超越平方根：市场对数依赖性的证据

2022-5-7 05:43:06

超越平方根：市场影响对规模和参与率的对数依赖性证据埃利亚·扎里内利、米歇尔·特雷卡尼2,3、J.多因·法默尔4,6和法布里齐奥·利洛3,5,6上市公司，途经卡杜奇20号、的里雅斯特、I-34127号、伊塔莱米迪奥班卡S.p.A、皮亚泽塔E.Cuccia 1号、20121米兰、意大利昆特拉布、途经皮特拉桑蒂纳123号、56122号比萨、，伊塔利新经济思想研究所，牛津马丁学院和数学研究所，牛津大学沃顿韦尔路鹰屋，牛津大学牛津分校，金多姆斯库拉师范高等联合会，卡瓦列里广场7号，56126比萨，伊塔利桑塔Fe研究所，1399海德公园路，圣达菲，新墨西哥州87501，12月9日，2014年摘要我们对2007年至2009年间美国股市执行的大订单（元订单）的市场影响进行了广泛的实证研究。我们发现，在行业中广泛使用的平方根市场影响公式（square rootmarket impact formula）得到了之前发表的研究的支持，它仅在订单规模的两个数量级上提供了一个很好的结果。对数函数形式能更好地拟合数据，在几乎五个数量级上提供良好的拟合。我们引入了“影响面”的概念，将影响建模为元序的持续时间和参与率的函数，发现存在对数依赖关系。我们表明，在执行期间，价格轨迹偏离了市场影响，这是非VWAP执行的明确迹象。令人惊讶的是，我们发现，有时价格在执行结束之前就开始回升。最后，我们表明，虽然平均而言，影响放松到峰值影响的约2/3，但价格的精确渐近值取决于参与率和元顺序的持续时间。我们提出的证据表明，这可能是由于元目之间的羊群现象。内容1引言32定义和数据62.1定义。

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2022-5-7 05:43:09

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2元订单执行数据。72.3市场价格数据。92.4元顺序统计。93市场影响的启发式模型123.1阿尔姆格伦-克里斯模型。123.2传播者模型。134市场影响的测量164.1市场影响曲线：检验平方根公式。164.1.1根据市场影响推断潜在订单。194.2市场影响面：超出平方根公式。214.3元订单执行期间的市场影响。254.4冲击衰减和永久冲击。274.4.1元序自相关的作用。315基本模型的含义325.1 Toth等人的潜在订单法。335.2 Farmer等人的公平定价方法。335.3其他理论。345.4一些注意事项。346结论351介绍交易的市场影响，即。

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2022-5-7 05:43:12

价格的变化取决于签署的交易规模，是表征市场流动性的关键属性，对理解价格动态非常重要[1]。正如凯尔（Kyle）的开创性研究[2]从理论上所示，对于拥有资产未来价格私人信息的投资者来说，最佳策略是通过时间进行增量交易。该策略允许以更好的价格提前执行，并将执行成本降至最低。正如在最近的论文中所做的那样，我们将调用完整订单元订单和用于完成执行子订单的单个交易。在这里，我们研究了元订单的市场影响及其对其他属性的依赖性，如参与率和执行时间。凯尔最初的模型[2]预测，市场影响应该是超订单规模的线性函数，但这需要各种理想化的假设，在现实市场中可能会违反这些假设。实证研究一直表明，元订单的市场影响是其规模的非线性凹函数。市场影响的凹性是稳健的，在市场、时代和执行方式方面，可以观察到多个异构数据集[3]。大多数早期研究都得出结论，元指令的市场影响可以用市场影响的“平方根定律”来很好地描述[4,5,6,3,7,8,9]。平方根定律将市场影响I定义为一个规模的元顺序开始和结束之间的预期平均价格回报（或差异），表示I（Q）=±YσDQVDδ（1）式中，σd是资产的日波动率，vd是日交易量，对于买入（卖出）交易，元指令的符号为正（负）。数值常数Y是有序的，指数δ在0.4到0.7之间，但通常非常接近1/2，即平方根。请注意，唯一的调节变量是总体积Q。

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2022-5-7 05:43:16

这是令人惊讶的，因为这意味着完成元订单所需的时间和参与率对于解释市场影响并不重要——总订单规模Q才是最重要的。大多数关于市场影响的实证研究都使用基金或经纪公司的专有数据，因为对元指令影响的实证分析不能用公共数据进行。因此，绝大多数研究都依赖于对市场的局部看法。例外情况是参考文献。[10,11]其中考虑了整个市场，并根据经纪数据从统计学上重建了元订单。在本文中，我们对元指令的市场影响进行了广泛的实证研究，数据集包括在美国股市对大型、中型和小型资本化股票执行的数百万元指令。数据集是异构的，包含许多金融机构出于不同目的交易的元订单，数据集跨越数年（在本分析中，我们考虑的是2007-2009年）。本文的主要优点是元序的大量存在及其起源的异质性。市场影响非常嘈杂，数据集更大，也就是所谓的价格影响作者#of metaorders InstitutionAlmgren等人。[5]70万花旗集团Engle等人。[6]23万摩根斯坦利特等人。[3]50万CFMMastromatteo等人。[7]100万CFMBrokmann等人。[8]160万CFMMoro等人。[10]15万推断贝索瓦等人。[13]30万AllianceBernstein LPWaelbroeck等人。[12]13万variousBacry等人。

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2022-5-7 05:43:19

[9] 400000单经纪人表1：先前研究中考虑的元订单的大致数量，以及订单产生的相应交易机构。能够显著帮助减少统计不确定性；我们的数据集有近700万个超订单，比以往任何一项研究都要大四倍多。此外，该数据集中机构和经纪人的异质性保证了我们的结果不是单一执行策略的具体结果。为了在表1中进行比较，我们报告了之前文献中调查的金属订单的大致数量。很明显，我们的样本比迄今为止调查的典型尺寸大一个数量级以上。此外，与其他研究不同的是，基金和经纪人的组合规模庞大，且各不相同。数据集的主要缺点是，我们对执行的条件和特征知之甚少，也无法控制。我们不知道元订单是出于现金原因执行的，还是被告知的交易（如[12]）。同样，我们不知道经纪人使用的执行算法（即使如下图所示，我们可以从元订单执行期间的价格动态中推断出一些信息）。最后，我们不知道交易规模是否取决于元订单执行期间的价格变动，以及每日元订单是否是多天内较长执行的一部分。

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2022-5-7 05:43:22

所有这些影响都可能使样品产生偏差，并在观察到的冲击特性中发挥一定作用。在本文中，我们做了几件事，研究影响对订单大小和数量的比率以及其他条件变量的依赖性，影响随时间的变化，以及订单完成后价格的放松，详情如下。首先，我们测试平方根影响定律的有效性极限，方法是将其限制在变量上，例如股票的市值、参与率和执行期限。因为我们能够跨越方程1中Q/Vd比的五个数量级以上，所以我们能够比之前的研究更彻底地研究平方根定律的偏差。事实上，我们观察到Q/VD的大小值存在一致的偏差，这表明等式1的幂律关系仅近似有效。相反，我们发现对数函数（更凹）更适合数据。其次，正如一类一般的市场影响模型所建议的，我们研究了市场影响如何共同取决于元指令的持续时间F和参与率η。以交易量为单位测量时间，并假设VP是元订单执行期间整个市场的交易量，持续时间是分数量F=VP/VD，参与率是订单规模Q与执行时的市场量之比，即η=Q/VD。这意味着方程1中的条件变量Q/vd可以写成π≡QVD=qvpvd=F·η（2），因此等式1的平方根定律隐含地假设，影响仅取决于F和η乘积的平方根。我们将证明，这个假设只是近似的，更复杂的函数形状更好地描述了数据。

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2022-5-7 05:43:24

这种函数形式由animpact surface描述，它考虑了市场影响随参与率和执行时间的变化，或者三个变量π、η和F中的任意两个。我们表明，与幂律相比，对数更好地描述了影响对这些个体变量的依赖性。第三，我们考虑在执行元订单期间价格如何变化。最近的研究[10,13,12]发现，影响是时间的凹函数，即对于给定的执行规模，元订单的早期交易比后期交易更能改变价格。通过使用更大的数据集，我们证实了这一观察结果，但我们发现执行期间价格遵循的模式并没有反映出元顺序对大小的依赖。更明确地说，考虑两个参与率相同的元序，一个是另一个的两倍。当较大的元顺序执行到一半时，此时的影响是否与刚刚完成的较小元顺序相同？一般的答案是否定的：在那个时间点，较大的元序的影响将大于较小的元序的影响。有趣的是，在某些情况下，我们发现价格甚至在金属订单结束之前就开始恢复。我们讨论了这些发现的一些可能解释。最后，第四个问题涉及元订单结束后的价格动态。这个话题（凯尔[2]的原始论文中没有涉及）最近受到越来越多的关注[10,14,13,12,8]。几项研究表明，一旦执行了元秩序，市场影响就会从峰值放松，并收敛到一个平台[10,13,12]。回归表明并非所有的影响都是永久性的。

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2022-5-7 05:43:27

更重要的是，最近的一项研究表明，如果市场影响与后续元订单的影响和价格动量的影响进行适当的卷积，那么影响将降至零[8]。由于两个原因，难以衡量长期市场影响。首先，元订单结束后的价格非常嘈杂，仔细确定平均价格动态需要大量元订单样本。第二，如果连续的元指令（无论是由相同或不同的交易者）在符号上相互关联，可能很难分离出单个元指令的永久影响[8]。考虑到不同的参与率和持续时间，通过使用我们的大样本和异质样本，我们仔细测量了元序的永久影响。对于典型的元订单持续时间和参与率，我们发现，元订单结束后，价格下降到平均约为峰值影响的2/3，如[14]所示，并由[13]经验发现。然而，我们表明，测量的价格衰减取决于参与率和元订单的持续时间。基于经验证据，我们假设这种依赖性可以部分解释为羊群现象，因为在同一时间段执行的元指令往往具有类似的符号（买入或卖出）。因此，附近元序符号之间的关系可能是永久性撞击达到的板块水平的部分原因。论文的结构如下。在第2节中，我们介绍了变量的定义和平均程序。我们还讨论了数据集和一些描述性统计。第3节介绍了元订单执行过程中价格动态的一些模型，稍后用于理解经验发现。

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2022-5-7 05:43:30

在第4节中，我们展示了我们的实证结果，在第5节中，我们讨论了我们的实证结果对市场影响基本模型的影响。最后，在第6节中，我们得出一些结论。2定义和数据在本节中，我们定义了我们用来描述元订单执行的参数，以及我们用来量化市场影响的相对度量。在第二部分中，我们描述了我们的分析所依赖的数据库，并给出了一些元序的汇总统计数据。2.1定义日内财务数据的一个众所周知的事实是存在非常强的周期性。特别是，已知交易活动水平在交易日的不同时段之间存在显著且一致的变化，这种日内变化会影响交易量和价格差异。因此，就音量而言，开场一分钟与中午一分钟是完全不同的。为了考虑日内模式，在本文中，我们在体积时间内执行所有计算。这包括根据市场交易量向前移动时间。对于一个交易日，让V（t）为市场从开盘到（实际）时间t的总交易量。我们通过V=V（t）：=V（t）/V（tc）测量交易量时间，其中tc是每日收盘时间，V（tc）是当天交易量。物理时间t和体积时间v之间的关系与每日总体积无关。特别是，开盘时v=0，收盘时v=1。我们引入三个非本地参数来描述元订单买卖的执行( = ±1）物理时间间隔[ts，te]中的Q份额。参与率η定义为执行间隔η=QV（te）期间，元指令交易量Q与整个市场交易量之间的比率- V（ts）。

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2022-5-7 05:43:33

（3）以体积时间表示的元顺序的持续时间F由F:=v（te）定义- v（ts）=v（te）- V（ts）V（tc）。（4）日分数π定义为元订单交易量Q与市场全天交易量之间的比率，即π：=Q/V（tc）。我们考虑的元订单是在一个交易日内执行的，因此这些参数介于0和1之间。这三个变量显然不是独立的，因为它是π=η·F。为了量化执行元订单的市场影响，我们将s（v）定义为交易量时间v时价格s（v）的对数，再由每日波动率σD重新标度，即s（v）：=对数s（v）/σD 是元秩序的标志，并且Ohm 是市场影响所依赖的任何一组信息，即始于时间vs<v isI（v）的元指令在时间v的市场影响|Ohm) := E[ （s（v）- s（vs））|Ohm] . （5）我们将考虑空调机组Ohm 涉及η、F和π，以及交易股票的市场资本化或元订单执行年份等全球信息。用E[·|Ohm]我们指的是属于同一集合的所有元序的样本平均数Ohm.我们将考虑三种类型的影响。直接市场影响量化了在执行元指令期间，市场影响是如何形成的，即vs<v<ve。在元指令v>ve执行结束后，市场冲击向永久性市场冲击放松。临时市场影响在元订单完成时，即Itmp，v=Ve时测量(Ohm) := E[ （s（ve）- s（vs））|Ohm] . （6）以日分数π为条件的临时市场影响定义了市场影响曲线Itmp(Ohm = {π}). 这是在之前的市场影响研究中最受关注的数量。

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2022-5-7 05:43:36

以参与率η和持续时间为条件的临时市场影响定义了市场影响面Itmp(Ohm = {η，F}）。以参与率η和持续时间F为条件的直接市场影响定义了市场影响轨迹I（v|Ohm = {η，F}），即影响如何到达市场影响面Itmp(Ohm ={η，F}）在执行元顺序期间。2.2元订单执行数据我们的分析依赖于领先的交易成本分析提供商安切诺提供的数据库（www.Ancerno.com）。该数据库包含安切诺在MetaOrder上收集的数据。该数量有时也称为峰值影响。不应将临时影响与影响的临时部分混淆，例如在Almgren-Chriss模型中使用[15]。安切诺有限公司（前身为Abel Noser Corporation）是一家广受认可的咨询公司，与机构投资者合作，监控其股票交易成本。其客户包括养老金计划赞助者，如asyear原始过滤器1过滤器2过滤器3过滤器42007 9216333 6904656 3082767 2130045 19763822008 9955238 8074103 4035043 2731572 25636742009 9214993 7622703 3954355 2552092 2404827 Tot 28386564 22601462 11072165 7413709 6944883表2：在分析中引入的每个过滤器中幸存的元订单数。JPM XOM MSFT GE PG BAC CSCO AAPL T GS37179 36676 36112 35490 34216 34163 33750 32007 31652 30921QCOM HPQ WMT VZ MRK PFE GOOG SLB JNJ30765 29915 29898 27975 27106 26767 26392 26202 25821 25602表3：交易量最大的股票的股票代码和相应的元订单数。美国主要投资基金和经纪公司的执行情况。对于每个元订单，我们考虑股票符号、数量Q和符号, 元订单的开始时间Ts和元订单完成的时间Te。

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2022-5-7 05:43:40

我们的分析是在数据库的一个子集上进行的，其中包含2007年1月至2009年12月在美国股市交易的元订单。在过滤之前，该子集包含28386564个元顺序。这比以往任何此类测量都要大一个数量级（见表1）。所有元订单在一个交易日内完成。我们引入以下过滤器：o过滤器1：我们选择属于Russell3000指数的股票。引入此过滤器是为了获得每个分析元订单的价格时间序列。通过这种方式，我们还取消了在高流动性股票上执行的元指令过滤器2：我们选择下午4:01之前结束的元订单。o过滤器3：我们选择持续时间超过2分钟的元订单过滤4：我们选择参与率η小于0.3的元订单加利福尼亚公共雇员退休系统（CalPERS）、弗吉尼亚联邦和YMCaretrient基金，以及MFS（马萨诸塞州金融服务）、普特曼投资、拉扎德资产管理和先锋等基金经理。以前使用安切诺数据的学术研究包括[16,17,18,19,20,21,22]。特别是[16]的作者就每周机构羊群行为的存在提供了证据，通常会导致剧烈的买卖事件，这可能会影响证券价格的效率。并调查该同期机构的异常收益。它们带来的证据表明，牛群购买的股票表现优于牛群在投资组合形成之前和期间出售的股票。然后，密集的卖出牛群之后是回报逆转，而与密集的买入牛群相关的同期回报是永久性的。表2中报告了每个过滤器中幸存的元指令数。

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2022-5-7 05:43:43

在表3中，我们展示了数据集中元订单数量最多的股票符号及其数量。有趣的是，对于排名前20位的股票，安切诺数据库中记录的元订单约占每日交易量的5%。很明显，过滤器2削减了元顺序的显著细分。所有这些元指令持续410分钟，从上午9:30开始，到下午4:20结束。对这些订单的详细调查强烈表明，这些订单的初始和最终时间不可靠，我们怀疑，对于这些订单，传达给安塞诺的时间不准确。例如，与其他命令相比，这些命令系统性地降低了参与率，表明有效的执行时间跨度更短。为了避免引入可能是虚假的数据，我们放弃了这些元序，代价是显著减少了我们的样本。总之，对于数据集中的每个元顺序，我们恢复了相对每日分数π、参与率η和持续时间F。通过利用价格数据，我们还可以在执行元订单期间和之后恢复价格s（v）的时间序列。2.3市场价格数据为了增加上一小节中描述的元订单数据中的信息，我们用市场数据对其进行增强。后者是Kibot（www.Kibot.com）提供的历史数据，由一分钟的时间序列组成，给出罗素3000指数中3500只股票的日期、时间、开盘、高点、低点、收盘和成交量。我们将其视为日波动率σD=（Sh）的代表-Sl）/那么，今天的开盘价又高又低。给定元顺序的时间间隔[ts，te]和体积qo，该数据集可以计算其参与率η、日速率π和持续时间F。

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2022-5-7 05:43:46

我们还使用该数据库来衡量元订单执行期间和之后的价格动态。2.4元顺序统计我们现在介绍一些描述性统计。在图1中，我们展示了2008年3月至4月期间苹果元订单（AAPL）的时间序列。每天都有大量的元订单活动。在大多数交易日都有一种“情绪”，即在任何一天，大多数元指令都有相同的符号，表明可能存在羊群效应。稍后，我们将量化这种元顺序重叠，并讨论其对市场影响形状的可能作用。然后，我们研究了表征元序的参数的分布特性，即参与率η、持续时间F和日分数π。统计数据是通过汇总6944883个过滤后的元订单来完成的。我们发现，参与率η和持续时间F都很好地近似于几个数量级上的未加修饰的幂律分布。参与率η的估计概率密度函数如图2左上角的对数刻度所示。该地区的幂律10-4.≤ η ≤ 0.1，即超过三个数量级，假设交易时间为50 100 150 200 250 300 350分钟010203040交易日2008年3月至4月AAPL图1:2008年3月至4月期间市场上活跃的AAPL元订单时间序列。买入（卖出）元订单用蓝色（红色）表示。线的厚度与亚阶参与率成正比。在同一瞬间，更多的元序会产生较暗的颜色。每一条水平线都是一个交易日。我们观察到很少有空白，这意味着我们的数据库中几乎总是有一个活跃的元订单，这当然只是市场上活跃的订单数量的子集。最佳指数a=-0.864 ± 0.001.

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2022-5-7 05:43:51

图2右上角的面板显示了元序持续时间F的估计概率密度函数。由两条垂直虚线（0.01）限定的中间区域的幂律≤ F≤ 0.5）给出幂律指数a=-0.932 ± 0.003. 因此，在这两种情况下，幂律都是非常重尾的，这意味着在很大范围内，订单的分配率和持续时间都有很大的变化。注意，在这两种情况下，通过定义η，可变性本质上是有界的（因此幂律自动截断）≤ 1和F≤ 1.此外，对于p（F），对应于全天元序的分布右端有一个小凸起。小F的幂律偏差是由我们的过滤器保持器自动施加的，持续时间至少为2分钟，体积时间平均相当于2/390\'0.005。左下角的面板显示了日分数π的概率密度函数。在这种情况下，分布不那么厚尾，尤其是它显然不是幂律。这可能是一个重要的结果，因为一些市场影响理论的预测依赖于此，并且通常假设了幂律行为[23,14]。因为表征一个亚序的三个变量中有两个足以推导出第三个10-610-510-410-310-210-1100η10-1100101102103104p（η）C=0.223a=-0.864f（x）=C·xa10-210-1100F10-1100101p（F）C=0.220a=-0.932f（x）=C·xa10-710-610-510-410-310-210-1100π10-210-1100101102103104105p（π）10-610-510-410-310-210-1100η10-310-210-1100Flog10p（η，F）-1.2-0.60.00.61.21.82.43.03.6图2：参与率η（左上）、持续时间F（右上）和日分数π（左下）的概率密度函数估计。

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2022-5-7 05:43:53

所有这些面板均为对数比例，前两个面板在两条垂直虚线包围的区域内显示了幂律函数的最佳拟合。右下角的面板显示了估计的联合概率密度函数p（η，F）的对数，以持续时间F和参与率η的双对数标度表示。一（π=η·F），研究它们之间的相关性很重要，特别是根据我们下面进行的多元回归。图2右下角的面板显示了双对数标度下估计的联合概率密度函数p（η，F）的对数，作为持续时间F和参与率η的函数。这两个变量之间的线性相关性很低(-0.022). 来自极端区域的主要贡献，即η非常大，意味着F非常小，反之亦然。这意味着，正如预期的那样，非常激进的元指令通常是短元指令，而长元指令的参与率通常较小。3.市场影响的启发式模型在给出我们关于市场影响的实证结果之前，我们考虑一些简单的价格动态启发式模型。我们所说的“启发式”是指这些简化形式的模型，之所以选择它们，是因为它们在直觉上是合理的，并且非常有用，例如用于计算最优交易执行策略。我们将其与试图从第一原理解释市场影响函数形式的更基本模型区分开来。这些模型提供了一个有用的框架，用于调查和解释我们在下一节中介绍的市场影响度量。特别是，它将提供一个语境来解释直接影响和暂时影响之间关系的一些非直观方面。

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2022-5-7 05:43:58

在第5节中，我们将再次讨论我们的实证工作对基本模型的一些影响。3.1 Almgren-Chriss模型我们首先考虑Almgren-Chriss模型[15]在连续时间内的简化版本。我们假设参与率η的元指令在t内递增执行∈ [0，T]。总交易量为Q=ηT，瞬时交易率为Q（T）=-˙x（t），其中x（t）是有待交易的元订单数量。价格动态isS（t）=S（0）+aZtq（S）ds+σZtdWs，（7），其中wt是一个维纳过程。由于冲击函数的线性，直接冲击作为时间的函数isI（t|Ohm = {η，T}=a（Q）- x（t））=a（ηt- x（t））。（8）假设在买入元指令中，交易者只买入，从不卖出，I（t|Ohm = {η，T}）是时间的一个非递减函数，收敛到暂时影响Itmp(Ohm = {η，T}）=I（T|Ohm ={η，T}）=aQ=aηT，与执行期间遵循的交易文件无关。因此，对于固定参与率η，临时市场影响是元订单持续时间T的线性函数（见图3中的红色实线）。在Almgen-Chriss模型下，直接影响是什么？即使影响是线性的，如果优化的执行计划是风险不利的，执行期间的直接影响轨迹不一定与临时影响所描述的曲线重叠，作为T的函数（参见图3中的蓝线）。作为一个具体的例子，考虑原始Almgren-Chriss模型对于一般风险规避投资者的最佳交易特性。

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2022-5-7 05:44:01

在这种情况下，要最小化的函数是预期成本加上λ（>0）乘以成本方差。最优解为[15]x（t）=Qsinh k（t）- t）自kT（9）起，我们不区分体积和物理时间。0 5 10 15 20 25T0510152025Itmp(Ohm = {η，T}）λ=0.1λ=0.5λ=1图3：临时市场影响Itmp(Ohm = {η，T}）作为亚序持续时间T的函数，在a=1、σ=1和η=1（红线）的Almgren-Chriss模型简化版本的框架内进行评估。我们还展示了直接的市场影响轨迹I（t|Ohm = 对于风险规避参数λ={0.1,0.5,1}的几个值和几个亚阶持续时间ST={5,10,20}（蓝线）。其中k=pλσ/a，σ是价格的波动性。对于风险中性策略（λ=0），解是一个等速策略，q（s）=η。这是最简单（可能更广泛）的执行策略，即所谓的批量加权平均价格（VWAP）方案。更多的风险规避策略对应更高的λ，并导致更多的前置执行。我们在图3中观察到，对于更高级别的风险规避，直接影响与临时影响的偏差更大。在所有情况下，价格都会受到来自上面的暂时影响。这是由于该策略的前加载特性。对于执行期间交易率增加的策略，价格将从下方达到临时影响。只有在VWAP（即风险中性策略）的情况下，立即和临时影响才会重叠。3.2传播者模型一个更复杂的模型是传播者模型，其设计考虑了市场影响的非线性和直接性质。传播子模型最初由Bouchaud等人提出。

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2022-5-7 05:44:04

[24]在（离散）交易时间内，由Lillo和Farmer[25]独立介绍（后者是一个模型，其中价格随着订单流量的意外组成部分而变动，另见Taranto等人[26]）。[27]最近提出了一个有趣的扩展，它超越了Propagator模型。Gathereal[28]讨论的传播子模型的连续时间版本，isS（t）=S（0）+Ztf（q（S））G（t- s） ds+Ztσ（s）dWs，（10），其中G（t）是描述碰撞时间依赖性的衰减函数，而函数f（q）是描述碰撞体积依赖性的奇函数。通过设置f（q）=aq和G（t）=1t，可以恢复Almgrenand-Chriss模型≥0.我们在这里考虑聚集模型的一个小变化，其中s（t）：=logs（t）/σ根据s（v）=s（0）+Zvf（q（s））G（v）在体积时间v中转移- s） ds+ZvdWs。（11）为了处理无量纲量，我们用每日交易量V（tc）重新缩放瞬时交易率q（s）。具体来说，我们考虑了具有幂律影响函数f（q）=qδ和幂律衰减核G（t）=t的传播子模型-γ. 对于δ=1和γ=0，我们恢复了Almgren-Chriss模型。Gathereal[28]利用该模型表明，条件δ+γ≥ 1.排除价格操纵是必要的。在线性市场影响的情况下，f（q）=q，Gatheralet al.[29]获得了预期成本最小化问题的最优条件，并导出了最优策略的显式形式。在非线性冲击的一般情况下，问题涉及更多[30,31]。在本文中，我们对解决优化问题不感兴趣，而是对计算不同类别交易策略的市场影响感兴趣。对于以交易率q（s）=η和持续时间F为特征的简单VWAP策略，临时市场影响为TMP(Ohm = {V W AP，η，F}）：=ZFf（q（s））G（F- s） ds=f（η）ZFG（f- s） ds。

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2022-5-7 05:44:06

（12）传播模型中假设的时间依赖性和体积依赖性之间的因式分解立即导致将临时影响分解为仅依赖于η的部分和仅依赖于F的部分。在特殊情况下，f（q）=qδ，G（t）=t-这就好了(Ohm = {V W AP，η，F}）=1- γηδF1-γ. （13）这种关系表明，在具有幂律影响函数和幂律衰减核的传播子模型中，临时影响是参与率η和持续时间F的可分解幂律函数。描述临时市场冲击形态的“宏观”指数表(Ohm = {V W AP，η，F}）是从描述单个交易δ和衰退核γ的市场影响函数的“微观”指数继承而来的。根据Gatheralδ+γ=1，如果模型处于临界状态，则临时影响不分别取决于持续时间F和参与率η，而只取决于它们的乘积，即每日分数π=η·F。因此，市场影响面完全以市场影响曲线为特征。注意，当γ=δ=1/2时，用Y=2恢复方根冲击曲线，公式1。最后，直接和永久的市场影响，如公式5所示，areI（z|Ohm = {V W AP，η，F}）=（1-γηδF1-γz1-γ如果z<1,1-γηδF1-γ（z1）-γ- （z）- 1)1-γ）如果z>1。（14）其中z=v/F。对于较大的z值，冲击作为指数γ的幂律函数衰减为零。另一方面，在元序完成后，价格服从指数为1的幂律- γ.如果我们考虑交易速度不恒定的一般执行方案，那么即时和临时市场影响的计算就会变得更加复杂。

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2022-5-7 05:44:10

出于纯粹的说明目的，我们考虑了一类Q股的执行方案，其特征是内在单调交易率Q（s）=QV（tc）（α+1）Fα+1（F- s） α，α>-1.（15）对于正（负）α，相对交易利润在周期开始时更多（更少），而α=0对应于VWAP方案。可以证明，对于这类方案，暂时的市场影响是isItmp(Ohm = {α，η，F}）=ηδF1-γ(1 + α)δ1 + αδ - γ、（16）直接和永久的市场影响是|Ohm = {α，η，F}）=ηδF1-γ（α+1）δZzds（1）- s） αδ（z）- s） γs≤1=(1-γηδ（1+α）δF1-γz1-γF（1，-δα; 2.- γ; z）如果z<1,1+αδηδ（1+α）δF1-γz-γF（1，γ；2+Δα；z）如果z>1，（17），其中z=v/F是重定标时间，F是超几何函数。为了避免临时影响的分散性（z=1），必须施加1+αδ- γ > 0.图4显示了Itmp的临时市场影响(Ohm = {α，η，F}）作为在γ=δ=1/2的传播模型中，在固定参与率η下的元序持续时间F的函数。对于持续时间F的一些值，我们还显示了即时市场影响轨迹I（v）|Ohm = {α，η，F}），即达到暂时影响的价格所遵循的轨迹。观察这些数据，可以做出三个重要的评论：（i）临时市场影响取决于交易业绩（另见等式16）。这是a0。00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.53.00.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.53.00.20.40.60.81.00.51.01.02.53.00.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.53.0图4：临时市场影响（红线）Itmp(Ohm = {α，η，F}）作为固定参与率η=1的元序持续时间F的函数，以及γ=δ=1/2的传播者模型的不同交易率系数α值。

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2022-5-7 05:44:13

我们考虑一个反向加载的文件（α=-1/2，左上角）、aVWAP文件（α=0，右上角）和两个前置文件（α=1和α=4，底部）。在每个面板中，我们还显示了直接的市场影响轨迹（蓝线）I（v|Ohm = {α，η，F}）对于F=0.25,0.5,0.75,1的一些值，作为交易量-时间v的函数。影响函数F非线性的一般后果。正如我们在Almgren-Chriss模型中所看到的，临时影响与交易量无关。（ii）与Almgren-Chriss模型一样，交易利润越偏离VWAP，即时冲击轨迹越偏离临时影响。对于前（后）负荷策略，α>0（α<0），轨迹从上方（下方）到达临时冲击；（iii）即使商品标识在执行过程中始终相同（例如，购买元订单），影响轨迹也可以是非单调的，因为它们在元订单结束之前达到最大值并衰减到临时影响（参见图4中的情况α=1和α=4）。换言之，如果交易文件的前置量足够大，在元订单结束后有充分记录的价格回归将在元订单执行期间开始。正如我们将在下面看到的，这正是我们在一些数据中观察到的真正的元顺序执行。4市场影响的衡量4。1市场影响曲线：测试平方根公式和临时市场影响曲线Itmp(Ohm = {π} ）定义为以日分数π为条件的价格变化。平方根影响公式（方程式1）表明，临时市场影响曲线至少在第一个近似值下由幂律函数Itmp描述(Ohm = {π} ）=Yπδ。（18）之前的研究发现δ在0.4到0.7之间[5,3,7,8]。图5以双对数标度显示了我们的数据所测量的临时市场影响曲线的形状。

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2022-5-7 05:44:17

这幅图是从-510-410-310-210-1100π10-410-310-210-1Itmp(Ohm = {π} f（π）=Yπδg（π）=a log10（1+bπ）^Y=0.15±0.01^δ=0.47±0.02 ERMS=6.70^a=0.028±0.001^b=465±33 ERMS=2.80图5：测量的临时市场影响Itmp(Ohm = {π} ）作为日利率π的函数，定义为交易量与日交易量的比率。标度为双对数；虚线是幂律的最佳拟合，蓝色实线是对数的最佳拟合。通过根据每日速率π将数据划分为均匀分布的垃圾箱，并计算每个垃圾箱的影响条件预期。在本文和其他图表中，误差条是标准误差。注意π的范围跨越五个数量级以上。我们观察到π大约在10的范围内-3到10-1第一个近似值是，点位于一条直线上。尽管如此，一个明显的凹陷是显而易见的，因为对于大π和小π，冲击曲线都会向下弯曲。对函数f（π| Y，δ）=Yπδ进行非线性回归，最佳拟合参数为^Y=0.15±0.01和^δ=0.47±0.01。指数的值与之前工作[5,3,7,8]中发现的值一致。为了比较不同的函数形式，我们将加权均方根误差（ERMS）视为对函数优度的衡量。对于幂律，我们发现ERMS（f（Y，δ））=6.70。在双对数标度中描绘的市场影响形状的凹度表明，一个比幂律更凹的函数可能更好地解释函数g（x | a，b）的加权均方根误差，用参数a和b重现数据。另一种选择是，我们将g（π| a，b）=对数（1+bπ）形式的函数设置为。g（π| a，b）的形状对于bπ的值是线性的对于bπ>1，为对数凹。

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2022-5-7 05:44:20

估计的拟合参数为^a=0.028±0.001和^b=465±33，拟合的相对优度（g（^a，^b））=2.80，这比幂律的拟合参数要好得多。图5中的浅蓝色线是最适合的对数曲线。根据图和项的值，我们得出结论，对数函数形式比幂律（平方根）函数形式更好地描述了我们的数据。我们现在考虑临时影响曲线如何依赖于其他条件变量的问题。如[3]所述，市场影响的平方根定律似乎是一个非常稳健的统计规律。它似乎不取决于交易工具（股票、期货、外汇等）或时间段（从90年代中期开始，当时做市商提供流动性，直到今天的电子市场）。我们通过调节数据库中存在的不同时间段和交易工具的市值来验证临时市场影响曲线的稳健性。图6（顶部面板）显示了我们的分析结果：非常值得注意的是，临时市场影响曲线的形状大致独立于交易期间（2007年、2008年和2009年）和股票资本（根据安切诺数据库提供的分类，为小、中、大）。表4给出了估计的最佳拟合参数和拟合的相对优度。我们观察到，除了小资本化条件外，对数函数总是更好地解释数据。现在，我们将重点转移到测量临时市场影响曲线，同时对表征元订单执行的参数进行调节。

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2022-5-7 05:44:23

正如[28]所指出的，平方根公式仅取决于日分数π，这意味着临时市场影响与持续时间F和参与率η无关。我们通过调节参与率和元序持续时间来研究这一点。图6的底部面板显示了该分析的结果，我们注意到，在这两种情况下，三条曲线都由幂律函数局部近似，这主要是因为这两种类型的条件显著减少了横坐标上的数据范围。然而，很明显，幂律的指数是不同的，因此，三个子集的叠加给出了一个对数凹函数。特别是，当我们对F施加影响时，幂律指数从0.58下降到0.42，当我们对η施加影响时，幂律指数从0.74下降到0.47。exponent在所有情况下都是错误的。因此，指数和冲击函数取决于条件变量（F或η）。总之，当作为日利率π的函数绘制时，临时市场影响曲线Itmp(Ohm = {π} ）由凹函数清楚地描述，由对数函数{yi}1很好地拟合≤我≤解释变量{xi}1的Nof≤我≤Nis定义的术语（g（a，b））=VuTunnxi易- g（xi | a，b）SE（yi）（19）其中SE（yi）是与观测值yi相关的标准误差。

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2022-5-7 05:44:27

ERM越小，效果越好。10-510-410-310-210-1100π10-410-310-210-1Itmp(Ohm = {π} 年=2007年=2008年=200910-510-410-310-210-1100π10-410-310-210-1Itmp(Ohm = {π} ）cap=大cap=中cap=小10-510-410-310-210-1100π10-410-310-210-1Itmp(Ohm = {π} ）0.00<F<0.030.03<F<0.210.21<F<1.0010-510-410-310-210-1100π10-410-310-210-1Itmp(Ohm = {π} ）0.00<η<0.010.01<η<0.060.06<η<0.30图6：作为日分数π函数的元指令的临时市场影响，定义为交易量与日交易量的比率。标度是双对数的，线是幂律函数f（π| Y，δ）（虚线）和对数函数g（π| a，b）（实线）的最佳拟合。左上面板分别考虑了三个不同年份，右上面板分别考虑了交易股票的市值，左下面板考虑了元顺序持续时间F的不同集合，右下面板考虑了参与率η的不同子集。幂律和对数函数的最佳拟合参数和拟合优度的值在表4中列出了每年的数值和市值。并且只能用平方根函数局部逼近。有趣的是，参考文献[27]中也引用了CFM元订单的大体积强凹度。在下一节中，我们将说明影响确实分别取决于F和η，并且此处所见的崩溃主要是由于具有不同条件参数的订单数据聚合的补偿效应。4.1.1从市场影响中推断潜在订单在最近的一篇论文中，Toth等人[3]提出了一种理论，将市场影响的形状与潜在订单的一种联系起来。

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2022-5-7 05:44:30

他们认为，真实的订单簿并不能反映市场上的实际供求情况，因为参与者没有披露他们的真实2007年、2008年、2009年的幂律^Y 0.13±0.01、0.12±0.01、0.15±0.01、δ0.41±0.02、0.41±0.02、0.46±0.01ERMS5。47 4.96 3.18对数^a 0.029±0.001 0.025±0.001 0.032±0.001^b 491±29 547±56 316±25ERMS1。36.2.11.23百万吨。Cap大中型小型幂律^Y 0.19±0.01 0.15±0.01 0.12±0.01^δ0.51±0.02 0.46±0.02 0.42±0.02 ERMS1。38 1.32 0.69对数^a 0.030±0.001 0.030±0.001 0.027±0.001^b 441±21400±35428±62ERMS0。40 0.69 1.03表4：拟合函数f（π| Y，δ）=Yπδ的最佳拟合参数^Y和^δ的估计值，以及拟合函数g（π| a，b）=a log（1+bπ）的最佳拟合参数^Y和^b的估计值，以及相应的良好性。每个拟合都是根据执行年份（上表）和市值（下表）的样本数据进行的调节。粗体显示的是ERM最小的fits。内涵。当价格变动时，潜在订单簿变得可见，因此可以从市场影响的形状推断出来。具体地说，假设V（x | b，n）是潜在订单簿中以原木价格x提供的数量。π大小的订单将产生市场影响I（π），求解方程π=Zx+I（π）xV（x | b，n）dx（20），其中xis是元订单执行开始时的原木价格。如果曲线V是原木价格的线性函数，那么市场影响是交易量π的平方根函数，如[3]所示。另一方面，如果利润不变，市场影响在交易量中是线性的。这里我们假设一个参数形式，对于订单中心，它允许我们在线性订单和常量订单之间进行简单的插值。然后，我们计算预期的市场影响，并根据市场影响的实际数据拟合潜在订单簿文件的参数。

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2022-5-7 05:44:33

具体来说，我们考虑规范化函数v（x | b，n）：=Yxnexp（bx）Rdy ynexp（by）（21），其中x∈ [0,1]，V（0 | b，n）=0和V（1 |b，n）=1/Y，其中Y是归一化常数。福尔克斯 1/b文件以多项式形式增长，而对于x 1/b它以指数形式增长。我们可以通过公式20导出I（π| Y，b，n），得到以下情况。当n=0时，我们可以进行分析计算并恢复之前引入的对数函数：I（π| Y，b，n=0）：=Y log（1+cπ）/log（1+c），其中c=exp（b）-1.市场影响函数线性增长π 1/c和π的对数 1/c.当n=1时，我们得到一个市场影响函数i（π| Y，b，n=1），对于小x，它以平方根函数的形式增长，对于大x，它以对数的形式增长。通过保持n为自由参数，我们可以通过拟合影响函数，推断出接近最佳的订单簿形状。由于数据集非常大，我们将数据划分为几个不同的存储单元。对于每个bin i，我们测量平均每日速率πi、平均影响Ii和样本影响SE（Ii）的标准误差。然后，通过非线性加权优化，我们获得影响模型I（π| Y，b，n=0）、I（π| Y，b，n=1）和I（π| Y，b，n）的最佳拟合参数，并计算每个模型的加权均方根误差。与参数数量相比，安装程序中的大量箱子将过度安装的风险降至最低。我们还通过改变垃圾箱数量对结论进行了检验，发现对于大于500的NBIN，结果与垃圾箱数量无关。该程序的结果如图7所示。我们观察到模型I（π| Y，b，n=0）比模型I（π| Y，b，n=1）更好地描述了数据。

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