II C只考虑了多重级联区域，而不考虑分数φJ∞φS∞.附录E：替代设置下的多级级联在附录C中，我们声称在我们的模型的正文中证明的等式λmax（J）=trJ在多级级联模型的其他变体中不一定成立。在接下来的内容中，我们通过研究两种不同的双层复合模型来证实这一论点。1.外生高级阈值在正文中描述的模型中，高级默认阈值RS取决于juniordefault的阈值RJ，以及初级层上节点的入度bJ。在本小节中，我们考虑一个多级级联的替代模型，其中高级违约阈值是一个外生参数。让（本地）的  (φ∞ φ∞)    () ()φ∞0 2 4 6 802468       =        =   λ() > -  > -  > φ∞0 2 4 6 802468       =        =   λ() > -  > -  >  () () φ0 2 4 6 802468       =        =   λ() > -  > -  >  φ0 2 4 6 802468       =        =   λ() > -  > -  > 图7。（彩色在线）在这里，我们比较了初级、高级和多重级联条件[Eqs。

（6） （7）和（8），分别使用递归方程（4）的固定点[在面板（a）和（b）中]和具有10个节点的随机图上的数值模拟[在面板（c）和（d）]。每个节点的初级默认阈值为RJ=0.18（如图3所示）。轴是边缘密度hlJi和hlSi（即每家银行初级和高级贷款的平均数量）。蓝色实线、橙色虚线和绿色点虚线围绕着多路、仅初级和仅高级级联区域[即分别满足不等式（6）、（7）和（8）的（hlJi，hlSi）值集]。在面板（a）和（b）中，背景中的灰度显示固定点φJ∞φS∞从初始条件φJ=φS=5×10开始-4.在面板（c）和（d）中，背景中的灰度分别显示了初级和高级默认情况下的节点比例，在数值模拟中，10个节点和5个银行最初处于高级默认状态，平均超过75个模拟。在所有四个面板的左上部分，大多数贷款都是优先贷款，节点的分数（φJ∞, φS∞) 在层级结束时，初级和高级违约都是如此≈ 1.相比之下，在右下角，大部分贷款都是次级贷款，分数φJ∞默认值或默认值中的节点数较大[φJ∞≈ 1.面板（a）和（c）]，而分数φS∞高级默认值中的节点数为≈ 0.4[参见面板（b）和（d）中由橙色虚线包围的浅灰色区域]。（树状）图像树一样从随机均匀选择的根节点垂下。

树的叶子上方的节点t跳的默认概率的递归方程是^φαt+1=^g（α）（^φJt，^φSt）≡^φα+ (1 -^φα）XlJ+lS≥1pJ，outlJpS，outlSlJXmJ=0lSXmS=0BlJmJ（^φJt）BlSmS（^φSt）^Fα（~l，~m）（E1）表示α∈ {J，S}，其中pJ，outlJand pS，outls分别表示初级和高级层上的输出度分布。对于α，响应函数现在是^Fα（~l，~m）=mJ+mS>Rα（lJ+lS）∈ {J，S}，其中0<RJ≤ RS≤ 1.因此，一阶级联条件由λmax（^J）>1给出，其中^J的条目为（i，J）的E[lj1>Ri（lJ+lS）]∈ {J，S}。注意，如果RJ<RS，等式det^J=0不一定成立。因此，λmax（^J）通常不等于tr^J.2。无向边接下来，考虑一个多级级联模型，其中边是无向的。再一次，让图像一根绳子一样从一个随机均匀选择的根节点垂下。假设一个节点位于树叶子上方的t个跃点。该节点因其子节点而处于α默认状态的概率，取决于其在层α中的父节点∈ α层的溶剂{J，S}由递推方程‘θJt+1=’θJ+（1）给出-\'\'θJ）XlJ+lS≥1pJlJlJhlJipSlSlJXmJ=0lSXmS=0BlJmJ（\'θJt）BlSmS（\'θSt）\'FJ（~l，~m），（E2a）\'θSt+1=\'θS+（1）-\'\'θS）XlJ+lS≥如果节点的父节点是J层（分别是s层）中的邻居，则使用等式（E2a）[分别是等式（E2b）]，而pαlα是α层上的度分布。由于该图是未加权的，并且由于该节点位于均匀随机选择的α型边的末端，其在层α中的阶数是多余的阶数分布，pαlαlα/hlαi。响应函数为‘FJ（~l，~m）=（1 ifmJ+mSlJ+lS>RJ0，否则，（E3a）’FS（~l，~m）=（1 ifmJ+mS）-lJlJ+lS>RJ0，否则。（E3b）因为这些图是无向的，所以-bJin FSin原始模型[Eq.（2b）]现在是-lJin Eq。

（E3b）。相应的雅可比矩阵为‘J=EJ[（lJ- 1） 1>RJ（lJ+lS）]EJ[lS1>RJ（lJ+lS）]pJES[lJ1>RJ（lJ+lS）]pJES[（lS- 1） 1>RJ（lJ+lS）], （E4）其中预期EJA和ESA分别超过联合概率分布PJLJHLJIPSLSL和pJlJpSlSlShlSi。由此得出，det’J通常为非零，因此λmax（‘J）=tr’J不一定成立。参考文献[1]P Gai和S Kapadia。金融网络中的传染。皇家学会学报A：数学、物理和工程科学，466:2401–2423，2010年6月。内政部：10.1098/rspa。2009.0410.[2] Erlend Nier、Jing Yang、Tanju Yorulmazer和Amadeo Alenter。网络模型和财务稳定性。经济动力和控制杂志，31（6）：2033-20602007。网址：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165188907000097，doi:10.1016/j.jedc。2007.01.014.[3] 小林寺。具有可变资产回报的金融传染模型可能会被简单的级联阈值模型所取代。《经济学快报》，124:113–116，2014年。doi:10.1016/j.econlet。2014.05.003.[4] 霍尔丹人P盖和S卡帕迪亚。复杂性、集中性和传染性。《货币经济学杂志》，58:453–470，2011年7月。doi:10.1016/j.jmoneco。2011.05.005.[5] C.上。评估银行间市场传染危险的模拟方法。《金融稳定杂志》，2011年8月7:111–125。doi:10.1016/j.jfs。2010.12.001.[6] R.M.May和N.Arinaminpathy。系统性风险：模型银行系统的动态。《皇家社会界面杂志》，7:823–838，2010年5月。内政部：10.1098/rsif。2009.0359.[7] T R Hurd和J.P.Gleeson。基于瓦茨的随机链路权重级联模型。《复杂网络杂志》，1（1）：25–43，2013年5月。内政部：10.1093/comnet/cnt003。[8] L.巴吉格利、G.迪亚西奥、L.因凡特、F.利洛和F.皮耶罗本。银行间网络的多元化结构。量化金融，15（4）：673-6912015。

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