NG null网络（2.8）和NGS null网络（2.13）之间的一个关键区别是，两个节点之间的预期边权重在前者中必须为正，但在后者中可能为负。考虑第4.1.1节中示例的一个有符号变量，其中类别内边缘权重等于常数a>0，类别间边缘权重等于常数b<0。κ-Th类节点i的强度为k+i=|κ| a和k-i=（N）- |κ|）b。我们考虑两类κ，κ有不同数量的节点。取|κ|>|κ|在不失去一般性的情况下，得出pi，j∈κ=2m+|κ| a-2米-（N）- |κ|）b>2米+|κa-2米-（N）- |κ|）b= 皮，j∈κ、 其中Pi，j∈κiis ngsnall网络中κii中节点对之间的预期边权重。与NG null网络的情况一样，NGSNLL网络中属于较大类别的节点对比属于较小类别的节点对具有更大的预期边权重。然而，预期的边缘权重可能是负的，这一事实可能会使多尺度社区结构的解释更加复杂。一类κ，其π，j∈κ<0和Pi∈κ、 j/∈κ≥ 当Aij<-γPijforall i，j∈ κ（对于足够大的γ，这个不等式必须成立，因为Pi，j∈κ<0），并且对于较大的γ值不会进一步分裂。这在用NGS网络获得的多尺度社区结构的解释中提出了一个特别的问题，因为具有负预期边权重的节点不需要在观察到的网络中“密集连接”才能对模块化做出积极贡献。事实上，如果放松对不同类别的边缘权重一致的假设，就可以确保类别内边缘权重最低的类别中的节点永远不会分裂。这与多尺度社区结构的标准解释背道而驰[41]。无花果。

4.1（d，e），我们用一个简单的例子来说明NGS空网络的上述特性。图4.1（d）中的玩具网络包含100个节点，分为三类：一类大小为50，两类大小为25。大小为50的类别和大小为25的一个类别在每对节点之间的类别内边缘权重为1。尺寸为25的另一个类别的每对节点之间的类别内边缘权重为0.4。所有类别间边的权重均为-0.05. （我们选择这些值，以便第三个类别的类别内预期边缘权重为负值，前两个类别的类别内预期边缘权重为正值，并且类别间预期边缘权重为正值。）我们在图4.1（e）中观察到，对于足够大的γ，第一类和第二类分裂为单态，对于较大的分辨率参数值，两类中较小的分裂为单态，而第三类从未分裂。我们对图4.1（f）中的U零网络进行了相同的实验（在使用Aij7将邻接矩阵线性移位到区间[0,1]之后）→（Aij+1）对于所有i和j），我们观察到节点的共分类指数反映了它们之间的边缘光的值。第一类和第二类的成对节点最大，第三类的成对节点最小。4.2. 数据集。我们将说明我们在第4节中讨论的功能是如何实现的。1可以在真实数据中显示。我们使用两组金融时间序列数据进行计算实验。第一个数据集，我们称之为多资产分类，有多种类型的资产，包括99年1月1日至10年1月1日期间N=98金融资产的周价格时间序列（每项资产的价格为574）。

这些资产分为七个资产类别：20个政府债券指数（Gov.）、4个公司债券指数（Corp.）、28个股票指数（EQ.），15种货币（当前），9金属（金属），4燃料商品（Fue.），和18种商品。该数据集是在[24]中使用主成分分析进行研究的，该论文对金融资产进行了详细描述。第二个数据集，我们称之为SingleAssetClass，包括1999年1月1日至2013年1月1日期间标准普尔（s&P）1500指数中N=859金融资产的每日价格时间序列（每个资产组的价格为3673）。金融资产均为股票，分为十个部门：64种材料、141种工业、150种金融、142种信息技术、55种公用事业、47种主要消费品、138种非必需消费品、48种能源、68种医疗保健和6种电信服务。一个人选择计算一对时间序列之间的相似性度量的精确方式，以及他所做的后续选择（例如，均匀或非均匀窗口长度，以及重叠或不重叠（如果使用滚动时间窗口），会影响相似性度量的值。定义相似性度量的方法有很多，最佳选择取决于应用领域、时间序列解析等方面，这是一个活跃且有争议的研究领域[62,67,69,76]。从一组时间序列构建相似矩阵并进行调查我们考虑的节点少于1500个，因为我们只包括所有时间点上可用数据的节点，以避免与数据清理技术选择相关的问题。（a） 多资产类别：所有238个时间窗口的相关曲面图（b）单资产类别：所有854个时间窗口的相关曲面图0.1 0.2Fig。4.2.

（a）多资产类别数据集和（b）单资产类别数据集在所有时间窗口的相关性曲面图。每个面板中的颜色根据观察到的频率值进行缩放。给定相似矩阵中的群落结构是两个独立的问题，本文主要研究后者。因此，在我们所有的实验中，我们使用皮尔逊相关系数来衡量相似性。我们使用一个滚动时间窗口来计算它们，该时间窗口具有统一的窗口长度和统一的重叠量。我们对两个数据集采用相同的网络表示。我们使用时间窗这个术语来表示一组离散的时间点，并将每个时间序列划分为重叠的时间窗，用T={Ts}表示。每个时间窗口的长度| T |以及连续时间窗口之间的重叠量|T |- δt是均匀的。重叠量决定了每个时间窗口中添加和删除的数据点的数量。因此，它确定了在每个后续相关矩阵（即每个后续层）中记录连接模式的数据点的数量。对于多资产类数据集（每个时间窗口中的数据约为两年），我们的Fix（|T |，δT）=（100,2），对于单资产类数据集（每个时间窗口中的数据约为一年），我们的Fix（|T |，δT）=（260,4）。具有邻接矩阵的每个网络层都是时间窗Ts期间对数回报时间序列之间的皮尔逊相关矩阵。我们采用对数回报之间的相关性，因为这是标准做法[17]，但也可以检查其他数量之间的相关性（如算术回报[31]）。对于每个数据集，我们研究矩阵序列像∈ [-1,1]N×N | s∈ {1，…，T}.我们展示了图中每个数据集在每一层中观察到的相关频率的表面图。

4.2.4.3. 资产关联网络中的多尺度社区结构。我们对两个数据集的相关矩阵进行与图4.1相同的实验。我们的分辨率参数样本是{γ-, . . . , γ+}（分别为，{0，…，γ+}）对于离散步长为10阶的U和NG（分别为NGS）零网络-3.我们存储成对节点的联合分类索引20 40 60 8020406080（a）重新排序的关联矩阵20 40 60 8020406080（b）重新排序的多尺度关联矩阵20 40 60 8020406080（c）重新排序的多尺度关联矩阵20 40 60 8020406080（NG）20 40 60 8020406080（d）重新排序的多尺度关联矩阵10 20 30102030（e）重新排序的多尺度关联矩阵10 20 30102030（f）重新排序的多尺度关联矩阵关联矩阵（U）10 20 30102030（g）重新排序多尺度关联矩阵（NG）10 20 30102030（h）重新排序多尺度关联矩阵（NGS）0 0.5 1图。4.3. U、NG和NGS空网络的多尺度关联矩阵，以及多资产分类数据集最后一层中的关联矩阵子集。在图（a）中，我们展示了整个矩阵；在面板（b、c、d）中，我们展示了我们使用三个空网络中的每一个从该矩阵中获得的多尺度关联矩阵。在图（e）中，我们展示了图（a）中相关矩阵的前35×35块；在面板（f，g，h）中，我们展示了多尺度关联矩阵，我们使用三个空网络中的每一个，从相关矩阵的子集中获得。颜色根据多尺度关联的条目和相关矩阵的条目进行缩放。对角线上的黑色方块对应ZF和公司债券资产，白色方块对应股权资产。样本中所有分辨率参数值的平均值。我们将U和NGnull网络用于线性移位到区间[0,1]的相关矩阵。

对于每一个空网络，我们由此产生| T |多尺度关联矩阵，其中心在0到1之间，指示在分辨率参数值之间节点对处于同一社区的频率。我们在图4.3中展示了多资产类别特定层的多尺度关联矩阵。图4.3（a）中的矩阵对应于2008年2月8日至2010年12月1日期间的相关矩阵。与[24]中的结果一致，该矩阵反映了2008年莱曼破产后发生的金融资产与我们从早期计算的相关矩阵之间的相关性增加。（也可参见图4中的一个曲面。）图4.3（b、c、d）中的矩阵分别对应于U、NG和NGS空网络的多尺度关联矩阵。我们对所有矩阵（相同地）进行重新排序，使用节点排序，基于我们通过U空网络获得的分区，该网络强调相关矩阵中的块对角结构。我们观察到，与图4.3（c，d）中的多尺度关联矩阵相比，图4.3（b）中的多尺度关联矩阵中的共分类指数更好地反映了图4.3（a）中资产之间的关联强度。如图4.3（c，d）中左上角较深的红色阴影所示，我们还观察到，ZF和公司债券资产（我们在对角线上用黑色方框表示）处于02 04 06 08 100.40.60.81相关年（a）多资产分类数据集NGS01 03 05 07 09 11 130.20.40.60.81多尺度关联矩阵和相邻矩阵之间的相关年（b）多尺度关联矩阵和SingleAssetClass数据集图。4.4.

所有时间层上U（实线曲线）、NG（虚线曲线）和NG（虚线曲线）空网络的邻接矩阵和多尺度关联矩阵之间的相关性（a）多类数据集和（b）单类数据集。我们计算每个矩阵中上对角线块中的项目之间的皮尔逊相关系数（避免重复计数，因为矩阵是对称的），并排除对角线项目（通过构造，这两个矩阵中的对角线项目等于1）。同一社区的分辨率参数值范围大于权益资产（我们用对角线上的白色方块表示）在同一社区中的范围。事实上，当我们使用NGS空网络时，两个ZF或公司债券之间的预期权重为负（大约为-0.1），对于任意大的分辨率参数值，这些资产位于同一社区中。（换句话说，他们不会为了大的利益而分裂成更小的社区。）在使用多尺度关联矩阵时需要谨慎。4.3（c，d）以了解图4.3（a）中资产之间的连通性。在研究多资产数据集的相关矩阵时，人们可能希望改变数据中包括的资产类别的大小（例如，通过改变股权和债券资产的比率）。我们将展示这样做如何导致进一步的误导性结论。通过仅使用相关矩阵的一个子集（前35个节点）重复相同的实验，我们考虑了一个例子，其中我们反转了债券资产类别和权益资产类别的相对大小。如图4.3（g，h）中右下角较深的红色所示，在使用NG或NGS网络时，权益资产现在比ZF和公司债券资产具有更大的分类指数。

如果使用图4.3（c，d）（分别为图4.3（g，h））的多尺度关联矩阵中的共分类指数来获得关于图4.3（a）（分别为图4.3（e））中权益和债券资产之间观察到的相关性的信息，则可能会得出不同的结论，尽管这些结论没有改变。然而，图4.3（f）中带有U零网络的多尺度关联矩阵反映了图4.3（e）中观察到的股权和债券资产之间的相关性。[72]的作者表明，一个称为“常数Potts模型”（CPM）的零网络的全局最优划分是“样本无关的”，其中边权重由一个与网络无关的常数给出。对于U型网络（其中预期的边权值为常数，但不独立于观测网络），其结果可概括如下。假设Cmax是一个最大化Q（C | a；P；γ）的分区，并考虑网络在一组社区C，氯∈ Cmax。然后{C∪C∪ Cl}最大化Q（C|^A；P；γ），其中^A是诱导子图γ=γhAi/h^Ai的邻接矩阵。对于CPM零网络，同样的结果适用于γ=γ。为了量化一个空网络的多尺度关联矩阵“反映”相关矩阵中的值的意义，我们计算U、NG和NGS空网络的每个多尺度关联矩阵的上三角部分与其对应的邻接矩阵在两个数据集的所有时间层之间的皮尔逊相关性。我们在图4.4中展示了这些相关图。观察图4.4（a，b）中邻接矩阵和多尺度关联矩阵之间的相关性，在U零网络的每一层中最强，在NGS零网络的每一层（几乎）中最弱。上述观察结果可以解释如下。

回想一下（2.5），我们可以把模块化最大化问题写成maxS∈STr（STB），其中S是划分矩阵的集合。当使用U型零网络时，模度矩阵的项是邻接矩阵的项被常数γhAi移位，质量函数减少为x∈sTr（STAS）- ||c（S）||, （4.2）其中| | c（S）| |=| | Tr（STNS）| |是以S为单位的集合大小向量的2-范数（即，c（S）是其kthentry isPNi=1Sik的向量）。因此，U零网络的模块化最大化等价于邻接矩阵的块对角化（第（4.2）项中的第一项），并对社区的大小（第二项）进行惩罚。随着分辨率参数的增加，人们倾向于使用内部连通性更强的较小节点集。注意，也可以将等式（4.2）应用于调整的邻接矩阵A=A-~A.例如，可以将~A设为控制相关矩阵A中随机波动的矩阵（例如，“随机分量”Crin[46]）。对于一般的空网络，等式（4.2）采用formmaxS∈sTr（STAS）- Tr（ST（γP）S）,其中P是零网络的邻接矩阵。也就是说，模块化最大化在一个（第一项）中找到块对角结构，而不是在γP（第二项）中。在应用程序中通常避免使用U null网络，因为“它不是大多数现实世界网络的良好表示”[53]。一个wantsa空网络在多大程度上能很好地代表一个观察到的网络，这取决于一个人想要将其视为给定的特性。我们认为，对于给定的情况，NG空网络是否比U空网络更合适，至少在一定程度上取决于一个人对该应用程序节点强度的解释。

正如我们在第2.4节中讨论的，相关矩阵中节点的强度由其标准化时间序列和平均时间序列之间的协方差给出。因此，当使用NGNULL网络时，两两差异会导致Bij- Bijin模块化质量函数依赖于corr（^zi，^zj）、corr（^zi，^zj）和corr（^zk，^ztot），其中k∈ {i，j，i，j}，数量^zi是第2.4.1节中定义的资产的标准化时间序列，^ztot=PNi=1^zi。当使用U空网络时，模块化质量函数中的成对差异仅取决于观察到的边权重corr（^zi，^zj）和corr（^zi，^zj）。术语corr（^zk，^ztot）引入了使用NG空网络发现的社区之间的依赖关系，以及这些社区中的节点代表样本平均时间序列的程度[通过corr（^zk，^ztot）测量]。在可能希望使用varyone的节点样本的情况下（例如，通过改变资产类别的大小），在解释所获得的社区时，需要记住这些依赖性。5.多层隔板上层间耦合的影响。在第4节中，我们将多层网络中的层间连接权重设置为0。然后，多层模块化最大化问题（3.4）的解决方案仅取决于每个时间层的模块化矩阵中的值，多层模块化最大化问题简化为在每个层上独立执行单层模块化最大化。回想一下多层模块化最大化问题maxC∈C“|T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（cis，cjs）+2Ω|T|-1Xs=1NXi=1δ（cis，cis+1）#。这个问题的一个解决方案是对N | T |节点多层网络进行分区。

它的社区可以包含来自同一层的节点和来自不同层的节点。不同层的节点可以是不同时间的同一节点（is，ir，s 6=r）或不同时间的不同节点（is，jr，i 6=j，s 6=r）。我们说，如果δ（顺式，顺式+1）=1（分别，δ（顺式，顺式+1）=0），则在连续层s和s+1之间的相同群落中（分别，改变群落）。正有序、对角和均匀层间连接有利于节点在连续层之间保持在同一社区中。每当一个节点不改变两个连续层之间的群落（即δ（cis，cis+1）=1），多层质量函数就会增加2ω的正贡献。因此，人们倾向于不随时间变化的社区，因为社区分配是可传递的：如果δ（cis，cjs）=1和δ（cis，cis+1）=δ（cjs，cjs+1）=1，那么δ（cis+1，cjs+1）=1。我们将多层分区的持久性定义为不改变层间社区的节点总数：Pers（C）：=|T|-1Xs=1NXi=1δ（顺式，顺式+1）∈ {0，…，N（|T|- 1)} . （5.1）如等式（5.1）所示，Pers（C）是介于0和N（|T|）之间的整数，当非节点始终在同一个群体中跨越层时，会出现这种情况-1） ，当每个节点始终保持在同一个社区中时发生。（参见[7]了解一种被称为“灵活性”的密切相关测量方法，该方法已应用于功能性大脑网络。）Letters（C）| s注意在两个连续层s和s+1之间保持在同一社区中的节点数：Pers（C）| s:=NXi=1δ（cis，cis+1）∈ {0，…，N}，（5.2）所以Pers（C）=P|T|-1s=1Pers（C）| s。持久性提供了一种深刻的方法来重写多层模块化最大化问题：maxC∈C|T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（cis，cjs）+2ΩPers（C）.

（5.3）因此，多层最大化问题衡量了层内的静态社区结构（5.3中的第一项）和跨层的时间持久性（5.3中的第二项）之间的权衡。为了更好地理解通过非零层间耦合（即使用ω>0）获得的分区如何与通过层间耦合（即使用ω=0）获得的分区不同，我们定义了有助于将多层分区与单层分区进行比较的明确符号。设Ns:={1s，…，Ns}表示层s中的节点集 {1，…，N；1，…，N；…；1 | T |，…，N | T |}到层s是Cl | s:=Cl∩ Ns，我们定义了由多层分区C引起的分区∈ 层s上的C byC | s:={Cl | s，Cl∈ C} 。为了便于编写，我们在本节中将“全局最优分区”称为“最优分区”，并将顶层|T | s=1PNi，j=1Bijsδ（cis，cjs）（即（5.3）中的第一项）称为层内模块化。在接下来的两小节中，我们将说明由ω>0的多层分区在各个层上产生的分区集如何与ω=0.5.1的层内分区相比较。玩具的例子。5.1.1. 连接模式的变化。这个玩具示例说明了层间耦合如何使我们能够检测和区分跨层连接模式的变化。在图5.1中，我们展示了一个未加权的多层网络，其中| T |=10层，每层中N=8个节点。除第3层和第6层外，每一层都包含两个4节点团。在第3层中，节点5连接到节点{1,2}，而不是节点{6,7,8}。在第6层中，节点5连接到节点{1,2,3,4}，而不是节点{6,7,8}。我们在图5.1的面板（a）-（c）中显示了多层网络的层。我们使用一个解参数γ=1的U零网络来检验它的社区。

然后，层s具有以下单层模块化矩阵：Bijs=1.- 哈西，如果我和j有联系-哈西，不然。每层中的最佳分区是唯一的，对于s，在s层中的最佳分区是Cs={1s，2s，3s，4s}，{5s，6s，7s，8s}/∈ 在第3层和第6层中，{3,6}和is Cs={1s，2s，3s，4s，5s}，{6s，7s，8s}。当层间耦合的值为0时，最佳多层划分是| T |断开的最佳单层划分的并集。我们在图5.1的面板（d）中显示的多层划分C=Si=1Cs的持久性为pers（C）=0。对于任何ω>0的分区，任何具有与C相同的层内分区且持久性非零值的分区都会产生比C更高的多层模块化值。这直接来自多层质量函数的表达式：Q（C | B）=T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（cis，cjs）+2ωPers（C）。在不改变层内分区的情况下增加持久性会增加Q（C | B）的最后一项，而不改变其他项。（在第5.2节中，我们将证明ω>0对于一个最优划分具有持续性的正值是必要的和有效的。）为了获得面板（e）中的多层分区，我们将面板（d）中包含1的所有集合合并到一个集合中，并将包含n的所有集合合并到另一个集合中。这个分区的持久性等于N（|T |- 1) - 4，以及任何其他组合Cyields中集合的方法，都会降低持久性值。SSSS（a）层6=3，6（b）层3（c）层6（d）分区c（e）分区c（f）分区c（g）分区C0 0.5 1 1.5 2-20-10010ω Q（e）（f）（g）（h）多层模块化值相对于分区CFig的变化。5.1. 举例说明使用有序对角线和均匀层间耦合来检测跨层社区结构的变化。我们考虑10个层（|T |=10），每个层中有8个节点（N=8）。

我们展示了（a）层s6中的网络结构∈ {3,6}，（b）第3层和（c）第6层。图（d）-（g）展示了四种不同的多层隔板。在每个面板中，圆的STH列代表sthlayer中的节点，我们从1到8排列。Weshow使用面板（d）中的实心曲线（避免使用20种不同的颜色）和面板（e）–（g）中的颜色显示同一社区中的节点集。在图（h）中，我们展示了图（f）（细线）和图（g）（粗线）中的分区与图（e）中不同ω值的分区之间的多层模块化值的差异。我们用水平虚线表示细线与水平轴的交点。由面板（h）中两条连续垂直线之间的面积定义的区域中的面板标签表明面板（e）、（f）和（g）中的哪个多层分区具有较高的模块化值。我们现在进一步检查图5.1。我们考虑面板（e）-（g）中的多层隔板。面板（e）中的示例显示了第3层[见面板（b）]和第6层[见面板（c）]的结构变化，面板（f）中的示例仅显示了第6层的变化，面板（g）未显示任何变化。正如我们在下面的模块化成本方面所做的量化，第6层的变化是两个变化中“更强”的。我们让Cdenote表示面板（e）中的多层分区，Cdenote表示面板（f）中的多层分区，Cdenote表示面板（g）中的多层分区。另外，请注意Pers（C）<Pers（C）<Pers（C）。层间耦合的ω值决定了这三个分区中哪一个分区具有最大的多层耦合度值。为了看到这一点，我们计算了为了持久化而改变层内静态社区结构的模块化成本。

（这种计算是[30]中静态网络计算的多层版本。）Cof中的层内模块化成本将节点5sF从社区{1s，2s，3s，4s，5s}移动到层s中的社区{6s，7s，8s}∈ {3,6}是Q（s）=2Xj∈{6,7,8}B5js-Xj∈{1,2,3,4}B5js=-4+2hAi≈ -3.3，如果s=3，-8+2hAi≈ -7.2，如果s=6。这两种情况下，层间模块化成本均为+4Ω；+4ω的第一个+2ω贡献后面是B的对称性，而+4ω的第二个+2ω贡献后面是一个事实，即任何一个移动都会增加+2的持续性。因此，对于0<4ω<|Q（3）|，面板（e）中的分区比（f）和（g）中的分区产生更大的多层模块化值。什么时候|Q（3）|<4Ω<|Q（6）|，在（f）中，分区的多层模块化值大于（e）或（g）的多层模块化值。最后，当4ω>|Q（6）|，面板（g）中的分区具有三个分区中最大的多层模块化值。当4ω=|Q（3）|（分别为4Ω=|Q（6）|），面板（e）和（f）（分别是，（f）和（g））中的多层隔板具有相同的多层模块化值。我们通过绘图Q（C | B）在图5.1（h）中说明了这些结果- Q（C|B）和Q（C|B）- Q（C | B）对ω。这个例子简单地说明了层间连接如何帮助区分连接模式中的变化：更强的变化（模块化成本方面）在层间耦合的更大值上持续存在（参见[4,59]，了解时态网络中“变化点检测”的其他方法）。5.1.2。共享连接模式。在前面的玩具示例中，当ω=0时，图5.1（e，f，g）中的多层分区在每层上诱导的层内分区对于至少一层是最佳的（参见图5.1（d））。

第二个示例说明了层间耦合如何识别层内分区，当ω=0时，这些分区对于任何单独的层都不是最优的，但反映了跨层共享的连接模式。在图5.2中，我们考虑了一个未加权的多层网络，其中| T |=3层，每层中N=13个节点。每个sthlayer包含四个3节点的cliques和一个连接到sthclique中三个节点中的每个节点的节点，以及4thlique中的tonodes 10和12。我们在平面图（a）-（c）中展示了多层网络的各层。我们使用一个resolutionparameter值为γ=1的U空网络来检查它的社区。每一层中的最优划分是唯一的，对于第1层，{1,2,3,13}，{4,5,6}，{7,8,9}，{10,11,12}，{1,2,3}，{4,5,6,13}，{7,8,9}，{10,11,12}，对于第2层，{1,2,3}，{4,5,6,3}，{7,8,9,13}，13}，{12}，对于第3层。我们通过组合这些集合来获得多层分区Cinpanel（d），使得当ω=0且层间持久性最大时，诱导的层内分区对于每一层都是最优的。多层分区Cin面板（e）反映了所有层共享的连接模式（即节点13Si与第四个3节点组而不是sth3节点组）；但当ω=0时，它的层内分区对于任何层都不是最优的。通过进行与前一个玩具示例类似的计算，我们可以证明，当ω>3/2时，面板（e）中的多层划分会产生更大的模块化。e、 ，当4ω+6[2（1-（海斯）-海斯-3(1-hAis）]>0，其中hAi=hAi=hAiby施工（a）第1层（b）第2层（c）第3层（d）分区c（e）分区C0 0.5 1 1.5 2-10-505ω Q（d）（e）（f）关于分区CFig的多层模块化值的变化。5.2.

玩具示例演示了如何使用有序对角线和均匀层间耦合来检测跨层的共享连接模式。我们考虑三层（|T |=3），每层有13个节点（N=13）。我们展示了（a）第1层，（b）第2层和（c）第3层中的网络结构。实线表示所有三层中存在的边，虚线表示仅在其中一层中存在的边。面板（d）和（e）展示了两个不同的多层分区。在每个面板中，圆的STH列表示sthlayer中的节点，我们将其排序为1到13。我们使用面板（d）和（e）中的颜色显示同一社区中的节点集。在图（f）中，我们展示了不同ω值的图（e）中的分区和图（d）中的分区之间的多层模块化值的差异。我们用水平虚线来表示直线与水平轴的交点。由面板（f）中两条连续垂直线之间的面积定义的区域中的面板标签表明面板（d）和（e）中的哪一个多层隔墙具有更大的多层模块化值。值大于面板（d）中的多层分区。我们在图5.2（f）中通过绘制Q（C | B）来说明这一结果-Q（C | B）对ω。本例简单说明了层间连接如何帮助识别跨层共享的连接模式。5.2. 多层隔板的一些性质。我们现在要问的是，引入正序对角和均匀耦合（即ω>0）如何改变静态网络（即ω=0的情况）的最大模划分集。为了明确区分层内和层间模块化贡献，我们用q（C | B。

，B | T |；ω） ：=|T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（cis，cjs）+2ΩPers（C）。而不是Q（C | B），其中C∈ C是一个多层分区。在本节中，我们假设| T |≥ 2.设Cmax（ω）表示多层模块最大化问题（5.3）的最优划分集，并设Cωmax为Cmax（ω）中的任意划分。在接下来的讨论中，回忆一下我们的假设是，集合C中的每个分区都包含集合，这些集合在邻接矩阵B的加权图中没有多个连通分量。这尤其适用于分区Cωmax∈ Cmax（ω）。我们证明了对于任意选择的矩阵Bs（例如，如果使用具有U零网络和分辨率参数值为1的modularityquality函数，则Bs=As）的几个命题- 哈西恩）。提议5.1。Pers（Cωmax）>0<=> ω > 0 .命题5.1确保只要ω的值严格为正，最优解的持久性也为正。为了证明这一点，有必要观察到，如果一个人通过将一些集合合并到同一个集合中来重新排列多层分区中的集合，而不改变各个层上的分区，那么他只会改变多层模块性表达式中持久性的值。例如，当从面板（d）中的隔板转到面板（e）中的隔板时，这种现象出现在图5.1中。证据=>: 我们证明了相反的结果。假设ω=0，考虑多层分区C，使得Pers（C）>0。

分区C至少包含一个具有多个连接组件的集合（因为Pers（C）>0且不同层中的节点未连接），并且C不是最优的，因为我们假设全局最优解不包含具有多个连接组件的集合。<=: 假设ω>0，考虑多层分区C，使得Pers（C）=0。我们将证明C不是最优的。设ir是{1，…，N；…；1 |T |，…，N |T |}中的任意节点，并设Cir表示C中包含ir的集合。让Cbe通过将包含is的所有集合（对于某些s）组合成一个集合，从而从C获得分区：C=C\\|T |[s=1{Cis}∪|T |[s=1Cis,其中CIS表示C中包含is的集合。因此，Q（C | B，…，B | T |ω）≥ Q（C | B，…，B | T |ω）+2ω（|T |- 1） ，所以C不是最优的。（注意2ω（|T |- 1） 对于ω>0是严格正的，因为我们假设|T |≥ 2.）提案5.2。如果Cl | r= 为了一些人∈ {1，…，T |- 1} ，则Cl | s= 对于所有s>r，其中Cl∈ Cωmax和Cωmax∈ Cmax（ω）。命题5.2确保如果一个社区在给定的层中变为空，那么它在所有后续层中保持为空。我们省略了这个证明，因为这个结果直接来自于B的稀疏模式，以及我们的假设，即在邻接矩阵B的图中，最优分割不包含具有多个连通分量的集。命题5.3。Cωmax | s=Cωmax | s+1<=> Pers（Cωmax）|s=N.命题5.3将两层之间的持久性概念与层内群落结构的变化联系起来。通过有序对角和均匀层间耦合进行的各种数值实验包括改变ω的值，并使用节点何时在层间改变群落的信息作为这些层内群落结构变化的指示[6,7,49]。

命题5.3中的等价关系促使使用pers（C）| s（或其变体）作为社区结构层内变化的指示。证据<=: 社区分配的传递性直接遵循了这一点：如果δ（cjs，cjs+1）=δ（cis，cis+1）=1表示所有i，j，那么δ（cis，cjs）=1当且仅当δ（cis+1，cjs+1）=1表示所有i，j（这个方向适用于任何多层分区；它不需要是最优的）=>: 让C∈ C是一个多层分区，使得C | s=C | s+1和Pers（C）| s<s∈ {1，…，T}。我们证明了C不是最优的。考虑一组Cl∈ 节点的C，使得Cl | s6=. 如果δ（cis，cis+1）=1（分别为δ（cis，cis+1）=0），则∈ Cl | s，则δ（cjs，cjs+1）=1（分别为δ（cjs，cjs+1）=0）∈ Cl | sby社区分配的及时性，因为C | s=C | s+1是由假设决定的。因为Pers（C）| s<N是假设的，所以至少存在一组Ck | sof节点（其中Ck∈ C） 使得δ（cis，cis+1）=0表示所有∈ Ck | s.设Cm | s+1，带Cm∈ C、 表示层s+1中包含is+1或所有is的节点集∈ Ck | s.考虑场景∪R≤CKK中位于{1，…，s}层和集合中的sCk | rof节点∪r> CM中的sCm | rof节点位于{s+1，…，|T |}层中。因为对于allis，δ（cis，cis+1）=0∈ Ck | s，根据命题5.2，Ck=∪R≤sCk |兰特厘米=∪r> sCm | r.定义分区CbyC=C\\{Ck}∪ {Cm}[{Ck∪ Cm}.该分区满足所有r的C | r=C | r∈ 因此，Q（C | B，…，B | T |ω）>Q（C | B，…，B | T |ω）和C不是最优的。命题5.1、5.2和5.3适用于以ω的任何正值获得的最优划分。接下来的两个命题涉及ω的“边界”值的存在性。提议5.4。

存在ω>0，如果ω<ω，则|T |[s=1Cωmax | s∈ Cmax（0）。此外，我们还证明了ω=Q/2N（|T|- 1), 哪里Q是Q（Cmax | B，…，B | T | 0）和Q（C | B，…，B | T | 0）的第二大值之间的差异，通过设置cis+1=cis是无效的，因为缓慢地改变Pers（C）可以改变Pers+1或Pers（C）|-1.C.命题5.4的划分强化了将ω视为打破层内静态社区结构的成本，从而有利于跨层持久性的更大值的想法。它表明，层间耦合存在正值，因此对于任何较小的耦合，多层模块化最大化只提供了比单层模块化最大化更多的信息，因为它确定了具有最大持久性的分区集inCmax（0）。这一性质的证明依赖于一个事实，即给定模块化矩阵的可能模块化值集是有限的。证据设C是一个任意的分区∪|T | s=1C | s/∈ Cmax（0）。我们将证明层间耦合参数ω存在一个值ω，因此对于任何小于ω的层间耦合，C永远不是最优的。给定一系列单层模块化矩阵{B，…，B | T |}，ω>0的一组可能的多层模块化值是有限的，由qω给出=Q（C | B，…，B | T |ω）|C∈ C,其中C是一个多层分区。设Q=max Q，Q=max Q\\{Q}，和Q=Q- Q> 0。根据假设，Q（C | B，…，B | T | 0）<Q（Cmax | B，…，B | T | 0），其中Cmax∈ Cmax（0）。此外，通过对持久性的定义，它遵循Q（C | B，…，B | T |ω）≤ Q+2ωN（|T|- 1） （5.4）对于ω的所有值。通过选择ω<ω，ω=Q/2N（|T|- 1), 我们得到Q（C | B。

，B | T |；ω) ≤ Q+2ωN（|T|- 1） <Q+Q=Q，所以对于ω以下的任何层间耦合，C都不是最优的。显然，ω=Q/2N（|T|- 1)不是集合的上限ω ∈ R+：S | T | S=1Cωmax | S∈ Cmax（0）,但我们主要关心的是，这个集合的最小上界不是0。（事实上，我们已经证明，它必须至少与Q/2N（|T|- 1)> 0.）提案5.5。存在ω∞> 如果ω>ω∞, 然后Pers（Cωmax）|s=N表示所有的s∈ {1，…，T}。此外，我们还证明了ω∞= |T|N麦克斯（英国国际航空公司）-min（Bdiag）/其中max（Bdiag）=maxijsbijs，min（Bdiag）=minijsBijs。命题5.5意味着层间耦合ω的足够大的值可以保证Cωmax|在层间保持相同（命题5.3）。这个命题的证明类似于命题5.4的证明。例如，一个可以替换N（|T |- 1） in（5.4）由N（|T |- 1) - Pers（Cmax（0）），其中Pers（Cmax（0））表示通过组合Cmax（0）的每个分区中的集合而不改变在各个层上诱导的分区，可以获得的持久性的最大值。命题5。如果取ω=Q/N（| T |- 1) - Pers（Cmax（0））, 哪里Q/N（| T |- 1) -Pers（Cmax（0））> Q/2N（|T|- 1） ，因为Pers（Cmax（0））≥ |T|- 1在任何多层网络中。证据设C是多层网络的任意划分，使得Pers（C）|s<N对于某些s∈ {1，…，T}。我们证明了存在一个值ω∞> 层间耦合参数ω的0，使得对于ω>ω，C永远不是最优的∞. 我们首先重写质量函数asQ（C | B，…，B | T |ω）=β+2ω（N（| T |）- 1) - A） 式中，β=P | T | s=1PNi，j=1Bijsδ（cis，cjs）和A≥ 1因为Pers（C）<N（| T |- 1） 假设。现在考虑多层模型矩阵B:Bdiag的对角块上的一组值=Bijs | i，j∈ {1，…，N}，s∈ {1, . . .

，|T |},让max（Bdiag）和min（Bdiag）分别表示集合Bdiag的最大值和最小值。在不丧失一般性的情况下，我们假设最小值（Bdiag）<0，最大值（Bdiag）>0。设Cbe为具有最大持久性的任意多层分区。因此q（C | B，…，B | T |ω）=β+2ωN（|T |- 1） 有一段时间∈ R.因为≥ 1，选择2ω>|T |N麦克斯（英国国际航空公司）- min（Bdiag）≥ β- 对于任何β和所有a，β确保Cyields的多层模块化值大于C∈ {1，…，N（|T|- 1)}.以下命题直接来自命题5.5。提议5.6。存在ω∞> 这样的话对所有人来说∈ {1，…，|T |}，Cωmax |是maxC的一个解∈CQC | T | Xs=1Bs对于所有的ω>ω∞.命题5.5和命题5.6暗示ω存在一个“边值”，在该边值之上，由最优多层划分（1）产生的单层划分是所有层上的相同点，（2）是定义在平均模块化矩阵上的单层模块化最大化问题的最优解。证据假设ω>ω∞, ω在哪里∞如命题5.5所定义，设Cωmax∈Cmax（ω）。根据命题5.5，Pers（Cωmax）=N（|T |- 1） ，和社区分配如果min（Bdiag）和max（Bdiag）有相同的符号，那么B的每个对角线块要么有所有的正条目，要么有所有的负条目。在这两种情况下，最优划分Cωmax对于ω>0的任何值都具有最大持续性，因为Cωmax |是由单个社区或所有s的单个社区给出的。因此，根据命题5.3，Cωmax中所有s的Pers（Cωmax）| s=N在各层中是相同的。

因此，对于ω>ω∞C*= argmaxC∈C|T | Xs=1NXi，jBijsδ（cis，cjs）+2ΩPers（C）,<=> C*= argmaxC∈C|T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（ci，cj）+2ωN（|T |- 1),<=> C*= argmaxC∈CNXi，j | T | Xs=1Bijs！δ（ci，cj）,其中cidenotes表示所有层中节点i的社区分配。接下来的两个命题形式化了一种直觉，即最优多层划分衡量层内静态社区结构（即层内模块化）和跨层社区结构持久性之间的权衡。提议5.7。设ω>ω>0。对于所有的Cωmax∈ Cmax（ω），以下两个条件之一必须成立：（1）Cωmax∈ Cmax（ω），或（2）Pers（Cωmax）<Pers（Cωmax），用于所有Cωmax∈ Cmax（ω）。证据设Cωmax∈ Cmax（ω）。如果Cωmax∈ Cmax（ω），则条件（1）满足。假设Cωmax/∈ Cmax（ω），并假设Pers（Cωmax）≥ 对于某些Cωmax，Pers（Cωmax）∈Cmax（ω）。根据最优性的定义，Cωmax/∈ Cmax（ω）意味着Q（Cωmax | B，…，B | T |ω）<Q（Cωmax | B，…，B | T |ω），（5.5），其中ω>ω。通过写q（Cωkmax | B，…，B | T |ωk）=T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（Cωkis，Cωkjs）+2ωkPers（Cωkmax），其中Cωkis是节点isin Cωkmax和k的社区分配∈ {1, 2}; 用ω+代替ω 对一些人来说 > 0，我们可以证明不等式（5.5）意味着Q（Cωmax | B，…，B | T |ω）<Q（Cωmax | B，…，B | T |ω），这与Cωmax的最优性相矛盾。提议5.8。设ω>ω>0。对于所有的Cωmax∈ Cmax（ω），以下两个条件之一必须成立：（1）Cωmax∈ Cmax（ω），或（2）Q（Cωmax | B，…，B | T | 0）>Q（Cωmax | B，…，B | T | 0）对于所有Cωmax∈ Cmax（ω）。证据设Cωmax∈ Cmax（ω）。如果Cωmax∈ Cmax（ω），则条件（1）满足。假设Cωmax/∈ Cmax（ω），并假设q（Cωmax | B，…，B | T | 0）≤ 对于某些Cωmax，Q（Cωmax | B，…，B | T | 0）（5.6）∈ Cmax（ω）。根据最优性的定义，Cωmax/∈ Cmax（ω）意味着Q（Cωmax | B。

B | T |；ω） <Q（Cωmax | B，…，B | T |ω），（5.7），其中ω>ω。通过写Q（Cωkmax | B，…，B | T |ω）=Q（Cωkmax | B，…，B | T | 0）+2ωPers（Cωkmax），其中k∈ {1,2}通过使用（5.6），我们可以证明（5.7）意味着Q（Cωmax | B，…，B | T |ω）<Q（Cωmax | B，…，B | T |ω）。对于所有ω<ω。这与Cωmax的最优性相矛盾。为了发展命题5.7和5.8的直觉，有必要将给定分区C的多层质量函数Q（C | B，…，B | T |ω）视为ω的线性函数，在Q（C | B，…，B | T | 0）处与斜率Pers（C）相交（例如，参见图5.1和图5.2的最后几幅）。接下来的三个推论直接来自命题5.7和命题5.8。第一种说法是，在给定层间耦合值的情况下获得的最优分区的最大持久性值是ω的非递减函数。第二种说法是，在给定层间耦合值的情况下，非最优划分的层内模性可达到的最大值是ω的非递增函数。第三个性质表明，如果ω的两个不同值具有相同的最优划分集，那么该集对于所有中间值也是最优的。推论5.9。设ω>ω>0。它遵循thatPers（Cmax（ω））≥ Pers（Cmax（ω）），其中Pers（Cmax（ω））：=maxPers（Cωmax），Cωmax∈ Cmax（ω）.推论5.10。设ω>ω>0。因此q（Cmax（ω））|B，B | T |；0) ≤ Q（Cmax（ω））|B，B | T |；0），其中Q（Cmax（ω）|B，B | T |；0）：=maxQ（Cωmax | B，…，B | T | 0），Cωmax∈ Cmax（ω）.推论5.11。假设对于ω>ω>0，Cmax（ω）=Cmax（ω）。

因此，对于所有ω，Cmax（ω）=Cmax（ω）=Cmax（ω）∈ (ω, ω) .我们可以扩展命题5.1–5.8的证明，使其适用于每对相邻层之间均匀的层间耦合，但可能会在后处理层节点之前进行多层划分，在后处理层节点之后进行多层划分。5.3. 通过社区分配交换（community assignment Swap，增加持久性的价值，但不改变层内分区）来增加多层模块化，从而说明后处理对多层分区的影响。面板（a）-（c）中的颜色与邻接矩阵的条目成比例。面板（d）（分别为面板（e））表示在后处理之前（分别为之后）使用Louvain获得的输出多层分区。横轴代表层，纵轴代表节点。面板（d，e）中的阴影表示每个层中节点的社区分配。从一对到另一对。换句话说，对于最大化问题maxC，可以得到类似的结果∈C|T | Xs=1NXi，j=1Bijsδ（cis，cjs）+2 |T|-1Xs=1ωsPers（C）|s.命题5.1–5.6很容易扩展到这种情况，我们可以扩展命题5。7–5.8如果（例如）一个人假设ω（1）s>ω（2）s>0表示所有s∈ {1，…，T |- 1} 式中ω（1）和ω（2）是（|T |- 1） -维度向量。（例如，可以设置ω（2）=ω（1）并改变ω>0。）5.3. 计算问题。现在，我们将研究使用Louvain启发式（见第2.2节）最大化多层模块化（3.3）时可能出现的问题。5.3.1。不重视坚持。考虑图5.3中的示例网络，它是一个三层网络，每层有5个节点。

假设在第1层和第3层中，所有节点都彼此紧密连接，并且当s=1，3时，第2层中节点1和节点{2，3，4，5}之间的边权重小于节点1和节点{2s，3s，4s，5s}之间的边权重。我们使用γ=0.5且ω=0.1的均匀网络。这将生成一个多层模块化矩阵，其中除节点1的模块化条目外，所有单层模块化条目均为正值，并超过层间耦合的值。假设在Louvain启发式的第1阶段中，一个循环位于从1到N | T |的顺序节点上。初始分区由N | T |个单件组成，然后将每个节点移动到最大程度增加模块性的集合中。第一阶段结束时的分区是{1,2,3,4,5,1}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}。在第二阶段，第二个和第三个集合合并形成一个集合，Louvain启发式陷入局部最优，其中较小的节点集（即{1}）在第1层和第2层保持在同一个社区中，较大的节点集（即{2,3,4,5}）改变社区。我们在图5.3（d）中展示了这种多层划分。在Louvain启发式第1阶段的每次迭代开始时，使用随机节点顺序重复该实验1000次，得到相同的多层划分。通过增加跨层持久性的值，而不改变层内分区（我们在命题5.1的证明中使用了这个想法），可以修改这个多层分区，以获得具有更大多层模块性值的新分区。我们在图5.3（e）中展示了这种情况的一个例子。在图5.3（d）中，我们通过层间颜色的突然变化直观地说明了上述问题。

（这些在更大的网络中更为明显。）这种变化是误导性的，因为它们意味着持久性的大幅下降，而这可能与层内分区的显著变化无关。例如，在图5.3（d）中，层内分区在仅单个节点的社区分配中不同。为了缓解这个问题，我们对所有outputpartitions应用了一个后处理功能，该功能可以最大限度地提高层间的持久性，而无需更改每层上产生的分区。因此，我们产生了一个具有更大多层模块化值的分区。在我们的后处理中，我们重新标记了每一层中节点的社区分配，以便（1）最大化连续层之间保持相同社区的节点数量，（2）原始多层分区在每一层上诱导的分区保持不变。通过将给定层内分区集的持久性最大化问题重新表述为连续层之间的加权二部匹配问题，可以使用匈牙利算法[20,40,51]实现我们的后处理过程。层内合并的数量突然下降。Louvainheristic在多层网络中面临第二个问题。当层间耦合的值满足ω>max（Bdiag），（5.8）时，其中Bdiag是方程（5.4）中定义的B的对角块上的值集，层间对多层模块化的贡献大于所有节点对的层内贡献。因此，在Louvain启发式第一阶段的首次完成期间，仅发生层间合并。在图5.4（a）中，我们使用MultiAssetClasses数据集说明了这种现象。层间合并的平均数量从大约N=98（几乎每个节点都包含至少一个来自其社区中同一层的其他节点）下降到0。

对于大于max（Bdiag）的ω值，在第一阶段结束时的每个集合只包含不同层中每个节点的副本，尤其不包含来自同一层的节点。这会在输出多层分区的各个层上引起分区的突然变化。在图5.4（c）中，我们展示了一个使用MultiAssetClasses数据集的示例，说明了上述问题如何导致从Louvain启发式获得的多层输出分区计算出的定量测量值发生突变。我们注意到，将第一个和第二个集合合并成一个集合会降低模块性，因为层间耦合的值太小，无法补偿层内模块性贡献的减少。0.1 0.3 0.5 0.7 0.9050100#-层合并ω（a）Louvain0第一阶段第一次完成后层内合并的平均数量。1 0.3 0.5 0.7 0.9050100#-层合并ω（b）Louvainr第一阶段第一次完成后的层内合并平均数（c）Louvain输出分区中改变层间社区分配的节点平均数（d）Louvainr输出分区中改变层间社区分配的节点平均数图。5.4. Louvain和LouvainRand算法之间的比较。层间耦合值的样本是集合{0，0.02，…，0.98，1}，每个连续值之间的离散化步骤为0.02。（a，b）在（a）Louvain启发式和（b）LouvainRand启发式的第一阶段完成后，与同一层中至少一个节点合并的第九个节点的数量。对于每个启发式，我们平均nintraover | T |=238层和100次迭代。面板（a、b）中的误差条表示标准偏差。

（c，d）1的价值- Pers（C）| s/N平均超过100次（C）Louvain启发式和（d）Louvainr启发式，在算法收敛到局部最优后。在ω>最大值（Bdiag）的Louvain算法第1阶段第一次完成后，集合的平均大小（平均超过100次）对于多组分类而言相对较小。（平均值为每个集合3个节点，节点集的最大可能数量为| T |=238，因为当ω>max（Bdiag）时，这些集合中的每个集合只包含相同节点的副本。）然而，当ω增加超过ω=max（Bdiag）时，（1）的值会有一定的下降- ω=max（Bdiag）时输出分区中连续层之间的Pers（C）| s/N）[见图5.4（C）]。（1）的非零值-Pers（C）| s/N）表明，在s层和s+1层之间，社区分配发生了变化（根据命题5.3）。粗略地说，图5.4（c）表明，当ω>max（Bdiag）时，人们会突然远离ω≈ ω到更接近ω的场景≈ ω∞.当层间耦合的值相对于Bdiag的条目较大时，上述现象就表现出来。在我们考虑的相关多层网络中（或在未加权多层网络中），邻接矩阵的条目满足| Aijs |≤ 1.假设在另一种情况下，随着ω的增加，会发生突变，则在每种情况下使用模块化质量函数，参见参考文献[63]中关于多层拉普拉斯算子特征值变化作为ω函数的讨论。图层和那个精灵≥ 0（例如，Pijs=hAsi），这意味着max（Bdiag）≤ 所有人1人∈ [γ-, γ+] .对于那些为了持久性而改变层内分区的模块化成本比Bdiag的值大的网络，可能需要使用ω>1来深入了解多层社区结构。