延迟和流动性风险

2022-6-25 07:22:53

延迟和流动性风险阿尔瓦罗·卡塔亚（Alvaro Carteaa），b，塞巴斯蒂安·贾蒙加尔克（Sebastian Jaimungalc），莱安德罗·桑切斯·贝当古·塔玛（Leandro S’anchez Betancourtaamatical Institute），牛津大学（University of OxfordbOxford Man Institute of Quantitative Finance）托伦托大学统计科学系电子市场中的延迟（即时间延迟）影响流动性采取策略的有效性。在流动性接受者处理信息并向交易所发送适销限额订单（MLO）期间，限额订单簿（LOB）可能会进行更新，因此无法保证MLO已完成。我们制定了一种延迟最优交易策略，以提高流动性接受者的枪法。LOB和MLO之间的交互被建模为标记点流程。每个MLO都规定了一个价格限制，因此如果LOB中的更新不符合交易员的利益，订单可以收到比流动性接受者目标更差的价格和数量。在我们的模型中，流动性接受者平衡了缺失交易和账面成本之间的权衡。我们使用变分分析技术来获得代理发送的每个MLO的最优价格限制。MLO的价格极限被描述为由随机测度驱动的一类新的正倒向随机微分方程（FBSDE）的解。我们证明了FBSDE解的存在性和唯一性，并通过数值求解来验证延迟优化策略的性能。关键词：标记点过程、高频交易、算法交易、延迟、前后向随机微分方程。1、引入决策和进入市场的速度是电子市场交易策略成功的关键因素。流动性提供者监控并更新其在限额订单簿（LOB）中的限额订单（LO），流动性接受者发送以LO为目标的订单。

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2022-6-25 07:22:56

流动性创造者和接受者的策略的有效性取决于他们在市场中的延迟时间。延迟是指交易所向交易员传输市场数据、交易员处理信息并做出决策以及交易所收到交易员指令之间的时间延迟。因此，由于延迟，无法保证流动性提供者可以在账簿中的预期队列位置放置LO，或在其他交易员选择之前撤回过期报价。ISJ感谢加拿大自然科学和工程研究委员会的支持（RGPIN-2018-05705和RGPAS-2018-522715）。LSB感谢CONACyT、Mexico和牛津大学数学研究所的支持。电子邮件地址：alvaro。cartea@maths.ox.ac.uk（\'Alvaro Cartea），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（塞巴斯蒂安·贾蒙格尔），莱安德罗。sanchezbetancourt@maths.ox.ac.uk（Leandro S’anchez Betancourt）预印本于2019年8月12日提交给TBA。此外，无法保证流动性接受者的可销售限额订单（MLO）达到预期目标，其目标是他们在LOB中观察到的数量和价格。

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2022-6-25 07:22:59

MLO是指根据账簿中的LOs立即执行的流动性指令，每个MLO都规定了证券的数量（如股票、货币对、期货等）和针对LOs执行的价格限制。由于延迟，在交易所处理MLO时，价格和数量可能会有所改善，因此订单会以更好的价格完成，或者价格和数量可能会恶化，因此如果限价允许，订单会完成，否则订单会被拒绝。在本文中，我们将重点关注延迟如何影响流动性接受者的枪法，并开发一种延迟最优交易策略，以解释市场中的时间延迟。我们将LOB和MLO之间的交互构建为标记点过程（MPP）。在我们的模型中，代理在随机时间发送买入/卖出MLO，以部分伪装她的订单流，并且在订单到达交易所之前，LOB会进行数量和价格更新。我们假设代理发送全部或全部MLO，即订单要么全部完成，要么被拒绝。MLO的价格限制包括代理在决定交易时所观察到的最佳报价和执行LOB的自由裁量权。LOB是一个不断变化的目标，因此流动性接受者会碰到或错过他们试图执行的LOs。在其他条件不变的情况下，如果代理商愿意收到的数量和价格低于代理商决定交易时在LOB中观察到的最佳报价，则填写MLO的机会会增加。

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2022-6-25 07:23:02

如果自由裁量权不受限制，MLO将被填写，但价格可能比代理商观察到的最佳报价要低得多。另一方面，如果LOB中的更新符合代理的利益，则MLO将以比代理目标LO更好的价格填充。在我们的模型中，代理平衡缺失交易和在交易窗口（例如，分钟、小时、天等）上执行LOB的成本之间的权衡。对于每一笔流动性订单，该策略优化了MLO的自由裁量权，同时惩罚了未命中交易的数量和交易期内该策略产生的成本。我们采用变分分析技术来获得代理发送的每个MLO的最佳自由裁量权，我们将其描述为前向-后向随机微分方程（FBSDE）的解。我们展示了FBSDE前向部分和后向部分解的存在性和唯一性，并展示了完整FBSDE解的存在性和唯一性。据我们所知，现有文献中未涵盖由此产生的随机测量驱动的FBSDE的唯一性和存在性，并且特定形式本身似乎是新的。在代理人的绩效标准中，当缺失交易的惩罚与预期的拒绝交易数呈线性关系时，我们以封闭形式获得最优策略–最新最优策略包括发送所有具有固定自由裁量权的MLO。当丢失交易的惩罚是预期拒绝交易数量的二次方时，我们用数值方法求解FBSDE。Weillustrate针对一系列模型参数的延迟优化策略的性能，并检查跟踪成本与错过交易数量之间的权衡。最后，我们讨论了对代理而言成本中立的策略。

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2022-6-25 07:23:05

也就是说，改变了延迟最优策略，以便当LOB违背代理的利益时，从账面上走到MLO的预期成本与根据可销售订单和市场订单执行交易的预期收益（即负成本）相同，因为可销售限额订单走到LOB，直到达到交易者指定的限额价格，而市场订单会一直走到LOB完全填满为止。这与即时订单或取消订单形成对比，即时订单或取消订单的性质是，如果LOB中的流动性符合MLO的要求，则订单可能部分无法收回。订单的未填写部分被拒绝。价格高于代理商的目标价格。几位作者讨论了电子市场中延迟的各个方面。Moallemi和Sa^glam（2013）研究了股票市场流动性接受者的延迟成本。他们比较了在市场上有无时间延迟的情况下清算一只股票的成本，以计算延迟成本。Stoikov和Waeber（2016）的工作展示了如何通过利用LOB的数量不平衡来预测价格变化，并研究执行策略有效性中的延迟效应，从而在电子市场中执行大型订单。Lehalle和Mounjid（2017）利用了纳斯达克Omx的数据，并发现随着延迟的增加，LOB中的信息内容会减少。Cartea和S’anchez Betancourt（2018）利用专有外汇数据来显示证券中间价的波动性和波动性对流动性采取策略的融资比率的影响。作者展示了交易者如何利用延迟优化策略来提高融资比率，同时最小化成本，并展示了如何计算外汇市场延迟的影子价格。

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2022-6-25 07:23:07

Gao和Wang（2018）使用马尔可夫决策过程来模拟具有延迟的做市商在LOB中交易的问题，其中报价价差的大小始终为一个刻度。作者发现，随着延迟的增加，创造市场的利润会下降。关于高频交易和算法交易的最新文献讨论了交易的各种特征以及交易者如何利用速度获得信息优势，如Lehallean和Laruelle（2013）。文献的其他部分讨论了市场质量、市场参与者的速度和随机流动性之间的关系，参见Almgren（2012）和Gu’eant（2016）关于非流动性市场交易的例子。Barger和Lorig（2019）对LOB中最佳报价的快速更新进行建模，以提出随机价格影响模型。论文的其余部分如下。第2节提出了代理的性能优先级，并将延迟优化策略描述为FBSDE的解决方案。第3节展示了FBSDE前向和后向部分解的存在性和唯一性，以及完整FBSDE解的存在性和唯一性。第4节显示了我们发现的候选控制是全局最优的，第5节讨论了各种情况下策略的性能。我们在第6节中总结，并在附录中收集一些证据。2、谨慎行事的最佳选择2.1。延迟：LOB作为移动目标，电子市场中的流动性接受者面临移动目标问题。交易员发送的订单以他们在LOB中观察到的价格和数量为目标，但由于延迟，当订单到达交易所时，目标可能已经移动。

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何人来此

2022-6-25 07:23:10

如果价格和数量恶化，代理商的订单将被拒绝，如果价格和数量改善或没有恶化，订单将被完成。我们将运动目标问题定义为MPP N={（Tn，Zn）}（N≥1）在概率空间中(Ohm, F、 P）。这里，（Tn）是（0，T）S中随机点的递增序列{∞}, 这表示代理向交易所发送MLO的时间，（Zn）是一系列标记，表示由于价格和数量的变化对每股平均价格的冲击。我们假设每个订单是针对一个单位的证券或很多证券的，其中批次在整个交易期内具有固定的大小。当MLO的体积在安全范围内时，标记Z表示对LOB的冲击与MLO的体积相当。正如Confortola等人（2016）所述，我们将样本空间定义为Ohm =Sn{Tn>T}，其中T∈ (0, ∞) 表示固定的时间范围。过滤（Ft）t≥0由N生成，是最小的过滤，因此对于每个N，点tn是停止时间，标记zn是ftn可测量的。我们使用可预测过程来表示过程的左连续版本，参见Cohen和Elliott（2015）中的定理7.2.4。与N isp（dt，dz）=Xn相关的随机测度≥1：田纳西州≤TD（Tn，Zn）（dt，dz），其中D表示狄拉克测度，我们假设eh（p（[0，T]，R）]i<∞ 和EZTZR | z | p（dz，dt）< ∞ . （1）我们用▄p表示随机测度p的可预测补偿器，它允许以下分解▄p（dz，dt）=φt（dz）dAt。（2）这里，补偿器的性质是：对于q：=p- 对于p和任何可积可预测过程H，随机积分（H？q）t=RtRRHsq（ds，dz）是鞅。在（2）中，可预测过程（At）t∈T、其中T：=[0，T]是MLO计数过程的补偿器，我们用Nt：=p（[0，T]×R）表示。假设1。

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2022-6-25 07:23:13

过程A允许有界随机强度，因此我们可以为可预测过程（λt）t写At=Rtλudu∈坦德λ ∈ R、因此（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, λt（ω）≤λ.标记的密度函数是φt，它在R中有支撑且有界，其累积分布函数是Φt，我们假设它在[0，t]×中是一致的LipchitzOhm withLipschitz常数k.Let（δt）t∈t作为一个可预测的流程，指定每单位证券（或大量证券）的现金，代理人愿意遵守LOB，以增加完成其流动性订单的机会，即δ是MLO的自由裁量权。例如，在股票市场中，如果代理人发出购买订单，以在最高价卖出股票，则可自由支配的金额δ是该订单可能产生的额外现金，即+δ是代理人愿意为一股股票支付的最高价格。类似地，如果代理人发出卖出订单以达到最佳出价bt，则订单可能会产生的每股现金折扣金额δt，即bt- δ是代理人愿意接受的出售一股股权的最低价格。在上面的例子中，最佳出价和最佳要价（btand at）指的是代理在决定交易时“观察”到的价格，但由于延迟，这些价格可能会过时。此外，在交易所处理代理订单时，LOB中的价格和数量可能会有进一步的更新。价格变动可能有损或有利于代理人的利益。当每单位证券的价格不符合代理行的利益时，如果MLO的自由裁量权δ足以覆盖价格和数量的不利变化，则该订单将被终止；我们称之为价格下跌。

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2022-6-25 07:23:16

另一方面，如果每单位证券的价格变动有利于代理人的交易利益，则订单将以更好的价格完成；我们将此称为价格改进2.2。交易效率：执行LOB和错过交易的成本代理必须平衡执行LOB的成本与错过交易的数量，因为她在市场上的延迟。很明显，如果代理发送带有内部结算的订单以执行LOB，则所有订单都已完成（我们排除LOB为空的情况），执行LOB产生的成本预计将是最高的。另一方面，在其他条件相同的情况下，降低了决策的自由裁量权，降低了策略的成本，但增加了未命中的分数。我们讨论了体积等于一个安全单元的MLO的成本——体积在许多安全单元中的MLO的成本是以类似的方式计算的。对于购买订单，策略的成本是代理为证券支付的现金减去代理目标LOB另一端的价格。同样，对于卖出订单，策略的成本是LOB出价方的目标价格减去证券收到的现金。也就是说，战略的成本是执行LOB所支付的额外现金，如果订单未执行，则为零。用Cδ=（Cδ）t表示控制成本过程∈TandCδt=ZtZRz^G（δs- z） p（dz，ds），（3）式中，如果x，则^G（x）=1≥ 0和^G（x）=0，否则。每笔交易的额外成本为z^G（δs- z），可以是负（价格改善）、正（价格恶化）或零。当对LOB的冲击为负（z<0）时，该成本为负，在这种情况下，订单的价格比代理商的目标价格更好–价格改善为| z |。

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2022-6-25 07:23:19

另一方面，当对LOB的冲击为正（z>0）时，该成本为正，在这种情况下，订单已完成（因为δ≥ z）在比代理目标更低的价格下，价格恶化为z。最后，当对LOB的冲击为零（z=0）或交易遗漏时，成本为零。过程Dδ=（Dδt）t∈t指定受控未命中次数，dδt=ZtZRG（δs- z） p（dz，ds），（4），其中G（x）=1-^G（x）。回想一下，MLO针对的是一个证券单位或很多证券，这些证券在整个交易期内的规模都是固定的。在后一种情况下，邮件的数量在很多安全性中。2.3. 性能标准agent的性能标准是J（δ）=ECδT+αDδT+γDδT, （5）其中α和≥ 0和γ≥ 0是未完成交易总数的惩罚参数，可接受的策略集是：=δ=（δt）t∈Tδ是F- 可预测和E支持∈T（δT）< ∞. （6）代理希望找到控制δ*∈ A最小化性能标准（5），即代理解决问题δ*= argminδ∈AJ（δ）。注意J（δ）<∞ 因为G≤ 1和（1）保持不变。我们选择参数α、γ的单位，以便性能标准的单位与成本C的单位相同。在性能标准中，遗漏交易的罚款不是财务成本。在所有其他条件相同的情况下，惩罚参数值的增加会使策略post Orders具有更高的执行LOB的自由裁量权。在其中一个惩罚参数任意大的极端情况下，最佳策略是酌情发布订单，以尽可能深入地执行LOB，以完成交易，即具有无限酌情权的MLO是市场订单。2.4. 变分分析方法我们利用变分分析技术来获得最优的自由裁量策略。

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可人4

2022-6-25 07:23:22

为了表示，我们写下j（δ）=JC（δ）+αJLP（δ）+γJQP（δ），（7），其中JC（δ）=ECδT, JLP（δ）=EDδT, 和JQP（δ）=EhDδTi、接下来，注意jc（δ）=EZTZRz^G（δt- z） p（dz，ds）= EZTZRz^G（δt- z） φt（dz）dAt, （8）下一个命题提供了JLP（δ）和JQP（δ）的表达式。提案1。以下方程式适用于jlp（δ）=EZTZRG（δt- z） p（dz，dt）, （9） JQP（δ）=EZTZR公司2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）. （10）证明。方程（9）源自被积函数的可预测性。接下来，我们展示（10）。未完成交易的数量Dδt满足SDEdDδt=ZRG（δt- z） p（dz，dt）。设h（x）=x，并使用积分公式（见Jeanblanc et al.（2009））写入h（Dδt）=ZRh类Dδt-+ G（δt- z）- h类Dδt-p（dz，dt）。然后，dDδt=锆2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）=ZR2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt），其中第二个等式成立，因为G=G。从0积分到T，取期望值，并且因为被积函数2 DδT-G（δt- z） +G（δt- z）是可以预测的，奥巴丹DδT= EZTZR公司2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）= EZTZR公司2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）.2.4.1. 最优自由裁量权走大路我们采用G^ateaux导数来获得使代理的性能标准最小化的延迟最优策略。设w，δ∈ A、 J在δ处沿w方向的方向导数由hd J（δ）给出，wi=lim→0[J（δ+ w）- J（δ）]，（11）当极限存在时。现在，让Abe表示A的对偶空间∈ A对于所有w，确保hD J（δ），wi=A（w）∈ A、然后Ais将J在δ处的G^ateaux导数称为。在本文中，方向导数是A的对偶的元素，因此我们将方向导数称为G^ateauxderivatives。注意，证明A是R.引理1上的线性空间并不重要。

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2022-6-25 07:23:26

δ处的G^ateaux导数∈ 沿w方向的A∈ A其中：（A）成本函数JCishD JC（δ），wi=EZTwtφt（δt）δtdAt;（b）线性惩罚函数JLPishD JLP（δ），wi=-EZTwtφt（δt）dAt;（c）二次罚函数JQPishD JQP（δ），wi=-2 EZTwtφt（δt）Et-ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）dAt公司- 2 EZTwtφt（δt）Dδt-dAt公司- EZTwtφt（δt）dAt.证据见附录A。下一个定理提供了代理性能标准的G^ateaux导数，并提供了执行LOB的最佳自由裁量权的特征。定理1。δ处泛函J的G^ateaux导数∈ 沿w方向的A∈ A ishD J（δ），wi=EZTwtφt（δt）δt- 2γDδt-- γ - α - 2γEt-ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）dAt公司,在各个方向消失∈ A当且仅当存在过程δ时*∈ A使得δ*t=2γEt-hDδ*Ti+γ+α，（12）几乎在T×中无处不在Ohm.证据根据引理1和性能准则（7），J的G^ateaux导数在δ处消失*t=2γEt-ZTtZRG（δ*s- z） p（dz，ds）+ 2 γDδ*t型-++ α=2γEt-ZTtZRG（δ*s- z） p（dz，ds）+ 2 γDδ*t型-++ α=2γEt-hDδ*T- Dδ*t型-i+2γDδ*t型-++ α=2γEt-hDδ*Ti+γ+α。（13）现在我们证明，如果δ处的G^ateaux导数在每个方向w上消失，则控制δ满足（13）。我们自相矛盾地前进。假设存在^δ∈ A使得hD J（^δ），wi=0表示所有w∈ 有（T，O）∈ B（T）×ftl（T）P（O）>0，使得^δT（ω）6=δ*t（ω）表示t∈ T、和ω∈ O、其中L（T）表示T的勒贝格度量∈ B（T），B（T）是T的Borel-sigma代数。因此，在T×O上我们有^δT（ω）- 2γEt-hD^δTi（ω）- γ - α 6= 0 .因此，wt=^δt- 2γEt-[D^δT]- γ - α是可预测的，E[supt∈T（wt）]<∞. 此外，w方向上的g^ateaux导数满足不等式hD J（^δ），wi>0，这是一个矛盾。

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2022-6-25 07:23:28

因此，不存在（T，O）∈ B（T）×F，L（T）P（O）>0，使得^δT（ω）6=δ*t（ω）表示t∈ T和ω∈ O、如果二次惩罚参数γ的值为零，则（12）中的候选最优控制具有简单的闭式表达式δ*t=α，（14），与错过交易的数量无关。因此，当γ=0时，代理发送所有具有自由裁量权的MLOα来遍历LOB。3、FBSDE的存在性和唯一性据我们所知，（12）中的FBSDE是一类新的随机测度驱动的FBSDE，现有文献中没有唯一性或存在性结果。所以，在这一节中，我们证明了FBSDE解的存在性和唯一性。关于亚半鞅环境下的FBSDE，请参见Antonelli（1993）。关于布朗运动中的完全耦合FBSDE，请参见Peng和Wu（1999）。有关FBSDEs中布朗运动和泊松过程的说明，请参见Zhen（1999）。Jianming（2000）、Confortola和Fuhrman（2013）、Confortola等人（2016）和Bandini（2016）研究了BSDE和MPP的框架。关于因算法交易问题导致随机博弈中G^ateaux导数消失而产生的FBSDE的研究，请参见Casgrain和Jaimungal（2018b）以及Casgrain和Jaimungal（2018a）。为了简化本节中的结果，我们从一个引理开始，该引理有助于证明FBSDE（12）解的存在性和唯一性。引理2。LetC：=U=（Ut）t∈TU是F- 调整（&E）支持∈T（Ut）< ∞.空间（A，k·k∞), （A，k·k），（C，k·k∞), 和（C，k·k）是Banach空间，其中kδk∞= E支持∈T |δT|kδk=EZT |δt | dt.证据我们证明了集合A的结果–集合C的证明是相似的。在范数为k·k的有限过程空间中，可预测过程类是封闭的∞（分别为k·k），我们用L表示∞（分别）。然后是空间（A，k·k∞) （resp.（A，k·k））是L的线性闭子空间∞（分别为。

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2022-6-25 07:23:31

五十），这是一个Banach空间和（a，k·k∞) （分别为A，k·k））也是一个Banach空间。推论1。空间C×C，normk（U，V）kC×C=kUkC+kV kC，其中kUkC=EZT | Us | ds和（U，V）∈ C×C是一个Banach空间。通过变量的变化￠δt=δ*t+2γDδ*t、我们得到了FBSDEδt=2γEt的解-hDδTi+γ+α，（15）Dδt=ZtZRG（δs- z） p（dz，ds），Dδ=0，带δ∈ A和D∈ C、存在且唯一，当且仅当FBSDE的解δt=2γEthDδt- D？δti+γ+α，（16）D？δt=ZtZRG（？δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds），D|δ=0，带|δ，D|δ∈ C、存在且唯一。我们将（16）写成△t=2γEtZTtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds）+ γ+α，（17）D￠δt=ZtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds），D|Δ=0。为了分析FBSDE（17）的解，我们研究了函数Υ（U，V）t的固定点=H（U，V）tI（U，V））t=2γEthRTtRRG（美国-+ 2γVs-- z） p（dz，ds）i+γ+αRtRRG（Us-+ 2γVs-- z） p（dz，ds）！，（18）为了完备性，证明了：（i）FBSDE的后向部分解的存在唯一性；（ii）FBSDE的前部；以及（iii）完整的FBSDE–这一结果独立于FBSDE的后向和前向部分的存在。以下定理显示了FBSDE（17）后向部分解的存在性和唯一性。定理2。修复V∈ C、设累积分布函数Φ为Lipschitz和constantk，设|λ为假设1中随机强度λ的上界。函数ψ：C→ C由ψ（U）t=2γEt给出ZTtZRG（美国-+ 2γVs-- z） p（dz，ds）+ γ+α，V∈ C，有一个独特的固定点。证据我们按照杜菲和爱泼斯坦（1992）的命题A1进行。定义Z=支持∈T | Xt- 对于C中的任何X和Y，Yt |和Zt=Et【Z】。设ψ（1）=ψ，ψ（n）=ψ（ψ（n-1)).

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2022-6-25 07:23:34

然后|ψ（X）t- ψ（Y）t |=2γEt公司ZTt（Φ（Ys-+ 2γVs-) - Φ（Xs-+ 2γVs-)) λsds≤ 2γk EtZTt | Xs-- Ys公司-| λsds≤ 2γk′λ（T- t） Et[Z]。使用Fubini定理编写条件期望ψ（2）（X）t- ψ（2）（Y）t≤ 2γk′λEtZTt |ψ（Xs）- ψ（Ys）| ds≤ 2γk′λEtZTt2γk'λ（T- s） Es[Z]ds≤2γk′λEt公司ZTt（T- s） Es[Z]ds≤2γk′λ（T- t） 2个！Et【Z】，在n次迭代后ψ（n）（X）t- ψ（n）（Y）t≤2γk′λn（T）- t） nn！Et[Z]。最后，E支持∈Tψ（n）（X）t- ψ（n）（Y）t≤2γk′λTnn！E支持∈TEt[Z]≤ 4.2γk′λTnn！E支持∈T | Xt- 年初至今|.因此，对于n非常大的函数，函数ψ（n）是具有上确界范数（C，k·k）的Banach空间C中的压缩映射∞). 因此，存在唯一的过程U∈ 例如ψ（n）（U）=U，因为ψ（n）（ψ（U））=ψψ（n）（（U））= ψ（U）并且通过固定点的唯一性，我们得到了ψ（U）=U，这证明了ψ的固定点的存在。ψ的这个固定点的唯一性源于ψ（n）中固定点的唯一性，从而得出了定理。下一个定理证明了FBSDE（17）前部分解的存在性和唯一性。定理3。修复U∈ C、设分布函数Φ为常数k的Lipschitz，设|λ为假设1中随机强度λ的上界。函数Θ：C→ C由Θ（V）t=ZtZRG（Us）给出-+ 2γVs-- z） p（dz，ds），U∈ C、有一个独特的固定点。证据首先我们证明了Θ是从C到C的泛函∈ C、根据定义，对函数Θ（V）进行了调整，因为G≤ 1我们有支持∈T |Θ（V）T|≤ E[p（[0，T]，R）]<∞ .因此，Θ（V）∈ C

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2022-6-25 07:23:37

接下来，表示Θn=Θ（Θn-1） Θ=Θ（0），定义hn：[0，T]→ R ashn（t）=Esup0≤s≤t型Θ（n+1）s- Θ（n）s.我们发现hn（t）的上界如下：hn（t）=Esup0≤s≤t型Θ（n+1）s- Θ（n）s= Esup0≤s≤t型ZsZR公司GUu公司-+ 2γΘ（n）u-- z- GUu公司-+ 2γΘ（n-1） u型-- zp（dz，du）≤ EZtZR公司GUu公司-+ 2γΘ（n）u-- z- GUu公司-+ 2γΘ（n-1） u型-- zp（dz，du）= EZt公司ΦUu公司-+ 2γΘ（n）u-- ΦUu公司-+ 2γΘ（n-1） u型-λtdt≤ 2γk′λEZt公司Θ（n）u-- Θ（n-1） u型-dt公司≤ 2γk′λZthn（s）ds。在难以区分的意义上是独一无二的。上述不等式，以及h（T）=M<∞, 暗示0≤ hn（T）≤M2γk′λnTnn！，并使用马尔可夫不等式得到界：P支持∈TΘ（n+1）t- Θ（n）t≥ 2.-n≤M2γk′λnTn2 nn！n→∞---→ 根据Borel-Cantelli参数，有 Ohm 对于所有ω∈ O功能t→ Θ（n）t（w）以概率1在C的上确界范数中形成一个Cauchy序列。因此 ω ∈ O有一个函数Θ*t（ω），使得Θ（n）t（ω）一致收敛于*t（ω）在t中。此外，存在Θ的自适应修改*在里面Ohm.因此，过程Θ*是Θ定义的映射的固定点，因此满足FBSDE的前部分。最后，下一个定理证明了FBSDE（17）解的存在唯一性。定理4。设累积分布函数Φ为Lipchitz，参数为k，使得k T'λ（max{1，2γ}）<1，其中'λ是假设1中随机强度λ的上界。FBSDE存在唯一的解决方案￠δt=2γEtZTtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds）+ γ+α，（19a）D￠δt=ZtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds），D|Δ=0。（19b）证明。考虑函数Υ：C×C→ （18）中定义的C×C。

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2022-6-25 07:23:40

根据推论1，当配备normkΥ（U，V）kC×C=kH（U，V）kC+kI（U，V）kC时，C×C是banach空间，其中kUkC=EZT | Us | ds.设（U，V）和（X，Y）为C×C，写Υ（U，V）- Υ（X，Y）kC×C=EZT | H（U，V）t- H（X，Y）t | dt+ EZT | I（U，V）t- I（X，Y）t | dt. （20）（20）右侧的第一项满足边界ZT | H（U，V）t- H（X，Y）t | dt≤ EZT2γEtZTt |Φ（美国-+ 2γVs-) - Φ（Xs-+ 2γYs-)| dAs公司dt公司≤ 2 kγ′λ中兴通讯ZTt |美国-+ 2γVs-- Xs型-- 2γYs-| ds公司dt。（20）右侧的第二项满足边界ZT | I（U，V）t- I（X，Y）t | dt≤中兴通讯ZtZR | G（美国-+ 2γVs-- z）- G（Xs-+ 2γYs-- z） | p（dz，ds）dt=中兴通讯Zt |Φ（美国-+ 2γVs-) - Φ（Xs-+ 2γYs-) | λsdsdt公司≤ 中兴通讯k'λZt |美国-+ 2γVs-- Xs型-- 2γYs-| ds公司dt。现在，设k=k'λmax{2γ，1}和k=kmax{2γ，1}，和writekΥ（U，V）- Υ（X，Y）kC×C≤ 中兴通讯ZT |美国-+ 2γVs-- Xs型-- 2γYs-| ds公司dt公司≤ kT EZT | Ut-+ 2γVt-- Xt公司-- 2γYt-| dt公司≤ kT EZT | Ut-- Xt公司-| dt公司+ kT EZT | Vt-- 年初至今-| dt公司< k（U，V）- （X，Y）kC×C。因此，Υ是Banach空间C×C中的压缩映射（见推论1），因此存在唯一的过程对U*和V*使得Υ（U*, 五、*) = （U）*, 五、*).总之，我们已经证明（12）中的候选最优控制是存在的并且是唯一的。最后，很容易看到δ*∈ A、根据定义，控制δ*是可预测的。快速计算显示“sup0≤t型≤T（δ*t）#≤ E“sup0≤t型≤T（Et[NT]）#=E“sup0≤t型≤TNt+ZTtλsds#≤ 2 ENT公司+ 2 T'λ<∞ .因此，控制δ*满足（12）是A.4的一个要素。在这一节中，我们证明了自由度δ*满足（12）是agent性能准则J（δ）的全局极小值。我们通过几个步骤来证明这一点。首先，定理5表明控制δ*是J（δ）的局部最小值。然后，在证明了两个辅助引理之后，定理6表明δ*是性能标准的全局最小值。定理5。

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2022-6-25 07:23:42

控制δ*满足（12）是代理的性能标准j（δ）的局部最小值。证据回想一下，G^ateaux导数hD J（δ*), wi在每个方向消失w∈ A、第二个G^ateaux导数δ∈ 方向ν，w上的A∈ A ishDJ（δ），w，νi=EZTwtνtφt（δt）δt- 2γEt-hDδTi- γ - αdAt公司（21a）+EZTwtφt（δt）νt+2γEt-ZTφs（δs）νsdAsdAt公司. （21b）该G^ateaux导数在δ=δ时为非负*因为（21a）右侧的表达式在δ=δ时为零*（21b）中的表达式对于每个ν，w都是非负的∈ A、因此，δ*是本地最小值。引理3。Letδ∈ A和J（δ）=y<∞. 设？λ<∞ 是假设1中随机强度λ的界，且设'N<∞ 限制交易尝试的次数。假设函数rt（x）=Zx-∞zφt（dz）是x中的Lipschitz，在[0，t]×上一致Ohm, 给定Lipschitz常数k > 0，定义η=（▄k+4▄N k）▄λT+2▄λk T-1> 0，（22）那么，对于所有w∈ A使得kδ- 工作时间：∞< η、我们有| y- J（w）|<.证据考虑w∈ A s.t.kδ- 工作时间：∞< η. 回想一下，J=JC+αJLP+γjqp，并观察| J（δ）- J（w）|≤JC（δ）- JC（w）+ αJLP（δ）- JLP（w）+ γJQP（δ）- JQP（w）.接下来，我们将每一项约束在不等式的右侧。

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2022-6-25 07:23:46

首先，JC（δ）- JC（w）=EZTZRz公司^G（δt- z）-^G（重量- z）φt（dz）λtdt≤k EZT |δt- wt | dAt≤k'λT E支持∈T |δT- wt公司|.其次JLP（δ）- JLP（w）≤ EZT |Φ（δt）- Φ（wt）| dAt≤\'λk T E支持∈T |δT- wt公司|.最后JQP（δ）- JQP（w）≤ Aδ，w+k EZT |δt- wt | dAt≤ Aδ，w+k'λT E支持∈T |δT- wt公司|, （23）有关第二个G^ateaux导数的详细信息，请参见附录C。式中δ，w：=EZTZR公司2克（δt- z） Dδt-- 2克（重量- z）载重吨-φt（dz）dAt.接下来，我们将第一项约束在不等式（23）的右侧：Aδ，w≤EZTZR2 G（δt- z）Dδt-- 载重吨-φt（dz）dAt+EZTZR2载重吨-（G（δt- z）- G（重量- z））φt（dz）dAt≤ 2'λEZT公司Dδt-- 载重吨-dt公司+ 2’N k’λEZT |δt- wt | dt≤ 2“λE”ZTZt公司-ZRG（δs- z）- G（ws）- z） p（dz，ds）dt#+2'N k T'λE支持∈T |δT- wt公司|≤ 2'λkZTE“Zt-|δs- ws |λtds#dt+2'N k T'λE支持∈T |δT- wt公司|≤ 2'λk TE支持∈T |δT- wt公司|+ 2“N k T”λE支持∈T |δT- wt公司|= （2'λk T+2'N k T'λ）E支持∈T |δT- wt公司|.因此JQP（δ）- JQP（w）≤\'\'λk T+2\'\'N k T\'\'λ+k T\'\'λE支持∈T |δT- wt公司|,自kδ以来- 工作时间：∞≤ η、我们有| J（δ）- J（w）|≤JC（δ）- JC（w）+ αJLP（δ）- JLP（w）+ γJQP（δ）- JQP（w）≤k'λT+αk'λT+2γ'λk T+kγT'λ+2γ'N k T'λE支持∈T |δT- wt公司|≤\'\'z k T'λ+2'λk T+4 k T'λη=< ,其中，最后一个等式来自（22）中η的选择，证明是完整的。在证明本节的主要结果之前，我们先证明以下辅助引理，即我们的候选控制是性能准则J（δ）的全局最小值。引理4。如果函数J（δ）具有全局最小值^δ∈ A、 thenhD J（^δ），wi≥ 0 , w∈ A.（24）证明。证据是矛盾的。假设有^w∈ A使得hdj（δ），wi=η<0。设置 = |^η/2 |>0，因为^η=lim→0J（^δ+ ^w）- J（^δ）, （25）存在ρ>0，如果|| < ρ、那么J（^δ+ ^w）- J（^δ）- ^η< |^η/2| .

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2022-6-25 07:23:49

（26）现在，fix^ 使0<^ < ρ、 thenJ（^δ+^） ^w）- J（^δ）^< |^η/2| + ^η = ^η/2 < 0 . （27）因此，J（^δ+^） ^w）<^η+J（δ）<J（δ），（28），因为δ，w∈ A、控制^δ+^ ^w在集合A中，通过（28），我们得到了不等式j（^δ+^） ^w）<J（^δ），这与^δ是全局极小值相矛盾。定理6。全局最优。如果J的全局最小值为^δ∈ A、则^δ=δ*a、 e.在T×中Ohm,带δ*求解（12）。证据证据是矛盾的。假设全局最小^δ∈ A、但^δ=δ不是真的*a、 e.在T×中Ohm, 带δ*求解（12），即存在（T，O）∈ B（T）×ftl，L（T）P（O）>0，使得δ6=δ*关于T×O.首先，由引理4hD J（^δ），wi≥ 0 , w∈ A，（29），因为^δ6=δ*在T×O上，存在^w∈ A使得hD J（^δ），^wi>0。现在，取w=- ^w∈ A、 thenhD J（^δ），~wi=EZTwtφt（δt）^δt- 2γEt-hD^δTi- α - γdAt公司= -EZT^wtφt（^δt）^δt- 2γEt-hD^δTi- α - γdAt公司= -hD J（^δ），^wi<0，这与引理4相矛盾。因此，如果在^δ处存在全局最小值∈ A、则^δ=δ*a、 e.国际Ohm.5、战略绩效（12）中的预期取决于信息Ft-, 因此，过程δ*是次鞅。在这里，我们研究了（12）中FBSDE的微小变化，并导出了最优控制的部分积分微分方程。为此，确定最佳控制δ*∈ A并定义过程（ˇδt）t∈T、式中：ˇδT=2γEthDδ*Ti+γ+α。观察δ*在（12）中，是c\'adl\'ag（RCLL）过程的c\'agl\'ad（LCRL）版本ˋδ，和δ*t=ˇδt-.确定遗漏交易的动态Dδ*作为过程ˋδ的函数：Dˋδt=ZtZRG（ˋδs-- z） p（dz，ds）+ZtZRG（ˇδs-- z） q（dz，ds），回想一下q=p- p是N的补偿随机测量值。假设2。

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2022-6-25 07:23:51

随机强度（λt）t∈Thas the Markov性质，此外，过程λ和Dˇδ之间的二次方差为零。通过假设2，我们推导出了ˋδ的马尔可夫性质，我们用它来写ˋδt=h（t，Dˋδt，λt），关于第一个参数的可微函数h。然后过程Dˇδ由Dˇδt=ZtZRG（h（s，Dˇδs-, λt）- z） p（dz，ds）+ZtZRG（h（s，Dˇδs-, λt）- z） q（dz，ds），因为ˋδ是鞅，函数h是PIDE的解，我们在下面的定理中描述了它。定理7。设ˋδt=h（t，Dˋδt，λt）。在假设1和2下，函数h满足PIDE0=th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+Z∞h（t，D，λ）λφt（z）dz！（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ）），（30），带边界和终端条件slimd→∞h（t，D，λ）=∞ h（T，D，λ）=2γD+γ+α。这里，Lλth（t，D，λ）是作用于函数h证明的到达强度过程λ的最小生成器。将It^o公式应用于ˋδt=h（t，Dˋδt，λt），注意漂移项（即dt项）消失，因为ˋδ是鞅。该问题解的存在性和唯一性遵循比较原理。具体而言，我们有0=th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+Z∞h（t，D，λ）λtφt（z）dz！（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））≤ th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+Z∞-∞λtφt（z）dz（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））=th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+λt（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））≤ th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+λ（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））。我们使用t中h的连续性来写δ*t=h（t，Dˇδt-, λt-), 参见h in（30）的表征以计算δ*t=ˇδt-.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.5图1：左面板：最优策略δ*作为时间和错过交易次数的函数，γ=0.01（底面）、γ=0.03（中面）和γ=0.1（顶面）。其余参数为：λ=100、α=0和Zn~ N（0.2，1）每N。

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2022-6-25 07:23:54

右面板：针对各种错过交易价值的最优策略；蓝色曲线表示福特=4，绿色曲线表示D=8，红色曲线表示D=12.5.1。泊松到达交易我们在（30）中对PIDE进行数值求解，以说明延迟优化策略的性能。假设代理根据强度λ=100的齐次泊松过程发送MLO，线性惩罚参数为α=0，二次惩罚参数γ取{0.01、0.03、0.1}的值，标记（对LOB的价格和数量冲击）为iid正态Zn~ N（0.2，1），N=1，2，交易期限为T=1。图1显示了自由度δ*作为未完成交易数量的函数。左面板显示了三个曲面，二次惩罚参数γ的每个值对应一个曲面。缺失交易的二次惩罚参数值越高，策略中采用的最优离散度越高。当MissedTrade的数量为Dδ时，右侧面板显示最佳判断*∈ {4，8，12}，二次惩罚参数为γ∈ {0.01, 0.03, 0.1}. 蓝色表示γ=0.01的情况，绿色表示γ=0.03，红色表示γ=0.1。实线表示Dδ*= 4，虚线表示Dδ*= 8，虚线表示Dδ*= 我们对代理人的交易活动进行了10000次模拟，图2显示了三个样本路径。顶部面板显示了代理商订单的最佳自由裁量权，以及从账面上查看和获得价格改进所累积的成本。底部面板显示错过交易的次数和尝试交易的次数。

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可人4

2022-6-25 07:23:57

显然，随着MissedTrade数量的增加（减少），最佳策略是增加（减少）LOS在执行LOB时的自由裁量权。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.911.11.21.31.41.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50510150 0.2 0.4 0.6 0.8 102468100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 102040680100图2：最佳离散度δ的样本路径*（左上面板），未完成交易数Dδ*（左下面板），策略成本Cδ*（右上面板），以及MPP三次模拟的交易尝试次数N（右下面板）。参数：α=0，γ=0.07，λ=100，T=1。图3报告了三个二次惩罚参数γ值的最优策略的各种成本度量。顶部面板显示了融资策略产生的成本直方图，即Cδ*T、以及从LOB到FILL交易的平均成本，即Cδ*T/（NT）- Dδ*T）。回想一下，当交易在价格改善（恶化）的情况下进行时，成本为负（正）。该图显示，随着二次惩罚参数值的增加：（i）从账面到实际交易的平均成本增加，总成本增加，平均未命中次数减少，见下表；（ii）执行LOB的成本增加，因为该策略完成了更多订单（即错过的交易更少），请参见左下角的面板。右下角的面板显示，当遗漏交易的罚款增加时，遗漏交易与交易尝试的平均比率降低-40-20 0 2005001000150020002500-0.6-0.4-0.2 0.2 0.405001000150020000 10 20 30 40 50010002000400050000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.501000200030040005000图3：左上面板：成本Cδ直方图*Tof战略。右上面板：额外成本完成交易的柱状图Cδ*T/（NT）- Dδ*T）。左下面板：未命中数Dδ的直方图*T

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2022-6-25 07:24:00

右下面板：未命中百分比Dδ直方图*T/NT。较高的融资比率与照本宣科的成本之间的权衡显而易见。寻求非常高的融资比率，即（NT）的高价值的代理-Dδ*T） /NT，在性能标准中使用非常高的惩罚参数值。其他代理商可能更愿意在其整体交易策略中以价格改善换取价格恶化。例如，在我们讨论的10000个模拟中，当γ≈ 0.0693完成交易的平均成本，Cδ*T/（NT）- Dδ*T），是零，是未完成交易的平均值，Dδ*T/NTis 0.1048。最后，流动性接受者采用的一种幼稚策略是，让多边组织无需斟酌就可以进入LOB，见Cartea和S’anchez Betancourt（2018）。这里，对于发送所有MLO而没有决定权走LOB的代理，未命中交易与尝试次数的预期比率以及策略的预期成本是E【DT/NT】=0.5797，E【CT】=-分别为29.25。预期成本为负值，因为该策略不会因照本宣科而产生成本，但可能会得到价格改善。5.1.1. 最佳与固定自由裁量权行走LOB我们将α=0和γ>0的策略的结果与固定自由裁量权延迟最佳策略（即α>0和γ=0）的结果进行比较。

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2022-6-25 07:24:03

回想一下，当γ=0时，最佳策略与未命中的数量无关，因此代理发送所有MLO时都有决定权δ*= α、见（14）。图4中的顶部面板显示了错过交易次数少于交易尝试次数的10%的概率，即P[Dδ*T<0.1 NT]，以及策略的预期成本，即[Cδ*T] ，当代理以固定的自由裁量权发送订单以执行LOB时，即γ=0和α∈ [0, 2.5].类似地，底部面板显示了错过交易的次数少于交易尝试次数的10%的概率，即P[Dδ*T<0.1 NT]和策略的预期成本，即[Cδ*T] 对于γ∈ [0.02，0.16]和α=0。每张图片中的橙色圆圈显示了最低的预期终端成本E[Cδ*T] 其中P[Dδ*T<0.1 NT]≥ 0.95. α=1.91的固定离散延迟优化策略的预期终端成本约为9.52，γ=0.127的延迟优化策略的预期成本约为5.93。此外，γ=0和α=1.9125（顶部面板中的橙色圆圈点）时的预期未命中数为EDδ*T= 6.39，当α=0和γ=0.1220（底部面板中的橙色圆圈点）时，我们得到EDδ*T= 5.41.因此，预计错失概率不会超过10%的高概率交易的代理可能更喜欢γ>0且α=0的延迟最优策略，而不是在整个交易窗口内以固定的自由裁量权发送SMLOS的策略。0 0.5 1 1.5 2 2.500.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5-30-20-10010200.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.1600.20.40.60.810.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-15-10-50510图4：顶板显示P（Dδ*T<0.1 NT）和E[Cδ*T] 当γ=0时，对于α∈ [0，2.5]，回想一下δ*= α当γ=0时，参见（14）。同样，底部面板显示P（Dδ*T<0.1 NT）和E[Cδ*T] 当α=0和γ时∈ [0.02, 0.16].

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2022-6-25 07:24:06

在所有图片中，当P（DT<0.1 NT）时，橙色圆圈表示E[CT]的最低值≥ 0.99. 其他模型参数：λ=100、α=0和Z~ N（0.2，1）适用于所有行业。5.2. 固定到达率在本节中，我们假设代理MLO的到达强度为λ？t=M- 新界-T- t+, （31）其中M>0是正整数， > 0表示交易尝试次数。强度λ？以|λ=M为界/, 这是我们在上面推导的延迟优化策略中需要的条件，如果 = 0，强度保证NT=M，见Conforti（2016）和Hoyle（2010）。现在，使用δ的马尔可夫性质*写入δ*= h（t，Dt-, 新界-), 其中函数h满足PIDE0=th（t，D，N）+Z∞h（t，D，N）M- NT公司- t+φt（z）dz！（h（t，D+1，N+1）- h（t，D，N））+Zh（t，D，N）-∞M- NT公司- t+φt（z）dz！（h（t，D，N+1）- h（t，D，N）），其中h（t，D，M）=2γD+γ+α，h（t，D，N）=2γD+γ+α。图5显示了针对各种未完成交易值和目标交易数M=100的LOB的最佳判断。解释类似于图1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.50 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.50 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.5图5：最优策略δ*对于γ的各种值、未命中次数和尝试次数。从左到右，惩罚参数为γ=0.01、γ=0.03和γ=0.1。虚线Nt=30，实线Nt=60，点划线Nt=90。蓝线Dδ*t=4，绿线Dδ*t=8，红线Dδ*t=12。其余参数为：M=100，α=0， = 0.1，Z~ N（0.2，1）。我们使用与上述相同的参数执行10000次模拟，并使用（31）中的MLO到达率 = 0.1.

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2022-6-25 07:24:09

图6和图7分别报告了与图2和图3的解释相似的结果。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.811.21.41.61.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50510150 0.2 0.4 0.6 0.8 102468100 0.2 0.4 0.6 0.8 102040680100图6：最佳离散度δ的样本路径*（左上面板），未完成交易数Dδ*（左下面板），策略成本Cδ*（右上面板），以及MPP三次模拟的交易尝试次数N（右下面板）。参数：α=0，γ=0.07， = 0.1，M=100，T=1-40-20 0 2005001000150020002500-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4050010001500200025000 10 20 30 40 500100020004000500060000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50100020004000500060000图7：左上面板：成本Cδ直方图*Tof战略。右上面板：额外成本完成交易的柱状图Cδ*T/（NT）- Dδ*T）。左下面板：未命中数Dδ的直方图*T、右下面板：未命中百分比Dδ直方图*T/NT。结论除了少数例外，有关算法交易的文献假设市场中的延迟为零。这是不准确的，延迟对流动性制定和采取策略的有效性的影响在经济上是显著的。在本文中，我们提出了一个模型，以改进流动性接受者发送的订单的枪法，因为延迟，限制订单账簿是一个移动目标。我们展示了当市场存在延迟时，流动性接受者如何选择可销售订单的价格限制。最佳策略在一个交易周期内，平衡账簿浏览成本和错过交易数量之间的权衡。我们将延迟的影响建模为一个标记点过程，该过程捕获了流动性接受指令和账面上的限额指令之间的相互作用。

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