定义ξm:=mXi=0ξi，τ：=T- t、 然后ξ=O（1）和supy |ξ（t，y，ν）-ξm（t，y，ν）|=O（τm+k+1）asτ→ 0，（4.11），其中ξi为给定命题（4.2），k为假设4.4（iii）中出现的常数。证据参见（Lorig等人，2015a，定理3.10和命题6.22）。利用定理4.5，我们可以确定“um”的精度，这是独立优级推论4.6的第m阶近似值。假设4.1和4.4成立。然后‘嗯，由（4.10）给出，满足| u（t，y，ν）- \'um（t，y，ν）|=O（τm+k+1）asτ→ 0.（4.12）证据。首先，我们注意到等式（4.11）意味着ξm（t，y，ν）=O（τm+k），m≥ 1.（4.13）接下来，我们有ψε=1- ρlogξε（乘以（4.3））=1- ρlogmXi=0εnξi+O（τm+1+k）！（按（4.13））=1- ρξ+mXn=1εn（1- ρ） nXk=1(-1） k-1kξ-Kxi∈In，kkYj=1ξij+ O（τm+1+k）（按ε的幂展开）=mXn=0εnψn+O（τm+1+k）。（通过（4.8）和（4.9））（4.14）因此，我们发现ψ-ψm=ψ-mXn=0ψn（by（4.10））=O（τm+1+k）。（设置ε=1 in（4.14））（4.15）取两边的绝对值，然后取一个supy，从（4.15）得出supy |ψ（t，y，ν）-ψm（t，y，ν）|=O（τm+k+1）。（4.16）最后，使用（2.9）和（4.10），以及η（t，y）=ψ（t，y，0）和¨ηm（t，y）=ψm（t，y，0）我们得到了（为了清楚起见，省略了参数（t，y，ν））- “嗯|=supyγν(η -ψ) -γν（°ηm）-ψm）≤|γν|supy |η- ηm |+supy |ψ-ψm|,与（4.16）相结合，得出了声称的准确度结果（4.12）。备注4.7。我们希望澄清一个混乱的问题。定理4.5和推论4.6是共形的一致性结果，它们分别提供了“ξ”和“u”接近ξ和u的速度作为τ的信息→ 特别是，m越大，收敛速度越快，因为|ψ-ψm|和| u- “um”的阶数为O（τm+k+1），与τ的阶数相同→ 0

定理4.5和推论4.6给出的m的小时间结果在渐近表达式文献中很常见；例如，参见（Henry Labordère，2008，定理4.3），（Hagan等人，2005，等式（63）），或Gatheral等人（2012）中的各种精确结果。我们强调定理4.5和同伦定理4.6并不意味着|ξ-ξm|和| u-“嗯|像m一样爆炸→ ∞对于τ≥ 1.事实上，在L orig et al.（2015b）中，各种数值测试表明，第4.2部分中描述的扩展为期限长达10年的期权提供了高度的准确性。5例在本节中，我们在两个例子中实施了差异定价和隐含波动率近似值。首先，我们考虑在交易资产上的看涨期权。然后我们考虑一种非交易资产的欧式期权。在这两个例子中，我们都将t=0和Fix泰勒级数的展开点作为扩散的起点（\'x，\'y）=（x，y）=（x，y）。5.1赫斯顿：隐含波动性在我们的第一个例子中，我们考虑一个随机波动性模型，在物理测量P下，该模型由以下SDE建模：dXt=λ（Xt，Yt）pYt-Ytdt+pYtdBXt，dYt=κ(θ - Yt）+ρΔλ（Xt，Yt）pYtdt+δpYtρdBXt+p1- ρdBYt.（P）（5.1）比较（5.1）和（2.1），我们确定u（x，y）=λ（x，y）√y、 σ（y）=√y、 c（x，y）=κ（θ）-y） +ρΔλ（x，y）√y、 β（y）=δ√y、 注意，我们通过波动率函数σ（y）对漂移函数u（x，y）进行了参数化=√y和锐比λ（x，y），这是我们没有提到的。我们还在c（x，y）中加入了一个项ρΔλ（x，y）√y=ρβ（y）λ（x，y）。

我们这样做主要是为了计算上的方便，这一点将在下文中更加明确。在通过Girsanov测度变化（2.12）定义的最小鞅测度下，（X，Y）的动力学由以下SDE描述：dXt=-Ytdt+pYtdeBXt，dYt=κ（θ- Yt）dt+δpYtρdeBXt+p1- ρdeBYt注意，动力学（5.2）对应于赫斯顿（1993）的模型。如果我们没有包括ρΔλ（x，y）这个术语√在函数c（x，y）中，那么（x，y）的EP动力学就不会与赫斯顿对应。隐含波动率在隐含波动率扩展（命题3.20）领域起关键作用的函数：=σ=y，b:=β=δy，f:=c- ρβλ = κ(θ - y） ，g:=ρ∑β=ρδy。由于我们对（X，y）的P-动力学的描述方式，Sharpe r atioλ并未出现在inf中。因此，Sharpe比率λ对隐含波动率的二阶近似值的影响通过INonlin（3.57）项强烈地体现出来。我们从方程（3.57）中可以看出，InOnline中的第一项在（λ）0,1中是线性的。此外，由于（σ）0,1=y（σ（y））=>0，在INONLINH中的第一个m是-(λ)0,1. 我们还观察到，第一个终止点与k无关。因此，增加（λ）0,1会使隐含波动率表面的近似值向下移动（对于买方和卖方，以及所有罢工和到期日）。减少（λ）0,1可提高所有罢工和到期日的“Ifor”。在图2的左侧，我们绘制了买卖双方的近似隐含波动率。为了进行比较，我们还绘制了与赫斯顿价格相对应的隐含波动率的精确和二阶近似值，定义为q（0，x，y）：=eE0，x，y（eXT- ek）+，其中（X，Y）在EP下的动力学由（5.2）给出。精确的隐含波动率是通过计算赫斯顿模型中的精确价格，然后对布莱克-斯科尔斯公式进行数值反演得到的。

赫斯顿模型的二阶近似隐含波动率是通过从对应于差异价格的隐含波动率的二阶近似值中去除非线性项获得的：- 伊诺林。在图2的右侧，我们绘制了|INonlin |。我们在两个图中都假设（λ）0,1=0，因为如前所述，该术语只是垂直移动了买方和卖方的隐含波动率曲线。在这种假设下，|INonlin |近似于一半的买卖价格。我们观察到，|INonlin |的最大值出现在k>x，并随着成熟度的增加而增加。5.2互惠赫斯顿模型：独立价格现在是一个二次随机波动模型（x，Y），在物理度量P下，它由以下SDE建模：dXt=u -Ytdt+pYtdBXt，dYt=aYt+2（b）- aκ）u（1- ρ） Ytdt-1.- ρ1/2buY3/2tρdBXt+p1- ρdBYt.（P）（5.3）该模型被称为倒数Heston，因为Y是CIR过程ssYt=u（1）的倒数- ρ） 2Rt，dRt=a（κ- Rt）dt+bpRtρdBXt+p1- ρdBYt.这里，（a，b，κ）必须满足通常的Feller条件：2aκ≥ b、 将（5.3）与（4.1）进行比较，我们确定u（y）=u，σ（y）=√y、 c（y）=ay+2（b- aκ）u（1- ρ） y，β（y）=-1.- ρ1/2buy3/2。差异价格我们将计算欧式索赔的差异价格，该索赔的支付（YT）仅取决于s-To方差过程Y的终值。尽管基于方差终值的衍生工具不活跃交易，但这是一个有用的模型，可以用来测试我们的定价近似值的准确性，因为格拉塞利和赫德（2007）已经计算了准确的差异价格。可使用命题4.2和方程式（4.8）、（4.9）和（4.10）计算第m个订单的近似差异价格。正如Gr asselli和Hurd（2007）所指出的，无限支付会导致负单位的预期效用。

因此，我们将重点关注有界支付。特别是，我们考虑的支付是看涨期权支付的不同之处：ν（y）=（y）- （k）+- （y）- k） +，k<k，（5.4），以（k）为界- k） 。在图3和图4中，我们绘制了一系列k固定的罢工的准确和近似的买方和卖方差异价格。我们还绘制了零阶、一阶和二阶差异价格近似值。这些图清楚地表明，差异价格u的二阶近似值几乎与exa c t difference price u一致。6结论在本文中，在LSV动力学的一般类别下，我们推导了欧式资产差异的显式近似值，其收益可能取决于交易或非交易资产。对于交易资产上的看涨期权，我们将价格近似转化为隐含效用的显式近似。对于非交易资产上的期权，我们推导了差异价格近似的严格误差界。最后，我们在两个例子中实现了我们的差异价格和隐含波动率近似。感谢作者感谢Jean-Pierre Fouque、Tim Leung、Stefano Pagliar ani、Andrea Pascucci、RonnieSircar和Stephan Sturm进行了大量富有成效的讨论。此外，作者还想把他的观点扩展到两位匿名审稿人和一位匿名助理编辑，他们的评论有助于提高这篇手稿的质量和可读性。命题3.8的证明在本附录中，我们计算η、η和η。函数η满足ODE（3.9）。显式解是η（t）=-（T）- t） （λ）。接下来，我们计算η。为了清楚起见，省略a参数（x，y），我们得到η（t）=ZTtdtP（t，t）H（t）（通过（3.11）和（3.28））=ZTtdtP（t，t）eAη（t）- (λ)1（by（3.15））（A.1）=-ZTtdt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1。（根据（3.32）），这是（3.36）中给出的表达式。

注意，在倒数第二个等式中，我们使用了η=0，因为η与f（x，y）无关。最后，我们计算η。再次，为了清楚起见，省略参数（x，y），我们得到η（t）=ZTtdtP（t，t）H（t）（通过（3.11）和（3.28））=ZTtdtP（t，t）eAη（t）+eAη（t）+ZTtdtP（t，t）- (λ)+ (1 - ρ)(β)(yη（t））（by（3.17））=-zttdttzttdtg（t，t）P（t，t）P（t，t）（λ）（由（A.1）和（3.34））-ZTtdt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1+（1- ρ） （β）ZTtdt（λ）0,1（T- t） （由（3.32）及（3.38）修订）-ZTTTZTTDTG（t，t）P（t，t）（λ）-ZTtdt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1+（t- t） （1）- ρ） （β）（λ）0,1（半群性质）=-ZTtdtG（t，t）zttdtt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1-ZTtdt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1+（t- t） （1）- ρ） （β）（λ）0,1，（由（3.32））表示，这是（3.37）中给出的表达式。这证明了命题3.8。B命题3.11的证明在本附录中，我们推导出u、u和u的显式表达式。在本附录中，我们将一如既往地抑制（x，y）依赖性，除非需要澄清。我们从u开始，u是（3.10）的独特经典解决方案。使用（3.28），我们可以立即写出eu（t）=P（t，t）~n。（B.1）特别是，对于催缴股款-ek）+并将支付额（x）=（ek-ex）+，表达式（B.1）becomesu（t）=uBS（t，·；σ），其中uBS在（3.39）中给出。这正是（3.40）中给出的u的表达式。接下来，我们计算函数u。我们有u（t）=zttdttp（t，t）u（t）（by（3.12）和（3.28））=zttdttp（t，t）eAu（t）（by（3.16））（B.2）=zttdttg（t，t）P（t，t）和（B.1））=ZTtdtG（t，t）u（t）（by（3.26））和（B.1）。（B.3）这是为uin（3.41）给出的表达式。最后，对于u，从（3.12）、（3.18）和（3.28）我们有u（t）=ZTtdtP（t，t）u（t）=u2,1（t）+（1）- ρ)(β)2u2,2（t）- γνu2,3（t）, （B.4）其中我们定义了2,1（t）=ZTtdtP（t，t）水（t）+水（t）, （B.5）u2,2（t）=ZTtdtP（t，t）(余（t））(yη（t）），（B.6）u2,3（t）=zttdttp（t，t）(余（t））。（B.7）我们将分别分析u2,1、u2,2和u2,3与u2,1之间的关系。

我们有u2,1（t）=zttdttp（t，t）eAu（t，t）eAP（t，t）eAu（t）eAu（t）（by（B.2）和（B.5））=zttdttg（t，t）P（t，t）P（t，t）~n+zttdtdttg（t，t）G（t，t）P（t，t）P（t，t）P（t）（by（3.34）和（B.1））=ZTtdtG（t，t）+zttdtdttzttdtg（t，t）G（t，t）接下来，我们分析u2,2。Fr om（3.38），直接计算yη（t）=-（λ） 0,1（T- t） 。（B.9）自功能yη独立于（x，y），我们有p（t，t）(余（t））(yη（t））=(yη（t））P（t，t）(因此，我们专注于计算P（t，t）(余（t））。为此，我们证明了半群算子与常系数微分算子是共通的纽约mxP（t，t）=P（t，t）纽约mx。（B.11）这很容易用部分积分和Γ的对称性证明。正确地使用这个交换，我们计算（t，t）(于（t））=yP（t，t）u（t）（by（B.11））=yP（t，t）ZTtdtP（t，t）eAu（t）（by（B.2））=yZTtdtP（t，t）eAu（t）（by（3.26））=yZTtdtG（t，t）P（t，t）P（t，t）~n（按（3.34）和（B.1））=t（ttu，dtg）。（通过（3.26）和（B.1））（B.12）因此，我们得到了u2,2（t）=zttdtdt(yη（t））P（t，t）(yu（t））（由（B.7）和（B.10））=ZTtdt(yη（t））yZTtdtG（t，t）u（t）（by（B.1.2））=zttdtdtzttdt(yη（t））·yG（t，t）！u（t）。（B.13）功能(yη（t））由（B.9）给出。最后，我们计算了u2,3。首先，使用（3.45）和（B.3），直接计算表明yu（t）=（t）- t） （σ）0,1(十、- x） u（t）。因此，我们有p（t，t）(于（t））=（t）- t） （σ）0,1P（t，t）(十、- x） u（t）. （B.14）接下来，使用u=uBS（t，·；σ）和Bla-ck-Scholes曲线的显式表达式（3.39），我们得到(十、- x） u（t）=σ（T）- t） e2xφ（d+（t，x；σ）），φ=Φ′，这里我们引入了φ，标准正态随机变量的密度。因此，（B.14）变成sp（t，t）(于（t））=（t）- t） （σ）0,1σP（t，t）e2xφ（d+（t，x；σ））。

（B.15）现在，我们计算（t，t）e2xφ（d+（t，x；σ））=ZRdxexp2x- d+（t，x；σ）2πp2πσ（t- t） 经验-（十）- x+σ（t）- t） ）2σ（t- （t）=2πp2πσ（t- t） ZRdxexp-ax+bx+c,式中，a，b和c由a=σ给出（T）- t） +2（t）- （t）,b=+σ2kT- t+2x2（t- （t）,c=-σK-σ（T）- （t）T- t+十、-σ（t）- （t）2（t）- t） ！。使用ZRDX exp-ax+bx+c=√π√aexpb4a+c, a>0，我们得到p（t，t）e2xφ（d+（t，x；σ））=2πrT- tT- t+t- texp2k-（k）- x） +σ（T）- （t）σ（T）- t+t- t） !！（B.16）最后，从（B.6）我们得到了u2,3（t）=ZTtdtP（t，t）(yu（t））=（σ）0,1σzttdtt（t）- t） P（t，t）e2xφ（d+（t，x；σ））（by（B.15））=（σ）0,12πσzttdtdtt（t- t） 3/2√T- t+t- texp2k-（k）-x） +σ（T）- （t）σ（T）- t+t- t） ！。将表达式（B.4）与（B.8），（B.13）和（B.17）相结合，得到了uin（3.42）的表达式。定理3.11的证明到此结束。C命题3.20的证明在本附录中，我们建立了命题3.20中提供的公式。我们提醒读者，（t，x，y，k，t）自始至终都是正确的，我们只在需要清楚的时候才写这些论点。我们从（3.41）和（3.43）开始观察，UAN和UCA可以写成asu=ZTTTEG（t，t）(十、- x） 瑞银（σ），（C.1）美国=ZTtdteG（t，t）+zttdtdttg（t，t）eG（t，t）(十、- x） uBS（σ），（C.2），其中运算式gi（t，t）由egi（t，t）=（σ）i（x（t，t），Y（t，t）给出。因此，很明显，UAN和UAR格式的有限和=XnCnnx(十、- x） 瑞银（σ），u=XnCnnx(十、- x） uBS（σ），（C.3），其中系数Cn和Cn分别取决于（t，x，y）和（C.1）和（C.2）计算得出。由于所涉及的项的数量，系数最好使用计算机代数程序（如Mathematica）进行计算。接下来，使用（3.39），一个直接的c计算显示(十、- x） 瑞银（σ）=σ√2πτe-z+k，z:=x- K-στσ√2τ，τ：=T- t、 因此nx(十、- x） 瑞银（σ）(十、- x） 瑞银（σ）=eznxe-z=σ√2τ内兹nze-z=-1σ√2τnhn（z），（C.4），其中hn（z）：=(-1） 内兹nze-Zi是第n个Hermite多项式。

将（C.3）和（C.4）与经典织女星伽马关系结合起来σuBS（σ）=στ(十、- x） 瑞银（σ），我们看到σuBS（σ）=στXnCn-1σ√2τnhn（z），uσuBS（σ）=στXnCn-1σ√2τnhn（z）。（C.5）我们还有来自（3.39）σuBS（σ）σuBS（σ）=（k-x） στ-στ. （C.6）将（3.56）与（C.5）和（C.6）相结合，就可以得到命题3.20中给出的I1,0，I0,1，I2,0，I1,1和I0,2的表达式。剩下的就是计算uNonlin/σuBS（σ）。首先，我们有σuBS（σ）ZTTTZTTDT(yη（t））·yG（t，t）瑞银（σ）=-1τσ(十、- x） 瑞银（σ）ZTtdtZTtdt（λ）0,1（T- t） （σ）0,1(十、- x） 瑞银（σ）=-(λ)0,1(σ)0,1τ3σ.接下来，显式计算给出了2KσuBS（σ）=ek√2π√τexp2στ（k）- x） +στ!.将上述结果与uNonlin的表达（3.44）相结合，我们在e表达（3.57）中发现了bta。参考文献Alaton，P.，B.Djehiche和D.Stillberger（2002）。关于天气变化的建模和定价。应用数学金融9（1），1-20。卡莫纳，R.（2009）。差异定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社。Carmona，R.和M.Ludkovski（2006年）。考虑部分观察和基差风险的商品远期差异定价。工作文件。Follmer，H.和M.Schweizer（1991年）。或有债权的对冲。应用随机分析5389。Gathereal，J.，E.P.Hsu，P.Laurence，C.Ouyang和T.-H.Wang（2012）。局部波动模型中隐含波动的渐近性。数学财务22（4），591-620。杰曼·H.（2009）。商品和商品衍生品：农业、金属和能源的建模和定价。约翰·威利父子公司。格拉塞利，M.R.和T.R.赫德（2007）。波动性衍生品的差异定价和套期保值。应用数学金融14（4），303–317。哈根，P.，D.库马尔，A.莱斯尼夫斯基和D.伍德沃德（2002年）。管理微笑风险。威尔莫特杂志1000,84–108。Hagan，P.，A.Lesniewski和D.Woodward（2005年）。随机波动sabr模型中的概率分布。预印本。亨德森五世案（2002年）。

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两个图中都使用了以下参数：δ=0.2，θ=0.04，κ=1.15，ρ=-0.4，y=logθ，x=0，（λ）0,1=0，γν=±25。图3：对于第5.2节中描述的模型，我们考虑了一个关于方差Y终值的选项，其支付函数由（5.4）给出。左图：我们将买方的差异价格（γν=40）绘制为kwith k fixed的函数。右图：我们绘制了卖方的差异价格（γν=-25）作为kwith k fixed的函数。在两个图中，虚线对应于零级近似值u，虚线对应于一级近似值u，虚线对应于二级近似值u，实线对应于精确的差异价格u。两个图中使用以下参数：a=5，b=0.04，κ=0.01，u=0.02，ρ=0.2，T=0.15，y=0.04，k=2.0。图4：对于第5.2节中描述的模型，我们考虑方差Y的终值选项，支付函数为（5.4）。我们将买方的差异价格（底部）和卖方的差异价格（顶部）绘制为Kfix的函数。虚线对应于二阶近似值a，实线对应于精确的差异价格u。下面的参数通过OUT使用：a=5，b=0.04，κ=0.001，u=0.02，ρ=0.2，T=0.15，y=0.04，k=2.0，γν=±25。