这将为我们提供一个期权价格的表达式，可以使用快速傅立叶变换技术有效地计算。最后，我们以一个在能源市场中特别感兴趣的从属列维过程为例。假设U是一个逆高斯从属函数，即具有非递减路径的L′evy过程，并且U（1）是逆高斯分布的。然后，L（t）=B（U（t））成为Benth和Kr¨uhner[15，Def.4.1]定义的意义上的H值正态逆高斯（NIG）L¨evy过程。事实上，对于任何一个∈ L（H，Rn），t7→ L（L（t））将是一个n变量的NIG L’evy过程，上面介绍的特殊情况L（t）定义了实线上的NIG L’evy过程。我们参考Barndorff-Nielsen[4]了解关于逆高斯从属过程和NIG L’evy过程的详细信息。几项实证研究表明，能源远期和期货价格的回报可以通过NIG分布方便地建模（参见Benth，ˋSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11]以及其中有关NordPool电力价格的参考文献）。Frestad、Benth和Koekabkker[27]以及Andresen、Koekebakker和Westgaard[2]发现，大发行公司的远期收益具有固定的到期时间和给定的交付期。他们的分析涵盖了不同到期时间和不同交付期（比如每周、每月、每季度）的价格时间序列，这些时间序列是通过对市场中观察到的原始价格数据进行非参数平滑来构建的。事实上，在我们的建模环境中，他们正在研究随机过程T7的时间序列观测→ （δx）oDwl)（g（t））。从上面的分析中，我们可以看到，选择L为H值的NIG L′evy过程，而g为算术动力学，将给出NIG分布的价格增量。当然，这与回报率接近是不一样的。

正如我们之前所提到的，使用指数动力学对远期合约的价格和交货期进行建模并不简单。Frestad、Benth和Koekebakker[27]以及Andresen、Koekebakker和Westgaard[2]也根据经验估算了波动性期限结构和空间（到期时间）相关性结构，这提供了关于波动性σ（t）和协方差算子Q的信息。事实上，Andresen、Koekebakker和Westgaard[2]提出了一个多元NIG分布来模拟收益。20 BENTH和KR–UHNER4。跨商品模型在本节中，我们要分析两个商品市场远期曲线演变的联合模型。例如，欧洲电力市场是相互关联的，因此远期价格将取决于价格。此外，天然气和煤炭市场将影响电力市场，因为在英国和德国等许多国家，天然气和煤炭是发电的重要燃料。这将天然气和煤炭远期合约与电力市场交易的合约联系起来。最后，天气显然会影响能源的需求（通过温度）和供应（通过降水和风），因此，人们也可以声称天气期货（在芝加哥商品交易所（CME）交易）和电力期货之间存在相关性。这些例子推动了多元动态模型的引入，用于不同市场前进曲线的时间演化。我们将把注意力仅限于二元情况，并对二维正向曲线动力学进行一些详细分析。以两个大宗商品期货市场为例。我们对“双变量”正向曲线动力学T7进行建模→（g（t），g（t））作为spdeg（t）的解的Hα×Hα值随机过程xg（t）dt+σ（t，g（t），g（t））dL（t）dg（t）=xg（t）dt+σ（t，g（t），g（t））dL（t），（4.1），其中（g（0），g（0）=（g，g）∈ 给出了Hα×Hα。

我们假设（L，L）是一个H×H值平方可积零均值L′evy过程，其中Hi，i=1，2是两个可分离的希尔伯特空间，Qi，i=1，2是各自的（边际）协方差算子，即e[hLi（t），gihLi（s），Hi]=（t）∧ s） 你好，安妮特，s≥ 0，g，h∈ Hα和i=1,2。此外，我们假设σi:R+×Hα×Hα→ L（Hi，Hα）对于i=1，2是可测函数，并且存在一个递增函数K:R+→ R+使得σi，i=1，2是线性增长的Lipschitz，也就是说，对于任何（f，f），（h，h）∈ Hα×Hα与t∈ R+，kσi（t，f，f）- σi（t，h，h）kop≤ K（t）K（f，f）- （h，h）kHα×hα，（4.2）kσi（t，f，f）kop≤ K（t）（1+K（f，f）kHα×Hα）。（4.3）注意，由于两个（可分离）希尔伯特空间的乘积又是一个（可分离）希尔伯特空间（使用规范的2-范数，即k（f，g）kHα×Hα：=kf kHα+kgkHα），我们可以联系到Tappe[35]给出的SPDE弱解的存在唯一性理论：存在一个满足积分方程sg（t）=Stg+ZtSt的唯一弱解-sσ（s，g（s），g（s））dL（s）g（t）=Stg+ZtSt-sσ（s，g（s），g（s））dL（s）。（4.4）观察T7→ （F（t，t），F（t，t））：=（δt）-tg（t），δt-tg（t）），t≤ T将是一个Hα×Hα值（局部）鞅。此外，边际Hα值过程t7→ Fi（t，t）：=δt-tgi（t），i=1，2，t≤T也将是（局部）鞅，确保我们对两个商品市场的远期价格动态有一个无套利模型。我们在本节剩余部分的主要关注点是详细分析“双变量”L’evy过程（L，L）。我们感兴趣的是它在协方差算子和线性分解方面的概率特性。由于（L（1），L（1））是一个H×H值平方可积变量，我们分析了H×H中的一般平方可积随机变量（X，X）。在开始之前，我们回顾了Hilbert空间上正规紧算子的谱定理（参见。

（i） 设q为（X，X）和Φi:Hi的协方差算子→ H×Hbe自然嵌入，即Φi=∏*如果i=1，2。定义：等于∏QΦ。那么第一个断言就显而易见了。（ii）让我们∈ H、 五∈ 手β∈ R.我们有0个≤ hQ（βu，v），（βu，v）i=βhQu，ui+hQv，vi+2βhQu，vi=βkRuk+kRvk+2βhQu，vi，因此-βhQu，vi≤βkRuk+kRvk.让β与-hQu，vi产量|β| | hQu，vi |≤βkRuk+kRvk.如果kRuk=0，则使用|β|→ ∞ 我们看到| hQu，vi |=0，因此所声称的不等式成立。因此，我们可以假设kRuk6=0。选择β=kRvkkRukyields | hQu，vi |≤ kRukkRvkas声称。（iii）我们证明了Qu与任何v正交∈ Kern（Q）表示任何u∈ H.如果这样做了，那么这个声明就成立了，因为Qi的正半定义，因此它的核和它的范围的闭包是闭正交空间。让你∈ H、 五∈ hsqv=0。然后，Rv=0，因此（ii）产生| hQu，vi |≤ kRu | kkRvk=0。相应的参数表明Q*映射到Q范围的闭包。22 BENTH和KR¨uhnerhi=Hαi，Hαi是具有权函数αi的Filipovic空间，i=1,2。我们假设两个权函数α，α都满足第2节开头所述的假设。我们首先证明，算符qt产生了在两个不同的曲率x和y下计算的L（t）和L（t）之间的协方差，其中x，y∈ R+。为此，回忆一下函数hxin（3.17）。那我们就要为anyx做准备了∈ R+和X∈ Hα，δxX=hX，δ*x（1）i=hX，hxi，乘以（3.16）。

因此，hix是（3.17）中定义的函数，使用权函数αi，δiz（Li（t））=hLi（t），hizi。因此，由于（L，L）是一个零均值的L′evy过程，我们找到了x，y∈ R+，Cov（L（t，x），L（t，y））=Eδx（L（t））δy（L（t））= EhL（t），hxihL（t），hyi= Eh（L（t），L（t）），π*hxih（L（t），L（t）），π*惠= thQ∏*hx，π*hyi=th∏Q∏*hx，HY。我们有∏Q∏*= Q、 并且它遵循（4.5）Cov（L（t，x），L（t，y））=thQhx，hyi，如权利要求所述。让我们分析（4.1）中二元正向动力学的一个非常简单的例子，其中α=α=α，σi=Id，Hα，i=1，2，和（L，L）=（B，B）上的恒等式算子是一个维纳过程。（4.4）中的mildsolution的形式为gi（t）=Stgi+ZtSt-sdBi（s），对于i=1，2。对于x，y，我们发现与上述类似∈ R+，Cov（g（t，x），g（t，y））=EδxZtSt-sdB（s）·δyZtSt-某人（s）= EZtSt-香港中兴科技有限公司-康体局（s）, Π*hx×ZtSt-香港中兴科技有限公司-康体局（s）, Π*hy.我们证明了（RtSt）-康乐及文化事务署(s)-sdB（s））是一个高斯Hα×Hα值随机过程：引理4.4。假设i=1，2时Hi=Hα。过程t 7→ （RtSt）-康乐及文化事务署(s)-sdB（s））是一个具有协方差算子qtt的零高斯Hα×Hα值过程≥ 0由qt=“RtSsQS”给定*sdsRtSsQ*SsdsRtSsQS*sdsRtSsQS*sds#qt中的积分被解释为Hilbert-Schmidt算子空间中的Bochner积分。证据首先，请注意，qt中的所有积分都被定义为Bochner积分，因为相关算子的算子形式在时间上由引理3.4一致有界。考虑时间t时过程的特征函数≥ 0 . 一个简单的计算给出，E经验我ZtSt-香港中兴科技有限公司-康体局（s）, （u，v）= 经验-中兴总部（S）*T-苏，S*T-sv，S*T-苏，S*T-sv）ID.能源市场中的衍生品定价：使用Q定义的无限维方法23表明经验我ZtSt-香港中兴科技有限公司-康体局（s）, （u，v）= 经验-hQt（u，v），（u，v）i,结果如下。

由此引理可知，cov（g（t，x），g（t，y））=hQt∏*hx，π*hyi=h∏Qt∏*hx，hyi=ZtSsQSshxds，hy=ZthSsQS*shx，hyids=ZtδySsQS*sδ*x（1）ds=Ztδy+sQδ*x+s（1）ds。这为我们提供了两个不同到期日x和y下远期价格g（t）和g（t）之间协方差的“明确”表达式。上述考虑因素的一个应用是所谓的能量量子期权的定价。近几年来，吸油已经引起了一些关注，因为它们可以对冲能源生产中的价格和产量风险。quanto期权在行使时间τ的一个典型回报函数的形式为p（Fenergy（τ，T，T））×q（Ftemp（τ，T，T）），其中Fenergy是某些能源（如电力或天然气）的远期价格，ftempt是某些温度指数的远期价格。两个远期都有一个交货期[T，T]，并假定为τ≤ T.函数sp和q是实值的线性增长函数，通常由看涨期权和看跌期权支付函数给出。温度与电力需求密切相关，quanto期权的结构是产生回报，回报取决于价格和数量的乘积。我们参考Caporin、Pres和Torro[19]以及Benth、Lange和Mykleburt[9]对能量量子选择的详细讨论。根据第二节的考虑，我们可以用t表示价格≤ 量子选项的τ为（4.6）V（t，g（t），g（t））=e-r（τ）-t） E[p（Lenergy（g（τ））q（Ltemp（g（τ））|g（t），g（t）]。在这里，我们假设fenergy（t，t，t）：=Lenergy（g（t））：=δt-To Dw，1l（g（t））（4.7）Ftemp（t，t，t）：=Ltemp（g（t））：=δt-ToDw，2l（g（t）），（4.8）与Dw，il定义如（2.9）所示，使用i=1,2的索引的明显含义。由于LenergyandLtemp是Hα上的线性泛函，因此它遵循Thm。2.1在Benth和Kr¨uhner[14]中，（Fenergy（t，t，t），Ftemp（t，t，t））是R上的二元高斯随机变量。

根据引理4.4，我们可以计算协方差asCov（Fenergy（t，t，t），Ftemp（t，t，t））=ELenergyZtSt-sdB（s）·LtempZtSt-康体局（s）= Eh（ZtSt）-香港中兴科技有限公司-sdB（s）），π*L*能量（1）i×h（ZtSt）-香港中兴科技有限公司-sdB（s）），π*L*临时工（1）i显然，温度不会被传递，但温度期货会根据这段时间内测量的温度指数进行结算。24 BENTH和KR¨UHNER=hQt（π）*L*能量（1），π*L*温度（1）），（2∏*L*能量（1），π*L*temp（1））i=ZtC（s）ds，其中c（s）=Lenergy∏SsQS*s∏*L*能量（1）+能∏SsQ*s*s∏*L*温度（1）+Ltemp∏SSQ*s∏*L*能量（1）+Ltemp∏SSQ*s∏*L*临时工（1）。因此，我们可以得到一个关于高斯二变量概率分布的积分形式的价格V（t，g（t），g（t）），涉及与第3节中的欧式期权研究类似的算子（及其对偶）。我们顺便指出，Benth、Lange和Mykleburt[9]推导出了一个类似Black&Scholes的看涨期权定价公式，该公式适用于在纽约商品交易所交易的HenryHub天然气期货和在芝加哥商品交易所交易的HDD/CDD温度期货的衍生产品定价。接下来，我们回到关于H×H中二元平方可积随机变量的协方差算子Q的因式分解的一般考虑。如果我们想将算子Q构造为inThm 4.3，那么出现在那里的算子Q必须满足条件（ii）。正如我们将在下一个定理中所示，Thm 4.3的条件（ii）也是充分的。定理4.5。设Hibe为可分Hilbert空间，Qi为Hian和de Fifine Ri上的正半限定迹类算子：=√对于i=1，2。让Q∈ L（H，H）使得| hQu，vi |≤ KRUKRVK适用于任何u∈ H、 五∈ H.那么，Q：=QQ*QQ,定义H×H上的正半定义算子。此外，Q是正定义的当且仅当Q，Qare正定义且| hQu，vi |<krukkrvkforany u∈ H\\{0}，v∈ H\\{0}。证据让你∈ 手v∈ H

然后HQ（u，v），（u，v）i=hQu，ui+hQv，vi+2hQu，vi≥ kRuk+kRvk- 2kRukkRvk=（KRUK）- kRvk）≥ 0.在其他假设下，第一个不等式是严格的。现在，我们在一个简单的环境中分析价差期权的定价：让我们考虑一个“双变量”指数模型gi（t）=exp（egi（t）），i=1,2，由一个类似于（4.1）的动力学定义（但有漂移），由（L（t），L（t））=（B（t），B（t））：deg（t）驱动xeg（t）dt+u（t）dt+σ（t）dB（t）deg（t）=xeg（t）dt+u（t）dt+σ（t）dB（t）。这里，我们假设σi:R+→ L（Hα）是非随机的，σi∈ LBi（Hα），i=1,2。因此，我们得到了向前的价格动力学fi（τ，T），给出了T的fi（T，T）≤ τ ≤ T，（4.9）fi（τ，T）=fi（T，T）expZτtδt-sui（s）ds+δT-τZτtSτ-sσi（s）dBi（s）,对于i=1，2。引入符号（4.10）eσi（s，T）=δT-sσi（s）Qiσ*i（s）δ*T-s（1）。能源市场中的衍生品定价：i=1,2的无限维方法。来自Thm。2.1在Benth和Kr¨uhner[14]中，i=1，2，δT-τZτtSτ-sσi（s）dBi（s）=Zτteσi（s，T）dBi（s），其中Bi是实值布朗运动。通过引理3.12，我们得到了无套利漂移条件（4.11）eui（s，T）：=δT-sui（s）=-eσi（s，T）。注意，由于σi（s）的非随机假设，Rτteσi（s，T）dBi（s），i=1，2是R上的两个高斯随机变量，平均值为零，方差τteσi（s，T）ds，i=1，2，分别为。

此外，使用上述理论的直接计算揭示了这两个随机变量之间的协方差：EZτteσ（s，T）dB（s）Zτteσ（s，T）dB（s）= EδT-τZτtSτ-sσ（s）dB（s）×δT-τZτtSτ-sσ（s）dB（s）= EhZτtSτ-sσ（s）dB（s），hT-τihZτtSτ-sσ（s）dB（s），hT-τi=ZτthQ∏*σ*（s） s*τ -嘘-τ, Π*σ*（s） s*τ -嘘-τids=Zτtδt-sσ（s）Qσ*（s） δ*T-s（1）ds:=Zτteσ（s，T）ds。因此，对于i=1,2，（4.12）fi（τ，T）=fi（T，T）exp-Zτteσi（s，T）ds+Zτteσi（s）dBi（s）,其中，我们知道这两个随机积分形成了一个具有已知方差协方差矩阵的二元高斯随机变量。在时间t行使的两个远期之间的价差上写的看涨期权在时间t的价格≤ τ ≤ T将为v（T）=e-r（τ）-t） E[max（f（τ，t）- f（τ，T），0）| Ft]。利用（4.12）中远期价格的表示，我们找到了价差期权定价公式（4.13）V（t）=e-r（τ）-t） {f（t，t）Φ（d+）- f（t，t）Φ（d）-)} ,其中Φ是累积标准正态分布函数，d±=ln（f（t，t）/f（t，t））±∑（t，τ，t）/2∑（t，τ，t），和∑（t，τ，t）=Zτteσ- 2eσ（s，T）+eσ（s，T）ds。我们已经恢复了Margrabe公式（见Margrabe[31]），该公式具有随时间变化的波动性和相关性。观察价差期权价格成为时间t的初始远期价格与时间t的交割的函数。我们继续讨论希尔伯特空间中的“二元”随机变量及其表示。如果（X，Y）是一个二维高斯随机变量，我们从经典概率论知道存在一个独立于X和a的高斯随机变量Z∈ 下一个命题是这个命题对平方可积Hilbert空间值随机变量的推广：26 BENTH和KR–uhner命题4.6。

设Xibe是一个具有协方差的高值平方可积随机变量∈ L（H，H）是Thm 4.3中给出的运算符，因此Q：=QQ*QQ,是（X，X）的协方差算子。假设ran（Q*)  冉（Q）。然后关闭定义明确的运营商QQ-1在L（H，H）中，Q-1指定Q的伪逆。定义Z:=X- BX。那么Z是一个中心的、平方可积的H值随机变量，对于任何u，e（hX，uihZ，vi）=0∈ H、 五∈ H、 即X和Z是不相关的。具体而言，（X，Z）的协方差算符由qx，Z给出：=Q0-QZ,其中QZdenotes是Z.证明的协方差算子。QQ-1被密集定义，因为它的域是Q的域-1.定义C:=Q-1Q*这是一个闭算子，其域是Hby假设。闭图定理证明C是连续的和线性的。因此，它的对偶是QQ的连续线性延拓-1.然而，后一个运算符是密集定义的，因此B:=C*这就是它的结束。现在，让我们∈ H、 五∈ H.ThenE[hX，uihBX，vi]=hQu，B*vi=hQu，Q-1Q*vi=hQu，vi=E[hX，uihX，vi]。因此，X和Z是不相关的，其主张如下。这个结果可以应用于H×H值Wiener过程（B，B）的状态a表示。提案4.7。让B，Bbe-Hresp。H，Hare可分Hilbert空间中的H值布朗运动。假设随机变量Bi（1），i=1，2满足命题4.6中的条件。然后，存在一个操作符B∈ L（H，H）使得W:=B- BB是一个独立于H证明的H值布朗运动。设B为命题4.6中给出的随机变量带B的算子。然后，（B，W）是另一个布朗运动。此外，对于任何t，E[hB（t），uihW（t），vi]=tE[hB（1），uihW（1），vi]=0≥ 0.索赔如下。

这个命题使我们能够模拟由两个相关布朗运动SDG（t）=xg（t）dt+σ（t，g（t），g（t））dB（t）dg（t）=xg（t）dt+σ（t，g（t），g（t））dB（t），由两个独立的布朗运动驱动的动力学，dg（t）=xg（t）dt+σ（t，g（t），g（t））dB（t）dg（t）=xg（t）dt+σ（t，g（t），g（t））dW（t）- σ（t，g（t），g（t））BdB（t）。在这里，运算符B起到了“相关性”系数的作用，描述了两种噪声带B在统计上的变化。事实上，选择Hi=Hα，i=1，2作为菲利波维奇空间，我们可以看到E[δxB（t）δyB（t）]=E[hB（t），hxihB（t），hyi]=E[hB（t），hxihBB（t），hyi]=thBQhx，能源市场中的混合定价：无限维方法27=tδyBQδ*x（1），对于x，y∈ R+。因此，B（t，x）和B（t，y）之间的相关性由算子B建模。我们可以为两个L’evy过程推导出类似的表示，但它们在大多数情况下不是独立的，而是不相关的。最后，我们想指出，命题4.7中的“奇数”范围条件需要确保Hto H中线性算子的存在。然而，在高斯情况下，可以从L中找到线性算子T(Ohm, A、 P，H）到L(Ohm, A、 P，H）产生第二因子的独立分解。我们现在给出准确的声明。提案4.8。设H，Hbe可分Hilbert空间和（X，X）为H×H值高斯随机变量。设B为Q的闭包*Q-1.那么，P（X）∈ dom（B））=1和Z:=X- bxis和X，Z是独立的。证据让（en）n∈Nbe是X=P的一个正交基∞n=1√λnΦn其中（Φn）n∈Nis是i.i.d.标准正态随机变量λn的序列≥ 0和PN∈NλN<∞, 参见Peszat和Zabczyk[32，Thm.4.20]。定义Yk:=Pkn=1√任意k的λnΦn∈ 显然，我们有Yk→ Xfork→ ∞.

我们现在想证明bykconverge到E[X | X]，这将完成证明。让（pj）j∈Nbe R上的hermite多项式，然后E[pj（Φ）pi（Φ）]=1{i=j}对于任何i，j∈ N.对于H值平方可积随机变量A，我们有[A | X]=∞Xn，m，j=1E[hA，fmipj（Φn）]pj（Φn）fmwhere（fm）m∈Nis是H的正交基。因为（X，X）是高斯的，（Φn，hX，fmi）对于任何n，m都是高斯的∈ N.因此，我们有[X | X]=∞Xn，m，j=1E[hX，fmipj（Φn）]pj（Φn）fm=∞当（A，B）是R中的正态随机变量，B是标准正态，j 6=1时，Xn，m=1E[hX，fmiΦn]Φnfm原因E[Apj（B）]=0。此外，Φn=hX，eni√λnand-henceE[hX，fmiΦn]=hQen，fmi√λn，Φn=pλnhX，Q-1eni，E[X | X]=∞Xn，m=1hQen，fmihX，Q-1NIFM=∞Xn=1hX，Q-Niqenthus，我们有byk=kXn=1hYk，Q-1eniQen=kXn=1hX，Q-1尼琴→ E[X | X]代表k→ ∞我们使用帕塞瓦尔的身份来实现第一个平等。因为B是闭合的，所以我们有X∈ dom（B）P-a.s.和BX=E[X | X]。28 BENTH和KR–uhner参考文献[1]Albert，A.（1972）。回归和摩尔-彭罗斯伪逆。学术出版社，纽约。[2] Andresen，A.，Koekebakker，S.，和Westgaard，S.（2010）。使用多元正态逆高斯分布建模电力远期价格。J.能源市场，3（3）。[3] Audet，N.，Heiskanen，P.，Keppo，J.，和Vehvilainen，I.（2004）。在Nordicmarket中模拟电力正向曲线动态。《竞争性电力市场中的价格建模》，D.Bunn（编辑），第251-265页，John Wiley&Sons。[4] 巴恩多夫·尼尔森，O.E.（1998）。正态逆高斯型过程。金融斯托赫。，2（1），第41-68页。[5] Barndorff Nielsen，O.E.，Benth，F.E.，和Veraart，A.（2011）。范围过程和随机偏微分方程。《金融学的非先进数学方法》，G.Di Nunno和B.Oksendal（编辑），柏林海德堡斯普林格·维拉格出版社，第2章，第35-74页。[6] Barndorff Nielsen，O.E.，Benth，F.E.，和Veraart，A.（2014）。

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