配对交易规则的最优切换：粘性解方法

2022-5-7 06:58:26

配对交易规则的最优切换：一种粘性解逼近方法，曼彻斯特国立大学霍志明市NGOJohn von Neumann（JVN）研究所。jvn的非ZF组织。埃杜。在巴黎第七大学迪德罗分校、CREST-ENSAE分校和JVN数学研究所，都有一个关于饮食可能性的报告。巴黎迪德罗大学。2014年12月25日摘要本文研究了配对交易规则的最优分割问题。我们考虑了两个相关资产，其利差由随机波动率的均值回复过程建模，最优配对交易规则被描述为三种状态之间的非最优切换问题：仓位（无持有股票）、做多做多和做多做多。每笔交易均收取固定佣金。我们使用粘性解的方法证明了存在性，并通过准代数方程的解析来明确刻画切点。我们通过数值模拟来说明我们的结果。关键词：配对交易，最优切换，均值回复过程，粘性解。理学硕士分类：60G40、49L25。JEL分类：C61，G11。1介绍成对交易包括同时在资产a和资产B中的一个中持有多头头寸，在另一个中持有空头头寸，以消除市场贝塔风险，并且只暴露于由价差决定的相对市场变动。埃尔曼[7]、维迪亚穆蒂[18]和埃利奥特（Elliott）、范德霍克（Vander Hoek）和马尔科姆（Malcom）[9]都有关于配对交易的简要历史和讨论。本文的主要目的是通过随机控制方法对这些规则进行数学推理，并找到最佳切割效果。近年来，人们用随机控制方法研究了配对交易问题。

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2022-5-7 06:58:29

Mudchanatongsuk、Primbs和Wong[13]考虑成对交易的自融资投资组合策略，通过OrnsteinUhlenbeck过程对一对股票价格之间的对数关系进行建模，并利用该过程制定投资组合优化，通过相应的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程以封闭形式获得该控制问题的最优解。它们只允许以相等的美元金额做空一只股票，做多另一只股票。Tourin和Yan[17]研究了同样的问题，但允许在每个股票中使用任意数量的策略。另一方面，与其使用自我融资策略，不如专注于确定最佳切分，即当利差存在时，交易区域的边界。这一问题与均值回复资产交易中的最优买卖规则密切相关。Zhang和Zhang[19]研究了最优买卖规则，他们通过Ornstein-Uhlenbeck过程对基础资产价格进行建模，并考虑由两种机制决定的最优交易规则：买卖。这些制度由两个阈值级别定义，每项交易收取一笔已执行的交付成本。他们使用经典验证方法来寻找值函数，作为相关HJB方程（准变量不等式）的解，并通过平滑技术获得最佳阈值。孔的博士论文[10]研究了同样的问题，但他从三个方面考虑了交易规则：买入、卖出和做空。Song和Zhang[16]使用相同的方法来确定最佳配对交易阈值，他们通过Ornstein-Uhlenbeck过程对A和B股票价格的差异进行建模，并考虑由两种机制确定的最佳配对交易规则：多头A空头B和流动头寸（无持有股票）。

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2022-5-7 06:58:33

Leungan和Li[11]研究了根据交易成本打开或关闭头寸的最佳时机，以及在Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型下止损水平的影响。他们直接构造价值函数，而不是使用变分不等式方法，通过将价值函数描述为报酬函数的最小凹主函数。在本文中，我们考虑了宋和张[16]中的成对交易问题，但我们的模型设置和解决方法有所不同。我们考虑了两个相关资产，它们的扩散是由一个更一般的随机波动率均值回复过程建模的，最优对交易规则基于三种状态之间的最优切换：浮动（无持有股票）、多头和空头，反之亦然。每笔交易收取固定佣金成本。我们使用粘性解的方法来解决我们的最优切换问题。实际上，通过结合粘度解方法、平滑特性和Pham、Ly Vath和Zhou[15]中证明的粘度解的唯一性结果，我们能够直接推导出切换区域的结构，以及我们的值函数的形式。这与经典验证方法形成对比，在经典验证方法中，解决方案的结构应该是临时猜测的，并且必须检查它是否满足相应的HJB方程，这在两个以上区域的最佳切换情况下并非微不足道。论文的结构如下。在第2节中，我们将交易对描述为具有三个区域的非最优切换问题。在第3节中，我们陈述了由粘性意义下的值函数和对交易机制的定义所满足的变分不等式系统。

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mingdashike22

2022-5-7 06:58:36

在第4节中，我们陈述了切换区域的一些有用性质，推导了值函数的形式，并通过依赖值函数的平滑特性获得了最佳切点。在第5节中，我们用数值例子来说明我们的结果。2对交易问题让我们考虑两个相关资产之间的利差X，比如A和B，由一个带边界的回复过程建模`-∈ {-∞, 0}和`+=∞:dXt=u（L- Xt）dt+σ（Xt）dWt，（2.1），其中W是平面上的标准布朗运动(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P），u>0和L≥ 0是正常数，σ是上的Lipschitz函数(`-, `+), 满足非退化条件σ>0。SDE（2.1）在给定初始条件X=X的情况下，允许一个唯一的强解∈ (`-, `+), 表示为Xx。我们假设`+=∞ 是一个自然边界`-= -∞ 是一个自然边界`-= 0是无法实现的。主要的例子是Ornstein-Uhlenbeck（简称OU）过程或非均匀几何布朗运动（IGBM），将在下一节详细研究。假设投资者从两种资产的浮动头寸开始。当价差扩大到远离平衡点时，她自然会通过购买定价过低的资产，然后出售定价过高的资产来打开交易。接下来，如果价差缩小，她会关闭hertrades，从而产生利润。这种交易规则在实践中在对冲基金经理中非常流行，其切割值由描述性统计数据根据经验确定。本文的主要目的是通过随机控制方法对这些规则进行数学推理，并找到最佳效果。更准确地说，我们将配对交易问题描述为一个具有三个区域的最优切换问题。

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2022-5-7 06:58:40

让{-1,0,1}是一组机制，其中i=0对应于一个流动头寸（无持股），i=1表示一个多头头寸，对应于a的购买和B的出售，而i==-1是X的空头头寸（即卖出a，买入B）。在任何时候，投资者都可以通过从制度i=0转换为制度i=-1（开放出售）或i=1（开放购买）。此外，当投资者处于多头（i=1）或空头（i=-1），她可以通过切换到状态i=0来决定结束她的位置。我们还假设，投资者不可能直接从制度i=-1:i=1，反之亦然，但不首先关闭她的位置。投资者的交易策略由开关控制α=（τn，ιn）n建模≥0其中（τn）是代表交易时间的非递减停止时间序列，τn→ ∞ a、当n变成in fi fity和ιnvaluedin时{-1,0,1}，Fτn-可测，表示在τn直到下一个交易时间确定的位置状态。通过误用符号，我们用αt表示任何时刻的状态值：αt=ι{0≤t<τ}+Xn≥0ιn{τn≤t<τn+1}，t≥ 0，这也表示任何时候差价中的存货价值。我们用gij（x）表示从头寸i转换到j，i，j时的交易收益∈ {-1,0,1}，j 6=i，对于一个扩展值x。开关增益函数由以下公式给出：g（x）=g-10（x）=-（x+ε）g0-1（x）=g（x）=x- ε、其中ε>0是在每个交易时间支付的固定交易费用。注意，我们不考虑函数g-11和G因为不可能从制度i转换=-1 toi=1，反之亦然。

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2022-5-7 06:58:42

通过误用符号，我们还设置了g（x，i，j）=gij（x）。给定初始价差X=X，与转换交易策略相关的有限期限内的预期回报α=（τn，ιn）n≥0由增益函数J（x，α）=EhXn给出≥1e-ρτng（Xxτn，ατ）-n、 ατn）- λZ∞E-ρt |αt | dti。第一个（离散和）项对应于投资者通过成对交易策略获得的（贴现系数ρ>0贴现）累积收益，而最后一个积分项通过因子λ惩罚降低库存风险≥ 0，在交易时间间隔内持有的资产。对于i=0，-1，1，当最大化转换交易策略时，让videnote的值函数与初始位置i，即收益函数isvi（x）=supα∈AiJ（x，α），x∈ (`-, ∞), i=0，-1，1，其中切换控制的集合α=（τn，ιn）n≥0，初始位置为α-=i、即τ=0，ι=i。不可能直接从状态i=±1切换到1通过限制位置i=±1:ifα的策略形式化∈ Aorα∈ A.-1然后ι=0，以确保投资者在开仓前必须先平仓。3 PDE表征在本文中，我们用L表示扩散过程x的最小生成元，即L~n（x）=u（L- x） ~n（x）+σ（x）~n（x）。二阶ρφ的常微分方程- Lφ=0，（3.1）有两个线性独立的正解。如果我们要求其中一个严格递增，另一个严格递减，这些解是唯一确定的（直到乘法）。我们用ψ+递增解表示，用ψ表示-逐渐减少的解决方案。它们被称为（3.1）的基本解，任何其他解都可以表示为它们的线性组合。自从`+=∞ 是一个自然边界`-∈ {-∞, 0}是一个自然的或不可达到的边界，我们有：ψ+(∞) = ψ-(`-) = ∞, ψ-(∞) = 0

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2022-5-7 06:58:47

（3.2）我们还将假设limx→`-xψ-（x） =0，limx→∞xψ+（x）=0。（3.3）典型示例满足上述假设的X融资的两个基本示例是oOrnstein-Uhlenbeck（OU）过程：dXt=-uXtdt+σdWt，（3.4）带有u，σ正常数。在本例中，`+=∞, `-= -∞ （3.1）的两个基本解由ψ+（x）=Z给出∞tρu-1exp-t+√2dt，ψ-（x） =Z∞tρu-1exp-T-√2dt，并且很容易检查条件（3.3）是否满足。o非均匀几何布朗运动（IGBM）：dXt=u（L- Xt）dt+σXtdWt，X>0，（3.5），其中u、L和σ为正常数。在本例中，`+=∞ 是一个自然边界`-= 0是一个不可达到的边界，（3.1）的两个基本解由ψ+（x）=x给出-aU（a，b，cx），ψ-（x） =x-aM（a、b、cx）。（3.6）式中=pσ+4（u+2ρ）σ+4u- （2u+σ）2σ>0，b=2uσ+2a+2，c=2uLσ，（3.7）以及M和U是第一类和第二类的有效超几何函数。此外，通过反超几何函数（见[1]）的渐近性质，基本解ψ+和ψ-满足条件（3.3），且ψ+（0+）=ca（3.8）。在本节中，我们用动态规划方法阐述了值函数的一些一般偏微分方程特征。我们首先陈述了值函数的线性增长性质和Lipschitz连续性。引理3.1存在一些正常数r（取决于σ），因此对于贴现因子ρ>r，值函数在r上是有限的。在这种情况下，我们有0≤ v（x）≤ C（1+| x |），n，十、∈ (`-, ∞),-λρ≤ 六（十）≤ C（1+| x |），n，十、∈ (`-, ∞), i=1，-1和| vi（x）- vi（y）|≤ C | x- y |，x、 y∈ (`-, ∞), i=0，1，-1，对于某些正常数C证明。考虑到无所事事的策略，vand viare的下界很小。让我们关注上限。

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2022-5-7 06:58:50

首先，通过使用It^o公式和Gronwall引理的标准参数，我们对微分X有以下估计：存在一些正常数r，取决于σ的Lipschitz常数，例如E | Xxt |≤ 证书（1+| x |），T≥ 0，（3.9）E | Xxt- Xyt|≤ ert|x- y |，T≥ 0，（3.10）对于某些正常数C，取决于ρ、L和u。接下来，对于与买卖或买卖策略相对应的两个连续交易时间τ和σn=τn+1，我们有：-ρτng（Xxτn，ατ）-n、 ατn）+e-ρσng（Xxσn，ασ-n、 ασn）i（3.11）≤Ehe-ρσnXxσn- E-ρτnXxτni≤ EhZσnτne-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+EhZσnτne-ρtuLdti，其中第二个不等式来自^o公式。当投资者处于浮动状态（i=0）时，投资者可以在第一个交易时间进入状态i=1或i=-1，在第二个交易时间，她必须回到状态i=0。因此，威斯泰州i=0时的策略可以用有限对夫妇的组合来表示：买卖、买卖，例如：州0→ 1.→ 0→ -1.→ 0→ -1.→ 0→ 1.→ 0... 意思是：买和卖，卖和买，卖和买，买和卖，。。。。我们从（3.11）中推断，对于任何α∈ A、 J（x，α）≤ 呃∞E-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+uLρ。回想一下，当投资者从多头或空头仓位（i=±1）开始时，她必须先平仓，然后再开仓，因此对于α∈ Aorα∈ A.-1，J（x，α）≤ |x |+EhZτe-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+EhZτe-ρtuLdti+EhZ∞τe-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+EhZ∞τe-ρtuLdti≤ |x |+EhZ∞E-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+uLρ，使用估计值（3.9）证明了Vi的上限。

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2022-5-7 06:58:53

根据同样的论点，对于与买卖或买卖策略相对应的两个连续交易时间τnandσn=τn+1，我们有：-ρτng（Xxτn，ατ）-n、 ατn）+e-ρσng（Xxσn，ασ-n、 ασn）- E-ρτng（Xyτn，ατ）-n、 ατn）- E-ρσng（Xyσn，ασ-n、 ασn）i≤Ehe-ρσnXxσn- E-ρτnXxτn- E-ρσnXyσn+e-ρτnXyτni≤ EhZσnτne-ρt（u+ρ）|Xxt- Xyt | dti，其中第二个不等式来自它的^o公式。我们推断| vi（x）- vi（y）|≤ supα∈Ai | J（x，α）- J（y，α）|≤ |十、- y |+EhZ∞E-ρt（u+ρ）|Xxt- Xyt | dti，它证明了vi的Lipschitz性质，i=0，1，-1.使用估算值（3.10）。2在续集中，我们定义了一个贴现因子ρ>r，使价值函数得到了充分定义和确定，并满足引理3.1的线性增长和Lipschitz估计。因此，由值函数满足的动态规划方程由一组变分不等式给出：minρv- Lv，v- 最大值v+g，v-1+g0-1.= 0，开(`-, ∞), （3.12）分钟ρv- Lv+λ，v- 五、- G= 0，开(`-, ∞), （3.13）分钟ρv-1.- 吕-1+λ，v-1.- 五、- G-10= 0，开(`-, ∞). （3.14）事实上，Vm方程意味着，在制度0中，投资者可以选择保持浮动仓位，或在价差中以多头或空头仓位开仓，而vi方程，i=±1，意味着在制度i=±1中，她首先有义务平仓，因此在开仓前切换到制度0。

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2022-5-7 06:58:56

通过与[14]相同的论证，我们知道值函数vi，i=0，1，-1是系统（3.12）-（3.13）-（3.14）的粘度溶液，并满足平滑条件。让我们介绍一下切换区域：o从当前位置i=0:S=nx开始开放贸易区域∈ (`-, ∞) : v（x）=最大值v+g，v-1+g0-1.（x） o=S∪ S0-1、Sis开放购买区域和S0-1是开放销售区域：S=nx∈ (`-, ∞) : v（x）=（v+g）（x）o，S0-1=nx∈ (`-, ∞) : v（x）=（v-1+g0-1）（x）o.o从多头仓位i=1:S=nx卖出至收盘区域∈ (`-, ∞) : v（x）=（v+g）（x）o.o从空头仓位i买入收盘区域=-1:S-1=nx∈ (`-, ∞) : 五、-1（x）=（v+g）-10）（x）o和连续区域，定义为开关区域的补集：C=(`-, ∞) \\ S=nx∈ (`-, ∞) : v（x）>最大值v+g，v-1+g0-1.（x） o，C=(`-, ∞) \\ S=nx∈ (`-, ∞) : v（x）>（v+g）（x）o，C-1= (`-, ∞) \\ s-1=nx∈ (`-, ∞) : 五、-1（x）>（v+g）-10）（x）o.4解在本节中，我们重点讨论开关区域的存在性和结构，然后利用关于光滑函数性质的结果，以及值函数粘性解的唯一性结果，推导出值函数的形式，其中通过求解光滑条件方程可以获得最佳切点。引理4.1S- ∞,微升- `ρ + u∩ (`-, ∞), S0-1.uL+`ρ+u，∞,s微升- `ρ + u, ∞∩ (`-, ∞), s-1.- ∞,uL+`ρ+u∩ (`-, ∞),式中0<`:=λ+ρε，`:=λ-ρε ∈ (-`, `).证据让我们∈ S、所以v（\'x）=（v+g）（\'x）。把它写成：ρv的粘性超解- 吕≥ 0，我们得到ρ（v+g）（\'x）- L（v+g）（\'x）≥ 0.（4.1）现在，因为g+g=-2ε<0，这意味着∩ S=, 所以说“x”∈ C.由于v满足方程ρv- C上的Lv+λ=0，我们得到（4.1）ρg（`x）- Lg（`x）- λ ≥ 0.回顾gand L的表达，我们由此得出：-ρ（`x+ε）-u？x-λ+Lu≥ 0，这证明了S的包含结果。

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2022-5-7 06:58:59

类似的论点表明，如果∈ S0-1然后ρg0-1（`x）- Lg0-1（`x）- λ ≥ 0，这证明了S0的包含结果-1经过直接计算。类似地，如果∈ 斯滕·x∈ S0-1或10∈ C:如果x∈ S0-1，我们显然有S的包含结果。另一方面，如果∈ C、利用v的粘性上解性质，我们得到：ρg（`x）- Lg（`x）+λ≥ 0，这将生成S的包含结果。通过相同的方法，我们将显示S的包含结果-1.2接下来，我们将研究开关区域不为空的一些充分条件。引理4.2（1）开关区域和S0-你永远不会是空的。（2）（i）如果`-= -∞, 然后是S-1不为空（ii）如果`-= ε<λρ，则S-16= .（3）如果`-= -∞, 那么她不是空的。证据（1）我们用矛盾来论证，首先假设S=. 这意味着，一旦我们处于多头仓位，关闭我们的仓位永远不会是最佳的。换句话说，值函数V应该等于由^V（x）=Eh给出的^V- λZ∞E-ρtdti=-λρ.自从v≥ v+g，这意味着v（x）≤ -λρ+ε-x、为了所有的x∈ (`-, ∞), 这明显影响了值函数的非负性-1= . 然后，从Sin引理4.1的包含结果来看，这意味着连续区域C至少包含区间（uL）-`ρ+u, ∞) ∩(`-, ∞). 换句话说，我们应该有：ρv- Lv=0开（微升）-`ρ+u, ∞) ∩ (`-, ∞), sov的形式应该是：v（x）=C+ψ+（x）+C-ψ-（x） ,，x>微升- `ρ + u∨ `-,对于某些常数C+和C-. 考虑到x在vand条件（3.3）下的线性增长条件∞, 我们必须有C+=0。另一方面，因为≥ 五、-1+g0-1，并回顾v的下限-在引理3.1中，这意味着：-ψ-（十）≥ -λρ+x- ε, x>微升- `ρ + u∨ `-.通过发送x到∞, 从（3.2）中，我们得到了矛盾。（2）假设这是-1= .

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2022-5-7 06:59:02

然后，一个类似于S=, 会暗示v（x）≤ -λρ+ε+x，对于所有x∈ (`-, ∞). 当`-= -∞ 通过发送x到-∞. 什么时候`-= 在ε<λρ的条件下，我们也得到了与v的非负性相矛盾的结果。（3）考虑`-= -∞, 让我们假设S=. 然后，从Sin引理4.1的包含结果来看，这意味着连续区域C至少包含间隔(-∞,uL+`ρ+u）。换句话说，我们应该有：ρv- Lv=0开(-∞,uL+`ρ+u），所以v的形式应该是：v（x）=C+ψ+（x）+C-ψ-（x） ,，x<uL+`ρ+u，对于某些常数C+和C-. 考虑到x在vand条件（3.3）下的线性增长条件-∞, 我们必须有C-= 0.另一方面，因为≥ v+g，回顾vin引理3.1的下界，这意味着：C+ψ+（x）≥ -λρ- （x+ε），x<uL+`ρ+u。通过发送x到-∞, 从（3.2）中，我们得到了矛盾。2标记4.1引理4.2表明Sis非空。此外，请注意`-= 0，可以等于整个域（0，∞), i、 e.持有多头仓位永远不是最佳选择。实际上，从引理4.1来看，这种极端情况可能只发生在uL- `≤ 0，在这种情况下，我们也会得到uL- `< 0，因此S=. 在这种情况下，我们被简化为一个只有两个状态i=0和i=0的问题-1.2上述引理4.2留下了一个悬而未决的问题，即-当`-= 0和ε≥λρ，以及当`-= 0.我们将在下一次会议上讨论最后一个问题，并发表以下评论。引理4.3设X由（3.5）中的非齐次几何布朗运动控制，setK（y）：=（cy）-aU（a，b，cy）（y）- ε +λρ) - （λρ+ε），y>0，K-1（y）：=（cy）-aU（a，b，cy）（y）- ε -λρ) + (λρ- ε），y>0，其中a、b和c在（3.7）中定义。如果存在y∈ （0，uL+`ρ+u）（resp y>0）使得k（y）（resp。

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2022-5-7 06:59:05

K-1）大于0，则S（分别为S-1）不是空的。证据假设S=. 然后，从Sin引理4.1的包含结果来看，这意味着连续区域cw至少包含区间（0，uL+`ρ+u）。换句话说，我们应该有：ρv-在（0，uL+`ρ+u）上，Lv=0，因此v的形式应该是：v（x）=C+ψ+（x）+C-ψ-（x） ,，0<x<uL+`ρ+u，对于某些常数C+和C-. 从vin引理3.1和（3.2）的界来看，我们必须有C-= 0.下一步，对于0<x≤ y、让我们考虑非均匀几何布朗运动的首次通过时间τxy:=inf{t:Xxt=y}。我们从[20]那件事中得知E-ρτxy=xy-aU（a，b，cx）U（a，b，cy）=ψ+（x）ψ+（y）。（4.2）我们用v（x；y）表示从初始状态x和状态i=1变化到第一次状态i=0（0<x）的策略中获得的增益函数≤ y），然后在i=0的状态下遵循一次最佳决策：`v（x；y）=E[E-ρτxy（v（y）+y-ε) -Zτxyλe-ρtdt]，0<x≤ y、由于v（y）=C+ψ+（y），对于所有的0<y<uL+`ρ+u，回顾（4.2），我们有：`v（x；y）=E[E]-ρτxy（C+ψ+（y）+y-ε) -Zτxyλe-ρtdt]=ψ+（x）ψ+（y）（C+ψ+（y）+y-ε +λρ) -λρ=v（x）+ψ+（x）ψ+（y）（y）- ε +λρ) -λρ, 0<x≤ y<uL+`ρ+u。现在，通过定义v，我们得到了v（x）≥ v（x；y），因此：v（x）≥ v（x）+ψ+（x）ψ+（y）（y）- ε +λρ) -λρ, 0<x≤ y<uL+`ρ+u。通过将x发送到零，并调用（3.6）和（3.8），这个yieldsv（0+）≥ v（0+）+K（y）+ε，0<y<uL+`ρ+u。因此，在存在y的条件下∈ （0，uL+`ρ+u），使得K（y）>0，我们将得到：v（0+）>v（0+）+ε，这与我们有：v这一事实相矛盾≥ v+g，所以：v（0+）≥ v（0+）- ε.假设这是-1= , 在这种情况下，v-1= -λ/ρ. 通过与上述情况相同的论证，我们得到了v（x）≥ E[E]-ρτxy（v）-1（y）+y-ε） ]=E[E-ρτxy(-λρ+y-ε)]=-λρ+y-εψ+（x）ψ+（y）。通过（4.2）。通过将x发送到零，并调用（3.6）和（3.8），我们就得到了v（0+）≥ -λρ+ε+K-1（y）y>0。

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2022-5-7 06:59:08

（4.3）因此，在存在y>0的条件下，K-1（y）>0，我们会得到：v（0+）>-λρ+ε，这与我们有：v的事实相矛盾-1.≥ v+g-10.因此：-λρ=v-1(0+)≥ v（0+）- ε. 2标记4.2上述引理4.3给出了函数K的有效条件-1，这确保了沙子-你不是空的。让我们讨论一下它是如何满足的。从对流超几何函数的渐近性质来看，我们有：limz→∞zaU（a，b，z）=1。然后通过将L发送到单位（回想一下c=2uLσ），并从K的表达中-在引理4.3中，我们有：limL→∞K（y）=limc→∞K（y）=y- 2ε=limL→∞K-1（y）。这意味着对于足够大的L，可以选择2ε<y<uL+`ρ+u，使K（y）>0。还请注意，由于以下事实，Kis不随L而减少：zzaU（a，b，z）=aU（a+1，b，z）（a）-b+1）z<0。在实践中，人们可以用数值方法检查条件K（y）>0表示0<y<uL+`ρ+u。例如，当u=0.8、σ=0.5、ρ=0.1、λ=0.07、ε=0.005和L=3时，我们得到uL+`ρ+u=2.7450，K（1）=0.9072>0。同样，对于足够大的L，可以找到y>2ε，这样K-1（y）>0确保-它不是空的。2我们现在能够描述开关区域的完整结构。命题4.1 1）存在有限的切割层‘x，‘x0-1，\'x，\'x-1这样的S=[\'x，∞) ∩ (`-, ∞), S0-1=[`x0-1.∞),s-1= (`-, -\'x-1] ，S=(`-, -“\'x]”和令人满意的“x0”-1.≥uL+`ρ+u，`x≥微升-`ρ+u, -\'x-1.≤uL+`ρ+u，-\'x≤微升-`ρ+u. 此外-\'x<\'x，即S∩ S= 和“x0”-1> -\'x-1，即S0-1.∩ s-1= .2）我们有“x”≤ \'-x0-1.和-\'x≤ -\'x-1i。e、以下内容适用于：S0-1. S、 S s-1.证据。1）（i）我们关注的是集合的结构-1，首先考虑它们不是空的情况。让我们开始吧-\'x=sup S，自Sis notempty起即为有限，包含在(`-,微升-`ρ+u]通过引理4.1。

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mingdashike22

2022-5-7 06:59:12

此外，自S0以来-1包括在[uL+`ρ+u，∞), 它与(`-, -所以v（x）>（v-1+g0-1）（x）对于x<-\'x，即(`-, -\'\'x） s∪ C.从（3.12）中，我们推导出粘度溶液tominρv- Lv，v- 五、- G= 0，开(`-, -“\'x”）。（4.4）现在让我们证明S=(`-, -\'\'x]。为此，我们考虑函数w=v+gon(`-, -\'\'x]。让我们检查一下，w是ρw的粘性上解- Lw≥ 0开(`-, -“\'x”）。（4.5）对于这一点，取一些点“x”∈ (`-, -和一些平滑的测试函数，使得x是w的局部最小值- φ. 那么，\'x是v的局部最小值- (φ - g）根据W的定义。通过写出vto的粘度上解性质：ρv-Lv+λ≥ 0，在带有测试功能的x处- g、我们得到：0≤ ρ(φ - g）（`x）- L（ψ）- g）（\'x）+λ=ρа（\'x）- L~n（\'x）+（ρ+u）（\'x+`- uLρ+u）≤ ρ~n（°x）- L~n（\'x），自\'x<-\'x≤微升-`ρ+u. 这证明了粘度上解性质（4.5），实际上，通过回顾w=v+g，w是一个粘度溶液ρw- Lw，w- 五、- G= 0，开(`-, -“\'x”）。（4.6）此外-“\'xlies在闭集S中，我们有w(-\'x）=（v+g）(-\'x）=v(-“\'x”）。通过（4.4）的粘性解的唯一性，我们推导出v=won(`-, -\'x]，即S=(`-, -\'\'x]。在Sis为空的情况下，只有在`-= 0（回想引理4.2），那么它仍然可以用上面的形式写(`-, -“\'x]通过选择-\'x≤ `-∧ （微升）-`ρ+u).通过类似的论证，我们证明了当-1不是空的，应该是以下形式：S-1= (`-, -\'x-1] 对一些人来说-\'x-1.≤uL+`ρ+u，当它为空时，只有在`-= 0（回忆引理4.2），也可以通过选择-\'x-1.≤ 0∧ （uL+`ρ+u）。（ii）我们同样推导了S0的结构-1和已知为非空的sw（回忆引理4.2）：我们设置-1=inf S0-1，它位于[uL+`ρ+u，∞) 从S0开始-1包括在[uL+`ρ+u，∞) 引理4.1。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:59:14

然后，我们观察到vis是粘度溶液tominρv- Lv，v- 五、-1.- g0-1.= 0，在（`x0）上-1.∞). （4.7）通过考虑函数w=v-1+g0-1，我们通过与（4.6）中相同的参数证明，w也是（4.7）的粘性解，边界条件为w（`x0）-1） =v（`x0）-1).我们通过唯一性得出结论，w=von[`x0-1.∞), i、 e.S0-1=[`x0-1.∞). 同样的事实表明，Sis以命题中所述的形式存在。此外，从引理4.1中我们有：\'\'x0-1.≥uL+`ρ+u>uL+`ρ+u≥ -\'x-1和\'x≥微升-`ρ+u>uL-`ρ+u≥ -“x.2）我们只考虑以下情况：-\'x-1<`x，因为当-\'x-1.≥ 来自上述形式的开关区域。让我们来介绍函数U（x）=2v（x）- （v+v）-1）（x）在[-\'x-1，\'x]。在(-\'x-1，\'x），我们看到了vand v-1是光滑的C，并且满足：ρv- Lv+λ=0，ρv-1.- 吕-1+λ=0，结合v的粘性上解性质，得到ρU- LU=2（ρv）- Lv）+2λ≥ 0开(-\'x-1，\'x）。在x=x时，我们有v（x）=v（x）+x- ε和v（x）≥ 五、-1（x）+x- ε使2v（x）≥v（x）+v-1（x），意思是U（\'x）≥ 0.同样地，在x=-\'x-我们还有2V（x）≥ v（x）+v-1（x），意思是U(-\'x-1) ≥ 0.根据比较原理，我们得出2V（x）≥ v（x）+v-1（x）on[-\'x-1，\'x]。让我们假设相反的是‘x>’x0-1.我们有v（`x0）-1） =v-1（`x0-1） +x0-1.- ε和v（`x0）-1） >v（`x0）-1） +x0-1.- ε、因此（v）-1+v）（`x0-1） >2v（`x0-1），导致了一场冲突。同样的道理，不可能有-\'x-1< -“x，这是证据的结尾。2标记4.3考虑以下情况：`-= 0.我们区分以下情况：（i）λ>ρε。然后，我们从引理4.2知道-16= . 而且，对于足够小的L，也就是≤ `/u，我们从提案4.1中看到-\'x≤ 0，因此S=.（ii）λ≤ ρε.

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2022-5-7 06:59:18

然后`≤ 0，对于足够小的L，也就是≤ -`/u，我们从提案4.1中看到-\'x-1.≤ 0，因此S-1= S=.下一个结果显示了开关区域和值函数的对称性。命题4.2（对称性）`-= -∞, 如果σ（x）是一个偶数函数，L=0，那么-1=\'x，\'x-1=\'xandv-我(-x） =vi（x），x∈ R、我∈ {0, -1, 1}.证据考虑流程Yxt=-Xxt，遵循动力学：dYt=-uYtdt+σ（Yt）d’Wt，其中‘W=-在相同的概率测度和过滤条件下，W仍然是布朗运动，我们可以看到Yxt=X-xt。我们考虑相同的优化问题，但我们使用jy（x，α）=EhXn代替Xt≥1e-ρτng（Yxτn，ατ-n、 ατn）- λZ∞E-ρt |αt | dti，对于i=0，-1，1，让vyi表示最大化转换交易策略时初始位置i的值函数，即vyi（x）=supα∈AiJY（x，α），x∈ R、 i=0，-1, 1.对于任何α∈ 我们看到g（Yxτn，-ατ-N-ατn）=g（Xxτn，ατ-n、 ατn）和so JY（x，-α） =J（x，α）。因此，vY-i（x）≥ JY（x，-α） =J（x，α），由于α在Ai中是任意的，我们得到：vY-i（x）≥ vi（x）。通过同样的论证，我们得到了vi（x）≥ vY-i（x），等等-i=vi，i∈ {0, -1, 1}.此外，回顾一下Yxt=X-xt，我们有：v-我(-x） =vY-i（x）=vi（x），x∈ R、我∈ {0, -1, 1}.特别是，我们-1(-\'x）=v（\'x）=（v+g）（\'x）=（v+g）-10)(-“\'x”），所以-\'x∈ s-1.此外，由于\'x=inf S，我们注意到对于所有r>0，\'x- R6∈ 因此，v-1(-\'x+r）=v（\'x- r） >（v+g）（\'x- r） =（v+g）-10)(-对于所有的r>0，这意味着-\'\'x=sup S-1.回顾-1= -\'x-1，这表明\'x=\'x-1.顺便说一句，我们有-1=(R)x.2为了总结上述结果，我们有以下可能的开关区域结构情况：（1）`-= -∞.

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2022-5-7 06:59:22

在这种情况下，四个开关区域S、S-1、沙S0-1在形式上是不空的=[\'x，∞), S0-1=[`x0-1.∞),s-1= (-∞, -\'x-1] ，S=(-∞, -图1中绘制了“x”和。此外，当L=0且σ为偶数函数时，S=-s-1和S=-S0-1.(2) `-= 0.在这种情况下，切换区域为S0-1它们不是空的，形式为=[\'x，∞) ∩ (0, ∞), S0-1=[`x0-1.∞),为了一些“x”∈ R、和“x0”-1> 第4.1条提案中的0。然而，S-不管你是不是饿了。更准确地说，我们有以下三种可能性：（i）S-1并且在表单中不是空的：S-1= (0, -\'x-1] ，S=（0，-大约0-\'x≤ -\'x-1根据提案4.1。例如，当X是IGBM（3.5）且L足够大时，就会出现这种情况，如引理4.3和引理4.2所示。该案例的可视化与图1相同。（ii）S-1在表单中不是空的：S-1= (0, -\'x-1] 为了一些“x”-1通过命题4小于0。1，S=. 当λ>ρε时会出现这种情况，对于L≤ （λ+ρε）/u，见备注4.3（i）。如图2所示。（iii）两者-而它们是空的。当λ≤ ρε，对于L≤(ρε-λ） /u，见备注4.3（ii）。如图3所示。此外，注意在这种情况下，我们必须有λ≤ ρε由引理4.2（2）（ii）得到，命题4也是如此。1，\'x≥微升-`ρ+u>0，即S=[\'x，∞).图1：情况（1）和（2）（i）中的状态切换区域。图2：情况（2）（ii）中的状态切换区域。图3：情况（2）（iii）中的状态切换区域。下一个结果给出了最优切换问题的显式解。定理4.1o情况（1）：`-= ∞.

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2022-5-7 06:59:26

值函数由v（x）给出=Aψ+（x）-λρ+g（x），x≤ -\'x，Aψ+（x）+Bψ-（x） ,，-\'x<x<\'x0-1，B-1ψ-（十）-λρ+g0-1（x），x≥ \'-x0-1，v（x）=（Aψ+（x）-λρ，x<x，v（x）+g（x），x≥ \'x，v-1（x）=（v（x）+g-10（x），x≤ -\'x-1，B-1ψ-（十）-λρ，x>-\'x-1和常数A，B，A，B-1，\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1由光滑条件决定：Aψ+(-\'\'x）-λρ+g(-\'x）=Aψ+(-\'x）+Bψ-(-\'-x）Aψ+(-\'\'x）- 1=Aψ+(-\'x）+Bψ-(-\'x）B-1ψ-（`x0）-1) -λρ+g0-1（`x0-1） =Aψ+（`x0）-1） +Bψ-（(R)x0-1） B-1ψ-（`x0）-1） +1=Aψ+（\'x0）-1） +Bψ-（`x0）-1） Aψ+（\'x）-λρ=Aψ+（\'x）+Bψ-（\'x）+g（\'x）Aψ+（\'x）=Aψ+（\'x）+Bψ-（\'x）+1B-1ψ-(-\'x-1) -λρ=Aψ+(-\'x-1） +Bψ-(-\'x-1） +g-10个(-\'x-1） B-1ψ-(-\'x-1） =Aψ+(-\'x-1） +Bψ-(-\'x-1) - 1.案例（2）（i）：`-= 0，两个都是S-而且它们不是空的。值函数的形式与状态空间域（0，∞).o 案例（2）二：`-= 0，S-1不是空的，S=. 值函数由v（x）=（Aψ+（x），0<x<x0给出-1，B-1ψ-（十）-λρ+g0-1（x），x≥ \'-x0-1，v-1（x）=（v（x）+g-10（x），0<x≤ -\'x-1，B-1ψ-（十）-λρ，x>-\'x-1，v（x）=（Aψ+（x）-λρ，0<x<max（\'x，0），v（x）+g（x），x≥ max（`x，0）和常数A，A，B-1，`x0-1> 0，\'x，\'x-1<0由平滑条件决定：B-1ψ-（`x0）-1) -λρ+g0-1（`x0-1） =Aψ+（`x0）-1） B-1ψ-（`x0）-1） +1=Aψ+（\'x0）-1） Aψ+（\'x）-λρ=Aψ+（\'x）+g（\'x）Aψ+（\'x）=Aψ+（\'x）+1B-1ψ-(-\'x-1) -λρ=Aψ+(-\'x-1） +g-10个(-\'x-1） B-1ψ-(-\'x-1） =Aψ+(-\'x-1) - 1.案例（2）（iii）：`-= 0和S-1=S=. 值函数由v（x）=（Aψ+（x），0<x<x0给出-1.-λρ+g0-1（x），x≥ \'-x0-1，v（x）=（Aψ+（x）-λρ，x<x，v（x）+g（x），x≥ \'x，v-1= -λρ和常数A，A，`x0-1> 0，`x>0，由平滑条件决定：-λρ+g0-1（`x0-1） =Aψ+（`x0）-1） 1=Aψ+（`x0）-1） Aψ+（\'x）-λρ=Aψ+（\'x）+g（\'x）Aψ+（\'x）=Aψ+（\'x）+1。证据我们只考虑案例（1）和（2）（i），因为其他案例由类似的论点处理。

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2022-5-7 06:59:29

我们有S=(`-, -“\'x]，这意味着v=v+gon(`-, -\'\'x]。此外，给出了ρv的vis解-Lv+λ=0开(`-, 与引理3.1中的边界相结合，表明v应为形式：v=Aψ+-λρon(`-, “\'x”）。自从-\'x<\'x，我们推断vh的形式为：Aψ+-λρ+gon(`-, -\'\'x]。同样，v-1应将形式表示为B-1ψ--λρon(-\'x-1.∞) vhas表示为B的形式-1ψ--λρ+g0-1on[`x0-1.∞). 我们知道ρv的vis解- Lv=0开(-\'x，\'x0-1）所以v的形式应该是：v=Aψ+Bψ-在(-\'x，\'x0-1). 我们有S=[\'x，∞), 也就是说v=v+gon[\'x，∞) 和-1= (`-, -\'x-1] ，这意味着-1=v+g-10点(`-, -\'x-1]. 来自命题4。1我们知道“x”≤ \'-x0-1.和-\'x≤ -\'x-1通过值函数的光滑性，我们得到了上述光滑条件方程，在这些方程中，我们可以通过求解这些准代数方程来计算切点。2标记4.4 1。在定理4.1的情况（1）和情况（2）（i）中，光滑条件系统写为：ψ+(-\'x）0-ψ+(-\'\'x）-ψ-(-\'-x）0ψ-（`x0）-1) -ψ+（？-x0）-1) -ψ-（`x0）-1） ψ+（\'x）0-ψ+（\'x）-ψ-（`x）0ψ-(-\'x-1) -ψ+(-\'x-1) -ψ-(-\'x-1)×AB-1AB=λρ-1.- g(-\'-x）λρ-1.- g0-1（`x0-1)λρ-1+g（`x）λρ-1+g-10个(-\'x-1)（4.8）和ψ+(-\'x）0-ψ+(-\'\'x）-ψ-(-\'-x）0ψ-（`x0）-1) -ψ+（？-x0）-1) -ψ-（`x0）-1） ψ+（\'x）0-ψ+（\'x）-ψ-（`x）0ψ-(-\'x-1) -ψ+(-\'x-1) -ψ-(-\'x-1)×AB-1AB=-1.-1..

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mingdashike22

2022-5-7 06:59:34

（4.9）用M（\'x，\'x0）表示-1，\'x，\'x-1）和Mx（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1）矩阵：M（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1) =ψ+(-\'x）0-ψ-(-\'-x）0ψ-（`x0）-1) -ψ+（？-x0）-1） 0ψ+（\'x）0 0-ψ-（`x）0ψ-(-\'x-1) -ψ+(-\'x-1) 0,Mx（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1) =ψ+(-\'x）0-ψ-(-\'-x）0ψ-（`x0）-1) -ψ+（？-x0）-1） 0ψ+（\'x）0 0-ψ-（`x）0ψ-(-\'x-1) -ψ+(-\'x-1) 0.一旦M（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1）和Mx（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1）（4.8）和（4.9）中的非奇异、直接计算是否会导致以下等式满足‘x，’x0-1，\'x，\'x-1:Mx（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1)-1.-1.-1.= M（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1)-1.λρ-1.- g(-\'-x）λρ-1.- g0-1（`x0-1)λρ-1+g（`x）λρ-1+g-10个(-\'x-1).该系统可分为两个独立的系统：“ψ”+(-\'\'x）-ψ-(-\'x）ψ+（\'x）-ψ-（`x）#-1×\"#=\"ψ+(-\'\'x）-ψ-(-\'x）ψ+（\'x）-ψ-（`x）#-1×\"λρ-1.- g(-\'-x）λρ-1+g（`x）#（4.10）和“ψ”-（`x0）-1) -ψ+（？-x0）-1)ψ-(-\'x-1) -ψ+(-\'x-1)#-1×\"-1.-1#=\"ψ-（`x0）-1) -ψ+（？-x0）-1)ψ-(-\'x-1) -ψ+(-\'x-1)#-1×\"λρ-1.- g0-1（`x0-1)λρ-1+g-10个(-\'x-1）然后我们得到x0.4-1，\'x，\'x-1通过求解两个准代数系统方程（4.10）和（4.11）。请注意，对于OU或IGBM过程的示例，矩阵M（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1）和Mx（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1）是非奇异的，因此它们的反比定义得很好。实际上，我们有：ψ+>0和ψ-> 0.对于OU过程的情况，这个性质是微不足道的，而对于IGBM的情况：dψ+（x）dx=ddxaxa+1(-U（a+1，b，cx）（a）- b+1）=a（a+1）xa+2U（a+2，b，cx）（a）- b+1）（a）- b+2）>0，x>0。dψ-（x） dx=-斧头-A.-2（bxM（a，b，cx）+cM（a+1，b+1，cx））b，x>0。因此，ψ-因为M（a，b，cx）是严格递减的，所以ψ是严格递增的-> 0

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2022-5-7 06:59:37

此外，我们还有：M（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1)(4.12)=ψ-（\'x-01）ψ+（\'x）- ψ-（\'x）ψ+（\'x）-01)ψ-（`x0）-1） ψ+（\'x）-1) - ψ-（\'x-1） ψ+（？-x0）-1).回顾-\'x<\'x和\'x0-1> -\'x-1（见命题4.1），由于ψ+是严格递增的正函数，而ψ-是一个严格递减的正函数，wehave:ψ-（\'x-01）ψ+（\'x）-ψ-（\'x）ψ+（\'x）-01）>0和ψ-（`x0）-1） ψ+（\'x）-1) -ψ-（\'x-1） ψ+（？-x0）-1） <0，这意味着矩阵M（\'x，\'x0）的非奇异性-1，\'x，\'x-1). 另一方面，我们有：detMx（\'x，\'x0-1，\'x，\'x-1)(4.13)=ψ-（\'x-01）ψ+（\'x）- ψ-（\'x）ψ+（\'x）-01)ψ-（`x0）-1） ψ+（\'x）-1) - ψ-（\'x-1） ψ+（？-x0）-1).因为ψ+是一个严格递增的正函数，而ψ-是一个严格递增函数，带ψ-< 0，我们得到：ψ-（\'x-01）ψ+（\'x）- ψ-（\'x）ψ+（\'x）-01）<0和ψ-（`x0）-1） ψ+（\'x）-1) -ψ-（\'x-1） ψ+（？-x0）-1） >0，这意味着矩阵Mx（\'x，\'x0）的非奇异性-1，\'x，\'x-1).2. 在定理4.1的情况（2）（ii）中，我们得到了阈值\'x0-1> 0，\'x-1<0，从导致准代数系统的光滑条件：-ψ-（`x0）-1） ψ+（？-x0）-1)-ψ-(-\'x-1) ψ+(-\'x-1)#-1×\"#=\"-ψ-（`x0）-1） ψ+（？-x0）-1)-ψ-(-\'x-1) ψ+(-\'x-1)#-1×\"-λρ-1+g0-1（`x0-1)-λρ-1.- G-10个(-\'x-1)#. （4.14）对于OU或IGBM过程的示例，与情况（1）和（2）（i）类似，检查上述矩阵的非奇异性。请注意“x0”-1，\'x-1与¨x无关，后者由以下方程式得出：-λρ-1.- g（`x）ψ+（\'x）+ψ+（\'x）=0。（4.15）当≤ 这意味着S=（0，∞).3.在定理4.1的情况（2）（iii）中，从等式（4.15）中获得阈值x>0，而阈值x0-1> 0是从导致准代数方程的光滑条件导出的：λρ-1.- g0-1（`x0-1)ψ+（？-x0）-1） +ψ+（\'x0）-1) = 0. （4.16）5数值例子在这一部分中，我们以OU过程和IGBM为例。1.我们首先考虑Ornstein-Uhlenbeck过程的例子：dXt=-uXtdt+σdWt，带u，σ正常数。

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2022-5-7 06:59:40

在这种情况下，（3.1）的两个基本解由ψ+（x）=Z给出∞tρu-1exp-t+√2dt，ψ-（x） =Z∞tρu-1exp-T-√2dt，并满足假设（3.3）。我们考虑以下规格的数值示例：：u=0.8，σ=0.5，ρ=0.1，λ=0.07，ε=0.005，L=0。备注5.1我们可以通过考虑过程Yt=Xt，将OU过程的非零长期平均值L6=0的情况减少到L=0的情况- L为扩散过程，因为在这种情况下σ是常数。最后，我们可以看到，切割点沿L平移，如图6所示。2我们回顾了一些符号：S=(-∞, -\'x]是开放购买区域，S0-1=[`x0-1.∞) 是开放销售区域，S=[\'x，∞) 是指从多头仓位i=1，S卖出至收盘区域-1= (-∞, -\'x-1] 是从空头仓位买入收盘的区域i=-1.我们求解了两个系统（4.10）和（4.11），它们给出了‘x=0.2094，‘x=0.0483，’x-1=0.0483，`x0-1=0.2094，并在命题4.2.0 1000 2000 4000 8000中确认对称性-1.-0.500.511.5阈值和传播模拟0 1000 2000 4000 8000-1.-0.500.51战略曲线价差-\'x01\'x1-\'x-1’x0-1图4：交易策略模拟-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 5024681012初始分布值v0v1v-1图5：值函数在图5中，我们看到值函数的对称性，如命题4所示。2.

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2022-5-7 06:59:43

此外，我们可以看到vis是一个非递减函数，而v-1是不增加的。下一张图显示了切割点对参数0.5 1的依赖性-0.500.5u0.5 1的影响-0.4-0.3-0.2-σ0.100.10.20.3σ0.005 0.01 0.015的影响-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3ε交易费用的影响ε0.1 0.2-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3λ惩罚系数的影响λ0.5 1 1.500.20.40.60.811.21.4L- \'x01\'x1- \'x-1’x0- 1图6：切点对参数的依赖性图6中的u测量了均值回归的速度，我们看到了间隔的长度S，S0-1增加和间隔的长度S，S-1随着u变大而减小。间隔的长度S，S0-1、S和S-1随着波动率σ变得更大而降低。L是长期平均值，该过程倾向于恢复到该值，我们看到剪切点沿着L延伸。现在我们来看一下不影响动态扩展的参数：间隔的长度S，S0-1、S和S-1随着交易费用ε的增加而减少。最后，间隔的长度S，S0-1减少和间隔的长度，S-1随着惩罚因子λ的增大而增大，这意味着在位置i=0处的等待时间更长，并且随着惩罚因子λ的增大，从另一个位置进入该位置的机会更大。2.我们现在考虑具有随机波动性的非均匀几何布朗运动的例子，详见赵[20]：dXt=u（L）- Xt）dt+σXtdWt，X>0，其中u、L和σ为正常数。回想一下，在这种情况下，（3.1）的两个基本解由ψ+（x）=x给出-aU（a，b，cx），ψ-（x） =x-aM（a，b，cx），其中pσ+4（u+2ρ）σ+4u- （2u+σ）2σ>0，b=2uσ+2a+2，c=2uLσ，M和U是第一类和第二类的有效超几何函数。

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2022-5-7 06:59:46

我们可以很容易地检查ψ-是单调递减函数，而ψ+（x）dx=axa+1(-U（a+1，b，cx）（a）- b+1）>0，x>0，所以ψ+是单调递增函数。此外，通过对流超几何函数（cf[1]）的渐近性质，基本解ψ+和ψ-满足条件（3.3）。o案例（2）（i）：两个-而且它们不是空的。让我们考虑一个具有以下规格的数值示例：：u=0.8，σ=0.5，ρ=0.1，λ=0.07，ε=0.005，我们设置l=10。注意，在这种情况下，引理4.3中的条件是满足的，我们解出了两个系统（4.10）和（4.11），它们给出了‘x=-8.2777，\'x=9.3701，\'x-1= -8.4283，`x0-1=9.5336.0 5 10 15 20 2510203040506070初始扩散值v0v1v-1图7：值函数在图7中，我们可以看到v-1是不增加的。而且，vis总是大于v，v-1.下一个图8显示了切割点对参数的依赖性（请注意，引理4.3中的条件适用于该图中的所有参数）。0.5 145678910u0.5 188.599.510σ的影响σ0.005 0.01 0.01588.599.510ε交易费的影响ε0.05 0.1 0.15 288.599.510λ惩罚因子的影响λ5 10 1546810116L的影响- \'x01\'x1- \'x-1’x0- 1图8：切割点对参数的依赖性我们可以做出与OU过程相同的评论，除了对长期平均值L的依赖性。实际上，我们看到，当L增加时，切割点的移动不再是平移的，因为非恒定的波动性案例（2）（ii）：Sis为空。让我们考虑一个具有以下规格的数值示例：：u=0.8，σ=0.3，ρ=0.1，λ=0.35，ε=0.55，L=0.5。我们解出了两个系统（4.14）和（4.15），它们给出了\'x=0.1187，\'x-1= -0.8349，`x0-1= 2.7504.o 案例（2）（iii）：两个-而它们是空的。

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2022-5-7 06:59:50

让我们考虑以下规格的数值示例：：u=0.8，σ=0.3，ρ=0.2，λ=0.05，ε=0.65，L=0.1。两个方程式（4.16）和（4.15）给出了‘x=0.4293，’x0-1= 0.9560.参考文献[1]Abramowitz，M.和I.Stegun（1972）：数学函数手册：公式、图表和数学表格，Courier Dover出版物。[2] Avellaneda，M.和J-H.Lee（2010）：“美国股市的统计套利”，定量金融，10761-782。[3] Bock，M.和R.Mestel（2009）：“制度转换相对价值套利规则”，运营研究论文集，9-14，斯普林格。[4] Borodin，A.和P.Salminen（2002）：布朗运动手册：事实和公式，斯普林格。[5] 陈华峰，陈少军，詹妮和李菲（2012）：“股票交易策略的实证研究”，预印本。[6] Do，B.和R.Faff（2010）：“简单的配对交易仍然有效吗？”，《金融分析师杂志》，83-95。[7] Ehrman，D.（2006）：配对交易手册：使用股票、期权和期货的策略，第240卷，John Wiley and Sons。[8] Ekstrm，E.，Lindberg C.和J.Tysk（2011）：“配对交易的最优清算”，金融高级数学方法，斯普林格。[9] Elliott，R.，Van der Hoek J.和W.Malcom（2005）：“配对交易”，定量金融，第5卷，271-276。[10] 孔浩（2010）：“资产交易的随机控制与优化”，乔治亚大学博士论文。[11] Leung，T.和X.Li（2013）：“具有交易成本和止损退出的最优均值回归交易”，社会科学研究网络工作论文系列。[12] Ly Vath，V.和H.Pham（2007）：“两种情况下最优切换问题的显式解”，暹罗控制与优化杂志，第46卷，395-426页。[13] Mudchanatongsuk，S.，Primbs J.和W。

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