非凸偏好市场的最优风险分配

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Optimal risk allocation in a market with non-convex preferences》
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作者：
Hirbod Assa
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
The aims of this study are twofold. First, we consider an optimal risk allocation problem with non-convex preferences. By establishing an infimal representation for distortion risk measures, we give some necessary and sufficient conditions for the existence of optimal and asymptotic optimal allocations. We will show that, similar to a market with convex preferences, in a non-convex framework with distortion risk measures the boundedness of the optimal risk allocation problem depends only on the preferences. Second, we consider the same optimal allocation problem by adding a further assumption that allocations are co-monotone. We characterize the co-monotone optimal risk allocations within which we prove the \"marginal risk allocations\" take only the values zero or one. Remarkably, we can separate the role of the market preferences and the total risk in our representation.
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中文摘要：
本研究的目的有两个。首先，我们考虑一个具有非凸偏好的最优风险分配问题。通过建立失真风险测度的一个弱表示，我们给出了最优和渐近最优配置存在的一些充要条件。我们将证明，与具有凸偏好的市场类似，在具有扭曲风险度量的非凸框架中，最优风险分配问题的有界性仅取决于偏好。第二，我们考虑同样的最优分配问题，进一步假设分配是协单调的。我们刻画了协单调最优风险分配，证明了“边际风险分配”只取0或1。值得注意的是，我们可以将市场偏好的作用与我们代表的总风险分开。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Optimal_risk_allocation_in_a_market_with_non-convex_preferences.pdf
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能者818

2022-5-7 22:19:07

非凸偏好市场的最优风险分配*利物浦大学摘要本研究的目的有两个。首先，我们考虑一个具有非凸偏好的最优风险分配问题。通过建立失真风险度量的非理想表示，我们给出了存在最优和渐近最优配置的一些必要和充分条件。我们将证明，与具有凸偏好的市场类似，在具有扭曲风险度量的非凸框架中，最优风险分配问题的有界性仅取决于偏好。其次，我们考虑了同样的最优分配问题，进一步假设分配是协单调的。我们刻画了协单调最优风险分配，证明了“边际风险分配”只取一个或多个值。值得注意的是，我们可以在我们的代表中分离市场偏好和总风险的作用。1导言由于最优风险分配是许多金融和保险应用的核心，因此人们对该问题非常感兴趣。最优风险分担、最优资本配置、市场均衡理论、最优再保险设计和最优风险交换只是几个例子。这个问题可以追溯到50年代和60年代，当时阿拉斯（1953年）、阿罗（1964年）、夏普（1964年）、博尔赫（1960年）、莫辛（1966年）和许多其他人研究了不同风险的最佳风险分配*通讯地址：金融与精算数学研究所。利物浦大学。英国。电子邮件：assa@liverpool.ac.ukeconomic问题。此后，研究人员开始根据各种假设进一步阐述这个问题的各个方面。

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能者818

2022-5-7 22:19:12

通过风险度量的发展及其在金融和保险领域的应用，通过使用Artzner等人（1999年）、F¨ollmer和Schied（20 02年）的一致风险度量以及Rockafellar等人（2006年）的风险偏差度量，重新探讨了最优风险分配问题。Heath和Ku（2004）首次尝试在一个具有一致风险度量的环境中研究该问题，其中作者建立了帕累托最优配置存在的必要和充分条件。Barrieu和El Karoui（2004年）认为动态环境中存在风险分担问题，而Jouini等人（2008年）认为静态框架具有法律不变的风险度量。菲利波维奇和库珀（208a）从定价的角度研究了最优风险分配问题，而菲利波维奇和库珀（2008b）则考虑了最优资本分配问题。Acciaio（20 07）研究了一个非单调货币效用的共享池风险问题。虽然人们对凸偏好下的最优风险分配问题进行了广泛的研究，但使用非凸框架的研究相对较少，而在许多应用中，偏好不是凸的，现有设置的结果无法应用于它们。这主要是由于缺乏适当的数学技术来研究具有非凸偏好的模型。在本文中，通过建立失真风险度量的一个非理想表示，我们找到了一种新的方法来研究具有非凸参考的最优风险分配问题。我们证明了最优风险分配问题的有界性与总风险无关，只取决于市场偏好。

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能者818

2022-5-7 22:19:15

我们选择的方法是面向财务的方法，有助于定义非凸偏好的广义随机贴现因子（见下文R标记2）。我们的结果推广了Jo uini等人（2008年）、Filipovi\'c和Kupper（2008a）以及Filipovi\'c和Kupper（2008b）的结果，通过使用非凸风险度量来实现一个新的方向。这是本文的第一部分。在第二部分中，我们在假设风险分配是协单调的前提下，刻画了同一市场上的最优风险分配。这种假设可以解释为风险的共同化，它与道德风险密切相关。有趣的是，我们发现，在具有失真风险度量的环境中，最优风险分配完全符合这一假设。Enfipovi`c和Svindland（2008）表明，具有凸失真风险测度的一般市场风险分配问题的解是协单调的，因此排除了道德风险。然而，我们将在一个例子中看到，为了避免道德风险，分配必须增加市场风险。当代理使用非凸失真风险度量时，情况就更糟了。这就是为什么我们必须假设分配是协单调的。为了刻画协单调最优解，我们引入了“边际风险分配”。当我们稍微改变总风险的价值时，合同价值的边际变化率就是总风险的边际变化率。研究表明，在一个风险配置为协单调的市场中，边际风险配置只取一个或多个值。通过这种方式，我们可以在最优风险分配中显著分离市场偏好和总风险的作用。

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可人4

2022-5-7 22:19:18

我们的研究结果在Chateauneuf等人（2000年）中发现了最优分配的新特征，使我们能够更精确地解释最优分配，并在优化再保险设计等领域找到进一步的应用。本文从两个方面概括了有关再保险设计的文献。首先，我们使用了一个更大的（非凸）风险度量和保费家族，其次，我们将层的数量从两个增加到了n个（例如，见蔡等人（2008）、张（2010）、池（2012b）、池（2012a）、池和谭（2013）、张等人（2014）和阿萨（2015））。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了所需的概念和符号，并回顾了凸分析中的一些事实。在第3节中，首先，我们建立了主要问题，其次，我们讨论了一般解存在的一些必要条件和充分条件，第三，我们刻画了共单调最优解。2.序言和注释通过本文，我们将定义一个概率空间(Ohm, F、 P），其中F是σ代数，P是F上的概率测度∈ [1, ∞] 可以是两个1/p+1/q=1的数字。对于P6=∞, Lp表示r真值随机变量X的空间Ohm 使E（|X | p）<∞, 其中E代表数学期望值。回想一下，根据Riesz表示定理，当P6=∞. 我们赋予空间lp两种拓扑，第一种是由kxkp=E（|X | p）p导出的范数拓扑，第二种是由Lqi导出的polog y的弱拓扑。e、 LQA的所有成员都是连续的最连续拓扑。通常，横向拓扑用σ（Lp，Lq）表示。在本文中，我们认为LPT代表所有损失变量的空间。

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可人4

2022-5-7 22:19:23

我们只有两个时间段0和T，分别代表合同签订时的年初和债务结算时的年末。与考虑利润变量的财务文献不同，我们发现损失变量更便于处理。每个随机变量代表时间T的损失。每当我们谈论风险或溢价时，我们指的是T=0时的损失和溢价的现值。2.1畸变风险度量letΦ：[0，1]→ [0，1]是一个非递减的c\'adl\'ag函数，使得Φ（0）=1- Φ(1) = 0. Φ可以在[0,1]上引入一个度量，其在区间上的值为mΦ[a，b）=Φ（b）- Φ（a）和mΦ（b）=1- 利马↑1（a）。介绍setDΦ，如下所示=十、∈ L|^VaRt（X）dΦ（t）∈ R, （1）其中，上面的积分是勒贝格积分，Varα（X）=inf{X∈ R | P（X>X）≤ 1.- α }, α ∈ [0, 1].定义1。失真风险度量Φ（或简单地说) DΦtoR的映射定义为Φ（X）=^VaRt（X）dΦ（t），（2）如果我们让g（X）：=1- Φ(1 - x）可以看出Φ（X）=^-∞（g（SX（t））- 1） dt+∞^g（SX（t））dt，（3）其中SX=1- FX是与X相关的生存函数。请注意，我们可以通过使用无变形Φ. 这是风险度量的Choquet积分代表。在光学中，g被称为畸变函数。例如，风险价值（VaR），其失真函数由g（t）=[1]决定-α、 1]（t）为1级置信度- α. 它可以显式地表示为varα（X）=inf{X∈ R | P（X>X）≤ 1.- α}.失真风险度量的另一个例子是条件风险值（CVaR），当Φ（t）=t时-α1-α[α，1]（t），可以用VaRCVaRα（x）=1表示- α^αVaRt（X）dt。（4） Acerbi（2002）首次引入的光谱风险度量族是Φ为凸时的失真风险。备注1。

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mingdashike22

2022-5-7 22:19:26

这一点显而易见Φ是定律不变的，也就是说，如果X和X′是同分布的，那么Φ（X）=Φ（X′）。事实上，可以证明所有的律不变的共单调加性相干风险测度都可以表示为（2）；见Kusuoka（2001年）。从不同的角度来看，表（2）中的风险度量很重要。首先，它将风险度量理论与行为金融联系起来，因为形式（2）是扭曲效用的一种特殊形式。第二，（2）包含一系列在统计上稳健的风险度量。Cont等人（2010年）的研究表明，风险度量（x） =\'\'VaRt（x）dΦ（t）在且仅当φ=dΦ（t）dt的支撑远离0或1时是稳健的。例如，RiskValue是一个具有此属性的风险度量。扭曲效用在决策文献中变得越来越重要，因为它们考虑了一些已知的行为悖论，如风险下的阿拉斯悖论和不确定性下的埃尔斯伯格悖论。Schmeidler（1989）（在不确定性下）和Quigg（1982）以及Yaa ri（1984），Yaari（198 6）（在r isk下）通过假设共同单调独立性，根据允许畸变积分表示的效用，显示偏好。值得一提的是，扭曲积分在保险文献中已变得非常普遍，因为它们是重要保险风险保费的自然延伸，如比例风险保费原则、王的保费原则和净保费原则（见王等人（1997）和杨（2006））。最后，我们定义了一致的风险度量定义2。一致的风险度量是从LPR到LPR的下半连续映射（下半连续的定义见下文）∪ {+∞} 这样的事是不可能的。（λX）=λ（十），对于所有λ>0和X∈ Lp；2.（X+c）=（十） +c代表所有X∈ Lpand c∈ R3.

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kedemingshi

2022-5-7 22:19:30

（十）≤ （Y），对于所有X，Y∈ Lpand X≤ Y4.（X+Y）≤ （十） +（Y），十、 Y∈ Lp；正如人们所看到的，一致的风险度量是正的。正如我们将在下一节中看到的，有一个封闭的凸子集 Lq，这样（十） =supY∈E（yx）。任何人都可以证明这一点∈ , 我们有E（Y）=1和Y≥ 0.φ是Φ的一般导数。一般l中的风险度量在l中不需要是低半连续的∞, 然而，为了与Lp一致，我们增加了P6=∞.2.2凸分析中的一些事实我们回顾了凸分析中的一些相关讨论。回顾凸分析，对于任何凸函数φ，由dom（φ）表示的φ的域等于{X∈ Lp|φ（X）<∞}, φ的对偶，用φ表示*, 定义为φ*（Y）=supX∈LpE（XY）- φ（X）。凸函数称为下半连续fφ=φ**. 本文假设所有凸函数都是下半连续的。对于凸集C Lp，C的指示函数用χC表示，如果X等于0∈ C、及+∞ , 否则通过使用适当的指示器功能，可以合并任何类型的凸约束。设C是一个闭凸集，表示φ上的凸约束。通过在约束C中引入φC=φ+χCwe，注意φ是凸函数。对于任意正何母凸函数φletφ={Y∈ Lq | E（Y X）≤ φ（X），十、∈ Lp}。很容易看出这一点*= χφ. 因此，任何正的同态函数φ都可以表示为φ（X）=supY∈φE（yx）。通过使用这个和thatφ=φ**, 很容易看出，对于任何凸集C，χ*C（Y）=supX∈CE（yx）。

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kedemingshi

2022-5-7 22:19:33

因此，如果Cis是凸锥且φ是正齐次凸函数，那么φC（X）=supY∈φ+C⊥E（yx），其中C⊥= {Y∈ Lq；E（Y X）≤ 0 , 十、∈ C} （或φC= + C⊥).一个特别有趣的例子是当C⊥= Lq-.对于一组凸函数φ。。。，φn它们的理想卷积定义为sφ...φn（X）=infX++Xn=Xφ（X）+…+φn（Xn）。（5）在Rockafellar（1997）定理5.4和16.4中，证明了（φ...φn）*= φ*+...+φ*n、通过使用上述参数，我们可以很容易地看到，如果φ。。。，φnare正均质性然后φ...φn（X）=supY∈∩我φiE（yx）。作为一个定理1。非理想卷积的最小值是有界的当且仅当∩我φi6=.另一个经典结果是定理2。假设φ。。。，φnare n正齐次凸函数。以下两个陈述是等式1。（X，…，Xn）是X的最优分配，即X++Xn=X和φ（X）+…+φn（Xn）=φ...φn（X）；2.存在不确定性∈ 这样φi（Xi）=E（Y Xi），i=1。。。，n、有关证据，请参见Jouini等人（2008）。让我。。。，mnn是Lp的n个凸闭元子集，代表了agent 1到n在经济中面临的n个约束。然后，通过在上面用φMi替换φI，我们可以考虑同样的设置，该设置也包含了问题中的经济约束。最后，正的错误卷积表示为 ... nas被定义为 ... n（X）=infX++Xn=X，Xi≥0，i=1，。。。，nφ（X）+…+φn（Xn）。3问题集让我们假设市场上有n个不同的代理人，他们的偏好取决于n个失真风险度量, . . . , n、我们用Φ1表示关联核，。。。，Φn.整个市场的风险由损失变量X建模。由a表示的配置集定义为a={（X，…，Xn）∈ （Lp）n | X+。。。

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可人4

2022-5-7 22:19:36

+Xn=X}。最优分配是将总风险降至最低的分配+Xn=X（十） +…+n（Xn），（6）渐近最优分配是序列{（Xm，…，Xmn）}m=1,2，。。。 A、诸如此类（Xm）+…+n（Xmn）m→ ∞-----→infX++Xn=X（十） +…+n（Xn）。（7）显然，渐近最优分配的存在性等价于（6）的有界性。为了进一步发展现有环境，我们必须考虑一个更广泛的问题inf（X1，…，Xn）∈λ（十） +…+λnn（Xn），（8）当（λ，…，λn）是一组任意正数时。例如，在代理效用为-i、 i=1。。。，n、是解决这个问题的方法。我们将看到，如果市场上没有摩擦，那么对于任何一套连贯的风险措施, ..., n、 λi应该相等。另一方面，在（再）保险研究中，人们可以发现一个风险分担问题，其组成部分非常相似；是一种风险度量，衡量分包公司的glo bal风险，以及是一个风险溢价函数，为再保险合同定价。在这个问题中，λ=1和λ=1+ρ是一个相对安全的加载参数（f或更多细节见下面的示例）。3.1一般解决方案本节中的方法是将风险分配问题简化为一个内部问题，该问题可以通过文献中的现有结果来解决。尽管失真风险的一般形式不是一致的风险度量，但由于以下陈述，我们可以使用凸分析方法进行研究（8）。定理3。（失真风险的错误描述）让Φ（X）=^VaRs（X）dΦ（s），用于定义1中的非d衰减函数Φ。如果Φ是Lpcontinuous，X在下面有界，我们有以下等式Φ（X）=min{（十） |对于所有l.s.c.一致性风险措施以至于 ≥ Φ}.证据首先，我们证明了p=∞.

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2022-5-7 22:19:39

考虑一个划分序列∑k={αk=0<αk<…，αkk<αkk+1=1}，k=1，2。。。[0，1]的∑k ∑k+1和网格（∑k）→ 0.根据定理6.8。在Delbaen（2000）中，对于givenX，有一致的风险度量ki，i=1，k以至于基≥ VaRαkiandki（X）=VaRαki（X）。定义以下映射：∞:Vk（Y）=kXi=0（Φ（αki+1）- Φ（αki））VaRαki（Y）和k（Y）=kXi=0（Φ（αki+1）- Φ（αki））基（Y）。定义一致的风险度量像（Y）=林苏普k（Y），Y∈ L∞.很明显是σ（L）∞, 五十） -L.s.c.自K≥ Vkandk（X）=Vk（X），通过使用整数的定义，结果表明 ≥ Φ和（十） =Φ（X）。现在，让我们假设X∈ Lp。设∑是所有有限sigma代数的集合Ohm. 例如，∑是一个有向集。对于任何G∈∑letGbe aσ（L）∞, 五十） L.s.一致性风险度量占主导地位L上的Φ∞和Φ（E（X | G））=G（E（X | G））。允许（Y）=lim supGG（E（Y | G）），Y∈ Lp。注意，对于任何Z∈ 五十、如果Yk→Lp中的Y弱，E（ZE（Yk | G））=E（E（Z | G）Yk）→ E（E（Z | G）Y）=E（ZE（Y | G））。因此，每个函数都是y7→ G（E（Y | G））是Lplower半连续的。这意味着也是半连续的。另一方面，对于任何人来说∈ Lp，网络{YG=E（Y | G）}gc在Lp中收敛，因此在分布上收敛于Y。这意味着函数序列{t7→ VaRt（E（Y | G））}Gconverges指向函数t7→ 瓦特（Y）。假设X在下面有界，通过使用网络的法图引理，我们得到了Φ（Y）=^VaRt（Y）dΦ（t）≤ lim infG^VaRt（YG）dΦ（t）=lim infGΦ（YG）≤ lim infGG（E（Y | G））≤ 林素福G（E（Y | G））=（Y）通过与上述类似的论证，我们可以证明，如果我们不使用Fatou引理，而是使用支配收敛定理，以及Φ是连续的，我们有Φ（X）=（十）。下面的定理几乎是前一个定理和定理2的直接结果。定理4。

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2022-5-7 22:19:43

允许, ..., nbe n Lp持续侵权风险度量，λ。。。，λn，本正数和M。。。，mnn是闭凸锥。让我们用∧Miithe所有泛函的集合Mii=▄i+χMi，其中√iis是大于或等于i、 i=1。。。，n、如果Xis在下面有界，则以下关于分配（X，…，Xn）的语句∈ A hold1。如果（X，…，Xn）是问题（6）的最优分配Mλn~Mnn）∈∧M×。。。x∧Mn，那么它对于（λ）是最优的MλnMn）2。如果（X，…，Xn）对任何（λ)都不是最优的Mλn~Mnn）∈ ∧M×。。。×∧Mn，则它不是（λ）的最佳值MλnMn）3。如果（X，…，Xn）是（λ）的最优分配Mλn然后就存在了∈ 那么λiMi（Xi）=E（XiY），i=1。。。，n、备注2。从定价的角度来看，在前面定理的第三个陈述中，Y可以解释为“广义随机贴现因子”。有关随机贴现因子集与最优风险分配之间关系的进一步阅读，请参见菲利波维奇和库珀（2008a）。在下面的定理中，我们研究了渐近最优分配的存在性。定理5。允许, ..., nbe n变形风险测量，每个i=1，。。。，n、让∧注意所有一致风险度量的集合我≥ i、如果总风险由M确定∈ R、（8）当且仅当∩iλi~i6= 对所有人来说, ..., ~n）∈ Λ× .... ×∧n.证明。根据定理3infX++Xn=Xλ（十） +…+λnn（Xn）=infX++Xn=X最小值∈Λλ~（十） +…+最小值N∈λnλn∧n（Xn）= inf（~,..., ~n）∈Λ×....×∧ninfX++Xn=Xλ~（十） +…+λn~n（Xn）= inf（~,..., ~n）∈Λ×....×∧nsupY∈∩iλi~iE（YX）。（9）很明显，如果（9）中的最大值是有界的，那么所有交点都是有界的∩iλi~i、对所有人来说, ..., ~n）∈ Λ× .... x∧n，为非空。另一方面，自从Y∈ ~i、 i=1。。。，n、 Y≥ 0，E（Y）=1和X≥ M、我们有E（yx）≥ -|M |。

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2022-5-7 22:19:47

这意味着如果所有的十字路口∩iλi~i、对所有人来说, ..., ~n）∈ Λ×.... ×∧n为非空，则（9）的右侧以-|M | maxiλi，因此，（9）是有界的。现在我们有下面的推论集合1。问题（8）的有界性与总风险无关。推论2。为了X≥ 0，（8）有一个解当且仅当λ=…=λnand∩我~i6=.例1。允许= VaRα和= E、让我们假设任意的随机损失。根据定理5，最优风险分配问题（8）在P∈ ~对于任何一致的风险度量 ≥ VaRα。另一方面，根据定理3，对于任何X∈ Lp，VaRα（X）=（十）对于一些连贯的风险度量√ ≥ VaRα。这意味着VaRα（X）≥ E（X），对于任何X∈ Lp。如果我们对某些集合A选择X=1，这个不等式显然不成立∈ F这0<P（A）<1-α.定理4和定理5可以被认为是文献中许多现有文献的推广，它们的结果只能应用于一致的风险度量，在我们的设置中是使用单态集∧i={i} )；参见Jo uini等人（2008）、Filipovi\'c和Kupper（2008a）以及Filipovi\'c和Kupper（2008b）3.2共同单调分配和可容许分配。关于我们对道德风险的讨论，在本节中，我们假设市场中的所有合同都是共同单调的。为了将这一经济假设建立在合理的数学基础上，我们假设所有合同都是总风险的非减损函数。因此，在这样一个市场中，假设任何分配（X1，…，Xn）等于to（f（X）。。。，fn（X））当f。。。，Fnn是非负且非递减的函数，使得f+…+fn=id。我们引入分配集asC=nf∈ L+（R+）f是非减量的，f（0）=0o。可容许分配集asAC={（f，…，fn）∈ Cn | f+。。。。

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2022-5-7 22:19:51

+fn=id}。AC是p的Lp（R）的闭凸弱紧集∈ [1, ∞). 另一方面，很容易看出任何分量fi都是一阶Lipschitz函数，即0≤ fi（y）- fi（x）≤ Y- x、为了0≤ 十、≤ y、事实上，检查n=2就足够了。在本文中，我们关注由ACAA={（f（X），…，fn（X））|（f，…，fn）引起的分配集∈ AC}。Filipovi\'c和Svindland（2008）证明了对于一组n定律和现金不变凸函数, ..., n、（X，…，Xn）到（6）的任何溶液都是co-to-monone。特别是，这意味着在一个具有凸扭曲风险的市场中，最优配置是自动从AC获得的。这不再适用于以下示例中所示的一般情况。例2。让我们假设= Varα，= varβ，X>0，a.s.，α+β>1和0<α<β<1。假设Xis是一个随机变量，具有严格递增且连续的CDF函数FX。因为在这个例子中n=2，我们可以假设有一个函数f，使得f和id- f是非负的，非递减的，f=f和f=id- F我们必须证明以下lemmaLemma 1。这里有一个正数c>0，这样对于上面描述的任何函数f，下面的不等式保持VaRα（f（X））+VaRβ（X- f（X））>c+VaRα+β-1（X）。证据众所周知，风险价值可以通过非递减函数进行折算，因此，VaRα（f（X））=f（VaRα（X）），VaRβ（X- f（X））=VaRβ（X）- f（VaRβ（X））。FX，α<β和α+β的严格单调性- 1<αimplyVaRα（f（X））+VaRβ（X- f（X））=f（VaRα（X））+VaRβ（X）- f（VaRβ（X））≥ VaRβ（X）+（VaRα（X）- VaRβ（X））=VaRα（X）>c+VaRα+β-1（X），其中c=VaRα（X）-VaRα+β-1（X）。引理的结果是，t不存在可容许的分配，它可以达到VaRα+β的值-1（X）。现在让我们考虑分配X=X{X>VaRα（X）}。很明显，P（X>0）=1- α、这意味着VaRα（X）=0。

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2022-5-7 22:19:54

另一方面，P（X>X）=P（X>X&VaRα（X）≥ 十） =P（X）≤ Va Rα（X））- P（X）≤ x） =α- FX（x）。这仅仅意味着FX（x）=1+FX（x）- α、因此VaRβ（X）=VaRα+β-1（X）。因此，我们有VaRα（X）+VaRβ（X）=VaRα+β-1（X）。分配（X，X）是道德风险状况的一个例子，代理人2对巨大的总损失不敏感。这个例子说明了为什么在一个具有非凸信念的市场中，我们必须进一步假设不存在道德风险。备注3。请注意，如果市场上的所有代理都使用相同的风险度量, 利用VaR与非递减函数交换的事实，我们得到（f（X））+…+（fn（X））=（十） ,，（f，…，fn）∈ AC.这意味着，无论药物使用何种配置，只要不存在口腔风险，系统风险的价值保持不变。如果监管机构对所有代理（例如sameVaR0）实施独特的风险度量，则可能会发生这种情况。995与Solvency II一样，用于衡量资本准备金。3.3边际风险分配众所周知，每个Lipschitz连续函数f几乎处处可微，其导数本质上受其Lipschitz常数的限制。此外，f可以写成其导数的积分，即f（x）='xh（t）dt。因此，集合C可以表示为asC=F∈ L（R+）f（x）=^xh（t）dt，0≤ H≤ 1..让我们介绍一下边际风险分配的空间asD=nh∈ L（R+）0≤ H≤ 1o。定义3。对于任何函数f∈ C、相关的边缘磁盘分配是一个函数h∈ D使得f（x）=^xh（t）dt，x≥ 0.市场风险分配的解释如下：如果f（x）='xh（t）dtis in C，那么在每个值x=x时，总风险值的市场变化δ将导致分配风险中的大小δh（x）的边际变化。我们将在下面看到，这个边际变化是0或δ，即h=0或1。

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可人4

2022-5-7 22:19:57

这意味着，对于总风险的任何微小变化，只有一个代理必须承受风险的变化。3.4协单调最优风险分配在本节中，我们假设X≥ 0和FX（0）=0。此外，我们将注意力限制在满足以下条件的一系列失真风险度量上：→∞i（X）∧ m） =i（X），i=1。。。，n、（10）设ψ（t）=min{λ（1）- Φ（t））。。。，λn（1）- Φn（t））}。假设k*i、 i=1。。。，n是一组函数*i（t）=1，如果λi（1）- Φi（t））<λj（1）- Φj（t））I6=j0，如果λi（1- Φi（t））>λj（1）- Φj（t））i 6=j，（11）式中也有k*+ ... + K*n=1。这里我们陈述这一部分定理6的主要结果。如果, ..., nsatisfy（10），优化问题（8）的协单调解由Xi=f给出*i（X）当*i（x）=^xk*i（VaRt（X））dt，i=1。。。，n、（12）此外，最小值由^给出∞ψ（s）ds。（13）证据。允许i=VaRt（X）dΦi（t），i=1。。。，n、对于集合AC中的任何成员（f，…，fn），利用VaR总是与非递减函数交换的事实，我们得到λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=λVaRt（f（X））dΦ（t）++^λnVaRt（X））dΦn（t）=^λf（VaRt（X））dΦ（t）++λnfn（VaRt（X））dΦn（t）。（14）让我们表示f的导数。。。，fnby h。。。。，嗯。因此λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=^^VaRt（X）λh（s）ds！dΦ（t）++^^VaRt（X）λnhn（s）ds！dΦn（t）。首先，我们假设Xis是有界的。根据Fubini定理，我们得到λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=^∞^FX（s）λdΦ（t）！h（s）+…+^FX（s）λndΦn（t）！hn（s）#ds=∞[λ(1 - Φ（FX（s））h（s）+λn（1）- Φn（FX（s）））hn（s）]ds（15），其中我们使用Φ（1）=Φn（1）=1。现在很清楚，以下内容（h*, ..., H*n）将最小化（15）小时*一(s)=1，如果λi（1）- Φi（FX（s））<λj（1）- Φj（FX（s）），如果λi（1），则i6=j0- Φi（FX（s））>λj（1）- Φj（FX（s）），i6=j（16），其中也有h*+ ... + H*n=1。最小值也等于^∞ψ（s）ds。

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大多数88

2022-5-7 22:20:00

（17）如果我们对变量t=FX（s）做一个简单的改变，我们就会得到结果。现在假设Xis没有t有界的一般情况。很明显，在每个点t，对于1和n之间的每一个i，{Φio 外汇∧m（t）}∞m=1相对于m是不增加的。另一方面，对于任何t，都存在这样的m，如果m>mtthen FX∧m（t）=FX（t）。因此，在每个点t，我们有Φi（FX∧m（t））↓Φi（FX（t））。通过单调收敛定理，我们得到了thatlimm→∞∞^Φi（外汇）∧m（t））h（t）dt=∞Φi（FX（t））h（t）dt，对于任何函数h∈ D.利用这一事实和我们的连续性假设i（f（X））=limm→∞i（f（X）∧ f（m））=limm→∞i（f（X）∧ m））=limm→∞^∞(1 - Φi（FX）∧m（s）））h（s）ds=^∞(1 - Φi（FX（s））h（s）d这只会导致λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=^∞[λ(1 - Φ（FX（s））h（s）+λn（1）- Φn（FX（s）））hn（s）]d其余的证明在（15）后面的同一行。备注4。从最后一个定理可以看出，k*i、 i=1。。。，n仅取决于市场偏好，因此，它们具有普遍性。从（12）可以看出，总风险和市场偏好的作用是如何分离的。备注5。定理6表明，边际风险分配只取0或1。在精算数学文献中有一些类似的结果，可以证明这一点，例如在非常特殊的情况下；参见蔡等人（2008）、张（2010）、池（2012b）、池（2012a）、池和谭（2013）、张等人（2014）以及最近的阿萨（2015）。定理6可以从两个不同的方面扩展所有这些工作。首先，我们使用了一个更大的风险度量和溢价家族（扭曲风险度量和溢价），其中包括几乎所有的风险度量，如VaR和CVaR，以及风险溢价，如Wang的溢价，由他们使用。

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何人来此

2022-5-7 22:20:03

第二，我们的工作可以将参与者的数量从两个（保险公司和再保险公司）增加到n个，否则，使用现有文献中的技术要么不可能，要么至少很难做到。推论3。如果λ=…=λn ... n=Φ=max{Φ，…，Φn}时的Φ。例3。让我们考虑一下我们讨论的例子。让我们考虑一下，有两家公司在使用= VaRα和= VaRβ，其中α<β。很明显，因为α<β一个溶液是h=1和h=0，并且（十） =VaRα（X）。利益冲突：作者声明他没有利益冲突。参考ACCIAIO，B.（2007年）。非单调货币函数的最优风险分担。金融斯托奇。11 (2), 267–289.阿塞尔比，C.（20 02）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的连贯表示。《银行与财务杂志》26（7），15 05–1518。阿拉斯·M.（1953）。一般经济均衡理论和风险社会均衡理论的延伸。《计量经济学》21（2），第269-290页。阿罗，K.J.（1964年）。证券在风险承担的最优配置中的作用。经济研究综述31（2），91-96。Artzner，P.，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath（1999年）。一致的风险度量。数学财务。阿萨·H.（2015）。具有扭曲风险测度和保费的最优再保险策略。保险：数学和经济学61（0），70-75。Barrieu，P.和N.El Karoui（2004年）。动态风险度量下的最优衍生品设计。在《金融数学》中，康坦普出版社第351卷。数学第13-25页。艾默尔。数学Soc。，普罗维登斯，R I.博尔奇，K.（1960）。试图确定止损再保险的最佳金额。第16届国际精算师大会论文集I（3），5 97–610。蔡，J.，谭K.S.，翁C.和张Y（2008）。VAR和CTE风险度量下的最优再保险。保险数学。生态名词。

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mingdashike22

2022-5-7 22:20:06

4 3 (1), 185–196.夏多诺夫，A.，R-A.达纳，A和J-M.塔隆（2000年）。具有choquet期望效用的最优风险分担规则和均衡。《数学与经济杂志》34（2），191–214。张国强、宋国强、任志刚和容志强（2014）。一般不变风险测度下的最优再保险。斯堪的纳维亚精算杂志2014（1），72-91。张克强（2010）。重新审视最优再保险——一种几何方法。阿斯蒂布尔。40 (1), 221–239.迟勇（2012a）。O根据差异相关保费原则进行再保险。保险：数学与经济学51（2），310-321。迟勇（2012b，11）。再保险将保险人责任的风险调整价值降至最低。AST在公告42529-557中。迟永永和陈国新（2013）。具有一般保费原则的最优再保险。保险：数学与经济学52（2），180-189。Cont，R.，R.Deguest和G.Scandolo（2010）。风险测量程序的可靠性和敏感性分析。定量金融10（6），593-606。Delbaen，F.（2000年）。一致的风险措施。伽利略卡特德拉酒店。[伽利略主席]。比萨科学学院：超级普通学院。菲利波维奇、D.和M.库珀（2008年）。货币效用函数的均衡价格。Int.J.Theor。阿普尔。财务11（3），325–343。菲利波维奇、D.和M.库珀（2008b）。集团多元化的最佳资本和风险转移。数学第18（1）条，第55-76条。菲利波维奇、D.和G.斯文德兰（2008年）。法律和现金不变凸函数的最优资本和风险分配。《金融斯托克》h.12（3），423-439。F–ollmer，H.和A.Schied（2002年）。风险和交易约束的凸度量。金融斯托奇。6 (4), 429–447.Heath，D.和H.Ku（2004）。具有一致风险度量的帕累托均衡。数学金融14（2），163-172。Jouini，E.，W.Schachermayer和N.Touzi（2008）。

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大多数88

2022-5-7 22:20:10

不变货币效用函数的最优风险分担。数学财务18（2），269-292。库索卡，S.（2001年）。关于法律不变的相干风险度量。《数学经济学的进展》，第三卷，第三卷。经济。，第83-95页。东京：斯普林格。Mossin，J.（1966年）。资本市场的均衡。《计量经济学》34（4），第768-783页。奎金，J.（1982）。预期效用理论。经济行为与组织杂志3（4），323–343。Rockafellar，R.T.（1997）。凸分析。普林斯顿大学是数学界的里程碑。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。1970年原著的翻版，普林斯顿佩尔巴克。Rockafellar，R.T.，S.Uryasev和M.Z abarankin（2006年）。风险分析中的广义偏差。财务斯托奇。10 (1), 51–74.施梅德勒博士（1989年5月）。主观概率和无可加性的预期效用。《计量经济学》57（3），571-87。夏普，W.F.（1964年）。资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。《金融杂志》19（3），第425-442页。王胜胜、杨文荣和潘杰（1997）。保险价格的公理化描述。在保险数学方面。生态名词。21 ( 2), 17 3–183.Yaari，M.E.（1984年）。在不降低边际效用的情况下规避风险。理论经济学，伦敦经济与政治学院，国际经济及相关学科中心。伦敦Yaari，M.E.（1986年）。风险规避的单变量和多变量比较：一种新方法。在不确定性、信息和沟通中。剑桥大学出版社。杨，V.R.（2006）。溢价原则。精算学百科全书。John Wiley&So ns有限公司。

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