参数yb>0由λhyb=b+cr给出α(1 - α)α- αyα-1b0+α（α- 1)α- αyα-1b0- 1., （5.17）其中yb0∈ （0，1）由cr（1）给出- α） yα-1b0=c- rbr（r+h）H(1 - α） +rλα+l（α，β）g（β）β- βyβ-1bg-l（α，β）g（β）β- βyβ-1bg,（5.18）和ybg>1（5.15）。参数yg和yequalyg=yb和y=yb0。在（5.16）的第一个表达式中，对于给定的w∈ [0，wb），y∈ （yb，y]唯一解（4.11）。在（5.16）的第二个表达式中，对于给定的w∈ [wb，b），y∈ （yg，yb）唯一解（5.7）。当财富等于w∈ （0，ws]，瞬时定期人寿保险的最佳金额等于*（w） =（b）- w） 1{wb≤W≤b} ，（5.19），投资于风险资产的最佳金额等于π*（w）=u-rσcr（α）-1)(1-α)α-ααyyα-1.- αyyα-1., 如果0≤ w<wb，u-rσc-rbr（r+h）β(β-1)β-βg（β）yygβ-1+β(1-β)β-βg（β）yygβ-1., 如果wb≤ w<b，u-rσcr-可湿性粉剂-1，如果b≤ W≤ ws。（5.20）证据。从引理5.6中，我们知道（5.15）有一个唯一的解ybg>1。接下来，我们证明（5.18）定义的Yb0介于0和1之间。很容易证明（1）- α） +rλα是正的；因此，（5.18）的右边是正的，所以yb0>0。可以用（5.15）和（5.18）来表示yb0=1if，如果c=c，则表示（5.3）的唯一解。因此，为了证明yb0<1，证明yb0in（5.18）随着c的增加而增加就足够了。

为此，计算yb0cvia（5.18），计算ybgcvia（5.15），并求解yb0cto获得yb0C∝ND+ND（α）- 1） 钕- (1 - α） ND，（5.21），其中chn=（β- 1)l（α，β）g（β）yβ-1bg+（1）- β)l（α，β）g（β）yβ-1bg，N=（β- 1)l（α，β）g（β）yβ-1bg+（1）- β)l（α，β）g（β）yβ-1bg，D=h（β- β)(α- 1) -rλα- l（α，β）g（β）yβ-1bg+l（α，β）g（β）yβ-1bg，d=h（β- β)(1 - α） +rλα+ l（α，β）g（β）yβ-1bg- l（α，β）g（β）yβ-1磅。（5.21）右侧的分子简化为：。ND+ND∝ h（β- 1)(β- 1) -r+hλβg（β）yβ-1bg- h（1- β)(1 - β） +r+hλβg（β）yβ-1bg- (β- β） g（β）g（β）yβ-1bgyβ-1磅。这是向前迈进的一步(β- 1) -r+hλβ< 0和(1 - β） +r+hλβ> 0; 因此，ND+ND<0，从它开始yb0C∝ (1 - α） 钕- (α- 1） ND。（5.23）如果我们证明N<0，N>0，D>0，和D>0，那么我们将证明yb0随c增加。我们依次证明这四个不等式。首先，N<0直接从l（α，β）<0和l（α，β）<0，我们在引理5中证明了这一点。从g（β）>0和g（β）>0，我们在引理5.1中证明了这一点。其次，N>0相当于（β）- 1)l（α，β）g（β）xβ-β+ (1 - β)l（α，β）g（β）>0，对于所有x>1，这相当于（β）- 1)l（α，β）g（β）+（1- β)l（α，β）g（β）≥ 0，（5.22）b因为（β- 1)l（α，β）g（β）>0。《平等》（5.22）是一部直截了当却又乏味的作品。第三，随着ybg>1而增加；因此，我们只需要证明D≥ 当ybg=1时为0。因为ybg=1=0，因此对于所有ybg>1的情况，D>0。第四，D>0直接来自(1 - α） +rλα> 0，从l（α，β）>0和l（α，β）<0，这是我们在引理5.5中证明的，从g（β）>0和g（β）>0，这是我们在引理5.1中证明的。因此，我们已经证明了Yb0随着c的增加而增加。接下来，我们证明了yb>0。因为Yb0随着c的增加而增加，（5.17）的右边随着c的增加而增加，所以它足以表明（5.17）的右边与c一样为正→ rb+。

从（5.15）开始，我们在cethatlimc→rb+（c）- rb）yβ-1bg=-α- 1.l(α, β)α-1α-α1.- αl(α, β)1.-αα-αβ- βg（β）rb（r+h），这意味着limc→rb+yb0=-α- 11- αl(α, β)l(α, β)α-α. （5.23）因此，（5.17）右侧的极限→ rb+，等于bα（1- α)-α- 11- αl(α, β)l(α, β)艾尔-1α-α+bα（α- 1)-α- 11- αl(α, β)l(α, β)-1.-αα-α∝ αl(α, β) - αl(α, β) = β(α- α) > 0.从yb>0，可以得出wb=b-λhyb<b。接下来，我们证明wb>0。从（5.17）中的表达式中，我们得到了与（4.14）中的表达式相同的wb表达式，作为yb0的一个组成部分。（4.14）中方括号内的表达式随着cb的增加而减少，因为Yb0随着c的增加而增加。因此，为了表明wb>0，就足以说明Lmc是如何变化的→rb+1-α(1 - α)α- αyα-1b0-α(α- 1)α- αyα-1b0≥ 0，从（5.23）开始，相当于-α- 1.l(α, β)α-1.1.- αl(α, β)1.-α≤ 1.（5.24）术语-l（α，β）为正，并随h增加。因此，为了表明（5.24）左侧的第一个因子对于所有h>rr+mλ小于1，足以表明对于h=rr+mλ，第一个因子小于或等于1。-α- 1.l(α, β)h=rr+mλ≤ 1相当于hpλh=rr+mλ·α≥ 这是真的，因为左边减少到α，我们知道α>1。此外，（5.24）左侧的s经济系数对于所有h都小于1≥ 因此，我们证明了wb>0。其余的证明类似于定理4.3和5.2的证明，所以我们省略了这些细节。备注5.2。如第4.2节中所研究案例的备注4.3所述，当0<w<wb时，风险资产的最佳投资金额独立于b和h，这是一个令人惊讶的短视结果。观察定理5.7中的解在遗赠目标接近es 0时是连续的，在第5.1节的情况下是不可滚动的5.3。推论5.8。定理5.7给出的解是连续的→ 0+.

特别是对于0≤ W≤cr，肢体→0+φ（w）=1-1.-rwcp、 四肢→0+π*（w） =u- rσcr- 可湿性粉剂- 1.在下一个推论中，我们观察到，如果w≥ wb，如推论5.4 f或第5.1节中的cas e所示；这里，wb=0。我们省略了这个证明，因为它与推论5.4的证明相同。此外，备注5.1应用程序也适用于这种情况。推论5.9。如果h>rr+mλ且rb<c<c，则随着wb财富的增加，投资于风险资产的最佳金额减少≤ W≤ ws。6.φD的性质*, π*在本节中，我们将证明在第3节到第5节中得到的解的一般性质。随着人寿保险费率的增加，我们预计达到法定目标的最大概率会降低，因为个人达到遗赠目标的难度越来越大。我们在下面的命题中证明了这一点，并找到φ为h的极限→ 0+和h→ ∞.提议6.1。达到遗赠目标的最大概率（弱）随h而降低。此外，limh→0+φ（w）=1-1.-rwcp、 0≤ W≤cr，（6.1），其中p=ph=0=2rh（r+λ+m）+p（r+λ+m）- 4rλi>1，（6.2）和limH→∞φ（w）=φ（w），0≤ W≤ 最大值铬，硼, （6.3）其中φ是在没有人寿保险的情况下达到遗赠目标的最大概率（Bayraktar and Young，2015）。证据在第3节到第5节中，我们证明了φIn（2.2）是其HJB方程（2.9）的经典解。定义F byF（w，F，fw，fw；h）=λF- （rw）- c） fw- 最大π(u - r） πfw+σπfw w- (λ - h（b）- w） +fw）+。注意，F随F增大，随fw减小；因此，F s满足了Crandall等人（1992）的单调性条件（0.1）。假设h<h，设φ（i）表示当h=hi时达到b级目标的最大概率，对于i=1，2，相应的安全水平为w（i）s。注意w（1）s≤ w（2）s。

我们有Fw、 φ（i），φ（i）w，φ（i）w；你好= 0表示i=1、2和fw、 φ（2），φ（2）w，φ（2）w；H=λ - h（b）- w） +φ（2）w+-λ - h（b）- w） +φ（2）w+≤ 0，b，因为φ随w增加。因此，φ（2）是F的粘度子解w、 φ，φw，φw；H= 因为φ（1）是这个方程的经典解，所以φ（2）（0）=φ（1）（0），因为φ（2）w（1）s≤ 1 =φ(1)w（1）s, 根据Crandall等人（1992，定理3.3）得出φ（2）≤ φ（1）onh0，w（1）si。此外，从粘度溶液的稳定性，我们可以找到φ为h的极限→ 0+orh→ ∞ 取HJB方程的相应极限。为此，请注意→ 0+，（2.9）变为λ(Φ - 1） =（rw）- c） Φw+最大π(u - r） πΦw+σπΦw,Φ（0）=0，Φ（c/r）=1，（6.4）b因limh→0+hφw（w）=0表示所有w∈ （0，b），该BVP的解在（6.1）中给出。另外，请注意→ ∞, （2.9）成为λ(Φ - 1{w≥ b}）=（rw- c） Φw+maxπ(u - r） πΦw+σπΦw,Φ（0）=0，Φ（最大值（c/r，b））=1。（6.5）根据Bayraktar and Young（2015）的计算结果，（6.5）中的BVP是通过φ求解的。备注6.1。当h接近0时，达到遗赠目标的最大概率接近1减去终生破产的最小概率（尤ng，2004）。我们期待这个结果，因为当happroaches为0时，覆盖遗产目标的成本会降低，所以问题会减少到一个避免损失的问题。备注6.2。从定理4.2和5.2给出的优化问题的解来看，如果以下任一情况成立，则为所有低于b的财富水平购买保险是最佳的：（a）h≤rr+mλ和c≥ C或（b）h>rr+mλ和c≥ C.因此，如果消费率足够大，那么为低于b的所有级别的财富购买人寿保险是最佳的，其中足够大取决于h。随着保费率变得任意小，用人寿保险覆盖遗赠目标的成本将是零，我们预计购买水平将变得任意小。

相比之下，随着保费率变得任意大，个人将不会购买人寿保险，也就是说，我们预计购买水平将接近b。这些限制很容易证明，因此我们提出下一个命题，而无需证明。提议6.2。保险WB的购买水平遵循以下限制：limh→0+wb=0，和LimH→∞wb=b。随着人寿保险费率的增加，我们预计投资于风险资产的金额会增加，因为个人必须承担更多的财务风险才能达到遗赠目标。我们用下面的命题来证明这一点，并找到π的极限*作为h→ 0+和h→ ∞.提议6.3。风险资产的最优投资额（弱）随着h的增加而增加。此外，林→0+π*（w） =πmin（w），0≤ W≤cr，（6.6），其中πmini是当生命期破产概率最小化时，投资于风险资产的最佳金额，具体来说，πmin（w）=u- rσcr- 可湿性粉剂- 1.安德林→∞π*（w） =π（w），0≤ W≤ 最大值铬，硼, （6.7）其中π是在没有人寿保险的情况下投资于风险资产的最佳金额（Bayraktar and Young，2015）。证据从第3节到第5节的解，我们知道π*（w） 是独立于h的0≤ w<wb（尽管wb本身取决于h）和f或b≤ W≤cr；后者仅适用于第5节中的解决方案。对于wb<w<min（ws，b），我们将找到π的微分方程*用比较的方法证明π*随着h的增加而增加。为此，从第3节到第5节的解中，我们知道φ解出了wb<w<min（ws，b）：λ（φ）的下列微分方程- 1） =（（r+h）w- （c+hb））φw- mφwφw，或相当于λ（φ- 1） =（（r+h）w- （c+hb））φw+u- rφwπ*,b因π*= -u-rσφwφww。将该表达式与w进行微分，并重写结果，以获得π的微分方程*:u - rπ*w+u- rσ（c+hb）- （r+h）wπ*+ （r+h）- λ - m） =0。

（6.8）对h进行微分（6.8），以获得π的微分方程*h:u- r（π）*h） w-u - rσ（c+hb）- （r+h）w（π）*)π*h+u- rσb- wπ*+ 1 = 0. （6.9）重新定义独立变量，使min（ws，b）成为新的原点：~w:=min（ws，b）-w、 和∧π*（~w）：=π*（最低（西、北）- ~w）。然后，（c+hb）- （r+h）w=（r+h）~w+（c）- rb）+，b- w=~w+（b）- ws）+，π*h=)π*h、 （π）*h） w=-(~π*h） ~w，且（6.9）变为u- r（~π）*h） ~w+u- rσ（r+h）~w+（c）- rb）+（π）*)~π*H-u - rσ~w+（b）- ws）+π*- 1 = 0.定义G byG（~w，f，f~w）=u- 射频w+u- rσ（r+h）~w+（c）- πrb+*)F-u - rσ~w+（b）- ws）+π*- 1.注意G随f增加；因此，G满足了Crandall等人（1992）的单调性条件（0.1）。那么，G（~w，~π）*h、 （∧π）*h） ~w=0，和g（~w，0，0）=-u - rσ~w+（b）- ws）+π*- 1 < 0.经过大量的代数运算，我们可以证明∧π*h（0+）=π*h（最小值（ws，b）-) ≥ 0; 然后，从Crandallet al.（1992，定理3.3）中，我们得出π*h（w）≥ wb<w<min（ws，b）为0。通过使用第3节至第5节中给出的解决方案，可以根据具体情况来说明（6.6）和（6.7）中的限制。为了空间的利益，我们这里不包括这些计算。命题6.3告诉我们π*≥ πminb因为最小化寿命破产概率的问题等价于我们得到的问题h→ 0+. 此外，π的表达式*在（5.9）和（5.20）中，我们看到π*（w） =所有b的πmin（w）≤ W≤cr.Bayraktar和Young（2015）计算了最佳投资策略，以最大限度地提高在没有人寿保险的情况下实现遗赠目标的可能性。命题6.3告诉我们π*≤ π.通过将Bayraktar和Young（2015）中的结果与此处不购买人寿保险的最佳解决方案进行比较，我们得出以下建议。提议6.4。

设πmin和π分别表示当人寿保险不可用时，最小化终身破产概率和最大化达到遗赠目标概率的最优投资策略。那么，πmin（w）≤ π*（w） =π（w），0≤ w<wb，（6.10）πmin（w）≤ π*（w）≤ π（w），wb≤ w<b，（6.11）和πmin（w）=π*（w） =π（w），b≤ W≤cr，（6.12）理解为π*（w） =0如果w≥ ws。备注6.3。最佳不购买人寿保险时的投资策略（0≤ w<wborb≤ W≤cr）近视是因为个人似乎不在乎是否有人寿保险。另一方面，当购买人寿保险（wb）是最佳选择时≤ 与人寿保险不可用时相比，人寿保险的存在导致个人对风险资产的投资减少。为了达到遗赠的目标，当人寿保险可用时，个人不必承担那么多风险。人寿保险允许个人实现她的遗赠目标，而无需财富本身达到遗赠目标。如果没有人寿保险，个人达到遗赠目标的唯一途径是财富本身达到遗赠目标b。我们发现，当财富大于遗赠目标b时，最优投资策略与相应的策略相同，以最小化终生破产的概率，这与破产水平无关。一旦财富超过了遗赠目标b，我们的个人就可以进行投资，看看她是不是在尽可能降低破产级别b或任何破产级别的终生破产概率（Bayraktar and Young，2007）。我们以两个数值例子结束本节。在下面的例子中，我们展示了最优策略如何随着c的增加而变化。例6.1。考虑以下参数值：r=0.03、u=0.06、σ=0.20、λ=0.04、h=0.05和b=1.0。

因此，C=0.0736（由等式（4.1）定义），C=0.0629（由等式（5.3）定义）；注意h>rr+mλ。下表显示了op timalstrategies WB和π的情况*随着c从0增加到c而变化。我们设置π*（w） =0 wh en w≥ ws。c-wbwsπ*(0.1) π*(0.3) π*(0.5) π*(0.7) π*(0.9)0 0.375 0.625 0.212 0.637 0.397 0 00.0005 0.381 0.631 0.207 0.622 0.417 0 00.005 0.403 0.688 0.428 0.724 0.560 0 00.01 0.397 0.750 0.748 0.983 0.794 0.159 00.02 0.354 0.875 1.407 1.597 1.191 0.556 00.03 0.295 1.000 2.072 2.223 1.588 0.953 0.3180.04 0.215 1.333 2.693 2.575 1.932 1.284 0.6150.05 0.124 1.667 3.359 2.893 2.239 1.573 0.8740.06 0.028 2.000 3.851 3.194 2.528 1.846 1.1220.0629 0 2.097 3.937 3.278 2.609 1.923 1.193请注意，在本例中，即使h>rr+mλ=0.02909，wb第一次从0.375增加到0.403，然后随着c从0增加到c而减少到0。请记住，投资于风险资产的美元金额与b=1的遗赠目标有关，因此可以将美元金额视为遗赠目标的比例，如备注2.5所述。我们看到π*在c中不是单调的，在w中对于0<w<wb也不是单调的。然而，从（4.4）和（4.13）中的表达式以及推论5.4和5.9中，我们知道π*随着wfor w>wb而减少。还要注意，在这个例子中，π*最终随着c的增加而增加，因为个人需要在风险资产上投资更多，以支付额外的消费。例6.2。

继续例子6.1中的参数值，除了我们将检查最优策略如何随保险h的价格变化；回想一下λ=0.04和RR+mλ=0.02909。对于c=0.02<rb=0.03:h wbwsπ，我们有下表*(0.1) π*(0.3) π*(0.5) π*(0.7) π*(0.9)0 0 0.667 0.400 0.259 0.118 0 00.01 0 0.750 0.707 0.490 0.272 0.0544 00.02 0 0.800 1.078 0.770 0.462 0.154 00.03 0.133 0.833 1.407 1.092 0.683 0.273 00.04 0.259 0.857 1.407 1.447 0.927 0.408 00.05 0.357 0.875 1.407 1.600 1.191 0.556 00.10 0.609 0.923 1.407 1.600 1.833 1.402 0.1450.20 0.782 0.957 1.407 1.600 1.833 2.106 0.7240.50 0.907 0.981 1.407 1.600 1.833 2.106 2.406∞ b=11.000 1.407 1.600 1.833 2.106 2.406注意π*（弱）随着h的增加而增加，如命题6.3所预期。还有π*与0的H无关≤ w<wb，如提案6.4.7中（6.10）的预期。总结我们确定了购买即时定期人寿保险和投资风险资产的最佳策略，以最大限度地提高达到特定遗赠目标的概率。我们证明了这些最优策略的下列性质以及相应的最大概率人寿保险h的保险费率f作为一个参数，将两个看似不相关的问题联系起来。首先，作为h→ 0+，该问题等价于最小化生命破产的概率。第二，作为h→ ∞, 这个问题相当于在市场上最大限度地提高在没有人寿保险的情况下实现遗赠目标的可能性。

见提案6.1至6。4.获取有关此连接的重点结果。o正如在最小化终身破产概率的问题中（Young，2004），最优控制的财富永远不会达到s afe水平随着h的增加，达到遗赠目标的最大概率（弱）降低，风险资产的最佳投资金额（弱）增加，因为如果不购买人寿保险，必须在金融市场承担更多风险才能达到遗赠目标；请参阅第6.1和6.3条如果消费率足够大（足够大取决于保费率），最好为所有财富水平（低于b）购买人寿保险；见定理4.2和5.5，以及备注6.2。这一结果令人惊讶，因为如果财富接近于零，而一个人购买了保险，那么破产的概率比不购买保险的概率大。然而，目标不仅仅是不毁灭；目标是获得遗产b，只有在财富较少的情况下购买有效的人寿保险才能实现只有当财富处于正购买水平wb>0和b之间时，如果以下任一条件成立，购买人寿保险才是最佳选择：（a）h≤rr+mλ和0≤ c<c，或（b）h>rr+mλ和0≤ c<c。因此，如果一个人很穷，如果消费率足够小，“足够小”取决于保费率，最好不要购买人寿保险当购买人寿保险是最优的时，投资于风险资产的最优金额会随着财富的减少而减少（有时是线性的），这是在最小化终身破产概率时的情况。这个结果是有道理的，因为如果一个人购买人寿保险，那么遗产的目标就被发现了，剩下的问题是避免破产。

事实上，对于大于遗赠目标b的财富，在最小化终身破产概率时，风险资产的最佳投资金额与相应金额相同；见提案6.4和备注6.3。o当最好不购买人寿保险时，投资于风险资产的最佳金额与遗赠目标和人寿保险价格无关，并且与在市场上最大化在没有人寿保险的情况下达到遗赠目标的概率时的相应金额相同；见提案6.4。我们对这种短视的投资感到惊讶。感谢两位匿名推荐人和一位联合编辑的宝贵意见。第一作者的研究部分得到了国家科学基金会DMS-0955463拨款和Su san M.Smith精算数学教授的支持。第三作者的研究部分由塞西尔·J·安·d·埃塞尔·M·内斯比特精算数学教授支持。参考Bayraktar、Erhan、S.David Promislow和Virginia R.Young（2014），P u rchasing life insurance to Each a bequest goal，insurance:Mathematics and Economics，58:204-216。Bayraktar、Erhan、S.David Promislow和Virginia R.Young（2015年）将研究人寿保险以实现遗赠目标：时间相关案例，发表在《北美精算杂志》上。Bayraktar，Erhan和Virginia R.Young（2007），终生最低财富与消费效用、金融和随机性之间的对应关系，11（2）：213-236。贝拉克塔尔，Erhan d Virginia R.Young（2009），最小化死亡时的寿命损失或不足，保险：数学和经济学，44（3）：447-458。Bayraktar，Erhan d Virginia R.Young（2013），《购买人寿保险以最大化家庭消费效用》，北美精算杂志，17（2）：114-135。贝拉克塔尔、埃尔汉和弗吉尼亚R。

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