规模收益率下降的流动性管理和担保信贷

2022-5-7 04:31:45

流动性管理，规模收益率降低，信贷额度有保障。埃尔万·皮埃尔*圣伊凡·维伦纽夫+泽维尔·沃林摘要：本文研究了一家现金受限企业的股息和投资政策，假设规模收益率和技术调整成本降低。我们通过允许企业利用担保信贷额度来对冲现金流短缺，以及投资/取消投资生产性资产，扩展了文献。我们将这个问题描述为一个二维奇异控制问题，并使用粘性解方法和验证技术来获得值函数的定性性质。在两种特殊情况下，我们进一步半显式地解决了控制问题。关键词：投资、股利政策、奇异控制、粘性解杰尔分类数：C61；G35。理学硕士分类号：60G40；91G50；91G80。1简介在一个完美资本市场的世界里，企业可以通过免费发行股票来为其运营成本和投资融资。只要一个项目的净现值为正，它就会找到准备好提供资金的投资者。这是Modigliani和Miller定理的中心假设[22]。另一方面，当企业面临外部融资成本时，这些成本会产生持有流动资产和保留收益的预防性需求。这种偏离莫迪利亚尼-米勒框架的做法近年来受到了广泛关注，并产生了一系列解释企业为何持有流动资产的论文。最早的论文有Jeanblanc和Shiryaev[17]、Radner和Shepp[26]，而最近的研究包括Bolton、Chen和Wang[4]、Decamps、Mariotti、Rochet和Villeneuve[7]以及Hugonnier、Malamud和Morellec[16]。在所有这些论文中，都假设企业将获得股权融资。

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2022-5-7 04:31:48

如果流动性耗尽，该公司要么清算，要么筹集新资金，以便通过发行股票继续运营。这种二元决策只取决于发行成本的严重程度。本文的主要目的是研究一个现金受限的企业拥有*EDF研发公司OSIRIS。电子邮件：erwan。pierre@edf.com+图卢兹经济学院（CRM-IDEI），法国图卢兹，21岁，布赖恩全日制，31000。电子邮件：斯蒂芬。villeneuve@tse-欧神父。本文作者衷心感谢Risk基金会支持的IDEI-SCOR“风险市场和创造价值”研究计划的财务支持EDF R&D&FiME，能源三月财务实验室（www.FiME-lab.org）混合资本结构。为此，我们在Bolton、Chen和Wang[4]第五章的论文基础上，允许企业获得担保信贷额度。虽然[4]假设规模和同质调整成本不变，这使他们能够利用企业的现金资本比率，从而减少问题的规模，但我们更愿意考虑线性调整成本的规模收益递减技术。银行信贷额度是提供流动性的主要来源，与持有现金的方式大致相同。Kashyap、Rajan和Stein[18]发现，美国小企业70%的银行借款是通过信用额度进行的。然而，获得信贷额度取决于借款人的偿付能力，这使得通过利率使用信贷额度成本高昂，从而使其成为现金的不完美替代品（Su fi[28]）。

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mingdashike22

2022-5-7 04:31:51

从理论角度来看，信贷额度的使用可以通过道德风险问题（Holmstrom Tirole[15]）或银行可以承诺在资本市场无法提供流动性的情况下向企业提供流动性这一事实来证明。因为银行有更好的筛选和监控技能（Diamond[9]）。在本文中，我们将信贷额度建模为银行和银行之间的完全承诺贷款关系。贷款合同规定，只要企业的未偿债务（以企业信贷额度的大小衡量）低于总资产价值（信贷限额），企业就可以提取信贷额度。公司资产负债表的负债部分由两种不同类型的所有者组成：股东和银行家。如果公司被清算，银行在总资产上比股东享有优先权。我们假设担保信贷额度持续收取一个可变利差，该利差超过了以企业长期债务为指标的无风险利率r，企业信贷额度越大，利差越大。在这种假设下，担保信贷额度在某种程度上类似于[21]中研究的绩效敏感型EBT，只是当股东不再能够用他们的资产担保信贷额度时，他们被迫破产。Black、Cox[3]和Leland[19]提出的许多模型将税收和破产成本之间的传统权衡视为债务发行的一种解释，将债务发行的可行性视为对其基础资产的或有债权，将破产视为企业管理层的内生决定。另一方面，这些模型假设无成本的股票发行，因此将流动性问题搁置一旁。

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2022-5-7 04:31:54

因此，公司在信贷市场借贷的决定独立于流动性需求和投资决定。一个值得注意的例外是Della Seta、Morellec、Zucchi[8]最近的一篇论文，该论文研究了债务结构和流动准备金对银行破产风险的影响。我们的模型属于一类模型，该模型考虑了混合资本结构企业的内生破产，用流动性约束代替税收。从数学的角度来看，现金管理问题被表述为奇异随机最优控制问题。作为奇异随机控制理论的参考，我们可以提到豪斯曼和苏[12]和[13]的开创性工作，以及应用于现金管理问题的Hojgaard和Taksar[14]，阿斯穆森，Hojgaard和Taksar[1]，Choulli，Taksar和Zhou[5]，Paulsen[24]等。将企业流动性、投资和融资合并到一个可处理的模型中是一个挑战，因为它解决了一个相当困难的三维奇异控制问题，其中状态变量是股权的账面价值、生产性资产的规模和资产的规模。利差可能由银行的股权资本成本调整。事实上，提供流动性直至达到公司信贷限额的全面承诺阻止了银行股东将部分股本分配给更有价值的投资机会。确定信用额度，而停止时间是违约的决定。关于多维控制问题的文献主要依赖于对主要例子的研究。Benes、Shepp和Witsenhausen[2]提出的所谓有限燃料问题就是一个典型的例子。

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2022-5-7 04:31:57

本文提供了一个罕见的二维优化问题的例子，该问题结合了奇异控制和停止，可以通过解析方法显式求解。最近，Federico和Pham[10]解决了一个退化的二维奇异控制问题，以研究一个可逆投资问题，其中社会规划者旨在控制其产能生产，以优化商品的随机需求。我们的论文补充了Federico和Pham[10]的论文，介绍了现金受限的企业。据我们所知，这是首次使用这种组合方法。这使得问题变得更加复杂，我们并没有假装完全通用地解决它，而是为这些多维奇异控制模型的未来发展铺平了道路。特别是，我们失去了valuefunction的全局凸性，这导致了[10]中必要的光滑性（见引理8）。相反，我们将给出值函数的性质（见命题6），并用粘性解（见定理2）来描述它。此外，我们将通过标准化论证明确解决无成本可逆投资的特殊情况。最后一个新的结果是，我们从金融机构的稳定性和利差函数的角度描述了内生破产。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了固定规模生产性资产的模型，形式化了担保信贷额度的概念，并定义了股东价值函数。第3节包含我们的第一个主要结果，它描述了最优信贷额度政策，并给出了固定规模生产性资产的自由边界问题的价值函数的分析特征。第4节是一个技术部分，通过明确解决自由边界问题来构建值函数。

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2022-5-7 04:32:01

第5节将分析扩展到生产性资产可逆投资的情况，并为股息和投资政策的完整描述铺平道路。2非投资模式我们考虑的是一家由风险中性股东拥有的公司，其生产性资产为固定规模，其价格标准化为统一，并与银行就担保信贷额度达成协议。信贷额度是随时可用的资金来源，最高信贷限额为资产总值。该公司已经能够通过将其生产性资产作为抵押品来获得信贷额度。然而，为了使信贷额度对银行股东具有吸引力，银行股东将其部分股权用于本协议，我们将假设该公司将根据信贷额度使用部分的大小，支付无风险利率r的可变利差。本文给出了信用额度合同，且利差是外生的，见假设1。最后，基于Diamond的结果[9]，我们假设股票发行的成本非常高，以至于该公司不愿意通过在股票资本市场筹集资金来增加现金储备，而是更愿意提取信用额度。公司在每个日期都有以下资产负债表：Ly Vath、Pham和Villeneuve[20]还研究了两种可选技术的可逆投资问题，这两种技术适用于无法获得外部资金的现金受限公司。K XtMtLtoK代表公司的生产性资产，假设为恒定且标准化的tooneMTM代表现金储备或流动资产的金额Lt代表信贷额度的大小，即在信贷额度上提取的现金金额最后，Xt代表权益的账面价值。随着时间的推移，生产性资产不断产生现金流。

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2022-5-7 04:32:04

累积现金流过程R=（Rt）t≥0被建模为一个具有漂移μ和波动率σ的算术布朗运动，在一个完整的概率空间中定义(Ohm, F、 P）配备过滤（Ft）t≥0.具体而言，累积现金流的演变为DRT=udt+σdBtwhere（Bt）t≥0是关于过滤（Ft）t的标准一维布朗运动≥0.信贷额度要求企业支付的利息随着信贷额度使用部分的增加而增加。我们假设利息支付由函数α（.）其中，假设1α是一个严格递增、连续可微的凸函数，如十、≥ 0，α（x）≥ r和α（0）=0。（1）信用额度差α（.）- 因此，r严格来说是正的，并且在增加。流动资产的利率为r- δ其中δ∈ （0，r]代表流动性的账面成本。因此，在这个框架中，现金储备演变为dmt=（r- δ） Mt-dt+（u）- α（Lt）-))dt+σdBt- dZt+dLt（2），其中（Zt）是一个递增的右连续（Ft）自适应过程，表示截至时间t的累计股息支付；（Lt）是一个正的右连续（Ft）自适应过程，表示时间t的信用额度（未偿债务）的大小。使用会计关系1+Mt=Xt+Lt，我们推导出权益DxT=（r）账面价值的动态- δ） Xt-dt+（u）- （r）- δ） +（r）- δ）中尉-- α（Lt）-))dt+σdBt- dZt。（3）最后，我们假设该公司在以下意义上受到现金约束：第4节将研究可变规模情况的扩展。该假设在有现金的模型中是标准的。它以一种简单的方式捕获代理成本，有关更多详细信息，请参见[7]，[16]消费2现金储备必须为非负，并且当股权账面价值为零时，公司管理层被强制清算。

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2022-5-7 04:32:07

利用会计关系，这相当于假设银行在破产后收回所有生产性资产。管理层的目标是使股东价值最大化，即所有未来股息支付的预期贴现价值。由于股东被认为是风险中性的，未来现金流以无风险利率r贴现。企业可以通过将其所有资产分配给利益相关者，随时停止活动。因此，目标是最大化容许控制π=（L，Z）函数L（x，L；π）=Ex，LZτe-rtdZt式中τ=inf{t≥ 0，Xπt≤ 0}根据假设2。这里x（resp.l）是权益资本（resp.debt）的初始值。我们用∏表示容许控制变量集，并用v定义股东价值函数*（x，l）=supπ∈πV（x，l；π）。（4）备注1我们假设现金储备必须是非负的（假设2），因此为了允许，控制π=（L，Z）必须在任何时候满足tdZt≤ Xt-.3无投资模型解决方案本节推导股东价值以及最佳股息和信贷额度政策。它依赖于控制问题的标准HJB特征和验证程序。3.1最优信贷额度问题股东优化问题（4）涉及两个状态变量，即equitycapital XT的值和信贷额度Lt的大小，因此很难解决。幸运的是，下一个命题将使我们能够减少维数，并使其易于V的计算*.

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2022-5-7 04:32:09

命题1表明，只有当现金储备耗尽时，信贷额度发放才是最优的。提议1提取信贷额度的一个必要且充分的条件是现金储备耗尽，即T∈ R+，LtMt=0或等效的Lt=（1- Xt）+。证据：首先，根据假设2，很明显，当现金储备为非正时，企业管理层必须提取信用额度。相反，假设现金储备m的水平严格为正。我们将证明，通过使用现金储备来降低长期债务水平总是更好的。我们假设信用额度的初始规模为L0-= l>0并表示πt=（Lt，Zt）任何可容许策略。让我们通过φ来定义权益账面价值变化的信贷额度成本，即φ（l）=α（l）-（r）-δ） l股权动态的账面价值为xt=（r- δ） Xt-dt+（u）- （r）- δ) - φ（Lt）-))dt+σdBt- dZt。（5）注意φ严格地增加。我们首先假设该公司在时间0时没有提取信用额度，L=L。因为m>0，我们将根据π构建一个策略，如下所示：L= L- 对于0< < 最小值（m，l）和0≤ LT≤ 中尉，Zt=Zt+Rt（φ（Ls）- φ（L）s））D注意信用额度发放策略包括在信贷额度发行策略L下的债务总是较少，并且由于φ增加，股息策略Ztpays的股息策略高于Zt。此外，用π表示= （L）t、 Zt）式（5）显示了π下的破产时间从（x，l）开始- ) 从（x，l）开始的π下的破产时间具有相同的分布。因此，V（x，l；π）) = E（x，l）-)ZτπE-rsdZs！>E（x，l）-)ZτπE-rsdZs！=E（x，l）Zτπe-RSDZ= V（x，l；π），这表明遵循π更好比π。

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2022-5-7 04:32:13

因此，如果m>l，最好使用m设置l=0- l个单位的现金储备，而如果m<l，则最好将债务减少到l- m、在任何情况下，在任何时间Lt=（1- Xt）+。现在，如果我们假设公司在时间0提取信用额度，即。L6=0，需考虑两种情况L=0，只有当m>L时才有可能。在这种情况下，我们将Lεt=Lt和Zεt=Ztfort设置为>0五十> 0。在这种情况下，我们采用相同的策略π带0< < 最小（m，l+五十）。根据命题1，我们将价值函数定义为v*（x） =V*(x)(1)- x） +）。本节的剩余部分与v的推导有关*.3.2企业价值的分析表征由于假设资本水平为常数，命题1使我们的控制问题成为一维问题。因此，我们将遵循标准的验证程序，以自由边界问题的形式描述值函数。为了关注信贷额度对流动性管理的影响，我们将在下文中假设δ=r。该假设不丧失一般性，但允许我们在分析HJB自由边界问题时更加明确。我们用L表示微分算子：LΦ=（u- α((1 - x） +））Φ（x）+σΦ（x）- rΦ。（6）我们首先给出以下标准结果，证明自由边界问题的光滑解与值函数v一致*.命题2假设在（0+∞) 连同一对常数（a，b）∈ R+×R+这样，十、≤ a、 Lw≤ 0和w（x）=xA.≤ 十、≤ b、 Lw=0和w（x）≥ 1.x>b，Lw≤ 0和w（x）=1。（7）当w（b）=0（8）时，则w=v*.证明：修复策略π=（Z）∈ Π. 设：dXt=（u）- α((1 - Xt-)+)dt+σdBt- dZt，X（0-) = xbe政策π下权益账面价值的动态。

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2022-5-7 04:32:17

让我们分解Zt=Zct+中兴通讯≥ 0，其中zc是Z的连续部分。当Xt=ε时，第一次取τε。利用广义It^o公式，我们得到：-r（t）∧τε）w（Xt∧τε）=w（x）+Zt∧τεe-rsLw（Xs）ds+Zt∧τεσe-rsw（Xs）dBs-Zt∧τεe-rsw（Xs）dZcs+X0≤s≤T∧τεe-rs[w（Xs）- w（Xs）-)].因为wis是有界的，所以第三项是平方可积鞅。取期望值，我们得到w（x）=Ex[e-r（t）∧τε）w（Xt∧τε)] - 前任Zt∧τεe-rsLw（Xs）ds+ 前任Zt∧τεe-rsw（Xs）dZcs- Ex“X0≤s≤T∧τεe-rs[w（Xs）- w（Xs）-)]#.因为w≥ 1，我们有w（Xs）- w（Xs）-) ≤ Xs=-因此，第三项和第四项的范围低于byExZt∧τεe-rsw（Xs）dZs.此外，w是正的，因为w随着w（0）=0和Lw的增加而增加≤ 因此，前两项为正。最后，w（x）≥ 前任Zt∧τεe-rsw（Xs）dZs≥ 前任Zt∧τεe-RSDZ.让t→ +∞ ε→ 0我们得到w（x）≥ 五、*（x）。为了证明逆不等式，我们将证明存在一个可容许策略π*所以w（x）=v（x，π*). 让（X）*t、 Z*t）是x的解吗*t=Zt（u）- α((1 - Xs-)+))ds+σBt- Z*t（9）其中，Z*t=（x11{x≤a} +（x）- b） +）1{t=0-}+Zt∧τ-a{X*s=b}dZ*s+a1{t≥τa}（10），其中τa=inf{t≥ 0，X*T-≤ a} Skorokhod问题的标准结果保证了其存在（例如，参见Revuz和Yor[27]）。策略π*= （Z）*t）是可以接受的。还要注意X*这是连续的[0，τ-a] 。很明显，v（x，π）*) = x=w（x）代表x≤ a、现在假设x>a，沿着策略π*, 清算时间τ与τX一致*τa=0。在证明的第一部分，我们进行类比，得到w（x）=ExE-r（t）∧τ） w（X）*T∧τ)+ 前“Zt∧τ-E-rsw（X）*s） dZ*s#+Ext> τe-rτ（w（X）*τ-) - w（X）*τ))= 前任E-r（t）∧τ） w（X）*T∧τ)+ 前“Zt∧τ-E-rsw（b）dZ*s#+Ext> τe-rτa= 前任E-r（t）∧τ） w（X）*T∧τ)+ 前任Zt∧τe-rsdZ*s,当最后两个等式使用时，w（a）=a w（b）=1和(Z*)τ=a。

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2022-5-7 04:32:20

现在，因为ew（0）=0，ExE-r（t）∧τ） w（X）*T∧τ)= 前任E-rtw（X）*t） 11吨≤τ.此外，因为w最多有线性增长和π*是可以接受的，我们有限制→∞前任E-rtw（X）*t） 11吨≤τ= 因此，我们通过让t趋向于+∞,w（x）=ExZτe-rsdZ*s= v（x，π）*)这就是证据。注2：我们注意到，当a=0且w（0）由标准局部化参数确定时，证明仍然有效，这将在第4.3.3节最优策略中出现。验证定理允许我们描述值函数。以下理论总结了我们的发现。定理1在假设1和假设2下，以下结论成立：o如果u≤ r、清算公司是最佳选择，v*（x） =x.o如果u≥ α（1），企业价值是权益账面价值的递增函数和凹函数。超过阈值b的任何超额现金*= inf{x>0，（v*)（x） =1}支付给股东。（见图1）如果u<α（1），则该公司的价值是权益账面价值的凹凸函数。当权益的账面价值低于阈值a=sup{x>0，v*（x） =x}，最好是清算。超过阈值b的任何超额现金*a=inf{x>a，（v*)（x） =1}支付给股东。（见图2）将我们的结果与所有股权融资的结果进行比较很有趣。首先，由于信用额度的使用成本很高，最好等到现金储备耗尽后再使用。此外，存在一个目标现金水平，高于该水平，派发股息是最佳的。这两个发现与所有股权融资的情况类似。另一方面，在我们的情况下，现金的边际价值可能不是单调的。事实上，当信贷额度的成本很高时，股东终止借贷关系就成了最佳选择。

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kedemingshi

2022-5-7 04:32:23

该嵌入期权值使股东价值在清算阈值a附近局部凸。在我们的模拟中，成本越高（用λ衡量），战略违约越早或等价，价值函数减小，而嵌入退出期权随着信贷成本的增加而增加。战略违约源于这样一个事实：企业的瞬时盈利能力- 权益资本价值较低时，α（x）变为负值。这是我们的模型的一个关键特征，当公司全部为股权时，这种情况永远不会发生，因为零现金的边际价值是触发股权发行或清算的唯一统计数据。图1绘制了一些值函数，当u≥ α（1），使用α的线性函数，α（x）=λx，λ的不同值。图1：将股东价值函数与u=0.25、r=0.02、σ=0.3和u进行比较≥ α（1）表示λ的不同值，其中α（x）=λx。图2绘制了一些值函数，当α（1）>u时，使用线性函数表示α，α（x）=λx表示λ的不同值。图2：比较λ的不同值的股东价值函数，其中α（x）=λx。下一节将致力于定理1的证明。该证明基于自由边界问题光滑解的显式构造，并需要一系列技术引理。4解决自由边界问题定理1的第一个陈述来自这样一个事实：当μ≤ r、为了看到这一点，我们必须证明L ~w（x）对于anyx是非正的≥ 0

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2022-5-7 04:32:26

一个简单的计算给出了x>1，L~w（x）=u- rx<u- R≤ 0代表x≤ 1，Lw（x）=u- α(1 - 十）- rx。利用假设1的方程（1），我们观察到Lw（x）对于x是非减量的≤ 当u为1时，x=1时为非正≤ r、此后，我们将假设u>r，并关注函数w和满足命题2的常数对（a，b）的存在性。我们将分两步进行。首先我们要建立微分方程Lw=0的解的一些性质。其次，我们将考虑两种不同的情况——一种是企业的生产率始终高于最大利息支付α（1）≤ u，另一种情况是，贷款的利息支付可能超过企业的生产率α（1）>u。线性二阶微分方程的标准存在唯一性结果意味着，对于每个b，柯西问题：rw（x）=（u）- α((1 - x）（+））w（x）+σw（x）w（b）=1w（b）=0（11）在[0，b]上有唯一的解。通过构造，该解决方案满足wb（b）=u-α((1-b） +）r.线性扩展到[b，∞[as wb（x）=x- b+u-α((1-b） +）r代表x≥ b在[0]上产生一个双连续可微函数，∞4.1柯西问题解的性质我们将建立光滑解wbof（11）的一系列初步结果。引理1假设b>1。如果wb（0）=0，则wb增加，因此是正的。证明：因为wb（0）=0，wb（bu）=rand Lwb=0，最大值原理意味着wb>0on（0+∞). 让我们定义为inf{x>0，wb（x）=0}如果c=0，那么wb（0）=wb（0）=wb（0）=wb（0）=0。由于柯西问题的唯一性，这将导致wb=0，这与wb（b）=ur相矛盾。因此，c>0。如果c<b，我们会有wb（c）>0，wb（c）=0和wb（c）≤ 因此Lwb（c）<0，这是一个矛盾。因此，我总是积极的。引理2假设b>1。

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kedemingshi

2022-5-7 04:32:30

我们在[1，b]上有wb>1和wb<0。证明：因为wb在[1，b]上是光滑的，我们微分方程（11）得到wb（b）=2rσ>0。当wb（b）=0和wb（b）=1时，wb<0，因此wb>1在某个区间]b- , b[，在哪里 > 现在假设wb（x）≤ somex一个∈ [1，b- ] 让)x=sup{x∈ [1，b- ], wb（x）≤ 1}. 然后wb（x）=1，wb（x）>1∈]~x，b[，因此wb（b）- wb（x）>b- x代表所有x∈]~x，b[因为wb（b）=ur，这意味着对于所有x∈]~x，b[，wb（x）=σ[rwb（x）- uwb（x）<σ[r（x- b+wb（b））- u]=σr（x- b） <0这与wb（b）=wb（~x）=1相矛盾。因此，wb>1大于[1，b[。此外，使用单mma 1，wb（x）=σ[rwb（x）- uwb（x）<σ[rwb（x）- u]<σ[rwb（b）- u]= 0.下一个结果给出了b上的一个充分条件，以确保wbon（0，b）的凹性。推论1假设b≥α（1）randu≥ α（1），我们有wb>1和wb<0除以]0，b[。证明：与引理2的证明类似，我们定义了x=sup{x∈ [0，b]-], wb（x）≤ 1} 使得wb（~x）=1，对于x，wb（x）>1∈]~x，b[，因此wb（b）- wb（x）>b- x或所有x∈]因为b>α（1）r>1，wb（b）=ur，我们有wb（x）=σ[rwb（x）- (u - α((1 - x） +））wb（x）<σ[r（x- b+wb（b））- (u - α((1 - x） +）]<σ[r（x- b） +α（（1）- x） +）]。用g表示函数g（x）=σ[r（x- b） +α（1）- x） ]，x∈ [0,1[.我们有g（x）=σ[r]- α(1 - x） ]根据假设1小于0。因为g（0）=σ[-rb+α（1）]≤ 0如果b≥α（1）r，x的wb（x）<0∈]0,1]与wb（~x）=1和wb（1）>1相矛盾。因此wb>1在[0,1]上，从这里它跟随wb<0，wb在[0,1]上是凹的。因为引理2给出了wbon[1,b]的凹性，我们得出结论。

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能者818

2022-5-7 04:32:33

下一个命题建立了关于函数b正则性的一些结果→ wb（y）针对固定y∈ [0,1[.引理3对于任何y∈ [0,1[，b]→ wb（y）是b在[y，1]上的递增函数，在[1]上严格递减+∞【证明：考虑线性二阶微分方程LH=0除以[y]的解Hyand Hyto，∞[以初始条件Hy（y）=1，（Hy）（y）=0，Hy（y）=0，（Hy）（y）=1为特征。我们首先证明（Hy）和（Hy）在[y]上严格正，∞[.因为Hy（y）=1和（Hy）（y）=0，一个人有（Hy）（y）=2rσ>0，这样（Hy）（x）>0在某个区间]y，y+[哪里 > 0.现在，假设通过矛盾的方式，~x=inf{x≥ y+, （Hy）（x）≤ 0} < ∞. 然后（Hy）（x）=0和（Hy）（x）≤ 0.因为Hy=0，所以Hy（~x）≤ 0，这是不可能的，因为Hy（y）=1，并且hyis在[y，~x]上严格增加。因此（Hy）>0/y；∞【如前所述。hyissimular的证明是相似的，因此省略了。接下来，让我们看看为什么，Hy=Hy（Hy）- Hy（Hy）是Hyand Hy的Wronskian。一个人有为什么，Hy（y）=1和十、≥ y、为什么，Hy（x）=Hy（x）（Hy）（x）- Hy（x）（Hy）（x）=σ[Hy（x）（rHy（x）- (u - α((1 - x） +）（Hy）（x））- Hy（x）（rHy（x）- (u - α((1 - x） +）（Hy）（x））]=-2[u - α((1 - x） +）]σ为什么，Hy（x）。因为α是可积的，所以阿贝尔恒等式遵循积分：十、≥ y、为什么，Hy（x）=expσ-u（x）- y） +Zxyα（（1）- u） +）杜.因为为什么，Hy>0，Hy和hya是线性独立的。因此，（Hy，Hy）是方程LH=0的二维解空间的基础。

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kedemingshi

2022-5-7 04:32:36

具体来说，对于每个b>0，on可以表示WBA：十、∈ [y，b]，wb（x）=wb（y）Hy（x）+wb（y）Hy（x）。使用边界条件wb（b）=u-α((1-b） +）rand wb（b）=1，on可以求解wb（y）如下：wb（y）=（Hy）（b）u-α((1-b） +）r- 为什么，为什么。使用Wronskian的导数以及Hyis溶液LH=0的事实，很容易验证：B∈ [y，1[，dwb（y）db=（Hy）（b）α(1-b） +r- 1.为什么，Hy（b）B∈]1.∞[，dwb（y）db=-为什么。所以wb（y）是b在[y，1]上的递增函数，在[1]上严格递减，∞[. 推论2如果b>b>1，那么wb<wb。证据：让我们定义W=wb- wb。很明显，在[b]上W>0+∞[.此外，通过引理3，我们在[0，b]和W（0）>0上有LW=0。此外，通过引理2，wb（b）=wb（b）和wb（b）>wb（b）。因此，最大值原理意味着wb<wbon[0，b]。最后，wb是凹的，因此b的wb（b）=1≤ 十、≤ b、 wb（x）≤ wb（b）+x- b=ur+x- b<ur+x- b=wb（x）。4.2自由边界问题解的存在性我们现在能够刻画值函数并确定最优股利政策。必须考虑两种情况：当公司的盈利能力始终高于最高利息支付（u≥ α（1））以及当支付的利息超过公司的盈利能力时（u<α（1））。4.2.1情况：u≥ α（1）下一个引理建立了解wb的存在性*对于柯西问题，比如wb*(0) = 0.引理4存在b*∈]1，ur[使（11）的溶液满足wb*(0) = 0.证据：因为≥ α（1），我们从推论1知道wuris是[0，ur]上的凹函数。此外，因为u>r，wur（ur）=ur。因为wur在[0]上严格凹，所以ur[带wur（ur）=urand wur=1，wur（x）≤ x代表所有x∈]0，ur[.特别是wur（0）<0.此外，我们有：w（0）=u- α（1）r≥ 因此引理3意味着w（0）>0。

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2022-5-7 04:32:39

最后，通过连续性，有一些b*∈]1，ur[wb*（0）=0，由此得出证明。下一个引理建立了wb的凹性*.引理5函数wb*在[0，b]上是凹的*]证据：因为b*> 引理2意味着wb*[1，b]是凹的*] 因此wb*(1) ≤ 0.对于x<1，我们对wb满足的微分方程进行微分*为了得到，σwb*（x） +（u）- α(1 - x））wb*（x） +（α（1）- 十）- r） wb*（x） =0。（12）因为wb*我们有wb*(0) = -σ(u - α（1））wb*(0) ≤ 0 .现在，假设wb*> [0，1]的某个子区间上的0。因为*在[0,1]的边界上是连续的非正的，有一些c，比如wb*（c） =0和wb*（c） >0。但是，这意味着*（c） =-(u - α(1 - c））wb*（c） α（1- c）- 这与引理1是矛盾的。提案3如果≥ α（1），wb*是控制问题的解决方案（9）。证据：因为wb*在[0，b]上是凹的*] 和w（b）*) = 1，w≥ [0，b]上的1*]. 因此，我们有一个两次连续可微凹函数wb*和一对常数（a，b）=（0，b）*) 满足命题2和wb的假设*= 五、*. 当最大利息支付低于企业可盈利能力时，价值函数为凹函数。这说明股东们害怕清算一家可供出售的公司。特别是，股东价值是波动性的递减函数。4.2.2病例：u<α（1）我们首先表明∈ [0,1[，wbys是柯西问题（11）的解，wby（y）=y。引理6表示所有y∈ [0,1[，我们有w（y）>y。证明：因为α与α（0）=0和u>r是连续的，所以存在就这样-(1 - ) =u-α()R> 1.通过微分方程（11），我们观察到：-(1 - ) =σ（r）- α()) < 0使用公式（1）。因此w1-在1的左邻域中是凸的- ε.

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2022-5-7 04:32:42

如果w1-isconvex开启（0，1- ε）然后w1-（十）≥ 十、- (1 - ) +u-α()r> 对于足够小的ε，证明了结果。如果w1-在（0，1）上不是凸的- ε）然后它将存在一些¨x<1- ε使得w1-（\'x）=0，w1-（\'x）>0和w1-[x，1]上的凸-]. x处的微分方程（11）给出了w1-（\'x）<0。因此w1-在¨x附近不增加。通过矛盾的方式假设w1-在某个点上增加∈ [0，\'x[。这意味着存在着\'x<\'x，比如w1-（x）=0，w1-（x）<0和w1-（x）>0，这与等式（11）相矛盾。因此1-在（0，\'x）上是递减的，在（\'x，1）上是凸的- ε）这意味着w1-（x） >x代表所有x≤ 1.- ε. 总之，对于任何y<1的情况，我们都可以找到足够小的ε来表示w1-（y）可以通过引理3扩展到w（y）>y。推论3适用于所有人∈ [0,1[，有一个唯一的by∈]1，1+ur[这样wby（y）=y.证明：通过引理1，w1+ur凹在]1，1+ur[，因此w1+ur（1）<ur+（1- （1+ur））=0。假设[0,1]中存在c，使得w1+ur（c）>0，则存在x∈]c、 1[w1+ur（~x）<0，w1+ur（~x）=0，w1+ur（~x）>0屈服于与最大值原理的标准矛盾。因此，我们所有y都有w1+ur（y）<y∈ [0,1+ur]。利用引理6和函数b的连续性→ wb（y），它在所有y<1的情况下都存在∈]1，1+ur[使得wby（y）=y。By的唯一性来自推论2。现在我们将研究wby的第一个导数的行为。引理7存在 > 0使wb1-ε(1 - ε) ≥ 1和b1-<ur.证明：因为α（0）=0且u>r，所以η>0的存在使得十、∈ [1 - η, 1], α(1 - x） +rx- u < 0. （13）此外，通过引理2和thuswur（1），wuris在[1，ur]上严格凹≤ wur（ur）+（1）-ur）wur（ur）=1。因为通过引理2，我们在[1，ur]上有wur>1，存在ν>0，这样十、∈ [1 -ν、 1]，wur（x）<x。设ε=min（η，ν）。

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2022-5-7 04:32:45

根据推论3，它存在于b1-∈]1,1+ur[使WB1-(1 - ) = 1.- . 我们有wb1-(1 - ) > wur（1）- ) 然后是b1-<urby推论2。让我们考虑函数W（x）=wb1-（十）- x、我们有W（1）- ) = 0，W（b1-) =ur- b1-> 0.此外，W是溶液（u- α((1 - x） +）W（x）+σW（x）- rW（x）=α（（1）- x） +）+rx- u. （14）在[1]上- , 1] ，由于等式（13），等式（14）的第二个成员为负。在[1,b1]上-] , 它等于rx- u是负数，因为b1-<ur.通过对比的方式，假设有一些x∈ [1 - , b1-] 如果W（x）<0，那么它就存在x∈ [1 - , b1-] 使得W（~x）<0，W（~x）=0，W（~x）>0，这与方程（14）相矛盾。因此，W是[1]上的正函数-, b1-] 与W（1）- ) = 0.wb1-(1 - ) ≥ 1.引理8当u<α（1）时，WB是一个凹凸函数。证明：根据推论3，存在b∈]1，1+ur[使得wb（0）=0，并且在（0，b[）上的byLemma 1，wb>0。使用等式（11），我们得到wb（0）>0，这意味着wb在0的右邻域上是严格凸的。因为b>1，引理2意味着[1，b]上的wb（x）<0。如果wb的凹度有一个以上的变化，它将存在\'x\'∈ [0,1[使wb（\'x）>0，wb（\'x）=0和wb（\'x）≥ 0屈服于标准矛盾。命题4如果u<α（1）和wb（0）≥ 1，wbis股东价值函数（4）证明：当WBB（0）时，很容易看到函数满足命题2≥ 1.现在，我们将考虑wb（0）<1的情况。引理9如果wb（0）<1，则存在∈]证明：设φ（x）=wbx（x）。通过假设，我们得到φ（0）<1，通过引理7，φ（1）-ε) > 1.通过φ的连续性，存在一个∈]0,1[使wba（a）=1.根据定义，WBASatis函数的wba（a）=a。引理10是[a，ba]上的一个凹凸函数。证明：首先，我们证明WBAI在[a，ba]上增加。

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2022-5-7 04:32:48

因为wba（a）=1，所以我们可以定义x=min{x>a，wba（x）≤ 0}. 如果x≤ ba，我们将有wba（~x）=0，wba（~x）>0和wba（~x）≤ 0屈服于标准矛盾。根据引理1，我们在[1，ba]上有wba（x）<0，因为ba>1。类似于引理8的证明，我们证明了wbais是一个凸凹函数，因为它不能两次改变凹性。引理11我们在（a，ba）上有wba>1，ba<ur。证明：根据引理10，wbai是凸凹的，wba（a）=1，wba（ba）=1，因此十、∈]a、 ba[，wba（x）>1。因此，wba（x）>x在[a，ba]上，尤其是wba（1）>1。记住wur（1）<1，并使用推论2，我们得到了ba<ur。命题5如果wb（0）<1，函数w（x）=x代表x≤ awba（x）为a≤ 十、≤ 巴克斯- ba+urfor x≥ 股东价值函数（4）。证据：直接检查w是否满足命题2。5投资模型在本节中，我们丰富了模型，允许对生产性资产进行可变投资。我们将通过引入具有limx的增加凹函数β，假设规模收益率降低→∞β（x）=影响股权账面价值动态的β，如下所示：（dXt=β（Kt）（udt+σdWt）- α（（Kt）- Xt）+）dt- γ| dIt |- dZtdKt=dIt=dI+t- dI-t（15），其中I+t（分别为I-t）是指截至时间t的生产性资产的累计投资资本（或取消投资），γ>0是一种外生比例投资成本。因此，假设（2）在未偿债务水平达到生产性资产和流动性资产的清算价值之和时强制清算（1）- γ） Kt+Mt。管理的目标是最大化可接受的策略π=（Zt，It）t≥0风险中性股东价值V*（x，k）=supπEx，kZτe-rtdZt（16）式中τ=inf{t≥ 0，中尉≥ (1 - γ） Kt+Mt}=inf{t≥ 0，Xt≤ γKt}。从定义上讲，我们有K≥ 0，V*（γk，k）=0。

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2022-5-7 04:32:51

（17） 5.1动态规划和自由边界问题，以导出V的经典解析特征*对于自由边界问题，我们依赖动态规划原理如下：对于任意（x，k）∈ 其中S={（x，k）∈ R+，x≥ γk}，韦哈维夫*（x，k）=supπEZθe-rtdZt+e-rθV*（Xθ，Kθ）（18）其中θ是任何停止时间。以次优控制π为例，即只在t=0时投资一定数量的h。然后，根据动态规划原理，我们得到θ=0+，V*（x，k）≥ 五、*（X+，K+）=V*（十）- γh，k+h）。那么，V*（x，k）- 五、*（十）- γh，k）+V*（十）- γh，k）- 五、*（十）- γh，k+h）≥ 除以h，我们得到γV*（x，k）- 五、*（十）- γh，k）γh-五、*（十）- γh，k+h）- 五、*（十）- γh，k）h≥ 0.如果V*如果足够光滑，我们可以让h趋于0，得到γ五、*十、-五、*K≥ 同样，我们可以证明γ五、*x+五、*K≥ 0五、*十、- 1.≥ 0和-LkV*≥ 0其中Lk是二阶微分算子Kw=β（k）u- α（（k）- x） +）Wx+σβ（k）W十、- rw。（19）本节的目的是通过动态规划原理将股东价值描述为自由边界问题的唯一连续粘性解，以便使用数值程序来描述最优策略。F（x，k，V）*, 数码摄像*, 数码摄像*) = 其中f（x，k，w，Dw，Dw）=min-Lkw，W十、- 1, γW十、-Wk、 γWx+WK.我们将首先建立股东价值函数的连续性，这依赖于我们在下面证明的关于命中次数的一些初步众所周知的结果，以确保其完整性。引理12设a<b和（xn）n≥0一个实数序列，使得limn→+∞xn=band minnxn>a.Let（Xnt）n≥0随机微分方程（dXnt=un（Xnt）dt+σndWtXn=xnwhereuandσ）的解满足标准的全局Lipschitz和线性增长条件。

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2022-5-7 04:32:54

此外，（σn）n≥0是收敛到σ>0和（un）n的严格正实数≥0是一致收敛到μ的边界函数序列。让我们定义Tn=inf{t≥ 0，Xnt=a}和θn=inf{t≥ 0，Xnt=b}。我们有→+∞P（θn<Tn）=1。证明：让我们定义Un的功能，Fn:I→ R、在包含（a，b）asUn（y）=Zyun（z+xn）dz，Fn（y）=Zye的有界区间I上-2Un（z）σndz。因为（un）n≥0一致收敛到u，我们注意到（Fn，Un）n≥0一致收敛于（F，U），其中F（y）=Zye-2U（z）σdzandU（y）=Zyu（z+b）dz。设Ynt=Xnt- xn，Mnt=Fn（Ynt）和τn=inf{t≥ 0，Ynt/∈]an，bn[}带an=a- xbn=b- xn。我们首先证明τ是可积的。因为fn是过程Ynt的标度函数，所以mnt是一个二次变化的局部鞅<Mn>t=Ztσne-4Un（Yns）σnds。因为（<Mn>t∧τn）≤ σnt exp-σn最小∈[an，bn]Un（y）< +∞过程（Mnt）∧τn）t≥0和（（Mnt）∧τn）- < Mn>t∧τn）t≥都是鞅。根据可选抽样理论∧τn）- < Mn>t∧τn]=0，这意味着Zt[0，τn]（s）σne-4Un（Yns）σnds= E[Fn（Ynt∧τn）]和σnexp-σnmaxy∈[an，bn]Un（y）E[t]∧ τn]≤ 麦克西∈[an，bn]Fn（y）因此有一个常数Kn>0T≥ 0，E[t∧ τn]≤ 千牛。通过控制收敛，我们得出结论：τnis可积。鞅性质impliese[Fn（Ynt∧τn）]=0哪个yieldsE[Fn（Ynτn）]=0，主要是因为T≥ 0，| Fn（Ynt）∧τn）|≤ 麦克西∈[an，bn]|Fn（y）|。这相当于toFn（an）（1- p（an，bn））+Fn（bn）p（an，bn）=0，其中p（an，bn）=p（Ynτn=bn）。因此，p（an，bn）=-Fn（an）Fn（bn）- Fn（an）。此外，P（θn<Tn）=P（Xnτn=b）=P（Ynτn=b）- xn）=p（an，bn）。利用Fn的一致收敛性，我们得到了limn→+∞P（θn<Tn）=limn→+∞p（安，bn）=-F（a）- b） F（0）- F（a）- b） =1。引理13设a<b和（xn）n≥0一个实数序列，使得limn→+∞xn=band minnxn>a.Let（Xnt）n≥0（dXnt=un（Xnt）dt+σndWtXn=xnw的解，假设与引理12相同。

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2022-5-7 04:32:57

存在这样的常数A和B-B- xnσn（pAn+2rσn）- （安）≤ E[E]-rθn]≤ 经验-B- xnσn（pBn+2rσn）- Bn）.（21）证明：因为un是有界函数，所以有两个常数A和B≤ un（x）≤ bn对于所有a<x<b，我们定义了Xnt=xn+Ant+σnWt。相比之下，我们有≤ xN和θn≤~θn，其中~θn=inf{t≥ 0，~Xnt=b}。但是∧θ的拉普拉斯变换是显式的，由[e]给出-r~θn]=exp-B- xnσn（pAn+2rσn）- （安）这就得到了（21）的左不等式。对于引入`Xtn=xn+Bnt+σnWt的右不等式，证明是类似的。命题6股东价值函数是联合连续的。证明：Let（x，k）∈ 让我们考虑（xn，kn）S中的一个序列收敛到（x，k）。因此，{（xn）- γ| k- kn |，k），（x- γ| k- kn |，kn）}∈ 足够大的稳定部队。我们考虑了以下两种策略，对于足够大的n是允许的：o策略πn：从（x，k）开始，如果kn- k>0（或如果kn- k<0），并且在清算时间和（xn，kn）的撞击时间之间的最小值内不做任何事情。表示（Xπnt，Kπnt）t≥0与策略πn相关的控制过程。o策略πn：从（xn，kn）开始，如果kn- k<0（如果kn- k>0），并且在清算时间和（x，k）的命中时间之间不执行任何操作。表示（Xπnt，Kπnt）t≥0与策略πn相关的控制过程。为了证实这个想法，假设kn>k。

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2022-5-7 04:33:00

策略π使过程（X，K）从（X，K）跳到（X）- γ（kn）- k），千牛）。定义θn=inf{t≥ 0，（Xπnt，Kπnt）=（xn，kn）}，θn=inf{t≥ 0，（Xπnt，Kπnt）=（X，K）}，Tn=inf{t≥ 0，Xπn，xt≤ γKπn，kt}和tn=inf{t≥ 0，Xπn，xnt≤ γKπn，knt}。动态规划原理与V*（XTn，KTn）=Tn上的0≤ θnyeldv*（x，k）≥ E“Zθn∧特恩-rtdZπnt+e-r（θn）∧Tn）{θn<Tn}V*（Xθn，Kθn）#≥ Ehe-rθn{θn<Tn}V*（xn，kn）i≥EE-rθn- EE-rθn{θn≥Tn}五、*（xn，kn）≥EE-rθn- Pθn≥ Tn五、*（xn，kn）。（22）另一方面，使用V*（XTn，KTn）=Tn上的0≤ θnV*（xn，kn）≥ E“Zθn∧特恩-rtdZπnt+e-r（θn）∧Tn）{θn<Tn}V*（Xθn，Kθn）#≥ Ehe-{nθ<rθ*（x，k）i≥EE-rθn- EE-rθn{θn≥Tn}五、*（x，k）≥EE-rθn- Pθn≥ Tn五、*（x，k）。（23）（xn，kn）的收敛性意味着limn→+∞（xn）- γ| k- kn |，k）=（x，k），从中我们使用引理12 thatlimn进行推导→+∞P（θn）≥ Tn）=0（24）和limn→+∞P（θn）≥ Tn）=0。（25）设un（Xnt）=β（kn）u- α（（kn）- Xnt）+）和σn=β（kn）σ。函数unis以an=β（kn）u为界- 根据引理13exp，α（kn）Bn=β（kn）u-κnσn（pAn+2rσn）- （安）≤ E[E]-rθn]≤ 经验-κnσn（pBn+2rσn）- Bn）κn=x- xn+γ| kn- k |。让n倾向于+∞ 使用Limn→+∞An=β（k）u- α（k）limn→+∞Bn=β（k）ulimn→+∞σn=我们得到的β（k）σlimn→+∞E（E）-rθn）=limn→+∞E（E）-rθn=1。（26）最后，我们有来自（22）和（23）的，V*（x，k）≥ lim supnV*（xn，kn）≥ lim infnV*（xn，kn）≥ 五、*（x，k），这证明了V的连续性*. 我们现在可以用自由边界问题（20）的粘性解来描述股东价值。定理2股东价值V*是唯一的连续粘度溶液（20）对S的线性增长。证据：证据推迟到附录中定理2的主要目的是保证[11]中提出的解决HJB自由边界问题的标准数值过程收敛于股东价值函数。我们得到以下控制区域的描述（图3）。

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2022-5-7 04:33:03

我们的数值分析表明o与[4]不同，存在一个最佳的生产性资产水平（黄色区域顶部），因此在我们的背景下，存在管理过度投资的客观衡量标准。这显然是由于规模收益率假设的下降现金储备较低的受限企业，即权益资本接近生产性资产规模，且权益资本较低的企业更倾向于减少投资，以弥补现金流不足现金储备低、权益资本高的受限企业将首先利用信贷额度来弥补现金流短缺信用额度从未用于投资。图3：u=0.25、r=0.02、σ=0.3、λ=0.08、βmax=20、？β=10和投资成本γ=5e的最优控制-4.虽然数值结果给出了关于最优策略的上述见解，但我们无法严格证明最优控制区域的形状。尽管如此，做出不存在交易成本γ=0的强烈假设，使我们能够充分描述控制区域，并使我们有理由相信图3。这是我们最后一小节的目的。5.2无投资成本使用类似于第3节的验证程序，我们用自由边界问题来描述价值函数和最优政策。附录中提出的以下命题总结了我们的发现。命题7当不存在投资/撤资成本，γ=0时，以下情况成立：o如果β（0）≤ r那么，最好是清算该公司*（x） =x.o如果α（0）>uβ（0）>r和σβ（0）≥u(1-δ）股东价值是股权账面价值的一个增函数和一个凹函数。超过阈值B的任何超额现金*= inf{x>0，（v*)（x） =1}支付给股东（见图4）。

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2022-5-7 04:33:07

生产性资产的最佳规模以权益资本的确定函数（见图5）为特征，如下所示：0≤ 十、≤ a、 k（x）=β-1.uxσ（1）- δ)十、≥ a、 k（x）=x，其中a是方程σ（1）的唯一非零解- δ） β（a）=ua（27），δ=2rσu+2rσ（28）o如果α（0）>uβ（0）>r和σβ（0）<u（1）-δ），股东价值是权益账面价值的一个增函数和一个凹函数（见图6）。超过阈值b的任何超额现金*= inf{x>0，（v*)（x） =1}支付给股东。此外，所有现金储备都投资于生产性资产。上述命题有两个有趣的含义当收益波动率较低时∑β（0）<u（1）-δ），最好将所有现金储备投资于生产性资产，并将其用作现金的补充替代品，这比使用昂贵的信贷额度更有效尽管如此，当收益波动较大时，生产性资产并不是现金的完美替代品，因为当股票的账面价值较低时，它意味着银行破产的高风险。图4绘制了α（0）>μβ（0）和σβ（0）的股东价值函数≥u(1-δ）对于不同的β（0）值，使用：oα的线性函数，α（x）=λx.oβ的指数函数，β（x）=βmax1.- E-β（0）βmaxx.图4：比较不同β（0）值的股东价值函数与u=0.25，r=0.02，σ=0.6，λ=0.8，βmax=5（情况σβ（0））≥u(1-δ)).图5描绘了不同σ值的生产性资产的最佳水平。

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2022-5-7 04:33:10

它表明，对于给定水平的股权账面价值，生产性资产的投资水平是波动率的递增函数。图5：比较生产性资产的最佳水平，对于不同的σ值，u=0.25，r=0.02，λ=0.8，βmax=5，β（0）=2。图6绘制了α（0）>μβ（0）和σβ（0）时的股东价值函数≤u(1-δ）对于不同的β（0）值，使用：oα的线性函数，α（x）=λx.oβ的指数函数，β（x）=βmax1.- E-β（0）βmaxx.图6：比较不同β（0）值的股东价值函数，其中u=0.25，r=0.02，σ=0.6，λ=0.8，βmax=5（情况σβ（0））≤u(1-δ））.6附录6。定理2超解性质的证明。Let（\'x，\'k）∈ S和~n∈ C（R+）s.t.（\'x，\'k）是V的最小值*-在一个足够小的ε以确保Bε的情况下，Bε（\'x，\'k）等于（\'x，\'k） S和V*（\'x，\'k）=~n（\'x，\'k）。首先，让我们考虑可容许控制^π=（^Z，^I），其中股东决定不投资或不投资，而股息政策由^Zt=η定义为t≥ 0和0≤ η ≤ ε.确定退出时间τε=inf{t≥ 0，（X\'xt，K\'kt）/∈ Bε（\'x，\'k）}。我们注意到，对于ε，τε<τ足够小。根据动态规划原理，我们得到了φ（\'x，\'k）=V*（\'x，\'k）≥ EZτε∧他-rtd^Zt+e-r（τε）∧h）五*（X′Xτε）∧h、 K′Kτε∧h）≥ EZτε∧他-rtd^Zt+e-r（τε）∧h） ψ（X¨Xτε）∧h、 K′Kτε∧h）. （29）将It^o公式应用于过程e-在0和τε之间∧ h、根据预期，我们得到了-r（τε）∧h） ψ（X¨Xτε）∧h、 K′Kτε∧h） i=~n（\'x，\'k）+EZτε∧他-rtL~n（X\'xt，K\'kt）dt+ E“X0≤T≤τε∧他-rt[~n（X\'xt，K\'kt）- ν（Xxt-, K“kt）]#。结合关系，我们有Zτε∧他-rt(-五十） ψ（X’xt，K’kt）dt- EZτε∧他-rtd^Zt-E“X0≤T≤τε∧他-rt[~n（X\'xt，K\'kt）- ν（Xxt-, K\'kt）]#≥ 0. (31)? 取第一η=0。然后我们观察到X在[0，τε]上是连续的∧ h] 只有关系（31）的第一项不是零。

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