对于F<0.5，我们也可以这样做，因为与平方根相比，曲线图的剩余部分显示出最不一致的行为。10-710-610-510-410-310-210-1100π10-510-410-310-210-1100Itmp(Ohm = {π} ）n=0，b=6.14，Y=0.074，ERMS=161.1n=1，b=1.76，Y=0.110，ERMS=220.1n=0.22，b=5.21，Y=0.008，ERMS=152.2图7：基于用等式参数化的潜在订单簿文件推断的影响函数。（21）并使用公式（20）求解。推断出的影响在双对数标度上绘制，作为标准化顺序大小π的函数。有关参数的解释，请参见公式（21）。用η和F中的幂律函数描述，即Itmp(Ohm = {η，F}）=Y·ηδ·Fγ（22）市场冲击面是一个对数尺度的平面。图8显示，线性函数形式只是经验曲面的近似表示。事实上，表面是清晰的凹面（对数比例），几乎在左上角出现。我们对测量的临时市场影响面Itmp进行非线性回归(Ohm = {η，F}）的幂律函数F（η，F|Y，δ，γ）=YηδFγ，根据方程22。最佳拟合参数为^Y=0.207±0.005、^δ=0.52±0.01和^γ=0.54±0.01。该模型的均方根误差为ERMS（f（^Y，^δ，^γ））=2.46。有趣的是，这些值与δ=γ=1/2的临界传播子模型预测的值非常接近。图8中的橙色平面是具有最佳拟合参数的函数形式f（η，f^Y，^δ，^γ）。为了量化曲面与最佳拟合幂律函数F（η，F | Y，^δ，^γ）的偏差，在图9的左面板中，我们显示了函数η和F的残差。正残差用蓝色表示，而负残差用红色表示。

清晰的非随机对数10（η）-3-2.5-2-1.5-1-0.50.0log10（F）-2.5-2-1.5-1-0.50.0log10（Itmp(Ohm = {η，F}）-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-3-2.8-2.6-2.4-2.2-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0图8：冲击面Itmp的非参数估计(Ohm = {F，η}）作为持续时间F和参与率η的函数。这三个轴是对数比例的。橙色表面表示双幂律函数f（η，f^Y，^δ，^γ）=^Yη^δf^γ，带有经验参数^Y，^δ和^γ。蓝色表面代表双对数函数G（η，F|^a，^b，^c）=^a log（1+^bη）·log（1+^cF），带有经验上的fit参数^a，^b和^c。模式出现，因为中心的残差通常为正，而外围的残差为负。这表明了等式22以及平方根定律提供的近似描述：即使在对数尺度下，冲击面也是凹的。这表明，考虑到平均函数形式（η，F | a，b，c）=对数（1+bη）对数（1+cF），可以获得市场影响面的参数化改进。通过非线性回归，我们获得了最佳拟合参数：^a=0.035±0.001、^b=60±3和^c=61±2。fit的均方误差为ERMS（g（^a，^b，^c））=1.44。最后一个值远小于等式22的双幂律函数的ERM，如前一节所述，表明对数函数更好地描述了暂时的市场影响。图中参数a为b的蓝色表面不一定与冲击曲线参数化中使用的相同。

曲线和曲面参数之间的关系取决于Fandη的联合分布。-2-1.5-1-0.5log10（F）-2.5-2-1.5-1.0log10（η）res（f（η，f^Y，δ，γ1））-0.0100-0.0075-0.0050-0.00250.00000.00250.00500.00750.0100-2-1.5-1-0.5log10（F）-2.5-2-1.5-1.0log10（η）res（g（η，F^a，^b，^c））-0.0100-0.0075-0.0050-0.00250.00000.00250.00500.00750.0100图9：拟合函数f（η，f | Y，δ，γ）=Yη^δf^γ（左面板）和拟合函数g（η，f | a，b，c）=对数（1+bηcF）（右面板）的残差等高线图，作为平面η-f的函数。正（负）残差用蓝色（红色）表示。幂律在残差中具有明显的宏观结构；对数的情况就不是这样了。8代表用最佳拟合参数评估的函数形式g（η，F^a，^b，^c）。在图9的右面板中，我们展示了回归g的残差（η，F |^a，^b，^c）：左面板上幂律函数呈现的模式衰减非常强烈，再次表明了更好的函数。残差的分析也让我们能够理解为什么平方根给出了相对良好的数据压缩，显然独立于内部和外部条件变量。事实上，考虑图8左面板中残差的结构。由于π=ηF，因此π上的条件表示从平面（η，F）的左下角到右上角的对角线上取平均值。这种平均包括部分抵消的正残差和负残差，导致观测数据崩溃。

尽管如此，对donehere数据的分解表明，确实分别依赖于F和η。为了从另一个角度观察冲击面与幂律的偏差，我们通过函数形式F（η，F | Y，δ，γ）的局部非线性拟合来测量描述对η的依赖性的指数δ和对F的依赖性的指数γ。图10显示了更详细的情况，我们根据η（F）将数据集分成n=10（n=10）个均匀分布的子集。数据集中的每个度量值都由一个整数i标记∈ {1，…，n}（i）∈ {1，…，n}）根据测量所属的子集。然后，数据集中的每个度量值都由一对整数b=（i，i）标记，以标识一个bin。我们测量属于同一bin b的元订单的临时市场影响IRBO的样本平均值，以及ηRB和Frb的相对样本平均值的平均值。我们定义了一个由中心c=（c，c）标识的正方形，其中c∈ {1，…，n}，考虑中心附近的垃圾箱S={c- 2，c- 1，c，c+1，c+2}和S={c-2，c-1，c，c+1，c+2}。正方形由S（c，c）=S×S定义。我们选择属于-2.4-2.1-1.8-1.5-1.2-0.9log10（η）-1.8-1.5-1.2-0.9-0.6-0.3log10（F）^δ（η，F）0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0-2.4-2.1-1.8-1.5-1.2-0.9log10（η）-1.8-1.5-1.2-0.9-0.6-0.3log10（F）^γ1（η，F）0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0图10：采用幂律函数在η–F平面上测量的最佳拟合局部指数^δ（η，F）（左面板）和^γ（η，F）的等高线图。绿色（棕色）区域对应于局部拟合指数δ（η，F）和γ（η，F），大于（小于）作为F和η函数的δ和γ的0.5局部估计。结构非常清晰。左边的绿色区域表示局部指数δ（η，F）对于小η始终较大，对于大η始终小于0.5。

变化范围很大，^δ大约在0.1到0.9之间变化。类似地，描述F上幂律标度的指数^γ（η，F）的行为显示出线性结构，尽管其行为稍微复杂一些。对于小的F，指数^γ等于1。对于中间值F，指数接近0.3。F值越大的行为就越复杂，低参与率的指数越高，高参与率的指数越高。总之，局部指数δ和γ研究中出现的非平凡结构表明，对数函数g（η，F | a，b，c）更好地描述了暂时的市场影响面。平方根预测值γ=δ=0.5仅在η的中心区域有效- F飞机。4.3元订单执行期间的市场影响在本节中，我们重点关注即时市场影响，即市场影响如何在元订单执行期间形成。我们考虑以下问题：给定平方S（c，c）的两个元序，我们将实现的临时市场影响Irbas定义为相对实现ηrband Frb的函数。我们考虑形式为f（η，f）=CηδF1的拟合函数-γ.

我们测量最佳拟合参数^δ（c）和^γ（c），作为平方中心c=（c，c）的函数。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0v-0.0050.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030I（v|Ohm = {η，F}）0.012<η<0.0230.000<F<0.0100.010<F<0.0180.018<F<0.0280.028<F<0.0460.046<F<0.0750.075<F<0.1260.126<F<0.217<F<0.3740.374<F<0.6310.631<F<1.0000.0.0.0.2 0.6 0.8-0.0050.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040I（v|Ohm = {η，F}）0.023<η<0.0470.000<F<0.0100.010<F<0.0180.018<F<0.0280.028<F<0.0460.046<F<0.0750.075<F<0.1260.126<F<0.217<F<0.3740.374<F<0.6310.631<F<1.0000.0.0.2 0.6 0.8-0.010.000.010.020.030.040.050.06I（v|Ohm = {η，F}）0.088<η<0.1600.000<F<0.0100.010<F<0.0180.018<F<0.0280.028<F<0.0460.046<F<0.0750.075<F<0.1260.126<F<0.2170.217<F<0.3740.374<F<0.6310.631<F<1.0000.0.0.0.2 0.0.8-0.010.000.010.020.030.040.05I（v|Ohm = {η，F}）0.160<η<0.3000.000<F<0.0100.010<F<0.0180.018<F<0.0280.028<F<0.0460.046<F<0.0750.075<F<0.1260.126<F<0.2170.217<F<0.3740.374<F<0.6310.631<F<1.000图11：不同参与率η（从左上到右下）的元订单的即时市场影响（实线）。每条实线对应于持续时间为Fi<F<Fi+1的元订单的即时市场影响。

暂时的市场影响以圆圈为标志。在相同的参与率η和不同的持续时间Fand F（F<F）的情况下，我们是否应该预期在时间F达到的两个元订单的市场影响是相同的？从市场影响的角度来看，当第一个订单即将结束，而第二个订单仍在执行时，它们应该是无法区分的，因为到目前为止，两个元订单的可用公共信息是相同的（另见最近的论文[9]中的讨论）。图11显示了我们的分析结果。这四个面板指的是参与率η的四个不同箱子。在每个小组中，我们考虑10箱持续时间。对于每一种情况，aline代表执行I（v）期间的平均价格路径|Ohm = 对于持续时间Fi<F<Fi+1的元序，{η，F}）。这些圆圈是对音量-持续时间Fi的元顺序的临时影响。这张图显然对我们的问题给出了否定的答案。事实上，价格轨迹脱离了这些圈子描述的暂时性市场影响。对于较小的参与率，方法上的评论是合适的。Ancerno数据库不提供执行元订单的每个交易（或子订单）的数量、时间、数量或价格。因此，我们通过使用一分钟时间分辨率的公共价格信息来跟踪价格动态。这种影响更加明显，价格走势远高于直接影响。另外请注意，在某些情况下，价格会在元订单结束前恢复。参考文献[9]最近也显示了类似的行为。对于更高的参与率，价格轨迹越来越接近代表暂时影响的圆圈。第3节中的讨论有助于我们理解这种行为。

我们已经看到，在Almgren-Chriss模型中，如果执行文件偏离VWAP交易文件，市场影响轨迹会偏离临时市场影响面。如上图4所示，风险规避对市场的影响。然而，阿尔姆格伦-克里斯模型无法再现市场影响的一些主要特征，因为它预测了近期的市场影响。相反，传播子模型更好地再现了市场影响面的凹度，并一致地使恢复描述市场影响曲线的平方根定律成为可能。正如我们在第3.2节中所看到的，该模型预测，同样在这种情况下，前置执行方案的市场影响轨迹偏离影响面，并从上方到达影响面。一直以来，受影响的衰退内核的存在，使得重现价格在执行结束前开始恢复的事实成为可能。如果交易压力低于市场恢复力，市场影响开始恢复。这些结果强烈表明，我们数据库中经纪人使用的典型交易文件不是广泛存在的VWAP交易文件，而是一种前置执行方案。这可能是因为规避风险，或者是为了避免失去有利的机会。事实上，如果价格预期会上涨，最好在元订单开始时多买，在订单结束时少买。不幸的是，这些替代方案无法在Ancerno数据库中包含的信息中进行测试。4.4影响衰减和永久影响在本节中，我们考虑了执行订单后价格的时间依赖性，即市场影响如何缓解。

当所有暂时性影响消失时，价格的长期限制被称为永久性影响。最近，关于永久性影响的价值以及元秩序结束后价格的动态有一场辩论。在假设亚订单规模分布具有指数为1.5的幂律尾的情况下，Farmer等人[14]的模型预测了影响衰减到大约2/3的永久值。注意，使用这种方法，我们能够全面详细地调查执行早期的市场影响路径，因为对于持续时间Fi<F<Fi+1的订单，我们会按照v=Fi的价格执行，忽略最后一部分。因此，图11低估了执行期间市场影响路径的逆转程度。相反，在下一节进行的分析中，这一特征变得更加明显，见图13和14。在这种情况下，我们遵循市场影响路径，非常关注执行的后期阶段。我们将观察到，参与率较低的长元指令呈现出强烈的逆转，如图14.1.0 1.5 2.0 2.5 3.0z0所示。50.60.70.80.91.01.1Iren（z）图12：meteorder实施后临时市场影响的衰减。我们遵循标准化的市场影响路径Iren（z）作为重定标变量z=v/F的函数，不考虑任何变量。在接下来的一天，还将遵循每个元订单的市场影响路径。红色的水平线相当于2/3，正如Farmer等人的模型所预测的那样。[14].峰值冲击的影响。然而，请注意，我们的数据似乎不符合这一假设——在图2中，π显然没有幂律分布。这会产生严重后果，因为在这种情况下，他们的理论无法预测平方根市场影响函数。

有关更完整的讨论，请参见第5节。这里我们考虑市场影响轨迹I（v|Ohm = {η，F}）在元序执行结束后，即v>F。为了比较具有不同持续时间F的元序，我们将缩放时间设为z=v/F。这样一来，在元订单完成时，z=1独立于元订单持续时间F。我们还通过除以元指令I（v=F）执行结束时的市场影响来重新调整市场影响轨迹|Ohm = {η，F}），即Iren（z|Ohm = {η，F}）：=I（z|Ohm = {η，F}）I（z=1|Ohm = {η，F}）。（23）与即时冲击相比，影响的衰减对执行方案的依赖性可能更小，因此其研究至少在原则上可用于调查生产者模型对价格动态的描述程度。正如我们将看到的，只有当我们不能选择其他元订单的订单流时（例如，如果条件元订单的参与率足够大），这才是严格正确的。我们首先考虑所有的元序，然后计算平均重缩放路径。5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.023<η<0.0470.009<F<0.0140.014<F<0.0250.025<F<0.0430.043<F<0.0740.074<F<0.1280.128<F<0.2240.51.51.52.02.53.03.54.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.047<η<0.0880.009<F<0.0140.014<F<0.0250.025<F<0.0430.043<F<0.0740.074<F<0.1280.128<F<0.2240.51.51.52.02.53.03.54.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.088<η<0.1600.009<F<0.0140.014<F<0.0250.025<F<0.0430.043<F<0.0740.074<F<0.1280.128<F<0.2240.51.52.02.53.03.54.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.160<η<0.3000.009<F<0.0140.014<F<0.0250.025<F<0.0430.043<F<0.0740.074<F<0.1280.128<F<0.224图13：执行元指令后临时市场影响的衰减。

我们遵循标准化的市场影响路径Iren（z|Ohm = {η，F}）作为重标变量z=v/F的函数。在每个面板内，实线对应于不同持续时间F的订单的平均市场影响轨迹；四个面板对应不同的参与率η。我们考虑了截至元订单下达之日的价格动态。黑线对应于传播子模型的预测，δ=0.5。我们的分析没有考虑隔夜退货和随后几天的价格路径。以元订单结束后的价格为准。结果如图12所示。我们观察到，价格朝着一个非常接近（尽管略高于）峰值影响的2/3的值衰减。这与[10,13]中的结果一致。我们庞大的元订单数据库允许我们对持续时间和参与率的价格衰减条件进行分析。图13显示了结果。这四个小组讨论的是参与率的增加值。在每个面板中，展示了具有多个持续时间的金属订单的市场影响路径。我们跟踪市场影响轨迹的放松，其持续时间是元订单持续时间的三倍，但我们避免引入隔夜回报，并在随后几天跟踪价格。在每个面板中，我们还展示了当γ=0.5（黑线）时，传播者模型对市场影响轨迹的预测。图中显示，价格衰减及其长期极限取决于η和F。

对于小参与率（顶部面板），平均永久影响（持续时间）接近2/30.51.01.52.02.53.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.023<η<0.0470.224<F<0.3810.381<F<0.6090.609<F<1.0000.51.01.52.02.53.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.047<η<0.0880.224<F<0.3810.381<F<0.6090.609<F<1.0000.51.01.52.02.53.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.088<η<0.1600.224<F<0.3810.381<F<0.6090.609<F<1.0000.51.01.52.02.53.0z0。00.20.40.60.81.01.2人（z|Ohm = {η，F}）0.160<η<0.5000.224<F<0.3810.381<F<0.6090.609<F<1.000图14：执行元指令后临时市场影响的衰减。我们遵循重新规范化的市场影响路径Iren（z|Ohm = {η，F}）作为重标变量z=v/F的函数。每一条实线对应于根据以低（顶行）和高（底行）参与率η和几个持续时间F为特征的超订单计算的平均市场影响轨迹（见图例）。我们考虑持续时间较长的元订单0.224<F<1，并且我们也会在接下来的几天内跟随价格路径（与图11的分析相反）。峰值冲击。然而，这也是我们观察到对F的永久影响的最强烈依赖性的机制。较长的元订单比较短的元订单放松得更慢，并且在研究期结束时仍保持在较高的价格水平。对于参与率较低的人来说，这种影响更大。相反，对于最大的参与率，元订单的重整化市场影响路径都非常相似。市场影响趋于零，我们在考虑的时间窗口内没有观察到曲线的任何变化。

非常有趣的是，在这种制度下，市场影响衰减通过传播者模型的预测（γ=0.5）得到了很好的描述，而对于中小参与率，价格系统地高于传播者模型的预测值。这种低参与率的元序恢复得更慢的观察结果与这样一种观点是一致的，即恢复取决于其他人对该序的存在或不存在的检测。低参与率订单的开始或结束更难检测，并且在给定的确定程度下需要更多的时间，从而对订单的完成做出更缓慢的反应。当然，也可能有其他解释。在随后几天的市场影响衰减之后，我们也进行了之前的分析。这允许我们在分析中包含持续时间较长的元顺序。考虑到元指令的持续时间与之前相同，我们观察到，对于参与率非常高的元指令，全球情况略有变化。在其他情况下，它大致不变（数据未显示）。考虑到持续时间更长的元序，见图14，我们观察到高度为峰值冲击0.8-1倍的透明平台的出现。还值得注意的是，在这里，但在图13的左上面板中，元订单结束前的价格反转更为明显，如脚注11所述。请注意，本分析中元订单的市场影响轨迹通常包含隔夜回报（与之前的分析相反）。如[8]所示，我们观察到，当交易日结束时，价格衰减基本停止。

然而，隔夜收益的存在显著增加了确定长期市场影响时本已很大的噪音。4.4.1元序自相关的作用通过考虑元序符号的自相关，可以部分澄清之前分析中出现的情况。元订单符号的正自相关将使单一元订单放松的市场影响特别高，因为不可能将元订单彼此隔离。此外，对于较长的元序，这种影响更大，因为与其他元序重叠的概率更大。对于较低的参与率，其影响也更大，因为参与率较高的元订单很容易压倒市场影响。相反，我们预计，对于较短的元订单，这种影响较为温和，因为重叠概率较低，参与率较高，因为参与率较低的元订单对价格的影响变得微不足道。表5总结了我们数据库中存在的元顺序重叠。我们观察到，考虑到从元顺序开始到执行结束后持续时间的三倍，平均而言，给定的元顺序与3.5个其他元顺序重叠。正如预期的那样，长订单的重叠元订单的平均数量更大（最短订单约为2个，最长订单约为10个）。平均来说，55%的梅托德人有相同的星座。这意味着，平均而言，一个元序被同一符号的元序所包围，而不是相反符号的元序所包围，这种影响增强了测量的影响。最近参考文献[8]考虑了来自同一基金的交易，并根据信号进行交易，表明它们在时间上呈现出很强的自相关性。

作者认为，元序符号的正相关可以保持较高的影响。他们提出了一种方法，对自己的交易进行去卷积，以消除自身的影响和信息，在15天的时间尺度上发现零永久性影响。需要强调的是，尽管与[8]一致，但我们对元指令自相关性的度量是通过使用一个广泛的数据库获得的，该数据库涵盖了许多不同投资者的交易活动，而不是同一基金的所有元指令。因此，我们的分析指出，在元指令的转换中，基金之间存在羊群效应，而不是同一机构试图利用持续时间（分钟）数的元指令#重叠同一符号相对符号0-10 368484 1.7 0.548 0.45210-25 117756 3.0 0.553 0.44725-50 71031 4.6 0.553 0.44750-100 52931 6.6 0.547 0.453100-200 43884 0.546 0.454200-390 49411 9.3 0.543 0.4570-390703497 3.54 0.548：元指令重叠分析。我们考虑了参与率η>0.005的元订单，这些元订单在2007年1月至2009年12月期间在人口最多的100只股票上交易。这个集合有703497个元顺序。我们根据元顺序的持续时间（第一列）和它们的相对数量（第二列）来考虑不相交的箱子。对于每个元序，我们考虑从开始到持续时间的3倍的时间间隔。我们计算整个集合中与选定时间间隔重叠的元顺序。对于每个子集，我们报告重叠元顺序的平均数（#重叠，第三列）。正如预期的那样，重叠的数量随着元顺序的持续时间而增加。然后，我们测量与所选元序（第四列和第五列）符号相同或相反的重叠元序的分数。

我们观察到一个恒定的平均分数(~ 55%的重叠元序具有相同的符号，与持续时间无关。这一发现量化了符号在元序时间序列中的自相关性。参考文献[8]中的中期信号。亚序符号的正自相关定性地解释了关于价格衰减的发现。参与率非常高的元订单的市场影响轨迹被其他元订单忽略，它们的轨迹基本上与持续时间无关（图13右下角的面板）。此外，传播者模型很好地描述了市场影响轨迹。另一方面，我们已经看到，参与率较低、持续时间较长的元订单的市场影响轨迹相互偏离，也偏离了传播者模型的预测（图13的顶部面板）。我们推测，在这种情况下，市场影响轨迹由于具有相同符号和不可忽略参与率的其他元顺序的影响而保持在较高水平。低参与率的情况下，这种影响更大，这一事实与我们的解释一致。虽然有趣且值得研究，但对这方面的更深入分析超出了本文的范围。5对基本模型的影响本文的动机之一是测试基本理论对市场的影响。在本节中，我们将回顾这些理论，并讨论它们与本文结果相关的可能含义。我们还提出了一些警告，讨论了可能扭曲结果的可能影响。5.1 Toth等人的潜在订单方法Toth等人。

[3] 根据潜在订单簿的概念，提出市场影响理论。关键的想法是，真正的订单簿并不能反映市场上的实际供应和需求，因为参与者并没有透露他们的真实意图。它们表明，为了使价格具有差异性，即方差随时间线性增长，潜在订单簿必须围绕当前价格具有线性曲线，这意味着平方根影响函数。这得到了一个简单的基于代理的模型的模拟的支持。他们没有预测执行完成后价格应该如何放松，尽管在随后的工作中，该小组建议，一旦交易策略的预测优势被消除，价格将缓慢放松到零[8]。我们观察到的暂时影响的对数这一事实似乎与Toth等人的理论相矛盾。虽然我们确实观察到平方根是部分范围的近似值，但我们看到了实质性的偏差。此外，我们观察到的冲击面对η和F分别具有对数依赖性，这一事实与他们的理论不一致。然而，请参见下面给出的注意事项，以及第4.1.1.5.2节潜在订单的影响讨论Farmer等人的公平定价方法。Farmer等人[14]得出了公平定价原则，当与价格的鞅性质结合时，预测平均执行价格应等于元订单完成且价格放宽时的最终价格。这是通过推导知情交易者和流动性提供者之间的纳什均衡来实现的，在这种情况下，需要比Toth等人的上述理论更强的假设[3]。（该模型可以被视为凯尔原始模型的扩展，但有更现实的假设。Farmer等人。

假设批量执行，市场参与者知道元订单的开始和结束。市场影响的功能形式取决于元订单大小的分布。假设亚序尺寸的累积分布是指数幂律分布-3/2他们预测平方根影响，执行后价格应恢复到峰值的2/3。这里研究的与亚序大小类似的量是π=Q/V。从图2可以清楚地看出，这并不是按照幂律分布的。因此，目前尚不清楚该模型意味着什么。在公平定价原则下，需要进一步的工作来确定π分布的函数形式，并计算出市场影响的预测，但这超出了本文的范围。一个复杂的问题是，我们只研究在一天内执行的元指令，这会影响分布。尽管如此，根据图2，删除此截断似乎不太可能恢复幂律。5.3其他理论其他几个理论值得一提。Gabaix等人[23]的理论也预测了市场影响的平方根。然而，这一理论需要一个非常强大的假设，即投资者的效用函数具有绝对的风险厌恶，即他们假设投资者具有形式为u的效用函数- σδ，其中u是收益的平均值，σ是标准差，δ=1。例如，如果δ=2，则冲击变为线性。鉴于我们的研究结果，一个特别值得一提的理论是AustinGerig的博士论文[32]。该模型是上述Farmer等人理论的历史先驱。正如他们所做的那样，Gerig假设价格形成鞅，并且元序的开始和停止时间是可观察的，但提出了不同的辅助假设。

这个理论值得特别提及，因为它是我们所知的唯一一个预测市场影响对数依赖性的理论。5.4一些警告数据有局限性，我们应该发布一些警告。在我们的数据中，不可能观察到发起元订单的代理的战略意图。可能存在我们看不见的偏好偏见。特别是，假设如果价格上涨太多（或者如果价格下跌太多，则销售），有时在完成之前取消购买元订单的执行。这将系统性地使样品偏向，使冲击力看起来更凹。即使真实冲击是平方根，这也会使测量的冲击更凹。尽管如此，这种影响必须是实质性的，而且它们会导致对数函数形式的如此好的一致性，这似乎有点令人惊讶。另一个需要注意的重要事项是按日容量进行正常化。我们做了一个隐含的假设，即流动性与日交易量成正比，这一假设在之前的工作中几乎是普遍存在的。这为市场影响提供了一个（随时间变化的）参考点。这是一个假设，不是上述任何基本理论预测的一部分。如果核心假设——每日交易量是衡量流动性的正确方法——失败，可能很容易扭曲影响函数的形状。唯一的例外是Kyle 1985年的原始模型和新的Kyle Obizhaeva市场不变性模型，该模型预测了更复杂的流动性标度[33]。

我们尚未测试过任何此类替代方案。最后，我们应该提醒读者，我们截断了持续时间超过一天的所有元顺序（因此，持续n天的元顺序被视为n个单独的元顺序）。然而，我们对数据的检查表明，这是罕见的——见图1。这是与J.D.Farmer和F.Lillo的联合工作。6结论我们对迄今为止执行的大型交易的市场影响进行了最广泛的实证分析，至少就已分析的元指令数量和发起者的异质性而言。大数据集使我们能够减少分析中的统计确定性，从而对市场影响的函数形式做出更有力的推断。我们还将元订单的原始数据与价格的逐分钟数据联系起来，这样我们就可以研究与时间相关的影响，如订单执行时的即时影响以及订单完成后的恢复。我们的结果扩大了市场影响，但也与人们普遍认为的市场影响形成了对比。我们的一些主要结论如下：o以日分数π（成交量与平均日成交量之间的比率）为条件的市场影响非常好地由超过四个数量级的对数函数描述。相比之下，在学术界和工业界广泛使用的平方根冲击定律只对π数量级的市场冲击进行了近似。因此，市场影响的形式是强烈的凹形，甚至比平方根定律所建议的更凹形市场影响面反映了影响对参与率和持续时间的内在双变量依赖性。和以前一样，这种二元依赖性用对数表示比用幂律表示要好得多。

此外，仅通过π条件化所看到的良好“崩塌”实质上是由于残差之间的补偿效应。也就是说，我们证明了影响分别取决于F和η；然而，当一个人仅以π为条件聚集时，依赖关系往往会相互抵消在执行期间，价格轨迹偏离了临时市场影响，有时价格在执行结束之前就开始恢复。这强烈表明，即使在执行元指令的同时，市场影响也在减弱。我们认为lackof通信是由于前置执行。（这也反映了我们分析的局限性；我们没有执行元顺序的详细时间戳，因此我们被迫假设统一执行）。o传播子模型只是对高参与率的元序的元序影响的一个很好的描述。这可能至少在一定程度上是由于同一符号的陶序之间的重叠（放牧），对于中等至低参与率而言，这会显著改变价格动态在元订单执行结束后，价格明显表现出回归的强烈趋势。这种行为在很大程度上取决于参与率和持续时间。对于高参与率，所有持续时间的顺序基本上以相同的方式放松，这与传播因子一致，传播因子的影响随着时间的平方根放松到零。与低参与率相比，不同持续时间行为的顺序截然不同，持续时间较长的顺序比持续时间较短的顺序放松得更慢。我们的结果提出了几个建模挑战，因为没有一个可用的模型能够完全解释我们的结果。事实上，我们所知道的唯一一个预测性群居行为的模型是Farmer、Gerig和Lillo的工作，这在Gerig的论文[32]中有报道。

这些结果与[3]相比尤其令人惊讶。在这项工作中，他们表明影响的平方根行为是价格有效行为的必要条件，因此偏离这一点应该导致套利。这就提出了一个问题，即观察到的对数影响如何避免这个问题。但请注意上一节中给出的注意事项。至少我们的工作表明，需要对市场影响进行更大规模的研究。除非上述结果存在偏差，否则我们的工作表明，当前市场影响的基本理论存在严重问题，市场影响模型需要进一步发展。感谢E.Bacry、J.-P.Bouchaud、J.Gatheral、P.Kyle和H.Waelbroeck进行了有益且鼓舞人心的讨论。EZ、MT和FL感谢恩里科·梅尔基奥尼的不断鼓励。此处表达的观点仅为作者的观点，不代表其雇主的观点。参考文献[1]J.-P.Bouchaud、J.Farmer和F.Lillo，“市场如何慢慢消化供求变化”，《金融市场手册：动态和演化》，T.Hens和K编辑。申克·霍普，第57-160页，2009年（爱思唯尔：阿姆斯特丹），2008年。[2] A.S.Kyle，“持续拍卖和内幕交易”，《计量经济学》，第1315-13351985页。[3] B.托斯、Y.莱姆佩里埃、C.德雷布勒、J.德拉泰莱德、J.科克尔科伦和J.-P.布乔德，“金融市场中的异常价格影响和流动性的关键性质”，《物理评论X》，第一卷，第2期，第021006页，2011年。[4] N.Torre，“巴拉市场影响模型手册”，巴拉公司，伯克利，1997年。[5] R.Almgren，C.Thum，E.Hauptmann和H.Li，“股票市场影响的直接估计”，风险，第57卷，2005年。[6] R.F.恩格尔、R.费尔斯滕伯格和J。

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