考虑任意合同（A，C），其中-Ais是一个非正（或bou）值，从上面看，因此-A.≤ 对于某些常数M），连续的，G-适应的过程，例如EePl[supt∈[0，T]| At |]<∞. 然后我们就有了，每一个t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 美国证据。还记得吗-1t:=（σ（t，St））-1.我们有（Ph、Pc）*= Y=（Y，Y）*式中（Y，Z）为solvesBSDE（4.15）。莱蒂：=Y-A+A，其中A=（A，A）*A=（A，A）*, 所以（deYt=ZtdfWlt+gt、 eYt+At- A、 σ-1tZtdt，eYT=-在与命题4.4的证明类似，我们假设（t，y，y，z，z）：=-g（t，y+At）- A、 y+At- A、 σ-1tz，σ-1tz）和h（t，y，y，z，z）：=-g（t，y+At）- A、 y+At- A、 σ-1tz，σ-1tz）。因为A是连续的，所以∈[0，T]| At |]<∞, 不难验证假设4.2是否符合h。此外，由于- A.≤ 0（或A）- A.≤ 我们有-4y-[h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）]≤ 4rlty-（y++At- （A）≤ |M | | y-|+ 2z{y<0}。为了完成证明，必须使用定理4.1。备注4.1对于过程更一般的合同（a，C），我们可能不会有类似的结果。这是因为在（4.15）中，一般现金流可能会破坏可行性房地产。然而，通过混合命题4.5和命题4.6中引入的两类特殊契约，我们可以构造以下一类契约：对于0<t≤ T≤ . . . ≤ tk≤ 处理Hl（T），l=1，kde定义于[tl，T]，网址：- A=kXl=1[tl，T]（T）Hl（T），其中，对于l=1，2，k、 过程Hl（t），t∈ [tl，T]满足以下条件之一：（i）Hl是一个连续的、G适应的过程，Hl≤ M和EePl【监督】∈[tl，T]| Hl（T）|]<∞,（ii）Hl（t）=Hl代表所有t∈ [tl，T]，其中随机变量Hl∈ L(Ohm, Ftl，P）。通过将命题4.5和命题4.6的陈述和事实结合起来，一个人可以证明，满足（i）-（ii）的合同（A，C）的公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。20 T.聂和M。

鲁特科夫斯基。4相反标志的初始捐赠在这里只考虑了欧洲或有债权抵押（HT，C）的情况，但对于命题4.5和4.6中介绍的两种特殊合同，类似的结果也成立。我们在假设3.4和3.5下工作，我们表示bt:=（σ（t，St））-1.u（t，St）+κ（t，St）- βtSt. （4.18）假设4.4我们假设过程b满足诺维科夫条件（3.16），过程（σ（·s））-1，β和所有利率都是连续过程和过程（σ（·S））-1是有界的。我们观察到这一点=u（t，St）+κ（t，St）- βtStdt+σ（t，St）dWt=σ（t，St）btdt+dWt= σ（t，St）dfWβt此处dfWβt:=dWt+btdt。让我们通过设置depβdP=exp来定义概率测量值epβ(-ZTbtdWt-ZT | bt | dt）。根据Girsanov定理，过程fwβ是ePβ和thuseScldis a（ePβ，G）-（局部）鞅下的布朗运动，二次变化heScldit=Rt |σ（u，Su）|du。此外，由于过程（σ（·S））-1是有界的，假设3.5成立。我们得出结论，该模型在EPβ下是无套利的（见命题3.6）。在目前的框架下，BSDE（4.6）可以表示为（dYt=Ztσ（t，St）dWt+bgt、 Yt，Zt+ σ（t，St）btZtdt+dAt，YT=0。如第4.3节所述，因此有必要检查[0，T]（dYt=ZtdfWβT+bg）上的以下BSDEt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(-嗯，-（HT）*.命题4.7让x≥ 0，x≤ 0应使xx=0。如果满足假设3.4、3.5、4.1和4.4，则对于任何担保欧洲索赔（HT，C），HT∈ L(Ohm, FT，ePβ）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePβ- a、 美国证据。让σ-1t:=（σ（t，St））-1.必须检查功能sh（t，y，y，z，z）：=- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tzandh（t，y，y，z，z）：=- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tz满足假设4.2和条件（4.13），其中bg和bg分别由（4.7）和（4.8）给出，d=1。

首先，从β的连续性，σ-关于t，我们推导出y，y，z，z∈ R、 函数h（t，y，y，z，z）和h（t，y，y，z，z）对于t.Second也是连续的，因为σ-1S是有界的，bq是一致Lipschitz连续的，很明显h（t，y，y，z，z）和h（t，y，y，z，z）对于（y，y，z，z）是一致Lipschitz连续的。此外，从bq（0，0）=0和x≥ 0和x≤ 我们有h（t，0，0，0，0）=内生担保下的公平双边定价21h（t，0，0，0）=0。因此，我们看到假设4.2适用于h。最后，让我们检查条件（4.13）是否也满足。为此，我们设置δ：=y++y+bq(-y+- Y-y） +xBlt- σ-1t（z+z）支架δ=-Y- bq(-y+- Y-y） +xBbt+σ-1tzSt。然后（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）=-bg（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）+bg（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）=-σ-1tβt（z+z）St+xBltrlt+rctbq(-y+- Y-y）- rltδ++rbtδ-+ σ-1tβtzSt+xBbtrbt- rctbq(-y+- Y-y）- rltδ++rbtδ-= -σ-1tβtzSt+xBltrlt+xBbtrbt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-).自从rlt≤ rbt，我们有（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-) ≤ 闵rlt（δ+δ），rbt（δ+δ）= 闵rlty++xBltrlt+xBbtrlt- rltσ-1tzSt，rbty++xBltrbt+xBbtrbt- rbtσ-1tzSt.砰（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）≥ -σ-1tβtzSt+最大值-rlty++xBbtrbt- xBbtrlt+rltσ-1tzSt，-rbty++xBltrlt- xBltrbt+rbtσ-1tzSt.我们还有h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）≥ -rlty++σ-1tSt（rlt）- βt）z+xBbt（rbt- rlt）。因此，如果x=0，则使用过程β、rl和σ的有界性-1S，我们获得-4y-[h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）]≤ 4rlty-y+- 4y-zσ-1tSt（rlt）- βt）=-4y-zσ-1tSt（rlt）- βt）≤ M|y-|+ 2z{y<0}，这是期望的不等式（4.13）。当x=0时，也可以得到同样的不等式。备注4.2让我们考虑第4.3节中考虑的更一般的合同类别。

我们现在假设利率rl和rb是确定性的，并且满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。使用[12]中命题5.4的证明中研究的例子，对于风险资产的每个模型，我们看到对于第4.3节中考虑的每个合同（A，C），对于所有∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 s.当且仅当xx=0。备注4.3如第3.1节所述，价格Ph（x，A，C）（分别为Pc（x，-A.-, C） ）确实应该是Ph值（x，x，A，C）（re sp.，Pc（x，x，-A.-C） ），这意味着套期保值者和缔约方的价格取决于初始捐赠x和x。使用多维BSDE的比较理论（见胡和彭[10]），人们可能试图证明与初始捐赠有关的价格的单调性（有关结果，请参见[12]中的第5.4节）。22 T.Nie和M.Rutkowski5模型带有部分净额结算和套期保值抵押品。在第5节和第6节中，我们考虑了带有部分净化和完全再抵押现金抵押品的模型。有关此建模框架的详细描述，请参考[2,12]。我们的目的是证明前面章节中开发的方法可以应用于这种设置，尽管关于单边和双边价格的性质可能有不同的结论。由于某些结果的证明与伯格曼模型中的对立面的证明非常相似，因此省略了它们。从[12]中的Le mma 2.1和引理2.2中，我们知道，对于自融资交易策略（ξ，…，ξd，аl，аb，а1，b，а2，b，…，аd，b，η），过程Yl：=（Bl）-1Vp（x，ν，A，C）和Zl，i=ξi，i=1，2。

，d satisfydYlt=dXi=1Zl，itdeSi，l，cldt+Gl（t，Ylt，Zlt）dt+dAC，lt（5.1），其中生成器Glequals，for all（ω，t，y，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×Rd，Gl（T，y，z）=（Blt）-1Pdi=1LTZISIT- （Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- rlty+（Blt）-1.rltyBlt+Pdi=1（ziSit）-+- rbtyBlt+Pdi=1（ziSit）--.类似地，过程Yb:=（Bb）-1Vp（x，ν，A，C）和Zb，i=ξi，i=1，2，d satisfydYbt=dXi=1Zb，itdeSi，b，cldt+Gb（t，Ybt，Zbt）dt+dAC，bt（5.2），其中，对于所有（ω，t，y，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×Rd，Gb（T，y，z）=（Bbt）-1Pdi=1rbtziSit- （Bbt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- rbty+（Bbt）-1.rltyBbt+Pdi=1（ziSit）-+- rbtyBbt+Pdi=1（ziSit）--.在整个第5节中，我们在对冲者抵押品的第3.1条下工作。5.1等号初始捐赠首先检查初始捐赠满足x的情况≥ 0和x≥ 0.我们注意到，在这种情况下，在假设3.2（或假设3.3）下，部分净额结算模型是无套利的，适用于套期保值者和相对方的任何合同（A、C）（见[12]中的建议3.1）。利用[12]中的命题N4.1和4.2，我们可以建立以下命题n，这与本研究中的命题3.3相对应。命题5.1让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl），套期保值者的除息价格等于Ph:=Ph（x，A，C）=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一解（dYt=Z1，*tdeSl，cldt+flt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.3）内生担保下的公平双边定价23，生成方为byfl（t，x，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣- （Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- xBltrlt- rctq(-y） +rlty+q(-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）-+- rbty+q(-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）--交易对手的除息价格等于Pc:=Pc（x，-A.-C） =Y其中（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案（dYt=Z2，*tdeSl，cldt+glt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.5），发电机gl由gl（t，x，y，z）=rlt（Blt）给出-1z*St+（Blt）-1Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xBltrlt- rctq(-Yt）- rlt- Y- q(-Yt）+xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）-++ rbt- Y- q(-Yt）+xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）--.（5.6）正如在伯格曼的模型中，如果假设了hedg e r抵押品的约定，那么我们有Ph=Ph（x，A，C）和Pc=Pc（x，x，-A.-C） ，但我们仍然表示交易对手的价格asPc（x，-A.-C） 。我们可以研究公平双边价格的范围。命题5.2让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。那么对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 s.（5.7）证明。这就足以说明gl（t，x，Y，Z）≥ fl（t，x，Y，Z），ePl l - A.E我们表示δ：=gl（t，x，Y，Z）- fl（t，x，Y，Z）=rltBlt（x+x）+（Blt）-1dXi=1ri，bt | Z1，itSit |- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-)式中δ=-Yt- q(-Yt）+Bltx+（Blt）-1dXi=1(-Z1，itSit）-δ：=Yt+q(-Yt）+Bltx+（Blt）-1dXi=1（Z1，itSit）-.自从rl≤ rband rl≤ ri，b，我们得到δ≥ rltBlt（x+x）+（Blt）-1Pdi=1ri，bt | Z1，itSit |- rlt（δ+δ）≥ （Blt）-1Pdi=1（ri，bt- rl）| Z1，itSit |≥ 0，这就完成了证明。24 T.聂和M。

鲁特科夫斯基5。1.1具有不确定货币市场利率的模型我们在这里研究初始捐赠满足x的情况≥ 0和x≥ 0，但对于x≥ 0和x≤ 0是相似的。让我们选择一个任意的G适应利率过程∈ [rlt，rbt]对于每个t∈ [0，T]。（5.8）我们现在考虑单一货币市场利率r的市场模型，在该模型中，套期保值者和交易对手的除息价格与各自的初始捐赠无关。价格Pr=Y可以通过求解BSDE（dYt=Z）得到*tdeSl，cldt+f（t，Yt，Zt）dt+dAt，Yt=0，（5.9），其中发电机f等于（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣-（Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+-（Blt）-1Pdi=1rt（ziSit）--rctq(-y） +rty+q(-y）.与命题3.5类似，我们在假设3.1下得到以下结果。命题5.3对于任何合同（A、C），如果∈ A（ePl），市场模型中唯一的无套利价格，货币市场利率r满足Pr≤ Ph（0，A，C），ePl- a、 s.如果x=x=0，则（3.5）中的函数q满足（rt- rct）（q（y）- q（y））≤ 0代表一切≥ y、 然后alsoPc（0，-A.-C）≤ 公共关系- a、 s.5.2相反符号的初始禀赋Let us现在考虑以下情况：≥ 0和x≤ 0.我们现在假设rb≤ ri，假设3.5与rb保持一致≤ βi≤ ri，b.根据[12]中的命题3.2，我们知道，对于任何合同（A，C）和任意初始捐赠，部分净额结算模型对套期保值者和交易对手都是无套利的。使用[12]中的支持位置5.3和类似于命题3.8证明的论点，可以证明以下命题。命题5.4让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePβ），套期保值者的除息价格等于Ph=Y，而这对（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.10），其中f（t，x，y，z）=Pdi=1ziβitSit-Pdi=1ri，bt（ziSit）+- xrltBlt- rctq(-y） +rlty+q(-y） +xBlt+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+q(-y） +xBlt+Pdi=1（ziSit）--该公司的除息价格等于Pc=Yc，其中这对（Yc，Zc）是BSDE的唯一解决方案dYt=Z2，*tdeScldt+gt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.11）内生担保下的公平双边定价，其中g（t，x，y，z）=Pdi=1ziβitSit+Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xrbtBbt- rctq(-Yt）- rlt- Y- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-（齐西特）-++ rbt- Y- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-（齐西特）--.以下结果表明，如果XX=0，公平双边价格的范围是非空的。否则，可以生成此范围为空的模型示例。命题5.5让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。（i） 如果xx=0，那么对于任何合同（A，C），A∈ A（ePβ）我们有，对于每一个t∈ [0，T]Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 s.（5.12）（ii）让rland rbt具有确定性，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后（5.12）适用于所有合同（A，C），例如∈ A（ePβ）和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0。证据（i） 假设x≥ 0和x≤ 0

我们将证明δ：=g（t，x，Y，Z）- f（t，x，Y，Z）≥ 最大值- （加拿大皇家银行）- rlt）xBlt+Pdi=1（ri，bt- rbt）| Z1，itSit |，（rbt）- rlt）xBbt+Pdi=1（ri，bt- rlt）| Z1，它|.实际上，我们有δ=xrltBlt+xrbtBbt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-)式中δ=-Yt- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-Z1，itSit）-, δ：=Yt+q(-Yt）+xBlt+Pdi=1（Z1，itSit）-.来自rlt≤ rbt，它遵循δ≥Pdi=1ri，bt | ziSit |+xrltBlt+XRBTBT- rlt（δ+δ）=（rbt- rlt）xBbt+Pdi=1（ri，bt- rlt）| Z1，itSit |和δ≥Pdi=1ri，bt | ziSit |+xrltBlt+XRBTBT- rbt（δ+δ）=-（加拿大皇家银行）- rlt）xBlt+Pdi=1（ri，bt- rbt）| Z1，itSit |。因此，我们证明了δ≥ 最大值- （加拿大皇家银行）- rlt）xBlt+Pdi=1（ri，bt- rbt）| Z1，itSit |，（rbt）- rlt）xBbt+Pdi=1（ri，bt- rlt）| Z1，它|.如果xx=0，则使用ri，bt≥ rbt≥ rlt，很容易检查上述不等式的右侧是否为非负。因此δ≥ 因此，从BSDE的比较定理和命题3.8，我们推导出不等式（5.12）适用于每一个t∈ [0，T]。（ii）如果xx6=0，那么[12]中命题5.4的证明给出了一个与q的合同（a，C）≡ 0，使得不等式c（x，-A.-C） >Ph（x，A，C），ePβ- a、 s在目前的框架中保持不变，因此Rp（x，x）几乎肯定是非空的。备注5.1如果xx<0，那么从上述命题中，我们知道对于某些合同（A，C），我们有Pcbt（x，-A.-C） 对于某些BT，Phbt（x，A，C）∈ [0，T]。正如在[12]中，对于一些特殊的契约（A，C），不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）适用于所有t∈ [0，T]。我们将在下一小节讨论。26 T.Nie和M.Rutkowski5。2.1现金流单调的合同我们继续研究x≥ 0和x≤ 0

受[12]的启发，我们将证明，对于一些特殊合同（A、C），ine质量（5.12）适用于所有t∈ [0，T]。假设5.1合同（a，C）满足以下条件：（i）过程a- Ais递减，属于A类（ePβ），（ii）抵押品C由（3.5）给出，函数q满足y+q(-y）≥ 0代表一切≥ 例如，当q（y）=（1+α）y时，条件（ii）成立+-（1+α）y-对于一些理发过程，α，α≤ 0，这意味着当套期保值者发布抵押品时，现金金额永远不会超过全部抵押品。实际上，q是完全一致的Lipschitz连续的，q（0）=0。此外，我们有，毕竟≥ 0，y+q(-y） =y- （1+α）y=-αy≥ 0.为了强调函数q的重要作用，我们有时会写Pht（x，A，q）和pct（x，-A.-q） 而不是Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 分别为。备注5.2在伯格曼模型的情况下，我们无法使用用于建立下一个结果的方法证明公平双边价格的范围是非空的。这再次表明，价格的属性取决于手头市场模型的特定特征。命题5.6让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。如果合同（a，C）满足假设5.1，那么不平等性Pct（x，-A.-q）≤ Pht（x，A，q）对每一个t都有效∈ [0，T]。证据我们已经知道pa ir（Pht，eZh，xt）解BSDE（5.10），而配对（Pct，eZc，xt）解BSDE（5.11）。注意f（t，x，0，0）=0和A- 这是一个递减过程，根据BSDE的比较定理，我们得到了Ph=Y≥ 0

因此，从x≥ 0+q(-y）≥ 0代表一切≥ 0，我们得到f（t，x，Yt，Zt）=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- xrltBlt- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+xBlt+Pdi=1（ZitSit）-=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+Pdi=1（ZitSit）-.Sinceg（t，x，y，z）≥Pdi=1ziβitSit+Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xrbtBbt- rctq(-Yt）- rbt- Y- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-（齐西特）-=Pdi=1ziβitSit+Pdi=1ri，bt(-（齐西特）+- rctq(-Yt）- rbt- Y- q(-Yt）+Pdi=1(-（齐西特）-,我们有g（t，x，Yt，Zt）- f（t，x，Yt，Zt）≥Pdi=1ri，bt | ZitSit |+（rbt- （rlt）Yt+q(-Yt）- rltPdi=1（ZitSit）-- rbtPdi=1(-ZitSit）-= （加拿大皇家银行）- （rlt）Yt+q(-Yt）+Pdi=1（ri，bt- rlt（ZitSit）-+Pdi=1（ri，bt- rbt）(-ZitSit）-.内生担保下的公平双边定价≥ rb≥ rl，Y≥ 0和y+q(-y）≥ 0代表一切≥ 0，我们得出g（t，x，Yt，Zt）- f（t，x，Yt，Zt）≥ 因此，BSDE的比较定理得到了期望的不等式。5.3套期保值者初始捐赠的价格独立性下一个目标是证明，对于特定类别的合同，套期保值者在部分净额结算的模型中的价格独立于初始捐赠x。对第5.7条的财务解释是，套期保值者永远不需要从账户BB借入现金用于套期保值目的，因此也不需要从账户BB借入现金非负初始捐赠对他的首要问题无关紧要。因此，很明显，当x时，类似的结果不会成立≤ 0.与ken相同，独立财产在Bergman的模型gene ral中不会持有，因为在Latter模型中，风险资产的正头寸融资可能需要从现金账户Bb中扣除。命题5.7让x≥ 0和假设3.1和3.5有效。如果合同（a，C）满足假设5.1，则套期保值者的价格Pht（x，a，q）独立于x。

在5.4的条件下，我们得到Ph（x，A，q）=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一溶液dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0。Sincef（t，x，0，0）=0和At-Ais是一个递减过程，根据BSDEs的比较理论，我们得到Y≥ 因此，使用不等式x≥ q+0和y(-y）≥ 0代表一切≥ 0，we g etf（t，x，Yt，Zt）=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- xrltBlt- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+xBlt+Pdi=1（ZitSit）-=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+Pdi=1（ZitSit）-其中最后一个表达式与x无关。因此，价格Pht（x，A，q）=Ytis也与x有关。备注5.3支持x≥ 0和合同（a，C）是这样的过程a-Ais增加，属于A（ePβ）。如果从套期保值者的角度来看，抵押品C由Ct=q（Vct）给出-Vt（x）），其中函数q满足-y+q（y）≥ 0换一个y≥ 0，则交易对手的价格Pct（x，-A.-q） 独立于x。然而，如果我们仍然在套期保值者抵押品的假设下工作，这个问题需要更多的关注，因为交易对手的价格也取决于套期保值者的初始捐赠x。如上述命题所示，对于满足假设5.1的合同（a，c），过程独立于xso，显然，价格Pct（x，-A.-q） 独立于x，但仍可能取决于x。目前尚不清楚是否可以通过（3.5）给出的套期保值者抵押品C找到某种类别的非平凡合同（A，C），例如Pct（x，-A.-q） 不依赖于x（它可能仍然依赖于x）。5.4套期保值者价格的正同质性我们再次考虑了套期保值者的价格，我们表明，它与合同规模和非负初始捐赠正同质。注意，这个属性是28 T.Nie和M。

如果只有合约的规模，而不是套期保值者的初始捐赠水平，通过非负的s校准因子λ进行了调整（或降低），则Rutkowskino不再成立。当然，当已知合同价格独立于套期保值者的初始投资时，例如在命题5.7的假设下，这种评论并不适用。命题5.8让x≥ 0和假设3.1和3.5有效。对于任何合同（A，C），如- A.∈ A（ePβ）和方程（3.5）中的函数q是正齐次的，这意味着对于所有λ，q（λy）=λq（y）≥ 0，那么套期保值者的价格对于所有λ也是正齐次的∈ R+和t∈ β（λ，λ），λ- a、 s.（5.13）证明。很明显，λ=0的（5.13）ho lds。现在我们把λ>0。从专业位置5。4.我们知道Ph（x，A，q）=Y其中（Y，Z）是BSDE的唯一溶液dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0。类似地，Ph（λx，λA，q）=eY，其中（eY，eZ）是BSDE的唯一解（deYt=eZ1，*tdeScldt+ft、 λx，eYt，eZtdt+λdAt，eYT=0。因此我们有：=λYand Z=λZ（dYt=Z*tdeScldt+λft、 x，λ-1Yt，λ-1Ztdt+λdAt，YT=0。为了完成证明，有必要证明对于每个λ∈ R+λft、 x，λ-1y，λ-1z= Ft、 λx，y，z.使用每个λ的性质q（λy）=λq（y）可以很容易地检查这一点∈ R+。如果抵押品由Ct=q（Vct）给出- Vt（x）），则交易对手的价格具有与命题5.8中相同的正同质性性质。然而，如果假设套期保值者的抵押品，则对交易对手价格同质性的研究稍微复杂一些，尤其是交易对手的价格取决于套期保值者的初始捐赠x。

在这种情况下，Ct=q（Vt（x）- Vht），这取决于（x，A），所以我们将在。命题5.9让x≤ 0和假设3.1和3.5有效。对于任何合同（A，C），如- A.∈ A（ePβ）和方程（3.5）中的函数q是正齐次的，对于所有λ∈ R+和t∈ [0，T]，Pct（λx，-λA，Cλx，λA）=λPct（x，-A、 Cx，A），ePβ- a、 美国证据。与命题5.8的证明类似，现在可以证明λgt、 x，λ-1y，λ-1z= Gt、 λx，y，z其中函数G在命题5.4中给出。因为q（λy）=λq（y）和y=λYforλ≥ 0（参见第5.8节），很容易完成证明。备注5.4当初始捐赠满足x时，类似于命题5.8和5.9的结果也有效≤ 0和x≥ 0.此外，通过结合前两节的结果，我们可以找到一组价格独立于初始捐赠且具有显著同质性的合同。伯格曼模型也可以建立类似的冰均匀性。这些证明与部分网状模型的证明相当相似，因此它们不存在。内部担保296模型下的公平双边定价部分净额结算和协商担保在最后一节，我们通过研究交易对手之间协商担保金额C的情况，继续分析部分净额结算模型，在这个意义上，它取决于套期保值者的价值Vh:=V（x，φ，A，C）和交易对手的价值Vc:=V（x，eφ，-A.-C） 。如第4节所述，我们假设抵押品满足假设4.1。

在这种情况下，我们有Ph（x，A，C）=Ph（x，x，A，C）和Pc（x，-A.-C） =Pc（x，x，-A.-C） ，这意味着这两个价格取决于初始捐赠的向量（x，x）。6.1等号初始禀赋假设双方的初始禀赋为非负，以下结果给出了双方的完全耦合定价BSDE。命题6.1让x≥ 0，x≥ 0和假设3.3和4.1有效。对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl）我们有（Ph，Pc）*= 其中（Y，Z）求解二维完全耦合的DBSDE（dYt=Z）*tdeSl，cldt+gt、 Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（6.1），其中g=（g，g）*,A=（A，A）*对于所有的y=（y，y）*∈ R、 z=（z，z）∈ Rd×2，g（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣- （Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- xBltrlt- rctbq(-Y-y） +rlty+bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）-+- rbty+bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）--（6.2）与g（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*St+（Blt）-1Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xBltrlt- rctbq(-Y-y）- rlt- Y- bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）-++ rbt- Y- bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）--.（6.3）在本节剩余部分中，我们在假设3.4下工作，并研究欧洲未定权益（HT，C）的估值和对冲。我们注意到BSDE（6.1）变成（dYt=Ztσ（t，St）dWt+（gt、 Yt，Zt+ σ（t，St）atZt）dt+dAt，YT=0，（6.4），其中过程a由（3.15）给出。如第4.3节所述，必须检查以下BSDE（dYt=ZtdfWlt+gt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(- 嗯，-（HT）*.我们现在可以研究担保债权在t时的公平双边价格范围。命题6.2让x≥ 0，x≥ 0和假设3.3、3.4、4.1和4.3有效。对于任何担保欧洲索赔（HT，C），其中HT∈ L(Ohm, 我们有，对于每一个t∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePl- a、 s.30 T.Nie和M.RutkowskiProof。让σ-1t:=（σ（t，St））-1.

检查功能sh（t，y，y，z，z）：=-Gt、 y，y，σ-1tz，σ-1tzandh（t，y，y，z，z）：=-Gt、 y，y，σ-1tz，σ-1tz式中，d=1的（6.2）和（6.3）给出的gand gare满足假设4.2和条件（4.13）。很容易检查假设4.2是否成立。我们将检查是否满足条件（4.13）。我们设置δ：=y++y+bq(-y+- Y-y） +xBlt+（Blt）-1σ-1吨（（z+z）St）-δ：=-Y- bq(-y+- Y-y） +xBlt+（Blt）-1σ-1t(-（zSt）-.然后（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）=-g（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）+g（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）=-rlt（Blt）-1σ-1tzSt+（Blt）-1r1，bt（σ-1t（z+z）St）+（Blt）-英国电信1r1(-σ-1tzSt）+（x+x）Bltrlt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-).自从rlt≤ rbt，我们有（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-) ≤ rlt（δ+δ）=rlty++（x+x）Bltrlt+rlt（Blt）-1((σ-1t（z+z）St）-+ (-σ-1tzSt）-).因此，使用r1，bt≥ 我们得到了（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）≥ -拉蒂+- rlt（Blt）-1σ-1tzSt+（Blt）-1r1，bt（σ-1t（z+z）St）+（Blt）-英国电信1r1(-σ-1tzSt）+- rlt（Blt）-1((σ-1t（z+z）St）-+ (-σ-1tzSt）-)= -rlty++（Blt）-1（r1，bt）- rlt）（σ-1t（z+z）St）+（Blt）-1（r1，bt）- （rlt）(-σ-1tzSt）+≥ -rlty+。使用与命题证明N4.4类似的论点，我们得出结论（4.13）成立。6.2相反符号的初始禀赋我们通过研究相反符号的初始禀赋来总结本文。命题6.3让x≥ 0，x≤ 0和假设3.5和4.1有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePβ）我们有（Ph，Pc）*=其中（bY，bZ）求解二维完全耦合的dbsde（dbYt=bZ）*tdeScldt+bgt、 bZt，bZtdt+dAt，bYT=0，（6.5），其中bg=（bg，bg）*,A=（A，A）*对于所有的y=（y，y）*∈ R、 z=（z，z）∈ Rd×2，bg（t，y，z）=Pdi=1ziβitSit- xBltrlt- rctbq(-Y-y） +rlty+bq(-Y-y） +xBlt- Z*圣+- rbty+bq(-Y-y） +xBlt- Z*圣-（6.6）内生担保下的公平双边定价31和BG（t，y，z）=Pdi=1ziβitSit+（Blt）-1Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xBbtrbt- rctbq(-Y-y）- rlt- Y- bq(-Y-y） +xBbt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）-++ rbt- Y- bq(-Y-y） +xBbt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）--.（6.7）满足假设3.4和3.5，然后描述=u（t，St）+κ（t，St）- βtStdt+σ（t，St）dWt和BSDE（6.5）变成（dYt=Ztσ（t，St）dWt+（bgt、 Yt，Zt+ σ（t，St）btZt）dt+dAt，YT=0，其中过程b由（4.18）给出。如第4.3节所述，必须检查以下BSDE（dYt=ZtdfWβt+bgt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(-嗯，-（HT）*,其中fwβ是在等价概率测度pβ下的布朗运动。命题6.4让x≥ 0，x≤ 0应使xx=0。如果满足假设3.4、3.5、4.1和4.4，则对于任何担保欧洲索赔（HT，C），HT∈ L(Ohm, FT，ePβ）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePβ- a、 美国证据。像往常一样，我们写-1t:=（σ（t，St））-1.检查功能sh（t，y，y，z，z）是有效的：- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tzandh（t，y，y，z，z）：=- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tz其中bg和bg分别由（4.7）和（4.8）给出，即假设4.2和条件（4.13）。这类似于提案4.7的证明，使用xx=0，并在提案6.2的证明中使用相同的计算。细节留给读者。

确认Nie Tianyang和Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（DP120100895）的支持。参考文献[1]伯格曼，Y.Z.：不同利率下的期权定价。金融研究回顾8（1995），475-500。[2] Bielecki，T.R.，Rutkow ski，M.：具有融资成本和抵押的合同估值和对冲。工作文件，2014年。[3] Brigo，D.，Capponi，A.，Pallavicini，A.，Papatheodorou，V.：无套利交易对手估值调整中的共同保证金，包括再抵押和净额结算。工作文件，2011.32 T.Nie和M.Rutkowski[4]Buckdahn，R.，Quincampoix，M.，Rascanu，A.：后向随机微分方程的生存性和对偏微分方程的应用。Probab。理论相关领域116（2000），485-504。[5] Burgard，C.，Kjaer，M.：具有双边交易对手风险和融资成本的期权的PDE代表。工作文件，2009年11月20日。[6] Burgard，C.，Kjaer，M.：具有交易对手风险和融资成本的衍生品的偏微分方程表示。《信贷风险杂志》第7期（2011），第1-19页。[7] Cr’epey，S.：融资约束下的双边交易对手风险——第一部分：定价。MathematicalFinance（2012年12月12日在线出版）。[8] Cr’epey，S.：融资约束下的双边交易对手风险——第二部分：CVA。MathematicalFinance（2012年12月12日在线出版）。[9] El Karoui，N.，Peng，S.，Quenez，M.C.：金融中的逆向随机微分方程。数学金融7（1997），1-71。[10] 胡耀鹏，S.：关于多维BSDE的比较定理。C.R.阿卡德。Sci。巴黎爵士。I.343（2006）135-140。[11] Mercurio，F.：伯格曼、皮特堡和其他：抵押和差别利率下的衍生品定价。

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