多元化、保护责任持有人和监管机构

2022-5-7 14:42:46

在任何状态ω∈ Ohm,资本状况为X的机构∈ 当X（ω）时，X w将能够履行其义务≥ 当X（ω）<0时，将默认为0。如果金融机构的资本状况属于预先指定的X子集A，则被视为资本充足，称为接受集或资本充足性测试。最后，风险度量描述了通过筹集资本并将其投资于参考工具（通常假设为现金）来满足资本充足性测试的最低成本。微观审慎监管和盈余不变性资本充足性测试主要是微观审慎监管的工具，即其主要目的是帮助保护责任持有人。从这个角度来看，c apitalEmail:pablo似乎很自然。koch@bf.uzh.chEmail：科西莫。munari@bf.uzh.chEmail：马里奥。sikic@bf.uzh.chadequacy盈余不变的测试，即对于资本状况为X的金融机构，盈余的大小X+：=max{X，0}，仅对机构的所有者有利，对机构是否通过或未通过测试没有影响。换句话说，可接受性只取决于默认选项X-:= 麦克斯{-十、如果是有限责任公司，则代表合同与实际责任支付之间的差异。从形式上讲，这需要thatX∈ A、 Y∈ X，Y-≤ 十、-==> Y∈ A.虽然盈余不变性是一个合理的要求，但资本要求为多样化提供信贷也是合理的，这符合负债持有人的利益。这是因为分散风险敞口的机构可以降低与持有资本相关的成本，而这些成本最终由负债持有人承担。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 14:42:49

众所周知，对于一个接受集而言，凸性的数学性质体现了为多样化提供信贷的财务要求；例如，参见F–ollmer&Schied[7]或Frittelli&Rosazza-Gianin[9]。在本文中，我们提供了凸、剩余不变接受集的一个特征，正如下面进一步解释的，它将强调资本充足性测试与曲线不变之间存在的一种有趣而重要的紧张关系，同时，它们也为多样性提供了依据。宏观审慎监管和数字不变性虽然资本充足率测试是微观审慎监管工具包的一部分，但它们也应该支持或至少不破坏宏观审慎监管，宏观审慎监管的目标是确保金融体系的稳定性。就其本质而言，宏观审慎监管的有效性取决于跨境监管框架的协调程度。在理想世界中，不存在监管资本套利机会，也就是说，金融机构不可能仅仅通过改变不同的管辖权而从不可接受变为可接受。这意味着跨境资本充足率测试应该只是通过适当的汇率相互“翻译”：考虑到两种不同货币的资本充足率，一种货币应该有A=RA，其中R是从货币1到货币2的（随机）汇率。然而，在当今的全球监管体系中，这种转换并没有完成：每个司法管辖区使用“相同”的资本充足率测试——基于风险价值（VaR）或预期缺口（ES）——但在其自身的电流中应用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:42:52

正如Koch Medina&Munari[12]所述，基于VaR的测试（撇开所有潜在的不足）将导致全球监管制度的一致性，但基于ES的测试（撇开所有潜在的优点）不会。虽然基于ES的测试是凸的（实际上是一致的），但基于VaR的测试却不是凸的。因此，有一个有趣的问题是，是否存在任何凸形资本充足率测试，可以在任何货币中使用，而无需翻译。这些资本充足率测试将被称为“num’eraire不变量”，其正式定义如下：对于货币的每一次变化（或更一般地说，num’eraire），由一个几乎严格为正的有界随机变量R表示，我们要求X∈ A==> RX∈ A.正如它所揭示的，num’eraire不变性和剩余不变性是密切相关的。事实上，凸的、数量不变的资本充足率测试与一致的、盈余不变的测试是一致的。论文的结构和主要结果本论文的背景充分涵盖了文献中提到的环境空间的典型选择。事实上，我们将在一个环境空间X中工作，它属于一类随机变量空间，包括所有Orlicz心脏（以及1的所有LPS空间）≤ p<∞), L∞当有弱星型拓扑时，也有非局部凸空间LP0≤ p<1。第3节包含我们的主要研究结果。在介绍并证明了剩余不变接受集的一些基本性质之后，我们在它们是闭的和凸的情况下讨论了它们的特征。orem 3.12提供了一个dua l表示，它依赖于一个事实，即任何闭合的、剩余的不变量接受集 X可以通过闭合其与L的交点来恢复∞. 这允许我们获得“双重”表示，即使环境空间不是局部凸的，例如：。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 14:42:55

0的lpspace≤ p<1。有了这种表示，我们首先在引理3.15中对Koch-Medina、Moreno-Bromberg和Munari[11]的结果进行了推广，该结果刻画了L上的弱星封闭剩余不变接受集∞它们是不同的，即凸锥。结果表明，一个封闭的、一致的接受集是剩余不变的，当且仅当我们找到一个具有严格正概率的可测集a，如X∈ A.<==> 1AX≥ 每X为0（1）次∈ 十、换句话说，封闭的、连贯的资本充足率测试是盈余不变性的，当且仅当我们不对A施加限制，并且不允许在压力情景中出现任何违约，即在属于A的州。这些资本充足率测试的问题是，P（A）<1且忽略A之外发生的事情，或者P（A）=1，并且测试不允许世界上所有州出现违约。（1）中的特征用于在定理3.18中表明，如果我们放弃相干性，但保留闭性和凸性，当且仅当我们找到Ohm由可测量的集合组成，例如∈ A.<==> 1AX≥ 0和- 1BX-∈ 每X的DB（2）∈ 其中Db是紧的闭凸集，即概率有界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-5-7 14:42:59

分解Ohm 在划分所隐含的三类情景中，{A，B，C}有一个明确的财务解释：当且仅当oA不允许违约，oB允许“受控”形式的违约，oC不需要约束。顺便说一句，例3.3表明，如果我们装备∞具有强拓扑结构。为了更好地了解属于B的情景下，违约必须如何控制，我们可以根据一阶随机优势的随机有界性，探索命题3.25中给出的紧密性特征。因此，我们可以证明存在一个随机变量X*∈ Lsuch thatVaRα（1BX）≤ VaRα（X）*) 为了所有的X∈ A、 α∈ （0,1），其中ny X的风险价值∈ 通常由varα（X）定义：=inf{t∈ RP（X+t<0）≤ α} .它允许在B上，每个可接受位置的VaR严格地由单边界随机变量X的VaR控制*对于每一级α∈ (0, 1).在第4节中，我们讨论了num’eraire不变性，并表明它与剩余不变性密切相关。事实上，在命题4.4中，我们证明了闭式资本充足率测试是num’eraire inva riant当且仅当它是一个圆锥形的盈余不变接受集。因此，在封闭状态下，如果我们同时要求凸性和num’eraire不变性，我们最终不允许对可测集A进行任何修改，也不允许对补码Ac施加约束。满足盈余或num’eraire不变性的凸资本质量测试的有限选择反映了我们在介绍开始时提到的张力：凸性减少num’eraire不变性资本从充分性测试到简单的压力测试。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:02

因此，如果我们想避免世界上金融机构完全不受约束的国家，我们只剩下一个可能的测试，只有那些永远不会违约的宪法才能通过。如果我们在保留剩余不变性的同时放弃num’eraire不变性，这种张力就会大大降低：凸性现在允许进行测试，在这些测试中，受控的默认值是可能的，并且没有不受控的场景。在例3.29中，我们提供了一种结构化方法，根据具有此属性的预期空头，定义凸的、盈余不变的资本充足率测试。在最后一节中，我们通过指出这些结果可能表明经典模型的不足，从而对结果的含义进行了限定。事实上，由于其基本性质，经典模型不允许经营盈余的机构为其负债人或整个社会提供利益的可能性。增强经典模型以适应这些特征可能构成未来研究的潜在领域。我们的工作以两种方式推广了最近在Koch-Medina、Mor-eno Bromberg&Munari[11]中获得的关于有界位置空间中相干接受集的结果。首先，本文超越了连贯性，考虑了凸接受集，其次，我们考虑了更一般的环境空间。正如在那篇论文中详细讨论的，剩余不变性的概念与Staum[14]和Cont，Deguest&He[5]讨论的类似概念有关。2财务状况和接受度设置贯穿本文(Ohm, F、 P）表示固定概率空间。像往常一样，我们将识别几乎肯定重合的随机变量（关于P）。刚毛的指示功能∈ F用1A表示。空间L:=L(Ohm, F、 P）具有自然的几乎确定的点序，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:07

对于X，Y∈ 我们会写≥ X，P（Y）≥ 十） =1。一个随机变量∈ Lis说如果X是阳性的≥ 如果X为0，则为负≤ 0.正锥和负锥为封闭凸锥，定义为byL+：={X∈ L十、≥ 0}和L-:= {X∈ L十、≤ 0} .当具备通常的概率收敛拓扑结构时，Lbecomes是一个Frech’et格，即一个完全可度量的局部实Riesz空间。暂时定义A+：=A∩ L+andA-:= A.∩ L-. 此外，对于任何X∈ Lwe setX+：=max{X，0}和X-:= 麦克斯{-十、 0}。特别是X=X+- 十、-.我们的环境空间X要么是L∞:= L∞(Ohm, F、 P）配备弱星型拓扑σ（L）∞, 五十）或者任何线性子空间是满足σ-Lebesgue性质（参见[2]）Xn的Frech′et格↓ 0 a.s==> Xn→ 0 in X，（3）和以下密集连续嵌入∞(Ohm)d-→ Xd-→ L(Ohm) , （4）其中，第一次嵌入的连续性取决于支持规范，而不是弱策略。最后，我们还需要以下本地化属性yax:={1AX；X∈ X} 十、（5）备注2.1。（i） σ-Lebesgue性质意味着X中单调且收敛于a.s.的每个序列（Xn）∈ X满意度Xn→ X在X中。（ii）在Banach格的上下文中，Lebesgue性质只不过是形式的顺序连续性。因此，环境空间的容许类包括所有Orlicz hearts，以及1的所有LPS空间≤ p<∞. 但是，它不包括L∞当配备标准拓扑时。Banach晶格宇宙之外的示例包括0的所有Lp空间≤ p<1（非局部凸）。（iii）注意，当配备弱星形拓扑时，L∞还满足σ-Le besgue性质（3）和嵌入条件（4）。然而，我∞对于弱星拓扑，它不是弗雷克晶格，因为它是不可度量的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:10

尽管如此，对于共凸集，闭性仍然可以用序列闭性来表征，这是Grothendieck（第240in[10]页练习1）的一个著名结果：L的凸子集∞弱星是闭的当且仅当它在范数有界子序列的a.s.极限下是闭的。我们用clX（A）来表示X中集合A的闭包。特别地，对于L的子集a∞, clL∞（A） Always注意到它的弱恒星闭合。我们考虑一个日期为t=0和t=t的一周期经济。t=0时，金融机构发行负债并投资于资产。在时间t=t时，他们收到资产的付款，并赎回其负债。假设资产和负债以固定单位计价，例如固定货币，并以X为长。如果∈ X和L∈ X是正随机变量，分别表示机构资产和负债的最终支付，我们将参考随机变量X:=A-L∈ X为金融机构的资本状况。我们将始终假定该机构的所有者具有有限责任，即当资产的支付不足以偿还债务时，该机构将在t=t时违约。监管机构关注的一个问题是金融机构违约的风险，他们缓解这一风险的关键手段之一是要求金融机构适当资本化。验收设置用于正式确定资本充足率测试流程。回想一下，一个非空的严格子集如果X是单调的，则称为接受集或资本充足率测试，即X∈ A、 Y≥ X==> Y∈ A.凸或相干的接受集，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:14

凸锥体特别重要，因为它们捕捉到了多样性。3盈余不变性考虑资本头寸为X的金融机构∈ 十、正随机变量X+被称为（所有者）su RPLU，也被称为正随机变量X-被称为（所有者）默认选项。如果是有限责任的金融机构，盈余代表债务结算后所有者的财产，以及机构违约金额的违约选择权。更准确地说，X-代表对责任持有人的合同和实际付款之间的差异。由于资本充足性测试旨在保护负债持有人的利益，因此，如果一家机构的违约风险高于被认为资本不足的机构的违约风险，那么该机构不应通过测试是合理的。同样地，如果一家机构被认为资本充足，任何具有les风险违约率的机构都应该通过测试。这就引出了“剩余不变”接受集的概念。定义3.1。让我们 X是一个验收集。如果可接受性不依赖于资本头寸的盈余，即X，我们说A是sur加不变量∈ A、 Y-≤ 十、-==> Y∈ A.我们首先提供了一个有用的剩余不变性的交替刻画列表，在续集中，这些描述将在没有明确引用的情况下使用。3.2号提案。让我们 X是一个验收集。下列语句是等价的：（a）a是剩余不变的；（b） X∈ A和Y-= 十、-暗指∈ A.（c） X∈ A意味着-十、-∈ A.（d） X∈ A和A∈ F意味着1AX∈ A.证据。很明显，（a）意味着（b），而b又意味着（c）。现在，当sume（c）抓住takeX∈ A和A∈ F.从凌晨1点开始≥ -十、-, 我们立即得出结论（d）是满意的。最后，假设（d）成立并取X∈ A.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:19

如果-≤ 十、-, 然后是Y≥ 1{X<0}X表示Y∈ 并证明A是剩余不变的。备注3.3。（b）项下的描述建立了目前的Surplus不变性定义与Koch Medina、Moreno-b romberg&Munari[11]中引入的定义的等价性。下一个结果表明，剩余不变接受集完全由其负部分决定。一组D 十、-被称为固体（在X中）-) 如果满意的话∈ D、 Y∈ X，X≤ Y≤ 0 ==> Y∈ D3.4号提案。录取决定了胜负对于某些立体集D，X是剩余不变的当且仅当ifA=D+X+（6）十、-. 我在这件事上-= D.集A是凸的当且仅当D是凸的。此外，A是闭合的当且仅当D是闭合的。证据很明显，对于s ome立体集D，如果A如（6）所示，则A是剩余不变的十、-. 另一方面，如果A是剩余不变的，那么A-由于单调性，它是实心的。自从-+ X+ 首先，我们只需要知道逆向包容是如何实现的。以X为例∈ A注意-十、-∈ A.因为X=X+- 十、-, 这一说法如下。A的凸性和Dis的凸性之间的等价性是显而易见的。最后，很明显，如果A是闭合的，那么D也是闭合的。相反地，通过使用晶格运算的连续性，可以很容易地证明，只要D是闭合的，A就是闭合的。剩余不变性的性质受到各种重要接受集的影响。例3.5（风险价值）。X的风险价值∈ α级X∈ （0，1）由varα（X）：=inf{t定义∈ RP（X+t<0）≤ α} .关联的接受集a={X∈ 十、VaRα（X）≤ 0}很容易被看作是剩余不变量s inc eA={X∈ 十、P（X<0）≤ α} ={X∈ 十、P（X）-> 0) ≤ α} .特别是，可接受性归结为检查X的违约概率是否不超过阈值α。例3.6（短缺风险）。考虑一个非常数、递增的凸函数l : R+→ R+令人满意l（0）=0，取c>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:22

接受集a={X∈ 十、E[l（十）-)] ≤ c} 剩余不变。有关更多详细信息，请参阅F–ollmer&Schied[7]，其中A被称为基于短缺风险和l 被称为损失函数。示例3.7（Te st场景）。考虑一组E∈ F满足P（E）>0。接受集a={X∈ 十、1EX≥ 0}立即被视为剩余不变。在这种情况下，可接受性相当于要求事件E无违约。具体来说，如果P（E）=1，则A=X+，因此可接受性相当于要求世界上几乎每个国家都不违约。例3.8（预期尾部损失）。X的预期缺口∈ α级X∈ （0，1）定义为α（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。α级X的预期尾部损失定义为ESα(-十、-) 并在Cont，Deguest&He[5]中，在基于lo-ss的风险度量的背景下进行了研究。验收设置基于c级的预期尾部损失≥ 0由a={X给出∈ 十、ESα(-十、-) ≤ c} 。马上就可以看出A是剩余不变的。正如在科赫·梅迪纳、莫诺布隆伯格和穆纳里[11]中已经指出的那样，选择c=0会导致一个简单的情况A=X+。事实上，预期短缺的敏感性意味着ESα(-十、-) > 只要X不是零，就等于0。验收集不能保持盈余不变的最突出例子是基于预期短缺的验收集。例3.9（预计短缺）。基于α级预期短缺的准入集∈ （0，1）A={X∈ 十、ESα（X）≤ 0}不是剩余不变量。事实上，验证esα（X）=αZP（X<0）VaRβ并不困难(-十、-)dβ+αZαP（X<0）VaRβ（X+）dβ对每X保持不变∈ 表明当P（X<0）<a时，ESα（X）依赖于X的盈余。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:26

对于基于预期不足的可接受性缺乏剩余不变性的含义的Throug h分析，我们参考Koch Medina&Munari[12]。3.1对偶性和剩余不变性在本节中，我们利用L∞, σ（L）∞, L）. 这种“对偶”表示构成了后面给出的剩余不变量接受集结构的主要结果的关键组成部分。起点是下面的结果，强调了如何将剩余不变接受集从它的Restriction恢复到L∞在续集中，从它在L的结尾开始，对于任何一个A 我们将用A来表示∞A的所有基本元素的集合，即we setA∞:= A.∩ L∞.引理3.10。让我们 X是一个封闭的sur加不变接受集。然后，下面的陈述应该是：（i）A=clX（A∞).（ii）A=c lL（A）∩ 十、（iii）此外，如果A是凸的，则A∞对于L中的弱星拓扑是封闭的∞.证据（i） clX（A）公司∞) A.为了证明逆包含，取X∈ A.-注意xn:=max{X，-n} 属于一个∞每n∈ N和Xn→ X在X中，由σ-L的ebesgue性质决定。因此X∈ clX（A）∞-). 下面是第3.4条。（ii）显然 clL（A）∩ 十、证明逆命题为sume X∈ clL（A）∩ 十、通过余数不变性，我们可以假定g的一般性不低于tx∈ 十、-. 因为，通过（i），我们得到了clL（A）=clL（A）∞), 我们发现Xn∈ A.∞-这样Xn→ 通过传递到一个子序列，我们可以假设→ X a.s.并设置为每n∈ 谢谢≥n{Xk}。注意，对于每n，我们有Xn≤ 锌≤ 属于L的0 s o∞而且，由于∞-, 阿尔索托A∞-. 此外，锌↓ X a。s、因此，根据σ-Lebesgue性质，Zn→ X在X中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:30

因为A在X中是闭合的，所以我们得出X∈ A.（iii）根据命题3.4，必须证明∞-弱星是闭合的。取a中的范数有界序列（Xn）∞-将a.s.收敛到X∈ L∞. 通过与上面相同的过程，我们可以构造一个单调递减序列Zn∈ A.∞通过σ-Le besgue性质将a.s.收敛到X，我们推断Zn→ L中的X。因此，X∈ clL（A）∩ 第（ii）部分中的X意味着X∈ A.从备注2.1的第（iii）点开始，A∞弱星是闭合的。现在我们来描述X中一个封闭的、凸的、剩余不变的接受集的原型。Amap k：L∞+→ R∪ { -∞} 满足（F1）~n（Z）≤ 0代表所有Z∈ L∞+,（F2）~n（Z）>-∞ 为了一段时间∈ L∞+,（F3）а正在减小，将被称为一个减小的函数。3.11的提议。让我们来看一看∞→ R∪ {-∞} 是一个递减函数。然后，setAX={X∈ 十、-E[X-Z]≥ ~n（Z），Z∈ L∞+} （7）是X中的一个封闭、凸、剩余不变接受集。此外，AX=clX（AL∞) . （8）证据。明显的轴凸和剩余不变量。同样清楚的是，轴弱星闭合ifX=L∞. 如果X 6=L∞, 我们考虑Ax中的一个序列（Xn）收敛到X中的X，因此，也包括inL。如果需要传递到（Xn）的适当子序列，法图引理现在意味着对于everyZ∈ L∞+我们有-E[X-Z]≥ - 林恩芬→∞E[X-[新西兰]≥ ~n（Z）。由于Z是任意的，我们得出结论X∈ 斧头。（8）中的陈述是Lemma 3.10的直接结果。现在，我们通过减少FL oor函数来讨论X中剩余不变接受集的对偶表示。回想一下，非空子集C的（下）支持函数 L∞上二线性上半连续映射σC:L→ R∪ { -∞} 定义为σC（Z）：=infX∈CE[XZ]。（9） σC的有效域称为C的势垒锥，是凸锥b（C）：={Z∈ LσC（Z）>-∞} .如果C是圆锥体，那么Z∈ B（C）当且仅当σC（Z）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:33

在法卡斯、科赫·麦地那和穆纳里[6]的L emma 3.11中，我们有B（A）当C是单调集时，L+是。定理3.12。让我们 X是一个闭的、凸的、剩余不变的接受集。然后，存在一个递减的流动函数∞+→ R∪ { -∞} 这样a=\\Z∈L∞+{X∈ 十、-E[X-Z]≥ ν（Z）}。（10）对于φ，我们总是可以选择σA的限制∞给我∞+. 此外，我们还有σA∞≥ 在L上∞+前驱递减函数满足（10）。证据引理3.10，A∞是L中的弱星闭凸剩余不变接受集∞.此外，根据科赫-梅迪纳、莫雷诺-布朗伯格和穆纳里[11]中的定理4.1，我们有一个∞=\\Z∈L+{X∈ L∞; -E[X-Z]≥ σA∞（Z）哦。（11）要知道，必须将交点置于Z之上∈ L∞而不是Z∈ L+，假设X∈ L∞满足感-E[X-Z]≥ σA∞（Z）每一个Z∈ L∞. 那么，如果Z∈ 我们可以考虑Zn:=min{Z，n}∈ L∞+每n∈ N.我们有吗-E[X-[Zn]≥ σA∞（锌）≥ σA∞（Z），我们在这里使用了σA∞正在减少。注意到序列（X-Zn）是单调递增的，我们现在可以让n趋于∞ 获得-E[X-Z] =- 画→∞E[X-[Zn]≥ σA∞（Z）。因此A∞=\\Z∈L∞+{X∈ L∞; -E[X-Z]≥ σA∞（Z）哦。应用引理3.10和命题3.11，我们现在得到A=clX（A∞) =\\Z∈L∞+{X∈ 十、-E[X-Z]≥ σA∞（Z）哦。由于σA的极大值∞在（10）中很清楚，这是定理的证明。备注3.13。（i）注意，表示法（10）涉及由L中的“泛函”生成的半空间∞. 特别是，如果X连续嵌入到L中，这意味着闭的、凸的、剩余的不变接受集是σ（X，L）∞)-关闭（ii）上述结果适用于任何空间X=Lp，包括p<1的情况。尽管这些空间在结构上缺乏局部凸性，但sur plus不变性允许通过在L∞配备了弱星型拓扑结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:39

从这个意义上讲，表示（10）应该与Brannath&Schachermayer[4]中的Lob上的双极表示进行比较，并在Kupper&Svindland[13]中进行推广。3.2在这一部分中，我们证明了本文的主要结果。对于任何一个∈ F和A 我们定义了XAA的子集：={1AX；X∈ A} 。特别地，我们设定x（A）：=1AX。相应的正锥体和负锥体由X+（A）和X表示-（A）分别为。更准确地说，我们设置X+（A）：=X（A）∩ X+和X-（A）：=X（A）∩ 十、-.回想一下，经济衰退的圆锥体是封闭的，c凸集包含零的X由ec（A）定义：=\\A>0αA，是A中包含的最大闭凸锥。我们省略了下面引理的直接证明。引理3.14。让我们 X是一个闭的、凸的、剩余不变的接受集。然后rec（A）是一个封闭的、凝聚的、剩余不变的接受集。下面的结果提供了一个闭的、相干的、剩余不变的接受集的特征，它是Ohm 分为“无控制”的可测量集合C和“完全控制”的集合C。它的程序依赖于在Yan[15]中证明Th\'eor\'eme 2时使用的耗尽技术。引理3.15。让我们 X是一个闭的、凸的、剩余不变的接受集。然后，存在一个集合C∈ 我们几乎可以肯定，对于每一个Z，C上的（i）Z=0∈ B（A）∞);（ii）Z*> 在CCZ上几乎肯定是0*∈ B（A）∞) ∩ L∞.此外，A=X（C）⊕ 1CcA和rec（A）=X（C）⊕ X+（Cc）。证据我们首先证明了类G:={{Z=0}；Z∈ B（A）∞)}在可数交叉口下是封闭的。实际上，考虑B（a）中的一个序列（Zn）∞) ∩ L∞取一个正实数的序列（αn），比如xn∈NαnkZnk∞andXn∈NαNσA∞（Zn）两者都收敛。第一个条件意味着Pnαnzn收敛到L的范数topolo Gyl中的某个Z∞第二个是σA的上半连续性∞, 那个Z∈ B（A）∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:42

而且，{Z=0}=\\n∈N{Zn=0}。因此，G在可数交点下是闭合的。现在取B（a）中的一个序列（Zn）∞) 苏切塔利姆→∞P（Zn=0）=infE∈GP（E）。然后，我们找到一个合适的Z*∈ B（A）∞) 这样{Z*= 0}=\\n∈N{Zn=0}。特别是，{Z*= 0}达到G上的最小概率。我们声称c:={Z*= 0}具有所需的d属性。很明显，Z*满足（ii）中的条件。为了证明（i）成立，假设有∈ B（A）∞) 在概率非零的C的可测子集E上z>0。然后，Z+Z*将是B（A）的一个元素∞) 满足P（Z+Z）*= 0) ≤ P（C\\E）<P（C），与C的最小值相矛盾。因此，（i）满足。现在，以X为例∈ 十、然后，对于每一个Z∈ B（A）∞) 我们有E[XZ]=E[1CcXZ]，这意味着E[XZ]≥ σA（Z）<==> E[1CcXZ]≥ σA（Z）。根据定理3.12中的对偶表示，这意味着A=X（C）⊕ 1CcA。更多内容，sincerec（A）我们有∞) B（记录（A）∞). 以X为例∈ rec（A），然后通过剩余不变性-十、-∈ 建议（A）及-E[1CcX-Z]≥ σrec（A）∞（Z） =0，其中σrec（A）∞（Z） =0自rec（A）起保持∞这是一个圆锥体。但这只有在-1CcX-= 这意味着rec（A）=X（C）⊕ X+（Cc）。定理3.16。让我们 X应该是一个封闭的、一致的接受集。那么，A是剩余不变的充要条件是存在A∈ F，P（A）>0，使得A=X+（A）⊕ X（Ac）={X∈ 十、1AX≥ 0} .证据“如果”的含义很清楚。为了证明“仅当”的含义，请注意A=rec（A），因为A是凸锥。因此，一旦我们设置a=Cc，这个断言就直接从前面的引理开始。备注3.17。上述结果推广了K och-Medina、Mor-eno Bromberg&Munari[11]在有界r和OM变量空间中获得的弱星闭合、相干、剩余不变a接受集的特征。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 14:43:47

请注意，与[11]相比，不再需要X的可分性。前面的引理允许我们导出一般闭、凸、剩余不变量集的结构结果。回想一下，一组D 如果每个ε∈ （0，1）存在M>0，使得P(-对于所有X，M<X<M）>ε∈ 换句话说，紧集是L定理3.18中拓扑有界的精确集。让我们 X是一个封闭的凸接受集。然后，A是剩余不变的当且仅当A的可测分{A，B，C}存在时Ohm 当P（C）<1时，可对非零概率集进行修改，使A=X+（A）⊕ （X+（B）+DB）⊕ X（C），（12），其中dbs是X的一个闭的、凸的、实的、紧的子集-（B）对于每一个可测量的集合 b满足P（E）>0存在X∈ dbp（1EX<0）>0。证据“如果”的含义是明确的，因此我们将重点放在相反的陈述上。为了证明“仅当”含义，我们将明确定义分区。通过引理3.15，我们找到了Z*∈ B（A）∞) ∩ L∞所以rec（A）=X（C）⊕ X+（Cc），其中C={Z*= 0}. 很明显，当eV=ess supX时，Cc={V=0}∈rec（A）X-.设置nowA:={U=0}，B:={V=0}\\{U=0}，其中U=ess supX∈斧头-.然后，得出{A，B，C}是Ohm sa tis fyingA=1AA⊕ 1BA⊕ 1CA=X+（A）⊕ 1BA⊕ X（C）。从B的定义可以立即看出，每当P（B）>0且E是具有严格正概率的可测量B子集时，我们总是会发现X∈ 使P（1EX<0）>0。为了总结这个证明，我们只需要证明闭凸集DB=1BA-很紧。为此，假设Db不紧，以便我们找到ε∈ （0，1）使得每M>0就存在sxm∈ dbp（XM<-M） >ε。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 14:43:50

注意到{XM<-M} B并回顾Cc={Z*> 0}，我们立即进入-ME[1{XM<-M} Z*] ≥ E[XMZ*] ≥ σA∞（Z）*) > -∞对于任何M>0，这是不可能的，因为左边的期望是严格正的，假设P（XM<-M） >ε。因此，DBS很紧，这是备注3.19的结论。上一个定理中的最后一个条件，即对于每个可测集E 满足P（E）>0存在X∈ 当P（1EX<0）>0时，确保上述分解的唯一性。尤其是r，这种“灵敏度”条件意味着事件A是Ohm 在可接受的位置上要求为正。上述结果具有有趣的财务意义。事实上，可接受性可以通过对可测量部分{a，b，C}的每个“原子”上的资本l位置的行为的要求来描述Ohm: A不允许违约，B不允许“受控”违约，C不要求违约。第3.3节将通过详细阐述tig htness的概念来明确第二个条件。通过将我们之前的结果应用于上面介绍的凸、剩余不变接受集的具体例子，我们说明了剩余不变性的结构。示例3.2 0（短缺风险）。假设X连续嵌入L。对于任何损失函数l : R+→ R+和c>0剩余不变接受集a={X∈ 十、E[l（十）-)] ≤ c} 是封闭的，凸的。在这种情况下，我们有P（B）=1。为了证明这一说法，我们将首先证明rec（A）=X+。“包容”” 这很清楚。为了证明逆包含，取X∈ rec（A）并假设X/∈ 所以P（X≤ -ε）有些ε>0时>0。此外，取γ>0l(γε) > 0.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 14:43:55

自从X∈ 记录（A），我们需要≥ E[l（（αγX）-)] ≥ αE[γ1{X≤-ε}l（十）-)] ≥ αl（γε）P（X≤ -ε）对于每一个α>1的凸性，这几乎是不可能的。因此，rec（a）=X+保持不变。现在，由于rec（A）=1BcA+1BX+，这是上述分解定理的结果，并且由于A包含几乎必然为负的位置，例如X=-ε1Ohm对于0<ε<c，我们得出结论，P（Bc）=0必须保持，这样P（B）=1。示例3.21（测试场景）。考虑一组E∈ F满足P（E）>0。剩余不变量集a={X∈ 十、1EX≥ 0}是封闭的和连贯的。因为A=X+（E），我们很容易看到我们可以通过取A=E和B=c=.例3.22（预期尾部损失）。假设X连续嵌入L。对于任何α∈ （0,1）和c≥ 0剩余不变接受集a={X∈ 十、ESα(-十、-) ≤ c} 是封闭凸的。此外，当且仅当c=0时，它是相干的，其中ca se A=X+。我们认为，如果c>0，那么P（B）=1。要看到这一点，首先请注意，我们必须通过正同质性得到rec（A）=X+。由于rec（A）=BcA+1BX+，这是上述分解定理的结果，并且由于A显然包含几乎肯定是严格负的位置，例如X=-ε1Ohm对于0<ε<c，我们得出结论，P（Bc）=0必须保持，这样P（B）=1。我们的结论是，在明确排除原子数为有限的原子空间的情况下，如果我们装备L，则定理3.18中得到的分解不成立∞使用标准地形图y.示例3.23（L∞使用strong拓扑）。让(Ohm, F、 P）成为一个可容纳以下人员的专业空间：Ohm 由可测量的非零概率集合组成。这相当于我∞在有限的空间里。通过设置An:=n[k=1BkF（每n个）确定递增顺序（An）∈ N

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:43:58

通过构造，每n有P（An+1\\An）=P（Bn+1）>0∈ N和snan=Ohm.每n∈ N设置DN:=L∞-（An）是范数闭的、凸的和实的。此外，注意t（Dn）正在增加。因此，unionD:=[n∈NDnis很容易成为L的一个凸的、实的子集∞-. 同样重要的是，D不是tig ht。现在，用byD表示范数拓扑中D的闭包，并考虑闭的、凸的、sur加不变量的、单调的ESETA:=D+L∞+.自P（X）≥ -) > 0每X保存一次∈D、我们认为d6=L∞-. 特别是，A是一个接受集。我们声称A不能像定理3.1.8那样分解。假设我们可以用标准表格（12）来写一篇文章。在这种情况下，D=DB⊕ L∞-（C），这是一个很紧的地方。因为1BD不紧，我们必须有P（B）=0，所以D=L∞-（C）。这意味着-1An∈ L∞-（C），henceP（安）≤ P（C），对于任何n∈ N.然而，只有当P（C）=1，与toD 6=L相矛盾时，这才有可能∞-.3.3随机有界性和剩余不变性在上一节中，我们已经证明了任何闭的、凸的、剩余不变的交流接受集 Xcan be decomposition d asA=X+（A）⊕ （X+（B）+DB）⊕ X（C）的适当划分{a，B，C}Ohm. 特别是，集合Db由可接受的默认选项组成，并被证明是紧的，或概率有界的。在本节中，我们将重点介绍集合D，并展示如何从资本充足率的角度解释这种“有界性”属性。随机m变量X的分布函数∈ l将用FX表示，即我们设置FX（t）：=P（X≤ t）每一个t∈ R.回想一下，如果X和Y是两个随机变量，那么X在随机性上比Y更受欢迎，用X表示≥stY，如果FX（t）≤ FY（t）每t∈ R.A.setD Lis（一阶）由随机变量X随机限定*如果D的每个元素（第一或第二）随机优于X*, i、 e.如果X≥stX*为了所有的X∈ D.备注3.24。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:44:01

没有证据表明，上述随机偏好和随机有界性的概念依赖于所涉及的随机变量的分布。特别是，正如我们稍后在一些例子的上下文中所做的那样，我们不需要假设一个集合的随机界为D 定义我们的固定概率空间(Ohm, F、 P）。下面的结果证明，对于L的一个子集-, 紧性等价于随机有界性。3点25分。一组D L-紧的当且仅当它是随机有界的。证据我们首先展示了“如果”的含义。假设X*∈ Lis是D的随机界。特别是，注意X*肯定是阴性。现在，对于任何ε∈ （0,1）我们发现M>0足够大，可以满足yp（X）*> -M） >ε。因为P（X>-M）≥ P（X）*> -M）为了所有的X∈ D、我们得出结论，D是紧的。为了证明逆蕴涵，假设D是紧的，并考虑函数F:R+→ [0,1]由设置定义（x）：=supX∈DFX(-x）。很明显，G正在下降，并且令人满意→∞G（x）=0。（13）最后一个断言直接来自D的紧密性。现在的证明简化为证明存在一个随机变量X*∈ L-令人满意的*(-十）≥ G（x）为每x>0。（14）假设存在M>0，使得G（M）=0，即集合D在L中一致有界∞.然后，随机变量X*:= -M1Ohm很容易被看作是D的随机界。接下来假设每M>0，我们就有G（M）>0。与（13）一起，这意味着对于每个ε∈ （0，1）存在M>0，使得0<supX∈DFX(-M）≤ ε .在这种情况下，不难证明我们可以找到Ohm 由非零概率的可测集组成。现在，考虑严格正数的递增序列（αn），使得G（αn）<1-Pnk=1P（Ak）和setX*:= -∞Xn=1αnAn。我们声称（14）成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:44:05

为此，取x>0并选择最小的n∈ N这样的g（x）≥ 1.-Pnk=1P（Ak）。因为G在减小，所以我们有αn≥ 每个n的x≥ n、瑟夫克斯*(-十）≥∞Xk=nP（Ak）=1-N-1Xk=1P（Ak）>G（x），证明（14）并得出命题的结论。备注3.26。我们还可以证明上述证明中定义的函数G是正确连续的，并推断在具有1的非原子概率空间上存在一个随机变量- G作为其分布函数。我们更喜欢上面的证明，因为它不要求我们考虑概率空间上的随机变量，而概率空间不同于我们的基本概率空间(Ohm, F、 P）。我们应用前面的紧性特征来补充定理3.18中得到的表示结果。为此，回想一下X的风险价值（VaR）∈ 水平α∈ （0，1）定义为Varα（X）：=inf{t∈ RP（X+t<0）≤ α} .此外，在α水平上，X的预期短缺（ES）由ESα（X）：=αZαVaRβ（X）dβ给出。以下简单引理的第一部分回顾了一阶随机优势的一个众所周知的特征。第二部分是一个明显的推论，是一阶随机优势暗示二阶随机优势的等价公式。引理3.27。对于任意随机变量X，Y∈ 五十、我们有≥猪圈<==> VaRα（X）≤ 每个α的VaRα（Y）∈ (0, 1) .特别是X≥猪圈==> ESα（X）≤ 每个α的ESα（Y）∈ (0, 1) .前面的引理允许我们将可接受的违约概率集合的“有界性”与对任意α的VaRα和ESα元素的严格控制联系起来∈ (0, 1).定理3.28。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 14:44:09

让我们 X是一个封闭的、凸的、剩余不变的接受集，s标准分解a=X+（a）⊕ （X+（B）+DB）⊕ X（C）。那么，这里有X*∈ L-这样的t hatVaRα（1BX）≤ VaRα（X）*) 每X∈ A、 α∈ (0, 1) .特别是，如果X*∈ L-thenESα（1BX）≤ ESα（X）*), 每X∈ A、 α∈ (0, 1) .证据根据定理3.18，集合Db是X的紧子集-（B）。因此，P位置3.25意味着Db由某个X随机限定*∈ L-. 这两个断言紧接着引理3.27。上述结果也很重要，因为它提供了一个关于如何构造封闭的、凸的、urplusinvariant的接受集的提示，这些接受集允许“受控”默认值，但没有“不受控”场景。例3.29。假设X连续嵌入土地，考虑{a，B}Ohm. 此外，以X为例*∈ 十、-. 然后，setA=X+（A）⊕ （X+（B）+DB）其中DB={X∈ 十、-（B） )；ESα（X）≤ ESα（X）*), α ∈ （0，1）}是X中的一个闭的、凸的、剩余不变的接受集。事实上，这足以证明dbc在X中是闭的、凸的和紧的。由于ESα在L上是连续的和凸的，所以集合Db显然是闭的和凸的。为了证明紧密性，回想一下ESα（X）→ E[-十] 作为α→ 1代表任何X∈ L.因此，DBS在陆地上是有界的，更确切地说，是有界的。我们通过在上面讨论的凸（非凸）剩余不变接受集的具体例子中说明前面的结果来结束这一部分。例3.30（短缺风险）。假设X连续嵌入L。考虑一个损失函数l : R+→ R+并取c>0。从例3.20可以看出，闭的、凸的、剩余的不变量集合a={X∈ 十、E[l（十）-)] ≤ c} 满意度P（B）=1，因此A-很紧。我们想给出一个随机界-.注意，对于每个X∈ A.-, 我们有≥ E[l（十）-)] ≥ E[1{X≤x}l(-x） ]=l(-x） P（x）≤ x） =l(-x） FX（x），其中x≤ 0是任意的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:44:12

现在，选择x*< 0以至于l(-十、*) = c并定义函数F:R→ [0,1]通过设置f（x）=（cl(-x）如果x≤ 十、*,1如果x>x*.然后，一个具有分布函数F的随机变量很容易被视为一个变量的随机界（可能定义在不同的概率空间上）-.例3.31（预期尾部损失）。假设X连续嵌入L。取α∈ （0,1）和C>0。在例3.22中，我们发现闭的、凸的、剩余不变接受集a={X∈ 十、ESα(-十、-) ≤ c} 满意度P（B）=1，因此A-很紧。我们想给出一个随机界-.首先，从F¨ollmer&Schied[8]中的定理4.52和注释4.53中，我们可以写出α（X）=maxZ∈QαE[-XZ]每X∈ X，其中取最大值的一类随机变量为givenbyQα=nZ∈ X+；kZk∞≤α、 E[Z]=1o。事实上，最大值是由随机变量Z决定的*=α（1{X<q}+κ1{X=q}），其中q是X和κ的α分位数≥ 选择0的方式使E[Z]=1。现在，取一个任意的X∈ A.-.自αc≥ αESα（X）=E[-X（1X<q+κ1X=q）]≥ -qP[X<q]- qκP[X=q]=-αq通过定义α分位数，可以得出≥ -霍尔德。因此，对于每一个x<-我们得到αc≥ αESα（X）≥ E[-X1X<q]≥ E[-X1X≤x]≥ -xP（X）≤ x）。最后，定义函数F:R→ [0,1]由s e ttingF（x）提出=(-αcxif x<-c、 1如果x≥ -c、然后，一个具有分布函数F的随机变量很容易被视为一个变量的随机界（可能定义在不同的概率空间上）-.4 Num’eraire不变性相干剩余不变性接受集与下文讨论的Num’eraire不变性概念有关。在本节中，我们假设∈ L∞, 十、∈ X==> RX∈ 十、（15）注意，该条件暗示了迄今为止假设的本地化条件（5）。回想一下，我们曾以固定的记账单位（比如某些固定货币）表示资本头寸。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:44:16

改变会计货币的过程可以用一个随机变量R来描述，这个随机变量几乎肯定是正的，代表资本头寸X从原始货币到新货币的汇率∈ X以原币表示，随机变量RX以新币表示同一公司的头寸。根据我们的假设（15），产品Rx仍然属于X。假设 X是以原货币进行的资本充足率测试，如果Y是以新货币表示的资本头寸，则Y是可接受的，如果且仅当∈ A、如果且仅当∈ 拉。因此，当货币发生变化时，即使资本头寸仍然属于X，测试的特定形式也会发生变化。在不同管辖区以各自的货币进行资本充足率测试时，需要记住这一转换步骤。在试图协调全球的偿付能力制度时，这一点尤为重要。然而，关于协调的讨论通常围绕着选择一个测试展开——例如，基于风险价值或预期短缺——在不执行翻译步骤的情况下跨司法管辖区应用。如果没有执行转换步骤，那么测试在不同司法管辖区保持一致的唯一方法——即所有司法管辖区都接受完全相同的资本头寸——是要求num’eraire不变性。为了方便起见，随机变量R∈ L∞+严格来说是正的，几乎肯定会被称为缩放因子。因此，重定标系数是有资格代表账户单位变化的随机变量。定义4.1。录取决定了胜负如果对于每个重缩放因子R wehaveX∈ A==> RX∈ A.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:44:20

（16）我们首先展示，我们可以在不改变num’eraire不变性概念的情况下，使用一个或更大类别的重缩放因子。回想一下，一个随机变量R∈ L∞+对于某些ε>0，如果P（R>ε）=1，则称为从零开始有界。引理4.2。假设 X是一个封闭的验收集。当且仅当满足下列任一等价条件时，A是数值不变的：（A）X∈ A意味着RX∈ A适用于任何R∈ L∞+;（b） X∈ A意味着RX∈ A适用于任何R∈ L∞+这是有界的远离零。证据显然，我们只需要证明（b）意味着（a）。为此，Fix∈ A随便拿一个∈ L∞+. 此外，考虑一般项Rn:=R+n的序列Ohm. 因为对于任何n，RN都是从零开始的∈ N、我们有RnX∈ A.由于A是闭合的，因此极限RX也必须属于A，证明（A）满足d.备注4.3。选择重缩放因子R作为L元素的主要原因∞对于任何头部位置X来说都是这样吗∈ 我们又有RX了∈ 十、然而，下面的说法是正确的：setA X是num’eraire不变量当且仅当对于每个R∈ 我们有∈ A、 RX∈ X==> RX∈ A.事实上，这个属性显然意味着num’eraire不变性，因为对于R∈ L∞+我们一直都有∈ 因此引理4.2中的（a）是满足的。为了表示相反，请注意，对于Rn=min{R，n}，我们有RnX∈ A由num’eraire不变性和RnX→ 由σ-Lebesgue性质确定。作为前面引理的结果，每个num’eraire不变接受集也是剩余不变的。此外，这两个性质对于任何圆锥接受集都是等价的。4.4的提议。假设 X是一个封闭的验收集。然后，下面的陈述是等价的：（a）a是num’eraire不变量；（b） A是圆锥形的，剩余不变。证据首先假设A是数值不变的。从牛顿不变性的定义可以清楚地看出，A是一个圆锥体。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 14:44:25

现在，以X为例∈ A.然后，前面的引理产生X1X<0∈ A、这意味着过度入侵。现在假设A是圆锥形的，剩余不变。以X为例∈ A.重新命名- 十、-∈ A.对于任何重新缩放因子R，我们都有-RX-≥ - kRk∞十、-. 作为协调性和单调性的结果，它如下-RX-∈ A.因此∈ A、证明A是num不变量。鉴于num’eraire和剩余不变性之间的密切联系，我们可以使用前面的结果来获得num’eraire不变性接受集的以下表示。定理4.5。假设 X是一个封闭的凸接受集。那么，A是num’eraire不变量ifand仅当存在A时∈ F使得P（A）>0且A=X+（A）⊕ X（Ac）。证据根据命题4.4，接受集A是剩余不变量和圆锥形的，因此是相干的。因此，根据定理3.16.5的最终评论，该主张立即成立。该论文对简单经典模型的非常具体的方面——盈余不变性和数量不变性——进行了分析，尽管该模型具有基本的性质，但在一个时期的背景下，构成了大量风险度量文献的基础。该模型将金融机构与其净资本头寸（资产减去负债）相区分，并具有以下特征：机构所有人产生的任何盈余和任何违约成本均由负债持有人完全承担。因此，负债持有人只能经历以下两种命运中的一种：（a）机构有足够的资金来履行其义务，在这种情况下，负债持有人得到了他们所欠的款项（但仅此而已）；或者，（b）该机构资金短缺，债务违约，因此债务持有人要么不支付任何款项，要么只支付部分欠款。在这个特定的模型中，负债持有人获得的唯一收益是他们在到期日获得的金额。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝