终身破产问题的风险敏感控制

2022-5-7 22:54:03

终身破产问题的风险敏感控制*Asaf Cohen+美国密歇根大学数学系，阿伯，48109，2018年8月27日摘要我们研究了终身破产概率问题的风险敏感控制版本。我们考虑Black-Scholes市场中的一系列投资问题，包括风险资产和无风险资产。我们提出了一个控制极限行为的差异博弈。我们显式地求解它，并使用它来找到一个渐近最优策略。关键词：终身破产概率，最优投资，风险敏感控制，大偏差，微分对策。1简介对个人如何将其财富投资于高风险金融市场，以最大限度地降低其财富寿命延长的可能性（也称为终身破产的可能性）进行了广泛分析，参见[20]、[27]、[5]、[4]、[6]、[7]、[26]和[8]。这些工作自然属于实现目标的最佳财富控制领域。关于这个主题的研究可以追溯到[13]的开创性工作，并继续进行[22]、[21]、[25]、[19]、[18]、[9]、[10]和[11]的工作。在包括风险资产和无风险资产的标准Black-Scholes市场中，利息是指投资者通过将全部财富投资于无风险资产而消耗的潜在利润，即c（x）>rx，其中c（·）是消费函数，r是恒定的无风险利率，x是当前财富。当然，另一种情况无关紧要，因为通过将全部财富投资于无风险资产，财富无法减少，也无法避免破产。如果c（x）- rx≈ 0+那么，希望将终身破产概率降至最低的投资者应该将其几乎所有财富投资于无风险资产。破产的可能性很小，但却是正的。

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2022-5-7 22:54:06

有了这样的理解，一生中的毁灭是一件罕见而戏剧性的事件，人们也应该避免生活在接近死亡的地方*网址：www.personal。乌米奇。埃杜/~ erhan/，电邮：erhan@umich.edu+网络：https://sites.google.com/site/asafcohentau/，电邮：asafc@umich.eduruin在这个层面上，我们通过使用风险敏感控制框架来研究这个案例。对风险敏感的控制措施会严重惩罚突发事件，因此，为解决这些问题提供了一种自然的方法。我们通过大偏差技术研究了风险敏感控制。在[23]中，Pham提供了一些金融和保险大偏差的应用和方法。在研究的模型中，他考虑了当初始储备较大时的破产问题，因此破产的可能性很小。另一方面，我们研究了一个终生破产问题，这是一个不同的问题，并通过小噪声的风险敏感控制，如下所述，这需要进行不同的分析。为了严格处理上述情况，c（x）-rx≈ 0+我们考虑一系列模型，以n为索引∈ N、这两者之间的区别仅在于消费函数，而cn（x）- rx=O（1/n），其中n是一个大参数。通过使用适当的时间尺度，我们得到了一个具有小噪声的风险敏感控制，如下所示：消费函数cnsatis fi-Wn（t）=b（~Wn（t），πn（t））dt下的标度财富过程+√nσ（~Wn（t），πn（t））dB（t），t≥ 0，~Wn（0）=x对于某个适当的b和σ，其中π是投资策略，b是标准布朗运动。目标是选择最小的πnRτna∧τndl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤τnd}#,式中，τndi是死亡时间，τnai是达到a级破产的时间，ρ是终身破产的惩罚，l是惩罚低财富的非负非递增Lipschitz函数。我们提出了一个控制限制行为的差异博弈。

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2022-5-7 22:54:09

我们显式地求解它，并使用它来找到一个渐近最优策略。例如[16]、[17]和[14]研究了具有小噪声的受控随机微分方程的风险敏感控制。读者参考[15]了解有关该主题的信息。有几种方法可以解决这个问题。在[17]中，弗莱明和索纳使用微分方程工具，证明了适当的初始哈密顿量序列收敛到与微分方程相关的哈密顿量。在其他要求中，假设终端成本是连续的，终端时间是固定的。在我们的例子中，该指标起到了最终成本的作用，这不仅是不连续的，在这种情况下，它还取决于财富过程的历史。此外，我们考虑了一个独立于财富过程的随机终端时间。此外，偏微分方程技术不提供总体最优策略，而我们在[14]中，Dupuis和Kushner通过采用大偏差理论的技术，探讨了最小化逃逸时间概率的风险敏感控制问题。他们的一些要求是漂移和微分系数b和σ分别是有界的，后者也是非退化的，不依赖于控制。这些要求对于证明是必不可少的。此外，他们使用固定的终端时间。在我们的模型中，除了终点时间是r an dom外，d裂谷和扩散系数被假定为Lipschitz，但只有扩散系数σ被假定为有界的。我们允许σ为零，并依赖于控制。

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2022-5-7 22:54:13

在f act中，在我们建议的渐近最优策略下，扩散系数可以退化。最近，在[1]和[2]中，作者考虑了中等偏差重传输体制下的排队网络问题。利用Varadhan引理的一个变种和微分对策的一些性质，证明了q ueing系统的渐近最优性。在这些论文中，受控随机过程不是离散的，但它们在分布上相对接近于小噪声受控离散。因此，分析需要一些额外的工具，主要是Skorohod映射。虽然序言中排队网络的结构引起了一些困难，但近似的差异相对简单，由带漂移的布朗运动（第二篇论文中的反射布朗运动）组成。尽管我们的证明考虑了一些度量变化的论点，并且受到了Varadhan引理的启发，与[1]和[2]相比，我们需要使用可控的扩散过程。关于随机终端时间，成本函数可以被称为风险敏感成本的贴现。上述唯一考虑了类似贴现结构的模型是[2]。然而，与上述论文不同的是，我们考虑了一个比例折扣因子。与[2]相关的微分博弈出现在[3]中，与我们的例子一样，博弈的最优解是时间齐次的。基于这一性质，我们将在未来的一篇论文中进一步分析具有小噪声差的dispentedrisk敏感控制。让我们总结一下本文的贡献：o我们提出了一个终生破产问题的风险敏感成本，它可以表示为一个已知的风险敏感成本。

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可人4

2022-5-7 22:54:18

我们提出了一个控制限制行为的差异博弈我们明确地解决了差异博弈问题，包括为最小值找到一个最优策略，从而在概率释放随机模型中得到一个渐近最优策略我们对扩散过程的假设比文献中通常出现的假设要弱，但我们设法找到了一个渐近最优控制。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了模型，介绍了差异博弈，并陈述了主要结果。在第三节中，我们分析了微分对策，给出了一个Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程，将微分对策的值函数描述为其唯一解，并给出了值函数的显式表达式。然后，我们给出了一个显式的最优控制的最小值，以及一个简单的控制的最大值，以实现价值函数。在第四节中，我们证明了主要结果，即在极限情况下，微分对策描述了随机模型。我们通过介绍一些常用的f符号来结束本节。符号我们表示[0，∞) 通过R+。对于f:[0，t]→ R设| f | t:=sup0≤s≤t | f（s）|。对于任意区间I，用AC（I）和C（I）表示绝对连续函数（分别为连续函数）的空间映射为ping I→ R.Wr-ite AC（I）和C（I）对于相应函数空间的子集，对于从零开始的函数。2模型和结果2。1随机模型我们考虑一系列随机模型，以n为索引∈ N指在Black-Scholes型金融市场持续交易且无交易成本的投资者。我们允许借贷和卖空。无风险资产的价格遵循dv（t）=rV（t）dt，其中r≥ 0是固定利率。

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nandehutu2022

2022-5-7 22:54:21

风险资产遵循几何布朗运动：dS（t）=S（t）[udt+σdB（t）]，其中u>r和σ>0是常数，（B（t））t≥0是标准的布朗运动。出于明确的原因，我们定义了一系列消费函数，以n为索引。对于任何给定的n∈ N我们假设消费函数的形式为：cn（·）=r·+ne（·），对于某些函数e:[a，∞) → R.我们假设e（·）是一个Lipshcitz函数，并且有一个正常数，比如e（·）≤ M.每n∈ N在任何给定的时间t≥ 0假设κn（t）是投资于风险资产的金额。然后财富过程满足dWn（t）=（rWn（t）- cn（Wn（t））+（u-r） κn（t））dt+σκn（t）dB（t），t≥ 0，Wn（0）=x。现在，通过使用时间标度，并通过引用Wn（·）=Wn（n·），我们得到了dWn（t）=-e（~Wn（t））+（u）- r） πn（t）dt+√nσπn（t）dB（t），t≥ 0，（2.1）~Wn（0）=x，其中πn（·）=nκn（n·）。在下面的内容中，我们将用{Ft}0表示≤T≤2T，通常是（2.1）中布朗运动产生的自然过滤的增强。从现在开始，我们将转向πnas控制。我们用∏=∏m表示所有渐进可测量过程（π（t））t的集合≥0使得|π（·）|≤ M、我们称之为可容许策略，其中Mis是一个正常数。我们取πn∈ Π. 通过对e（·）和dπnit的假设，对于每一个x>0，上面的结果是唯一的解。每n∈ N、用τnathe firsttime表示wna∈ （0，x），我们称之为破产水平。投资者希望在其一生中避免破产，也希望避免接近破产水平的长寿。同样，让τNd为投资者的随机死亡时间。由于时间标度，我们假设τndis与参数λn呈指数分布。

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2022-5-7 22:54:24

投资者的目标是最小化以下风险敏感控制成本：Jn（x，πn）：=nln E“enRτna∧τndl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤τnd}#=nln EZ∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt+nln（λn），其中ρ>0代表破坏的惩罚成本，l:[a，∞) → [0，λ）是一个非递增函数。当投资者的财富接近破产水平a时，函数l代表对投资者的惩罚。显然，当财富接近a时，我们希望给予更高的惩罚。此外，由于我们希望，给定n，函数Jn将对财富（w.r.t.）进行减损，我们要求l（·） < λ. 否则，Jn将在a附近增加。该案例代表了一种情况，即生活在接近毁灭水平的惩罚主导了被毁灭的惩罚。还要注意的是，上面右边（r.h.s.）的最后一项变为零，因为n变为in finity。因此，我们将在第4节的分析中忽略它。我们总结了上述假设：假设2.1设置以下常数u>r>0，σ，M，a，λ>0。还有，让e:[a，∞) →[-∞, M] be Lipschitz和l:[0，∞) → [0，λ）是一个Lipschitz非增函数。这一假设在本文中一直有效。我们研究了→ ∞. 正如导言中所提到的，分析中的一些复杂因素会影响到草率模型的初始值和极限值。首先，成本函数的指标部分使分析复杂化，因为它取决于过程的历史，如果我们将其视为终端成本，那么它就不是连续的w.r.t.终端财富。其次，我们研究了风险敏感成本的贴现版本。据我们所知，这种公式以前只在[2]中研究过，也在排队系统结构中研究过，折扣不含n。

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2022-5-7 22:54:29

第三，离子效率的差异不一定是从零开始的，它取决于控制。事实上，如第2.3节所示，总体最优政策可能会变为零，因此波动系数也会变为零。因此，[17，第XI.7章]的哈密顿方法或[14]的测量方法的改变在这里不起作用。我们通过stu Diing微分对策找到了问题的渐近最优策略。我们将其表示为n→ ∞ 最优风险敏感成本函数收敛于博弈值，并且可以从博弈中的极小者最优控制中导出渐近最优策略。2.2差异博弈设置在本节中，受【17，第XI章7】和【12，定理5.6.7】的启发，我们描述了与最佳风险敏感控制问题相关的差异博弈。我们用∏=所有Lipschitz函数的∏Mthesetπ[a，∞] → [-M、 M]。给定π∈ π和ψ∈ AC[0，∞), 与初始条件x和数据ψ和π相关的状态过程由˙˙（t）=-e（φ（t））+（u）- r） π（φ（t））+σπ（φ（t））˙ψ（t），t≥ 0，（2.2）~n（0）=x。可以很容易地验证状态过程是否定义良好，参见[24，定理19.12]。注意上面和（2.1）之间的关系。游戏的回报是∈[0,∞)nZT∧τ[-λ+l（ν（t））]dt-I（T）∧ τ, ψ) + ρ1{τ≤T}o，其中τ是状态过程第一次达到破产水平a，对于每T>0，I（T，·）是一个映射C[0，T]到R的函数+∪{+∞} 定义的asI（t，ψ）：=Zt˙ψ（s）ds如果ψ∈ AC[0，t]+∞ 否则函数I是布朗运动的速率函数(√nB（t））t，as n→ ∞, 见[12，定理5.2.3]。“supT”∈[0,∞)” 是控制问题的计数因子λn的微分博弈模拟。支付在ψ上最大，在π上最小。

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2022-5-7 22:54:33

通过函数I的定义，我们可以将最大化子限制为ψ∈ AC[0，∞).控制π∈ π被视为反馈控制，ψ被视为反馈控制∈ AC[0，∞) 和T∈ R+是开环控制。我们称ψ为控制的路径部分，称T为控制的终止时间部分。给定x∈ [a，∞), π ∈ Π, ψ ∈ AC[0，∞), 和T∈ R+，我们定义时间T之前的成本byC（x，π，ψ，T）：=ZT∧τ[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+ρ1{τ≤T}。（2.3）游戏的价值由u（x）：=infπ定义∈πsupψ∈AC[0，∞),T∈R+C（x，π，ψ，T）。（2.4）在下面的备注中，我们证明了最大化子可以被限制在一个较小的控制集上，而不存在任何损失。在续集中，这处房产为我们服务。注2.1（1）由于l（·）<λ，因此每ψ∈ AC[0，∞) 每一个T∈ R+onehasRT∧τ[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt≤ 因此，在不损失最大化子的情况下，她可以被限制为ψ，其中τ<∞ 和T∈ {0, τ}.（2）此外，请注意，最大化子也可以被重新限制为ψ，对于该ψ，每t>0，其状态处理满足φ（t）<φ（0）=:x，并且在τ<∞. 事实上，由于（2.3）的r.h.s.上的积分是负的，那么U是正的唯一方式就是τ<∞. 设ψ=ψπ为τ<∞. 用τx表示时间τ之前的最后一次，即φ（t）=x。然后，C（x，π，ψ，τ）=Zτ[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+ρ<Zτx[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+ρ=Zτ-τx[-λ+l（Фx（t））-（˙ψx）（t）]dt+ρ=C（x，π，ψx，τ）- τx），虽然我们在论文中没有使用显式大偏差参数，但出于直觉原因，我们仍然选择使用速率函数来确定成本，而不是仅使用yrt˙ψ（s）ds。式中，ψx（·）：=ψ（τx+·）和ψx（·）：=ψ（τx+·）。最后一个等式为τ-τxis是状态过程ρxH为a的起始时间。也就是说，ψx为最大化产生更大的收益，并且相关的状态过程不会向上穿过x。

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2022-5-7 22:54:36

因此，每x∈ [a，b]U（x）=max（0，infπ）∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）），（2.5），其中从现在开始，Ax，π是对满足上述（2）中所述条件的绝对连续ψ的限制。2.3主要结果我们现在给出了一个主要定理，该定理表明托卡斯特模型的值函数的极限收敛于博弈的值函数。此外，我们对随机模型给出了一个渐近最优策略。每n∈ N、设置随机控制π*（t） =π*,n（t）=π*（Wn（t）），t≥ 0，其中π*函数是π吗*（十）=(u - r） e（x）σ（（u）-rσ）+λ- l（x）），a≤ x<d，0，d≤ x、（2.6）其中：=b∧ inf（y>a:ρ）-Zyaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du=0）。（2.7）和b:=inf{x≥ a:e（x）<0}。从b的定义到e（·）≤ 麻省理工学院遵循π*∈ 对于一些合适的M，我们将证明控制π*是微分方程中最小值的最优控制，值函数U由U（x）给出=ρ -Zxaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du，a≤ x<d，0，d≤ x、（2.8）因为U（x）=0 f或每x≥ d、参数d被称为“安全水平”。注意，惩罚成本ρ影响π*U通过参数d，它随着ρ的增加而增加。因此，如果ρ更高，则安全水平更高。很明显，它也直接影响到U的早期[a，d]。下一个定理连接游戏和随机模型。定理2.1（主要结果）让Un（·）：=infπ∈πJn（·，π）。每x≥ 一个有，林→∞Un（x）=U（x），此外，limn→∞Jn（x，π）*) = U（x）。第4节给出了证据。我们使用的是 = ∞. 同样，在下文中，如果b=∞ 然后通过符号（x，b）和[x，b]表示（x，∞) [x，∞) 分别地3游戏的解决方案和分析在本节中，我们提供了游戏的解决方案。我们从第3.1节中的估值函数的一些基本性质开始。

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2022-5-7 22:54:39

在第3.2节中，我们介绍了HJB方程和验证曲线。然后我们推导了U和最优控制的显式表达式。最后，在第3.3节中，我们为最大化者提供了一个简单的控制，以确保她获得回报U（x）。3.1基本属性我们首先提供一些价值函数满足的基本属性。下面的验证引理中使用了这些属性。引理3.1（2.4）中定义的函数U满足以下条件：i.0≤ U（x）≤ ρ、 x∈ [a，∞) U（a）=ρ。二、每x≥ 一个有U（x）=0iii。U是非递增的。由于前面的第二部分，在后半部分中，我们只在区间[a，b]上分析U。引理3.1的证明：i.通过选择T=0，最大化子可以保证U≥ 0.另一方面，因为l（·）- λ<0，则明显为U（·）≤ ρ. 通过选择T=0，很容易得到u（a）=ρ。二、我们证明当x≥ b、取π≡ 我们可以避免毁灭。的确，如果π≡ 0，则˙~n=-e（k），а（0）=x≥ b、如果x=b，则φ（·）≡ b、在x>b的情况下，由于函数e（·）是Lip-schitz，我们通过icard-Lindel¨of定理得到，存在唯一的φ∈ C[0，∞) 这就解决了上面提到的普通微分方程。人们可以很容易地验证，一旦达到b级，从此时起，它将保持在该水平。因此，ν≥ b、三、修复x∈ （a），∞) y>x，并设φ（0）=y。设τx:=inf{t≥ 0:~n（t）=x}。利用动态规划原理，结合l（·）<λ这一事实，我们得到了U（y）=infπ∈πsupψ∈π，T∈R+ZT∧τx[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+U（x）≤ U（x）。3.2 HJB方程在本节中，我们证明方程（2.8）成立。我们从一个验证引理开始，在这个引理中，我们为这个问题提供了HJB（或者更确切地说是Isaacs）方程。然后我们给出了这个方程的解。回想一下引理3.1。ii，U（x）=0代表x≥ B

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2022-5-7 22:54:44

因此，我们将自己限制在区间[0，b]中。引理3.2（验证mma）让V:[a，b）→ [0，ρ]，当V（a）=ρ时，是一个可在（a，β）上微分的非递增连续函数，其中β：=b∧ inf{x>a:V（x）=0}。假设以下条件成立：（i）对于每x∈ [a，β）有[HJB方程]infp∈Rsupθ∈RV′（x）(-e（x）+（u）- r） p+σpθ）- λ+l（x）-θ= 0;（3.1）（ii）设P（x）=-u-rσV′（x）。那么对于每一个ψ∈ 每x一个烛光∈ [a，β），当我们用P替换π时，（2.2）存在唯一解。（iii）设Θ（P，x）=σpV′（x）。然后对于每个π∈ π和a≤ x<β，存在唯一解˙˙（t）=-e（φ（t））+（u）- r） π（ν（t））+σπ（Θ（t））Θ（π（Θ（t）），Θ（t）），t∈ [0，τa]，（3.2）Θ（0）=xsuch thartΘ（π（Θ（u）），Θ（u））du∈ Ax，π（见备注2.1），其中τa:=inf{t≥ 0:~n（t）=a}。然后U=V在[a，b]上。此外，函数P是一个最优反馈控制。请注意，我们只在区间[a，β]上定义了HJB方程。对于U（x）的每一个x，这种结构都遵循=0，在双方最优的情况下，最大化者控制的时间p部分等于0，游戏立即终止。引理3.2:1的证明。作为第一步，我们将证明∈ [a，β）一个hasV（x）≥ U（x）。因此，如果β<b，那么0=V（β）≥ U（β）≥ 0，其中最后一个不等式后面是引理3.1的第一个断言。自从V≥ 0和U是非递增的，我们得到v≥ U在[a，b]上，修正x∈ [a，β）。设置控制π*= P此外，fix a控制ψ∈ Ax，π*并用φ表示*与π有关的状态过程*ψ。回想一下，根据Ax的定义，π*, 每t>0，就有一个φ*（t） <~n*（0）=x和τ*a<∞, τ在哪里*ais是第一次*达到a，并且我们还记得x<β，对于每t≥ 0, φ*（t） <β。

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2022-5-7 22:54:48

由于V在[a，β]上是不同的，我们可以将链式规则应用于V和getV（φ）*(τ*a） )- V（ν）*（0））=Zτ*aV′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t））+（u-r） π*(φ*（t））+σπ*(φ*（t））˙ψ（t）]dt。再次使用不等式*（t） <β我们通过条件（i）和（ii）得到0=supθ∈RV′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t））+（u-r） π*(φ*（t））+σπ*(φ*（t））θ]- λ+l（ν）*（t） )-θ≥ V′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t））+（u- r） π*(φ*（t））+σπ*(φ*（t））˙ψ（t）]- λ+l（ν）*（t） )-˙ψ（t）。所以我们有v（x）≥Zτ*a[-λ+l（ν）*（t） )-˙ψ（t）]dt+ρ。（3.3）取第一个supψ∈Ax，π，然后是infπ∈在两侧，我们得到th atV（x）≥ infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）*a）。通过上述内容，并回顾≥ 0我们通过（2.5）V（x）≥ U（x）。假设V是不增加的，U≥ 因此，证明V≤ x上的U∈ [a，β]。固定x∈ [a，β）。永远是yπ∈ π表示Θ（π）*（t）），~n*（t））通过˙ψ*（t），在哪里*解决（3.2）。（iii）通过*在有限时间内达到a，即τa<∞. 使用条件（i）和（ii）我们得到0=在fp中∈RV′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t））+（u-r） p+σpΘ（p，Θ*（t））]- λ+l（ν）*（t） )-Θ（p，Θ）*（t） )(3.4)≤ V′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t））+（u-r） π（ψ）*（t））+σπ（ψ）*（t））˙ψ*（t） ]- λ+l（ν）*（t） )-(˙ψ*)（t）。回顾˙~n*（t） =-e（~n）*（t））+（u-r） π（ψ）*（t））+σπ（ψ）*（t））˙ψ*（t），我们得到v（x）≤Zτa[-λ+l（ν）*（t） )-(˙ψ*)（t） ]dt+ρ。取supψ∈Ax，π，然后infπ∈在两侧，我们得到了th atV（x）≤ infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）。根据β的定义，由于x<β，因此V（x）>0。因此，infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）>0，由（2.5）可知U（x）=infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）。因此，V（x）≤ U（x）。现在，反馈控制P的最优性来自（3.3）。我们现在使用验证引理，为价值函数U.命题3.1 LetV（x）提供一个明确的表达式=ρ -Zxaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du，a≤ x<d，0，d≤ x、（3.5）其中d在（2.7）中定义。然后V=U，定义在（2.4）中。

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2022-5-7 22:54:51

此外，控制π*（2.6）中给出的结果是最佳的。证明：通过引理3.1的第二个断言，对每一个x进行回忆≥ b、 U（x）=0。我们现在证明（3.5）对x有效∈ [a，b）使用引理3.2。注意，验证引理中出现的参数β实际上是我们特定函数V的d。首先，很容易检查V是否满足（3.1）。接下来，sin ce P:[a，d]→ 由p（x）给出的R=-u - rσV′（x）=（u- r） e（x）σ（（u）-rσ）+λ- l（x））是（局部）利普希茨，要求二。验证引理也成立。现在我们将验证验证引理中的第三个条件。注意，（3.2）在时间间隔[0，τa]上引入了唯一解∧τd]，其中τd是第一次碰到d。在（3.2）中的等式允许[0，τa]上的唯一解∧τd]因为（a）在这个时间间隔∈ [a，d]和函数e，π和V′在区间[a，d]上，而（b）e是Lipschitz，π和V′是局部Lipschitz。接下来，我们将证明上述参数可以升级为区间[0，τa]。观察（3.4）中的不等式适用于˙ψ（·）：=Θ（π（Θ（·））、Θ（·））和˙（t）r替换˙ψ*（t）以及*（t）。此外，由于V是非递增的，我们得到V′（ν（t））≤ 0和（3.4）一起，在这种情况下，实际上V′（ν（t））在t上小于0∈ [0，τa∧ τd]。因此，˙~n（t）=-e（φ（t））+（u）- r） π（φ（t））+σπ（φ（t））˙ψ（t）≤λ - l（˙（t））+（˙ψ）（t）V′（˙（t））<0。因此，φ不向上穿过φ（0），因此τd=∞, 这意味着（3.2）。作为最后一步，我们将证明ψ在一定时间内达到a，因此我们将得到ψ∈ Ax，π。相反，假设τa=∞, 然后，通过在我们的例子中再次使用（3.4），我们得出结论，f或每一个s>0，一个hasV（ν（0））- 五（五）≤Zs[-λ+l（ν（t））-（˙ψ）（t）]dt。由于l（·）<λ，我们得到了r.h.s。

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2022-5-7 22:54:55

其中一项是-∞ when-s→ ∞, 这与V有界这一事实相矛盾。π的最优性*之后是验证引理和d，因为U=V。3.3鞍点性质在这里，我们提供了一个独立于π的控制（对于最大化子），并确保其支付U（x）。该控制的简单性在第4.1节中至关重要。集ψ*（t） =-u - rσt，t≥ 0，（3.6）让T*= τ在x<d和T的情况下*= 否则为0。注意ψ*与控制π无关。此外，注意在ψ下*状态过程满足˙~n=-e（~n），因此是~n和T*也与π的选择无关。关于Every x的提案3.2∈ [a，∞) 一个有U（x）=infπ∈πC（x，π，ψ）*, T*). 此外，T*≤ρ - U（x）λ- l（a）+（u）-rσ）。（3.7）证明：对于x≥ d 1 h为U（x）=0，根据定义T*= 所以infπC（x，π，ψ）*, T*) = 0.在ψ下设置x<d*, 状态过程与π无关。因此，对于每个π∈ πC（x，π，ψ）*, T*) =ZT*-λ+l（ν（t））-(˙ψ*)（t）dt+ρ=-Zxaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du+ρ=u（x），其中第二个等式后面是变量u=ν（t）的变化，最后一个等式后面是命题3.1。因此，证明了定理的第一部分。因为l是不增加的，所以我们得到（2.5），0<U（x）=ZT*\"-λ+l（ν（t））-u - rσ#dt+ρ≤ZT*\"-λ+l（a）-u - rσ#dt+ρ=-T*\"λ - l（a）+u - rσ#+ ρ和（3.7）如下。4定理2.1的证明遵循一些度量参数，也受到Varadhan引理的影响。我们在两个独立的定理中证明了U（x）是lim infn的下界（分别为上界）→∞联合国（x）秘书长→∞其中Un（·）：=infπ∈πJn（·，π）。此外，我们还证明了策略π*是渐近最优的。4.1下界定理4.1≥ 一个有lim infn→∞联合国（x）≥ U（x）。证明：回想一下U（x）=0代表每x≥ D

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2022-5-7 22:54:59

自从我≥ 0和ρ>0根据Jensen不等式，对于任何策略序列{πn}n，我们有Rτnd∧τnal（~Wn（t））dt+ρ1{τna≤τnd}#≥ 0.修复x∈ （a，d）和fix一个任意的策略序列{πn}n Π. 我们证明，对于每一个ε>0，就有N>0，对于每一个N>N，就有Jn（x，πN）≥ U（x）- w（ε），其中w（ε）→ 0为ε→ 0.我们从一些初步准备开始。让ψ*是（3.6）中的函数，并让˙~n*（t）=-e（~n）*（t）），0≤ T≤ T*,-e（a），T*≤ t、（4.1）带有*（0）=x，当*是第一次*点击a，这是由于（3.2）。注意到时间T*, φ*微分对策的状态过程与ψ有关吗*和任意控制π∈ Π.让我们假设ε>0。因为l是Lipschitz，所以存在γ>0，所以对于everyy，z∈ [a，∞)|Y- z |<γ意味着| l（y）- l（z）|<ε。（4.2）此外，由于*是连续的，对于t>t*, ˙φ*（t） <0因此，人们可以选择γ，使得- φ*|T*+2ε≤ γ意味着|τa[~n]- T*| ≤ ε、（4.3）式中τa[~n]：=inf{t≥ 0:~n（t）=a}。事实上，回想一下φ（0）=x∈ （a，d）。现在，因为（·）对[a，d]是肯定的，我们从（4.1）中得到，状态过程*在[0，T]上严格递减*+ 2ε]，仅在T处接触a*并在[T]上继续下降*, T*+ 2ε].定义概率度量Q*= Q*,非(Ohm, 英尺*+2ε）bydQ*dP（t）=e-√nRt˙ψ*（s）分贝（s）-nRt（˙ψ）*)（s） ds，t∈ [0，T*+ 2ε].然后在Q下*, B*（t） =B*,n（t）：=B（t）+√nu-rσt，t∈ [0，T*+ 2ε]是一个标准的布朗运动，d~Wn（t）=-e（~Wn（t））+√nσπn（~Wn（t））dB*（t），t∈ [0，T*+ 2ε].既然|πn（t）|≤ 然后通过Gronwall不等式和Doob鞅不等式，我们得到一个常数C>0，它依赖于e（·）的Lip-schitz常数，这样Q*（（英）c）≤CMnγ（4.4），其中：=ω :~Wn（·ω）- φ*(·, ω)T*+2ε≤ γ.设置N=N（ε，γ，M，C），使N>max-ln（ε）ε，CMεγ，CM（T*+ 2ε)λ +u-rσεγ. （4.5）我们现在已经准备好从Jn（x，πn）以下绑定。

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2022-5-7 22:55:03

修正Z∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt≥nln E“ZT*+2εT*+εe-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt#≥nln E“εE-λn（T）*+2ε）enRτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}#=nln均衡器*εe-λn（T）*+2ε）enRτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}dPdQ*（T）*+ 2ε)#≥ 情商*\"-λ（T）*+ 2ε）+Zτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds#- ε≥ 情商*\"-λ（T）*+ 2ε）+Zτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds！嗯#- 2ε≥ 情商*\"-λ（T）*+ 2ε）+ZT*-ε[l（ν）*（s） )- ε] ds+ρ-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds！嗯#- 2ε=-λ（T）*+ 2ε）+ZT*-ε[l（ν）*（s） )- ε] ds+ρ-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds！Q*（英）- 2ε= -λT*+ZT*l（ψ）*（s））ds-ZT*(˙ψ*)（s） ds+ρ+w（ε）=U（x）+w（ε），其中w（ε）=-2λε-ZT*T*-εl（ψ）*（s））ds- ε（T）*- ε) -ZT*+2εT*(˙ψ*)（s） ds！Q*（英）- 2ε--λT*+ZT*l（ψ）*（s））ds-ZT*(˙ψ*)（s） ds+ρ！(1 - Q*（En））。前三种关系很容易检查。第四个关系由詹森不等式和（4.4）得出。第五个关系是从l（·开始）≥ 0和（4.4）和（4.5）。第九个关系后面是（4.2）和（4.3）。第七个关系如下，因为除指示符外，预期中的所有术语都是确定性的。最后，最后一个关系是命题3.2。通过（4.4）和（4.5）并回顾-λT*+RT*l（ψ）*（s））ds-RT*(˙ψ*)（s） ds+ρ=U（x）≥ 我们得到w（ε）→ 0为ε→ 04.2渐近最优策略在本节中，我们展示了（2.6）中定义的博弈中的最优策略是s-tochastic模型中的渐近最优策略。我们从一个技术性的引理开始，它为我们证明前面的定理服务。引理为贴现成本提供了一个上限，通过一个新的度量Qn定义了替代成本。SetT:=ρ/（λ）- l（a））。

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2022-5-7 22:55:06

在定理证明过程中，qn和T都将发挥重要作用。引理4.1每n∈ N、存在一个概率测度Qn~ [0，T]上的P，对于它Z∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt(4.6)≤ lim sup EQn“sup0≤T≤TZτna∧t[l（~Wn（s））- λ] ds+ρ1{τna≤t}#-nH（QnkP），其中H（QnkP）：=EQnhlndQndPiis是Qnw的相对熵。r、此外，还有N∈ 确保每n>None有一个NH（QnkP）≤ 2ρ. （4.7）此外，对于每n∈ N、存在一个适应过程（ψ（t））0≤T≤Tsuch表示Qn几乎肯定，ψn（·ω）∈ AC[0，T]和rt（˙ψn）（s，ω）<∞, andnH（QnkP）=EQnZT（˙ψn）（s）ds. （4.8）证据：首先，请注意Z∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt≤ E中兴通讯-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt+enρZ∞帐篷（l（a）-λ） dt= E中兴通讯-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt+n（λ）- l（a））en（ρ+T（l（a）-λ))≤ EZTenRτna∧t[l（~Wn（s））-λ] ds+ρ1{τna≤t}dt+n（λ）- l（a））≤ 我是苏普≤T≤TRτna∧t[l（~Wn（s））-λ] ds+ρ1{τna≤t}+ρn#。第一个不等式如下，因为l不增加，而d通过消除第二个指数中的指标，我们只会增加成本。第二个不平等随之而来的是经常和自那以后的选择-λnt≤ -λn（τna）∧ t）。其他关系很容易看出。现在，每n∈ N让Qnbe测量满足“en sup0”≤T≤TRτna∧t[l（~Wn（s））-λ] ds+ρ1{τna≤t}#!（4.9）=EQn“sup0≤T≤TZτna∧t[l（~Wn（s））- λ] ds+ρ1{τna≤t}#-nH（QnkP）。具有上述表示的量度qn的存在由以下论点证明：根据Jensen不等式，对于任何量度Q~ P an df=n sup0≤T≤TZτna∧t[l（~Wn（s））- λ] ds+ρ1{τna≤t}一个哈斯林Ehefi= 自然对数情商ef·dPdQ≥ 等式[f]- H（QkP），其中满足qdp=efE[ef]的度量Q相等。

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2022-5-7 22:55:10

（4.10）通过艾玛3.1的第一点，定理4.1和（4.9），我们得到了0≤ U（x）≤ 林恩芬→∞Jn（x，π）*) ≤ 林恩芬→∞nEQn[f]-nH（QnkP）≤ ρ - 林尚→∞nH（QnkP）,其中，最后一个不等式如下，因为λ>l（·）。因此，（4.7）成立。现在我们转到引理的最后一部分。由于（4.10）的r.h.s.是以Ftisa正P-鞅为条件的，所以它可以表示为指数鞅。也就是说，这是一个可预测的平方可积过程（un（t））0≤T≤Tsuch thatdQndP（t）=e√nRtun（s）分贝（s）-nRt（联合国）（南）ds，t∈ [0，T]。现在，对于Qn，几乎每个ω定义ψn（·ω）为un（·ω）的Lesbegue积分。最后，注意在Qn，B（t）下-√修女（t），t∈ [0，T]是布朗运动，因此（4.8）成立。eve ry x的定理4.2≥ 一个有林森→∞Jn（x，π）*) ≤ U（x），其中π*定义为（2.6）。证明：修正x≥ a、注意，在（4.6）中，将其r.h.s.的lim sup约束为byU（x）是足够的。在证明过程中，我们将利用π控制下的状态过程和财富过程*, 这是通过函数π定义的*, 见（2.6）。从引理4考虑qn和ψn。1.在Qnd~Wn（t）下=-e（~Wn（t））+（u）- r） π*（~Wn（t））+σπ*（~Wn（t））˙ψn（t）dt+√nσπ*（Wn（t））dBn（t），（4.11）t∈ （0，T]和~Wn（0）=x，其中Bn（T）=B（T）-√nψn（t）是Qn下的标准布朗运动。另外，设置˙~nn（t）=-e（un（t））+（u- r） π*（ηn（t））+σπ*˙ψn（t），t∈ [0，T]，（4.12）~nn（0）=x。对于任何δ>0，我们定义（δ）={ω：|Wn- |n|τa[~Wn]∧T≤ δ} ，（4.13）式中τa[h]：=inf{t∈ [0，T]：h（T）≤ a} 按照当时的惯例 = ∞. 让我们写下“sup0”≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} #（4.14）=EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！An（δ）#+EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！（An（δ））c#。对于ω∈ An（δ），我们有τa[~Wn]≥ τa+δ[~nn]。

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2022-5-7 22:55:13

然后有一个常数c>0，它取决于l（·）的Lipschitz常数，它取决于a（δ）和每个t∈ [0，T]，Zτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}≤Zτa[~Wn]∧t[l（n（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} +cδ≤Zτa+δ[~nn]∧t[l（n（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa+δ[~nn]≤t} +cδ≤ Ua+δ（x）+cδ。这里我们用Ua+δ（x）表示（2.4）定义的函数，用a+δ代替a。最后一个不等式是从最优控制π开始的*由（2.6）定义，根据其显式形式，对于a被a+δ取代的微分博弈，也是最优控制。因此，EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！An（δ）#≤ （Ua+δ（x）+cδ）Qn（An（δ））。另一方面，EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！（An（δ））c#≤ ρQn（（An（δ））c）。将等式中的最后两个代入（4.14），我们得出“sup0”≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}#≤ Ua+δ（x）+cδ+（ρ- Ua+δ（x）- cδ）Qn（（An（δ））c）。在下文中，我们将介绍这一点→∞Qn（（An（δ））c）=0，（4.15），从中可以得出thatlim su p EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}#≤ Ua+δ（x）+cδ。（4.16）注意，根据命题3.1，对于每x≥ a、 Ua（x）作为aδ的函数是连续的→ 0英寸（4.16英寸）我们得到了≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}#≤ Ua（x）=U（x），这就是我们想要证明的。我们现在显示th在（4.15）等待。

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2022-5-7 22:55:17

到（4.11）和（4.12）时，每t∈ [0，T]~Wn（T）- νn（t）=Zth- e（~Wn（s））- e（un（s））+（u-r）（π）*（~Wn（s））- π*（ηn（s））+σ（π）*（~Wn（s））- π*˙ψn（s）ids+ξn（t），其中ξn（t）：=√nσπ*（~Wn（t）dBn（t），t∈ [0，T]。由于e（·）和π*（·）是Lipschitz，有一个常数c>0，这样对于每t∈ [0，T]|Wn（T）- ~nn（t）|≤ cZt（1+|˙ψn（s）|）|Wn（s）- |n（s）|ds+|ξn | tBy Gronwall在等式中，它遵循|Wn（t）- ~nn（t）|≤ ecRt（1+|˙ψn（s）| ds）|ξn | t.因此，|Wn-|n|τa[~Wn]∧T≤ ecRT（1+|˙ψn（s）|ds）|ξn |τa[Wn]∧T.（4.17）对于任何K>T，考虑bn（K）=ω：ZT（1+|˙ψn（s）|ds）≤ K. （4.18）显然，（An（δ））c=（（An（δ））c∩ Bn（K））∪（（An（δ））c∩ （Bn（K））c）。从（4.13）、（4.17）和（4.18）可以得出（An（δ））c∩Bn（K）nω：|ξn |τa[~Wn]∧T≥ E-cKδo.根据Doob的鞅不等式，我们得到了等式nh |ξn |τa[~Wn]∧钛≤ 4EQnhξn（τa[~Wn]∧ T）我≤cTn。因此，Qn（（An（δ））c∩ Bn（K））≤e2cKδEQnh |ξn |τa[~Wn]∧钛≤cT-e2cKnδ。另一方面，Qn（（An（δ））c∩ （Bn（K））c）≤ Qn（（Bn（K））c）≤ QnZT|˙ψn（s）|ds>（K）- T）T≤T（K）-T）EQnhZT |˙ψn（s）| dsi，其中第二个不等式来自（4.18）。由于（4.7）和（4.8），每N的值都大于0≥ N、我们有eqnhzt |˙ψN（s）| dsi≤ 4ρ.因此，每n≥ N、我们有qn（（An（δ））c∩ （Bn（K））c）≤4ρT（K）- T）。固定ε>0。设K>T等于4ρT（K- （T）≤ε.取N=max{N，N}。然后每n≥ N、我们有qn（（An（δ））c）<ε。这意味着（4.15）。致谢：我们感谢两位匿名推荐人，AE和Huy^en Pham的深刻评论，这有助于我们改进论文。我们也感谢维吉尼亚杨对这个问题的多次讨论。这项研究部分由美国国家科学基金会通过DMS-1613170资助。参考文献[1]R.Atar和A.Biswas。中等偏差状态下多类G/G/1队列的控制。《应用概率年鉴》，424（5）：2033-20692014。[2] R.阿塔尔和A.科恩。

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2022-5-7 22:55:20

中偏差重转移区域中多类排队模型的渐近最优控制。预印本，2015年。[3] R.阿塔尔和A.科恩。中偏差重交易制度下多类排队模型的微分对策。Prep rint，2015年。[4] E.Bayraktar和V.R.Young。终身最低财富和消费效用之间的对应关系。《金融与随机》，11（2）：213–236，2007年。[5] E.Bayraktar和V.R.Young。在借款约束下最小化生存期ru in的概率。《保险：数学与经济学》，第41（1）：196–221页，2007年。[6] E.Bayraktar和V.R.Young。优化投资策略，最大限度地减少占用时间。运筹学年鉴，176（1）：389-4082010。[7] E.Bayraktar和V.R.Young。通过停止和控制博弈证明了最小破产概率的正则性。《金融与随机》，15（4）：785–818，2011年。[8] E.Bayraktar和Y.Zhang。在模糊情况下最小化终身破产概率。暹罗控制与优化杂志，53（1）：58-902015。[9] 布朗尼。有负债的生存和增长：连续时间内的最优投资组合策略。运营研究数学，22（2）：468–4931997。[10] S.Br owne。击败移动目标：为表现出色的投资者提供最佳的投资组合策略。《金融与随机》，3（3）：275-2942099。[11] S.布朗。在截止日期前实现目标：数字选项和持续时间的动态投资组合管理。Adv.在应用中。P robab。，31(2):551–577, 06 1999.[12] A.Demb o和o.Zeitouni。大偏差技术和应用，数学应用第38卷（纽约）。斯普林格·维拉格，纽约，第二版，1998年。[13] L。E.杜宾斯和L.J.萨维奇。如果必须的话，如何赌博：stoc仓促过程的不平等。麦格劳·希尔概率统计系列。麦格劳·希尔，纽约，1965年。[14] P。

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