空间中径向对称边值之间的最优鞅输运

2022-5-7 06:02:16

一般维Stongseok-Lim中径向对称边值之间的最优鞅输运*数学随机，图维耶纳1040维也纳，澳大利亚邮政：dongseok0213@gmail.comAbstract：我们确定了Rd上径向对称的初始和终端之间的鞅输运问题的最优耦合结构，并证明了优化器的唯一性。这里的优化意味着这样的解决方案将使函数Ef（| | X）最小化-Y | |），其中f是凹的且严格递增，且维数d是任意的。2010年理学硕士学科分类：初级60G40、60G42；第二个49K30。关键词和短语：最优运输，鞅，单调性，径向对称性。1.最优运输问题及其方差1。1.最优运输问题本文主要研究解决某些优化问题的概率测度的结构。原型是最优质量运输问题：对于给定的成本函数c:Rd×Rd→ R和Rd上的两个Borel概率测度u，ν，我们考虑：在所有π上，最小化成本[π]=ZRd×Rdc（x，y）dπ（x，y）（1.1）∈ π（u，ν），其中∏（u，ν）是一组质量运输计划或耦合，即Rd×Rd上的概率π的集合，带有边缘u和νonRd。我们对运输计划π的解释如下：对于A，B Rd，π（A×B）是计划π从资源域A传输到目标范围B的质量量。

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2022-5-7 06:02:19

一个等价的概率公式是考虑以下问题：最小化EPc（X，Y）（1.2）*作者感谢不列颠哥伦比亚大学博士研究生奖学金以及奥地利科学基金会（FWF）通过Y782提供的支持。C2016年作者。所有联合随机变量（X，Y）上径向对称边缘2之间的Tongseok Lim/鞅：Ohm → 给定规律下的Rd×rdx~ μ和Y~ 分别是。1781年，Gaspard Monge[24]提出了与他在工程领域的工作相关的以下问题：给定两组体积相等的U，V，在它们之间找到最佳体积保持图，其中最佳体积是根据将粒子x传输到y的成本函数c（x，y）来衡量的。然后，最佳图应该最小化通过V重新分配U质量的总成本。很久以后，坎托洛维奇推广了孟格问题，并提出了上述公式。在Monge的原始问题[24]中，代价只是欧几里德距离c（x，y）=|x-y |。即使是这个看似简单的案例，苏达科夫[27]、埃文斯[12]、甘博·麦卡恩[14]、安布罗西奥·基尔赫海姆·普拉泰利[1,2]、卡夫阿雷利·费尔德曼·麦卡恩[10]、比安基尼·卡瓦莱蒂[9]、马·特鲁丁格旺[23,28,29]和其他人也花了两个世纪才严格证明存在最佳交通地图。有关该理论的一般说明，请参见Villani[30,31]。最近，一个新的方向出现了，交通计划被假定为鞅。在续集中，我们将描述这个问题，它的动机，以及我们的贡献。1.2.

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2022-5-7 06:02:22

鞅最优运输问题现在我们考虑以下问题：π上的最小费用[π]=ZRd×Rdc（x，y）dπ（x，y）∈ MT（u，ν）（1.3），其中MT（u，ν）（鞅运输计划）是Rd×Rd上的联合概率集，以u和ν作为其边缘，例如π∈ MT（u，ν），它的分解πx是它在x上的重心。换句话说，对于Rd上的任何凸函数ξ，关于u的分解测度（πx）x必须满足ξ（x）≤μ的Zξ（y）dπx（y）- a、 e.x.（1.4）我们将崩解解释为条件概率dπx（y）=P（y=y | x=x）。问题的概率描述如下：我们研究了概率空间上所有鞅（X，Y）上的EPc（X，Y）（1.5）的最小化(Ohm, F、 P）转化为具有规定定律X的Rd×Rd（即[Y | X]=X）~ μ和Y~ ν.文献[26]表明，MT（u，ν）是非空的当且仅当u和ν是非凸序的。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅3定义1.1。度量u和ν称为凸序if1。它们具有有限的质量和有限的初始时刻，2。对于定义在Rd上的凸函数ξ，Rξdu≤Rξdν。在这种情况下，我们将写≤cν。注意，当且仅当ifR（x）时，具有相同有限质量和相同初始力矩的度量u，ν为凸序- k） +du（x）≤R（x）- k） +dν（x）表示所有实k。还请注意，使用这种表示法，（1.4）可以写成δx≤cπx.随着D.Hobson对Skorokhod嵌入技术在“无模型”融资和资产定价方法中的重要性的开创性观察[19]，在Skorokhodembedding和鞅最优运输的背景下进行了许多相关研究；例如

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2022-5-7 06:02:26

Beiglb¨ock Henry LaboranderePenkner[4]、Beiglb¨ock Henry Laborandere Touzi[5]、Beiglb¨ock Juillet[6]、Beiglb¨ock Nutz Touzi[8]、Hobson Klimmek[20]、Hobson Neuberger[21]用于离散时间情况，Beiglb¨ock Cox Huesmann[7]、Dolinsky Soner[11]、GalichonHenry Laborandere Touzi[13]、郭Tan Touzi[16]用于连续时间情况。当然，这张榜单完全代表了这个迅速发展的主题。关于MOT、SEP和无模型融资方法之间的联系，我们参考了Henry Laborder[17]，Hobson[18]，Ob l\'oj[25]的读者。我们注意到，上述引用的论文都与维度1有关。在本文中，我们证明了最优鞅问题有一个唯一的解，在任意维的边缘u，ν是径向对称的情况下，这是由重要的分布如高斯分布所满足的。据作者所知，这是第一个在任意高维度上建立的此类结果，以及一篇涉及一般边缘案例的配套论文[15]。鉴于高维最优运输理论（1.1）对数学、物理和经济学的许多领域产生了深远的影响，我们希望高维鞅最优运输理论也能找到许多重要的应用。在本文中，我们将重点讨论成本函数（注x，y）∈ Rd）c（x，y）=f（|x）- y |），其中f（0）=0，f′>0，f′≤ R+上为0。（1.6）也就是说，f:R+→ R+严格地是递增的和凹的。功率成本c（x，y）=x- y | p，0<p≤ 1是一个特别的例子。我们注意到，由于我们的代价函数是下半连续且非负的，所以存在（1.3）的解；参见，例如[4，定理1]（我们注意到[4，定理1]是在一维边缘的情况下陈述的。但是（1.3）的解的存在性来自标准参数，即。

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能者818

2022-5-7 06:02:29

从MT（u，ν）的紧性和非空性出发，给出了它的代价泛函的下半连续性。对于这一点，[4，命题2.4]中的证明同样适用于d维设置）。现在我们介绍主要定理。定理1.2。假设u，ν是RDN上的径向对称概率测度，它们是凸序和（u）-u∧ ν)({0}) = 0. 假设径向对称边缘4之间的uTongseok Lim/鞅是绝对连续的，或者存在一个球Br（中心为0，半径为R，开放或闭合），使得u- u∧ν集中在Br上，而ν- u ∧ν集中在Rd\\Br上。然后问题（1.3）有一个关于代价（1.6）的唯一极小值π，对于几乎每xμ，分解πxis集中在一维子空间Lx={a x | a上∈ R} 。此外，如果μ相对于勒贝格测度和μ是绝对连续的∧ ν=0，则πxis在Lx上的两点处受支撑。我们注意到[15]也研究了一般维数下的最优鞅输运问题，并且他们猜想了极小化子的下列极值性质。猜想：考虑成本函数c（x，y）=x- y |并假设μ对于Rd上的勒贝格测度是绝对连续的，并且∧ν = 0.如果π是一个最小化（1.3）的鞅输运，那么对于μ几乎每x，分解支持支持支持支持支持支持支持支持支持支持πx的k+1点，这些点构成k维多面体的顶点，其中k:=k（x）是支持πx的线性范围的维数。最后，最小化解是唯一的。因此，理论1。当边缘u和ν在Rd上径向对称时，2可以被视为上述猜想的有效答案，在这种情况下，k（x）≡ 1.

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2022-5-7 06:02:32

另一方面，[15]表明，在可数集上支持ν的额外假设下，该猜想是正确的。然而，作者[22]最近的一项工作给出了一个反例（见[22，示例2.9]），表明该假设是正确的<< 光靠激光是不够的。我们认为找到u，ν上的一些充分条件是一个有趣的问题，它们保证了猜想。或者，正如在[22]中所评论的，对于以下（较弱的）存在性猜想，我不知道一个反例：猜想2：考虑代价函数c（x，y）=x- y |并假设μ对于Rd上的勒贝格测度是绝对连续的，并且μ∧ ν = 0. 然后存在一个到（1.3）的鞅最优输运，它是上述猜想中描述的多面体类型。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了单音性原理，该原理最初在[6]中介绍，随后在[32,3]和[8]中推广。然后，我们建立了公共边际函数的稳定性∧ 在（1.3）的每一个极小值下。在第三节中，我们进一步应用单调性来确定一维极小元的结构。最后，在第4节中，我们建立了变形引理和处理任意维数的主要定理。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅52。单调性原理与稳定性∧ v在everyminimizerAn下，最优运输的一个重要基本工具是c-循环单调性的概念。[6]中给出了一个平行陈述，然后在[32]，[3]中进行了推广。定义2.1。设σ为有限集H上支持的有限测度 Rd×Rd。设xh是H在第一坐标空间Rd上的正交投影。然后我们说，如果ρ的边缘与σ相同，那么ρ是σ的竞争对手∈ XH，RRdy dσ（x，y）=RRdy dρ（x，y）。引理2.2（单调性原理[6,32,3,8]）。

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2022-5-7 06:02:35

假设u，ν是凸序的概率测度，并且c:Rd×Rd→ R是一个Borel可测量的成本函数。假设π∈ MT（u，ν）是一个最优鞅运输计划，它会导致有限的成本。然后存在一个Borel集Γ Rd×Rdwithπ（Γ）=1，使得以下单调性原理成立：如果σ是有限集H上的有限测度那么对于σ的每个竞争对手ρ，我们有zc dσ≤Zc dρ。单调性原理的含义很清楚：supp（σ） Γ意味着σ是完整运输计划π的“子计划”，竞争对手的定义是，如果我们将子计划σ更改为ρ，则π的鞅结构不会被破坏。现在，如果我们有Rc dσ>Rc dρ，那么我们可以修改π，将ρ作为其子计划，以实现更低的成本，因此当前的计划π不是amimizer。有关更多细节和证明，请参见[6，引理1.11]或[32，定理3.6]。[6]中介绍了以下符号，我们在本文中使用它们：对于集合Γ Rd×Rd，我们写XΓ：=projXΓ，YΓ：=projYΓ，即XΓ是Γ在第一坐标空间Rd上的投影，YΓ在第二坐标空间上的投影。每个人∈ Rd，我们让Γx={y∈ Rd |（x，y）∈ Γ}和Γx={y∈ Rd |（y，x）∈ Γ}分别是Γ的垂直和水平切片。以下定义在本文中也很有用。定义2.3。设π为Rd×Rd上的一个量度，u，ν为其边缘。我们写dπ（x，y）=dπx（y）du（x）和dπ（x，y）=dπy（x）dν（y）if（πx）x∈Rdand（πy）y∈Rd分别是π相对于u和ν的分解。现在作为单调性原理的一个应用，我们证明了μ的稳定性∧ 在每个最优鞅输运下。[6] 利用欧几里德距离代价讨论了一维系统中的下列定理。我们用一类代价函数（1.6）证明了它在一般维数下的存在性。

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2022-5-7 06:02:38

请注意，未假定u，ν的半径对称性。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅6Theorem 2.4。设π为问题（1.3）的最小值，代价为（1.6）。然后是普通质量∧ ν在π下是稳定的，在这个意义上，如果我们定义：Rd→ Rd×Rdby D（x）=（x，x），然后是u的前推度量∧ v被映射D支配，即D#（u）∧ ν) ≤ π.证据假设这个定理是假的，所以存在一个极小值π，使得D#（u）∧ ν) π. 让π是π对对角线的限制 ={（x，x）|x∈ Rd}。然后从D#（μ）∧ ν) π、测量D#（u）∧ ν) - π有一个非零的正部分，我们让η是这个正部分的向前推的测度，通过映射（x，x）7→ x、设dπ（x，y）=dπx（y）du（x）和dπ（x，y）=dπy（x）dν（y）。然后通过η的定义，我们看到πx6=δx，πx6=δx，η- a、 e.x.（2.1）设Γ为π（Γ）=1的单调集，如引理2中所示。2.选择崩解（πx）x的一个版本∈A其中u（A）=1，并将Γ替换为Γ∩（A×Rd），我们可以假设δx≤cπx和πx（Γx）=1每x∈ XΓ。这意味着，每当πx6=δx时，我们可以在Γx\\{x}中找到许多点，这样x就可以写成它们的凸组合，即x=nXi=1piyiwhere yi∈ Γx\\{x}，pi>0，nXi=1pi=1。（2.2）现在（2.1），（2.2）清楚地暗示，对于η-a.e.x，我们可以找到一个概率度量ρx，比如δx≤cρx，supp（ρx）是Γx\\{x}的有限子集，此外还有z∈ Rd，z6=x使得（z，x）∈ Γ.让我们解释一下，这是如何与Γ的单调性产生矛盾的。在（1.6）中，由于f是增加的和凹的，所以我们有f（| x）- y |）+f（| z）- x |）≥f（| y）- 事实上，这个不等式是严格的，除非z，x，y按这个顺序在一条线上。

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2022-5-7 06:02:41

因此，每当z 6=x，ρx6=δx和δx≤cρx，我们有zf（|x）- y |）dρx（y）+f（| z）- x |）>Zf（| y）- z |）dρx（y）。这可以被重新表述如下：“发送质量δztoρx和δxtoδx”的成本比“发送δztoδx和δxtoρx”的成本更低（回忆f（0）=0）。As（z，x）∈ Γ和supp（ρx）是Γ的有限子集，这与Γ是单调的事实相矛盾。备注2.5。从证明中可以清楚地看出，定理2.4成立，只要z 6=x，ρx6=δx和δx，其代价为c ifZc（x，y）dρx（y）+c（z，x）>Zc（y，z）dρx（y）≤cρx。特别是，当c（x，y）=| | x时，定理2.4成立- y | |，其中|·| |是Rd上的严格凸范数。（如果单位球是严格凸的，则范数是严格凸的，即单位球边界的每一点都是一个极值点。例如，欧几里德范数是严格凸的，因为其单位球是“完全圆的”。）另一方面，定理2.4不适用于一般范数代价；例如，letd=2，| |（x，y）| |=|x |+| y |，让u=（δ（0,0）+δ（0,1）），ν=（δ（0,0）+δ(-1,0)+δ(1,0)+ δ(0,2)). 很容易检查u，ν之间的每个鞅传输是否产生相同的代价。根据理论2。4.我们可以将问题的边缘（1.3）减少到不一致边缘¨u：=u- u ∧ ν和ν：=ν- u ∧ ν. 因此，从现在起，我们将始终假定：∧ 因此，对于任何极小值π∈ MT（u，ν），我们有一个单调集Γ使得π（Γ）=1和Γ∩ = , 哪里 :={（x，x）|x∈ 第3条。一维最优鞅输运的结构在本节中，我们研究一维问题（1.3），即在实线R上定义边缘u，ν。我们将考虑成本函数（1.6），并将确定最优耦合的结构。在本节中，我们不假设边缘u，ν相对于原点的对称性。回想一下，我们可以假设：∧ ν = 0.

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2022-5-7 06:02:44

最后，如果u在任何点上都不指定正度量，我们将说u是连续的：对于每x，u（{x}）=0∈ R.当成本为欧几里德距离c（x，y）=| x时，一维情况下的以下定理如[20,6]所示- y |。通过严格遵循[6]中给出的思想，我们在下一节将其推广到成本类别（1.6）中，以应用于主要定理。提议3.1。假设∧ ν=0且u是连续的。设π为问题（1.3）的胺化子，d=1，代价为（1.6）。然后，存在一个单调集Γ，使得π（Γ）=1，并且对于每个x∈ XΓ，我们有ΓX|=2。因此，如果我们定义两个函数S:XΓ→ R和T:XΓ→ 由Γx={S（x），T（x）}和S（x）<x<T（x），则π集中在图（S）上∪图（T）。特别是，最小值是唯一的。证据设Γ为π的任何单调集，π（Γ）=1，并假设（x，y）-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ和y-< y′<y+。那我们就说Nethery-< x′<x≤ 也不是≤ x<x′<y+是可能的。应该是为了证明这一说法-< x′<x≤ y′并设0<t<1为ty-+ (1 - t） y+=y′。现在考虑函数g（z）=tc（z，y-) + (1 - t） c（z，y+）- c（z，y′）。如果-< z<y′，这变成（回忆c（x，y）=f（|x）- y |）G（z）=tf（z- Y-) + (1 - t） f（y）+- z）- f（y′）- z）。通过求导，我们得到g′（z）=tf′（z）- Y-) - (1 - t） f′（y）+- z） +f′（y′）- z） =t[f′（z）- Y-) + f′（y）+- z） ]+[f′（y′）- z）- f′（y）+- z） ]。径向对称边缘8之间的Tongseok Lim/鞅我们观察到f′（y′）- z）- f′（y）+- z）≥ 0和f′（z）- Y-) + f′（y）+- z） >0，因此G′（z）>0。因此对于y来说-< x′<x≤ 我们有G（x′）<G（x），这是c（x′，y）-) + (1 - t） c（x′，y+）+c（x，y′）<tc（x，y-) + (1 - t） c（x，y+）+c（x′，y′）。这意味着，如果我们通过σ=tδ（x，y）定义测量σ-)+(1-t） δ（x，y+）+δ（x′，y′），那么通过定义ρ=tδ（x′，y），我们就有了一个成本高效的竞争对手ρ-)+ (1 -t） δ（x′，y+）+δ（x，y′）。

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2022-5-7 06:02:48

注意，ρ满足了σ竞争对手的假设。因此由引理2。2，（x，y）-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ与y-< y′<y+andy-< x′<x≤ y’不可能发生。案例y\'≤ x<x′<y+不能通过相似的推理发生。现在我们遵循[6]中的参数：假设集合A:={x∈ R:|Γx |≥3} 是数不清的。（|x |是集合Γx的基数）那么我们就有（x，y）-), （x，y+）（x，y）∈ Γ和y-< x<y<y+或y-< y<x<y+（重新命名）∩ = , 哪里 := {（x，x）|x∈ Rd}，因为∧ ν = 0). 假设第一种情况。[6]中的引理3.2表明，对于任何给定的ε>0，我们有（x′，y′）∈ Γ与x- ε<x′<x和| y′- y |<ε由A的不可数性得出。对于小ε，我们有第一个禁止情况，同样如果y-< y<x<y+那么我们有（x′，y′）∈ 带有x<x′<x+ε和y′的- y |<ε，第二个禁止案例，一个矛盾。因此A必须是可数的，因此通过u的连续性，A可以忽略不计。唯一性遵循通常的论点，即，如果π和π分别是由（S，T）和（S，T）实现的最优解，那么平均π+π也是最优的，因此它也必须由两个函数（S，T）实现。这意味着S（x）=S（x）和T（x）=T（x）对于ua.e.x，产生唯一性。实际上，我们可以更多地讨论最优鞅耦合的结构。我们注意到，本节的其余部分主要受[20]的推动。而[20]给出了一个非常详细的研究，例如鞅耦合的构造和代价c（x，y）=|x的对偶结果- y |，我们将在这里简单介绍，并在下一节中重点讨论主要定理（1.6）的代价类（1.3）的解的唯一性。请注意，在本节的其余部分中，我们不假设u的连续性。引理3.2。设我是一个有界区间I={a，b}并假设ν（I）=0。设π是问题（1.3）相对于代价（1.6）的极小值。

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2022-5-7 06:02:51

设dπ（x，y）=dπx（y）du（x），如果x∈ 一、然后表示π+xa是πxon[b]的限制，∞) π-xasπxon的限制(-∞, a] 。然后x，x′∈ I和x<x′意味着sup（supp（π+x′）≤ inf（supp（π+x））和sup（supp（π-x′）≤ inf（supp（π）-x））。换句话说，集值函数x7→ supp（π+x）和x7→ supp（π）-x）减少I.证明。设Γ是π的单调集，π（Γ）=1，YΓ∩ 我=. 如果x，x′∈我∩ XΓ和X<X′，那么我们声称sup（Γ+X′）≤ inf（Γ+x），其中Γ+x:=Tongseok Lim/径向对称边缘9Γx之间的鞅∩ [b]，∞). 如果没有，那么我们可以找到y′>y≥ b使得（x，y），（x′，y′）∈ Γ.由于π是鞅，我们也可以找到y′≤ a带（x′，y′）∈ Γ. 然后是con配置（x，y），（x′，y′，（x′，y′）∈ Γ被理论证明所禁止。1.矛盾。πx（Γx）=1∈ XΓ，π+X是Γ+X上的全部质量，因此sup（supp（π+X′）≤ inf（supp（π+x））。另一种情况是sup（supp（π-x′）≤inf（supp（π）-x））同样可以证明。我们可以将上述结果称为“局部递减性质”，即函数X 7→ supp（π+x）和x7→ supp（π）-x）局部减小，即在任意间隔i上，其中ν（i）=0。因此，如果我们做以下假设，对于任何最优鞅输运，我们将具有全局递减性质。这个假设也是在[20]中提出的。分散假设。存在一个间隔I，使得u（I）=1和ν（I）=0。例如，两个凸阶高斯测度u，ν在u之后将满足该假设∧ 从每一个边缘中减去ν。现在我们观察到，在不假设μ的连续性的情况下，全局递减性质也会产生最优解的唯一性。提议3.3。假设分散假设。然后在MT（u，ν）中存在一个单质元素，它在引理3的意义上减少。2.类似地，MT（u，ν）中存在一个独特的递增元素。

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2022-5-7 06:02:54

特别是，在分散假设下，成本（1.6）是问题（1.3）的唯一解决方案。证据我们只需要证明递减性质唯一地决定了鞅π∈ MT（u，ν），因为增加的情况将类似。设我是一个有界区间I={a，b}让p:R→ Rbe投影到第二个坐标。为了x∈ R和π∈ MT（u，ν），定义ν-π、 x=p#（π）(-∞,x] ×(-∞,a] ），ν+π，x=p#（π）(-∞,x] ×[b，∞)).设νπ，x=ν-π、 x+ν+π，x注意到π，~π∈ MT（u，ν），π=~π<=> νπ，x=νπ，x每x∈ R.现在假设π、~π是问题（1.3）和fix的最优解∈ R.我们声称，νπ，x=νπ，x.要看到这一点，请观察引理3。2显然意味着-π、 x，ν+π，x必须集中在右边；也就是说，ν-π、 x，ν+π，x的形式必须是ν-π、 x=ν（s，a]+c-ν（{s}）δs，ν+π，x=ν（t），∞)+ 对于一些s，t，c+ν（{t}）δt（3.1）∈ R和0<c+，c-≤ 1.从那时起((- ∞, x] ）=| 124;ν-π、 x | |+|ν+π，x | |=| |ν-~π，x | | |+| |ν+|π，x | |，正确的浓度特性（3.1）意味着-π、 x≥ ν-~π，x和ν+π，x≤ ν+π，x或ν-π、 x≤ ν-~π，x和ν+π，x≥ 在径向对称边缘10之间，让我们假设第一种情况。现在π是鞅测度的事实，特别适用于zy du(-∞,x] （y）=Zy d（νπ，x），当然还有du(-∞,x] （y）=Ry d（νπ，x）也是。HenceZy d（νπ，x）- ν∧π，x）（y）=Zy du(-∞,x] （y）-Zy du(-∞,x] （y）=0=>Zy d（ν）-π、 x- ν-~π，x）（y）=zyd（ν+~π，x）- （x，π）。但正如我们假设的第一种情况，两个-π、 x- ν-~π，x，ν+~π，x- ν+π，xare集中在不相交区间上的非负测度(-∞, a] ，[b，∞) 分别地因此，最后一个恒等式意味着两个度量都必须为零，即ν-π、 x=ν-■π，x和ν+■π，x=ν+π，x。证明了这个主张，从而提出了这个命题。特别是假设u，ν相对于原点的对称性：推论3.4。

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2022-5-7 06:02:57

如果u，ν相对于原点对称，则在定理3的假设下。1或3.3，最优鞅耦合是唯一的，且相对于原点对称。证据我们可以直接证明它，或者让η成为定理3中的最佳耦合。1或3.3，设ζ=（η+η′）是η的对称化，其中η′是η相对于原点的反射。那么ζ也是最优的，所以通过唯一性，η=ζ。高维最优鞅输运的结构我们研究了使ef（|X）最小的一维鞅输运的结构- Y |），尤其是当μ是连续的或分离假设成立时，其唯一性。在这一节中，我们将介绍运输计划对称化的概念，然后提出一种变分法，将径向对称边界下的高维问题简化为一维问题。4.1. 运输计划的对称化和R-等价在这一节中，我们介绍了Rd上概率测度空间上的R-等价的概念和运输计划的对称化的概念（即Rd×Rd上的概率测度）。这些想法将对理论的提出起到至关重要的作用。2.首先，我们在Rd上的概率测度空间上引入了R-等价的概念。设m（x）=| x |是Rd.Tongseok Lim/鞅上径向对称边缘之间的模映射11定义4.1。RDM上的概率测度σ和ρ称为R当量ifm#（σ）=m#（ρ），即σ和ρ在任何环空上包含相同的质量。也就是说，对于任何B R+和任意AB:={x∈ Rd | | x |∈ B} 我们有σ（AB）=ρ（AB）。在这种情况下，我们写σ~=Rρ。

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2022-5-7 06:03:01

我们将Rσ定义为满足Rσ的唯一径向对称性概率测度~=Rσ。由于径向对称测度与R+上的测度之间存在一对一的对应关系（即，任何径向对称测度σ都以m#（σ）为特征），因此Rσ的定义是正确的。设O（d）为维度d中的正交群，定义了Haar测度。考虑到我∈ O（d）和一个传输计划π，我们将推进M#π定义如下：对于Borel集C R2d，我们定义#π（C）=π（M）-1（C））式中（x，y）∈ M-1（C）<=> （男x，我的）∈ C代表所有x，y∈ Rd.特别是，M#π（A×B）=π（M-1（A）×M-1（B））对于所有A、B 注意，如果π∈ π（u，ν），然后是M#π∈ π（M#u，M#ν）。现在我们介绍了作用于交通规划空间的对称化算子。定义4.2。我们将传输计划π上的对称化算子S定义为：对于每个Borel子集D R2d，Sπ（D）=ZM∈O（d）M#π（d）dH（M）。定义4.3。设0 6=x∈ 设lx为x所跨越的一维子空间。设Ox（d）：={M∈ O（d）| mx=x}。我们说Rdis Lx上的概率测度σ对于每个a是对称的 RDM和M∈ 我们有σ（A）=σ（M（A））。下面的引理解释了为什么我们要考虑算子S引理4.4。S具有以下特性：1。如果π∈ π（u，ν），然后是Sπ∈ π（Ru，Rν）。特别是如果π有径向对称的边缘，那么Sπ和π有相同的边缘。让π∈ 设dSπ（x，y）=dSπx（y）dRu（x）。然后Sπxis lx对称。此外，（Sπx）xis是旋转全等的；每x，y∈RDM和M∈ O（d）使得Mx=y，我们有M#Sπx=Sπy。如果π∈ MT（u，ν），然后是Sπ∈ MT（Ru，Rν）。如果代价函数是旋转不变的，也就是说，对于任意M，c（x，y）=c（mx，my）∈ O（d），那么一个计划的成本π等于Sπ的成本。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅12证明。1.让我们 RDN∈ O（d）。

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2022-5-7 06:03:04

ThenSπ（N（A）×Rd）=ZM∈O（d）M#π（N（A）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）π（M）-1N（A）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）π（M）-1（A）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）M#π（A×Rd）dH（M）=Sπ（A×Rd），表明Sπ的边缘是径向对称的。现在让B Rd可以是一个环空集，也就是任意M的B=M（B）∈ O（d）。那么u（B）=π（B×Rd）=π（M）-1（B）×Rd）=ZM∈O（d）π（M）-1（B）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）M#π（B×Rd）dH（M）=Sπ（B×Rd）表明Sπ∈ π（Ru，Rν）。让我们 Rd，Bx，rbe以x为中心，半径r和N的空位球∈牛（d）。ThenSπ（Bx，r×N）-1（A））=ZM∈O（d）M#π（Bx，r×N）-1（A）dH（M）=ZM∈O（d）π（M）-1N-1（Bx，r）×M-1N-1（A）dH（M）=ZM∈O（d）M#π（Bx，r×A）dH（M）=Sπ（Bx，r×A）。除以u（Bx，r）和r→ 当Sπx（A）是RadonNikodym导数π（x，A）du（x）时，我们得到Sπx（A）=Sπx（N-1（A）），即Sπxis Lx对称。现在让x，y∈ RDM和M∈ 当我们观察到Sπ（Bx，r×A）=Sπ（By，r×M（A））时，崩解的旋转同余是明确的第3条。让h:Rd→ Rd可以是有界可测函数。然后是Zr2DH（x）·（y）- x） dSπ（x，y）=ZO（d）ZR2dh（x）·y- x） dM#π（x，y）dH（M）=0径向对称边缘之间的通塞克Lim/鞅，因为M#π显然是鞅度量。这证明了Sπ是鞅测度。4.因为π的成本与任何M的M#π的成本相同∈ O（d），从Sπ的定义可以清楚地看出。算子Sπ的意义是，Sπ的分解是由所有正交矩阵移动的π的分解叠加而成的。让我们举个例子。例4.5。设d=2，u=δ（0,1）+δ（1,0），π是一个具有第一个边缘u的运输计划，且分解π（0,1）=δ（0,2），π（1,0）=δ（1,1）相对于u。换句话说，π从（0,1）到（0,2）传输3/5质量，从（1,0）到（1,1）传输2/5质量。

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2022-5-7 06:03:08

Sπ的第一个边缘和解体是什么？由于u的总质量在单位圆上，Sπ的第一个边缘是单位圆上的均匀概率测量值，即Ru。接下来，让我们（通过旋转）叠加π发生的两个输运，在单位圆上有相同的（但任何）起点，假设我们选择起点为（0，1），因此产生的叠加平面像之前一样从（0，1）到（0，2）传输3/5质量，从（0，1）到（2），从（0，1）传输2/5质量(-1, 1). 让我们把它写成∧π（0,1）=δ（0,2）+δ(-1,1). 下一步，我们将∧π（0,1）相对于其“轴”（0,1）对称化，从而得到的输运变成（Sπ）（0,1）=δ（0,2）+δ(-1,1)+δ(1,1). 这是Sπ在点（0,1）处的分解，而单位圆的其他点的分解就是（Sπ）（0,1）的旋转。例如，（Sπ）（1,0）=δ（2,0）+δ（1,1）+δ（1，-1).4.2. 变形引理和主要理论在这一节中，我们将提出一个变形引理，它将使径向边界下的鞅输运问题简化为一维子空间上的问题，我们可以应用上一节中的结果。对于函数f和度量u，我们将fu表示为由fu（a）=RAf（x）du（x）定义的度量。我们用这个符号表示函数w±和一个测度σ*在下一个引理的（4.3）中。引理4.6。考虑c（x，y）=h（|x）形式的成本函数- y |）设lx为x所跨越的一维子空间，x6=0。设σ是Rd上的对称概率测度，重心在x。定义连续函数f+x，f-x:Rd→ RDF-x=-f+x和f+x（y）=| y | x | x如果y/∈ Lx，f+x（y）=否则为y。（4.1）假设R7→ 当r>0时，h′（r）/r严格递减。如果σ（Lx）<1，则存在一个重心在x的概率测度ρ，ρ（Lx）=1和ρ~=Rσ，例如，Zrdh（|x- y |）dσ（y）>ZRdh（| x- y |）dρ（y）。

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可人4

2022-5-7 06:03:11

（4.2）径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅14A这种ρ的具体选择如下：写出σ=σ*+σ，其中σ=σ（0）δ。设w+（y）=+x | x |·y | y |，w-（y）=-x | x | y | y |表示y6=0。那么ρ=Lx（σ）：=σ+f+x#（w+σ）*) + F-x#（w）-σ*). （4.3）备注4.7。As（h′（r）r′=rh′（r）-h′（r）r，成本（1.6）满足引理的假设。另一个例子是h（r）=rp，0<p<2，或h（r）=-rp，p>2。证据我们将首先在简单的情况下证明引理，其中d=2和σ在两点上得到支持。现在我们将解释如何变形σ以获得ρ。为此，我们将考虑在R中的四个点zn（t）、zn（t）、zs（t）、zs（t）上支持的概率度量ρ（t）族（我们将在下文中定义），其中0≤ T≤ 1是一个参数。我们将根据δxtoρ（t）的运输计划确定测量值ρ（t），并且我们将观察到运输成本ρ（t）随着t的增加而严格降低。这将是理想的变形过程，在引理中ρ（1）=ρ，而ρ（0）=σ。首先，在不损失一般性的情况下，让重心x是R中的一个点，x=（0，b），b6=0。让z，z∈ R、 |z |=|z |=R>0，设z=（a，z），z=(-a、 z）。现在是0≤ T≤ 1，设zn（t）=z+t（r- z），zs（t）=z- t（r+z）和letzn（t）=公共关系- （zn（t）），zn（t）, 锌（t）=-公共关系- （zn（t）），zn（t）,zs（t）=公共关系- （zs（t）），zs（t）, zs（t）=-公共关系- （zs（t）），zs（t）.因此，四个点zn（t）、zn（t）、zs（t）、zs（t）位于圆心0和半径r的圆上，并且它们相对于Lx对称地定位。现在，从δxtoρ（t）ρ（t）=r+z4rδzn（t）+r+z4rδzn（t）+r定义概率测度ρ（t）和运输成本- z4rδzs（t）+r- z4rδzs（t），C（t）=r+z2rh（| zn（t）- x |）+r- z2rh（| zs（t）- x |）。注意ρ（0）=δ(-a、 z）+δ（a，z）=σ和ρ（1）=r+z2rδ（0，r）+r-z2rδ（0，-r） =ρ，所以ρ（t）是沿半径r的圆从σ到ρ的连续变形。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:03:15

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2022-5-7 06:03:18

因此，Lx对称测度σ可以被视为这种对称性（z，~z）所支持的极小测度之和，上述变分演算适用于每一种对称性。详细计算如下：Zh（|x- z |）dσ（z）=zh（| x）- z |）+h（|x）- ~z |）dσ（z）=ZZh（|x- y |）dρz（y）dσ（z）（其中ρz:=（δz+δz））。现在每当z/∈ Lx，我们上面给出的计算（应用于由x和z生成的二维子空间）表明zh（|x）- y |）dρz（y）>Zh（| x）- y |）dLx（ρz）（y）。因此，如果σ（Lx）<1，Zh（|x- y |）dσ（y）>ZZh（| x- y |）dLx（ρz）（y）dσ（z）=ZZh（|x- y |）dLx（δz）（y）dσ（z）（因为Lx（ρz）=Lx（δz））=Zh（|x- y |）dLx（σ）（y）。Tongseok Lim/径向对称边缘之间的鞅16最后要检查的是Lx（σ）的重心与σ的重心相同，σ的Lx对称性用于此。这一点已经在简单情况下得到证明，在一般情况下也可以通过上述类似的计算得到证明。具体如下：bary（σ）：=Zy dσ（y）=z z dσ（z）+zz dσ（~z）=Z（Z+~Z）dσ（Z）（因为σ是Lx对称的）=Zbary（ρZ）dσ（Z）=Zbary（Lx（ρZ））dσ（Z）（在这个简单的例子中显示了等式）=ZZy Lx（ρZ）（y）dσ（Z）=Zy dLx（σ）（y）=bary（Lx（σ））。最后，我们应用对称化参数和变形引理来证明定理1。2.回想一下，在不失去概括性的情况下，我们可以假设：∧ ν = 0.证据设π为极小值。然后cost（π）=cost（Sπ），我们假设π=Sπ。设dπ（x，y）=dπx（y）du（x）。现在我们声称对于ua.e.x，πxis集中在Lx线上。要看到这一点，让F+（x，y）=（x，F+x（y）），F-（x，y）=（x，f）-x（y））和w+（x，y）=+x |x | y | y |，w-（x，y）=-x | x | y | y |对于x，y6=0。写入π=π*+ π，其中π：=π| Rd×{0}。

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可人4

2022-5-7 06:03:21

注意，然后π*（{0}×Rd）=π*（Rd×{0}）=0。现在定义测量ρ，就像在引理4中一样。6：ρ=π+F+#（w+π）*) + F-#（w）-π*).然后是引理4中的论点。6和引理4.4（2）一起，只要πxis不集中在Lx上，我们就会立即看到成本（π）>成本（ρ）。此外，由于引理中质心的不变性质。6我们看到ρ是鞅。然而，请注意，ρ不一定在MT（u，ν）中，因为它可能没有作为第二个边缘的ν。设dρ（x，y）=dρx（y）du（x），设|ν为ρ的第二个边缘。让我们可以设置任何环形空间。然后，由于πx和ρx是u-a.e.x的R-等价物，ν（a）=Zπx（a）du（x）=Zρx（a）du（x）=μν（a），意味着。然后是外稃4。4（1）意味着Sρ∈ MT（u，ν），与成本（π）>成本（ρ）=成本（Sρ）这一事实的矛盾。因此，对于每一个极小值π，这个主张都是正确的∈ MT（u，ν）（即使不假设π=Sπ，因为如果π不满足要求，那么Sπ也不满足要求）。Tongseok Lim/径向对称边值之间的鞅17现在，问题（1.3）被分解为具有诱导边值的每个一维子空间上的问题，如下所示：设L是Rd的所有一维子空间的集合，对于每个L∈ L让L:=L\\{0}。沿着不相交集族{L×Rd | L分解π∈ 五十} （回忆一下u（{0}）=0）并表示itas（πL）L∈上述证明表明πLis实际上集中在L×L上，这是一个一维鞅输运。然后是推论3。4提供每个πL的唯一性，从而产生π的唯一性。参考文献[1]L.Ambrosio、B.Kirchheim和A.Pratelli。晶体范数的最优输运图的存在性。杜克数学。J.，第125卷，第2期（2004年），207-241。[2] 安布罗西奥和普拉泰利。存在性和稳定性是最优运输理论的结果。

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2022-5-7 06:03:24

优化运输和应用。施普林格柏林海德堡。，数学系列讲座笔记第1813卷（2003）123-160。[3] 贝格洛克先生和格里斯勒先生。最优性原理及其在最优运输中的应用。http://arxiv.org/abs/1404.7054，（2014年）。[4] 贝格洛克先生、亨利·拉博德尔先生和彭克纳先生。期权价格的模型独立边界：一种大众运输方法。金融学和随机学。，17 (2013) 477-501.[5] 贝格洛克先生、亨利·拉博德尔先生和图兹先生。单调鞅运输计划与Skorohod嵌入。随机过程及其应用。，第127卷，第9期（2017），3005-3013。[6] 贝格洛克先生和朱埃先生。关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。Probab。，第44卷第1期（2016年），42-106页。[7] 贝格洛克先生、A.M.G.考克斯先生和休斯曼先生。最佳传输和Skorokhod嵌入。数学发明者。，第208卷第2期（2017年），327-400页。[8] 贝格洛克先生、纳茨先生和图兹先生。鞅最优运输的完全对偶性。安。Probab。，出现。https://arxiv.org/abs/1507.00671, (2015).[9] 比安基尼和卡瓦莱蒂。测地空间中距离代价的Monge问题。公社。数学菲斯。(2013) 318: 615.doi:10.1007/s00220-013-1663-8[10]L.A.卡夫阿雷利、M.费尔德曼和R.J.麦肯。构造Monge运输问题的最优映射作为严格凸费用的极限。阿默尔。数学Soc。，15（2002），1-26[11]Y.多林斯基和H.M.索纳。连续时间鞅最优运输与鲁棒套期保值。Probab。理论关系。领域。，160 (2014)391-427.[12] L.C.埃文斯。偏微分方程和Monge-Kantorovich质量转移。数学的最新发展。，1997年，国际出版社。Tongseok Lim/径向对称边缘之间的鞅18[13]A.Galichon，P.Henry Laborder和N.Touzi。

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2022-5-7 06:03:27

一种随机控制方法，用于给定边际的无套利边界，并应用于回望期权。应用概率年鉴。，第24卷，编号1（2014）312-336。[14] W.Gangbo和R.J.McCann。优化运输的几何结构。数学学报。，第177卷第2期（1996）113-161。[15] N.Ghoussoub、Y-H.Kim和T.Lim。广义最优鞅输运的结构。安。Probab。，出现。http://arxiv.org/abs/1508.01806, (2015).[16] G.郭，X.谭和N.头子。有限多边际约束下的最优Skorokhod嵌入。暹罗J.控制优化。，54(4), (2016)2174-2201.[17] 亨利·拉博德尔。无模型套期保值：鞅最优运输观点。查普曼和霍尔/华润金融数学系列。，(2017).[18] 霍布森。回望期权的稳健对冲。金融学和随机学。，2 (1998) 329-347.[19] 霍布森。Skorokhod嵌入问题和期权价格的模型独立边界。巴黎普林斯顿2010年数学金融讲座，2003年数学课堂讲稿。，柏林斯普林格（2011）267-318。[20] 霍布森和克里梅克。对远期起跳的强劲价格界限。金融学和随机学。，第19卷第1期（2014）189-214。[21]D.霍布森和A.纽伯格。前向启动选项的鲁棒边界。数学金融。，第22卷第1期（2012）31-56。[22]T.林。多重鞅最优运输。https://arxiv.org/abs/1611.01496, (2016).[23]马锡恩、特鲁丁格和王锡杰。最优运输问题势函数的正则性。拱定额机修工。肛门。，177（2005），第215-183号。[24]G.蒙格。埃默雷河畔的德布雷斯和雷姆布雷斯。巴黎皇家科学史（1781年）。[25]J.Ob l\'oj。Skorokhod嵌入问题及其影响。Probab。调查，第1卷（2004），321-392。[26]V.斯特拉森。

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