y上的任何非流动性风险度量∈ Rn+\\{U}定义为β（y）=ρ（Zy），其中ρ是有界随机变量的线性空间Z上的凸风险测度，多变量函数Zyis在y上是凸的和凹的，具有以下对偶表示β（y）=supv∈Rn{yTv- F*（v） }Y∈ 带有共轭f的Rn+\\{U}（37）*被认为是愚蠢的∈Rn{vTy- 5.2一般概率空间上的多元非流动性风险测度根据第（3.3）小节，有界可测函数空间上的凸风险测度泛函的形式为ρ（Z）=suph∈ba{h（Z）-ρ*（h） 无论如何∈ 因此，作为结果，我们得到β（y）=ρ（Zy）=supQ∈M1，f{EQ(-（Zy）- α（Q）}Zy∈ Z、 y∈ Rn+\\{U}在空间上固定概率测度P(Ohm, F） ，我们可以在空间Z=L上用不同的对偶表示法提供非流动性风险度量β∞(Ohm, F、 P）推论（2）的其他结果，即β（y）=ρ（Zy）=supQ∈M1，g{EQ(-（Zy）- α（Q）}Zy∈ Z、 y∈ Rn+\\{U}如果我们进一步假设ρ是下半连续的，则空间lp上的非流动性风险度量eβ(Ohm, F、 P）等于β（y）=ρ（Zy）=supQ∈M1，q{EQ(-（Zy）- α（Q）}Zy∈ Z、 y∈ Rn+\\{U}我们的结论是，多元流动性风险度量允许推论（2）的双重表示，只要ρ是适当的，凸风险度量满足定义（5）。例6。假设每个紫衣，i=1，2。。。，n、 属于有界可测随机函数Z的空间。此外，假设Ziyi对于每个i=1，2。。。，n、 也就是说，-yi）其中XiT（w，yi）=XiT（w）+aiyi是正有界可测的，xi是正有界的。

随机变量zy则由zy=nXi=1Zyi=nXi=1（~XiT（w）给出）-ayi）（39）那么，上面的等式意味着，由于每个Zyi的凹性和递减性，Zyi是递减的和凹的。演示如何计算y空间上的不确定性风险度量∈ Rn+\\{U}，我们将使用与示例（1）相同的风险度量。因此，我们考虑非流动性风险度量βony∈ Rn+\\{U}定义为β（y）=ρ（Zy）=- infw∈Ohm{nXi=1（~XiT（w）-因此β（y）=nXi=1- 在fw∈Ohm{XiT（w）-aiyi}=nXi=1（ρ（~XiT）+aiyi）=nXi=1βi（yi）（41）在这种情况下，投资组合非流动性风险度量只是单个证券非流动性风险的总和。因此，它也在增加单调性、现金次可加性和凸性。给定投资组合的资本要求也在增加∈ Rn+\\{U}可以计算为asPni=1yi（ρ（~XiT）+aiyi+Xi（yi）），可以看出，它是y的递增函数。请注意，投资组合y的非流动性风险度量可以通过在等式（41）中设置y=0得出。最后，根据Corollary（2），我们还可以给出非流动性风险度量β的对偶表示。提议6。给定随机变量空间上的一个适当的现金加性风险函数ρ和一个形式为XiT（w，yi）=XiT（w）+hi（yi）且hi（yi）在所有R上增加和凹的证券价格的加性可分离函数，函数β（y）=ρ（Zy）=ρ（Pni=1（~XiT（w）+hi(-yi）和Zy∈ Z和y∈ Rn+\\{U}是一个满足命题（5）的风险度量，并具有推论（2）中的双重表示。证据证明是一个简单的练习。然后注意到函数ρ满足ρ（Pni=1（~XiT（w）+hi(-yi））=ρ（Pni=1XiT（w））-Pni=1hi(-易）。结果之后是函数h的性质。备注3。

重复第（3.4）小节至第（6）命题的相同论点，我们发现非流动性风险度量δ定义在Rn上-\\ {U} 是递减的、超级累加的和凹的。太空机器人-表示Rn的负元素，p∈ 注册护士-如果π≤ 0 f或每个i=1，2。。。，n和v={v∈ Rn：v至少有一个分量为}。双重再呈现的方式完全相同，但现在必须在空间Rn上工作-. 此外，如果ρ是线性风险度量，那么对于所有i=1，2，…，XiT（w，y）=hi（y）~XiT（w）。。。，随着正凹的增加，命题（4）在多元情况下仍然有效。同样在这种情况下，我们得到了与第（3.4）小节中关于非流动性风险度量δ的类似结果。例7。定义空间上的概率测度P(Ohm, F） 。我们想计算投资组合y的varδ。为此，我们假设每种证券i的价格遵循一个几何布朗运动，类似于例子（3）中的几何布朗运动。也就是说，我们取XiT（w，yi）=exp{aiyiT}Xi（yi）exp{（ui）-σi）T+σiBiT}=exp{aiyiT}XiT（w）对于每个i=1，2。。。，N在此假设下，我们将长期投资组合y的varδ定义为β（y）=varδ（Zy）=inf{m∈ R | P（nXi=1ln（XiT（w，-yi））+m<0）≤ δ} =inf{m∈ R | P（nXi=1ln（exp{-aiyiT}XiT（w））+m<0）≤ δ} =inf{m∈ R | P（nXi=1-（哎呀- ln（Xi（y））+nXi=1（ui）-σi）T+nXi=1σiBiT<-m）≤ δ} =inf{m∈ R | P（nXi=1（ui-σi）T+nXi=1σiBiT<-m）≤ δ} +nXi=1（aiyiT- ln（Xi（y）），其中最后一个等式来自风险度量V aRδ的现金可加性。我们假设BT，BT。。。，依赖于时间。

假设β（y）由β（y）给出n=- infw∈Ohm{nXi=1ZyiXiT（w，-u） du}y=（y，y，…，yn）∈ Rn+\\{U}进一步取代产生β（y）=- infw∈Ohm{nXi=1Zyi（~XiT（w）-aiu）du}=- infw∈Ohm{nXi=1yiXiT（w）}+nXi=1aiyi=nXi=1yiρ（~XiT）+nXi=1aiyiIt可以验证β（y）是递减的、现金超加的、凸的，并且允许推论（2）的对偶表示。资本要求由pni=1yi（ρ（~XiT）+aiyi+Xi（yi））给出。通过Pni=1yi（ρ（~XiT）+aiyi+Xi（yi））给出的拆分交易和不拆分交易所需的资本要求之间的简单比较，可以看出拆分交易减少了非流动性风险度量和资本要求。如果拆分也发生在时间0，则资本要求由pni=1yi（ρ（~XiT）+aiyi+Xi（0））给出，这明显小于pni=1yi（ρ（~XiT）+aiyi+Xi（yi））。这一点见例（5）。最后，我们指出，从上一节获得的结论（经过必要的修改）也适用于本节的框架。7结论我们扩展了风险度量理论，以适应流动性风险。新机制能够捕捉金融机构证券交易活动产生的流动性风险。这个目标是通过假设证券价格取决于交易量来实现的。我们提出了几个在流动性风险下的风险度量的例子，例如VaR和worstcase风险度量。在标准风险度量框架中，资本要求大于资本要求。特别是，交易分割有助于金融机构降低流动性风险。风险度量的属性不同于标准风险度量的属性。

事实上，在买方方面，当交易通过拆分进行时，它们是凸增单调现金子可加函数和凹减单调现金超可加函数。我们还提供了这些新类别风险度量的双重表示结果。参考文献[1]Acerbi，C.，Scandolo，G.：流动性风险理论和一致的风险度量。量化金融，8（7），681-692（2008）[2]Allaj E.：隐含交易成本和资产定价的基本定理，工作论文，罗马大学Tor Vergata（2014）（arXiv:1310.1882v5）[3]阿尔姆格伦，R。，Chriss，N.：投资组合交易的临时执行。《风险杂志》，3，5-39（2000）[4]阿尔姆格伦，R.，T hum，C.，豪普特曼，E.，李，H.：股票市场影响的直接估计，工作文件May（2005）[5]阿特兹纳，P.，德尔巴恩，F.，埃伯，J.，希思，D.：风险的一致性度量，数学金融，9203-228（1999）[6]班加，A.，迪博尔德，F.X.，S丘尔曼，T.和J.D.，斯特劳海尔：对流动性风险进行建模，并对传统的市场风险度量和管理产生影响。工作文件，沃顿商学院金融机构中心（1999）[7]巴塞尔银行监管委员会。健全的流动性风险管理和监督原则。国际清算银行，巴塞尔，（2008）[8]布莱斯，M.，普罗特，P.：通过账面数据分析流动性风险的供给曲线。国际理论与应用金融杂志。13821-838（2010）[9]Borwein，J.M.，Lewis，A.S.：凸分析与非线性优化，理论与实例，加拿大数学学会数学书籍，纽约斯普林格，（2006）[10]C,etin，U.，Jarrow R.，P.Protter.：流动性风险与套利定价理论。《金融与随机》，8311-341（2004）[11]Delbaen，F.：一般概率空间上的一致风险度量。在K.桑德曼和P。

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