我们定义了旋转角度α，αascosα=s1+β符号（β），sinα=sβ1+β，（62）cosα=s1+β符号（β），sinα=sβ1+β，（63），其中β：=E[（xm- E（xm））（vm- E（vm））]Eh（xm- E[xm]）i≈协方差（d，d）方差（d），（64）β：=E[（xm）- E（xm））（rm- E（rm））]Eh（xm- E[xm]）i≈协方差（d，d）方差（d），（65）这些所需的矩可以从（非贴现）ChF中导出，我们用解析公式计算斜率。我们使用以下矩阵旋转角度α，α的数据d，d和Db，qqq=cosαsinαsinα-cosαcosα-sinαsinαcosαsinαcosαcosα0sinαddd（66）在3-d的情况下，以相等的编号制作束的想法也与Hestonmodel类似。首先，我们根据股票价值对路径进行排序，并确定Jbundles；在这个迭代之后，在每个捆绑包中，通过利率值对路径进行排序，以确定这个方向上的Jbundles，然后对方差值进行排序，以在每个捆绑包中拥有Jsub捆绑包。经过这三次迭代，我们得到了（J·J·J）束。请注意，当伐木条件不满足时，有很多“零”“在路径的方差值中。因此，第二个捆绑步骤是以利率值为基础的。然而，第一个步骤应该基于股票值，因为期权值主要由股票值决定。4.3障碍期权捆绑当我们为障碍期权定价捆绑时，我们只考虑‘活动路径’。因此，我们发现没有达到障碍的路径r、 并应用常规捆绑方法。

这在图3中显示为一个二维示例。4.3 4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-资产价值方差价值（a）带旋转的递归分岔，障碍4。3.4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-资产价值差异值（b）等数捆绑，障碍图3：障碍选项的捆绑结果。5数值结果在本节中，给出了用SGBM方法得到的几个数值结果。我们首先讨论了随机波动率和随机利率对风险敞口数量的影响。接下来，我们通过比较路径和直接估计量，并通过比较参考值（通过COS方法或模拟路径的贴现现金流获得）来分析SGBM的收敛性和准确性。对于本文介绍的所有测试，出于稳健性原因，我们将使用二次指数（QE）方案[20]生成前向MC路径。我们将QE方案评估结果与SDE Euler方案的结果进行了比较，得出结论，尤其是在Feller条件不满足的情况下，QE方案更优越。我们测试了几个满足Feller条件和不满足Offller条件的参数集。我们发现，由于选择了方法组件（QE方案、捆绑类型和基函数的选择），Feller条件对SGBM的性能几乎没有影响。因此，我们只显示Feller条件不满足的参数集的结果，因为它被认为更难估值。一般来说，在时间步长的选择上，满足感觉条件的情况更容易一些。我们应用公式（9）计算CVA，回收率δ=0。

方程（8）中定义了违约概率函数，其恒定强度h=0.03.5.1随机波动率和随机利率的影响我们展示了随机波动率和随机利率对预期风险敞口（EE）和潜在未来风险敞口（PFE）的影响。除了已经讨论过的Heston和HHW模型之外，我们还在本节中考虑了Black-Scholes和Black-Scholes-Hull-White（BSHW）模型。这些模型的特征函数（构成SGBM分析力矩的基础）见附录B.2。为HHW模型选择的参数集由κ=0.3、γ=0.6、v=\'-v=0.05、λ=0.01、η=0.01、r=θ=0.02和S=100给出；相关系数设为ρx，v=-0.3和ρx，r=0.2；T={1,5}。为了进行比较，我们使用了常数波动率σ=√对于Black-Scholes和BSHW模型，v=0.2236；对于Black-Scholes和Heston模型，r=0.02。这些模型中的所有其他参数设置与HHW模型中的相同。我们考虑10个行使日期的aBermudan看跌期权，行使日期K=100，并在图4中比较EE和PFE值forT=1和T=5。路径数等于2·10，离散化的时间步长，t（QE）=0.05。

在BS、BSHW和Heston模型中，使用的束数为4=64，而在HHW模型中，使用的束数为8=512.0.20.40.6 0.8 10246810timeEE BShestonbshwhw（a）T=1，EE0 1 2 3 4 50510152Timeee BShestonbshwhw（b）T=5，EE0 0.2 0.4 0.6 0.8 101020030Timepfe BShestonbshwhw（c）T=1，PFE01 2 3 4 50260 Timepfe BShestonbshwhw（b）T=5，图4：随机波动率和利率对不同期限和不同资产动态的EE和PFE的影响。从图4中我们可以看到以下内容：o当T=1（如（a）和（c）所示）时，HHW模型的暴露值与Heston模型的暴露值相对接近，BSHW模型的暴露值与BS模型的暴露值相似。由于到期时间较短，在我们的模型假设和参数下，随机利率对风险敞口没有显著影响，因此资产动态中的随机波动会显著增加PFE值当T=5（如（b）和（d）所示）时，我们注意到这些模型的EE值只有很小的差异。加上随机利率和随机波动成分，PFEpro文件发生了变化，但没有观察到任何明确的模式。为了获得更长的成熟期的结果，我们进行了更多的测试。分别设置vol的vol参数γ=0.001或vol的利率参数η=0.001，但保持其他参数不变，我们得到图5中的PFE值。在图5（a）中，Heston模型的PFE文件与BS模型的PFE文件非常相似，HHW模型的PFE文件与BSHW模型的PFE文件相似。这一点很明显，因为由于vol-of-vol值较小，随机资产波动率在动态中不起主要作用。

因此，我们可以观察到，随机利率导致PFE增加，尽管在每个行使日期都有下降失效。在图5（b）中，BSHW模型的PFE结果与BSHW模型的PFE结果接近，而HHW模型获得的PFE结果与Heston结果非常相似。FE值在合同的早期阶段增加，然后在五年合同的后期阶段向BS modelPFE快速下降。0 1 2 3 4 50102034050时间点BSHestonBSHWHHW（a）γ=0.001，PFE0 1 2 3 4 50204060时间点BSHestonBSHWHHW（b）η=0.001，PFEFigure 5：随机波动率和利率的影响，选择小模型参数。在较长期限的情况下，随机利率起着重要作用，并导致PFE收益增加；随机资产波动似乎对合同早期的PFE价值有影响，无论合同的长度如何。对于具有随机利率和波动性的资产模型，PFE文件的形式不容易预测：在此处选择的参数下，在合同的早期阶段（比如t<1），HHW模型下的PFE文件与Heston模型下的PFE文件非常相似，但在随后的时间，HHW模型下的PFE文件会增加。5.2 SGBM趋同在Heston模型下，百慕大期权的风险敞口收益我们通过考虑10个行使日期的百慕大看跌期权来研究SGBM的趋同。路径数等于5·10，时间步长为t（QE）=0.05。我们选择以下参数集。测试A：S=100，K=100，r=0.04，T=1。参数κ=1.15，γ=0.39，\'v=0.0348，v=0.0348，ρx，v=-0.64.

（Feller条件不满足。）5.2.1直接估计和路径估计的比较当基函数的阶数选择为p=1和p=2时，我们将直接估计和路径估计的期权值和EE值与束数进行比较。EE值的差异由相对L-范数测量，因为EE是一个时间相关函数。图6（a）显示，当束数增加时，路径和直接估计收敛到“真”选项值。当束数J=4=64时，路径和方向估计量已收敛到参考值水平（通过COS方法计算）。与p=1相比，p=2阶SGBM基本函数提高了收敛速度。图6（b）证实了当束数增加时，路径和直接估计收敛的EE值。我们在表3中给出了百慕大看跌期权的期权价值和标准差。

我们还提供了由等式（9）计算的CVA值。相对L-范数定义为asPMm=0（EEd（tm）- EEp（tm））PMm=0（EEd（tm））！，（67）其中EEd（tm）是直接估计器在时间tm时获得的EE值，而EEp（tm）是相应的路径估计器值。0 1 2 3 456789束数4选择值COS参考值直接电子模拟程序p=1路径估计器p=1直接估计器p=2路径估计器p=2误差修正错误条（a）选项值0 1 2 3 410-310-210-1100束数差异4j p=1p=2（b）直接和路径估计器之间的EE差异图6：直接和路径估计器的选项值和EE值与束数的相对差异。COS SGBM direct（标准）SGBM path（标准）V（0）5.483 5.486（2.4e-04）5.476（4.0e-03）EE（0）-0.327-0.328（7.9e-05）ΓEE（0）0.0247 0.0247（2.3e-05）CVA 0.0924 0.0926（8.9e-05）0.0949（7.9e-05）表3：百慕大期权、希腊期权和CVA的价值；SGBM基于5个模拟。5.2.2基函数阶数研究COS方法是基于Fouriercosine展开的百慕大期权定价的一种高效、准确的方法[21]。我们对[21]中的COS方法进行了调整，使其也可用于计算暴露率，另见[4]。以COS方法为参考，我们研究了EEP和PFE的收敛性以及EEP的收敛性。在图7和图8中，我们展示了SGBM对于曝光量w.r.t捆绑类型、捆绑数量和基函数顺序的准确性。我们检查EE，PFE，EE和ΓEE在SGBM和COS方法之间。当基函数集仅包含常数p=0时，则初始资产值或方差值的所有导数w.r.t均等于零，我们根本无法确定其值。

当基函数的阶数为1时，我们可以计算初始资产价值的一阶导数w.r.t，但这些函数的二阶导数值为零。图7中的捆绑方法是带旋转的递归分岔，而图8中的数字捆绑结果非常相似。除非另有说明，否则在接下来的实验中采用了带旋转捆绑的递归分岔。很明显，增加束数和/或基函数的阶数可以提高结果的准确性；随着束数的增加，多项式阶数对精度的影响变小。当J=4束和p=2时，结果与p=3的近似值一样令人满意。特别是，我们看到，通过更高的多项式阶p和更大的束数，希腊值的精度会提高。当束的数量足够大（4）时，p=2阶的基函数与p=3阶的基函数的性能相当EE，但对于ΓEE，p=3阶的基函数提高了精度。5.3 Heston Hull White模型的SGBM结果在这里，我们将分析HHW模型下的暴露结果。为了验证GBM组件的选择，我们首先考虑期权的定价。我们对HHW模型的离散化基于QE-Heston方案，并结合对利率的欧拉离散。我们采用时间步长t（QE）=0.05，使用的路径数N=5·10。

已使用以下参数集：0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（a）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（b）PFE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=1多项式p=2多项式p=3（c）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=2多项式p=3（d）Γ参见图7：曝光曲线和w.r.t束数的相对L误差和基函数的阶数。捆绑法：带旋转的递归分岔；通过COS方法确定参考值。0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（a）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（b）PFE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=1多项式p=2多项式p=3（c）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=2多项式p=3（d）Γ参见图8：曝光曲线和w.r.t束数的相对L误差和基函数的阶数。捆绑方式：捆绑数量相等。测试B：κ=0.3，γ=0.6，v=\'v=0.05，λ=0.01，η=0.01，r=θ=0.02，S=100；相关系数选择为ρx，v=-0.3和ρx，r={0.2,0.6}；T={5,10}（未满足Feller条件）。如上所述，SGBM采用H1HW模型的贴现矩来近似出现的贴现矩。

为了确定这种近似的影响，我们将首先通过SGBM对欧洲期权定价，并比较贴现现金流平原蒙特卡罗结果得出的结果。如[12]中所述，我们还比较了不同罢工价值的隐含波动率值，以分析准确性。随后，我们给出了百慕大期权的结果，并通过直接估计和路径估计的比较证实了SGBM的收敛性。5.3.1 HHW模型下的欧洲期权定价采用SGBM为欧洲期权定价，问题比百慕大期权定价更容易，因为期权在到期之前无法行使，即对于所有tm<tm，V（X）=EQVM（XM）D（t，tM）十、= 情商情商VM（XM）D（tm，tm）XmD（t，tm）十、. （68）因此，我们可以直接从tM时的贴现平均期权价值计算欧式期权估值；或者我们可以使用中间时间点，t，tm，介于tm和tm之间，用于在反向迭代中计算路径处的选项值，其中时间t处的选项值将基于时间t处所有路径的选项值进行计算。时间t处的选项值是我们在此执行的SGBM精度测试。当分析公式和SGBM模拟准确时，这两种方法之间应该没有显著差异。然而，当我们使用从H1HW中导出的近似HHW贴现动量时，时间步长的大小将影响结果的准确性。我们通过在SGBM中选择三个不同的时间步来测试这一点t={0.05,0.5,10}（后者仅为一次步长）。表4给出了MC和SGBM的计算隐含波动率（%）结果，当T=10时，具有不同的时间步长和罢工值K={40,80,100,120,180}。图9显示了隐含波动率结果中的相应误差。

参考值是通过蒙特卡罗获得的贴现现金流结果。ρx，rStrike Monte Carlo QE SGBMt=0.05 SGBMt=0.5 SGBM（0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）80 19 19.96（0 0 0（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）19（0）19（0 0）19（0 0 0 0 0 0 0 0 0（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）19（0（0）19（0（0 0 0 0 0）19（0）19（0（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）19（0（0 0 0 0）19）26.49（0.005）26.64（0.013）8020.71（0.02）20.70（0.005）20.75（0.008）20.86（0.016）10019.23（0.01）19.21（0.002）19.28（0.008）19.35（0.013）120 18.42（0.02）18.39（0.003）18.48（0.008）18.49（0.014）180 18.27（0.04）18.25（0.006）18.34（0.005）18.26（0.017）表4：蒙特卡罗法和SGBM法的隐含波动率（%）结果。捆绑数量j=64，多项式阶数p=2。测试B，T=10。表格和图表显示，当我们在tand tM之间采取更多的时间步长时，结果会更准确。然而，较大时间步长的结果也非常令人满意。因此，我们可以通过使用更多的时间步长来提高SGBM的准确性，但这将降低该方法的效率。5.3.2 HHW模式下百慕大期权的风险敞口文件我们现在为百慕大看跌期权定价，该看跌期权可在到期前10个相同的行权日行权。罢工设定为K=100。我们使用测试B中的参数，分别为{ρx，r=0.2，T=5}和{ρx，r=0.6，T=10}。我们通过比较直接估计和路径估计来检验SGBM的收敛性。期权价值收敛与不同阶SGBM基函数的比较如图10所示。然后，图11显示了当p=1和p=2 w.r.t束数时，通过直接和路径估计器获得的EE值差异的SGBM收敛性。

结果表明，隐含波动率SGBM的误差为0 50 100 150 20000.050.10.150.2，t=0.05SGBM，t=0.5SGBM，t=10（a）ρx，r=0.20 50 100 150 20000.050.10.150.2隐含波动率SGBM的临界误差，t=0.05SGBM，t=0.5SGBM，t=10（b）ρx，r=0.6图9：隐含波动率（%）与罢工值的误差。通过表4中相同的结果获得。参考值：蒙特卡罗结果。p=2的近似值是有利的，束数最好设置为8=512。随着束数的增加，直接估计和路径估计的EE值的差异减小。这些HHW结果支持第5.2节中的结论，从而支持SGBM的收敛性。0 1 2 3101214161820束数8选择值直接估计器p=1路径估计器p=1直接估计器p=2路径估计器p=2误差误差巴（a）ρx，r=0.2，T=50 1 2 314161820222426束数8选择值直接估计器p=1路径估计器p=2误差巴（b）ρx，r=0.6，T=10图10：当p=1和p=2时，直接估计器和路径估计器对期权价值的比较。测试B，T=10.0 1 2 310-310-210-1100束数8jdi差异p=1p=2（a）ρx，r=0.2，T=50 1 2 310-310-210-1100束数8jdi差异p=1p=2（b）ρx，r=0.6，T=10图11:SGBM直接估计器和路径估计器获得的EE值的比较，当NP=1和p=2时。为了进行比较，我们还在表5中给出了相应的收敛结果。我们还提供了通过等式（9）计算的CVA值。5.4障碍期权定价和精度在本小节中，我们给出了在Heston和HHW模型下，障碍水平H=0.8S的淘汰障碍看跌期权的结果。

选择p=2阶的基函数进行计算，使SGBM直接（标准）SGBM路径（标准）ρx，r=0.2，T=5V（0）11.3747（6.5e-04）11.3507（1.5e-02）EE（0）-0.2935（3.0e-05）ΓEE（0）0.0143（3.6e-05）CVA 0.9829（3.1e-03）ρx，r=0.6，T=10V（0）15.9162（1.28e-02）15.9310（1.9e-03）EE（0）-0.2608（6.39e-04）ΓEE（0）0.0085（2.08e-05）CVA 2.9678（3.42e-03）表5：期权、希腊和CVA的价值；百慕大看跌期权；SGBM基于5个模拟。我们在应用SGBM时获得了准确的灵敏度。参考值通过赫斯顿模型的Coston方法获得。对于HHW模型，我们使用贴现现金流蒙特卡罗结果作为参考。如果路径没有达到障碍，现金流等于到期时的支付；否则，期权在路径上被取消，现金流为零。在Heston模型下，利用测试A中的参数，图12通过绘制曝光的L误差及其在Heston模型下屏障选项w.r.t束数的希腊值，证实了GBM的收敛性，其中COS方法可用于参考值。表6.0 1 2 3 410给出了相应的数值-410-310-210-1100捆绑数量4jL2错误EEPFE（a）暴露：EE和PFE0 1 2 3 410-310-210-1100101捆绑包数4jL2错误Γ（b）希腊人：Ee和ΓEe图12：屏障选项的曝光和曝光的相对L误差。赫斯顿模型下的试验参数。COS SGBM direct（标准）蒙特卡洛（标准）V（0）1.2300 1.2299（1.8e-03）1.2283（4.9e-03）EE（0）0.0605-0.0609（1.2e-04）ΓEE（0）0.00310.0020（3.3e-05）CVA 0.0363 0.0363（8.7e-05）0.0362（1.4e-04）表6：期权、希腊期权和CVA的价值；剔除障碍看跌期权；SGBM和MC基于5个模拟。

Heston模型下测试A的参数。对于HHW模型计算，我们使用了测试B中的参数，得出的值如表7.6所示。结论在本文中，我们采用了随机网格捆绑法（SGBM）来计算具有随机波动性和随机利率的资产动态的敞口利润和希腊值。SGBM直接蒙特卡罗标准ρx，r=0.2，T=5V（0）0.5767（8.6e-04）0.5579（2.1e-03）EE（0）-0.0230（6.7e-05）ΓEE（0）-2.2e-04（7.3e-06）CVA 0.9829（1.1e-04）ρx，r=0.6，T=10V（0）0.3372（1.6e-03）0.3333（4.8e-03）EE（0）-2.1e-04（2.8e-05）ΓEE（0）-5.6-04（5.3e-06）CVA 0.0875（5.5e-04）表7：期权、希腊和CVA的价值；淘汰看跌期权；SGBM和MC基于5个模拟。HHW模型下试验B的参数。SGBM可用于计算欧洲、百慕大以及屏障选项的预期暴露和潜在完全暴露功能。算法结构和基本方法组件非常相似，这使得SGBM成为一个合适的CVA评估框架。我们给出了选择基函数的参数，给出了两种类型的捆绑算法，并证明了直接和路径估计器相对于越来越多的捆绑的SGBM收敛性。数值实验证明了其收敛性和准确性。SGBM基于贴现矩的解析公式的可用性。当SDEdynamics属于有效类时，折扣矩可以直接从折扣DCHF中导出。

在HHW模型下，这些都不可用，我们必须恢复到近似时刻。检查这对结果准确性的影响。当需要精确的希腊值时，作为基函数的高阶多项式很重要；否则，对于期权价格和风险敞口数量，多项式阶数p=1是足够的。计算效率受SGBM中使用的束数的影响。并行算法对于减少计算时间非常重要。致谢我们感谢Lech A.Grzelak、Shashi Jain、Kees de Graaf和Drona Kandhai进行的非常有益的讨论，以及ING银行的CVA团队。感谢DutchTechnology Foundation STW（12214项目）的资助。参考文献[1]J.Gregory，《交易对手信用风险：全球金融市场的新挑战》。《威利金融》系列，约翰·威利父子出版社，2010年。[2] P.Klein和J.Yang，“交易对手信用风险和美国期权”，《衍生工具杂志》，第20卷，第7-21页，2013年。[3] Y.Shen，J.Van Der Weide和J.Anderluh，“列维过程下百慕大期权交易对手信用风险敞口的基准方法：蒙特卡罗COS方法”，ProcediaComputer Science，第18卷，第0期，第1163-1171页，2013年。2013年国际计算科学会议。[4] C.S.L.De Graaf，Q.Feng，D.Kandai和C.W.Oosterlee，“交易对手信用风险敞口的有效计算”，国际理论与应用金融杂志，第17卷，第04期，第1450024页，2014年。[5] S.Jain和C.W.Oosterlee，“随机网格捆绑方法：百慕大选择及其希腊人的有效定价”，论文，SSRN，2013年9月。[6] J.F.Carriere，“使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值”，保险：数学与经济学，第19卷，第1期，第19-30页，1996年。[7] J.N。

Tsitiklis和B.Van Roy，“复杂美式期权定价的回归方法”，Trans。尼尔。网络。，第12卷，第694-703页，2001年7月。[8] F.Longstaff和E.Schwartz，“通过模拟评估美国期权：一种简单的最小二乘法”，《金融研究评论》，第14卷，第1期，第113-147页，2001年。[9] L.Stentoft，“价值函数近似或停止时间近似：使用模拟和回归对美式期权定价的两种最新数值方法进行比较”，《计算金融杂志》，第18卷，第1-56页，2010年。[10] M.Broadie，P.Glasserman和Z.Ha，“使用具有优化权重的随机网格通过模拟为美式期权定价”，载于概率约束优化（S.Uryasev，ed.），非凸优化及其应用第49卷，第26-44页，美国斯普林格出版社，2000年。[11] P.Glasserman和B.Yu，“美式期权的模拟：现在回归还是以后回归？”摘自《2002年蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法》（H.Niederreiter，ed），第213-226页，斯普林伯格-海德堡，2004年。[12] L.Grzelak和C.Oosterlee，“关于随机利率的Heston模型”，《暹罗金融数学杂志》，第2卷，第1期，第255-286页，2011年。[13] M.Pykhtin和S.Zhu，“交易对手信用风险建模指南”，GARP风险评论，第16-22页，2007年7月/8月。[14] D.Brigo，“交易对手风险常见问题解答：信用风险值、PFE、CVA、DVA、收尾、净额结算、抵押品、再抵押、WWR、巴塞尔、融资、CCD和保证金贷款”，论文1111.1331，arXiv。org，2011年11月。[15] 《随机金融学导论》，第二版。查普曼和霍尔/华润金融数学系列，泰勒和弗朗西斯，1996年。[16] M.Larson和F.Bengzon，“一维分段多项式逼近”，摘自《有限元法：理论、实现和应用》，第卷。

《计算科学与工程》10篇，第1-22页，施普林格柏林海德堡出版社，2013年。[17] E.Cl’ement，D.Lamberton和P.Protter，“美国期权定价的最小二乘回归方法分析”，金融与随机，2002页。[18] M.Broadie和M.Cao，“通过模拟为美国期权定价的改进上下限算法”，量化金融，第8卷，第8期，第845-861页，2008年。[19] M.Larson和F.Bengzon，“2D中的分段多项式逼近”，摘自《有限元法：理论、实现和应用》，计算科学与工程文本第10卷，第45-69页，斯普林格-柏林-海德堡，2013年。[20] L.B.G.Andersen，“赫斯顿随机波动率模型的简单有效模拟”，《计算金融杂志》，第11卷，第1-48页，2008年。[21]F.Fang和C.Oosterlee，“赫斯顿模型下百慕大和障碍期权基于傅立叶的估值方法”，暹罗金融数学杂志，第2卷，第1期，439-463页，2011年。附录A。1命题1的证明在这里，我们提供命题1的证明。kcm- ~cmkL（Im）=ZIm情商Vm+1（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm- 情商eVm+1（Xm+1）·D（tm，tm+1）XmdXm≤齐姆情商Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）· （D（tm，tm+1））XmdXm≤齐姆情商Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）XmdXm≤Zim+1Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）f（Xm+1；Xm）dXmdXm+1≤ZIm+1Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）ZImf（Xm+1；Xm）dXmdXm+1≤ZIm+1Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）dXm+1·ZIm+1ZImf（Xm+1；Xm）dXmdXm+1！=(1 - )kVm+1-eVm+1kL（Im+1）·h（Im），（69），其中h（Im）是域Im的大小，asZIm+1ZImf（Xm+1；Xm）dXmdXm+1=ZImZIm+1f（Xm+1；Xm）dXm+1dXm=ZIm（1）- )dXm=（1）- )h（Im）。（70）A.2命题2We的证明通过区间I上p阶多项式^f（x）逼近函数f（x），其中残值定义为p（x）：=f（x）-^f（x），x∈ 我

（71）注意e（p+1）p（x）=f（p+1）（x）as^f（p+1）（x）=0。当f（x）是p+1倍可微时，Lsense中“最佳”估计的误差是有界的。选择p+1不同点，{x0,0，x0,1，…，x0，p}∈ 一、 应用插值，十、∈ 我 η（x）∈ 一、 这样的顶点（x）=f（p+1）（η（x））（n+1）！pYi=0（x- x0，i）。（72）这意味着我们可以找到一个多项式，使得残差函数ep（x0,0）=ep（x0,1）=···=ep（x0,p）。根据罗尔定理，点{x1,0，x1,1，…，x1，p-1} 存在，因此第一导数ee（1）（x1,0）=e（1）（x1,1）=···=e（1）（x1，p-1) = 0. 通过归纳，R≤ p、 存在p- r+1点{xr，0，xr，1，…，xr，p-r} ，从微积分的基本定理，R≤ p、 对于任意点yi，e（r）p（y）=e（r）p（xr，0）+Zyxr，0e（r+1）p（x）dx。（73）当e（r）p（xr，0）=0时，我们有以下e（r）p（y）=Zyxr，0e（r+1）p（x）dx≤Zyxr，0e（r+1）p（x）dx≤Zyxr，0·e（r+1）p（x）dx≤Zyxr，0dx！Zyxr，0e（r+1）p（x）dx！≤ hke（r+1）pkL（I）。（74）当我们两边都成直角时，我们得到e（r）p（y）≤ hke（r+1）pkL（I），（75），因此，区间I中e（r）p（y）的形式为，ke（r）pkL（I）=子e（r）p（y）dy≤齐克（r+1）pkL（I）dy≤ hke（r+1）pkL（I）。（76）通过归纳，很容易找到KEPKL（I）≤ hke（1）pkL（I）≤ ··· ≤ hp+1ke（p+1）pkL（I）=hp+1kf（p+1）kL（I）（77）B联合贴现特征函数在本附录中，我们向读者提供关于特征函数的已知结果。

基于这些，很容易（通过手工或计算机程序）确定GBM所需的折扣矩。B.1 Heston模型Heston模型贴现ChF的表达式由[21]给出：Φ（u，u，T | Xt）=exp\'A（u，u，τ）+\'B（u，τ）xt++\'C（u，u，τ）vt, （78）式中，\'A（u，u，τ）=I+I，\'B（u，τ）=iu，\'C（u，u，τ）=r+-2Dγ（1）- 通用电气-Dτ），（79），其中g=iu- R-iu- r+，D=q（κ- γρx，viu）+γu（u+i），r±=γ（κ- γρx，viu±D），（80）andI=κvR-τ -γ测井1.- 通用电气-Dτ1- G, I=r（iu）- 1)τ.B.1.1折现矩折现矩及其一阶导数和二阶导数的解析公式通过MATLAB中的符号计算得出。我们将介绍Heston模型的折扣时刻。等式[xT·D（t，t）|xT]=xt+2κ（\'v- （vt）1.- E-κτ+ （r）-\'-v）τE-rτ，（81）EQxT·D（t，t）|xT=xt+2κ（\'v- （vt）1.- E-κτ+R-\'vτ+\'v8κOhm+vt4κOhm!E-rτ，（82）EQ[vT·D（t，t）|Xt]=v+（vt- v）e-κτE-rτ，（83）EQvT·D（t，t）|Xt=vtγκE-κτ- E-2κτ+\'vγ2κ1.- E-κτ+v+（vt- v）e-κτ!E-rτ，（84）EQ[xT·vT·D（t，t）|xT]=（\'v+（vT- v）e-κτ)xt+2κ（\'v- （vt）（1）- E-κτ）+（r-\'-v）τ+vγ4κOhm+vtγ2κOhm!E-rτ，（85），其中Xt=[Xt，vt]T，τ=T-t、 在哪里Ohm=E-2κτγ+4e-κt(1 + κτ)γ- 2ρκγ（2+κt）+2κ+ (2κτ - 5) γ- 8ρκγ (κτ -2) + 8κ(κτ - 1) , (86)Ohm= - E-2κτγ+2e-κτ-κτγ+ 2ρκγ (1 + κτ ) - 2κ+ γ- 4κργ + 4κ, (87)Ohm=E-2κτ+2κe-κτ(τ -2ργ(1 + κτ)) +4κρ - γγ, (88)Ohm=E-κτ1.- κτ +2ρκτγ- E-2κτ. （89）B.2 Black-Scholes-Hull-White模型BSHW模型的贴现ChF表达式为：Φ（u，u，u，T | Xt）=exp\'A（u，u，w，τ）+\'B（u，τ）xt++\'D（u，u，τ）rt, （90）与B.1中的B（u，τ）相同，且A（u，u，u，τ）=I+I+I，\'D（u，u，τ）=iu- 1λ1.- E-λτ+ iue-λτ，（91）andI=σiu（iu- 1） τ，I=θ（iu）- 1） τ+λ（e）-λτ- 1） （iu）- 1) - iuE-λτ- 1.,I=η2λλ（u+i）（e）-λτ- 1） （λu）- U- i） +2λE-2λτ- 1.（λu）- U- （一）- （i）τ,I=ηθσρx，rλ-iu+uλ（λτ+e）-λτ- 1） +uu（e）-λτ- 1).

（92）同样，折扣矩是通过MATLAB中的符号计算得到的。B.3 H1HW模型近似HHW模型（称为H1HW模型）的贴现ChF表达式由[12]给出：Φ（u，u，u，T | Xt）=exp\'A（u，u，u，τ）+\'B（u，τ）xt++\'C（u，u，τ）vt++\'D（u，u，τ）rt, （93）其中，系数B（u，τ），\'C（u，u，τ）和\'D（u，u，τ）在B.1和B.2节中是相同的，而系数A（u，u，u，τ）=I+I+I+I，（94）其中表达式g，和r±与赫斯顿模型的表达式相同，且I=θ（iu）- 1） τ+λ（e）-λτ- 1） （iu）- 1) - iuE-λτ- 1., （95）I=κvR-τ -γ测井1.- 通用电气-Dτ1- G,I=η2λλ（u+i）（e）-λτ- 1） （λu）- U- i） +2λE-2λτ- 1.（λu）- U- （一）- （i）τ,I=ηρx，r-iu+uλG（τ，vt）- uuG（τ，vt）. （96）上面出现的两个积分由数值计算得出，asG（τ，vt）：=ZτE√及物动词-s及物动词1.- E-λsds≈L-1Xk=0E√v（T）-K（s）及物动词1.- E-λ（k）（s）s、 （97）G（τ，vt）：=ZτE√及物动词-s及物动词E-λsds≈L-1Xk=0E√v（T）-K（s）及物动词E-λ（k）（s）s、 （98）式中τ=T- Ts=τL，L是积分区间数，方差平方根的条件期望由（59）给出。