如（i）中所述，D是S-可测的。根据引理4（卢辛定理），存在一个紧子集s 使得λ（S\\S）<、D和A是S上的连续函数。通过引理2（3），~D和A是S上的连续对应。设D={（S，y）∈ D:s∈ S、 y∈~D（s）}。由于Sis紧和＠D是连续的，因此Dis紧（见引理3（6））。遵循相同的程序，对于任何m≥ 1.存在一个紧子集 例如：（1）Sm∩(∪1.≤K≤M-1Sk）= Dm=D∩ （Sm×Y）是紧的，（2）λ（Sm）>0和λ（S(∪1.≤K≤mSm）<2m，且（3）A在Dm上是非空且紧值且连续的。这就完成了证明。引理12。设S和X是波兰空间，λ是Borel概率测度。假设{Sk}k≥1是S的不相交紧子集序列，使得λ(∪K≥1Sk=1。对于每个k，针对任何可测量子集D，在Skasλk（D）=λ（D）λ（Sk）上定义一个概率度量 Sk。设{νm}m≥0是从S到M（X）的转移概率序列，τM=λ 对于任何m≥ 0.则τmweaklyconverge为τ当且仅当λk νm弱收敛于λk 每k的ν≥ 1.证据。首先，我们假设τm弱收敛于τ。对于任何闭子集 Sk×X，我们有lim supm→∞τm（E）≤ τ（E）。就是这样，林先生→∞λνm（E）≤λ  ν（E）。对于任意k，λ（Sk）lim supm→∞λ  νm（E）≤λ（Sk）λ ν（E），这意味着lim supm→∞λk νm（E）≤ λk ν（E）。因此，λk νm弱对流到λk 每k的ν≥ 1.其次，我们考虑λk νm弱收敛于λk ν对于eachk≥ 1.对于任何闭子集E S×X，设Ek=E∩（Sk×X）每k≥ 1.那么{Ek}是不相交的闭子集和lim-supm→∞λk νm（Ek）≤ λk ν（Ek）。自λk νm（E′）=λ（Sk）λ 任意k，m和可测子集E′的νm（E′） Sk×X，我们有那个lim supm→∞λ  νm（Ek）≤ λ  ν（Ek）。

因此，Xk≥我是苏普姆→∞λ  νm（Ek）≤Xk≥1λ  ν（Ek）=λ ν（E）。因为极限s superior是次可加的，所以我们有xk≥我是苏普姆→∞λ  νm（Ek）≥ 林苏普→∞Xk≥1λ  νm（Ek）=lim supm→∞λ  νm（E）。因此，lim supm→∞λ  νm（E）≤ λ  ν（E），这意味着τmweaklyconverge到τ。引理13。假设X，Y和S是波兰空间，zi是紧度量空间。设λ是S上的Borel概率测度，a是从Z×S到X的非空紧值对应，它在Z上是分段上半连续的，有一个B（Z×S×X）-可测图。设G是从Z到M（X×S）的非空紧值连续对应。我们假设anyz∈ Z和τ∈ G（z），S上τ的边缘为λ，τ（Gr（A（z，·））=1。Le t F是Gr（A）的可测、非空、凸和紧值对应→M（Y）表示F在Z×X上是分段连续的。通过让∏（Z）={g（Z）定义从Z到M（X×S×Y）的对应∏ f（z，·）：g是g的Borel可测选择，f是f}的Borel可测选择。那么对应关系∏是非空的、紧值的、连续的。证据设S为p概率测度λ下B（S）的完备。11、~A（s）=Gr（A（s，·））可以看作是从s到非空紧子集集KZ×Xof Z×X的s-可测映射∈ S、 对应关系Fs=F（·，S）在A（S）上是连续的。通过引理4，在Z×X×stom（Y）中存在一个可测的、非空的和紧值的对应关系F，以及一个λ（s′）=1的s的Borel可测s子集s′，使得对于每个∈ 在Z×X上，S′，~fsa是连续的，~Fsto~A（S）的限制是Fs。根据Lemm a4（Lusin定理），存在一个紧子集s S′这样的A在沙上是连续的λ（S）>。设K=~A（S）。

然后K Z×X是紧的。设C（K，KM（Y））是从Kto到KM（Y）的连续函数空间，其中KM（Y）是M（Y）的非空紧子集集。假设S对Sis S的限制。让＠fB限制＠F到K×S。然后＠fC可以被视为来自Sto C（K，KM（Y））的S-可测函数（见定理4.55 inAliprantis and Border（2006））。同样通过引理4（Lusin’stheorem），存在S的一个紧子集，比如说它本身，使得λ（S）>和Fis在S上是连续的。因此，Fis在R（a）上是连续的对应∩ （S×Z×X），so是F。设λ是任意可测su bset D上λ（D）=λ（D）λ（S）的概率测度 修正任何错误∈ Z和τ∈ G（z）。根据G的定义，存在从S到X的转移概率ν，因此λ ν = τ. 将对应关系GfromZ定义为M（X×S），如下所示：对于任何z∈ Z、 G（Z）是所有τ=λ的集合 所以τ=λ ν ∈ G（z）。可以很容易地看出，Gis也是一种非单调的、紧值的、连续的对应关系。设∏（z）={τ f（z，·）：τ=λ ν ∈ G（z），f是f}的一个Borel可测选择。根据引理9，π是非空的、紧值的、连续的。此外，很容易看出，对于任何z，π（z）与集合{（λ）重合 ν)  f（z，·）：λ ν ∈ G（z），f是f}的Borel可测选择。重复这个过程，我们可以找到一系列的紧致子集{St}，比如（1）对于任何t≥ 1号街 S′，圣∩ （S）∪ . . . 圣-1) =  λ（S）∪ . . . ∪ （圣）≥tt+1，（2）F在Gr（A）上是连续的∩（St×Z×X），λ是关于任意可测子集D的λt（D）=λ（D）λ（St）的概率测度 和（3）对应∏t（z）={（λt） ν)  f（z，·）：λ ν ∈ G（z），f是f}的Borel可测选择。是非空的、紧值的、连续的。选择一个序列{zk}，{νk}和{fk}，这样（λνk）fk（zk，·）∈ π（zk），zk→ zand（λ） νk） fk（zk，·）弱收敛于某个κ。

很容易看出（λt νk）fk（zk，·）∈ πt（zk）对于每一个t。由于∏是紧值连续的，所以它有一个序列，比如说它本身，即zk收敛到某个z∈ Z和（λνk）fk（zk，·）弱收敛于某些（λ） u)  f（z，·）∈ π（z）。重复这个过程，可以得到{um}和fm的序列。对于任意x，设u（s）=um（s）和f（z，s，x）=fm（z，s，x）∈ A（z，s）当s∈ SM通过引理12，（λ u)  f（z，·）=κ，其中∏是上半连续的。同样地，∏的紧致性和下半连续性来自于每个t.引理14的∏t的紧致性和下半连续性。设S和X是波兰空间，A是从S到X的可测、非空和紧值对应。假设λ是S和{νn}1上的Borel概率测度≤N≤∞是一个从S-toM（X）开始的转移概率序列，使得对于每个S和n，νn（a（S）|S）=1≥ 1，设τn=λ νn.假设S×X上的Borel概率测度序列{τn}收敛到Borel概率测度τ∞关于S×X.Let{gn}1≤N≤∞是满足以下三个性质的函数序列。1.对于介于1和∞, gn:S×X→ R+是可测量的，在X.2上是连续的。对于任何人来说∈ S和任意序列xn→ 十、∞在X，gn（s，xn）→ G∞（s，x）∞) asn→ ∞.3.序列{gn}1≤N≤∞在有e xi stsaλ-可积函数ψ：S的意义下是可积有界的→ R+使得对于任何n，s和x，gn（s，x）≤ψ（s）。然后我们有zs×Xgn（s，x）τn（d（s，x））→ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））。证据根据定理2.1.3 inCastaing，De Fitte and Valadier（2004），对于任意可积有界函数g:S×X→ R+在x上是连续的，我们有zs×Xg（s，x）τn（d（s，x））→ZS×Xg（s，x）τ∞（d（s，x））。（2） 让{yn}1≤N≤∞是一个序列，使得yn=nand y∞= 0.Th en yn→ Y∞.从S×X×{y，…，y中定义映射g∞} 使得~g（s，x，yn）=gn（s，x）。那么，g在S中是可测的，在X×{y。

Y∞}. 定义从S到X×{y，…，y的对应关系∞} x R+使g（s）={（x，yn，c）：c∈ ~g（s，x，yn），x∈ A（s），1≤ N≤ ∞} .对于任何s，A（s）×{y，…，y∞} 是紧致的，且g（s，·，·）是连续的。3（6），G（s）是紧凑的。通过引理2（2），G可以看作是从S到X×{y，…，y的非空紧子集空间的可测映射∞} ×R+。类似地，A可以被视为从S到X的非空紧子集空间的可测映射。根据引理4（卢辛定理），存在一个紧子集 使得A和G在沙上是连续的λ（S\\S）<。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设λ（S\\S）足够小，使得r\\Sψ（S）λ（ds）<。因此，对于任何n，Z（S\\S）×Xψ（S）τn（d（S，X））=Z（S\\S）ψ（S）νn（X）λ（ds）<。通过引理3（6），集合E={（s，x）：s∈ S、 x∈ A（s）}是紧凑的。因为g在S上是连续的，所以g在E×{y，…，y上是连续的∞}. 自从E×{y，…，y∞}是紧的，~g在E×{y，…，y上是一致连续的∞}. 因此，存在一个正整数N>0，使得对于任何N≥ N、 | gn（s，x）- G∞（s，x）|<对于任何（s，x）∈ E.根据等式（2），存在一个正整数Nsuch，对于任何n≥ NZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））<.设N=max{N，N}。对任何人来说≥ NZS×Xgn（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））≤ZS×Xgn（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））+ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））≤ZS×Xgn（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））+Z（S\\S）×Xgn（S，x）τn（d（S，x））-Z（S\\S）×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））+ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））≤ZE | gn（s，x）- G∞（s，x）|τn（d（s，x））+2·Z（s\\s）×xψ（s）τn（d（s，x））+ZS×Xg∞（s，x）τn（d（s，x））-ZS×Xg∞（s，x）τ∞（d（s，x））<+ 2 ·+= .这就完成了证明。以下结果是Reny和Robson（2002）的引理6。引理15。

假设H和X是紧度量空间。设P:H×X→ Rnbe是一个非空的v值上半连续对应，映射f:H→ M（X）和u：H→ △（十） 可以测量。此外，假设u（·| h）=p（h，·）o f（·| h），使得p（h，·）是p（h，·）的可测量选择。然后存在一个P的联合Borel可测量选择g，使得u（·h）=g（h，·h）o f（·h）；也就是说，对于f（·| h），g（h，x）=p（h，x）-几乎所有具有内生随机共享规则的x.5.2不连续博弈Simon和Zame（1990）证明了具有内生共享规则的不连续博弈中纳什均衡的存在。特别是，他们考虑了有界的、非空的、凸的、紧值的、上半连续的无定向博弈。他们表明，支付对应关系中存在一个可测量的选择p，即内生共享规则，以及一个混合策略，即当参与者将p作为支付函数时，α是纳什均衡。在这一小节中，我们将考虑具有内生-随机共享规则的不连续博弈。也就是说，我们允许支付对应关系以可测量的方式依赖于某个状态变量，如下所示：1。设S是波兰空间的Borel子集，Y是波兰空间，λ是S上的Borel概率测度；2.D代表B（S） B（Y）-S×Y的可测子集，其中D（S）是所有S的紧集∈ S和λ（{S∈ S:D（S）6=}) > 0;3.X=Q1≤我≤nXi，每个XI都是一个波兰空间；4、对于每个i，Ai是从D到Xi的可测、非空、紧值对应，在Y上是分段连续的；5.A=Q1≤我≤NaI和E=Gr（A）；6.

P是一个有界的、可测的、非空的、凸的和紧值的对应关系，从E到rn本质上是Y×X上的分段上半连续的∈ D是对应P（s，y，·）的Borel可测量选择；i、 e.一个Borel可测函数p:a（s，y）→ Rnsuchthat p（x）∈ P（s，y，x）表示所有x∈ A（s，y）。给定（s，y）∈ D、 P（s，y，·）代表所有可能的薪酬，共享规则P是薪酬的一种特殊选择。现在我们来证明下面的命题。提议4。从D到Rn×M（X）×存在一个B（D）-可测、非空且紧的值相关Φ△（十） 这样Φ在Y上基本上是上半连续的，对于λ-几乎所有s∈ S带D（S）6=还有y∈ D（s），Φ（s，y）是1的一组点（v，α，u）。v=RXp（s，y，x）α（dx），使得p（s，y，·）是p（s，y，·）的可测选择；2. α ∈ 我∈IM（Ai（s，y））是子博弈（s，y）中的纳什均衡，每个参与者i的支付（s，y，·）和行动空间Ai（s，y）；3.u=p（s，y，·）o α.此外，表示Φ对第一组分RNAΦRn的限制，这是从D到Rn的对应关系。那么Φ| rny是有界的、可测的、非空的、紧值的，并且在Y上本质上是分段上半连续的。如果D是一个闭子集，P在E上是上半连续的，对于每个i，Ai在D上是连续的∈ 一、 然后，命题4被简化为以下引理（见西蒙和扎姆（1990）和雷尼和罗布森（2002，引理4））。引理16。假设D是一个闭子集，P在E上是上半连续的，对于每个i，Ai在D上是连续的∈ I.考虑通信Φ：D→Rn×M（X）×△（十） 定义如下：（v，α，u）∈ Φ（s，y）if1。v=RXp（s，y，x）α（dx），使得p（s，y，·）是p（s，y，·）的可测选择；2.

α ∈ 我∈IM（Ai（s，y））是子博弈（s，y）中的纳什均衡，每个参与者i的支付（s，y，·）和行动空间Ai（s，y）；3.u=p（s，y，·）o α.那么Φ是非空且紧值的，并且在D上是上半连续的。我们现在将证明命题4。命题的证明。存在一个Borel子集^S λ（^S）=1的S，使得d（S）6= 对于每个人来说∈^S，当P限制在D上时，P在Y上是上半连续的∩ （^S×Y）。在不丧失一般性的情况下，我们假设^S=S。假设S是B（S）在概率测度λ下的完成。设D和E是S的限制条件 B（Y）和S B（Y） B（X）分别在D和de上。定义从S到Y的对应关系，使D（S）={Y∈ Y:（s，Y）∈ D} 。那么∧D是非空且紧值的。根据引理2（4），~D是S-可测的。请注意，我们要求p（s，y，·）对每个（s，y）都是可测量的，但p可能不是联合可测量的。最终测量值eu=p（s，y，·）o αifu（B）=任何Borel子集B的RBp（s，y，x）α（dx） 因为D（s）是紧的，而A（s，·）对于任何s都是上半连续的∈ S、 E（S）由引理3（6）紧致。定义从S到Y×X×Rnas的对应关系Γ（S）=Gr（P（S，·，·）。对于所有的s，P（s，·，·）是E（s）上的边界、上半连续和紧值，因此它有一个紧图。因此，Γ是紧值的。根据Lemm a2（1），P有一个S B（Y×X×Rn）-可测图。因为Gr（Γ）=Gr（P），所以Gr（Γ）是SB（Y×X×Rn）-可测量。由于引理2（4），对应Γ是S-可测的。我们可以把Γ看作是从S到Y×X×Rn的非空紧子集的空间K的函数。根据引理1，K是一个具有Hausdorff度量拓扑的Polishspace。然后通过引理2（2），Γisan S-可测函数从S到K。也可以将从S到Y×X的对应关系定义为：Ai（S）=Gr（Ai（S，·））。

可以很容易地证明，从S到Y×X的非空紧子集空间，可以将aic视为一个S-可测函数，它具有hausdorff度量拓扑。通过一个类似的论证，D可以被视为从S到Y的非空紧子集空间的S-可测函数。根据引理4（卢辛定理），存在一个紧子集s 例如λ（S\\S）<，Γ，D和{Ai}1≤我≤S.ByLemma2（3）、Γ、~D和~aire上的连续函数是S.Let D={（S，y）上的连续对应∈ D:s∈ S、 y∈~D（s）}。由于Sis compact和dd是连续的，因此不紧密（见引理3（6））。类似地，E=E∩（S×Y×X）也是紧凑的。因此，P是E上的上半连续对应关系。定义从Dto到Rn×M（X）×的对应关系Φ△（十） 就像在引理16中一样，它是非空且紧值的，并且在D上是上半连续的≥ 1.存在一个紧子集 例如：（1）Sm∩ (∪1.≤K≤M-1Sk）= Dm=D∩ （Sm×Y）是紧的，（2）λ（Sm）>0和λ（S(∪1.≤K≤mSm）<2m，且（3）存在一个非唯一且紧值的上半连续对应ΦmfromDmto Rn×M（X）×△（十） ，满足引理16中的条件（1）-（3）。因此，我们有许多不相交的集合{Sm}m≥使（1）λ(∪M≥1Sm）=1，（2）Φmis非空紧值，每个Dm上的上半连续，m≥ 1.由于AIB是B（S） B（Y）-可测、非空、紧值对应，它是由引理3（3）给出的Borel可测选择。修正一个p中的可钻孔测量选择p（由于Lemm a3（3），这种选择也存在）。定义从D到Rn×M（X）×的映射（v，α，u）△（十） 使得（1）αi（s，y）=δai（s，y）和α（s，y）=我∈IαI（s，y）；（2） v（s，y）=p（s，y，a（s，y），an（s，y））和（3）u（s，y）=p（s，y，·）o α. L et D=D(∪M≥1Dm）和Φ（s，y）={（v（s，y），α（s，y），u（s，y））}表示（s，y）∈ D

那么Φ是B（S） B（Y）-可测、非空且紧值。设Φ（s，y）=Φm（s，y）如果（s，y）∈ 数字万用表≥ 0.那么Φ（s，y）满足条件（1）-（3）如果（s，y）∈ 数字万用表≥ 1.也就是说，Φ是B（D）-可测的，非空的，紧值的，基本上是Y上的上半连续的，并且满足λ-几乎所有s的条件（1）-（3）∈ S.然后考虑Φ| Rn，这是Φ对第一组分Rn的限制。设Φm | rnm是Φmon的限制，第一个分量rnm具有每个dmm的域≥ 显然Φ| rn是可测的、非空的和紧值的。每m≥ 1，Dmis紧和Φmis上半连续且紧值。通过引理3（6），Gr（Φm）是紧致的。因此，Gr（Φm | Rn）也是紧密的。通过引理3（4），Φm | rn是可测量的。此外，Φm | rn是非空紧值的，在Dm上是上半连续的。注意Φ| Rn（s，y）=Φm | Rn（s，y）如果（s，y）∈ 数字万用表≥ 因此，Φ| rny是可测的、非空的、紧值的，并且在Y上基本上是分段上半连续的。证据是完整的。5.3定理1和命题15.3.1的证明≥ 1，假设从Ht到Rn的对应关系Qt+1是有界的、可测的、非空的、紧值的，并且在Xt上基本上是分段上半连续的。不管怎样-1.∈ Ht-1和xt∈ At（ht）-1） ，莱特普特（ht）-1，xt）=ZStQt+1（ht-1，xt，st）ft0（dst | ht-1） =ZStQt+1（ht-1，xt，st）аt0（ht-1，st）λt（dst）。很明显，这种对应关系是可测量的，并且是非空值的。因为Qt+1是有界的，所以PTI是有界的。对于λt-几乎所有st∈ St，Qt+1（·，St）在Ht（St）上是有界的和上半连续的，而在Gr（At）（St）上是连续的。由于φT0是可积有界的，Pt（st-1、·）在Gr（At）（st）上也是上半连续的-1） 对于λt-1-几乎所有圣-1.∈ 圣-1（见引理5）；也就是说，在Xt上，每小时的对应关系是连续的。

同样，通过引理5，由于λ是一个无原子的概率测度，因此pTIS凸和紧值。也就是说，Pt:Gr（At）→ Rn是一个有界的、可测的、非空的、凸的和紧的值相关，它在Xt上基本上是分段上半连续的。根据命题4，存在一个有界的、可测的、非空的和紧值的对应关系Φt-1至Rn×M（Xt）×△（Xt）在Xt上基本上是分段上半连续的-1，对于λt-1-几乎全部-1.∈ Ht-1，（v，α，u）∈ Φt（ht）-1） 如果1。v=大鼠（ht）-1） pt（ht）-1，x）α（dx），使得pt（ht-1、·）是铂（ht）的Borel可测量选择-1, ·);2. α ∈ 我∈IM（Ati（ht）-1） ）是子博弈中的纳什均衡-1带付款人（ht）-1、·）和行动sp aceQi∈IAti（ht）-1);3.u=铂（ht）-1, ·) o α.表示第一组分RNAΦ（Qt+1）的限制，这是Ht的对应关系-1到Rn。根据命题4，Φ（Qt+1）是有界的、可测的、非空的、紧值的，并且在Xt上基本上是分段上半连续的-1.5.3.2正向归纳以下命题给出了正向归纳步骤的结果。提议5。无论如何≥ 1和Φ（Qt+1）的任何可测选择Qt，存在Qt+1的可测选择Qt+1和可测映射ft:Ht-1.→ 我∈IM（Xti）使得λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1,1. ft（ht）-1) ∈ 我∈IM（Ati（ht）-1));2.qt（ht）-1） =大鼠（ht）-1） RStqt+1（ht）-1，xt，st）ft0（dst | ht-1） ft（dxt | ht-1);3.英尺（·高）-1） 子博弈中的纳什均衡是什么-1与动作spacesAti（ht）-1） ，我∈ I和支付函数szstqt+1（ht-1、·st）ft0（dst | ht-1).证据我们将证明分为三个步骤。在步骤1中，我们展示了存在的Borel可测量映射ft:Ht-1.→ 我∈IM（Xti）和ut:Ht-1.→ △（Xt）这样的（qt，ft，ut）是Φt的选择。在步骤2中，我们获得了一个Borel可测量的选择gtof Pt，使得λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1,1.

qt（ht）-1） =大鼠（ht）-1） gt（ht）-1，x）英尺（dx |高-1);2.英尺（ht）-1） 子博弈中的纳什均衡是什么-1带支付功能（ht）-1、·）和（ht）处的动作空间-1);在第3步中，我们证明存在一个Borel可测量的选择qt+1的qt+1，对于所有ht-1.∈ Ht-1和xt∈ At（ht）-1） ，gt（ht）-1，xt）=ZStqt+1（ht-1，xt，st）ft0（dst | ht-1).结合步骤1-3，证明是完整的。第一步。设ψt:Gr（Φt（Qt+1））→ M（Xt）×△（Xt）beψt（ht）-1，v）={（α，u）：（v，α，u）∈ Φt（ht）-1)}.回想一下Φ的构造，以及命题4，Ht的证明-1可以被划分为可数个Borel子集{Hmt-1} m≥0就这样1。Ht-1= ∪M≥0Hmt-1和λt-1(∪M≥1项目-1（Hmt）-1） ）λt-1（projSt）-1（Ht）-1） ）=1，其中projSt-1（Hmt）-1） 还有projSt-1（Ht）-1） 是Hmt的项目吗-1和Ht-1街-1.2.对我来说≥ 1，Hmt-1紧凑，在Hmt上半连续-1，并且在{（ht）上是连续的-1，xt）：ht-1.∈ Hmt-1，xt∈ At（ht）-1)};3.存在来自Ht的Borel可测量映射（v，α，u）-1至Rn×M（Xt）×△（Xt）使得Φt（ht-1) ≡ {（v（ht）-1） ，α（ht）-1） ，u（ht）-1） ）}任何时候-1.∈ Ht-1.表示Φ吨Hmt的限制-1asΦmt.用于m≥ Gr（Φmt）是紧致的，因此相应的ψmt（ht）是紧致的-1，v）={（α，u）：（v，α，u）∈ Φmt（高温）-1） }有一个紧凑的图。为了我≥ 1，ψmt可由引理3（4）测量，并且由于引理3（3）而具有异常可测量选择ψmt。定义ψt（ht）-1，v（ht）-1） ）=（α（ht）-1） ，u（ht）-1） ）对于ht-1.∈ Ht-1.对于（ht）-1，v）∈ Gr（Φ（Qt+1）），letψt（ht）-1，v）=ψmt（ht）-1，v）如果ht-1.∈ Hmt-1.Th enψ是ψt的Borel可测选择。给定Φ（Qt+1）的Borel可测选择Qt，设φt（ht-1） =（qt（ht）-1） ，ψt（ht）-1，qt（ht）-1))).那么φ是Φt的Borel可测量选择。表示Ht-1= ∪M≥1Hmt-1.通过Φt的构造，存在Borel可测映射ft:Ht-1.→我∈IM（Xti）和ut:Ht-1.→ △（Xt）使所有人-1.∈~Ht-1,1. qt（ht）-1） =大鼠（ht）-1） pt（ht）-1，x）英尺（dx |高-1） 这样pt（ht-1、·）是一个可测量的Pt（ht）选择-1, ·);2.

ft（ht）-1) ∈ 我∈IM（Ati（ht）-1） ）是子博弈中的纳什均衡-1带付款人（ht）-1、·）和行动sp aceQi∈IAti（ht）-1);3.ut（·ht）-1） =pt（ht）-1, ·) o 英尺（·英尺）-1).第二步。由于Ptis在{（ht）上半连续-1，xt）：ht-1.∈ Hmt-1，xt∈At（ht）-1） 根据引理15，存在一个Borel可测映射gmsuchthat（1）gm（ht）-1，xt）∈ Pt（ht-1，xt）用于任何ht-1.∈ Hmt-1和xt∈ At（ht）-1） 和（2）总经理（ht）-1，xt）=pt（ht-1，xt）表示英尺（·ht）-1） -几乎全部。修正Pt的任意可测钻孔选择g′。从Gr（At）toRnasg（ht）中定义Borel可测量映射-1，xt）=总经理（ht）-1，xt）如果ht-1.∈ Hmt-1对于m≥ 1.g′（ht）-1，xt）否则。那么g是Pt的一个Borel可测选择。在子游戏中-1.∈~Ht-1、letBti（ht）-1） ={yi∈ Ati（ht）-1） ：扎特(-i） （ht）-1） gi（ht）-1，易，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） >ZAt（ht）-1） pti（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1)}.自g（ht）以来-1，xt）=pt（ht-1，xt）表示英尺（·ht）-1） -几乎所有的xt，ZAt（ht-1） g（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1） =ZAt（ht）-1） pt（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1).因此，Btis是一个可测量的对应关系-1至Ati（ht）-1). 让Bcti（ht-1） =Ati（ht）-1） \\Bti（ht）-1） 对于每个ht-1.∈ Ht-1.那么BCTI是一个可测的闭值对应，它有一个通过引理2得到的Borel可测图。因此，Btialso有一个Borel测量图。作为ft（ht）-1） 纳什均衡是子博弈吗-1.∈~Ht-1带付款人（ht）-1、·）、fti（Bti（ht）-1） | ht-1) = 0.表示βi（ht-1，xt）=最小Pti（ht-1，xt），其中Pti（ht-1，xt）是Pt（ht）的投影-1，xt）在第i维上。那么对应关系pti是可测的、紧值的，βiis-Borel是可测的。设∧i（ht）-1，xt）={βi（ht）-1，xt）}×[0，γ]n-1，其中γ>0是Pt的上边界。表示∧′i（ht）-1，xt）=∧i（ht）-1，xt）∩ Pt（ht）-1，xt）。然后∧′iis是一个可测的紧值对应，因此有一个Borel可测选择β′i。注意，β′iis是Pt的Borel可测选择。

Letgt（ht）-1，xt）=β′i（ht）-1，xt）如果ht-1.∈~Ht-1，xti∈ Bti（ht）-1） 和xtj/∈ Btj（ht）-1), j6=i；g（ht）-1，xt）否则。注意{（ht）-1，xt）∈ Gr（At）：ht-1.∈~Ht-1，xti∈ Bti（ht）-1） 和xtj/∈ Btj（ht）-1), j 6=i；}=Gr（At）∩ ∪我∈我（Gr（Bti）×Yj6=iXtj）\\(∪j6=i（Gr（Btj）×Yk6=jXtk））,这是一套Borel套装。因此，GT是一种Borel可测量的Pt选择。此外，gt（ht-1，xt）=pt（ht-1，xt）适用于所有ht-1.∈~Ht-1英尺（·|高）-1） -几乎全部。修好一个su bgame ht-1.∈~Ht-1.我们将展示ft（·ht）-1） 纳什均衡是否会产生收益（ht）-1、·）在子游戏ht中-1.假设玩家i偏离某个动作xti。如果xti∈ Bti（ht）-1） ，那么玩家i的预期回报是(-i） （ht）-1） gti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） =ZQj6=iBctj（ht）-1） gti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） =ZQj6=iBctj（ht）-1） βi（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1)≤ZQj6=iBctj（ht-1） pti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） =扎特(-i） （ht）-1） pti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1)≤扎特（ht）-1） pti（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1） =ZAt（ht）-1） gti（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1).自ftj（Btj（ht）以来，第一次和第三次平局持续-1） | ht-1） =0 f或每个j，因此为ft(-i） （Qj6=iBctj（ht）-1） | ht-1） =英尺(-i） （在(-i） （ht）-1） | ht-1). 第二个等式和第一个不等式是由于gti（ht-1，~xti，xt(-i） ）=βi（ht-1，~xti，xt(-i） ）=最小Pti（ht）-1，~xti，xt(-i） )≤ pti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）为xt(-（一）∈Qj6=iBctj（ht-1). 第二个不平等性自《金融时报》以来一直存在-1） 纳什均衡是否会产生回报（ht）-1、·）在子游戏ht中-1.

第四个等式来自gt（ht-1，xt）=pt（ht-1，xt）表示英尺（·ht）-1） -几乎全部。如果xti/∈ Bti（ht）-1） ，那么玩家i的预期回报是(-i） （ht）-1） gti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） =ZQj6=iBctj（ht）-1） gti（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） =ZQj6=iBctj（ht）-1） gi（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1） =扎特(-i） （ht）-1） gi（ht）-1，~xti，xt(-i） ）英尺(-i） （dxt）(-i） | ht-1)≤扎特（ht）-1） pti（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1） =ZAt（ht）-1） gti（ht）-1，xt）ft（dxt | ht-1).第一个和第三个等式自那时起成立(-（一）Yj6=iBctj（ht-1） | ht-1.= 英尺(-i） （在(-i） （ht）-1） | ht-1).第二个等式是由于gti（ht-1，~xti，xt(-i） ）=gi（ht-1，~xti，xt(-i） ）为xt(-（一）∈Qj6=iBctj（ht-1). 第一个不平等源于Bti的定义，第四个不平等源于sin ce gt（ht）-1，xt）=pt（ht-1，xt）表示英尺（·ht）-1） -almostall xt。因此，p层i不能通过对任何i层的h is策略的单方面改变来提高其在子博弈中的收益∈ 一、 这意味着ft（·| ht-1） 是一个纳什均衡给定的报酬（ht）-1、·）在子游戏ht中-1.第三步。任何（ht）-1，xt）∈ Gr（At）、Pt（ht）-1，xt）=ZStQt+1（ht-1，xt，st）ft0（dst | ht-1).通过引理6，存在一个从Gr（Pt）×st到rn1的Borel可测映射q。q（ht）-1、xt、e、st）∈ Qt+1（ht）-1，xt，st）表示任何（ht-1、xt、e、st）∈ Gr（Pt）×St；2.e=RStq（ht）-1，xt，e，st）ft0（dst | ht-1） 任何（ht）-1，xt，e）∈ Gr（Pt），其中（ht-1，xt）∈ Gr（At）。Letqt+1（ht-1，xt，st）=q（ht-1，xt，gt（ht-1，xt），st）表示任何（ht）-1，xt，st）∈ 嗯。那么qt+1是qt+1的Borel可测量选择。对于（ht）-1，xt）∈ Gr（At）、gt（ht）-1，xt）=ZStq（ht-1，xt，gt（ht-1，xt），st）ft0（dst | ht-1） =ZStqt+1（ht-1，xt，st）ft0（dst | ht-1).因此，我们有一个Borel可测量选择qt+1或qt+1，以及一个Borel可测量映射ping ft:Ht-1.→ 我∈IM（Xti）使f或所有ht-1.∈~Ht-1、性能（1）-（3）满足要求。

证据是完整的。如果一个动态博弈对于某个正整数T只有T个阶段≥ 1，那么对于任何hT，letQT+1（hT）={u（hT）}∈ HT，Qt=Φ（Qt+1）为1≤ T≤ T- 1.我们可以从最后一个周期开始反向诱导，在初始周期停止，然后从初始周期到最后一个周期进行正向诱导。因此，以下推论是直接的。推论4。任何具有手臂条件的有限水平动态博弈都有一个完全均衡。5.3.3有限层位案例选择一个序列ξ=（ξ，ξ，…）使得（1）ξmis是来自hm的转移概率-1到M（Xm）对于任何M≥ 1和（2）ξm（Am（hm-1） |嗯-1） =1表示任意m≥ 1和hm-1.∈ 陛下-1.表示所有ξ的集合，如Υ。修正任何错误≥ 1.定义通信和TTA在子游戏中遵循s:-1，Ξtt（ht）-1） =M（At（ht）-1))  λt，和tt（ht）-1） =M（At（ht）-1))  ft0（ht-1).对于任何m>t，假设对应关系Ξm-1和M-1已定义。然后，我们可以定义通信Ξmt:Ht-1.→ MQt≤M≤m（Xm×Sm）和mt:Ht-1.→ MQt≤M≤m（Xm×Sm）如下：Ξmt（ht）-1） ={g（ht）-1)  （ξm（ht）-1, ·)  λm）：g是Ξm的Borel m可测选择-1t，ξM（Am）}的Borel可测选择，以及mt（ht）-1） ={g（ht）-1)  （ξm（ht）-1, ·)  fm（ht）-1，·）：g是一个Borel可测量的选择M-1t，ξmis是M（Am）}的Borel可测选择，其中M（Am）被视为与Hm的对应-1到Xm上的钻孔概率集。对任何人来说≥ t、 设ρm（ht）-1,ξ)∈ Ξmtbe the probability on qt≤M≤由{λm}t诱导的m（Xm×Sm）≤M≤mand{ξm}t≤M≤m、 及m（ht）-1,ξ)∈ 在QT上的概率≤M≤由{fm0}t诱导的m（Xm×Sm）≤M≤mand{ξm}t≤M≤m、 然后是Ξmt（ht-1） 是所有这些ρm（ht）的集合-1，ξ），以及mt（ht）-1） 这是所有这些的集合吗m（ht）-1,ξ).

注意m（ht）-1,ξ)∈ mt（ht）-1） i仅当ρm（ht-1,ξ)∈ Ξmt（ht）-1） ，和m（ht）-1，ξ）和ρm（ht-1，ξ）都可以被视为Hm（ht）的概率测度-1).同样，让ρ（ht-1，ξ）是qm上的概率≥由{λm}m诱导的t（Xm×Sm）≥tand{ξm}m≥t、 及（ht）-1，ξ）qm上的概率≥由{fm0}m诱导的t（Xm×Sm）≥tand{ξm}m≥t、 表示对应关系Ξt:Ht-1.→ M（Ym）≥t（Xm×Sm））作为所有s-uchρ（ht）的集合-1，ξ），以及t:Ht-1.→ M（Ym）≥t（Xm×Sm））作为所有s-uch的集合（ht）-1,ξ).引理17。对任何人来说≥ t和ht-1.∈ Ht-1.m（ht）-1,ξ)=Yt≤M≤m0（高温）-1, ·)o ρm（ht）-1,ξ).证据修正ξ∈ Υ和Borel子集Cm XM和Dm SMM≥ t、 首先，我们有t（ht）-1，ξ（Ct×Dt）=ξt（Ct | ht-1） ·ft0（Dt | ht-1） =ZXt×StδCt×Dt（xt，St）~nt0（ht）-1，st）（ξt（ht）-1)  λt）（d（xt，st）），哪个imp位于t（ht）-1，ξ）=Фt0（ht）-1, ·) o ρt（ht）-1,ξ).假设m（ht）-1,ξ)=Qt≤M≤m0（高温）-1, ·)o ρm（ht）-1，ξ）对于某些m≥ t、 然后m+1（ht）-1,ξ)Yt≤M≤m+1（厘米×厘米）= m（ht）-1,ξ) （ξm+1（ht）-1, ·)  f（m+1）0（ht）-1, ·))Yt≤M≤m+1（厘米×厘米）为了我≥ T≥ 1和ht-1.∈ Ht-1、功能φm0（ht-1、·）在Hm上定义-1（ht）-1） x Sm，它是可测量的，并且在qt上是连续的≤K≤M-1Xk。由外稃4，аm0（ht-1、·）可扩展为可测量函数-1、·）在产品上≤K≤M-1Xk×Qt≤K≤mSk，在QT上也是连续的≤K≤M-1Xk。给定任何ξ∈ Υ，因为ρm（ht-1，ξ）集中在Hm（ht）上-1） ，~nm0（高温）-1, ·) o ρm（ht）-1，ξ）＝'аm0（ht）-1, ·) o ρm（ht）-1,ξ ). 为了简单起见，我们仍然使用m0（ht-1，·），而不是'~nm0（ht-1，·），表示上述扩展。类似地，我们可以根据需要对Payoff函数u进行适当的扩展=ZQt≤M≤m（Xm×Sm）ZXm+1×Sm+1δQt≤M≤m+1（Cm×Dm）（xt，…，xm+1，st，…，sm+1）·ξm+1 f（m+1）0（d（xm+1，sm+1）| ht-1，xt，xm，圣，sm）m（ht）-1，ξ）（d（xt，…，xm，st，…，sm）|ht-1） =ZQt≤M≤m（Xm×Sm）ZSm+1ZXm+1δQt≤M≤m+1（Cm×Dm）（xt，…，xm+1，st，…，sm+1）·ν（m+1）0（ht-1，xt。

，xm，st，sm+1）ξm+1（dxm+1 | ht-1，xt，xm，圣，sm）λ（m+1）0（dsm+1）Yt≤M≤m0（高温）-1，xt，xm-1号街，sm）ρm（ht）-1，ξ）（d（xt，…，xm，st，…，sm）|ht-1） =ZQt≤M≤m+1（Xm×Sm）δQt≤M≤m+1（Cm×Dm）（xt，…，xm+1，st，…，sm+1）·Yt≤M≤m+1~nm0（高温）-1，xt，xm-1号街，sm）ρm+1（ht）-1，ξ）（d（xt，…，xm，st，…，sm）|ht-1） ，哪个小鬼撒谎m+1（ht）-1,ξ)=Yt≤M≤m+1~nm0（高温）-1, ·)o ρm+1（ht）-1,ξ).证据是完整的。引理18。1.对于任何t≥ 1.信件mt是非空紧值的，在Xt上是分段连续的-1对于任何m≥ t、 二,。无论如何≥ 1.对应关系它是非空的，紧值的，在Xt上是分段连续的-1.证据。（1） 我们首先证明了对应关系Ξmt是非空的、紧值的，并且在Xt上是分段连续的-1对于任何m≥ t考虑m=t的情况≥ 1.whereΞtt（ht）-1） =M（At（ht）-1))  λt是非空的紧值，在Xt上是分段连续的-1，Ξtti是非空紧值的，且在Xt上是分段连续的-1.现在假设th atΞmt是非空且紧值的，并且在Xt上是分段连续的-1对于一些m≥ T≥ 1.注意Ξm+1t（ht-1） ={g（ht）-1)  （ξm+1（ht）-1, ·)  λ（m+1））：g是Ξmt的Borel m可测选择，ξm+1是m（Am+1）的Borel可测选择。定义一封来自Ht的信件-1×Stto Xtas Att（ht）-1，st）=At（ht-1).然后是非空紧值，在Xt上是分段连续的-1和hasa B（Xt×St）-可测图。对于任何（s，…，st），自Ht以来-1（s，…，st.）-1） iscompact和At（·，s，…，st.）-1） Att（·，s，…，st）是连续且紧值的，通过引理3（6）有一个紧图。不管怎样-1.∈ Ht-1和τ∈ Ξtt（ht）-1） ，Stiλ和τ（Gr（Att（ht））上τ的边缘-1, ·))) = 1.对于任何m>t，假设-1t:Ht-1×Yt≤M≤M-1Sm→Yt≤M≤M-XM的定义如下：。

它是非空的，紧值的，部分上半连续的-1，并且有一个B（Xm-1×Sm-1） -可测量图；2.对于任何sm-1） ，Am-1t（·，s，…sm）-1） 有一个紧凑的图形；3.任何时候-1.∈ Ht-1和τ∈ Ξm-1t（高温）-1） ，τonQt的边缘≤M≤M-1SmisT≤M≤M-1λmandτ（Gr（Am-1t（高温）-1, ·))) = 1.我们定义了一个通信金额：Ht-1×Qt≤M≤男同性恋者→Qt≤M≤具体如下：金额（ht）-1号街，sm）={（xt，…，xm）：xm∈ Am（ht）-1，xt，xm-1号街，SM-1） ，（xt，…，xm）-1) ∈ 是-1t（高温）-1号街，SM-1)}.很明显，Amtis是非空值的。对于任何（s，…，sm），sinceAm-1t（·，s，…sm）-1） 有一个紧凑的图和Am（·，s，…，sm）-1） Amt（·，s，….sm）是连续且紧值的，它有一个由L emma3（6）构成的紧图，这意味着Amt是紧值且部分上半连续的-1.此外，Gr（Amt）=Gr（Am）×Sm，这是B（Xm×Sm）-可测量的。不管怎样-1.∈ Ht-1和τ∈ Ξmt（ht）-1） 很明显，τonQt的边缘≤M≤mSmisT≤M≤mλ和τ（Gr）（Amt（ht-1, ·))) = 1.通过引理13，Ξm+1是非空且紧值的，并且在Xt上是半连续的-1.现在我们展示了mt是非空的，紧值的，在Xt上是分段连续的-1对于任何m≥ t、 鉴于圣-1和序列{xk，xk，…，xkt-1} ∈ Ht-1（圣-1） 一个人≤ K≤ ∞. 莱什克特-1=（st）-1，（xk，xk，…，xkt）-1)). 很明显MTI是非空值的，我们首先证明MTI在Xt上部分上半连续-1.假设m（香港时间）-1，ξk）∈ mt（香港时间）-1） f或1≤ k<∞ 和（xk，xk，…，xkt-1) → （十）∞, 十、∞, . . . , 十、∞T-1） ，我们需要证明存在一些ξ∞这样一个子序列m（香港时间）-1，ξk）弱收敛于m（h）∞T-1,ξ∞)和m（h）∞T-1,ξ∞)∈ mt（h）∞T-1).因为Ξmt在Xt上是分段上半连续的-1.存在一些ξ∞使得ρm（hkt-1，ξk）弱收敛于ρm（h）∞T-1,ξ∞)和ρm（h）∞T-1,ξ∞)∈ Ξmt（h）∞T-1).

然后m（h）∞T-1,ξ∞)∈ mt（h）∞T-1).对于任意有界连续函数ψonQt≤M≤m（Xm×Sm），设χk（xt，…，Xm，st，…，Sm）=ψ（xt，…，Xm，st，…，Sm）·Yt≤M≤m0（hkt）-1，xt，xm-1号街，sm）。那么{χk}是满足下列性质的函数序列。1.对于每个k，X.2上的χkis共同可测和d截面连续。对于任意（st，…，sm）和任意序列（xkt，…，xkm）→ （十）∞T十、∞m） 在X中，χk（xkt，…，xkm，st，…，sm）→ χ∞（十）∞T十、∞m、 圣，sm）作为k→ ∞.3.序列{χk}1≤K≤∞是可积有界的。通过引理14，如k→ ∞ ,ZQt≤M≤m（Xm×Sm）χk（xt，…，Xm，st，…，Sm）ρm（hkt）-1，ξk）（d（xt，…，xm，st，…，sm））→ZQt≤M≤m（Xm×Sm）χ∞（xt，…，xm，st，…，sm）ρm（h）∞T-1,ξ∞)（d（xt，…，xm，st，…，sm））。然后通过引理17，ZQt≤M≤m（Xm×Sm）ψ（xt，…，Xm，st，…，Sm）m（香港时间）-1，ξk）（d（xt，…，xm，st，…，sm））→ZQt≤M≤m（Xm×Sm）ψ（xt，…，Xm，st，…，Sm）m（h）∞T-1,ξ∞)（d（xt，…，xm，st，…，sm）），这意味着m（香港时间）-1，ξk）弱收敛于m（h）∞T-1,ξ∞). 因此Mt在Xt上部分上半连续-1.如果选择ht-1=ht-1=··=h∞T-1，那么我们确实证明了这一点它是紧值的。在上面的论证中，我们确实证明了如果ρm（hkt-1，ξk）弱收敛于ρm（h）∞T-1,ξ∞), 然后m（香港时间）-1，ξk）弱收敛于m（h）∞T-1,ξ∞).左边是嘘MTI在Xt上部分降低半连续-1.假设（xk，xk，…，xkt）-1) → （十）∞, 十、∞, . . . , 十、∞T-1） 及m（h）∞T-1,ξ∞)∈ mt（h）∞T-1） 我们需要证明存在一个子序列{（xkm，xkm，…，xkmt）-1） {（xk，xk，…，xkt）的}-1） }和m（hkmt）-1，ξkm）∈ mt（hkmt）-1） 每公里m（hkmt）-1，ξkm）弱收敛于m（h）∞T-1,ξ∞).自从m（h）∞T-1,ξ∞)∈ mt（h）∞T-1） 我们有ρm（h）∞T-1,ξ∞)∈ Ξmt（h）∞T-1). 因为Ξmt在Xt上是半连续的-1，存在{（xk，xk。

，xkt-1） }和ρm（hkt-1，ξk）∈ Ξmt（香港时间）-1） 对于每个k，ρm（hkt-1，ξk）弱收敛于ρm（h）∞T-1,ξ∞). 因此m（香港时间）-1，ξk）弱收敛于m（h）∞T-1,ξ∞), 这意味着MTI在Xt上部分降低h，并持续-1.因此，mt是非空的，紧值的，在Xt上是分段连续的-1对于任何m≥ t、 （2）我们证明了这一点它是非空的、紧值的，并且在Xt上是连续的-1.显而易见它是非空值的，我们首先证明它是紧值的。给定ht-1和序列{τk} t（ht）-1） 存在一个{ξk}k序列≥1使ξk=（ξk，ξk，…）∈ Υ和τk=（ht）-1，ξk）对于每个k.By（1），Ξtti是紧凑的。然后存在一个可测映射，使得（1）gt=（ξ，…，ξt-1，gt，ξt+1，…）∈ 和（2）ρt（ht-1，ξk）弱收敛于ρt（ht）-1，gt）。注意，{ξkt+1}是M（At+1）的一个Borel可测选择。根据L emma13，有一个Borel可测选择gt+1 of M（At+1），这样就有一个{ρt+1（ht）的子序列-1，ξk）}，say本身，弱收敛于ρt+1（ht）-1，gt+1），其中gt+1=（ξ，…，ξt-1，gt，gt+1，ξt+2，…）∈ Υ.重复这个过程，可以构造一个Borel可测映射g，比如ρ（ht-1，g）是{ρ（ht）的收敛点-1，ξk）}。因此（ht）-1，g）是{（ht）-1，ξk）}。断层上半连续性t遵循与上述类似的论点。特别是考虑到-1和序列{xk，xk，…，xkt-1}  Ht-1（圣-1） 叉子≥ 0.让香港电讯-1=（st）-1，（xk，xk，…，xkt）-1)). 假设（xk，xk，…，xkt-1) →（x，x，…，xt）-1). 如果{τk} t（香港时间）-1） 为了k≥ 1和τk→ τ、 那么我们可以证明τ∈ t（ht）-1） 通过重复上述证明中类似的论点。最后，我们考虑了t、 假设τ∈ t（ht）-1). 然后存在一些ξ∈ Υ使得τ=（ht）-1,ξ). 表示∧τm=m（ht）-1,ξ)∈ mt（ht）-1） 为了我≥ T

像mt是连续的，对于每m，存在一些ξm∈ Υ以至于(m（hkmt）-1，ξm），τm）≤M对于kmsu非常大，其中D是Prokhorov度量。设τm=（hkmt）-1，ξm）。然后τm很弱地收敛到τ，这意味着这是一个局部低半连续的。定义对应关系Qτt:Ht-1.→ Rn++如下：Qτt（ht-1) ={RQm≥t（Xm×Sm）u（ht-1，x，s）（ht）-1，ξ）（d（x，s））：（ht）-1,ξ)∈ t（ht）-1)}; t>τ；Φ（Qτt+1）（ht）-1） t≤ τ.表示Q∞t=∩τ ≥1Qτt引理19。对于任何t，τ≥ 1，Qτ是有界的，可测的，非空的，紧值的，并且在Xt上基本上是分段上半连续的-1.证据。我们分三步证明引理。第一步。修正t>τ。我们将在Xt上显示Qτ有界、非空、紧值且分段上半连续的th-1.Qτ的有界性和非空性是明显的。我们将证明qτ在Xt上是分段上半连续的-1.考虑到-1和序列{xk，xk，…，xkt-1}  Ht-1（圣-1） 为了k≥ 0.让香港电讯-1=（st）-1，（xk，xk，…，xkt）-1)).假设ak∈ Qτt（hkt）-1） 为了k≥ 1，（xk，xk，…，xkt）-1) → （x，x，…，xt）-1） 安达克→ a、 我们需要证明∈ Qτt（ht）-1).根据定义，存在一个序列{ξk}k≥1Soch thatak=ZQm≥t（Xm×Sm）u（hkt）-1，x，s）（香港时间）-1，ξk）（d（x，s）），其中ξk=（ξk，ξk，…）∈ Υ每k.As它在Xt上是紧值且分段连续的-1.存在一些问题（ht）-1,ξ)∈ t（ht）-1） 以及一系列（香港时间）-1，ξk），它弱收敛于（ht）-对于ξ=（ξ，ξ，…）∈ Υ.我们将展示a=ZQm≥t（Xm×Sm）u（ht-1，x，s）（ht）-1，ξ）（d（x，s））。为此，我们只需要证明，对于任何δ>0，A.-ZQm≥t（Xm×Sm）u（ht-1，x，s）（ht）-1，ξ）（d（x，s））< δ. （3） 由于博弈在本质上是连续的，因此存在一个正整数M≥ t求任意m>m的wm<δ。对于每个j>M，通过引理4，存在一个可测选择ξ′jof M（Aj），使得ξ′jis在Xj上是分段连续的-1.

嗯→Qm>M（Xm×Sm）是由（ξ′M+1，ξ′M+2，…）引起的跃迁概率和{f（M+1）0，f（M+2）0，…}。通过引理9，μ是可测量的，并且在XM上是连续的。LetVM（ht）-1，xt，xM，圣，sM）=ZQm>M（Xm×sM）u（ht-1，xt，xM，圣，sM，x，s）du（x，s | ht-1，xt，xM，圣，sM）。那么vm是有界的和可测的。此外，VMI在XMby引理14上是分段连续的。对于任何k≥ 0，我们有ZQm≥t（Xm×Sm）u（hkt）-1，x，s）（香港时间）-1，ξk）（d（x，s））-ZQt≤M≤M（Xm×Sm）VM（hkt）-1，xt，xM，圣，sM）M（香港时间）-1，ξk）（d（xt，…，xM，st，…，sM））≤ wM+1<δ。自从（香港时间）-1，ξk）弱收敛于（ht）-1，ξ）和M（香港时间）-1，ξk）是（香港时间）-1，ξk）onQt≤M≤M（Xm×Sm）f或任意k≥ 0，序列号M（香港时间）-1，ξk）也很脆弱M（ht）-1,ξ). 通过引理14，我们得到了| ZQt≤M≤M（Xm×Sm）VM（hkt）-1，xt，xM，圣，sM）M（香港时间）-1，ξk）（d（xt，…，xM，st，…，sM））-ZQt≤M≤M（Xm×Sm）VM（ht）-1，xt，xM，圣，sM）M（ht）-1，ξ）（d（xt，…，xM，st，…，sM））|<k的δ≥ K、 其中Kis是一个足够大的正整数。此外，还存在一个正整数k，如| ak- k的a |<δ≥ 结合上述性质，我们证明了不等式（3），这意味着Qτ在Xt上是分段半连续的-1对于t>τ。此外，为了证明Qτ是紧值的，我们只需要考虑{xk，xk，…，xkt-1} ={x，x，…，xt-1} 对于任何k≥ 0，然后重复上述证明。第二步。修正t>τ，我们将证明Qτ是可测量的。固定一个序列（ξ′，ξ′，），式中，ξ′jis是在sj中可测量的M（Aj）的选择-1在xj中连续-1对于每个j.对于任何M≥ t、 letWMM（ht）-1，xt，xM，圣，sM）=（ZQm>M（Xm×sM）u（ht）-1，xt，xM，圣。

，sM，x，s）（ht）-1，xt，。。。，xM，圣，。。。，sM，ξ′（d（x，s）））。通过外稃9，（ht）-1，xt，。。。，xM，圣，。。。，sM，ξ′）从HM到M是可测量的Qm>M（Xm×Sm）,在XM上是连续的。因此，WMMis有界、可测、非空、凸和紧值。通过引理14，WMMis在XM上是分段连续的。假设有一段时间≤ J≤ M、 Wjm被定义为有界的、可测的、非空的、凸的和紧值的，并且在xj上是分段连续的。LetWj-1M（高温）-1，xt，xj-1号街，sj-1) =ZXj×SjwjM（ht-1，xt，xj街，sj）j（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1，ξ）（d（xj，sj））：j（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1,ξ)∈ jj（ht）-1，xt，xj-1号街，sj-1） WjM是WjM的Borel可测选择.设ˇSj=Sj。Sin-ceZXj×SjWjM（ht-1，xt，xj街，sj）j（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1，ξ）（d（xj，sj））=ZSjZXjסSjWjM（ht）-1，xt，xj街，sj）ρj（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1，ξ）（d（xj，ˇsj））·ˇj0（ht）-1，xt，xj-1号街，sj）λj（dsj），我们有wj-1M（高温）-1，xt，xj-1号街，sj-1) =ZSjZXjסSjwjM（ht-1，xt，xj街，sj）ρj（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1，ξ）（d（xj，ˇsj））·ˇj0（ht）-1，xt，xj-1号街，sj）λj（dsj）：ρj（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1,ξ)∈ Ξjj（ht）-1，xt，xj-1号街，sj-1） WjM是WjM的Borel可测选择.让WjM（ht）-1，xt，xj-1号街，sj）=ZXjסSjwjM（ht-1，xt，xj街，sj）·ρj（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1，ξ）（d（xj，ˇsj））：ρj（ht）-1，xt，。。。，xj-1号街，。。。，sj-1,ξ)∈ Ξjj（ht）-1，xt，xj-1号街，sj-1） WjM是WjM的Borel可测选择.自WjM（ht）以来-1，xt，xj街，sj）在xjand中是连续的，不依赖于ˇsj，它在（xj，ˇsj）中是连续的。此外，wjm是有界的、可测的、非空的、凸的和紧值的。

通过引理10，ˋwjm在Xj上是有界的、可测的、非空的、紧值的、分段连续的-1.很容易看到atWj-1M（高温）-1，xt，xj-1号街，sj-1） =ZSjˇWjM（ht）-1，xt，xj-1号街，sj）νj0（ht）-1，xt，xj-1号街，sj）λj（dsj）。通过引理5，它在Xj上是有界的、可测的、非空的、紧值的、分段连续的-1.让我们=∪M≥行波管-100万。也就是说，W是∪M≥tWM，由于外稃3，它是可测量的。首先，W Qτt因为Wt-1米 每个M的Qτt≥ t和Qτ是紧值的。第二，Fix ht-1和q∈ Qτt（ht）-1). 然后存在一个映射ξ∈ Υq=ZQm≥t（Xm×Sm）u（ht-1，x，s）（ht）-1，ξ）（d（x，s））。为了我≥ t、 letVM（ht）-1，xt，xM，圣，sM）=ZQm>M（Xm×sM）u（ht-1，xt，xM，圣，sM，x，s）（ht）-1，xt，。。。，xM，圣，。。。，sM，ξ）（x，s）和qm=ZQt≤M≤M（Xm×Sm）VM（ht）-1，x，s）M（ht）-1，ξ）（d（x，s））。因为dyn amic游戏在本质上是连续的，qM→ q、 这就意味着∈ W（ht）-1） 和Qτt W因此，W=Qτt，因此Qτ可测量为t>τ。第三步。对于t≤ τ、 我们可以从Qτ+1开始。重复第5节中的反向归纳法。3.1，我们知道Qτ也是有界的、可测的、非空的、紧值的，并且在Xt上基本上是分段上半连续的-1.以下三个引理表明Q∞t（ht）-1） =Φ（Q）∞t+1）（ht-1） =Et（ht）-1） 对于λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-引理20。1.通信Q∞它是有界的、可测的、非空的、紧值的，在Xt上基本上是分段上半连续的-1.2. 无论如何≥ 1，Q∞t（ht）-1） =Φ（Q）∞t+1）（ht-1） 对于λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1.证据。（1） 很明显，Q∞这是有界的。引理3（2），Q∞这是可衡量的。很容易看出，如果τ≥ τ、 那么Qτt Qτt.由于Qτ是非空且紧值的，Q∞它是非空且紧凑的。修正任何错误-1.∈ 圣-因此Qτt（·，st-1） 上半部分是连续的吗-1（圣-1） f或任意τ。

引理3（7），Q∞t（·，圣-1） 上半部分是连续的吗-1（圣-1). 因为Qτ在Xt上基本上是上半连续的-1对于每个τ，Q∞在Xt上基本上是上半连续的-1.（2）对于任意τ，Φ（Q∞t+1）（ht-1)  Φ（Qτt+1）（ht）-1)  Qτt（ht）-1） ，和hΦ（Q∞t+1）（ht-1)  Q∞t（ht）-1).空间{1，2。∞} 是一个具有以下度量的可数紧集：d（k，m）=| k-m | f或任何1≤ k、 m≤ ∞. 序列{Qτt+1}1≤τ≤∞可被视为Ht×{1，2，∞} 对于Rn，它是可测的，非空的，紧值的，并且在Xt×{1，2，…，上基本上是分段上半连续的，∞}. 第5节中的反向归纳法。3.1证明Φ（Qt+1）是可测的、非空的、紧值的，并且在Xt×{1,2，∞ }.由于Φ（Qt+1）在Xt×{1，2，…，上基本上是分段上半连续的，∞},存在一个可测量的子集71st-1. 圣-那么λt-1（ˇSt）-1） =1和Φ（Qt+1）（·，·，ˇst-1） 上半身是连续的吗-1.∈ˇSt-1.修复-1.∈ˇSt-1.对于ht-1=（xt）-第1街-1) ∈ Ht-1和a∈ Q∞t（ht）-1） ，根据其定义∈ Qτt（ht）-1） =Φ（Qτt+1）（ht）-1） 对于τ≥ t、 因此∈ Φ（Q）∞t+1）（ht-1).总之，Q∞t（ht）-1） =Φ（Q）∞t+1）（ht-1） 对于λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1.虽然Qτt的定义涉及τ<t的相关策略，但下面的引理表明，由于多个层次中的反向诱导的组合，人们可以在平衡回报方面使用混合策略。引理21。如果CTI是Φ（Q）的可测量选择∞t+1），然后是ct（ht-1） 是λt的子博弈完美平衡支付向量-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1.LMAS 20和22的证明遵循标准思路，并进行了一些修改；例如，见哈里斯（1990）、哈里斯、雷尼和罗布森（1995）和马里奥蒂（2000）。证据在不丧失一般性的情况下，我们只证明了t=1的情况。

假设cisa是Φ（Q）的可测选择∞). 递归应用命题5获得可测钻孔映射{fki}i∈伊弗·k≥ 1.也就是说，对于任何k≥ 1.存在可测量的CKQ选择∞k对于λk是这样的-1-几乎所有香港-1.∈ 香港-1,1. fk（香港）-1） 子博弈中是否存在纳什均衡-1、动作空间是Aki（香港）-1） 对于球员i∈ 一、 Payoff函数由ZSKCK+1（hk）给出-1、·sk）fk0（dsk | hk-1).2.ck（香港）-1） =扎克（香港）-1） ZSkck+1（香港）-1，xk，sk）fk0（dsk | hk-1） fk（dxk |香港）-1).我们需要证明c（h）是λ-几乎所有h的子博弈完美平衡支付向量∈ 首先，我们知道{fki}i∈这是一个子博弈完美均衡。修正一个玩家和一个策略gj={gkj}k≥1.根据一步偏差原理，它可以显示任何t′的≥ 1，λt′-1-几乎所有ht\'-1，以及任何δ>0，ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，f）（d（x，s））>ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f）-j、 )gj)(d(x,s)- δ、 式中，gj=（g1j，…，gt′j，f（t′+1）j，f（t′+2）j，…）。由于博弈在本质上是连续的，因此存在一个正整数m>t′，使得任意m的wm<δ≥ M.Lemma20，ck（香港）-1) ∈Φ（Q）∞k+1）（香港）-1） =Q∞k（香港）-1) = ∩τ ≥1Qτk（hk）-1） 对于λk-1-几乎所有香港-1.∈ 香港-1.因为Qτk=Φτ-k+1（Qτ+1）表示k≤ τ、 ck（香港）-1) ∈ ∩τ ≥1Φτ -k+1（Qτ+1）（香港）-1) ΦM-k+1（QMM+1）（香港）-1） 对于λk-1-几乎所有香港-1.∈ 香港-1.因此，存在QMM+1的Borel可测量选择w和λM的策略文件ξ-1-几乎所有hM-1.∈ 陛下-1,1. fM（hM）-1） 子博弈中是纳什均衡吗-1，其中actionspace是AMi（hM-1） 对于球员i∈ 一、 Payoff函数由byZSMw（hM）给出-1、·sM）fM0（dsM | hM-1).2.厘米（公顷）-1） =ZAM（hM）-1） ZSMw（hM）-1，xM，sM）fM0（dsM | hM-1） fM（dxM | hM-1).3. w（hM）=RQm≥M+1（Xm×Sm）u（hM，x，s）（hM，ξ）（d（x，s））。因此，我们有1。对于λ-几乎所有h∈ H、 c（H）=ZQm≥1（Xm×Sm）u（h，x，s）（h，f′）（d（x，s）），其中f′kis fkif k≤ M、 ξkif k≥ M+1；2.

一个人≤ K≤ M、 fk（香港）-1） 在子游戏hk中是纳什均衡吗-1对于λk-1几乎所有香港-1.∈ 香港-1.活动空间为Aki（香港）-1） 对于球员i∈ 一、 支付函数由zskqm给出≥k+1（Xm×Sm）u（香港）-1、xk、sk、x、s）（（香港）-1，xk，sk），f′（d（x，s））fk0（dsk|hk-1).设g′j=（g1j，…，gt′j，f（t′+1）j，fMj，ξ（M+1）j，…）。通过（2），对于λt′-1-almostall ht\'-1.∈ Ht′-1，ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f′）-j、 f′j））（d（x，s））≥ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f′）-j、 ~g′j））（d（x，s））。此外，对于任何ht\'-1，ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f′）-j、 ~g′j））（d（x，s））>ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f）-j、 )gj)(d(x,s)-δ、 andZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f）-j、 fj））（d（x，s））>ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f′）-j、 f′j））（d（x，s））-δ.因此，对于λt′-1-几乎所有ht\'-1.∈ Ht′-1，ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f）-j、 fj））（d（x，s））>ZQm≥t′（Xm×Sm）uj（ht′）-1，x，s）（ht′）-1，（f）-j、 )gj)(d(x,s)- δ、 哪个小鬼撒谎说{fki}i∈这是一个子博弈完美均衡。然后我们证明了对于λ-几乎所有h∈ H、 c（H）=ZQm≥1（Xm×Sm）u（h，x，s）（h，f）（d（x，s））。如（1）所示，对于任何正整数M，存在一个策略文件ξ，例如对于λ-几乎所有h∈ H、 c（H）=ZQm≥1（Xm×Sm）u（h，x，s）（h，f′）（d（x，s）），其中f′kis fkif k≤ M、 ξkif k≥ M+1。由于游戏在实体中是连续的，RQm≥1（Xm×Sm）u（h，x，s）（h，f）（d（x，s））和rqm≥1（Xm×Sm）u（h，x，s）当M足够大时，（h，f′）（d（x，s））是任意闭合的。因此，对于λ-几乎所有h∈ H、 c（H）=ZQm≥1（Xm×Sm）u（h，x，s）（h，f）（d（x，s））。这就完成了证明。对于t≥ 1和ht-1.∈ Ht-1.回想一下Et（ht-1） 是子博弈ht中的子博弈完美均衡的支付向量集吗-1.然后我们将展示下面的引理。引理22。无论如何≥ 1，Et（ht）-1） =Q∞t（ht）-1） 对于λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1.证据。

（1） 我们将证明以下说法：对于任何t和τ，如果Et+1（ht）λt-几乎所有ht的Qτt+1（ht）∈ 然后是Et（Ht-1)  Qτt（ht）-1） 对于λt-1-几乎全部-1.∈ Ht-1.我们只需要考虑以下情况：≤ τ .通过第5小节中Φ（Qτt+1）的构造。3.1，存在一个可测量子集-1. 圣-带λt的1-1（`St）-1） =1，对于任何C和ht-1=（xt）-1号街-1) ∈ Ht-1与“st”-1.∈圣彼得堡-1，如果1。ct=大鼠（ht-1） RStqt+1（ht）-1，xt，st）ft0（dst | ht-1） α（dxt），当qt+1（ht）时-1、·）可测量，qt+1（ht-1，xt，st）∈ Qτt+1（ht）-1，xt，st）对于λt-几乎所有st∈ 站起来∈ At（ht）-1);2. α ∈ 我∈IM（Ati（ht）-1） ）是子博弈中的纳什均衡-1带支付功能RStqt+1（ht-1、·st）ft0（dst | ht-1） 还有太空行动∈IAti（ht）-1） ，然后是ct∈ Φ（Qτt+1）（ht）-1).修正一个子游戏-1=（xt）-1号街-1） 这样-1.∈圣彼得堡-1.选择一个点∈ Et（`st）-1). 存在一个策略文件f，使得f是子博弈ht中的子博弈完美均衡-1而回报是ct。让ct+1（ht-1，xt，st）是{fti}i诱导的payo-ff载体∈在子游戏中（ht，xt，st）∈ Gr（At）×St.Thenwe h ave1。ct=大鼠（ht-1） RStct+1（高温）-1，xt，st）ft0（dst | ht-1） ft（dxt | ht-1);2.英尺（·|高-1） 是s次博弈中的纳什均衡吗-1带动作太空卫星（ht）-1） 和支付费用RStct+1（ht-1、·st）ft0（dst | ht-1).因为f是子对策ht中的一个子对策完美均衡-1，ct+1（ht-1，xt，st）∈Et+1（ht）-1，xt，st） Qτt+1（ht）-1，xt，st）对于λt-几乎所有st∈ 站起来∈ At（ht）-1） ，这是什么意思∈ Φ（Qτt+1）（ht）-1） =Qτt（ht）-1).因此，Et（ht-1)  Qτt（ht）-1） 对于λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1.（2）对于任何t>τ，Et Qτt.如果t≤ τ，我们可以从Eτ+1开始 Qττ+1并重复（1）中的参数，那么我们可以证明Et（ht-1)  Qτt（ht）-1） 对于λt-1-almostall ht-1.∈ Ht-1.因此，Et（ht-1)  Q∞t（ht）-1） 对于λt-1-几乎所有ht-1.∈ Ht-1.（3）假设CTI是Φ（Q）的可测量选择∞t+1）。

递归应用命题5获得Borel可测映射{fki}i∈伊弗·k≥ t、 康涅狄格州第21街（ht）-1） 是λt的子博弈完美均衡支付向量-1-almostall ht-1.∈ Ht-1.因此，Φ（Q）∞t+1）（ht-1)  Et（ht）-1） 对于λt-1-几乎全部-1.∈ Ht-1.由美国东部Lemma20（ht）出版-1） =Q∞t（ht）-1） =Φ（Q）∞t+1）（ht-1） 对于λt-1-几乎全部-1.∈ Ht-1.因此，我们已经证明了定理1和命题1.5.4命题的证明。与第5.3.1-5.3.3.1节中给出的证明相比，我们将强调所需的变化。反向归纳法。我们首先考虑Nt=1的t阶段。如果Nt=1，那么St={St}。因此，Pt（ht-1，xt）=Qt+1（ht-1，xt，\'\'st），它是非空且紧值的，本质上是在xt×st上分段上半连续的-1.请注意，Pt可能不是凸值。我们首先假设PTI是上半连续的。假设j是这段时间内活跃的玩家。以Φt:Ht为例-1.→ Rn×M（Xt）×△（Xt）定义如下：（v，α，u）∈ Φt（ht）-1） 如果1。v=pt（ht）-1，在(-j） （ht）-1） ，x*tj）使pt（ht-1、·）是可测量的Pt（ht）选择-1, ·);2.x*tj∈ Atj（ht）-1） 是给定支付函数ptj（ht）的玩家j的最大化点-1，在(-j） （ht）-1） 和动作空间Atj（ht）-1） ，αi=δAti（ht-1） 对于i 6=j和αj=δx*tj；3.u=δpt（ht-1，在(-j） （ht）-1） ，x*tj）。这是一个单代理问题。我们需要证明Φ是非空的，紧值的，上半连续的。如果pTi是非空的、凸的、紧值的、上半连续的，那么我们可以使用Simon和Zame（1990）的主要结果Lemma16来证明Φt的非空性、紧性和上半连续性。InSimon和Zame（1990），他们需要pTi的凸性来证明其主要定理的唯一步骤是其中的引理2。