《世界科学》Lehalle，c.-A.和Mounjid，O.（2017）。具有逆向选择风险和延迟作用的限价策略安排。《市场微观结构与流动性》，03（01）：1750009。Moallemi，C.C.和Sa^glam，M.（2013）。高频交易中的延迟成本。运筹学，61（5）：1070–1086。Oomen，R.（2017）。最后一眼。《定量金融》，17:1057–1070。Peng，S.和Wu，Z.（1999年）。全耦合正倒向随机微分方程及其在最优控制中的应用。《暹罗控制与优化杂志》，37（3）：825–843。Stoikov，S.和Waeber，R.（2016）。使用低延迟交易算法降低交易成本。QuantitativeFinance，16（9）：1445–1451。Zhen，W.（1999）。具有布朗运动和泊松过程的正倒向随机微分方程。《应用数学学报》，15（4）：433-443。附录A.引理的证明1我们分三部分证明引理。首先，我们计算出成本函数的G^ateaux导数。我们用（8）来写ECδ+ wT公司- ECδT=（E“ZTZRz^G（δt+ wt公司- z）-^G（δt- z）φt（dz）dAt#）=（E“ZTZδt+ wtδtzφt（dz）dAt#）=E“ZT（Zδt+ wtδtzφt（dz））dAt#。然后，利用支配收敛定理和微积分基本定理，我们得到了hd JC（δ），wi=lim→0JC（δ+ w）- JC（δ）= lim公司→0ECδ+ wT公司- ECδT= E“ZTδtwtφt（δt）dAt#。接下来我们计算出线性惩罚的G^ateaux导数。注意EDδ+ wT公司- EDδT=（E“ZTZR（G）（δt+ wt公司- z）- G（δt- z） ）~p（dz，dt）#）=E“ZT（Zδtδt+ wtφt（dz））dAt#，因此，我们有lim→0EDδ+ wT公司- EDδT= -最后，我们求出了二次罚函数的G^ateaux导数。

我们写作（呃Dδ+ wT公司我- 呃DδT（一）=（E“ZTZRDδ+ wt公司-G（δt+ wt公司- z） p（dz，dt）#- E“ZTZRDδt-G（δt- z） p（dz，dt）#）+（E“ZTZRG（δt+ wt公司- z）- G（δt- z） p（dz，dt）#）。加减E“ZTZRDδ+ wt公司-G（δt- z） p（dz，dt）#在上面等式的右侧写下（呃Dδ+ wT公司我- 呃DδT（一）=（E“ZTZRDδ+ wt公司-G（δt+ wt公司- z）- Dδ+ wt公司-G（δt- z）p（dz，dt）#+E“ZTZRDδ+ wt公司-G（δt- z）- Dδt-G（δt- z）p（dz，dt）#）+（E“ZTZR（G）（δt+ wt公司- z）- G（δt- z） ）~p（dz，dt）#）=2（E“ZTZRDδ+ wt公司-G（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）p（dz，dt）#（QP1）+E“ZTZRDδ+ wt公司-- Dδt-G（δt- z） 哦！p（dz，dt）#）（QP2）+E“ZTZRG（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）p（dz，dt）#。（QP3）接下来，将QP1、QP2和QP3的限制 接近零。QP1的限值由IM给出→0QP1=lim→0E“ZTZRDδ+ wt公司-G（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）p（dz，dt）#=lim→0E“ZTDδ+ wt公司-（Zδtδt+ wtφt（dz））dAt#=-E“ZTDδt-wtφt（δt）dAt#。最后一个等式源自支配收敛定理，因为lim→0Dδ+ wt公司-= Dδt-几乎可以肯定。QP2的限值由IM给出→0QP2=lim→0E“ZTZRDδ+ wt公司-- Dδt-G（δt- z） p（dz，dt）#=lim→0E“ZTZRG（δt- z） Zt公司-ZRG（δs+ ws系列- z）- G（δs- z）p（dz，ds）！p（dz，dt）#=lim→0E“ZTZRG（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）ZTtZRG（δs- z） ~p（dz，ds）！p（dz，dt）#=lim→0E“ZTZRG（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）Et公司-“ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）#p（dz，dt）#=lim→0E“ZTZRG（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）Et公司-“ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）#p（dz，dt）#=lim→0E“ZTZδtδt+ wtφt（dz）Et-“ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）#dAt#=-E“ZTwtφt（δt）Et-“ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）#dAt#。最后，Lim给出了QP3的极限→0QP3=lim→0E“ZTZRG（δt+ wt公司- z）- G（δt- z）p（dz，dt）#=lim→0E“ZTZδtδt+ wtφt（dz）dAt#=-E“ZTwtφt（δt）dAt#，这是证明的结论。附录B。有界的G^ateaux导数元素S=max{1，{φt（z）}0≤t型≤T，z∈R} <∞ 和δ，w∈ A.

设ηt=max{δt，wt，Nt-}, 这是可预测的，因为每个过程都是可预测的，请注意sup0≤t型≤T（ηT）≤ 4 Esup0≤t型≤T（δT）+4 Esup0≤t型≤T（重量）+ 4 Esup0≤t型≤T（Nt-)< ∞. 然后| hD J（δ），wi |≤E“ZTδ行波管φt（δt）dAt#+ 2 γE“ZTφt（δt）wtZTtZRG（δs- z） ~p（dz，ds）！dAt公司#2 γE“ZTφt（δt）wtDδt-dAt公司#+ (γ + α)E“ZTφt（δt）wtdAt#≤ S'λT Esup0≤t型≤T（ηT）+ 2γS T′λEsup0≤t型≤T |ηT|+2γS T′λEsup0≤t型≤T（ηT）+ （γ+λ）S T Esup0≤t型≤T |ηT|< ∞ .附录C.第二个G^ateaux导数函数J的第一个G^ateaux导数由HD J（δ）给出，wi=E“ZTwtφt（δt）δt- 2γZTtZRG（δs- z） ~p（dz，ds）！- 2γDδt-- (γ + α)!dAt#=E“ZTwtφt（δt）δt- 2γEt-DδT- (γ + α)日期#。设δ，w，ν∈ A、 J（δ）在w和ν方向上的第二个G^ateaux导数定义为ashDJ（δ），w，νi=lim→0hD J（δ+ ν） ，wi- hD J（δ），wi,收敛到hdj（δ），w，νi=E“ZTwtνtφt（δt）δt- 2γEt-DδT- γ - αdAt#+E“ZTwtφt（δt）νt+2γEt-“ZTφs（δs）νsdAs#！dAt#。