将It^o公式应用于过程e-0和τ之间的rt K（X’xt，K’kt）-ε、 我们有-rτ-εψ（Xτ）-ε、 Kτ-ε） ]=~n（\'x，\'k）- E“Zτ-εe-ruL k du#（36）+E“Zτ-εe-汝(-γφx+φk） dIc，+u#（37）+E“Zτ-εe-汝(-γφ十、-φk） dIc，-u#（38）- E“Zτ-εe-汝φxdZcu#（39）+E“X0<s<τεE-rs[~n（Xs，Ks）- ~n（Xs）-, 堪萨斯州-)]#（40）利用关系式（32），（33），（34），（35），我们得到*（\'x，\'k）=~n（\'x，\'k）≥ ηE“Zτ-εe-鲁杜#+E[E]-rτ-εψ（Xτ）-ε、 Kτ-ε） ]（41）+ηE“Zτ-εe-鲁迪克，+u#（42）+ηE“Zτ-εe-鲁迪奇，-u#（43）+（1+η）E“Zτ-εe-鲁兹库（44）- E“X0<s<τεE-rs[~n（Xs，Ks）- ~n（Xs）-, 堪萨斯州-)]#（45）注意Xs=-Zs- γ(I+s+我-s） ,，Ks=I+s- 我-根据中值定理，有一些θ∈]0,1[这样，φ（Xs，Ks）- ~n（Xs）-, 堪萨斯州-) =φx（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）Xs+φk（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）Ks=φx（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）(-Zs- γ(I+s+我-s） )+φk（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）(I+s- 我-s） =-φx（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）Zs+-γφx（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）+φk（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）I+s+-γφx（Xs）-- θXs，Ks-+ θKs）+φk（Xs）-+ θXs，Ks-+ θKs）我-sBecause（Xs+θ）Xs，Ks+θKs）∈ Bε（\'x，\'k），我们再次使用关系式（33），（34），（35）-（~n（Xs，Ks）- ~n（Xs）-, 堪萨斯州-)) ≥ (1 + η)Zs+ηI+s+η我-斯泰弗雷，V*（\'x，\'k）≥ E[E]-rτ-εψ（Xτ）-ε、 Kτ-ε） ]+E“Zτ-εe-rudZu#+ηE“Zτ-εe-rudu#+E“Zτ-εe-rudI+u#+E“Zτ-εe-鲁迪-u#+E“Zτ-εe-鲁德祖！注意-τε，K-τε) ∈ Bε（\'x，\'k），（xτε，kτε）在边界上Bε（\'x，\'k）或不含Bε（\'x，\'k）。

然而，在[0,1]中有一些随机变量α值，使得：（X（α），K（α））=（Xτ）-ε、 Kτ-ε) + α(Xτε，Kτε）=（Xτ-ε、 Kτ-ε) + α(-Zτε- γI+τε- γ我-τε, I+τε- 我-τε) ∈ Bε（\'x，\'k）。与上述类似，我们证明了φ（X（α），K（α））- ψ（Xτ）-ε、 Kτ-ε) ≤ -α[(1 + η)Zτε+ηI+τε+η我-τε].观察（X（α），K（α））=（Xτε，Kτε）+（1- α)(Zτε+γI+τε+γ我-τε, -I+τε+我-τε).从（X（α），K（α））开始，包括投资（1）的策略-α)I+τε或取消投资（1- α)我-τε取决于K（α）的符号- Kτε和支出（1）- α)Zτε作为红利导致（Xτε，Kτε），因此，V*（X（α），K（α））- 五、*（Xτε，Kτε）≥ (1 - α)Zτε。使用φ（X（α），K（α））≥ 五、*（X（α），K（α）），我们推导出φ（Xτ）-ε、 Kτ-ε) - 五、*（Xτε，Kτε）≥ (1 + αη)Zτε+αη(I+τε+我-τε).因此，V*（\'x，\'k）≥ ηE“Zτ-εe-rudu#+E“Zτ-εe-rudI+u#+E“Zτ-εe-鲁迪-u#+E“Zτ-εe-鲁德祖#+E[E]-rτεα(Zτε+γI+τε+γ我-τε)]+ E[E]-rτεV*（Xτε，Kτε）]EZτεe-鲁德祖（46）我们现在声称存在c>0，对于任何可接受的策略c≤ E“Zτ-εe-rudu+Zτ-εe-rudI+u+Zτ-εe-鲁迪-u+Zτ-εe-鲁德祖#（47）+EE-rτεα(Zτε+γI+τε+γ我-τε)让我们考虑c函数φ（x，k）=c[1-（十）-\'-x）ε]带，0<c≤ 闵ε、 ε2γ，r，εσn′β，ε2dmax其中dmax=sup|β（k）u- α（（k）- x） +）|ε（x，k）∈ Bε（\'x，\'k）> 0，令人满意φ（\'x，k）=cφ=0，对于（x，k）∈ Bεmin1.- Lφ，1- γφx+φk、 一,- γφ十、-φk、 一,-φ十、≥ 0，浇注（x，k）∈ Bε。应用^o公式，我们得到了0<c=φ（\'x，\'k）≤ E[E]-rτ-εφ（Xτ）-ε、 Kτ-ε） ]+E“Zτε-E-rudu#+E“Zτ-εe-rudI+u#+E“Zτ-εe-鲁迪-u#+E“Zτ-εe-rudZu#（48）注意到φ十、≤ 1和φk=0，我们有φ（Xτ）-ε、 Kτ-ε) - φ（X（α），K（α））≤ （Xτ）-ε- X（α））=α(Zτε+γI+τε+γ我-τε).插入φ（X（α），K（α））=0的（48）中，我们得到c≤ E“Zτ-εe-rudu+Zτ-εe-rudI+u+Zτ-εe-鲁迪-u+Zτ-εe-鲁德祖#+EE-rτεα(Zτε+γI+τε+γ我-τε)这证明了这种说法（47）。

最后，通过取π的上确界并使用动态编程原理，（46）意味着V*（\'x，\'k）≥ 五、*（\'x，\'k）+ηc，这是一个矛盾。唯一性假设u是一个连续的子解，w是满足边界条件su（x，0）的S上（20）的连续上解≤ w（x，0）u（γk，k）≤ （x，k）的w（γk，k）∈ S、 线性增长条件|u（x，k）|+|w（x，k）|≤ C+C（x+k）（x，k）∈ S、 对于一些正常数C，我们将通过调整一些标准参数来说明≤ w、 第一步：我们首先构造（20）的严格上解，其中w.Seth（x，k）=A+Bx+Ck+Dxk+Ex+kwithA=1+u′βB+σ′βEr+C（49）和B=2+1+Cγ+2u′βErC=u′βDrD=2γEE=γ并定义λ∈ [0,1]Swλ=（1）上的连续函数- λ） w+λhH十、- 1=B+Dk+2Ex- 1.≥ 1γH十、-Hk=γ（B+Dk+2Ex）- （C+Dx+2k）≥ 1γHx+Hk=γ（B+Dk+2Ex）+（C+Dx+2k）≥ 1和-Lh=-（β（k）u- α（（k）- x） +）（B+Dk+2Ex）-σβ（k）2E+r（A+Bx+Ck+Dxk+Ex+k）≥ （拉）- β（k）uB- σβ（k）E）+（rB- 2μβ（k）E）x+（rC）- β（k）D）k≥ 1.我们有-Lh，H十、- 1, γH十、-Hk、 γHx+HK≥ 1.这意味着wλ是（20）的严格上解。为了证明这一点，我们只需要取“x”和“φ”∈ C使'x是wλ的最小值- 并注意到x也是wλ的最小值- 带=的-λh1-λ允许我们使用w是（20）的粘度超解。第2步：为了证明强比较结果，必须证明对于每个λ∈ [0,1]支持（美国）- wλ）≤ 0.以矛盾的方式假设存在λ，即sups（u- wλ）>0。

（50）因为u和w是线性增长的，所以我们有lim | |（x，k）||→+∞（u）- wλ=-∞.使用边界条件su（x，0）- wλ（x，0）=（1）- λ） （u（x，0）- w（x，0））+λ（u（x，0）- （A+Bx+Ex）），≤ λ（u（x，0）- （A+Bx+Ex）），u（γk，k）- wλ（γk，k）≤ λ（u（γk，k）- （A+（Bγ+C）k+（Dγ+Eγ+1）k）），在线性增长条件下，总是有可能在方程（49）中找到上述两个表达式，从而使方程（50）中的最大值在域S内达到。通过函数u和wλ的连续性，存在一对（x，k）和x≥ γksuch thatM=supS（u- wλ）=（u- wλ）（x，k）。对于 > 0，让我们考虑函数Φ（x，y，k，l）=u（x，k）- wλ（y，l）- φ（x，y，k，l）φ（x，y，k，l）=2（|x）- y |+| k- l |）+（|x）- x |+| k- k |）。根据粘度溶液理论比较原理中的标准参数（见Pham[25]第4.4.2节），函数Φε在（x）中达到最大值, Y, K, L), 当ε为零时，收敛到（x，k，x，k）。

此外，林→+∞（|x）- Y|+ |K- L|)2.→ 0（51）应用Crandall-Ishii Lions[6]中的定理3.2，我们得到了大小为2mε，Nε的对称方阵的存在性，使得：（pε，Mε）∈ J2，+u（xε，kε），（qε，Nε）∈ J2，-wλ（yε，lε），和Mε0-Nε≤ Dφε（xε，kε，y, L) + ε（Dφ）（xε，kε，y）, L)), （52）式中pε=Dx，kφ（十）, K, Y, L) =（十）- Y)+ （十）- x） ，（k）- L)+ （k）- （k）,qε=-Dy，lφ（十）, K, Y, L) =（十）- Y),（k）- L).和dφε（xε，kε，y, L) =我-我-二、+3（x）- x） 0 00 3（k- k） 00 00 00 00 00（53）soDφε（xε，kε，y, L) + ε（Dφ）（xε，yε，k）, L))=我-我-二、M+9（x）- x） （1+（十）- x） ）0 00 9（k- k） （1+（k）- k） ）00 00 00 00 00 00等式（52）表示σβ（k）)M-σβ（l）)N≤3σ2（β（k）)- β（l）))+9σβ（k）)（十）- x） （1+（十）- x） （54）因为u和wλ分别是次解和严格上解，所以我们得到了minh-β（k)u - α（（k）- 十、)+)十、- Y+ （十）- 十）- tr（σβ（k）)M) + ru（x）, K),十、- Y+ （十）- 十）- 1,γ十、- Y+ （十）- 十）-K- L+ （k）- （k）,γ十、- Y+ （十）- 十）+K- L+ （k）- （k）我≤ 0（55）分-β（l）)u - α（（l）- Y)+)十、- Y- tr（σβ（l）)N) + rwλ（y, L),十、- Y- 1，γx- Y-K- L, γx- Y+K- L≥ λ.（56）然后我们区分以下四种情况：o情况1。Ifx-Y+ （十）- 十）- 1.≤ 然后我们从（56）得到λ+（x）- 十）≤ 当 转到0案例2。如果γ十、-Y+ （十）- 十）-K-L+ （k）- （k）≤ 然后我们从（56）λ+γ得到（十）- 十）- （k）- （k）≤ 0当 转到0案例3。如果γ十、-Y+ （十）- 十）+K-L+ （k）- （k）≤ 0，那么我们从（56）λ+γ得到（十）- x） +（k）- （k）≤ 0当 转到0案例4。

如果-β（k)u - α（（k）- 十、)+)十、- Y+ （十）- 十）- tr（σβ（k）)M) + ru（x）, K) ≤ 0.来自-β（l）)u - α（（l）- Y)+)十、- Y- tr（σβ（l）)N) + rwλ（y, L) ≥ λ我们推导出x- Yu（β（l) - β（k)) + α（（k）- 十、)+) - α（（l）- Y)+)-tr（σβ（k）)N) + tr（σβ（k）)N)-β（k)u - α（（k）- 十、)+)（十）- x） +r（u（x）, K) - wλ（y）, L)) ≤ -λ.使用（54）我们得到，x- Yu（β（l) - β（k)) + α（（k）- 十、)+) - α（（l）- Y)+)-β（k)u - α（（k）- 十、)+)（十）- x） +r（u（x）, K) - wλ（y）, L))≤ -λ +3σ2（β（k）)- β（l）)) +9σβ（k）)（十）- x） （1+（十）- x） ）。通过将ε设为零，并利用u，wγi，α和β的连续性，我们得到所需的矛盾：rM≤ -λ.证据到此为止。6.2命题7的证明由于β是凹的且β为0，a的存在性等价于假设σβ（0）≥u(1 - δ). （57）让我们将A>0的函数定义为（A+∞) 关于Cauchyproblem的μβ（x）wA（x）+∑β（x）wA（x）- rwA（x）=0，wA（x）=Axδ为0≤ 十、≤ 注3柯西问题很好地定义了a处可微分的条件。此外，使用a的定义，很容易检查函数WAI也是C。由于债务成本α很高，股东最好选择不发行债务，而是无成本地调整投资水平。引理14对于每一个A>0，函数会增加。证据：很明显，WAI在增加，因此在[0，a]上为正。设c=min{x>a，wA（c）=0}。wA（c）>0，因为wai在c的左邻域中增加且为正。因此，根据微分方程，我们有wA（c）≥ 0，这意味着wAis在c的右邻域也在增加。因此，WAS不能变为负值。引理15对于每一个A>0，就有一个b，wA（bA）=0，并且是[A，bA]上的一个凹函数。[证明：通过一种矛盾的方式假设wAdoes不消失。使用方程（28）和（27），我们得到∑β（A）wA（A）=-rAaδ。因此，我们等价地假设wA<0。

这意味着wAis急剧递减，并且由引理14限定在0以下，因此wAis是一个递增凹函数。因此，limx→+∞wA（x）存在并由l表示→ +∞ 在微分方程中，我们得到，因为β有一个有限的极限，σ′βlimx→∞wA（x）=r limx→∞wA（x）- u′βl.因此→∞wA（x）是+∞ 从中我们得到一个矛盾或有限，从中我们得到极限→+∞wA（x）=0，根据中值定理。在第二种情况下，对微分方程进行微分，我们得到了μβ（x）wA（x）+μβ（x）wA（x）+σβ（x）β（x）wA（x）+σβ（x）wA（x）- rwA（x）=0（58）进行类似的处理，我们得到limx→+∞wA（x）=0，因此l=0。回到微分方程，我们得到0=r limx→∞wA（x）与WAI的增加相矛盾。现在，定义bA=inf{x≥ a、 wA（x）=0}以得出结论。引理16存在一个*以至于*（bA）*) = 1.证明：对于每一个A>0，我们就有β（bA）wA（bA）=rwA（bA）。（59）设A=u′βraδ。引理14 yieldswA（bA）≥ wA（a）=u′βr≥μβ（bA）r之前，等式（59）产生wA（bA）≥ 1.另一方面，让A=a1-δδ. 通过构造，wA（a）=1，因此wA（bA）≤ 1.wAon（0，bA）的凹度。因此，有一些*∈ [min（A，A），max（A，A）]这样*= 1.此后，我们表示b=bA*.引理17我们有β（b）≤ r、 证明：对微分方程进行微分，并将x=b代入，我们得到σβ（b）wA（b）+μβ（b）- r=0，因为wA*在b的左邻里增加，我们有wA（b）≥ 0表示结果。让我们定义一下=佤*（x） x≤ bx- b+β（b）rx≥ 我们能够证明以下命题8股东价值为v。证明：我们必须检查（v，b）是否满足标准的HJB自由边界问题。通过构造，v是（0+∞) 满意的≥ 1.

仍需检查MaxKLKV（x）≤ 对于x>b，我们有lkv（x）=β（k）- α（（k）- x） +）- β（b）- r（x）- b） 。如果k≤ x、 β和引理17的凹度意味着LKV（x）=u（β（x）- β（b））- r（x）- b）≤ （b）- r） （十）- b）≤ 0.如果k≥ x、 我们将Lkv（x）与k进行微分，并再次利用β的凹性和α的凸性得到，Lkv（x）k=β（k）- α（k）- 十）≤ uβ(0) - α(0) ≤ 因此，Lkv（x）≤ Lxv（x）≤ 0.设x<b，因为v是凹的，与前几行相同的参数显示Lkv（x）K≤ 0代表k≥ X和特蕾萨克斯≥0Lkv（x）=maxk≤xLkv（x）。一阶条件为0≤ k<xk（Lkv）=μβ（k）v（x）+∑β（k）β（k）v（x）=β（k）[μv（x）+∑β（k）v（x）]。因此，对于0<x<a，我们有k（Lkv）=β（k）A*xδ-2δ[ux+σβ（k）（δ- 1） ]这给了，k（L0v）>0k（Lxv）<0。因此最大k*（x） Lkv（x）的位置位于区间[0，x]的内部，满足：0<x<a，β（k*（x） ）=uxσ（1）- δ).因此，对于x≤ a、 我们通过构造max0≤K≤x{Lkv}=uxσ（1- δ） A*δxδ-1+σux2σ（1- δ） A*δ(δ - 1） xδ-2.- 拉*xδ=0。现在，fix∈ （a，b）。我们注意到k（Lkv）与uv（x）+∑β（k）v（x）具有相同的符号，因为β严格递增。此外，因为v是凹的，并且β在增加，所以我们得到了min0≤K≤xuv（x）+∑β（k）v（x）=uv（x）+∑β（x）v（x）。因此，有必要证明uv（x）+∑β（x）v（x）≥ 0代表x∈ （a，b）或等效，因为β是一个正函数，定义为φ（x）=μβ（x）v（x）+σβ（x）v（x）的函数是正的。我们用矛盾的方法证明，假设存在一些x，使得φ（x）<0。当方程27中φ（a）=0且φ（b）>0时，则存在一些x∈ [a，b]使得（φ（x）<0φ（x）=0。利用v满足的微分方程（58），我们得到φ（x）=（2r）- μβ（x））v（x）- μβ（x）v（x）=0从中我们推断φ（x）=μβ（x）v（x）+σβ（x）v（x）=μβ（x）v（x）+σβ（x）u（2r- μβ（x））v（x）=β（x）v（x）（u+2rσu）- σβ（x））。但是x≥ a和β（x）≤ β（a）。

此外，通过定义a，我们得到了σβ（a）≤u(1-δ).因此，等式（28）得出φ（x）≥ β（x）v（x）u+2rσu-u1 - δ≥ β（x）v（x）2rσu- uδ1 - δ≥ β（x）v（x）2rσu- u2rσu+2rσu+2rσu= 这是一个矛盾。为了在债务成本较高时完成股东价值的表征，我们必须研究（57）未满时的最优政策。我们预计在这种情况下a=0，这意味着对于所有x，经理应将所有现金投资于生产性资产。因此，我们对β（x）w（x）+∑β（x）w（x）的解感兴趣- rw（x）=0（60），使得w（0）=0。命题9假设函数x→xβ（x）和x→xβ（x）在0中是解析的，具有收敛性R的aradius。方程（60）的解w，使得w（0）=0由w（x）给出=∞Xk=0Akxk+ywithK≥ 1，Ak=-I（k+y）k-1Xj=0（j+y）p（k-j） （0）+q（k）-j） （0）（k）- j） !！aj函数p和q的位置p（x）=2uxσβ（x）q（x）=-2rxσβ（x）函数I由I（y）=μβ（0）y+σβ（0）y（y）给出- 1) - rand Yi是Iy的积极根源=-u+σβ（0）+q（u）-σβ（0））+2rσβ（0）。w的收敛半径至少等于R。证明：这个结果由Fuchs定理[23]给出。注意，方程（60）在零处消失的解可以写成wa（x）=Aw（x）。如果Frobenius级数的收敛半径是有限的，则可以使用柯西定理扩展之前定义的函数。因为β（0）≥ r、 我们有y<1。因此，我们有Limx→0w（x）=+∞ 还有limx→0w（x）=-∞因此，类似于引理15，我们证明了b的存在，使得w（b）=0。因为A是线性的，所以我们选择A=A*=w（b）得到凹形解w*到（60）和w*（0）=0（w）*)（b） =1和（w）*)（b） =0。我们延伸到w*线性关于（b+∞) a通常在[0]上获取C函数+∞[.提案10股东价值为w*.证据：必须检查w*满足自由边界问题。

按结构*是R上的一个c凹函数+*. 因为（w）*)（b） 我们有十、∈]0，b]，（w*)（十）≥ 1和十、≥ b、 （w）*)（x） =1。在[b]上+∞我们有马克斯≥0{Lkw*} = 马克斯≥0hβ（k）- α（（k）- x） +）- β（b）+r（b）- x） i=maxhmaxk≤xβ（k）- β（b）+r（b）- x） ，maxk≥xβ（k）- α（k）- 十）- β（b）+r（b）- x） i.使用β凹增，α凸增，α（0+）>μβ（0+），我们得到了maxk≥0{Lkw*} = β（x）- β（b）+r（b）- x） 。然后利用β的凹度，十、≥ b、 马克斯≥0{Lkw*} ≤ 0.仍然需要证明的是，对于每x<bmaxk≥0{Lkw*} = 0.使用β凹、α凸、α（0）>μβ（0）和w*我们有k>x，k（Lkw）*) = （β（k）- α（k）- x） ）（w*)（x） +σβ（k）β（k）（w）*)（十）≤ 因此，maxk≥0{Lk（w）*)} = max0≤K≤x{Lk（w）*)}.此外0<k<x，k（Lk（w）*)) = β（k）（w）*)（x） +σβ（k）β（k）（w）*)（x） =β（k）[u（w*)（x） +σβ（k）（w）*)（x） ]。我们期待十、∈]0，b]，K≤ 十、k（Lk（w）*)) ≥ 0.注意β（k）≥ 0和min0≤K≤xu（w）*)（x） +σβ（k）（w）*)（x） =u（w）*)（x） +σβ（x）（w）*)（x） 因为（w）*)（十）≤ 0和β在增加。因此，证明每x<b，u（w*)（x） +σβ（x）（w）*)（十）≥ 0或等效值，使用β≥ 0，φ（x）=μβ（x）（w）*)（x） +σβ（x）（w）*)（十）≥ 对于x<b，我们用矛盾的方法证明了x的存在，使得φ（x）<0。在0附近，我们有（w*)（十）~ A.*怀特霍斯-1和（w）*)（十）~ A.*y（y）- 1） xy-从中我们推断出β（x）xy-1.≤ β（0）xy，limx→0β（x）（w）*)（x） =0limx→0β（x）（w）*)（x） =0yieldinglimx→0φ（x）=0。但是φ（b）>0，所以有x∈]0，b[使得（φ（x）<0φ（x）=0.使用等式（60）的导数φ（x）=（2r- β（x））（w*)（十）- β（x）（w）*)（x） =0，由此我们推断：φ（x）=μβ（x）（w）*)（x） +σβ（x）（w）*)（x） =β（x）（w）*)（x） +σβ（x）u（2r）- β（x））（w*)（x） =β（x）（w）*)（x） （u+2rσu）- σβ（x））。现在，记住x>0，因此利用β的凹度，我们得到了β（x）≤ β(0).此外，β（0）≤方程（27）未满时的u+2rσ∑∑。因此，φ（x）≥ β（x）（w）*)（十）u+2rσu-u+2rσu≥ 这就产生了矛盾，结束了证明。

参考文献[1]阿斯穆森，A.，Hojgaard，B.，塔克萨，M.：最优风险控制和股息分配政策。保险公司超额损失再保险的例子。《金融与随机》，4299-324（2000）[2]Benes，V.E.，Shepp，L.A.，Witsenhausen，H.S.：一些可解的随机控制问题。《随机学》，4，38-83（1980）[3]布莱克，F.和J.考克斯，1976，《企业证券的估值：债券识别条款的一些影响》，金融杂志，31351-367（1976）[4]博尔顿，P.，陈，H.，王，N.：托宾q的统一理论，企业投资，融资和风险管理，金融杂志，（2011）[5]丘利，T.，塔克萨，M.，周，X.Y.：风险控制受限公司最优股息分配的差异模型。暹罗控制与优化杂志，411946-1979（2003）[6]Crandall M.G，Ishii H和Lions P.L:二阶偏微分方程粘性解用户指南，Bull。艾默尔。Soc。27, 1-67 (1992).[7] DeCamps，J.P.，Mariotti，T.，Rochet，J.C.和Villeneuve，S:自由现金流，发行成本和股票价格，金融杂志，661501-1544（2011）。[8] Della Sera M.，Morellec E.和Zucchi F.：债务结构、展期陷阱和违约风险，工作文件EPFL（2015）[9]Diamond，D.：金融中介和委托监控，经济研究回顾，51393-414（1984）[10]Federico，S，。Pham，H.：可逆投资问题中最优边界的表征，暹罗控制与优化杂志，5221802223（2014）。[11] 福赛斯，P。

和Laban G：《受控Hamilton-Jacobi-BellmanPDEs在金融中的数值方法》，计算金融杂志，11，第1-44页（2007）[12]Hausman U.G.，Suo W.：奇异最优随机控制I:存在性，暹罗控制与优化杂志，33916-936（1995）。[13] Haussman U.G.，Suo W.：奇异最优随机控制II：动态规划，暹罗控制与优化杂志，33937-959（1995）。[14] 霍杰加德，B.，塔克萨，M.：《控制风险敞口和股息支付方案：保险公司示例》，数学金融9，153-182（1999）。[15] Holmstrom，B.和Tirole，J.：流动性的私人和公共供应，政治经济杂志，106，第1-40页[16]Hugonnier，J.，Malamud，S.和Morellec，E.：资本供应不确定性，现金持有和投资，金融研究回顾，28，第391-445页（2015）[17]Jeanblanc Picqu\'E，M.，Shiryaev，A.N.：股息流动的优化。《俄罗斯数学调查》，50257-277（1995）[18]Kashyap A.，Rajan R.和Stein J.：《作为流动性提供者的银行：借贷和接受存款共存的解释》。《金融杂志》57 33-73，（2002）[19]利兰，H.E.：公司债务价值、债券契约和最佳资本结构。《金融杂志》491213-1252，（1994）[20]Ly Vath V.，Pham，H.和Villeneuve，S.：可逆技术投资股利政策的混合奇异/切换控制问题。《应用概率年鉴》，第18卷第3期，第164-1200页（2008年）。[21]Manso，G.，Strulovici B.和Tchistyi A.：业绩敏感债务，金融研究回顾，23 1819-1854（2010）[22]米勒，M.H.，莫迪利亚尼，F.：股息政策，增长和股票估值，商业杂志，34，311-433（1961）[23]纳克尔H。