多元止损混合Erlang再保险风险：聚合，

2022-5-7 09:49:18

多元止损混合Erlang再保险风险：加总、资本分配和违约风险Gildas Ratovomirija1 2016年11月9日摘要：本文讨论了非独立止损再保险风险的加总，其中，分保风险中的非独立e由Sarmanov分布控制，每个单独的风险都属于Erlang混合类型。我们通过推导综合止损保险风险分布函数的闭合公式，研究了再保险分出保险人风险依赖性对再保险人风险收益的影响。此外，通过推导再保险人整个业务组合所需的风险资本的闭合表达式，以及根据TVaR资本分配原则为每个业务单元分配的风险资本，来检验聚合再保险风险的不同影响。此外，考虑到再保险人持有的风险资本，我们解析地表达了再保险人的违约概率。在再保险人违约的情况下，我们确定再保险分出保险人各再保险业务线的总未付损失金额和未付损失的分析表达式。这些结果用数值例子加以说明。关键词：风险聚集；萨马诺夫分布；混合Erlang分布；资本配置；止损保险；再保险违约风险；违约概率。1简介再保险公司在世界许多地区开展业务，承保各种保险业务。在这方面，人们充分认识到，再保险分出损失是相互依存的。这种风险依赖性可以体现在每个保险组合中的单个风险之间，也可以体现在各个业务线之间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 09:49:21

此外，依赖现象也会发生在全球风险因素中，这些因素会同时对每个业务线产生索赔，例如飓风会损坏建筑物或汽车，影响财产线，同时会导致人员受伤，从而影响事故线。在风险管理框架中，例如瑞士偿付能力测试（SST），与保险公司类似，再保险公司有义务持有一定水平的风险资本，以避免意外的巨额损失。该资本的确定需要对每个再保险组合产生的损失进行汇总，其分布取决于再保险分出人的损失分布。Meyers等人[14]是第一批致力于将从属再保险风险汇总以评估风险资本的贡献之一。在这方面，为了推导风险资本衡量的明确公式，包括风险价值（VaR）、总风险的尾部风险价值（TVaR），一项重要任务是适当选择边际和风险之间的依赖结构。在我们的框架中，选择了混合Erlang分布作为再保险分出人个人风险的索赔规模模型。这种分布的可处理性的原因之一是，此类风险的卷积再次属于Erlang混合类，见[9]。因此，止损和亏损超额有一个闭合表达式，这在再保险ris k建模中非常有用，见Lee和Lin[11,12]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 09:49:24

在这篇文章中，我们通过萨马诺夫分布讨论了风险之间的依赖结构。本文的目的是分析再保险分出保险人的风险依赖性对再保险人风险的影响。瑞士洛桑大学商业与经济学院精算学系，瑞士洛桑UNIL Dorigny 1015，瑞士洛桑洛桑，Vaudoise Assurances，Place de Milan CP 120，1001 Loushane，Switzerlandpro file，该公司仅有stop los再保险组合。通过推导整个投资组合的风险资本和每个业务部门的分配风险资本的封闭表达式，来检验聚合再保险风险的分散效应。还分析了再保险人违约的影响。本文组织如下：在第二节中，我们描述了萨马诺夫分布作为保险风险和混合二元分布之间依赖结构模型的背景，该混合二元分布具有共同的标度参数，即索赔规模模型。第3节通过推导两个投资组合的总风险的联合尾部概率，探讨了分出保险人的风险模型，并给出了数值例子。在第4节中，通过确定聚合风险的分布函数（df）的闭合形式，讨论了再保险人的止损混合Erlang ris ks的聚合。数字研究也展示了资本配置和多元化效应。我们还通过推导预期无赔付损失和违约概率的解析形式，并用数字说明，分析了再保险人的无过失风险。所有的证据都归入第5节。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:28

混合Erlang分布的一些性质见附录。2.准备工作2。1 Sarmanov分布由于其对随机变量（rv）之间的依赖结构建模的灵活性，Sarmanov分布在Sarmanov[17]中引入，已被广泛应用于许多领域。关于保险应用，Hernandez等人[8]利用多元Sarmanov分布计算了集体风险模型中的Bayes保费。Sarabia和Gomez[16]使用了带有泊松-贝塔边缘的Sarmanov分布到Fit多元保险计数数据。共同贡献[27,26]在破产概率的背景下探索了可提取的渐近公式，其中保险风险之间的依赖性由萨拉马诺夫分布决定。参考文献[10]，一个随机向量（X，…，Xn）具有多变量的马尔可夫分布，其联合密度由h（X）=nYi=1fi（xi）给出1+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhhYk=1φjk（xjk）, x:=（x，…，xn），（2.1）式中，φiare kerne l函数，假定为有界且非常数，使得e{φi（Xi）}=0,1+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhhYk=1φjk（xjk）>0，xi∈ R（2.2）已满。Lee[10]针对不同类型的边缘词，给出了一些求核函数φi的一般方法。特别是，它通常用于选择φi（xi）=gi（xi）- E{gi（Xi）}表示在R+中有支持的边缘分布（参见E.g.[26]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:31

以下三种情况是gi（xi）的常见规格：（i）gi（xi）=2Fi（xi），对应于远里冈贝尔-摩根斯坦（FGM）分布，其中FI是xi的存活函数，（ii）gi（xi）=xti- E{Xti}使得xi的t阶矩E{Xti}是有限的，（iii）gi（xi）=E-txi- EE-tXiE在哪里E-tXi< ∞ 是Xiat t.2.2 Mixed Erlang Marginals的拉普拉斯变换。最后一个例子是，具有公共尺度参数的混合Erlang分布是最有用的保险损失模型之一。在风险理论中，Dickson和Willmot[6]和Dickson[5]使用混合e d Erlang分布作为索赔规模模型，推导出了有限时间破产概率的分析公式。最近，利用EM alg算法，混合Erlang分布已适用于美国Byley和Lin[11]的灾难性损失数据，以及Verbelen等人[21]的删失和截断数据。此外，Lee和Lin[12]、Willmot和Woo[25]开发了多元混合Erlang分布，以克服copula方法的一些缺点，而Badescu等人[1]使用多元混合泊松分布和混合索赔规模来模拟运营风险。此外，Hashorva和Ratovomirija[7]已经通过混合Erlang ma rginals和Sarmanov分布解决了风险聚集和资本分配问题。在续集中，wedenote分别是wk（x，β）=βkxk-1e-βx（k）- 1)!, Wk（x，β）=∞Xj=k（βx）je-βxj！，Wk（x，β）=k-1Xj=0（βx）je-βxj！，x>0，（2.3）Erlang分布的pdf、df和生存函数，其中k∈ N*是形状参数，β>0是比例参数。正如其名称所示，混合Erlang分布是从Erlang分布中提炼出来的，其pdf和df分别定义为asf（x，β，Qe）=∞Xk=1qkwk（x，β），F（x，β，Qe）=∞Xk=1qkWk（x，β），（2.4），其中Qe=（q，q。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-5-7 09:49:35

）是一个非负权重向量∞k=1qk=1。此后我们写X~ME（β，Qe），如果X的pdf和df由（2.4）给出。在保险风险建模中，混合Erlang分布的一个主要优点是，许多有用的风险相关量，如矩和平均超额函数，都有明确的表达式，如[11,23,12,25]。此外，混合Erlang分布是Sarmanov分布的一个表外边缘分布。接下来，我们将展示corre latedinsurance投资组合的一个结果。3割让保险风险模型在本案例中，我们考虑两个保险组合，它们都由k个风险组成，我们表示1，k=Pki=1xind S2，k=P2ki=k+1xit每个组合的总风险，其中，Xi，i=1，2k是一个具有有限平均值的正连续随机变量（rv）。此后，我们将迎来Xi~ ME（Qei，βi），i=1，2k，投资组合内部和整个投资组合中风险之间的依赖结构由Sarmanov分布控制，核函数φi（xi）=gi（xi）- E（gi（Xi）），缩写为（X，…，X2k）~ SM E（β，Qe），其中β=（β，…，β2k），Qe=（Qe，…，Qe2k）。在本协议的其余部分中，我们考虑放弃（i）、（ii）和（iii）中描述的三种情况。此外，我们定义了混合权重Θe（Qei）和ψe（Qei）的两个向量，其中它们的分量取决于核函数φi。特别是，Θe（Qei）的分量=（θi，1，θi，2，…）由以下公式得出：o对于gi（xi）=2F（xi），θi，s=s-1Pkj=1s- 1j- 1.齐，jP∞l=s-j+1qi，l，s=1，2对于gi（xi）=xti，θi，s=0代表s6 t，qi，s-tΓ（s）Γ（s）-t） P∞对于s>t，j=1qjΓ（j+t）Γ（j），对于gi（xi）=e-txi，θi，s=qi，sβsP∞j=1qi，jβj与β=ββ+t，s=1，2，而ψe（Qei）=（ψi，1，ψi，2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:38

）由ψi，s=sXj=1qi，jk给出- 1j- 1.βiZ（β2k）J1.-βiZ（β2k）s-j、其中Z（β2k）=2β2k代表gi（xi）=2F（xi），Z（β2k）=β2k代表gi（xi）=x，Z（β2k）=β2k+t代表gi（xi）=e-txi。此外，对于给定的混合重量Vei=（vi1，vi2，…），i=1，n+1我们将混合概率∏（Ve，…，Ven+1）的向量定义为πl{Ve，…，Ven+1}=（0表示l=1，…，n，Pl）-1j=nπj{Ve，…，Ven}vn+1，l-对于l=n+1，n+2。我们将介绍本节的主要结果。命题3.1如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SM E（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1，那么S1，k（u）FS2，k（u）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（u）F~S2，k（u），其中ξ=1+XjXjαj，jγj-XjXjXjαj，j，jγjγjγj+…+(-1） 2kα1，。。。，2kyi=1γi，ξj=Xj-Xjαj，jγj+XjXjαj，j，jγjγj+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j}γi,ξj，j=XjXjαj，j-Xjαj，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+(-1） 2kα1，。。。，2kYi∈C\\{j，j}γi,ξj，j，j=XjXjXjαj，j，j-Xjαj，j，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+…+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j，j，j}γi,ξj，。。。，j2k-1=Xj。Xj2k-1αj，。。。，j2k-1.- α1,...,2kγj2k，ξj，。。。，j2，k=α1，。。。，2k，其中C={1，…，2k}，j∈ C、 j∈ C\\{j}，j∈ C\\{j，j}，j2k∈ C\\{j，…，j2k-1} ，S1，k~ me（π{ψE（Qe），…，ψE（Qek），Z（β2k）}），S2，k~ me（π{ψE（Qek+1），…，ψE（Qe2k），Z（β2k）}），S1，k~ me∏{ψE（Qe）*), . . . , ψe（Qe）*k），Z（β2k）}），~S2，k~ me∏{ψE（Qe）*k+1），ψe（Qe）*Z（β2k）}），对于i=1，2kQe*i=（Qeiif i）/∈ {j，j，…，jl}，Θe（Qei）如果我∈ {j，j，…，jl}。例3.2假设分出保险人有两个投资组合，即投资组合A和投资组合B。考虑到风险之间的依赖结构，两种情况下的核函数被视为φi（xi）=2Fi（xi）- 1.定义了[2]和φi（xi）=e中探讨的FGM分布-xi- EE-xi由Hashorva andRatovomirija[7]为混合Erlang边缘语引入。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:42

在本文的其余部分，我们将后者称为拉普拉斯案例。表3.1给出了每个单独风险的参数Xi，i=1，4和他们的核心时刻，而表3。2显示X、X、X和X之间的依赖性参数。我们注意到这些依赖性参数的选择使（2.2）保持不变。XiβiQeiMean方差偏度峭度分布组合AX0。12（0.4,0.6）13.33 127.78 1.55 6.50X0。14（0.3,0.7）12.1497.451.494.33BX0组合。15（0.5,0.5）10.0077.781.626.80X0。16（0.8,0.2）7.50 53.13 1.88 8.16表3.1：Xi的参数和中心力矩，i=1，2，3，4。α1,2α1,3α1,4α2,3α2,4α3,4α1,2,3α1,2,4α1,3,4α2,3,4α1,2,3,4 FGM 0.6 0.1 0.1 0.0.04 0.5 0.11 0.12 0.10 0.15 0.07Laplace 16 5 3 5 3 8 56 30 20 170表3.2（X，X，X，X，X，X）的相关参数。从表3.3可以看出，两个保险组合之间的相互依赖性导致每个组合的总风险同时超过某个阈值的可能性很高。阈值独立性案例拉普拉斯案例FGM案例（u，u）P（S1,2>u，S2,2>u）P（S1,2>u，S2,2>u）P（S1,2>u，S2,2>u）（20,15）0.1494 0.1569 0.1573（25,20）0.0697 0.0751 0.0795（30,25）0.0304 0.0331 0.0374（35,30）0.0125 0.0138 0.0165表3.3：S1,2=X+X和S2,2=X+X+X.4的联合尾部概率，在本节中，我们表示风险模型T1+k，k总再保险止损风险，其中T1，k:=（S1，k）-d） +和t2，k:=（S2，k- d） +代表两个止损再保险组合，其中S1，k=Pki=1Xiand S2，k=P2ki=k+1Xit分出保险公司的总风险和di，i=1，2一些正的免赔额。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 09:49:45

此外，对于给定的riskX~ Me（β，Qe）和df F，对于免赔额d>0，我们在剩余的文件中表示fx（y+d）=∞Xk=0k（d，β，Qe）Wk+1（y，β），UX（c，d，β）=∞Xk=0（k+1）k（d，β，Qe）Wk+2（c，β），带k（d，β，Qe）=β∞Xj=0qj+k+1wj+1（d，β）。此外，对于Xi~ ME（Qei，β），di>0，i=1，2，我们定义fx+X（d，d，s）=∞Xk=0∞Xj=0k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+2（s，β），UX（c，d，d，β）=β∞Xk=0∞Xj=0（k+1）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（c，β），UX（c，d，d，β）=β∞Xk=0∞Xj=0（j+1）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（c，β），UX+X（c，d，d，β）=β∞Xk=0∞Xj=0（k+j+2）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（c，β）。4.1再保险止损风险的聚合在下面的结果中，我们证明了聚合止损风险的df是一种封闭形式，这使我们能够推导其平均超额函数的分析公式。命题4.1如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SM E（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1和dj>0，j=1，2，则由fr（s）=（FS1，k，S2，k（d，d）为s=0，FS1，k，S2，k（d+s，d+s）为s>0（4.1），其中FS1，k，S2，k（d），d）=ξFS1，k（d）FS2，k（d）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）F~S2，k（d），FS1，k，S2，k（d+s，d+s）=ξFS1，k（d）FS2，k（d+s）+FS1，k（d+s）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，s）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmFS1，k（d）FS2，k（d+s）+FS1，k（d+s）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，s）,命题3.1中定义了S1，k，S2，k，~S1，k，~S2，kare。备注4.2考虑到（4.1）中df的可处理形式，许多风险相关的量化都有一个例外形式，例如，对于c>0，Ris的平均超额函数为{R- c | R>c}=FR（c）ξFS1，k（d）US2，k（c，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（c，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（c，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmFS1，k（d）US2，k（c，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（c，d，Z（β2k））+US1，k+~S2，k（c，d，d，Z（β2k））- C

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:50

（4.2）例4.3在本图中，我们考虑了与表3.1中相同的放弃保险单的每个单独风险的参数。此外，我们假设分出的保险公司通过止损计划将其两个投资组合再保险给一家保险公司，其中投资组合A和投资组合B的免赔额分别为d=40和d=30。在实践中，人们认识到，对总风险的风险度量对个体风险之间的依赖程度非常敏感。事实上，考虑到与再保险分出人投资组合之间的相关性（由表3.2中的参数确定），再保险人的总风险比独立情况下的风险更高。因此，基于VaR和TVaR作为arisk测度，再保险人在依赖情况下需要更多的风险资本。此外，对于不同的置信水平p，可以看出VaR与独立性假设的偏差大于TVaR。4）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）T）表示（p）T）表示（p）表示（p）表示（p）T）表示（p）T）T）T）T）V V V V V V V）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）T）表示（p）T）T）V V）V）V）V）V）V）V）V V V）V）V）V）V）V）V V）V）V）V V）V）V）V V）V V）V）V）V V V V（p）ararar08.69.92 60.4570.31 63.91 73.89表4.1:VaR和TVaR与独立性ca se的偏差。众所周知，投资组合中的风险分散源于个人风险的聚合，参见。g、，[20]，[18]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:53

在这方面，通过将TVaR视为风险资本的衡量标准，分散收益Dp（T，T）被量化为再保险人整个投资组合所需风险资本的相对减少量，该风险资本来自于止损风险和后续收益Dp（T，T）=1的总和-tv-aRR（p）tv-aRT（p）+tv-aRT（p）。如表4.2所示，多元化效益随着信任水平的提高而增加。相反，偏离独立性的情况会导致多元化效益的降低，这一点很明显，因为当风险独立时，就会产生充分的多元化效应。电视艺术（p）电视艺术（p）Dp（T，T）（）独立案例95。00%30.10 24.87 18.26 30.1997.50%37.40 32.34 24.26 33.9299.00%46.85 41.89 31.97 36.5699.90%69.92 64.84 50.55 39.40拉普拉斯箱95。00%30.41 25.11 18.41 30.1397.50%37.73 32.58 24.42 33.8299.00%47.21 42.14 32.13 36.4499.90%70.31 65.07 50.72 39.28女性生殖器切割案例95。00%33.14 27.71 18.64 28.5297.50%40.68 35.40 24.69 32.2999.00%50.40 45.14 32.44 35.0399.90%73.89 68.32 51.08 38.11表4.2：基于总风险和个人风险Ti的TVaR的多元化收益，i=1，2.4.2 TVaR资本分配在本节中，我们推导出了根据TVaR原则分配给保险人每个单独风险的资本额的解析表达式。在企业风险管理框架下，为了吸收巨大的意外损失，再保险人需要为整个保单持有一定数量的经济资本。在这方面，所谓的资本分配包括将所需资本分配给每一条线。这使再保险公司能够识别并有效监控其风险。在文献中，已经开发了许多资本分配技术，例如参见[3,19,20,4,13]和其中的参考文献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:49:56

在实践中，众所周知，TVaR原则考虑了风险和满意度之间的依赖结构——完全分配原则。更准确地说，如果Rn=Pni=1等于总风险，其中Ti是一个带有代表再保险人个人风险的要素的rv，则i=1，n、定义为asT V aRp（Ti，Rn）=E（Ti{Rn>V aRRn（p）}）1- p、（4.3）其中p∈ （0，1）是耐受水平。完全分配原则简化了V aRRn（p）=nXi=1T V aRp（Ti，Rn），这意味着，根据TVaR作为风险度量，整个投资组合所需的资本等于投资组合中每个风险所需资本的总和。在止损混合二郎型风险的情况下，以下命题为T V aRp（Ti，R），i=1，2开发了一个明确的形式。此外，我们在命题4.1中定义了1，k，S2，k，~S1，k，~S2，kas，我们表示xp:=V aRR（p）。命题4.4 Let（X，…，X2k）~ 带β2k的SME（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1和dj>0，j=1,2。如果进一步的Tj，j=1，则2具有确定的平均值thenT V aRp（T，R）=1- PξFS2，k（d）US1，k（xp，d，Z（β2k））+US1，k（xp，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（xp，d，Z（β2k））+U~S1，k（xp，d，d，Z（β2k））.例4.5在本例中，我们考虑与例3相同的个体风险和依赖性参数。2和再保险计划，如例4.3所示。基于将T V aR作为量化整个投资组合所需风险资本的风险度量，对不同置信水平p的每个最大损失风险Ti，i=1，2的所需资本进行评估。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:50:02

如表4.3所示，由于其风险高于T，与…所需要的数量相比，所需要的数量与所需要的数量相比，需要更多的资本需要更多的资本与所需要的数量相比，所需要的资本需要更多的资本与所需要的数量相比，所需要的资本与所需要的数量相比，需要更多的资本与所需要的数量相比，所需要的资本需要更多的资本与所需要的数量相比，需要更多的资本需要更多更多的资本与所需要的数量相比，需要的数量比较比较比较，需要更多更多更多更多资本需要更多的资本需要更多的资本与（比较比较比较，需要更多更多更多更多的需要的需要的需要的资本需要更多资本。比较，需要更多更多更多的需要更多的资本需要更多更多的需要更多的资本。比较比较，需要更多更多的需要更多更多的资本需要更多更多的需要更多的资本。比较，需要更多更多的需要更多的资本需要更多资本。比较比较比较，需要更多更多更多的需要更多的需要更多的需要更多的需要更多更多资本。比较，需要更多更多资本。比较，需要更多更多更多更多更多资本。40.0314.22 57.59 42.59 15.0099.90%70.31 54.20 16.11 73.89 56.79 17.10表4.3：根据TVaR资本分配原则，TVaR和每个止损风险Ti的分配资本，i=1,2。4.3再保险人违约分析在企业风险管理框架中，再保险人有义务持有一定数额的资本K>0，以弥补意外的巨额损失。这笔资金的数额是确定的，这样即使在最坏的情况下，保险人也有可能履行其责任。例如，在该列表中，K被量化为总风险Rn=Pni=1的99%的TVaR，其中TiR代表再保险人的个人风险。这意味着，对于99%的可能性，再保险人有足够的能力支付其义务。但是，如果Rn>K，再保险人违约，因此，再保险分出人不受损失的保护，即Rn- K.通过类比保险人和保单持有人之间的情况，参见[1 5]，数量（Rn-K） +被称为再保险人的默认选择权，或者换句话说，投保人的U（K）：=E{（Rn）- K） +}默认选项的值。鉴于全部资本分配原则，对于再保险人整个投资组合所需的给定风险资本K，如果Ki，i=1，nis每个风险所需的风险资本，然后K=Pni=1Ki。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 09:50:06

此外，违约期权的价值也被定义为未付损失价值U（Ki，K）：=E的总和（Ti）- Ki）{Rn>K}对于每一个接受再保险的保险公司，特别是（参见[4]）U（K）=nXi=1U（Ki，K）。接下来，我们确定U（K）并推导出再保险人违约概率φ（K）：=P（R>K），其中R=T+T。此外，假设再保险人违约，给出了分出保险人各业务线未付超额损失的解析表达式。命题4.6如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SME（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1和dj>0，j=1，当给定风险资本K>0U（K）=ξFS1，k（d）US2，k（k，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）U~S2，k（k，d，Z（β2k））+F~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k+~S2，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K），其中FR（K）=1- FR（K）与FR（.）在提案4.1中定义。备注4.7根据命题4.1，再保险人违约概率的解析表达式为φ（K）=1- ξFS1，k（d）FS2，k（d+k）+FS1，k（d+s）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，k）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmFS1，k（d）FS2，k（d+k）+FS1，k（d+k）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，k）.（4.4）命题4.8设Ki，i=1，2为再保险人的每个止损再保险组合所需的资本，如K=K+K。假设再保险人违约，如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SM E（β，Qe）≥βi，i=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:50:10

，2k- 1，dj>0，j=1，2和Tj，j=1，2有固定的平均值，那么u（K，K）=ξFS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K）。例4.9将整个投资组合K的所需资本视为T V aRR2（p），并将表4.3中所示的个人风险KIA的T V aRp（Ti，R），i=1，2。从表4.4中，我们可以看到，保险水平p的增加导致再保险人整个投资组合所需的资本增加，这反过来降低了违约概率，也降低了分出保险人每个投资组合的未付损失价值。pkφ（K）U（K）KU（K，K）KU（K，K）95。00%30.10 0.01860 0.19288 19.69 0.15436 10.41 0.0385297.50%37.40 0.00929 0.09483 25.47 0.07928 11.93 0.0155599.00%46.85 0.00370 0.03725 33.35 0.03228 13.50 0.0049799.90%69.92 0.00036 0.00360 53.59 0.00321 16.33 0.00039拉普拉斯箱95。00%30.41 0.01863 0.19338 20.15 0.15586 10.26 0.0375297.50%37.73 0.00930 0.09750 25.99 0.07979 11.73 0.0152599.00%47.21 0.00371 0.03731 33.94 0.03237 13.27 0.00499.90%70.31 0.00037 0.00360 54.20 0.00320 16.11 0.00040FGM外壳95。00%33.14 0.01870 0.19924 22.11 0.16237 11.02 0.0368797.50%40.68 0.00932 0.09740 28.21 0.08212 12.47 0.0152899.00%50.40 0.00372 0.03805 36.39 0.03286 14.01 0.0051999.90%73.89 0.00037 0.00364 56.80 0.00317.10 0.00047表4：再保险人违约概率、违约价值选择权和保险人未付损失。命题3.1的证明（S1，k，S2，k）的联合尾概率根据（X，…，X2k）的联合密度确定，如下p（S1，k>u，S2，k>u）=Z。Zs1，k>u，s2，k>uh（x）dx。dx2k。（5.1）参考（2.1），（X。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:50:14

，X2k）由（集合γjh:=E{gjh（Xjh）}h（x）=2kYi=1fi（xi）给出1+2kXh=2X16j<j<<jh62khYi=1（gjh（xjh）- γ（jh）= ξ2kYi=1fi（xi）+ξjfj（xj）Yi∈C\\{j}fi（xi）+ξj，j＠fj（xj）~fj（xj）Yi∈C\\{j，j}fi（xi）+…+ξj，。。。，j2k-12k-1Yi=1fji（xji）fj2k（xj2k）+ξj，。。。，j2k2kYi=1fi（xi），其中fi（xi）=g（xi）fi（xi），ξ=1+XjXjαj，jγj-XjXjXjαj，j，jγjγjγj+…+(-1） 2kα1，。。。，2kyi=1γi，ξj=Xj-Xjαj，jγj+XjXjαj，j，jγjγj+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j}γi,ξj，j=XjXjαj，j-Xjαj，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+(-1） 2kα1，。。。，2kYi∈C\\{j，j}γi,ξj，j，j=XjXjXjαj，j，j-Xjαj，j，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+…+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j，j，j}γi,ξj，。。。，j2k-1=Xj。Xj2k-1αj，。。。，j2k-1.- α1,...,2kγj2k，ξj，。。。，j2k=α1，。。。，2k，其中C={1，…，2k}，j∈ C、 j∈ C\\{j}，j∈ C\\{j，j}，j2k∈ C\\{j，…，j2k-1}.经过一些重排后，可以将h（x）表示为以下h（x）=ξ2kYi=1fi（xi）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYh=1fjh（xjh）Yi/∈{j，j，…，jl}fi（xi）=ξ2kYi=1fi（xi）+2kXl=2Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jl2kYi=1f*i（xi），其中i=1，2kf*i（xi）=（fi（xi）如果i/∈ {j，j，…，jl}，~fi（xi）如果我∈ {j，j，…，jl}。根据引理A.4，fi是混合Erlang分布的pdf，因此可以将（5.1）写成混合Erlang风险解的和积，如下所示（S1，k>u，S2，k>u）=ξZ∞乌兹∞U-十、Z∞U-十、-...-xk-2k-1Yi=1fi（xi）Fk（u）- 十、- . . . - xk-1） dxk-1.dx×Z∞乌兹∞U-xk+1。Z∞U-xk+1-...-x2k-22k-1Yi=k+1fi（xi）Fk（u）- xk+1- . . . - x2k-1） dx2k型-1.dxk+1+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjm×Z∞乌兹∞U-十、Z∞U-十、-...-xk-2k-1Yi=1f*i（xi）F*k（u）- 十、- . . . - xk-1） dxk-1.dx×Z∞乌兹∞U-xk+1。Z∞U-xk+1-...-x2k-22k-1Yi=k+1f*i（xi）F*k（u）- xk+1- . . . - x2k-1） dx2k-1.dxk+1。（5.2）前提是β2k≥ βi，i=1，2k- 1，引理A.5每个i-（5.2）的混合Erlang分量可以转换成一个新的混合Erlang分布，并具有一个共同的标度参数Z（β2k）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 09:50:18

因此，在Remar k A.7的帮助下，通过卷积（5.2）可以表示为两个混合Erlang生存函数的和积，如下p（S1，k>u，S2，k>u）=ξFS1，k（u）FS2，k（u）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（u）F~S2，k（u）。因此，证据是完整的。命题4.1的证明类似于引理A.2中描述的独立性，Ris的df是混合分布的，可以用（T，T）的联合df表示为fr（s）=（P（T=0，T=0）表示为s=0P（T=0，0<t6s）+P（0<t6s，T=0）+P（T+t6s，0<t6s，0<t6s，0<t6s）表示为s=：（FS1，k，S2，k（d，d）表示为s=0FS1，k，S2，k+S2，k（s+d，s+d）表示s>0。根据命题3.1和引理A.2，FR（s）可以写成如下两个术语：o离散术语FS1，k，S2，k（d，d）=ξFS1，k（d）FS2，k（d）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）F~S2，k（d），o连续项FS1，k，S2，k（d+s，d+s）=ξFS1，k（d）FS2，k（d+s）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）F~S2，k（d+s）+ξFS1，k（d+s）FS2，k（d）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d+s）F~S2k（d）+ξFS1，k+S2，k（d，d，s）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k+~S2，k（d，d，s）。这就完成了程序。从（4.3）T V aRp（T，R）=E（T{R>V aRR（p）}）1看命题4.4的证明- p=1- pZ∞V aRR（p）E（T{R=s}）ds。（5.3）首先，我们需要计算E（T{R=s}），如下所示：E（T{R=s}）=Z∞ufT，T+T=s（u）du。LetfS1，k+S2，k（d，d，u）：=dduFS1，k+S2，k（d，d，u），fS1，k+~S2，k（d，d，u）：=dduFS1，k+~S2，k（d，d，u）。如命题4.1所示，我们可以将E（T{R=s}）表示为（T{R=s}）=ξFS2，k（d）ZsufS1，k（d+u）du+ZsufS1，k+S2，k（d，d，u）du+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）Zsuf~S1，k（d+u）du+Zsuf~S1，k+S2，k（d，d，u）du.（5.4）引理A.1，对于Xi~ ME（β，Qei）和di>0，i=1，2ZsufX（di+u）du=β∞Xk=0（k+1）k（di，β，Qei）Wk+2（s，β）=:UXi（s，di，β）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 09:50:22

（5.5）类似地，通过引理A.2ZsufX+X（d，d，u）du=β∞Xk=0∞Xj=0（k+1）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（s，β）=:UX（s，d，d，β）。（5.6）考虑到（5.5）和（5.6），一个人可以写（5.4）如下（T{R=s}）=ξFS2，k（d）US1，k（s，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（s，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（s，d，Z（β2k））+U~S1，k（s，d，d，Z（β2k））. （5.7）因此，参考（5.3）（设置xp:=V aRp（R））T V aRp（T，R）=1- PξFS2，k（d）Z∞xpUS1，k（s，d，Z（β2k））ds+Z∞xpUS1，k（s，d，d，Z（β2k））ds+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）Z∞xpUS1，k（s，d，Z（β2k））ds+Z∞xpU~S1，k（s，d，d，Z（β2k））ds.因此，结果很容易得出。通过定义u（K）=E{（R）证明命题4.6- K） +}=FR（K）E{R- K | R>K}。因此，鉴于备注4.2，U（K）=ξFS1，k（d）US2，k（k，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）U~S2，k（k，d，Z（β2k））+F~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k+~S2，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K），建立证据。命题4.8的证明分出保险公司业务线的未付服务水平定义如下u（K，K）=E（T）- K） {R>K}=Z∞KE（T{R=s}）ds- KFR（K）。根据（5.7）U（K，K）=ξFS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K）。因此，证据是完整的。附录附录A混合Erlang分布的性质免赔额d>0的EMMA A.1，如果X~ Me（β，Qe）那么Y的df:=（X- d） +由fy（y）=（FX（d）表示y=0，FX（y+d）表示y>0，（A.1）其中FX（y+d）=∞Xk=0k（d，β，Qe）Wk+1（y，β），带k（d，β，Qe）=β∞Xj=0qj+k+1wj+1（d，β）。（A.2）引理A.2让X和Xbe两个独立的风险，这样Xi~ Me（β，Qei），i=1,2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 09:50:25

如果di，i=1，2为正，那么R=Y+Y，其中Yi=（Xi）- di）+，i=1，2，有dfFR（s）=（FX（d）FX（d）s=0，FX（d）FX（s+d）+FX（d）FX（s+d）+FX1+X（d，d，s）s>0，（A.3）其中FX1+X（d，d，s）=∞Xk=0∞Xj=0k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+2（s，β）。备注A.3考虑到R的df的可控性，Rat的VaR为p的置信水平∈ （0，1）是FX（d）FX（d）+FX（d）FX（V aRR（p）+d）+FX（d）FX（V aRR（p）+d）+FT（V aRR（p））=p的解，可以用数值求解。此外，大鼠的TVaR为置信水平p∈ （0，1）由（setxp:=V aRR（p））T V aRR（p）=β给出-11- PFX（d）UX（xp，d，β）+FX（d）UX（xp，d，β）+UX+X（xp，d，d，β）,whereUXi（xp，d，β）=∞Xk=0（k+1）k（di，β，Qei）Wk+2（xp，β），UX+X（xp，d，d，β）=∞Xk=0∞Xj=0（k+j+2）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（xp，β）。证据由于风险是具有混合分布的独立风险，Rcan的df也可以表示为混合分布的df，其取决于s的值，如下所示：os=0时获得的FRI离散部分，具体来说，我们有fR（0）=P（Y+Y6 0）=P（Y+Y=0）=P（Y=0，Y=0）=FX（d），（A.4）o对于s>0，fri的连续部分由fr（s）=P（Y+y6s）=P（Y+y6s，Y=0，0<y6s）+P（Y+y6s，0<y6s，Y=0）+P（Y+y6s，0<y6s，0<y6s）=P（Y=0，0<y6s，Y=0）+P（Y+y6s，0<y6s，0<y6s）=FX（d）FX（s）+zsd- u+d）外汇（u+d）du。（A.5）让FT（s）：=RsFX（s）- u+d）fX（u+d）du，引理A.1这可以写成ft（s）=∞Xk=0∞Xj=0k（d，β）j（d，β）ZsWk+1（s）- u、 β）wj+1（u，β）du。（A.6）可以看出RSWK+1（s- u、 β）wj+1（u，β）du是两个独立的Erlang风险s与一个公共尺度参数β的卷积，它又是一个具有形状参数k+j+2和尺度参数β的Erlang风险。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 09:50:29

因此，将（A.4）、（A.5）和（A.6）结合起来，权利要求很容易理解。引理A.4让X~ ME（β，Qe）和pdf f（x，β，Qe），如果g是某个正函数，使得E{g（x）}<∞,然后c（x，β，Qe）=g（x）f（x，β，Qe）E{g（x）}又是一个混合Erlang分布的pdf，具有比例参数Z（β）和混合权重ΘE（Qe）=（θ，θ，…），c（x，β，Qe）=∞Xk=1θkwk（x，Z（β）），其中oZ（β）=2β，θk=k-1Pkj=1k- 1j- 1.qjP∞l=k-j+1ql，对于g（x）=2F（x），oZ（β）=β和θk=0代表k6t，qk-tΓ（k）Γ（k）-t） P∞对于k>t，j=1qjΓ（j+t）Γ（j），对于g（x）=xtt∈ R、 Z（β）=β+t和θk=qkβkP∞j=1qjβj，其中β=ββ+t，对于g（x）=e-TXT∈ N.证据。我们有c（x，β，Qe）=g（x）f（x，β，Qe）E{g（x）}=E{g（x）}∞Xk=1qkβk（k- 1)!g（x）xk-1e-βx（A.7）for g（x）=xtone可以将（A.7）写成如下c（x，β，Qe）=E{Xt}∞Xk=1qkβk（k- 1)!xt+k-1e-βx=∞Xk=1qkΓ（k+t）Γ（k）P∞j=1qjΓ（j+t）Γ（j）wk+t（x，β）=∞Xs=t+1qs-tΓ（s）Γ（s）-t） P∞j=1qjΓ（j+t）Γ（j）ws（x，β）=∞Xs=1θsws（x，β），带θs=0代表s 6 t，qs-tΓ（s）Γ（s）-t） P∞对于s<t，j=1qjΓ（j+t）Γ（j）。for g（x）=e-tx（A.7）可以表示为（setβ：=ββ+t）c（x，β，Qe）=E{E-tX}∞Xk=1qkβk（k- 1)!xk-1e-（β+t）x=∞Xk=1qkβkP∞j=1qjβj！wk（x，β+t）=∞Xk=1θkwk（x，β+t）。对于r g（x）=2F（x），请参见[2]中的证明。接下来两个引理中给出的结果分别可以在[24]的第2.2节和[11]的第7.2节中找到。引理A.5如果X~ ME（β，Qe），那么对于任何正常数β≥ 我们有~ me（β，ψE（Qe）），ψE（Qe）=（ψ，ψ，…），式中ψk=kXi=1qik- 1i- 1.ββ我1.-ββK-i、 k≥ 引理A.6设X，Xbe两个独立的随机变量，如Xi~ Me（β，Qei），i=1，2，然后S=X+X~ ME（β，πe{Qe，Qe}）与πl{Qe，Qe}=（0表示l=1，Pl）-1j=1q1，jq2，l-jl>1。备注A.7根据Cossette等人（2012）（备注2.1），引理A.6中的结果可以扩展到Sn=Pni=1Xi，前提是X，Xnare独立，Xi~ Me（β，Qei）对于i=1，n、具体来说，Sn~ ME（β，∏e{Qe。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝