动态宏观经济模型中的通货膨胀和投机

2022-5-7 06:52:44

[2]对该模型进行了充分分析，其主要结果是该模型基本上表现出两个不同的平衡点：一个良好的平衡点*Aknowledge：作者感谢第五届金融数学会议（2014年8月，南非克鲁格公园）的与会者，会上介绍了这项工作的一部分。这项研究得到了新经济思维研究所（INO13-00011）和加拿大自然科学与工程研究委员会（Discovery Grants）的部分资金支持，其特点是固定的私人债务比率、正的工资份额和就业率，以及以固定的债务比率和零工资和就业为特征的abad均衡。此外，这两个均衡在很大范围内都是局部稳定的，这意味着必须认真对待坏均衡，因为它描述了债务引发危机的可能性。然而，文献[5]中的模型有一个缺点，就是不能用实际值来表示，因此任何货币现象，比如债务贬值螺旋，都只能从中间接推断出来。[7]对此进行了部分修正，其中引入了价格动态，并对私人债务动态背后的内生货币机制进行了深入讨论。然而，在[7]中提出的9维动力系统，除了数值模拟之外，很难进行分析，新引入的价格动态的影响也很难影响。在本文中，我们首先通过采用[7]中提出的价格动态来修改基本的Keen模型，而不采用其他方法。由此产生的系统仍然是三维的，因此[2]中的大部分分析都延续到这个新的环境中。

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2022-5-7 06:52:47

我们首先展示了原始Keen模型中已经存在的平衡点的稳定性条件需要如何进行修改，以用名义术语表示，并包括内流或内流状态。解释基本相同，但一些条件被削弱，而另一些条件则因价格水平动态的增加而得到加强。总的来说，正如数值例子所显示的，可以说货币强调了经济渐近状态的稳定性，无论是可取的还是不可取的。接下来，我们通过增加可用于购买现有金融资产的投机性资金流来扩展模型。按实际价值计算，该扩展已在[5]中提出，但未在[7]中提出的货币模型中进行。据我们所知，我们对Keen模型的一个扩展进行了初步分析，该扩展包含了预测和推测。该模型由一个四维动力系统描述，由此产生了许多有趣的现象。例如，即使在良好的经济均衡状态下，增加投机也可以将健康的正通胀率变为低通胀率。这个平衡点的稳定性也表明了投机对工资收入和物价水平的危险。本文的第三个重要分析贡献是对引入价格动态后出现的新平衡点的描述。这些观点描述了就业率接近于零的经济状况，但通货膨胀足以维持名义工资的正平衡。

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2022-5-7 06:52:52

这种程式化的情况有一种有趣的解释，即实体经济在进入衰退的同时出现强劲的衰退，因此名义工资下降，但对于少数离开工作岗位的工人来说，实际工资保持稳定。此外，这些平衡点也很有趣，因为它们的局部稳定性的充分条件比原始平衡点的条件弱。本文的最终贡献是对带有投机的货币基恩模型的模拟区域上的投机参数进行定性研究。对于一系列有趣的参数，我们得到了四个维度的复杂极限环，这充分说明了劳动力市场、债务融资投资和金融市场投机之间的互动可能产生的丰富动态。论文的结构如下。在第2节中，我们以最简单但与股价一致的形式展示了[5]的Keen模型，该模型具有固定价格指数且无庞氏融资。在第3节中，我们研究了[6]中建议的以加价为导向的价格扩展。我们提供了完整的平衡和稳定性分析。特别是，我们介绍了前面提到的新平衡，并对它们的解释进行了评论。在第4节中，我们介绍了推测维度，重复平衡分析，包括稳定性的必要条件和充分条件，并描述了新的定义平衡区域。第5节致力于之前定义的系统的数值计算和模拟，我们提供了收敛到几个可能平衡点的例子。我们还专门写了一段关于上述极限环现象的出现。2敏锐的模型我们回忆起[5]的基本设置。用Y表示实际产出，并假设它与企业持有的实际资本存量K有关，根据toY=Kν，资本产出比为常数。

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2022-5-7 06:52:55

（1）这一点可以放宽，以纳入[3]中所述的可变容量利用率，但我们不会在这里进行这种推广。然后假设资本根据动态˙K=I演化- δK，（2）其中I表示企业的实际投资，δ是一个恒定的折旧率。公司从内部和外部获得投资资金。内部资金包括支付工资账单后的净利润和现有债务的利息，即∏=pY- W- rB，（3）其中p表示资本和消费品的价格水平，r表示企业支付的利率，B=L- Df表示企业从银行的净借款，即企业贷款和企业存款之间的差异Df。当名义投资与利润不同时，企业会改变其从银行的净借款，即˙B=pI- Π. （4） [5]中的一个关键假设是，企业的投资由I=κ（π）Y给出，其中κ（·）是净利润份额π=πpY=1的递增函数- ω - rb，（5）式中ω=WpYand b=BpY（6）分别表示工资和企业债务份额。假设投资函数κ在R上是可微的，也验证了[2]中引用的以下技术条件：limπ→-∞κ（π）=κ<ν（α+β+δ）<limπ→+∞κ（π），（7）limπ→-∞πκ(π) = 0 . （8）用N表示总劳动力，用`表示雇佣工人的数量，我们可以定义每名工人的生产率a、就业率λ和名义工资率asa=Y`，λ=`N=YaN，w=w`。（9）然后，我们假设生产率和劳动力遵循形式为˙aa=α，˙NN=β，（10）的外生动力学，对于常数α和β，这导致就业率动力学˙λ=˙YY- α - β. （11） [5]中的另一个关键假设是，工资率的变化通过经典的菲利普斯曲线与当前就业水平相关，也就是说，工资率根据˙ww=Φ（λ），（12）演变，其中Φ（·）是就业率的递增函数。

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2022-5-7 06:52:58

函数Φ定义在[0,1]上，取R中的值。假设它在该区间上可微分，垂直渐近λ=1，并满足Φ（0）<α，（13），从而存在下文（17）-（19）中定义的平衡点。[5]中的模型假设所有变量均以实数形式引用，这相当于假设价格水平为常数并归一化为1，也就是说，p≡ 1.在这个假设下（我们将在下一节中放松），很容易看到工资份额、就业率和债务份额的动态降低为三维系统˙ω = ω [Φ(λ) - α] ˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙b=κ（π）- π - bg（π）（14），其中g（π）：=˙YY=κ（π）ν- δ、（15）是给定利润份额的经济增长率π=1- ω - rb。[2]对（14）的性质进行了广泛分析，结果表明，该模型基本上表现出两个具有经济意义的平衡点。第一个对应于平衡利润份额π=g-1(α + β) = κ-1（ν（α+β+δ）），（16），我们在系统（14）中替换它以获得ω=1- π- rb（17）λ=Φ-1（α）（18）b=κ（π）- πα + β. （19）当且仅当0<r时，该点是局部稳定的1 + κ(π)bν- 1.< α+β（20）它对应于一个理想的平衡点，有固定的债务、正的工资和就业率，经济以其潜在的速度增长，即以平衡的增长率tog（π）=κ（π）ν增长- δ=α+β，（21）即人口和生产力增长之和。相比之下，另一个平衡点是一种不良的经济状态，其特征是（ω，λ，b）=（0，0+∞), 随着投资速度趋近极限→-∞κ（x）=κ。当且仅当ifg时，该平衡是稳定的(-∞) =κν- δ<r。

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2022-5-7 06:53:01

（22）[2]中的关键点是，对于大范围的真实参数，条件（20）和（22）都很容易满足，这意味着系统表现出两个局部稳定的平衡，并且任何一个都不能先验地排除。（14）中的模型可视为表1中资产负债表、交易和资金流动所代表的股流一致模型的特例。要看到这一点，请注意，尽管[5]没有明确地为银行和家庭的消费建模，但总消费满意度必须为Y- I=（1）- κ（π））Y，（23），因为模型中没有存货，这意味着总产出被隐含地假设为作为投资或消费出售。换句话说，消费完全由企业的投资决定。模型的这一缺陷在[3]中得到了解决，模型中包括存货，消费和投资是独立规定的。然而，本文采用了原始规定（23）。

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2022-5-7 06:53:05

进一步假设rf=rL=r，p=1导致（14）中的系统。家庭企业银行资产负债表资本存量+pK+pK存款Dh+Df-D.贷款-L+L 0Sum（净值）xHxFxBx交易当前资本消费-pCh+pC-投资+pI-pI 0会计备忘录[GDP][pY]工资+W-W 0存款利息+rhDh+rfDf-rhDh- RFD贷款利息-rLL+rLL 0财务余额Sh∏-pI Sb股本中的资金流动+pI+存款中的P变化+˙Dh+˙Df-˙D 0贷款变化-˙L+˙L 0列和Sh∏sbp净值变化˙Xh=Sh˙Xf=∏+（˙p- δp）K˙Xb=Sb˙x表1：三部门经济的资产负债表、交易和资金流动。3.带有流线型的敏锐模型3。1规范和平衡点我们遵循[1]和[7]并考虑形式为˙ww=Φ（λ）+γi，（24）i=˙pp=-ηp1.- ξwap= ηp（ξω）- 1）（25）对于常数0≤ γ ≤ ηp>0和ξ≥ 1.第一个等式表明，工人根据（12）中的劳动力市场现状进行工资谈判，但也考虑了观察到的通货膨胀率i。常数γ测量货币幻觉的程度，γ=1对应于工人在谈判中完全融入通货膨胀的情况，这相当于[5]中假设的实际工资谈判。第二个等式假设长期均衡价格由加价ξ乘以单位劳动力成本w/a给出，而观测到的价格通过指数形式的滞后调整（松弛时间为1/ηp）收敛到这一点。（24）-（25）中的工资价格动态导致修正系统˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙b=κ（π）- π - b[i（ω）+g（π）]，（26），其中π=1- ω - rb和i（ω）=ηp（ξω）- 1).

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2022-5-7 06:53:08

注意，引入价格动态（25）不会增加模型的维数，因为价格水平p不会明确进入系统（26），并且可以通过求解（25）得到（26）的给定解。该模型与第2节中的模型具有相同类型的平衡点，加上两个新的平衡点。我们从原点开始。也就是说，将平衡利润率定义为（16），替换为（26）将导致良好的平衡ω=1- π- rb（27）λ=Φ-1[α + (1 - γ） i（ω）]（28）b=κ（π）- πα+β+i（ω）。（29）因此我们看到，如果ξ≥ 1/ω，那么i（ω）=ηp（ξω）- 1) ≥ 0，也就是说，该模型是渐近线性的。在这种情况下，很容易从（28）中看出，均衡就业率高于基本模型中的相应值（18）。相反，如果ξ<1/ω，则该模型是渐近衰减的，即i（ω）<0，导致较低的就业率失衡。这让人想起了对飞利浦曲线的常见解释，即失业和通货膨胀之间的权衡，但在这里，飞利浦曲线是一种保持平衡的关系，而（24）中使用的飞利浦曲线则是一种控制下注率动态的结构性关系。插入binto（27）的表达式，我们看到ω是二次方程aω+aω+a=0的解，其中=ξηp>0a=α+β- ηp（1+ξ（1）- π））a=（ηp- α - β)(1 - π） +r（κ（π）- π）我们自然会寻求上述方程的非负解。对于ηp的低值，（25）中的价格水平调整缓慢，我们检索到一个类似于第2节基本Keen模型的行为。例如，如果ηp<α+β和π≤ min（1，ν（α+β+δ）），（30）然后a<0，存在唯一的正值ω。然而，如果ηp足够大，即ηp>α+β，那么我们需要进一步考虑判别条件（（α+β）- ηp）+ηpξ（1）- π））>4ηpξr（κ（π）- π) .

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2022-5-7 06:53:12

（31）如果这个条件成立，只要π<1，那么a>0，并且至少有一个解ω是非负的，并且通常不止一个。如果平衡点（ω，λ，b）存在，其稳定性将在第3.2.1节中进行分析。同样，通过研究q=1/b的修正系统（ω，λ，q），可以发现不良平衡，即，˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（1- ω - r/q）- α - β] ˙q=q[g（1- ω - r/q）+i（ω）]- q[κ（1）]- ω - r/q）- (1 - ω - r/q）]，（32），其中点（0,0,0）是一个平凡的平衡，对应于（ω，λ，b）=（0,0+∞).第3.2.2节分析了这种平衡的稳定性。我们现在关注货币模型（26）的一个新特征，即在较低的就业率下，货币贬值制度可能会补偿名义工资的下降。我们从非零工资份额、零就业和有限负债率的均衡开始，其中ω=ξ+Φ（0）- αξηp（1）- γ）（33）和b解非线性方程b[i（ω）+g（1）- ω- rb）- r] =κ（1）- ω- rb）- 1 + ω. （34）注意i（ω）=Φ（λ）- α > Φ(0) - α=i（ω），因此（33）中以工资份额ω为特征的任何平衡点都是基于条件（13）的渐近偏差。由于（9）和（1），零就业率意味着产出和资本都在均衡状态下消失。在（6）-（9）之后，工资总额W为零，但实际人均工资W/p继续以与生产率相同的速度渐进增长，即α，因为Wp=ωa（35）和ω→ ω. 这种情况似乎是人为的，必须加以限定。当这种均衡在当地是稳定的时，它说明了一种经济状况，即就业率下降不会导致劳动力减少的实际工资损失，因为总体价格水平相应下降。

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2022-5-7 06:53:15

该州仍然很糟糕，但表明经济危机不一定会转化为较低的平均实际工资。此外，我们从（6）中可以看出，在均衡状态下，a也会下降到B=0，这与包括银行活动在内的整体经济放缓相对应。正如我们将在稳定性分析中看到的，更重要的是在投机的情况下，这种情况不太可能发生。名义工资的减少加强了利润份额，从而扩大了信贷。债务减少的可能性有利于债权人，却损害了债务人的利益，这反过来又促进了债务比率的上升。为了研究这种情况下债务比率爆炸的可能性，如果使用变量的变化导致修改后的系统（32），那么（ω，0，0）是该系统的平衡点，对应于平衡点（ω，0+∞) 原始系统（26）。因此，我们看到，如果（33）中的一点或两点保持了当地稳定，我们正在处理与债务危机相关的经济危机的例子，这些危机很可能（但不一定）伴随着债务危机。3.2局部稳定性分析3。2.1良好平衡：ω>0和λ的情况下，存在第3.1节定义的（ω，λ，b）∈ (0, 1). 对系统（26）局部稳定性的研究是通过雅可比矩阵J得出的Φ(λ) - α + (1 - γ） ηp（1）- 2ξω) ωΦ(λ) 0-λκ（π）νg（π）- α - β -rλκ（π）ν（b）- ν)κ(π)ν+ 1 - ηpξb0rκ（π）（b）- ν） r+ν- g（π）- i（ω）. （36）在平衡点（ω，λ，b），g（π）=α+β，如（21）所述，这个雅可比矩阵变成了（ω，λ，b）=KK-K0-rKK- ηpξb0 K,使用术语sk=（γ- 1） ηpξω<0，K=ωΦ（λ）>0，K=λκ（π）ν>0（37），符号明确，术语sk=κ（π）（b）- ν） ν+1和K=rK- （α+β+i（ω））（38）具有依赖于基本参数的符号。

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2022-5-7 06:53:18

J（ω，λ，b）的特征多项式由K[X]=（K）给出- 十）（KK）- X（K）- 十） )- rKKK- ηpξb. （39）因式分解提供-K[X]=X- X（K+K）+X（KK+KK）+KKK。K=α+β+i（ω）- rηpξb，它为平衡点的稳定提供了必要条件：K<-K-KK>KK，K>0，和（K+K）（KK+KK）>KKK。可以进行数值试验来研究这种情况。注意，如果K>ηpξb，那么kha是三个负根，如果（K- 十）（KK）- X（K）- 十））有三个负根。根据（37），KK>0和K<0，因此，拉特多项式的Routh-Hurwitz准则降低到最后一个条件K<0。对Kis-thusrηpξb<r有三个负势的充分条件1 + κ(π)bν- 1.< α+β+i（ω）。（40）这种情况类似于（20）的修改。如果b>0，左侧不等式比（20）强，这是预期的。相反，如果i（ω）>0，则（40）的右手边不等式是较弱的条件，这也是预期的。3.2.2坏平衡如第3.1节所述，如果我们研究具有状态空间（ω，λ，q）且q=1/b的修正系统，则出现坏平衡。假设（8），修正系统（32）在（0，0，0）点的雅可比矩阵为jε（0，0，0）=Φ(0) - α + (1 - γ） ηp0κν- α - β - δ 00 0κν- δ - ηp- R. （41）该矩阵与[2]中的矩阵相似。假设（7）成立，当且仅当Φ（0）<α时，坏平衡是局部可解的- (γ - 1） ηpandκν- δ - ηp<r。（42）请注意，特别是对于ηp的高值，上述第一个条件比（13）强，这是在原始基恩模型中稳定不良平衡的必要且有效的条件，而不发生波动（见[2]）。

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2022-5-7 06:53:21

相反，上述第二个条件比条件（22）弱，但具有相同的解释，与利率r.3.2.3新均衡相比，名义增长率取代了实际增长率。我们现在研究第3.1节末尾定义的新均衡上先前计算的雅可比矩阵。首先取点（ω，0，b），ω由（33）定义，bde由（34）定义。我们从（36）J（ω，0，b）中得到=kk0g（π）- α - β0K- ηpξb0 K（43）式中，K，K，kan-Kare由（37）和（61）给出，其中（ω，λ，b）被（ω，0，b）替换，而Kis中的α+β被g（π）=κ（π）ν替换- δ、 π=1时- ω- rb。因此，（λ，ω，b）的雅可比矩阵是下三角的，这很容易为J（ω，λ，b）提供特征值，以及局部稳定性的条件：（γ）- 1） ηpξω<0，g（π）<α+β和r1 + κ(π)bν- 1.< g（π）+i（ω）。（44）上述第一个条件始终是满足的。然而，当π>π时，第二个条件就不成立，必须进行数值检查，因为（34）没有显式解。第三种情况让人想起（20）和（40），也必须用数字进行检查。转向平衡（ω，0+∞), 也就是说，在修改后的系统（32）中，除ωΦ（0）中的一个零项和对角线项发生变化外，由（33）定义的点处的雅可比矩阵Jε（ω，0，0）与（41）中的相同。因此，局部稳定的条件为（γ）- 1） ηpξω<0和κν- δ+i（ω）<r。

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2022-5-7 06:53:24

（45）同样，第一个条件总是满足的，而第二个条件应该被解释为名义增长率和名义利率之间的比较，类似于（42）中关于不良均衡（0,0+∞).4敏锐的模型，充满了幻想和猜测。1在[5]中，通过将债务动力学方程（4）修改为˙B=pI，对出于投机目的的假设和均衡借贷进行了建模- π+F，（46），其中，附加术语F对应于仅用于购买现有金融资产的新信贷流量。在[5]中，F本身的动力学被建模为˙F=ψ（g（π））Y，（47），其中ψ（·）是经济增长率g（π）的递增函数。在[2]中给出的分析中，为了确保F的正性，将其改为˙F=ψ（g（π））F，（48）。然后证明了变量（ω，λ，b，f）的扩展系统（其中f=f/Y）承认（ω，λ，b，0）是一个良好的平衡，ω，λ，bde为（17）-（19），但局部稳定性要求除了先前的条件（20）之外，ψ（α+β）<α+β，（49）。此外，[2]还提供了对应于（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, 和（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, +∞), 并表明这些比Basicken模型中的相应条件更宽。换句话说，形式（48）的投机性流动的增加使得良好均衡更难实现稳定性，而不良均衡更容易实现稳定性。在本文中，我们回到了[5]中的原始公式，因为它允许对投机信贷的流动进行更灵活的建模，正如我们将看到的，在均衡时，投机信贷的流动可以是正的，也可以是负的。

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2022-5-7 06:53:27

此外，根据上一节，我们继续假设形式为（24）-（25）的工资价格动态，并将（47）修改为˙F=ψ（g（π）+i（ω））pY，（50），其中ψ（·）现在是名义产出增长率的递增函数。将相应的状态变量定义为f=f/（pY），则表明该模型对应于四维系统˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙b=κ（π）- π - ω（π）π+g（π）π+i（ω）- f[g（π）+i（ω）]。（51）与模型（26）类似，随着熟悉的平衡出现了新的平衡。加上推测维度f，我们可以看到通过定义πasin（16）得到的点（ω，λ，b，f），使得g（π）=α+β，并设置ω=1- π- rb（52）λ=Φ-1[α + (1 - γ） i（ω）]（53）b=κ（π）- π+fα+β+i（ω）（54）f=ψ（α+β+i（ω））α+β+i（ω）（55）是（51）的良好平衡。找到这一点需要使用i（ω）=ηp（ξω）的定义同时求解（52）、（54）和（55）- 1). 考虑到变量X=α+β+i（ω）的变化，这相当于求解以下方程：X+（ηpξ（π- 1) - α - β+ηp）X+rηpξ（κ（π）- π） X+rηpξψ（X）=0。（56）由于（56）的多项式部分是三阶的，它至少与非递减项rηpξψ（X）相交一次，这意味着（56）至少存在一个解。当且仅当（56）的对应解验证X>α+β时，良好平衡满足ω>0- ηp.如我们所见，假设α+β+i（ω）>0，正平衡投机流跳出一个高平衡借贷比率区间，因此，与没有投机的模型的平衡值相比，较低的平衡工资份额ω。

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2022-5-7 06:53:30

第4.2.1节分析了该平衡的稳定性。与[2]类似，变量x=1/f和v=f/b的变化允许我们研究（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, ±∞) 和（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, f0，∞) 其中f0，∞=ψ（g）(-∞) - ηp）g(-∞) - ηp.（57）因此，投机流有两种可能的危机状态。一个对应于一个过滤器f0，∞对应于金融流量F0，∞= 0（因为每当λ=0时Y=0）。另一个对应于f的爆炸，但速度比b低。我们参考[2]进行完整解释。第4节研究了这两类平衡的局部稳定性。分别为2.3和4.2.2。接下来，我们考虑平衡（ω，0，b，f），其中ω如（33），bsolvesb所示κ(1 - ω- rb）ν- i（ω）= κ(1 - ω- rb）- (1 - ω- rb）+f.和f=ψκ(1-ω-rb）ν- δ+i（ω）κ(1-ω-rb）ν- δ+i（ω）。（58）如第3节所述，尽管状态变量采用了单位值，但这种平衡必须被解释为不良平衡。该解释延伸至f，这导致财务流量f=fpY=0。第4.2.1节分析了该平衡点的稳定性。最终可能性对应于平衡点（ω，0+∞, ±∞) 和（ω，0+∞, f3，∞),式中ω如（33）和F3所示，∞=ψ（g）(-∞) + i（ω））g(-∞) + i（ω）。（59）第4.2.2节和第4.2.3节研究了这些平衡的稳定性。总的来说，这个体系表现出一个良好的平衡点和七个不同的不良平衡点，这证实了托尔斯泰关于不快乐状态多重性的观点。4.2局部稳定性分析4。2.1通过系统（51）研究了良好平衡（ω，λ，b，f）和不良平衡（ω，0，b，f）的有限平衡。

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能者818

2022-5-7 06:53:34

该系统的雅可比J（ω，λ，b，f）由下式给出：-(1 - γ） ηpξωΦ（λ）0-λκ（π）νg- α - β -rλκ（π）νbκ(π)ν- ηpξ+ 1.- κ（π）0受体bκ（π）ν+1- κ(π)- （g+i）1κ(π)ν- ηpξ（f）- ψ（g+i））0rκ（π）ν（f- ψ（g+i））-（g+i）（60）g=κ（1- ω - rb）/ν- δ和i=ηp（ξω）- 1). 在平衡点（ω，λ，b，f），它变成KK0-K0-rKK- ηpξb0 Kκ(π)ν- ηpξk0rκ（π）νK-（α+β+Ⅰ）在（37）和（38）中定义了K、K、K和Kalready，K=f- ψ（α+β+i）。（61）特征多项式由k[X]非平凡地给出=（α+β+i）+XK[X]+rKκ（π）ν（X）- K） X+ηpξKK= X+aX+aX+aX+a，其中=-K- rKa=KK+KK- （α+β+i）（K+K）- rKκ（π）νa=（α+β+i）KK+rηpξbKK- rKκ（π）νKa=-KK（α+β+i）K+rKηpξ对于i=0到4乘以（37），K=（α+β+i）- rηpξ能带最终为（38），Kby（61）。这种情况下的Outh-Hurwitz标准由AI>0表示≤ 我≤ 3、aa>a和aaa>a+aa。这一问题预计只能通过数值求解。对于新的平衡点（ω，0，b，f），在排列ω和λ的顺序并定义π=1后，（60）变成- ω- rb:g（π）- α - β 0 0 0ωΦ(0) -(1 - γ） ηpξω0 00 bκ（π）ν+ηpξ+ 1.- κ（π）rbκ（π）ν+1- κ(π)- （g+i）1κ（π）ν+ηpξ（f+ψ（g+i））rκ（π）ν（f+ψ（g+i））-G- 我前两个特征值由g（π）给出- α-β和（γ）- 1） ηpξω<0，而右下2×2平方矩阵的特征方程由下式给出：rκ（π）ν（b）- ν） +r- g（π）- i（ω）- 十、（X+g（π）+i（ω））+rκ（π）ν（f）-ψ（g（π）+i（ω））二阶多项式的Routh-Hurwitz条件是方程所有系数的正性。因此，当且仅当ifr时，平衡点是局部稳定的1 + κ(π)bν- 1.> 2（g（π）+i（ω））、g（π）<α+β和ψ（g（π）+i（ω））>f。第一个条件再次调用（20）、（40）和（44），但有一个乘法器使得条件在这里更强。

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2022-5-7 06:53:37

第二个条件也是多余的，如果π>π，它在这一点上失败，就像没有推测的模型一样（26）。最后一个条件是一个额外的条件，使得稳定性更难达到。4.2.2有限债务和有限投机的均衡我们改变变量来研究均衡（0,0+∞, f0，∞) 和（ω，0+∞, f3，∞) 式中ω，f0，∞和f3，∞分别在（33）、（57）和（58）中定义。修改q=1/b提供了新系统˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙q=q[g（π）+i（ω）]- q[κ（π）- π+f]˙f=ψ（g（π）+i（ω））- f[g（π）+i（ω）]，现在π=1- ω - r/q.对于两个平衡点，q=0，我们得到g=κ/ν- δ和κ（π）=0。此外，根据（8），limq→0κ（π）q=limq→0κ（π）q=0。考虑到这些特定值，该系统的雅可比矩阵如下所示：Φ(0) - α - (1 - γ） ηp（2ξω）- 1) ωΦ(λ) 0 0-λκ(π)νκν- δ - α - β 0 00 0κν- δ+i- R0κ(π)ν- ηpξ（f）- ψ（g+i））0-κν+ δ - 我对于第一个平衡点，ωΦ（λ）项消失，而对于第二个平衡点，-λκ(π)/ν = 0. 在这两种情况下，矩阵在排列上都是下三角形的，直接提供了特征值以及平衡局部稳定的必要和充分条件，这两个点几乎相同。对于第一点，雅可比矩阵中的第一项提供了（42）中的第一个条件，而第二点的条件是（γ）- 1） ηpξω<0且始终满足。假设（7）成立，局部稳定性的其他条件降低到0<κν- δ+i（ω）<r。

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2022-5-7 06:53:40

（62）由于i（0）<i（ω），因此第二个点（工资份额为正）在比第一个点更强的条件下是局部稳定的。4.2.3有限债务和有限投机的不良均衡系统的第二次修改是v=f/b=q/x，x=1/f，提供˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙v=vxψ（g（π）+i（ω））- v[x（κ（π）- π） +1]˙x=x[g（π）+i（ω）]- xψ（g（π）+i（ω）），现在表现出两种平衡：（0,0,0,0）和（ω，0,0,0）。第一个与[2]类似，对应于债务爆炸性和纯金融投资爆炸性的不良均衡。请注意，债务率b的增长速度远远快于金融投资率f，因此爆炸性债务相当于经济实体和金融部门的庞氏骗局。第二点也有同样的解释，通胀支撑着正工资。在这两种情况下，λ=v=x=0，g（π）=κ/ν- δ和from（8），lim | v |+x|→0κ1.- ω -rvx五、+五、+十、+vx+十五+vx= 0 .两点上的雅可比矩阵的形式如下Φ(0) - α - (1 - γ） ηp（2ξω）- 1) ωΦ(0) 0 0κν- δ - α - β 0 00 0 -r 00 0 g+i对于点（0,0,0,0）的局部稳定性，我们需要（42）中的第一个条件，而类似于上面的条件（γ）- 1） ηpξω<0，因为（ω，0，0）的局部稳定性总是满足的。条件（7）提供了第二个条件，r≥ 第三个是0，κν- δ+i（ω）<0表示最后一个条件。注意两件事。首先，i（ω）>i（0），所以和前面一样，最后一个条件适用于点（0,0,0,0）的更大范围的参数。

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2022-5-7 06:53:43

第二，与[2]类似，该条件与（62）部分互补，因此，如果具有有限性的坏平衡不是局部稳定的，则具有有限性投机的坏平衡具有最大的可能性。5数值模拟和定性分析5。1参数、平衡和稳定性5。1.1基本模型我们从之前的工作中获取了大部分价值，请参见[5]和[2]。我们选择基本经济常数为（α，β，δ，ν，r）=（0.025,0.02,0.01,0.03）。（63）选择Phillips曲线为Φ（λ）=φ（1）- λ)- φ（64）带（φ，φ）=0.041- 0.04,0.041 - 0.04所以Φ（0.96）=0和Φ（0）=-0.04. 投资函数由κ（π）=κ+exp（κ+κπ）（65）和（κ，κ，κ）=(-0.0065, -5, 20) .满足了所需的条件（7）和（8）。我们回顾了[2]的结果：由于条件（20）已满足，因此仅存在局部稳定的可重复良好平衡（ω，λ，b）=（0.8361，0.9686，0.0702）。我们注意到，根据第（16）条，对应于该平衡的利润份额为π=0.1618。（66）此外，坏平衡（ω，λ，b）=（0，0+∞) 也是局部稳定的，因为（22）也是稳定的。除了第2节的基本Keen模型中存在的参数外，我们需要为第3节中的模型选择参数ηp、ξ和γ，以及第4.5.1.2节Keen模型的函数ψ。我们记得，参数ξ决定了良好的平衡是渐进的波动（ξω>1）还是波动（ξω<1）。如果ξ=1+1，价格水平是渐近不变的- ωω，其中1的第一个代理-ω、忽略利息支付，由π给出，它直接作为（66）中外生固定参数的函数给出。

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2022-5-7 06:53:46

方程中的替换提供了ξ=1.193，我们选择了一个稍高的值，以确保在平衡时处于一种波动状态，同时与经验估计一致（见[8]）。另一方面，参数ηp反映了价格调整到其长期目标的速度。我们已经在第3节中提到了这个参数的重要性。为了区别于[2]中分析的非货币模型，我们取ηp=4，表示三个月的平均调整期。因此，我们采用如下附加参数：（ηp，ξ，γ）=（4，1.2，0.8）。（67）根据这个参数化，我们得到方程aω+aω+a=0的两个正根，即ω+= 0.8372ω-= 0.8250，（68）对应于两个平衡点（ω+，λ+，b+）=（0.8372，0.9695，0.0498）和（ω-, λ-, B-) = (0.8250, 0.9665, 0.6602) . （69）第一点导致i+=1.838%的通货膨胀率，而第二点导致i+=1.838%-=-4.022%，分别对应于与基本情况λ=0.9686相比的更高和更低的均衡就业率，与以下等式（27）-（29）一致。然而，第3.2.1节中描述的局部分析公式断言，在这种情况下，只有第一点是局部稳定的。我们还用有限的工资份额、有限的债务和零就业率来检验新的不良均衡。（33）的计算得出ω=0.7656。求解（34）提供b=-0.9539. 第3.2节中的稳定性分析表明，正如预期的那样，这一点是局部不稳定的。实际上，这种情况下的均衡利润份额为π=0.2535，这意味着非常高的投资份额κ（π）。因此，（44）的第二个条件不能成立。有限债务下两种可能的不良均衡的稳定性也很容易分析。

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2022-5-7 06:53:49

通过i（ω）<0给出的偏差，我们得到了κν- δ+i（ω）<r，（70），所以（42）中的第二个条件成立，并且（ω，0+∞) 当地情况稳定。然而，当参数化ηp=4和γ=0.8时，（42）的第一个条件失效，因此（0,0+∞) 在当地并不稳定。5.1.3带波动和推测的Keen模型为了完成模型，我们定义了[2]中的函数ψ：ψ（g）=ψ（eψ（g-ψ)- 1），（71）与（ψ，ψ，ψ）=（0.25,0.02,1.2）。通过数值求解（56）找到平衡点。该算法收敛到一个唯一解，并提供（ω，λ，b，f）=（0.8303,0.9679,0.2635,0.0049），（72），相应的扩散率等于i=-1.18%. 根据第4.2节提出的标准，良好的平衡是局部稳定的。此外，由于fis为正值，新信贷的定期流动在均衡时进入投机性融资，如第3节所述，（72）中的债务份额高于（69）中的第一均衡，工资份额低于预期。这是导言中提到的一个有趣的结果，即在系统中引入模拟将一个负平衡转变为负平衡。对（33）中给出的ω的替代均衡的研究提供了以下具有有限债务和有限投机流的均衡点：（ω，0，b，f）=（0.7656，0，-0.6820,0.1006），（73），渐近膨胀率i（ω）=-32.50%. 出于与没有投机行为相同的原因，当地的稳定条件在债务份额有限的情况下并不成立，因此仍然是毫无意义的。关于固定负债率的不良均衡，我们在数值上得出了上述κν的通货膨胀率- δ+i（ω）<0，这意味着具有固定负债率和固定投机的坏均衡的局部稳定性，以及具有固定负债率和固定投机的坏均衡的不稳定性。

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2022-5-7 06:53:53

此外，（42）中第一个条件的失败仍然存在，这意味着零工资份额的平衡点也不稳定。因此，本例中唯一局部稳定的坏平衡点由（ω，0+∞, ±∞), 也就是说，对应于正工资份额ω、零就业、固定负债率和固定投机流动率。5.2动力学和行为学5。2.1基恩模型具有[2]中强调并在第2节中回顾的影响，对于广泛的参数范围，基恩模型具有两个明确的局部可分析平衡点。[2]中的数值模拟也表明，没有明显的奇异吸引子：相空间被数值划分为两个互补区域，分别是好平衡和坏平衡的吸引盆地。带有膨胀（26）的Keen模型增加了前一小节（67）中确定的三个额外参数。这些参数的变化有以下影响。首先，ηpand（1- γ）正如预期的那样，对系统的振荡有抑制作用。回想一下，ηpis是给定工资份额的价格调整速度，而γ是工资谈判中考虑的通货膨胀比例。它们还改变了良好平衡点的价值。预计当地吸引人的盆地也会受到影响，但这里并不追求这一点。下图1显示了ηpand（1）的阻尼效果- γ）关于就业率λ的振荡行为。参数ξ更具影响力。它的值对条件（31）有着至关重要的影响，因此稍微降低加价可能会导致缺乏良好的平衡点。

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2022-5-7 06:53:56

图2显示了这一点，其中向坏平衡（ω，0+∞) 首先似乎收敛到良好平衡的阻尼振荡之后出现。与基本的基恩模型（14）相比，三维货币基恩模型（26）是研究价格参数单独影响的一个特权框架。在展示新的不良经济形势的同时，它也显示出向均衡点的加速收敛，从而使经济形势更加稳定，无论结果是好是坏。图1：系统（26）中变量λ（t）的收敛轨迹，初始值（ω，λ，b）=（0.9，0.9，0.3）和第5节定义的参数（ηp，γ除外）。图2：系统（26）中变量ω（t）的轨迹，初始值（ω，λ，b）=（0.9，0.9，0.3）和第5节中定义的参数，除了ξ.5.2.2与三维情况类似的波动和推测的Keen模型外，价格参数ηpand（1）的值越高- γ），当经济收敛到良好的平衡点（ω，λ，b，f）时，抑制振荡的速度越快。当我们取ηpin的低值时，情况非常类似于带有[2]推测的Keen模型，图3显示了参数ηp=0.4的系统（51）的这种轨迹。然后，人们可以看到由于不同的因素而产生的两种规模的振荡。短期波动已经存在于系统（14）中：它们由工资-就业变化给出，在古德温模型中被解释为商业周期，并通过使用信贷来补偿工作的资本可用性而受到长期抑制。衰减速度也受到松弛参数ηp的很大影响，该参数调整资本价格和名义增长，以维持工资要求。长期变化是由于财务流量f的调整。

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2022-5-7 06:54:00

参数ψ越高，这些函数越短、越宽。该参数表示流量F对名义增长产出的敏感性。图3：系统（51），（ω，λ，b，f）=（0.85,0.85,0.5,0.1）的收敛轨迹，以及第5节中定义的参数。现在让我们回到初始参数化（67），ηp=4。这里的兴趣是分析投机函数ψ的影响，这在第4.2.1节的局部稳定性分析中并不明确。（71）的形式意味着ψ>0当且仅当g（π）+i（ω）>ψ，因此最后一项代表投机方向的阈值（金融市场内外）。根据参数ψ的值，系统表现出良好平衡的局部稳定性或吸收极限环，前提是我们从“良好”初始状态（ω，λ，b，f）开始。即使良好平衡点（72）在理论上仍然是局部稳定的，它的吸引盆地也非常小。从数值上接近良好平衡点开始，这个轨道实际上会在一个非常长的时间（+1000年）内收敛到一个复杂的极限环。图4说明了这种说法。借助图5，极限环可描述如下。在低债务状态下（大约9年和10年），经济开始以小周期的振荡发展。图4：一条在良好平衡点附近开始并收敛到极限周期的轨迹。左：相位子空间（λ，b，f）中的投影。右：相位子空间（ω，b，f）中的投影。在高就业率和高工资比例时期，以及高利润率和低通货膨胀率时期之间。在此期间，通货膨胀和实际增长相互抵消，名义增长有一个稳定但缓慢的路径。

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