳定性既不假设串联的存在性也不假设串联的唯一性。此外，简而言之，这里使用的拓扑不需要是[7]提出的意义上的“稳定族”。

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2022-5-7 04:16:33

例如，这里证明的随机Mazur引理和KreinˇSmulian定理所使用的弱拓扑不是必要的稳定族。事实上，例1.3表明所采用的弱拓扑是不稳定的，并且严格地弱于其稳定版本。此外，这里证明的随机Mazur引理适用于Proposition 2.2中提供的类型的模，这些模不稳定，但它们的和保持相对稳定性。此类模块不在[7]的范围内；然而，缺乏稳定性的模型空间最终可能成为金融应用的对象。参考文献[1]P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber，D.Heath，一致性风险度量，数学。财务9（1999）203-228。[2] J.Bion Nadal，《条件风险度量和凸条件风险度量的稳健表示》，CMAP预印本557（2004）。[3] D.L.科恩，《测量理论》，1993年卷。波士顿：伯赫奥瑟，1980年。[4] F.Delbaen，《货币效用函数》，大阪大学，大阪，2011年。[5] F.Delbaen，W.Schachermayer，《套利数学》，斯普林格科学与商业媒体，2006年。[6] K.Detlefsen，G.Scandolo，条件和动态凸风险度量，金融学Stoch。9 (2005) 539–561.[7] S.德雷珀、A.詹姆斯山、M.卡利泽克和M.库珀。条件集代数与条件拓扑和紧性的概念。《数学分析与应用杂志》，437（1）（2016）561-589。[8] K.-T.Eisele，S.Taieb，有界随机变量环上模的弱拓扑，J.数学。肛门。阿普尔。421.2 (2015) 1334-1357.[9] D.Filipovic，M.Kupper，N.Vogelpoth，局部L-凸模中的分离与对偶，J.Funct。肛门。256 (2009) 3996–4029.[10] D.Filipovic，M.Kupper，N.Vogelpoth，《条件风险方法》，暹罗J.金融学杂志。(2012) 402-432.[11] 霍尔默，A。

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nandehutu2022

2022-5-7 04:16:36

Schied，风险和交易约束的凸度量，金融学Stoch。6.4 (2002) 429-447.[12] H.F¨ollmer，A.Schied，《随机金融：离散时间导论》，Walter deGruyter，2011年。[13] M.Fritelli，E.Gianin整理风险度量，J.Banking Finance，26（2002）1473–1486[14]T.Guo，完全随机规范模块中Banach–Alaoglu定理与Banach–Bourbaki–Kakutani–ˇSmulian定理的关系，Sci。中国航空公司。A 51（2008）1651–1663。[15] 郭T，陈X。随机二元性。《中国科学》A辑：数学，52（10），20842098（2009）。[16] 郭T，石G。有限生成L（F，K）-模的代数结构和随机赋范模中的Helly定理。数学分析与应用杂志，381（2），833-842（2011）。[17] 郭T，arandom局部凸模的两个子拓扑的一些基本结果之间的关系，J.Funct。肛门。258（2010）3024–3047[18]郭T.肖H.陈X。随机局部凸模中的一个基本严格分离定理。非线性分析：理论、方法与应用71.9（2009）：3794-3804。[19] 郭T，赵S，曾X.关于随机凸分析——条件风险度量模型方法的分析基础，arXiv预印本arXiv:1210.1848（2012）。[20] 郭T，赵S，曾X，三种条件风险度量之间的关系，Sci。中国数学。57.8 (2014): 1753-1764.[21]郭T，赵S，曾X。随机凸分析（I）：随机局部凸模中的分离与Fenchel Moreaduty。arXiv预印本arXiv:1503.08695（2015）。[22]郭T，赵S，曾X。随机凸分析（II）：L-预桶随机局部凸模中的连续性和次微分定理。arXiv预印本XIV:1503.08637（2015）。[23]R.Haydon，M.Levy，Y.Raynaud，《随机赋范空间》，赫尔曼，巴黎，1991年。[24]J.L.凯利，I。

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nandehutu2022

2022-5-7 04:16:39

Namioka等人，《线性拓扑空间》，柏林海德堡斯普林格出版社，1963年。[25]J.Orihuela和J.M.Zapata。局部L-凸模的稳定性与James紧性定理的条件化。《数学分析与应用杂志》，452（2）（2017）1101-1127。[26]鲁申多夫，路德。数学风险分析。斯普林格爵士。奥普。财政部。海德堡斯普林格工程学院（2013）。[27]M.Wu，T.Guo，一个反例表明，并非每个局部L-凸拓扑都必然由一个L-半形式族诱导，arXiv预印本arXiv:1501.04400（2015）。[28]K.Yosida，功能分析，Springer Verlag，柏林，1980年。[29]J·M·萨帕塔。关于L-半形族诱导的局部L-凸拓扑的特征，J.凸分析。24(2) (2017) 383–391.附录让我们从局部L-凸模理论中收集一些重要结果：定理A.1。[9，Hahn–Banach扩张定理]设E[T]是局部L-凸模。考虑一个L-次线性函数p:E→ 五十、 E的L-子模C和L-线性函数u：C→ 也就是说u（x）≤ p（x）表示所有x∈ CThenu扩展到L-线性函数u：E→ 也就是说√u（x）≤ p（x）表示所有x∈ E.定义A.1。给予 E、我们定义了AOE子集A的极性*给定byAo:={y∈ E*; |hx，yi|≤ 1.所有x∈ A} 。提议A.1。设E[T]是局部L-凸模D，Di 为我∈ 一、然后：1。Dois L-凸，弱-* 封闭且相对稳定。二∈ 做，D 嘟嘟。如果D D、那就去吧做3.对于ε∈ L++，我们有（εD）o=εDo。4.硅∈伊迪o=Ti∈我不知道。让我们看看DOI是相对稳定的。给z一个{zn}的串联多隆{Ak}∈ Π(Ohm), 我们有| hx，yi |=Xn∈楠|hx，yi |=Xn∈NAn | hx，XAnxi |=Xn∈NAn | hx，XAnzni |=Xn∈NAn | hx，zni |≤ 1.其余部分类似于局部凸空间的已知证明。定理A.2。

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