流动性风险下的风险度量

2022-5-7 06:39:08

流动性风险下的风险计量——罗马阿拉青年大学Tor Vergata分校，途径哥伦比亚2号，00133罗马，意大利。allaj@uniroma2.itSeptember我们提出了一个衡量流动性风险的总体框架。理论框架确定了一类风险度量，将流动性风险纳入标准风险度量。我们考虑一个单期风险度量模型。流动性风险定义为金融机构在不引起价格显著变化的情况下，无法轻易出售或购买给定证券或证券组合的风险。新的风险度量与标准风险度量存在一些差异。特别是，它们在长位置上是递增单调和凸现金子加法。相反，在某些情况下，抛售头寸是成立的。对于长期投资的情况，我们提供了具有双重代表性的这些新的风险度量。在某些特定情况下，卖出头寸也可以配备双重代表。我们将我们的框架应用于金融机构将大型交易拆分为许多小型交易的情况。还得到了双重重呈现结果。我们给出了许多风险度量的实际例子，并为每一个例子推导出各自的资本要求。作为一个特殊的例子，我们讨论了VaR度量。关键词风险度量·流动性风险·双重代表·交易分割JEL分类G12。G131简介近年来，大量金融机构经历了严重的金融问题，因此，理解和衡量金融头寸的风险现在是一项重要任务。最近的危机突显了金融机构准确风险度量系统的重要性。

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2022-5-7 06:39:11

良好的风险度量体系对金融机构和整体经济都具有重要价值。虽然有各种量化市场、信贷和运营风险的技术，通常由金融机构自己开发或由金融监管机构实施，但在金融危机开始之前，有一个风险的主要组成部分没有得到应有的重视。事实上，最近的危机已被严格归因于流动性风险所赋予的不同风险部分。例如，危机表明，金融机构无法以低成本获得资金或现金是危机的主要原因之一。这就是为什么在危机后的几年里，监管部门对流动性风险的关注有所增加的原因。另一方面，这将增加金融学院将流动性风险纳入风险度量的兴趣。然而，对涉及流动性和风险度量的金融文献现状的回顾表明，有几篇论文是关于这一主题的。例如，班加等人（2008年）、阿塞尔比和斯堪的诺（2008年）以及韦伯等人（2013年）。Bangia et al.（2008）提出了一种基于买卖价差的流动性调整VaR度量。Acerbi和Scando olo（2008）通过对投资组合的流动性调整价值定义一致的标准风险度量来衡量流动性风险。投资组合的价值取决于所谓的流动性政策。流动性政策的一个例子是，在固定的投资期限内，由资产（包括现金）组成的投资组合中持有现金的最低要求。最后，韦伯等人。

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2022-5-7 06:39:15

（2013）通过构建现金不变的流动性调整风险度量，扩展Acerbi和Scandolo（2008）的方法。本文提出了一种新的流动性风险下的风险度量框架，我们称之为非流动性风险度量。计量框架将主要关注金融机构在金融证券上的头寸风险，尤其是金融机构长期持有的头寸。对于某些特殊情况，也将讨论卖空。对于证券，我们指的是可交易资产。我们将使用市场流动性风险作为我们对流动性风险的定义，即金融机构在不引起价格大幅波动的情况下无法轻易建立头寸的风险。金融机构应该在时间0时拥有给定数量的证券i或由证券n组成的组合。证券和投资组合中的头寸可以是多头，也可以是空头。在投资组合案例中，这意味着我们正在考虑由n个多头或空头头寸组成的投资组合。非流动性风险由证券i的设定价格或构成投资组合的每种证券在时间T的设定价格的真实值来捕捉。也就是说，金融机构在清算时间长为0的s证券时获得的价格。非流动性风险度量则是一个实变量或n个实变量的真值函数，这些实变量等于根据证券未来定价确定的凸风险度量。价格取决于证券的交易量，并且在不断上升和下降。理论文献中的几位作者讨论了这种建模股价的方法，如C,etin（2004）、Allaj（2014）和Hausman等人。

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2022-5-7 06:39:18

（1992），Keim和Madhavan（1996）关于实证金融文献。非流动性风险指标被视为资本要求，即使金融机构持有的一个单位头寸可接受所需的资本。因此，建立目标是为给定证券或投资组合中的每个头寸计算使该头寸可接受所需的资本要求。在多头头寸上定义的非流动性风险度量是递增单调的、现金次加性的和凸的。第一个属性反映了一个事实，即持有较大多头头寸的金融机构风险更大。第二个因素是，相对于现金加成标准风险度量，风险度量对金融机构持有的证券数量增加一个单位的敏感性更高。最后，第三种方法鼓励金融机构将大型交易分成小型交易。通过使用El Karoui和Ravanelli（2008）最近开发的技术，我们提供了在正实数空间上定义的非流动性风险度量的双重表示，或在投资组合情况下在正实数n元组的集合上定义的非流动性风险度量。也就是说，我们引入了一个新的函数，它是递增的、平移不变的、凸的，由此我们得到了所期望的Fenchel-Moureau对偶表示。在特定情况下，我们还为固定在卖出头寸上的非流动性风险度量定义并定义了双重表示。

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2022-5-7 06:39:21

本案例中的风险度量满足长期定义的非流动性风险度量的Opposite属性。对偶表示独立于设定价格的（概率）空间。本文介绍了几种风险度量的例子，包括经典的VaR度量。考虑到非流动性风险度量的重要性，我们扩展了之前的框架，以包括单一金融机构通过将大型交易拆分为小型交易在市场中运作的可能性。在存在分割交易的情况下，不再要求设定价格是凹的。我们发现，多头头寸的非流动性风险度量是单调的、现金超加性的和凸的，反映了由于交易分割产生的经济影响，风险降低的事实。相反的结果是，在特殊情况下，针对空头头寸定义的非流动性风险度量。总的来说，在没有交易拆分的情况下，资本要求较小，并且可以获得以前的双重代表结果。论文的结构如下。第（2）节介绍了单周期风险度量模型。第（3）节描述并推导了单一证券上非流动性风险度量的双重代表性。文中还给出了各种例子。第（4）节讨论了交易分割下的非流动性风险度量。第（5）节通过提供各自的双重表示和多元非流动性风险度量的示例，介绍了多元非流动性风险度量。第（6）节给出了存在多个证券的交易分割情况。最后，第（7）节得出结论。2模型我们假设一个单期风险度量模型，有两个日期0和T。

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kedemingshi

2022-5-7 06:39:24

在时间零点，一个给定的金融机构，如银行、保险公司和其他机构，拥有由不同证券组成的证券或投资组合，其中证券指的是可交易资产。我们认为每种证券的价格取决于给定证券的大小。让(Ohm, F）成为一个可测量的空间。金融机构在证券i中的初始货币价值将由-yXi（y），以及时间T的最终货币价值乘以yxit（w，-y）其中y表示金融机构在证券i中的初始持有量，XI（y）、XiT（w、，-y）时间0和T的证券i的价格。我们假设市场上的证券是有限的，即∈ N.这里我们假设y的正值表示多头仓位，负值表示安全i中的空头仓位。使用上述约定，我们可以给出数量的明确含义-yXi（y）和yXiT（w，-y）。期初，金融机构开始持有货币价值等于-yXi（y）取决于金融机构在证券i上的长短。证券i中的头寸提供了yXiT（w，-y）在时间T。也就是说，量yXiT（w，-y）给出金融机构在y>0时因出售我在时间0持有的y个证券单位而收到的随机金额，以及y<0时为购买y个证券单位而支付的随机金额。不同地说，yXiT（w，-y）报告在时间T进行相反交易时产生的现金。在这项工作中，我们的主要兴趣是特定金融机构持有或拥有的证券或投资组合。

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2022-5-7 06:39:27

记住这一点，适用于给定证券i的一个单位或由n个证券的一个单位组成的投资组合的风险度量被视为资本要求，如果将其添加到初始头寸中，从监管机构的角度来看，它是可以接受的。对于某些特定情况，我们还将讨论金融机构持有空头头寸的证券或投资组合的风险度量。在这些空头头寸上定义的风险度量可以被视为资本担保，确保证券返还给金融交易对手。来自证券i中y>0位置的现金流由y[XiT（w，-y）- Xi（y）]（1）当等式（1）假设为正值时，意味着金融机构从买卖证券i中获得资金，而当其为负值时，则意味着失去资金。人们可以很容易地注意到，方程式（1）衡量了金融机构在证券i中的流动性程度。它表示金融机构通过清算证券i可以筹集多少资金（扣除初始投资）。假设1。证券i的价格是数量y的递增函数≥ yimplies XiT（西，西）≥ 每个y，y的XiT（w，y）∈ R\\{0}。价格XiT（w，0）=XiT（w）在文献中被称为时间T时最小订单规模的边际未受影响价格（例如，参见C,etin（2004））或与信息效率高且交易成本为零的市场相对应的价格（参见Allaj（2014））。

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2022-5-7 06:39:30

据推测，XiT（w，-y）≤~XiT（西）≤ XiT（w，y）foreach y≥ 因此，我们模型中的风险与随机变量XiT（w，-y）。在衡量风险时，我们只是假设证券i中金融机构的风险由证券i价格的未来价值捕获，即金融机构在时间T出售和购买证券i时获得的随机价格。这种思维方式在Artzner等人（1999）的一篇经典论文中首创。因此，我们有以下定义。定义1。位置y的未来值∈ R> 0在给定的安全性中，i由映射ZiT描述，y：Ohm → R、式中，ZiT，y=XiT（w，-y）尽管如此∈ R> 0。我们注意到，如果价格X不是订单规模y的函数，那么证券i的现金流对于所有y都是相同的∈ R> 0，即y[XiT（w）- (十一)。这意味着安全i的风险对所有y来说都是一样的∈ R> 0。另一方面，当X依赖于y时，假设不同y的值不同，则现金和安全风险也不同。假设2。假设在y，v上是凹的∈ R\\{0}，也就是Ziλy+（1）-λ）五≥ λZiy+（1）- λ） ZivforAll 0≤ λ ≤ 1.不同的作者在有关股票市场的实证金融文献中观察到了价格影响函数的凹性。几乎所有这些研究，参见豪斯曼等。Keim和Madhavan（1992）得出结论，市场影响是交易量的凹函数。价格XiT（w，y）通常表示为XiT（w，y）=XiT（w）+hi（y），其中XiT（w）是未受影响的价格，对于y>0，hi是递增函数和凹函数，对于y<0，hi是递增函数和凸函数。在最简单的形式中，hi只是y的线性形式，即hi=ay，a>0。价格影响函数的另一种常见形式（见Almgren等人（2005年），Gabaixet等人。

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2022-5-7 06:39:33

（2007））由所谓的γ| y |α型幂律函数给出，其中±γ| y |α=+γ| y |α，如果y>0和±γ| y |α=-γ| y |α，如果y<0。相反，Blais等人（2010年）通过使用纽约证券交易所的股票交易数据表明，价格影响的形式是线性的。幂律函数的例子与我们在（2）中的假设完全不同。然而，正如我们将在本文中进一步看到的那样，当金融机构试图将其大订单拆分为更小的包时，这种假设是无害的，而且这种情况在现实中经常发生。通过假设（2），我们很容易注意到Ziy在y.3非流动性风险度量中减少了d凹。在本节中，我们的目标是量化Ziy（w）的风险，以确定y的固定值∈ R> 通过风险度量函数0和安全性i。我们将这种风险度量称为非流动性风险度量，通过明确核算金融机构在证券i中的持股来确定。我们用βi:R>0来表示→ R.因此，我们简单地说，y对证券i的价格有一定影响，并计算每个y的价格∈ R> 0金融机构在证券i中的风险。从现在开始，y（w）=Ziy（w）。3.1非流动性风险度量定义证券i中的位置y和空间Zi上的凸风险度量ρ，位置y的风险度量βiof将定义为等于ρ（Ziy）。这种确定非流动性风险度量的方法似乎很自然，因为y的风险与随机变量ZY（w）的风险有关。这一观察结果自然会导致以下定义。定义2。空间R>0上的不确定性风险测度是一个函数βi:R>0→ 定义为βi（y）def=y的ρ（Ziy）∈ R> 0。函数ρ：Zi→ R是一个标准的凸货币风险度量函数，即。

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2022-5-7 06:39:37

为了艾莉∈ N、 V，U∈ Zi满足以下公理a）单调性递减：V（w）≤ U（w），然后ρ（V）≥ ρ（U）；b）现金不变性（或现金可加性）：M∈ R、 ρ（V+m）=ρ（V）- m、风险度量ρ称为凸ifc凸性：ρ（λV+（1- λ） U）≤ λρ（V）+（1）-λ） ρ（U），0≤ λ ≤ 1.我们的第一个目标是显示定义（2）以及假设（1）和（2）意味着βiis增加、现金次加性和凸非流动性风险度量。提议1。通过映射βi:R>0表示非流动性风险度量→ R.那么，βi（y）=ρ（Ziy）是递增的，是次可加的，y是凸的∈ R> 0，即满足以下a）递增单调性：Y≥ 五、∈ R> 0，然后是βi（y）≥ βi（v）；b）现金次加性（或平移超方差）：M≥ 0以至于∈ R> 0，然后是βi（y+m）≥ βi（y）- Mc）凸度：y、五∈ R> 0，然后是βi（λy+（1）- λ） v）≤ λβi（y）+（1）- λ） βi（v），0≤ λ ≤ 1.证据。a）让y，v∈ R> 0。根据假设（1），y≥ v意味着退出（w，-y）≤ 希特（w，-v）索特·齐伊（w）≤ 齐夫（w）。通过定义（2），可以得出βi（y）=ρ（Ziy）≥ ρ（Ziv）=βi（v）。b）为了你∈ R> 0米≥ 0很容易确定βi（y+m）≥ βi（y）=ρ（Ziy）≥ ρ（Ziy+m）=ρ（Ziy）- m=βi（y）- m逐点（a）、m的积极性和定义（2）。c）让y，v∈ R> 0注意，Ziλy+（1-λ）五≥ λZiy+（1）- λ） Zivfrom假设（2）。这一定义（2）意味着βi（λy+（1- λ） v）=ρ（Ziλy+（1）-λ） v）≤ ρ（λZiy+（1）- λ）（Ziv）≤λρ（Ziy）+（1）- λ） ρ（Zv）=λβi（y）+（1）- λ） βi（v）。备注1。我们观察到，y>0对应于金融机构在时间0借入证券i的单位，并在时间T出售这些单位的情况。公理（a）则表示，如果金融机构增加了证券i的多头头寸，那么其非流动性风险度量β也将增加，因为金融机构的风险更高，流动性更低。

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2022-5-7 06:39:40

假设m=1，则Axiom（b）的含义是“当金融机构购买超过y个单位的证券i，确切地说是y+弹药时，非流动性风险的降低幅度不能小于m”。然后，公理（b）读作βi（y+1）- βi（y）≥ -这意味着greaterSee Follmer and Schied（2004）和Delbaen（2002）对非流动性风险度量进行了功能定义。或等于-1当安全i中的位置从y变为y+1时。也就是说，金融机构的资金在流动性差的市场中更值钱。最后一个公理说明了一个事实，即当y较小时，由一个单位公司产生的证券i的风险增加在y>0时比在y较大时小。从实践的角度来看，这一公理将鼓励金融机构将一项大型交易变成几个较小的交易。3.2非流动性风险度量的双重表示在本小节中，我们假设所有y的随机变量为Ziy∈ R属于定义在可测空间上的所有有界可测函数的空间(Ohm, F）。回想一下，为空间zi配备上确界范数| | Ziy | | | supω∈Ohm|Ziy（w）|，凸风险测度是关于这个范数的Lipsch-Itz。我们的目的是给出非流动性风险度量βi的双重表示。正如第（3.1）小节所述，非流动性风险度量的主要公理是凸性、现金的次可加性和递增单调性。现金可加性公理是标准风险度量和本文提出的风险度量之间的一个重要区别。为了在凸分析中使用一些主要结果，我们将在本节的其余部分使用一个新的Translational不变量函数，作为特例包含我们的风险度量函数。为了解决这个问题，我们引入了一种新的功能，其定义方式与中的类似（El Karoui and Ravanelli（2008））。

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2022-5-7 06:39:44

首先，我们定义了以下函数fi（y）=βi（y）如果y≥ 0ρ（Ziy）如果y≤ 根据惯例，我们把βi（0）=ρ（~XiT（w））=ρ（Zi），而βi（0）≤ ρ（Ziy）=每个y的βi（y）≥ 0，βi（0）≥ ρ（Ziy）=每个y的βi（y）≤ 0，其中XiT（w）给出了未受影响的价格。从现在起，我们将假设ZiYi是凹的∈ R.可以很容易地验证fi（y）满足命题（1）f或任何y∈ R.然后让^βibe函数定义为^βi（h，x）def=fi（（y+x）-x） +x，h=y+x，x∈ 兰迪∈ R.以下命题表明^βi（h，x）满足递增单调性、平移不变性和凸性。提议2。函数^βi（h，x）定义为fi（（y+x）- x）每小时+x（h，x）∈ 李斯特单调递增，平移不变，凸。证据a）增加单耳性：让y≥ u、 x≥ x和h=y+x，v=u+x∈ R和x，x∈ R.根据fi的单调递增性，可以得出^βi（h，x）=fi（（y+x）- x） +x=fi（y）+x≥ fi（（u+x）- x） +x=fi（u）+x=^βi（v，x）；b）平移不变性：假设m∈ R、 x∈ R、还有y∈ R.那么βi（h+m，x+m）=fi[（h+m）-（x+m）]+（x+m）=[fi（h-x） +x]+m=[fi（（y+x）-x） +x]+m=βi（h，x）+m；c）凸性：设0≤ λ ≤ 1，y，u∈ R、 x，x∈ R、 h=y+x，v=u+x。通过定义，fi[λ（h- x） +（1）- λ）（五）- x） ]+λx+（1）-λ） x≤ λfi（（y+x）-x） +（1）-λ） fi（（v+x）-x） +λx+（1）- λ） x.fi的凸性意味着^βi[λ（h，x）+（1- λ）（v，x）]≤λ^βi（h，x）+（1）- λ） βi（v，x）。这就完成了证明。下面的引理表明函数^βi（h，x）是Lipschitz连续的（具有常数）√2）关于R.引理1上的范数| |·| |。关于R，i上的范数| |·| |的函数^βi（^y）i是Lipschitz连续的。e、 |βi（h）-^βi（v）|≤√2 | | h- v | |（3）证据。

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2022-5-7 06:39:49

如果h=（h，x），v=（v，x），h=y+x，v=u+xhx≤vx+|H- v | | x- x|柯西不等式hx≤vx+√2 | | h- 五||√2 | | h- 五||因此我们得到了βi（h，x）=fi（（y+x）- x） +x≤^βi（v）+√2 | | h- v | |）=βi（v+√2 | | h- v | |，x+√2 | | h- v | |）=fi（（u+x）- x） +x+√2 | | h- v | |=βi（v，x）+√2 | | h- v | |通过增加单调性和平移不变性，或不同的^βi（h，x）-^βi（v，x）≤√2 | | h- v | |反转h和v得到引理|^βi（h）-^βi（v）|≤√2 | | h- v | |（4）作为引理（1）的直接结果，我们得到^βi（h，x）是R上的一个较低的半连续函数。更重要的是，它是正确的和凸的。我们已经证明了凸性和下半连续性。至于剩下的性质，很明显，^βi（h，x）是x的性质，是一个适当的凸函数fi（（y+x）- x）定义为fi（y）=y的βi（y）≥ 0和fi（y）=y的ρ（Ziy）≤ 0.根据芬切尔-莫罗定理，参见Rockafellar（1970）、Ekeland和T`emam（1999）以及Borwein和Lewis（2006）了解芬切尔-莫罗定理的多元版本，函数βi（h，x）的第二个共轭与函数本身相一致，即βi**（h） =βi（h）（5），其中βi（h）=βi**（h） =supv∈R{hTv-^βi*（v） }和^βi*（v） =suph∈R{vTh-^βi（h）}很容易看出，函数f可以通过设置x=0来导出，因此从方程（5）中，^βi（h）可以被视为e变量的函数。因此，βi（（y，0））=fi（y）=supu∈余{yu- 菲*（u） }其中fi（u）的共轭有以下表达式fi*（u） =^βi*（（u，0））=supy∈R{uy- fi（y）}现在，将y限制在R>0，我们可以提供非流动性风险度量βi，其形式为βi（y）=fi（y）=supu∈余{yu- 菲*（u） }Y∈ R> 因此，我们证明了下列定理。定理1。

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能者818

2022-5-7 06:39:52

R>0上定义为βi（y）=ρ（Ziy）的任何非流动性风险度量，以及定义在有界随机变量线性空间zi上的ρa凸风险度量和ziydecreasin y，可表示为βi（y）=supu∈余{yu- 菲*（u）具有共轭函数fi的}（6）*被认为是愚蠢的∈R{uy- fi（y）}和方程（2）中的f。例1。假设证券i的价格是由XiT（w，y）=XiT（w）+ay给出的，其中XiT（w，y）是正的，并且对于每个y是有界可测的∈ R、并且，XiT（w）给出了时间T时安全i的未受影响的价格。从数学上讲，最终价格可能是负值，但实际上是不可能的。实际上，通常a>0是很小的。供应曲线的线性形式通常是在无时获得的，例如，将股票价格与股票的签约交易量进行回归。Blais和Protter（2010）给出了一个实证例子。将这些代入方程中，我们得到thatZiy=~XiT（w）-很容易得出ZiYi是递减的和凹的，ZiYb是有界可测函数的空间。考虑空间Ziasβi（y）=ρ（Ziy）=上定义的凸最坏情况风险度量ρ- infw∈Ohm{XiT（w）-y>0时为}（7）。现在，重写方程（7）βi（y）=- 在fw∈Ohm{XiT（w）}+ay可以得出βi（y）=ρ（~XiT）+ay（8）。正如我们所见，在没有流动性的情况下，风险度量可以通过简单地在等式（8）中取y=0来获得。头寸y的资本要求由y（ρ（~XiT）+Xi（y）给出。我们还发现，非流动性风险度量β满足命题（1）的公理。

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2022-5-7 06:39:55

此外，存在非流动性的头寸y的资本要求由y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））给出。那么资本需求是y的线性函数，斜率n由（ρ（~XiT）+ay+Xi（y）给出。这简单地说，y中每单位增加βi的增长率取决于标准风险度量加上两个附加条款，即度量证券i的非流动性风险和Xi（y）初始价格。由于定理（1），非流动性风险度量也具有双重表示。现在假设XiT（ω，y）=XiT（w）+MiT（w）y，其中XiT（ω，y）是所有y的正有界可测函数∈ R、而且是肯定的。在这种情况下，凸最坏情况风险度量变成βi（y）=ρ（Ziy）=- infw∈Ohm{XiT（w）-麻省理工学院（w）y}=- infw∈Ohm{XiT（w）}+y supw∈Ohm{MiT（w）}=ρ（~XiT）+y supw∈Ohm{MiT（w）}（9）这种情况下的非流动性条件由y supw给出∈Ohm{MiT（w）}，资本要求为y（ρ（~XiT）+y supw∈Ohm{MiT（w）}+Xi（y）），进一步假设XiT（w，y）为XiT（w，y）=XiT（w）+θsgn（y）+ηy，θ，η>0，sgn为符号函数，且XiT（w，y）为正且有界可测。

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kedemingshi

2022-5-7 06:39:58

有关讨论，请参见Almgre n（2000）。最坏情况下的风险度量为βi（y）=ρ（Ziy）=- infw∈Ohm{XiT（w）- θsgn（y）- ηy}=- infw∈Ohm{XiT（w）}+θsgn（y）+ηy=ρ（~XiT）+θsgn（y）+ηy（10），非流动性项由θsgn（y）+ηy给出，资本要求由y给出（ρ（~XiT）+θsgn（y）+ηy+Xi（y））。定理m（1）可以再次用于给出βi的对偶表示。3.3通过之前在空间Zi上所做的假设，β和ρ之间的关系，Zi上定义的任何凸风险度量ρ都有形式为ρ（Z）=suph的adual表示∈ba{h（Z）-ρ*（h） }Z∈ Zi（11）式中ba:=ba(Ohm, F）表示具有有限总变量和ρ的所有有限可加集函数的空间*等于ρ*（h） =supZ∈Zi{h（Z）- ρ（Z）}（12）人们也可以将ρ不同地写成ρ（Z）=supQ∈M1，f{EQ(-Z）- α（Q）}Z∈ Zi（13）式中M1，f:=M1，f(Ohm, F）是所有正整数加法集函数的集合Q:F→ [0,1]标准化为Q[Ohm] = 1，α（Q）=supZ∈Zi{EQ(-Z）- ρ（Z）}（14）是取R值的最小惩罚函数∪ {+∞}.因此，将等式（11）中的对偶表示应用于我们的情况，我们立即推导出βi（y）=ρ（Ziy）=supQ∈M1，f{EQ(-（齐伊）- α（Q）}齐伊∈ Zi，y>0（15），α如等式（14）所示。备注2。我们立即发现，风险度量ρ和流动性风险度量βi之间存在明显差异。风险度量ρ被定义为证券i未来价格的函数，而β是证券i交易量空间R>0的函数。这意味着风险度量指标现在是实变量的实值函数。

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kedemingshi

2022-5-7 06:40:01

因此，我们可以将每个正交易量y关联起来∈ R> 0给出证券中金融机构具体情况的实数βi（y）i.3.4 LPSPACE上的非流动性风险度量现在我们在度量空间上定义了一个概率度量(Ohm, F）回想一下Lp中凸风险度量的双重表示(Ohm, F、 P）1小时≤ P≤ ∞ 空间。一般情况下凸风险度量的定义Zi:=Lp(Ohm, F、 P）概率s步与定义（2）相同。特别是，风险度量ρ定义在∞(Ohm, F、 P）空间具有Lipschitz连续性和有限价值性。ρ的连续性和凸性意味着风险度量ρ存在对偶表示，即ρ（Z）=supQ∈M1，g{EQ(-Z）- α（Q）}Z∈ Zi（16），其中现在M1，gdenotes是所有正整数可加集函数Q:F的集合→ [0,1]这是绝对连续的w。r到P，并归一化到Q[Ohm] = 和α（Q）一样，最小惩罚函数。在这种情况下，液化风险度量等于supQ∈M1，g{EQ(-（齐伊）- α（Q）}。对于凸风险测度ρ：Lp(Ohm, F、 P）→ R∪ {+∞} 关于Zi:=Lp(Ohm, F、 P）1的空间≤ p<∞ , 对偶表示的存在与风险测度泛函的下半连续性（关于范数| |·| | p）密切相关。（Kaina and R¨uschendorf（2009））证明了凸下半连续风险测度ρ的对偶表示形式为ρ（Z）=supQ∈M1，q{EQ(-Z）- α（Q）}Z∈ Zi（17）与通常的α（Q）一样，圆锥形指数Q=p/（p）-1）和m1，q={q∈ M（P）| dQdP∈ Lq(Ohm, F、 P）}（18），其中M（P）表示关于P的所有绝对连续概率的类别。然后我们有βi（y）=supQ∈M1，q{EQ(-（齐伊）- α（Q）}。

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2022-5-7 06:40:04

与所有有界可测函数的Banach空间上定义的非流动性风险度量的不同之处在于，在LPS情况下，非流动性风险度量值假设+∞.在这一点上，我们还想强调一个事实，即非流动性风险度量可能独立地接受双重表示，因为风险度量ρ承认或不承认双重表示。事实上，当给定的随机变量空间上定义了一个适当的凸风险度量ρ，并且满足定义公理时，非流动性风险度量可以很好地表示在一个b-uy阶上（2）。我们将这个结果纳入推论。推论1。非流动性风险度量β离子空间R>0定义为βi（y）=ρ（Ziy），其中ρ是满足定义公理（2）和Ziydecreasing与凹公理的适当凸风险度量，具有对偶表示，与ρ是否具有对偶表示无关。我们还注意到，定义在一个变量空间上的适当凸风险度量是确保非流动性风险度量β满足命题（1）的公理和定理（1）的对偶表示的有效条件，但它并不总是一个必要条件。例如，在某些情况下，定义在空间Zi上的风险度量不是凸的，并且仍然具有非流动性风险度量β，即满足命题（1）和定理（1）。下面的例子说明了这一事实。例2。设P是可测空间上的概率测度(Ohm, F）定义ZiyasZiy=~XiT（w）-嗯- xi风险值测量值V aRδ，δ∈ （0，1），在本质有界随机变量空间上，自然定义为β（y）=V aRδ（Ziy）=inf{m∈ R | P（~XiT（w）-ay+m<0）≤ δ} 对于y>0。回想一下，varδ是单调递减的、现金加性的、正齐次的，但在空间Zi上不是凸的。

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2022-5-7 06:40:09

然后，βi（y）=V aRδ（~XiT）+ay（19），可以看到n，βiis增加，凸，和现金子加法。其次，它也承认了定理（1）的对偶表示。要了解这一点，请首先注意间隔垫圈上的βi连续>0。将f作为等式（2）给出结果。y（V aRδ（~XiT）+ay+Xi（y））给出的资本要求是y的一个递增函数，可以看出，y大于流动市场中所需的资本要求。受例（2）的启发，我们得出以下命题。提议3。如果证券的价格是XiT（w，y）=XiT（w）+hi（y）类型的可分离加法函数，且hi（y）增加凹性且对所有y具有确定性∈ R、和XiT（w）未受影响的价格，然后给定一个定义在包含Ziy的随机变量空间上的适当现金加法函数ρ，函数βi表示为βi（y）=ρ（Ziy）=ρ（~XiT+hi）(-y））是一个风险衡量标准化命题（1）。此外，它承认定理（1）的对偶表示。证据根据定义，βi（y）=ρ（XiT+hi(-y））=ρ（~XiT）-嗨(-y）。现在，利用hito的凹凸性和递增性得出结论，β是递增单调的、现金次加性的和凸的。通过使用等式（2）中的函数f，可以得到双表示。当ZiYi如命题（3）所示时，我们也可以以类似于前一小节的方式定义函数δi:R<0→ R，它们都衡量金融机构在证券i中y<0的位置的非流动性风险。我们通常通过δi（y）=ρ来定义δias(-Ziy），在给定的空间Zi上定义ρ凸风险度量。此外，我们假设ρ（U）<+∞ ρ（U）>-∞对某些人来说∈ 子。我们注意到-对于所有的Ziy和Ziy∈ R并且这种情况下的现金流由-y[XiT（w，-y）-Xi（y）]。简单计算表明，δiis递减单调、cash超加和凹。

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能者818

2022-5-7 06:40:12

这里，现金超可加性或Trans-slational次方差意味着δi（y+m）≤ δi（y）+m表示每y<0，m≥ 0和（y+m）≤ 备注（1）允许我们解释这些公理。值得考虑的公理是递减单调性和凹性。特别是，第一条公理说，证券i的非流动性风险随着金融机构出售的y数量的增加而增加，从而使其流动性降低，风险增加。我们已经看到，凸性公理促使金融机构将大型交易限制为小型交易。本着同样的精神，凹度公理刺激金融机构拆分其大额交易，因为当y较小时，y<0的单位增加所导致的安全风险i降低更大。接下来，我们定义函数giasgi（y）=ρ(-如果是的话≥ 0δi（y）如果y≤ 0（20），其中δi（0）等于ρ(-~XiT）=ρ(-)。那么，δi（h，x）def=gi（h-十）-xdef=gi（y+x）-十）-x、其中h=y+x，x，y∈ R、 d是单调的，现金加法的，凹的和Lipschitz连续的吗√2.最后，Fenchel-Moureau-th-eorem的另一个应用导致了定理（1），sup算子被inf算子取代。我们不为一般随机变量定义非流动性风险度量δ离子R<0的原因- Ziyis的结论是，我们通常不能确定由此产生的风险度量δi（y）=ρ(-Ziy），其中ρ是（凸的）风险度量，是凸的或凹的，因此我们不能利用FenchelMoreau th eorem给出δi的对偶表示。我们还注意到命题（3）对δi也适用。此外，使用非流动性风险度量δi代替βi，示例（1）中的资本需求是y（ρ（)XiT）- Xi（y））=y（supw∈Ohm{XiT（w）}- Xi（y））当Ziy=~XiT（w）- 嗯。注意，在这种情况下，ρ是有限值，在U中是线性的∈ 子。

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2022-5-7 06:40:16

这意味着当h（y）是非确定性的时，命题（3）保持7，δiadmit是Fenchel-Moreau对偶表示。对于h（y）非确定性，我们的意思是它有一种类型B（w）F（y）或B（w）+F（y）。其他情况和示例（2）可以类似地进行。例3。在空间上确定一个概率测度P(Ohm, F）。现在让我们假设，安全性i的价格XiT（w）遵循几何B罗文运动，漂移项取决于交易量，即isdXit=XiT（hi（y）+u）dt+XiTσdBt（21），其中hi（y）=ay是一个递增和凹函数，σ和u是常数，Xi（y）>0是初值，y>0，B表示标准布朗运动零。这种建模证券价格的方法基于（Almgren和Chriss（2005））开发的框架。求解随机微分方程yieldsXiT（w）=Xi（y）exp{ayT}exp{（u-σ） T+σBT}（22）在这个假设下，我们让XiT（w，y）等于exp{ayT}XiT（w），其中+XiT（w）=Xi（y）exp{（u）-σ） T+σBT}给出了不存在不确定性时的价格。应用于XiT（w，y）的varα是βi（y）=varδ（Ziy）=inf{m∈ R | P（经验值）{-ayT}XiT（w）+m<0）≤ δ} =inf{m∈ R | P（经验值）{-ayT}XiT（w）+m<0）≤ δ} =inf{m∈ R | P(-ayT+ln（~XiT（w））<ln(-m） )≤ δ} =inf{m∈ R | P（ln（~XiT（w））<ln(- m） +ayT）≤ δ} =inf{m∈ R | PBT<ln(-m） +ayT- ln（Xi（y））- (u -σ） Tσ！≤ δ} 因为BT是标准的布朗运动，我们可以把它表示为BT=√T W为标准正态分布。因此，βi（y）=inf{m∈ R | PW<ln(-m） +ayT- ln（Xi（y））- (u -σ） T√Tσ！≤ δ} 和Φ-1（δ）=ln(-m） +ayT- ln（Xi（y））- (u -σ） T√Tσ由此我们得到βi（y）=-经验{-ayT}expΦ-1（δ）√Tσ+（u）-σ） T+ln（Xi（y））= 经验{-ayT}V aRδ（~XiT）（23），它完全符合命题（1）的三个公理。

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大多数88

2022-5-7 06:40:20

这种类型的风险度量鼓励金融机构停止大额交易，因为对于较大的y，βI的增长率大于y的比例。然后给出头寸y的资本要求b y y（exp{-ayT}V aRδ（~XiT）+Xi（y）），它在y中增加，直到金融机构放松初始投资。给定V aRδ的值，我们还可以计算另一个常见的风险度量，即AV aRδ，在几何布朗运动情况下，h（y）=ay表示βi（y）=AV aRδ（Ziy）=δZδV aRδ（Ziy）du（24），从而替换βi（y）=δexp{-与V aRδ风险度量不同，AV aRδ是一个一致的风险度量。此外，与V aRδ的情况一样，βi在y中是单调递增的、次可加的和凸的。资本需求通常由y（βi（y）+Xi（y）给出。提议4。给定一个在随机变量Zi空间上定义的适当的正齐次函数ρ，以及一个形式为XiT（w，y）=hi（y）~XiT（w）的证券价格的可分离乘法函数，h（y）在所有R上递增、正、凹且确定，则函数βi（y）=ρ（Ziy）=ρhi(-y）退出）与齐伊∈ Zi，y>0，ρ取负值，是一个满足命题（1）的风险度量，具有定理（1）中的对偶表示。证据通过应用ρ的正齐性和hi的正性，证明了这一点。事实上，βi（y）=嗨(-y） ρ（~XiT）。然后，凹度和High的递增特性会影响第一个结果。二元表示法通过使用方程式（2）中的函数f得出。相反，如果XiT（w，y）是一个负决定论齐次函数，那么根据上述命题和芬切尔-穆鲁定理，前面讨论的非流动性风险度量δias允许双重表示。同样，我们假设ρ（U）<+∞ρ（U）>-∞ 对某些人来说∈ 子。

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2022-5-7 06:40:23

如果想要推导出非流动性风险度量和对应于示例（3）的资本要求，那么遵循的程序是相同的。例4。再次，假设证券的价格由XiT（w，y）=XiT（w）+MiT（w）y给出，且XiT（w，y）为正且基本有界，并考虑以下定义在基本有界可测函数空间上的风险度量，L∞(Ohm, F、 P），即βi（y）=ρ（Ziy）=λlog EP（exp{-λZiy}）=λlog EP（exp{-λ（~XiT（w）-MiT（w）y）}（26）式中λ∈ [0, +∞) 给出了风险规避参数。这种凸的风险度量称为熵风险度量，它与指数效用函数密切相关（见F¨ollmer and Knispel（2011））。可以检查到，β是命题（1），可以根据定理（1）表示。资本要求等于y（βi（y）+Xi（y））。这个例子还表明，如果我们定义一个非流动性风险度量δion R<0，δI将导致一个递减的、现金超加法的、具有良好定义的对偶表示的适当凸函数。这一事实再次证实了为什么我们没有发展出一个通用的二元理论来衡量流动性风险，该理论定义为R<0.4，衡量金融机构将其交易拆分为较小交易时的非流动性风险，如前一节所述，非流动性风险度量的凸性促使金融机构将其大额交易冻结为较小的订单，以降低非流动性风险。基于这一假设，在本节中，我们假设金融机构出售数量y>0的证券i的方式与（Acerbi and Scandolo（2008））的论文类似，将其拆分为小订单yjso将尽可能降低流动性风险。

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2022-5-7 06:40:26

金融机构首先以最高的价格出售单位yj≤ xjuntilPjyj=y，其中xjgives价格XiT（w，-yj）一次订购。在这种情况下，我们正在处理XJ（XiT（w，-yj）- Xi（y））yj对于y>0（27）且XiT（w，y）与假设（1）中的XiT（w，-yj）≥ 希特（w，-yk）如果j≤ k、及yj>0。请注意，xit（w，-y）在y中是单调递减的。此外，如果在等式（27）中假设时间0的交易也以分割订单形式进行，则没有任何变化。在这种情况下，现金流将是XJXIT（w，-yj）yj-XkXi（yk）YKY>0withPkyk=y，yk≤ xk，和xk可购买的最大金额。然后，我们可以假设金融机构首先以最低价格购买，因此xi在y中增加。为了使方程（27）中的连续版本存在，我们必须对随机变量XT（w，y）设置一些条件。特别是，为了方便起见，我们必须要求XT（w，y）在Ohm 每一次∈ R.在这些假设下，上述方程中和的连续变化就是积分zyxit（w，-u）杜-yXi（y）对于y>0（28），风险因此由随机变量Ziy捕捉：Ohm → R表示为asRyXiT（w，-u）杜。作为一个imm中介结果，我们得出ZiYi在y中增加∈ R\\{0}。此外，它是凹状的∈ R\\{0}自XiT（w，-y）是一种消弱的功能。请注意，现在我们不再假设XiT（w，-y）在y方向是凹的∈ R \\{0}。在这个阶段，我们希望确定R>0空间的非流动性风险度量。幸运的是，前一节提出的理论完全适用于Ziyis等于toRyXiT（w，-u）杜。使用定义（2），可以很容易地得出非流动性风险度量值βiis递减、现金超加法（或平移超变量）和凸y>0。

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能者818

2022-5-7 06:40:30

现在的区别是，βiis递减和现金超加性，而不是递减和现金次加性。通过注意Ziy（w）可以导出递减性质≥ Ziv（w）意味着ρ（Ziy）≤ ρ（Ziv）当y≥ v和y，v>0。因此，这一特性表明，金融机构的长期头寸增加越多，流动性风险指标减少的越多。这种特性可以归因于交易分割效应，在没有固有限制的市场中，这种效应可以将对证券价格的影响降至最低。另一方面，可以通过注意βi（y+m）=ρ（Ziy+m）来获得现金超可加性≤ ρ（Ziy）≤ ρ（Ziy）- m） =ρ（Ziy）+m=βi（y）+m，对于所有m≥ 0.因为y=0意味着XiT（w，0）=XiT（w）和XiT（w，-y）≤ XiT（w，0）≤ XiT（w，y）对于每个正y，我们看到所有y都是凹的∈ R.然后，如果我们在等式（2）和βias fi（h）中定义一个函数，它将遵循这一点- 十）- x=fi（（y+x）- 十）- x和h，x∈ R、定理（1）的对偶表示形式自^βiis Lipschitz连续且凸，除递减和现金加法外。例5。本例显示了将交易拆分为较小交易的策略如何降低非流动性风险度量βi。假设价格XiT（w，y）如例（1）所示，我们想要计算非流动性风险度量βi（y）=ρ（Ziy）=-infw∈Ohm{RyXiT（w，-u）杜}。这就是βi（y）=- infw∈Ohm{ZyXiT（w，-u） du}y>0（29），也可以写成βi（y）=- infw∈Ohm{Zy（~XiT（w）-au）du}=-y infw∈Ohm{XiT（w）}+ay=yρ（~XiT）+ay我们注意到βiis递减、cash超加性和凸性。此外，自已也是盟友∈ R、以及风险度量βiholds的双重表示。资本要求由（ρ（~XiT）+ay+Xi（y）给出。

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大多数88

2022-5-7 06:40:33

与给定金融机构出售y>0个单位的证券i而不将其拆分成小块的情况相比，资本要求更小，因为y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））<y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））。如果我们进一步假设位置y>0的初始货币价值由以下公式给出：-PkXi（yk）积分形式的ykor-RyXi（u）du，资本要求为y（ρ（~XiT）+ay+Xi（0）），可以看出它小于y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））。相反，如果我们假设XiT（w，y）由XiT（w，y）=XiT（w）±γ| y |α，α<1，γ>0给出，那么流动性风险度量eβi（y）=-infw∈Ohm{RyXiT（w，-u） du}由βi（y）给出- infw∈Ohm{ZyXiT（w，-u） du}y>0（30），也就是βi（y）=- infw∈Ohm{Zy（~XiT（w）-γ| y |α）du}=-y infw∈Ohm{XiT（w）}+γyα+1α+1=yρ（~XiT）+γyα+1α+1资本要求由y（ρ（~XiT）+γyα+1α+1+Xi（y）给出。之前获得的所有结果仍然有效，包括关于非流动性风险度量δi的结果（使用适当的方法）。其中之一是流动性风险度量δi.5多元非流动性风险度量的增加性。在本节中，我们讨论了多元情况下的非流动性风险度量。我们的目标是为由n项资产组成的投资组合引入流动性风险度量。作为一个起点，我们将介绍我们将在本文测试中使用的投资组合的概念。定义3。投资组合y是向量y=（y，y，…，yn）∈ Rn\\{U}，其中yi表示金融机构在资产i中的位置，U由{v给出∈ Rn：v的至少一个组成部分是ze-ro}。我们说，当yi>0时，金融机构在资产i上做多，当yi<0时，金融机构做空。正如本文开头所讨论的，我们将只为由n个多头头寸组成的投资组合建立一个一般的对偶理论。定义4。固定一个可测量的空间(Ohm, F）。让我来∈ Rn+\\{U}是一个投资组合。

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2022-5-7 06:40:36

投资组合y的风险与随机变量Zy有关：Ohm → R、给定zyaszy（ω）=nXi=1Ziyi（ω）（31），其中yi>0。随机变量紫衣：Ohm → R是相对于F可测量的，对于每一个=1，2。。。，n并假设以下公式ziyi=XiT（w，-yi）XiT（w，yi）表示时间T时证券i的价格，Xi（yi）表示时间0时证券i的价格，对应于qu-anty-yi。假设XiT（w，yi）满足假设（1），即每一个=1，2。。。，N注意，通过Rn+我们表示Rn的正元素，即p∈ Rn+if-pi≥ 0表示每一个=1，2。。。，n、为了简化符号，我们设置Zy:=ZT，y=ZT（y，y，…，yn）。对于每个y，随机变量zy被解释为来自位置yi的风险，i=1，2。。。，n、在n种证券中的每一种。考虑一个由n个多头头寸组成的投资组合。就像在单变量情况下一样，我们假设每一个yi的子yi都是凹的∈ 因此，zy在y中是凹的∈ Rn+\\{U}，显然是在Rn中。这可以从假设（2）和众所周知的事实推断出来，即如果可分解函数zy=Pni=1ziyi的所有分量都是凹的，那么它就是凹的。假设3。函数zy在Rn+\\{U}Zλy+（1）上是凹的-λ）五≥ λZy+（1）- λ）兹维，v∈ Rn+\\{U}0≤ λ ≤ 1（32）随机变量Zy∈ R代表每一个y∈ 我们假设生活在一个随机变量的空间Z上。我们在这个空间中增加了一个凸风险测度函数ρ：Z→ R满足每S，U的递减单调性、现金不变性和凸性∈ Z.因此，我们可以对空间Rn+\\{U}上的非流动性风险度量给出以下定义。定义5。

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2022-5-7 06:40:40

给定ρ：Z→ R空间Z上的凸风险测度，Rn+\\{U}i上的非流动性风险测度β定义为β（y）=ρ（Zy）Y∈ Rn+\\{U}（33）然后，我们很容易验证β是一个非流动性风险度量，满足以下公理。a）单调性增加：Y≥ 五、∈ Rn+\\{U}，这就是易≥ 每i=1，2。。，n、然后是β（y）≥ β（v）；b）现金次加性（或平移超方差）：β（y+me）≥ β（y）- MM≥ 0，y∈ Rn+\\{U}，e=（1,1，…，1）；c）凸度：y、五∈ Rn+\\{U}，然后是β（λy+（1- λ） v）≤ λβ（y）+（1）- λ） β（v），0≤ λ ≤ 1.通过回顾函数Ziyi的性质和Zy的特殊形式，这些公理很容易遵循。更准确地说，我们可以利用这样一个事实：每个子一在一中是递减的，在一中是凹的，并且是一个可分解的函数来推导上述三个公理中的每一个。5.1多元非流动性风险度量的对偶表示Orem（1）表示，定义在空间R>0上的非流动性风险度量β对于定义在空间Zi上的每个适当凸风险度量具有对偶表示。本小节的目的是将此结果推广到多变量情况。为此，首先使用定义的所有有界可测函数的空间Z将更有指导意义(Ohm, F）。我们假设每个Ziyi都属于空间Z。作为有界可测函数的和，随机变量Zy属于Z。现在让我们考虑一个定义在空间Rnf（y）=β（y）上的实值函数f，如果y∈ Rn+ρ（Zy）如果y∈ Rn\\{Rn+}（34）其中y∈ Rn\\{Rn+}如果y∈ 所以/∈ Rn+。很快，f（y）在所有y中都是递增的、次可加的和凸的。我们将f（0）=β（0）=ρ（Z）=ρ（Pni=1Zi），这是流动购买投资组合的风险度量。我们以与上一节相同的方式引入了一个新函数^β。

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