因此，金融头寸的定价需要包括各种估值调整。交易对手风险金融合同的价格计算为清洁价格（如第3节）与交易对手风险和融资成本调整之间的差异。6.1理性信用模型如下所示，除了用于计算PFE外，第5节中的风险敞口还可用于计算各种调整：CVA（信用估值调整）、DVA（债务估值调整）和LVA（流动性融资估值调整）。考虑到这一目标，我们在第2.3节中为自下而上的结构（此后使用的符号）配备了以下方式的信用组件。我们考虑{X（i）t}i=1,2，。。。，n0≤t、 假设为（{Ft}，M）-马尔可夫过程。对于任何多索引（i，…，id），我们写F（i，…，id）t=Wl=1，。。。，dFX（il）t.市场过滤{Ft}由{F（1，…，n）t}给出。对于本节中的应用，我们假设n=6。马尔可夫过程{X（1）t}={X（3）}和{X（2）t}被用来驱动OIS和LIBOR模型，如第2.3节所述，特别是零初始化（{Ft}，M）鞅{A（i）t}i=1,2,3。马尔可夫过程{X（i）t}，i=4,5,6，被假定为它们与马尔可夫过程i=1,2,3之间的M独立，被应用于模型{Ft}适应过程{γ（i）t}i=4,5,6，由γ（i）t=-˙ci（t）+˙bi（t）A（i）tci（t）+bi（t）A（i）t，（6.45）其中bi（t）和ci（t），ci（0）=1，是非递增确定性函数，{A（i）t}i=4,5,6是形式为A（t，X（i）t）的零初始化（{Ft}，M）-鞅。

与（2.17）相比，我们发现（6.45）的建模方式与OIS率（2.17）的建模方式相同，尤其是非负强度（见备注6.3）。根据第（2.3）节中的“自下而上”构造，我们现在引入一个密度（{Ft}，M）-鞅{utνt}0≤T≤t导致测量值从M变为风险中性测量值Q:dQdMFt=utνt（0≤ T≤ T）其中{uT}的定义如第2.3节所述。在这里，我们进一步定义了νt=Qi≥4ν（i）t其中的过程ν（i）t=EZ·˙bi（t）dA（i）t˙ci（t）+˙bi（t）A（i）t-!假设为正真（{Ft}，M）-鞅。引理6.2。设ξ表示任意非负F（1,2,3）T-可测随机变量，设χ=Qj≥4χi这里，对于j=4,5,6，χjis F（j）T-可测量。ThenERt[ξχ]=ERt[ξ]Yj≥4ERt[χi]，（6.46）表示R=M或Q，表示0≤ T≤ T证据因为F（4,5,6）独立于F（1,2,3）和ξ，EMhξF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）Ti=EMhξF（1,2,3）ti。因此，EMt[ξχ]=EMhEMhξχF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）TiF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）ti=EMhEMhξF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）TiχF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）ti=EMhEMhξF（1,2,3）tiχF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）ti=EMhξF（1,2,3）tiEMhχF（1,2,3）t∨ F（4,5,6）ti=EMt[ξ]EMt[χ]。接下来，Girsanov公式结合M-条件期望的结果得出：EQt[ξχ]=EMtuTνTξχuTνT= 急诊室uTξuT急诊室νTχνT= 急诊室νTuTξνTuT急诊室uTνTχuTνT= EQt[ξ]EQt[χ]。对于ξ=1的情况，其结果仍有待证明，这是类似的。对于XVA计算，我们将按照Cr\'epey（2012）的精神使用简化形式的交易对手风险方法，其中银行“b”（我们采用其观点）和交易对手“c”的违约时间按照三个Cox时间τ进行建模，τi=inf定义t>0Ztγ（i）十二烷基硫酸钠≥ 工程安装（6.47）在Q下，随机变量Ei（i=4,5,6）是独立的，呈指数分布。

此外，τc=τ∧ τ、 τb=τ∧ τ、 因此τ=τb∧ τc=τ∧ τ∧ τ.我们写下γct=γ（4）t+γ（6）t，γbt=γ（5）t+γ（6）t，γt=γ（4）t+γ（5）t+γ（6）t，这是所谓的（{Ft}，Q）-停止时间τc，τ带τ的危险强度过程，其中给出了完整的模型过滤{Gt}，作为市场过滤{Ft}逐渐被τcandτb扩大（参见Lecki，例如Bieki，Jeanblanc，和Kowrutk（2009），第5章）。与之前一样写入Dt=exp(-Rtrsds），我们注意到引理2.1在目前的设置中仍然有效。也就是说，ht=c（t）+b（t）A（1）t=Dtut，一个（{Ft}，M）-上鞅，假设为正（例如，在如例2.2所示的A（1）的指数L![3]evy鞅规范下）。进一步，我们引入Z（i）t=exp(-Rtγ（i）sds），对于i=4,5,6，并获得类似的thatk（i）t:=ci（t）+bi（t）A（i）t=Zitν（i）t.（6.48）。根据这些观察结果，引理6.2得出以下结果。我们写的是气≥4k（i）和Zt=Qi≥4Z（i）t.提案6.1。标识（2.22）和（2.26）仍保留在当前设置中，即isPtT=EQthe-RTtrsdsi=EQtDTDt= 急诊室hTht=c（T）+b（T）A（1）tc（T）+b（T）A（1）T（6.49），对于T≤ 钛-1，L（t；Ti）-1，Ti）=L（0；Ti-1，Ti）+b（Ti-1，Ti）A（2）t+b（Ti）-1，Ti）A（3）tP0t+b（t）A（1）t.（6.50）同样地-RTtγsdsi=EQtZTZt= 急诊室kTkt=Yi=4,5,6ci（T）+bi（T）A（i）tci（T）+bi（T）A（i）T，（6.51）EQthe-RTtγsdsγcTi=-EQt“Z（5）TZ（5）t#TEQt“Z（4）TZ（6）TZ（4）TZ（6）t#=-EQthe-RTtγsdsiXi=4,6˙ci（T）+˙bi（T）A（i）tci（T）+bi（T）A（i）T，（6.52）EQthe-RTt（rs+γcs）dsi=EQt“DTZ（4）TZ（6）TDtZ（4）TZ（6）t#=Yi=1,4,6ci（t）+bi（t）A（i）tci（t）+bi（t）A（i）t（6.53）证明-RTtrsdsi=EQtDTDt= 急诊室hTνThtνt= 急诊室hTht急诊室νTνT= 急诊室hTht=c（T）+b（T）A（1）tc（T）+b（T）A（1）T，（6.54），其中最后一个等式由引理2.1保持。这证明了（6.49）。其他身份也得到了类似的证明。备注6.3。等式（6.49）和（6.51）在性质和外观上相似。

正如由此产生的OIS率{rt}（2.17）的情况一样，（6.48）被设计为一个可预测的事实，其结果是相关的强度（6.45）是一个非负过程。通过观察{ν（i）t}是一个鞅，可以很容易地看出这一点，因此上鞅（6.48）的漂移由驱动{Z（i）t}的必然非负过程{γ（i）t}给出。在时间t=0时，所有的A（i）=0，因此这些公式中只保留了项ci（t）。由于公式（6.49）和（6.50）不受该方法中包含的信贷成分的影响，因此第5节基础掉期的估值保持不变。通过使用信用风险的所谓“关键引理”，例如比莱斯基、詹布兰科和鲁特科夫斯基（2009），身份（6.53）是交易对手（分别是银行，用τb代替τc）违约前信用违约掉期定价过程的主要组成部分。特别是，t=0EQhe处的恒等式-RT（rs+γcs）dsi=c（T）c（T）c（T），（6.55）等式-RT（rs+γbs）dsi=c（T）c（T）c（T），T为6.56≥ 一旦确定了对各自信用风险因素的依赖性，可将函数ci（T）i=4、5、6用于校准缔约方和银行的CDS曲线。校准“嘈杂”信用模型组件bi（T）A（i）T，i=4、5、6需要CDS期权数据或CDS期权波动率视图。如果整个模型被判定为未确定，则可以通过去除常见的违约成分τ（仅让τc=τ，τb=τ）和/或通过将一些随机项设置为零（即bi（T）A（i）T=0，i=4，5和/或6）来获得更节约的规格（如第3条中的单因素利率模型）。

我们的多曲线LIBOR模型的核心构建块是couterparty风险核{k（i）t}，i=4,5,6，OIS核{ht}，以及LIBOR过程分子（2.26）给出的LIBORkernel。我们可以将所有内核视为在M-度量下定义的，先验的。P-测度下的各个核，例如定价核{πt}，如第5.6.2节XVA分析的末尾所述，在Crèepey（2012）之后的上述简化形式交易对手风险设置中获得，给定一个具有“干净”价格过程{Pt}和时间范围t的合同（或合同组合），总估值调整（TVA）过程{Θt}考虑交易对手风险和融资成本，可以建模为形式为Θt=EQt的方程的解ZTtexp-Zst（ru+γu）dufs（Θs）ds, T∈ [0，T]，（6.57）对于某些系数{ft（θ）}。我们注意到（6.57）是TVA过程{t}的向后随机微分方程（BSDE）。关于BSDE账户及其在主题金融中的使用，特别是交易对手风险，我们参考了ElKaroui、Peng和Quenez（1997）、Brigo等人（2013）和Cr\'epey（2012）或（Cr\'epey等人2014，第三部分）。根据Crθepey（2012）进行的分析得出了给定的BSDE系数（6.57）∈ R、 by:ft（θ）=γct（1- Rc）（Pt）- Γt）+|{z}CVA系数（cvat）- γbt（1）- Rb）（Pt）- Γt）-| {z}DVA系数（dvat）+btΓ+t- btΓ-t+λtPt- θ - Γt+- λtPt- θ - Γt-| {z}LVA系数（lvat（θ）），（6.58），其中：–R和R是银行对交易对手的回收率，反之亦然Γt=Γ+t- Γ-t、 式中{Γ+t}（分别为{Γ-t} ）表示交易对手向银行过账的抵押物的价值过程（分别为。

例如，Γt=0（除非另有说明，否则从今以后使用）或Γt=Pt.——过程{bt}和{bt}是关于抵押品报酬{Γ+t}和{Γt}的OIS短期利率{rt}的利差-t} 由交易对手和银行相互发布过程{λt}（resp.{λt}）是银行关于{rt}的流动资金（resp.投资）利差。流动性融资利差是指这些利差没有信用风险。特别是∧t=\'λt- γbt（1）-其中{λt}是银行的全包融资借款利差，其中{Rb代表银行对其无担保贷款人的回收率（为简单起见，假设无风险，因此在{λt}的情况下，无论如何都不涉及信用风险）。数据{t}、{bt}和`bt在双方签订的信贷支持附件（CSA）中具体说明。我们注意到EqtZTtexp-Zst（ru+γu）dufs（Θs）ds= 急诊室ZTtusνsDsZsusνtDtZtfs（Θs）ds= 急诊室ZTthskshtktfs（Θs）ds. （6.60）因此，通过设置eΘt=htktΘt，可以得到M下（6.57）和（6.58）的等价公式：eΘt=EMtZTt)fs（eΘs）ds（6.61）对于t∈ [0，T]式中ft（θ）htkt=ftθhtkt= γct（1）- Rc）（Pt）- Γt）+- γbt（1）- Rb）（Pt）- Γt）-+\'btΓ+t- btΓ-t+λtPt-θhtkt- Γt+- λtPt-θhtkt- Γt-.（6.62）对于下一节中给出的数值实现，除非另有说明，否则我们设置：γb=5%，γc=7%，γ=10%Rb=Rc=40%b=\'-b=λ=～λ=1.5%。（6.63）在模拟网格中，一个时间步长对应于一个月，生成m=10或10场景。

我们回顾了（6.55）之后的评论，并注意到（i）这是一种假设违约强度具有确定性的情况，即biA（i）=0（i=4,5,6）和（ii）交易对手和银行可能共同违约，这反映在γt<γbt+γct这一事实上。6.2.1基于BSDE的计算BSDE（6.61）-（6.62）可通过模拟/回归方案进行数值求解，类似于美式期权定价所用的方案，见Cr’epey、Gerboud、Grbac和Ngor（2013）和Cr’epey、Grbac、Ngor和Skovmand（2014）。因为在（6.63）中，我们有λt=~λt，项的系数（Pt-θhtkt- Γt）±符合（6.62）。这是“线性TVA”的情况，其中系数Ft与θ成线性关系。因此，（6.62）的数值BSDE格式产生的结果可以通过标准蒙特卡罗计算进行验证。表1显示了TVA及其CVA、DVA和LVA分量在时间零点的值，其中分量是通过替换（6.62）中的θ来获得的，首先是通过模拟/回归计算的TVA过程Θt（有关该过程的详细信息，请参见CrΘepey et al.（2013）中的第5.2节）。第六列显示了CVA、DVA和LVA的总和，理论上等于TVA。因此，第二列、第六列和第七列给出了三种不同的Θ=Θ估计。表2显示了这些估计之间的相对差异，以及上一栏所示的可比规模的蒙特卡洛置信区间。由其组成部分之和定价的TVA比回归的TVA更准确。

这一观察结果与Longsta off和Schwartz（2001）在采用蒙特卡罗方法进行美式期权定价的情况下，与Tsitsiklis和Van Roy（2001）相比，表现更好的结果是一致的（例如，见Cr’epey（2013）第10章）。再加上CVA DVA LVA和MC TVA0。0447 0.0614-0.0243 0.0067 0.0438 0.04380.0443 0.0602-0.0234 0.0067 0.0435 0.0435表1：时间零点的TVA及其分解（均以欧元报价），通过回归计算m=10或10GaInst X（1）和X（2）t。第2列：TVAΘ。第3列至第5列：时间零点处的CVA、DVA、LVA通过分别在（6.62）项中插入Θtforθ重新定价。第6列：三个组成部分的总和。第7列：通过标准蒙特卡罗方案计算的TVA。m Sum/TVA TVA/MC Sum/MC CI/|MC|-2.0114%2.0637%0.0108%9.7471%-1.7344%1.7386%-0.0259%2.9380%表2：与表1结果相对应的时间零点TVA的相对误差。“A/B”代表相对差异（A-B） /B.“CI/|MC |”在最后一列中是指95%蒙特卡罗置信区间的一半大小除以时间零点时TVA的标准蒙特卡罗估计值的绝对值。在表3中，为了比较替代CSA规范，我们在以下四种情况中的每种情况下重复上述数值实施，其中¨λtset等于常数4.5%，并且所有其他参数如（6.63）：1所示。（\'Rb，Rb，Rc）=（100，40，40%），Q=P，Γ=02。（\'Rb，Rb，Rc）=（100，40，40%），Q=P，Γ=Q=P3。（\'Rb，Rb，Rc）=（40,40,40）%，Q=P，Γ=04。（\'Rb，Rb，Rc）=（100，100，40%），Q=P，Γ=0（6.64）。记住，基差互换的两个分支的t=0值等于27.96欧元，表3中的数字可能看起来很小，但也必须记住，这里使用的toymodel没有考虑任何错误的方式风险影响（见Cr\'epey and Song（2015））。

事实上，该表中信息最丰富的结论是参数选择对不同XVA成分相对重量的影响。病例报告TVA CVA DVA LVA总和/TVA1 0.0776 0.0602-0.0234 0.0408 0.0776-0.0464%2 0.0095 0.0000 0.0000 0.0092 0.0092-3.6499%3 0.0443 0.0602-0.0234 0.0067 0.0435-1.7344%4 0.0964 0.0602 0.0000 0.0376 0.0978 1.4472%表3：时间零点时的TVA及其分解（全部以欧元报价）由m=10Gainst X（tand1）X（tand1）列TVA）计算得出。第3列至第5列：时间零点处的CVA、DVA和LVA，通过在（6.61）的相应项中插入Θtforθ分别重新定价。第6列：三个组成部分的总和。第7栏：第二栏和第六栏之间的相对差异。6.2.2基于风险敞口的计算将注意力限制在{Pt}与{F（1,2,3）t}相适应的利率衍生品的情况。我们引入c（s）=Qi≥4ci（s）和timeEP E（s）的函数：=EMhsP+s= 情商DsP+s, 响应。相对长度单位热休克蛋白-s= 情商数字信号处理器-s,被称为预期阳性暴露，分别为。预期的负面影响。对于利率掉期，EPE和ENE对应于掉期上写有到期日的掉期期权的按市值计价，如果有合适的模型规格，可以通过分析恢复。

一般来说，EPE/ENE可以通过模拟暴露进行数值反演。鉴于（6.61）-（6.62），到t=0时（6.51）和（6.52），t=0时的非共同CVA满足（对于Rc6=1，否则CV A=0）：（1）- Rc）CV A=EMZThsksγ-csP+sds=ZTEMhsP+sEM[ksγcs]ds=ZTEMhsP+s等式[Zsγcs]ds=-中兴通讯(s)˙c（s）c（s）+˙c（s）c（s）c（s）ds。类似地，对于DVA（对于Rb6=1，否则DVA=0），我们有：（1）- Rb）DV A=-中兴通讯(s)˙c-2(s)c-2（s）+˙c-1(s)c-1(s)c（s）ds。对于第5节的基础掉期和交易对手风险数据（6.63），我们通过这种方式获得CV A=0.0600和DV A=-0.0234，与表1中第二行（即m=10）的对应关系非常一致。至于LVA，为了简化计算，人们可能会忽略lvat（θ）固有的非线性（除非∧t=λt），在lvat（θ）中用0代替θ。然后，假设lvat（0）∈ X（1,2,3）t，通过（6.57）（6.58），可以计算时间零点处的线性化LVA，由[LVA=EM]给出ZThskslvas（0）ds=ZTEM[hslvas（0）]EM[ks]ds=ZTEM[hslvas（0）]c（s）ds，t=0时为（6.51）。这是基于预期（线性化）流动性敞口em[hslvas（0）]=EQ[Dslvas（0）]。在没有抵押（Γt=0）和确定性∧λ和λt的情况下，我们得到了（0）=λsP+s- λsP-s、 [LV A=ZTλsEP E（s）- λsEN E（s）c（s）ds。在连续抵押（Γt=Pt）和确定性“bt”和“bt”的情况下，公式radlvas（0）=“bsP+s”- bsP-s、 [LV A=ZT\'\'bsEP E（s）- 北区(s)c（s）ds。至于CVA/DVA，LVA暴露由EPE/ENE函数控制，但取决于CSA的不同“加权函数”。例如，对于数据（6.63），基于第5节交换的LVA（有无抵押，因为在这种情况下，\'bt=bt=λt=λt=λt=1.5%），我们获得[LV A=0.0098，与表1中0.0067的准确（与线性化的）值相比，相对而言差异很大（但这些数字很小）。

我们注意到，默认强度{γ（i）t}的随机性在所有这些t=0定价公式中都是平均的，但它会出现在更一般的t定价公式中，或者甚至在t=0的XVAGreeks中。致谢作者感谢M.A.Crisa Fi、C.Cuchiero、C.A.Garcia Trillos和Y.Jiang进行了有益的讨论，并感谢开普敦大学第一届金融数学团队挑战赛（2014年7月）、南非克鲁格公园第五届金融数学国际会议（2014年8月）和巴黎伦敦-巴黎学士研讨会的参与者，法国（2014年9月）提供有用的评论。S.Cr\'epey的研究得益于aegisof Louis Bachelier实验室“转型中的椅子市场”的支持，该实验室是“理工学院、大学、埃弗雷瓦尔·德桑大学和法国证券交易所联合发起的。参考Akahori，J.，Y.Hishida，J.Teichman和T.Tsuchiya，《利率模型的热核方法》，日本工业和应用数学杂志，DOI10。1007/s13160-014-0147-3（2014）。巴恩多夫-尼尔森，O.E。。正态逆高斯分布和随机波动模型。斯堪的纳维亚统计杂志24，1-13（1997）。比安切蒂，M。。两条曲线，一个价格。《风险》杂志，2010年8月74日至80日。Bianchetti，M.和M.Morini（编辑）。金融危机后的利率建模（2013年）。风险书。比莱基，T.R.，M.珍布兰科和M.鲁特科夫斯基（2009）。信用风险建模。大阪大学出版社，大阪大学CSFI讲座笔记系列2。Brigo，D.和F.Mercurio，《利率模型——理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷》。Springer Verlag（2006）。Brigo，D.，M.Morini和A.Pallavicini。交易对手信用风险、抵押品和融资：所有资产类别的定价案例（2013年）。威利。布罗迪，哥伦比亚特区，和L.P。

Hughston，《混沌与连贯：一个新的利益建模框架》，皇家学会学报a 4602041，85-110（2005）。布罗迪，D.C.，L.P.休斯顿，E.麦基，动态资产定价几何利维模型的一般理论，皇家学会学报A:数学，46811778（2012）。Cheng，S.和M.R.Tehranchi，《利率和随机波动性的多项式模型》，arXiv 1404.6190（2014）。Cont，R.和P.坦科夫。具有跳跃过程的金融建模。查普曼·安德霍尔/华润出版社（2003年）。克瑞佩，S.（2013）。金融建模：一个倒向随机微分方程。斯普林格金融教科书。Cr’epey，S.，融资约束下的双边交易对手风险第二部分：CVA。数学金融25（1），23-50。克雷佩、S、T·R·比莱基和D·布里戈。交易对手风险和融资——两个谜团的故事。查普曼和霍尔/华润金融数学系列（2014）。克雷佩，S.，R.格布，Z.格巴克和N.恩格尔。交易对手风险和融资：TVA的四翼。《国际理论与应用金融杂志》16（2），1350006（2013）。南卡罗来纳州克雷佩、Z.格巴克、N.恩戈尔和D.斯科夫曼德。L’evy HJM多曲线模型及其在CVA计算中的应用。定量金融，即将出版。Cr’epey，S.和S.Song（2015年）。交易对手风险和融资：沉浸式和超越式。LaMME预印本（可在HAL上获得）。库奇罗，C.，M.凯勒·雷塞尔，J.泰奇曼。多项式过程及其在数学金融中的应用。arXiv 0812.4740v2（2012年）。库奇罗，C.丰塔纳，A.格诺阿托。多产量曲线建模的通用HJM框架。arXiv 1406.4301v1（2014年）。D–oberlein，F.和M.Schweizer。关于半鞅项结构模型中的储蓄账户。随机分析与应用19，605-626（2001）。Eberlein，E.，K.Glau和A.Papapantoleon，傅里叶变换估值公式和应用分析。

应用数学金融17 211–240（2010）。N.埃尔·卡鲁伊、S.彭和M.-C.昆内斯。金融中的倒向随机微分方程。数学金融7，1-71（1997）。菲利波维奇、D.和A.B.特罗尔。银行间风险的期限结构。《金融经济学杂志》109707–733（2013）。菲利波维奇，D.，M.拉尔森和A.B.特罗尔，《线性有理项结构模型》，ssrn:2397898（2014）。弗莱萨克，B.和L.P.休斯顿。《正面兴趣》，风险杂志，第9期，第46-49页（1996年）。Fujii，M.，Y.Shimada和A.Takahashi。关于构造有无抵押品的多重互换曲线的注记。FSA研究综述6139-157（2010）。Fujii，M.，Y.Shimada和A.Takahashi。存在抵押品和多种货币的动态基差利率市场模型。Wilmottmagzine 5461–73（2011）。Heath，D.，R.Jarrow，A.Morton，《债券定价和利率期限结构：未定权益估值的新方法》，计量经济学，6077105（1992）。亨拉德，M。。衍生品贴现的讽刺之处。威尔莫特杂志30，92-98（2007）。亨拉德，M。。衍生品贴现的讽刺之处第二部分：危机。威尔莫特杂志2301-316（2010）。亨拉德，M。。多曲线框架下的利率建模。帕尔格雷夫·麦克米伦（2014年）。Hoyle，E.，L.P.Hughston，A.Macrina，L\'evy Random Bridges and the Modeling of Financial Information，随机过程及其应用，121856-884（2011）。Hughston，L.P.和A.Rafailidis，《利率建模的混沌方法，金融学和随机学》，第9期，第43-65页（2005年）。赫尔，J.C.，A.索科尔和A.怀特，模拟短期利率：真实和风险中性世界，http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2403067 (2014).亨特、P.和J.肯尼迪。金融衍生品的理论和实践。威利，修订版（2004年）。肯扬，C。。

流动性和信贷冲击后的短期利率定价：包括基准。《风险》杂志，2010年11月83日至87日。Kijima，M.，K.Tanaka和T.Wong。多质量的利率模型。量化金融9（2），133–145（2009）。朗斯塔夫、F.A.和E.S.施瓦茨。通过模拟评估美国期权：最简单的平方法，《金融研究评论》14（1），第113-147页（2001年）。《资产定价的热核模型》，国际理论与应用金融杂志17（7），1-34（2014）。Macrina，A.和P.A.Parbhoo，谷物定价的随机混合模型。亚洲金融市场21281-315（2014）。Mercurio，F.，一个随机基础的伦敦银行同业拆借利率市场模型。《风险》杂志，2010年12月84-89日。《利率和信贷紧缩：新公式和市场模型》。技术报告，彭博投资组合研究论文2010-01-FRONTIERS（2010）。F.Mercurio，《现代伦敦银行同业拆借利率市场模型：使用不同曲线预测利率和贴现》，国际理论与应用金融杂志，13，113-137（2010）。N.莫雷尼和A.帕拉维奇尼。具有随机波动性的简约多曲线HJM模型。在M.Bianchetti和M.Morini（编辑）中，金融危机后的利率建模。风险账簿（2013年）。N.莫雷尼和A.帕拉维奇尼。多屈服曲线动力学的简约HJM建模。数量金融14（2），199–210（2014）。Nguyen，T.和F.Seifreed。多曲线势模型。http://ssrn.com/abstract=2502374 (2014).Parbhoo，P.A.信息驱动的定价核心模型。威特沃特斯兰德大学博士论文（2013年）。罗杰斯，L.C.G。

利率和汇率期限结构的潜在方法，数学金融7，157-176（1997）。Rutkowski，M.，关于利率期限结构的Flesaker-Hughston模型的注释，应用数学金融4，151-163。齐齐克利斯、J.N.和B.范罗伊。复杂美式期权定价的回归方法，IEEE神经网络交易12，第694–703页（2001年）。