这类SDE被称为均值回复CEV过程，出现在随机模型中，它们代表潜在金融可观测变量的瞬时波动方差。我们从理论上证明了我们提出的SD格式的强收敛性，揭示了收敛的顺序。定理2.3中得出的多项式速率可能不会在第一眼看到，因为其量级较低。然而，正如数值实验部分所示，在该部分对各种保正方案进行了比较研究，SD方法似乎是最佳的w.r.t.CPU时间消耗。SD方法的优势在于，尽管是隐式的，但明确地接近均值回复CEV过程23图5。金融基础过程（St）的强收敛误差，作为CPU时间（以秒为单位）的函数，使用对数欧拉法或IJK法和SD或BMM方案（1.1），其中（x，S，u，k，k，k，q，T）=（100，0.05，1，0.4，1），相关性ρ=-0.8和32位精度。时间t（秒）×10-30 1 2 3 4 5 6 7log Euler&SDIJK&SDlog Euler&BMMIJK&bmmh是一个显式公式，因此需要更少的算术运算，从而减少计算时间。此外，我们的方法可以覆盖（2.1）具有时变系数的情况，即k（t）、k（t）、k（t）。我们还处理了整个二维随机波动率模型（1.1）。为了做到这一点，我们实际上整合了满足形式（7.1）的SDE的过程ln（St），最后转换回形式（St）。我们只考虑两种不同的ln（St）积分方案，即Euler Maruyama（EM）方案，该方案易于实现，以及IJK方案[15，Rel.（137）]，该方案被证明是最有效的方法，与EM[15]一样稳健且简单。

我们不应用其他二维格式，例如Milstein格式，因为它们通常非常耗时，因为它们涉及需要额外生成随机数的双Wiener积分的近似。因此，我们将theEM方案与SD（7.2）和（6.1）相结合，将IJK方案与SD（7.3）和（6.1）相结合，并与随机方差（p=）与BMM方案（6.9）相结合的情况进行比较，得到三个不同的相关参数，ρ=0，ρ=-0.4和ρ=-0.8，S=100，u=0.05，如[15，第5节]。在所有情况下，ijkw与SD的结合似乎是最有利的w.r.t.CPU时间。参考文献[1]A.Alfonsi，《漂移隐式Euler格式的强一阶收敛：CIR过程的应用》，Stat.Prob。允许83（2013），第602-607页。[2] L.B.G.Andersen，V.V.Piterberg，随机波动模型中的瞬间爆炸，金融学Stoch。，11（2007），第29-50页。[3] A.Berkaoui，随机微分方程解的Euler格式，Portugalia Mathematica Journal，61，（2004），第461-478页。[4] M.J.Brennan，E.S.Schwartz，《分析可转换债券》，金融与定量金融杂志，4，（1980），第907-929页。[5] 陈国强，G.A.卡罗利，F.A.朗斯塔夫，A.B.桑德斯，《短期利率的实证比较》，金融杂志，47（3），（1992），第1209-1227页。[6] J.C.考克斯，J.E.英格索尔，S.A.罗斯，《利率期限结构理论》，计量经济学，53，（1985），第385-407页。[7] S.G.Cox，M.Hutzenthaler，A.Jentzen，初始值的局部Lipschitz连续性和非线性随机微分方程的强完备性，arXiv:1309.5595v1，（2013）。[8] S.Dereich，A.Neunkirch，L.Szpruch，Cox-Inge-rsoll-Ross过程强近似的Euler型方法，英国皇家学会学报（2011年）。[9] T.H。

Gronwall，关于微分方程组解参数导数的注释，数学年鉴，20，（1919），第292-296.24页，N.HALIDIAS和I.S.STAMATIOU[10]N.HALIDIAS，stoc hastic微分方程的半离散近似和应用，国际计算机数学杂志，89（6），（2012），第1-15页。[11] N.Halidias，CIR过程的新数值格式，蒙特卡罗方法应用。，（2015a）。[12] N.Halidias，一种用于均值回复CEV模型的显式、保正的数值格式，http://arxiv.org/pdf/1501.03434，（2015b）。[13] N.Halidias，I.S.Stamatiou，关于使用半离散方法对一些非线性随机微分方程的数值解，发表在《应用数学计算方法》特刊（2015年）上。[14] T.R.赫德，A.库兹涅佐夫，随机积分拉普拉斯变换的显式公式，马尔可夫过程。雷拉特。Fields，14，（2008），第277-290页。[15] C.Kahl，P.Jackel，《随机波动率模型的快速强近似蒙特卡罗方法》，量化金融，6，（2006），第513-536页。[16] C.Kahl，H.Schurz，普通SDE的平衡Milstein方法，蒙特卡罗方法和Appl，12（6），（2006），第143-170页。[17] I.Karatzas，S.E.Shreve，《布朗运动与随机微积分》，纽约斯普林格·维拉格出版社（1988年）。[18] P.Kloeden，A.Neuenkirch，《数学金融中随机微分方程数值方法的收敛性》，计算金融的最新发展，（T.Gerstner和P.Kloeden，编辑），（2013），第49-80页。[19] P.Kloeden，E.Platen，《随机微分方程的数值解》，第23卷，《随机建模与应用可能性》，柏林斯普林格出版社，第二次印刷（1995年）。[20] P.克洛登，E.普莱坦，H。

Schurz，通过计算机实验的随机微分方程数值解，Springer Verlag Berlin，第三次印刷修正（2003）。[21]毛X，随机微分方程及其应用，霍伍德出版社（1997）。[22]G.Maruyama，连续马尔可夫过程和随机方程，Rend。中国保监会。小地毯巴勒莫，4（1），（1955年），第48-90页。[23]G.N.Milstein，E.Platen，H.Schurz，Stiff随机系统的平衡隐式方法，SIAM J.Numer。肛门。，35（3），（1998），第1010-1019页。[24]F.W.J.奥尔弗，《渐近性与特殊函数》，AKP经典著作，马萨诸塞州韦尔斯利（1997）。[25]H.Schurz，SDEs的数值正则化：非负解的构造，Dyn。系统应用。，5，（1996），第323-352页。[26]M.V.Tretyakov，Z.Zhang，具有局部Lipshcitz系数的SDE的基本均方收敛定理及其应用，SIAM J.Numer。肛门。，（2013），第3135-3162页。[27]T.Yamada，S.Watanabe，关于随机微分方程解的唯一性，J.Math。京都大学，11，（1971），第155-167页。附录A.方差波动过程（Vt）积分的一些数值格式。我们考虑时间间隔[0，T]的一个划分，0=T<T<…<tN=T和离散化步骤n:=tn+1- n=0，N-1.此外，我们用Wn:=Wtn+1- 布朗运动的增量。我们在下面的小节中展示了（A.1）Vt=V+Zt（k）近似的一些数值模式- kVs）ds+Ztk（Vs）qdWs，t∈ [0，T]并对它们做一些简短的评论。我们还注意到Vn:=Vtn。标准Euler Maruyama方案。

应用于SDE设置的Euler方法已经出现在50年代到Maruyama[22]之间，此后对SDE解的数值近似进行了广泛的研究（我们刚刚提到[18]，以了解SDE的数值方法在金融领域的应用和其中的参考文献）。过程s（Vt）的显式Euler-Ma-ruyama（EM）格式由（A.2）VEMn+1=Vn+（k）给出- （kVn）n+k（Vn）qWn，对于n=0，N- 1.显然P（Vn+1<0 | Vn>0）>0，因此EM方案可以产生具有正概率的负值，或者在[25]的概念中，我们说（A.2）具有有限的寿命。明确逼近均值回复CEV过程25标准Milstein方案。标准的一维Milstein（M）方案包含一些由伊托-泰勒展开[19，第5节]导出的外项，并应用于（Vt）读取（A.3）VMn+1=Vn+（k- （kVn）n+k（Vn）qWn+（k）q（Vn）2q-1.(Wn）- N,对于n=0，N-1.我们保留了订单条款(n） 。同样，（M）方案有一个有限的使用寿命。平衡隐式方法。平衡隐式方法（BIM）[23，Rel（3.2）]是第一次尝试处理隐藏过程和读取（A.4）VBIMn+1=Vn+（k）的特定域的不变性保持问题- （kVn）n+k（Vn）qWn+c（Vn）n+c（Vn）|Wn|（越南）- Vn+1），对于n=0，N- 1.cand care拥有适当的重量功能。选择c（x）=kand c（x）=kxq-1.积极性[16，第5节]。重新排列上述方程，我们得到表达式（A.5）VBIMn+1=Vn+kn+k（Vn）q(Wn+|Wn |）1+kn+k（Vn）q-1|Wn |。平衡米尔斯坦法。平衡d Milstein方法（BMM）是在[16]中提出的，其目的是改善BIM的稳定性，但同时提高收敛速度。

它由以下线性隐式关系Vbmmn+1=Vn+（k）给出- （kVn）n+k（Vn）qWn+（k）q（Vn）2q-1.(Wn）- N+d（Vn）n+d（Vn）((Wn）- n）（越南）- Vn+1），对于n=0，N- 1.适当的权重函数。选择d（x）=Θk+（k）q |x | 2q-2.在哪里∈ [0,1]和d（x）=0意味着方案[16，Th.5.9]的永生时间，即P（Vn+1>0 | Vn>0）=1。步长我必须这样n<2q-12qk（1）-Θ). 松弛参数类似于隐式参数（在我们的符号中为θ）。对于Θ=1，步长没有限制，但建议在可能的情况下[16，Rem.5.10]取Θ=1/2。按照上述规格重新排列会导致（A.6）VBMMn+1=Vn+（k- (1 - Θ）kVn）n+k（Vn）qWn+（k）q（Vn）2q-1(Wn）1+kn+（k）q | Vn | 2q-2.n、 最后，提出的半圆盘网（SD）方案读取（A.7）VSDn+1=sVn1.-K1+kθ+K1+kθ-（k）4（1+kθ）)（Vn）2q-1+k2（1+kθ）)（Vn）q-哼！。增加时间范围会导致EM和M的负向路径百分比增加。另一方面，BIM、BMM和课程SD不受此影响，因为它们在任何时间间隔内都保持其正性[0，T]。爱琴海大学数学系，Karlovassi，GR-83，希腊萨莫斯200号，电话+302273082321，+3022730-82343电子邮件地址：nick@aegean.gr, istamatiou@aegean.gr, joniou@gmail.com