几乎完全信息的动态游戏

2022-5-8 00:18:16

几乎完美信息的动态游戏*孙亦能+此版本：2015年3月30日摘要本文旨在解决具有完美或几乎完美信息的有限或有限水平动态博弈的两个基本问题。在一定条件下，我们证明了（1）具有几乎完全信息的一般动态对策子对策完美均衡的存在性，以及（2）具有不确定性的纯策略子对策完美均衡的存在性。我们的结果超越了之前关于连续动态博弈的工作，因为不需要公共随机化和状态变量的连续性要求。作为一个说明性应用，我们考虑了一个具有跨期相关收益的动态随机寡头垄断市场。*爱荷华大学经济系，地址：伊利诺伊州爱荷华市帕帕约翰商业大厦W249号，邮编：52242。电子邮件：他。wei2126@gmail.com.+新加坡国立大学经济系，新加坡Ar ts Link 1号，邮编：117570。电子邮件：ynsun@nus.edu.sgContents1简介2模型和主要结果53粘性价格的动态寡头垄断市场84主要结果的变化104.1具有部分完全信息和广义达姆条件的动态博弈。114.2具有部分完美信息的连续动态博弈。135附录155.1技术准备。155.2具有内生随机共享规则的不连续博弈。295.3定理1和命题1的证明。325.3.1反向感应。325.3.2正向导入。335.3.3在有限地平线情况下。385.4命题2的证明。

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2022-5-8 00:18:19

. . . . . . . . . 525.5提案3的证明。参考文献55篇561介绍完全信息动力对策和su bgame完全均衡是应用广泛的基本对策论概念。对于有很多动作和阶段的博弈，Selten（1965）证明了亚博弈完美均衡的存在。Fudenberg and Levine（1983）对“有限视野但有限行动”案例进行了阐述。由于许多经济模型中的主体需要做出连续的选择，因此考虑具有一般行动空间的动态博弈是很重要的。对于具有完美信息的确定连续博弈，其中每个阶段只有e玩家的移动，并且玩家可以观察到之前的所有移动，纯策略子博弈的效果均衡的存在性如Harris（1985）、Hellwig和Leininger（1987）、B¨orgers（1989、1991）和Hellwig等人（1990）所示。然而，如果通过引入一个辅助玩家性质而放弃了确定性假设，那么纯策略子博弈完美均衡就不必存在，如Harris、Reny和Robson（1995，第538页）的一个四阶段博弈所示。事实上，Luttmer和Mariotti（2003）甚至证明了五阶段博弈中不存在混合策略子博弈完美均衡。因此，在某些一般条件下，证明（有限或有限视界内）完全信息不确定性动态博弈中（纯策略或混合策略）子博弈完美均衡的存在性仍然是一个悬而未决的问题。Harris，R eny和Robs on（1995）考虑了几乎完全信息的连续动态博弈。在这类游戏中，有一定数量的主动玩家和被动玩家Nature。玩家（主动和被动）知道之前的所有动作，并同时选择自己的动作。

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2022-5-8 00:18:22

假设所有相关的模型参数在动作和状态变量（即自然的动作）中都是连续的。Harris，R eny和Robs on（1995）通过引入一个公共随机化装置证明了子博弈完美相关均衡的存在，并通过两个阶段各有两名参与者的简单例子证明了子博弈完美均衡可能不存在。这意味着，即使对于具有几乎完美信息的两阶段动态博弈，在某些适当的条件下，子博弈效果均衡的存在也是一个开放的问题。对于具有完美或几乎完美信息的动态游戏，早期的研究集中于连续动态游戏。本文的目的是解决（有限期或有限期）一般动态地图的两个开放问题，其中相关模型参数假定为连续不活动，但仅在状态下可测量。特别是，我们展示了SEE的存在，例如，Fudenbe rg和Tirole（1991）的第一部分。另见Mariotti（2000）和Reny and Robson（2002）。虽然动作的连续性是自然的，并且被广泛采用，但状态连续性要求在状态转移的某些适当条件下，具有几乎完全信息的一般动态博弈中的子博弈完全均衡。下面的定理1（以及命题2）超越了早期关于连续动态图的工作，放弃了公共随机化和对状态变量的连续性要求。

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2022-5-8 00:18:26

因此，这里所考虑的游戏类别包括一般到仓促的游戏，在这些游戏中，阶段报酬通常被假定为在行动中是连续的，在状态中是可测量的。命题1还提出了平衡点与支付函数对应关系的一些正则性质，包括作用变量的紧性和上半连续性。作为第1项的一个说明性应用，我们考虑了一个动态寡头垄断市场，在这个市场中，企业面临随机需求/成本和跨期依赖的支付。我们的工作条件是，每个时期（除了有一个活跃参与者的时期）的状态转换都有一个具有适当密度函数的分量，特别是一些无原子的参考度量。如果（1）如Harris、Reny和Robson（1995）所示，被动参与者Natur e不存在于模型中，或者（2）如Luttmer和Mariotti（2003）所示，在自然存在的情况下，参考度量不是无原子的，那么这种情况在特定意义上也是最小的。对于一类具有几乎完全信息的连续动态对策，我们可以稍微削弱无原子参考测度条件。特别是，我们简单地假设每个时期的状态转换（只有一个活跃参与者的时期除外）是任何给定历史的无原子概率度量，而不是公共参考度量的要求。因此，如inHarris、Reny和Robson（1995）所述的公共随机化设备的引入是一个明显的特例。对于信息近乎完美的动态游戏，我们的主要结果允许玩家采取混合策略。然而，对于一类特殊的具有完全信息的动态博弈，我们在推论2和推论3中得到了纯策略子博弈完美均衡的存在性。

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2022-5-8 00:18:29

当自然存在时，已知的具有完全信息的动态对策的一般存在结果是，连续动态对策中的A是相当有限的。状态可测性作为假设是模型参数的最小条件。命题2给出了一般随机对策子对策完全均衡的一个新的存在性结果；见下文备注2。这种上半连续性在平衡支付、结果或相关策略的对应方面是证明相关存在结果的关键，如Harris（1985）、Hellwig和Le ininger（1987）、B¨orgers（1989、1991）、Hellwig等人（1990）、Harris、Reny和Robso n（1995）和Mariotti（2000）。具有完美信息的动态游戏确实有着广泛的应用。例如，seePhelps和Pollak（1968）对代际遗赠游戏的描述，Peleg和Yaari（1973）和Goldman（1980）对消费者偏好发生变化的内部游戏的描述。据我们所知，对于具有公共随机化的连续游戏。相反，我们的推论2既不需要状态变量的连续性，也不需要公共随机化。此外，我们的推论3为具有完全信息的连续动态对策提供了一个新的存在性结果，它将Harris（1985）、Hellwig and L eininger（1987）、B¨orgers（1989）和Hellwig et al（1990）的结果推广到了自然存在的情况。我们遵循标准的三步程序来获得动态博弈的子博弈性能均衡，即反向诱导、正向诱导和有限水平下的有限h orizon近似。由于我们放弃了对状态变量的随机性和连续性要求，在证明的每一步都会出现新的技术难题。

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mingdashike22

2022-5-8 00:18:32

在反向归纳的步骤中，我们得到了随机内生共享规则的不连续对策的一个新的存在性结果，它扩展了Simon和Zame（1990）的主要结果，允许相应的支付在状态中是可测量的（而不是上半连续的）。对于正向归纳法，我们需要获得历史上可联合测量的策略。当有一个公共随机化装置时，联合可测性遵循可测版本的Skorokh od代表定理和隐函数定理，分别如inHarris、Reny和Robson（1995）和Reny和Robson（2002）所述。在这里，我们需要研究Mertens（2003）的深度“可测量”可测量选择定理。最后，为了获得有限视界情况下的结果，我们需要处理各种子问题，因为我们的模型中的状态变量缺乏连续性。如下面第5.5小节所述，对于连续动态博弈的情况，可以得到一个相当简单的证明。论文的其余部分组织如下。模型和主要结果见第2节。第3节给出了定理1在随机需求/成本和跨期依赖效应的动态垄断市场中的说明性应用。第4节给出了主要结果的几种变化。所有的证据都留在附录里。2模型和主要结果在本节中，我们将展示一个具有几乎完美信息的有限水平动态博弈的模型f。游戏者的集合是I={0，1，…，n}，其中I={1，…，n}中的游戏者是活动的，游戏者0是自然的。所有玩家同时移动。时间是离散的，由t=0，1，2。。我们不能采用Hellwig等人使用的有限对策序列来近似极限连续动态对策的常用方法。

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2022-5-8 00:18:37

（1990）、博格斯（1991）和哈里斯、雷尼和罗布森（1995）。起始点集是一个闭集H=X×S，其中Xis是一个紧度量空间，Sis是一个波兰S空间（即一个完全可分度量空间）。在t阶段≥ 1，玩家i的动作将从波兰空间X的子集中为每个i选择∈ 一、 Xt=Qi∈伊克斯蒂。《自然的行动》选自波兰太空望远镜。设Xt=Q0≤K≤tXkand St=Q0≤K≤tSk。XtandStare上的Borelσ-代数分别用B（Xt）和B（St）表示。给定t≥ 0，到t阶段的历史是向量=（x，s，x，s，…，xt，st）∈ Xt×St。所有这些可能的历史都用Ht表示。无论如何≥ 0，Ht Xt×St表示任何t≥ 1和我∈ 一、设Ati是来自Ht的可测量、非空且紧值的对应关系-1到x是指（1）a在x上是连续的-1和（2）Ati（ht）-1）是玩家i的可用动作集吗∈ 我给出了历史-1.让At=Qi∈IAti。然后Ht=Gr（At）×St，其中Gr（At）是At的图形。对于任意x=（x，x，…）∈ 十、∞, 设xt=（x，…，xt）∈ Xtbe是x到周期t的截断。s的截断∈ s∞可以用类似的定义。让H∞X的bethe子集∞×S∞这样（x，s）∈ H∞if（xt，st）∈ HTT≥ 0.然后∞是游戏中所有可能历史的集合。无论如何≥ 1.自然界的行为由Borel可测量映射ft0fromHt给出-1到M（St），使得ft0在Xt上是分段连续的-1，其中M（St）被赋予由弱收敛引起的拓扑。每个t≥ 0，假设λ是林分上的Borel概率测度λ是t的无原子测度≥ 1.设λt=0≤K≤tλt≥ 0.我们将在状态转换上假设以下条件。假设1（无原子参考测量（ARM））。一个动态游戏被称为满足“无原子参考度量（ARM）”条件，如果每个t≥ 1,1.

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mingdashike22

2022-5-8 00:18:40

概率ft0（·ht）-1）对于λton StIn，在每个阶段t是绝对连续的≥ 1.将有一组动作图和一组状态图。在不损失通用性的情况下，我们假设初始点集也是符号一致性的产品空间。假设Y，Yand都是波兰空间，Z Y×Y.表示Z（Y）={Y∈Y:（Y，Y）∈ Z} 对任何人来说∈ Y.函数（对应）f:Z→ 如果f（y，·）在Z（y）上是连续的，那么Z（y）6=. 同样，可以定义对应关系的分段上半连续性。假设Y和Z都是波兰空间，而ψ是从Y到Z的对应关系。此后，除非特别指出，否则ψ的可测性是关于Y上的Borelσ-代数ab（Y）。有限视界动态游戏可以被视为有限视界动态游戏的特例，因为动作对应于每个玩家的点值∈ 我和t≥ 对于某些阶段≥ 1.例如，参见博格斯（1989）和哈里斯、雷尼和罗布森（1995）。对于波兰空间a，M（a）表示a上所有Borel概率测度的集合，且△（A） A.上的所有有限Borel测量值的集合是否具有氡Nikodym导数φt0（ht-1，st）适用于所有ht-1.∈ Ht-1.2.

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何人来此

2022-5-8 00:18:43

映射φT0是Borel可测量的，并且在Xt中是连续的-1，并且在存在λt-可积函数φt:St的意义下是可积有界的→R+使аt0（ht-1，街）≤ φt（st）表示任何ht-1.∈ Ht-1街∈ 每一个我∈ 一、 Payoff函数是H的Borel可测映射∞到在X上分段连续的R++∞以γ>0为界。当我们考虑一个具有有限视野的动态博弈时，下面的“连续性”条件是标准的。特别是，所有折扣重复博弈或s-ToCastic博弈都满足这个条件。无论如何≥ 1，letwT=supi∈I（x，s）∈H∞（x，s）∈H∞xT-1=xT-第一-1=sT-1 | ui（x，s）- ui（x，s）|。（1）假设2（实体的连续性）。一个动态的游戏被称为“连续的”如果wT→ 0作为T→ ∞.对于球员i∈ 一、策略是序列{fti}t≥1因此，FTI是Ht的可钻孔测量映射-1到M（Xti）和fti（Ati（ht）-1） | ht-1） =1表示全部-1.∈ Ht-1.战略文件f={fi}i∈Iis是所有活跃玩家的策略组合。在任何子博弈中，策略组合都会在可能的历史集合上产生概率分布。这种概率分布被称为子博弈中策略组合诱导的路径。定义1。假设一个策略文件f={fi}i∈我有一段历史∈ 这是给我的≥ 0.Le tτt=δht，其中δht是集中在一点ht上的概率度量。如果τt′∈ M（Ht′）已经被定义为一些t′≥ t、然后设τt′+1=τt′ (我∈如果（t′+1）i）。当一个游戏的状态不可数时，通常会有一个参考度量。

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2022-5-8 00:18:47

例如，如果STI是Rl的子集，那么Lebesgue测度就是一个自然参考测度。由于Ui是有界的，我们可以假设Payoff函数的值是严格正的，而不丧失一般性。例如，见Fudenberg和Levine（1983年）。标志我∈如果（t′+1）是从Ht′到M（Xt′+1）的转移概率。请注意，战略文件通常由向量表示。为了以后的符号简化，我们假设我∈如果（t′+1）i（·ht′）代表给定历史ht′阶段t′+1中的策略文件∈ Ht′，在哪里我∈如果（t′+1）i（·ht′）是概率测度sf（t′+1）i（·ht′）的乘积，i∈ I.如果λ是X上的一个单位度量，而ν是从X到Y的转移概率，那么λ ν是X×Y上的一个度量，比如λ 对于任何可测子集A，ν（A×B）=RAν（B | x）λ（dx） X和B Y最后，让τ∈ M（H）∞) 是H上唯一的概率测度∞因此，对于所有t′，marght′τ=τt′≥ t、然后，τ被称为子对策ht中f引导的路径。尽管我∈ 一、右∞uidτ是这个子游戏中玩家i的报酬。子博弈完美均衡的概念定义如下：定义2（s PE）。子游戏完美均衡是一种策略，适用于所有人∈ 一、 t≥ 0和λt-几乎所有ht∈ 玩家我不能通过单方面改变策略来提高他在子游戏中的支付能力。下面的定理是我们的主要结果，它证明了在ARM和连续一致的条件下，完全平衡的存在性。它的证据留在附录中。定理1。如果一个动态博弈满足ARM条件并且是连续的，则它具有子博弈完美均衡。让Et（ht-1）是子博弈中的子博弈完美均衡报酬集-1.下面的结果证明了对应命题1的紧性和上半连续性。

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2022-5-8 00:18:50

如果一个动态博弈满足ARM条件，并且在本质上是连续的，那么ETI是非空的、紧值的，并且基本上是Xt上的分段半连续的-1.3具有粘性价格的动态寡头垄断市场在本节中，我们考虑了一个动态寡头垄断市场，在这个市场中，企业面临随机需求/成本和跨期依赖的支付。这种模型是著名的动态寡头垄断模型的变体，如ed inGreen和Porter（1984）和Rotemberg和Saloner（1986），后者研究了企业对需求波动的响应。我们的例子的关键特征是粘性价格效应的存在，这意味着需求方对商品的需求可能取决于累积的过去产出，因此给出了与时间相关的支付函数。一个性质被认为适用于λt-几乎所有的ht=（xt，st）∈ Htif满足λt-几乎所有st∈ 全力以赴∈ Ht（st）。当状态空间不可数且有参考测度时，自然会考虑概率意义下几乎所有子历史的最优性；例如，见Abreu、Pearce和Stacchetti（1990）及其脚注4。假设Y，Yand都是波兰空间，Z Y×Yandη是一个Borel概率测度，表示Z（Y）={Y∈ Y:（Y，Y）∈ Z} 对任何人来说∈ Y.函数（对应）f:Z→ Yis sa id在Yif（y，·）上基本上是连续的，几乎所有y在Z（y）上都是连续的。同样，我们可以定义相应的基本上半连续性。我们考虑一个动态寡头垄断市场，在这个市场中，企业在有限的范围内生产同质商品。逆需求函数用Pt（Q，…，Qt，st）表示，其中Qt是行业产出，stt是每iod t的可观察需求冲击。请注意，价格取决于过去的产出。

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2022-5-8 00:18:53

一个可能的原因可能是，消费者的欲望将受到他们之前消费的影响，因此价格不会立即调整。假设PTI是一个有界函数，在（Q，…，Qt）中连续，在st中可测量。在周期t中，冲击STI从集合st=[at，bt]中选择。我们用Qt=Pni=1qti时的qtio th来表示公司i在t期间的产出。考虑到产出qti和冲击st，t期内企业i的成本为cti（qti，st），其中cti在qti中大量存在，在st中可以测量。企业i的贴现系数为βi∈ [0,1）。事件的时间安排如下。1.在t期开始时，所有公司都学习st的实现，这是由运动定律κt（·s，Q，…，st）决定的-1，Qt-1). 假设κt（·| s，Q，…，st-1，Qt-1）对于密度为φt（s，Q，…，st）的st上的均匀分布是绝对连续的-1，Qt-1，st），其中有界，连续于（Q，…，Qt）-1）可在（s，…，st）中测量。然后，企业同时选择产出qt=（qt1，…，qtn）的水平，其中qti∈ Ati（st，Qt）-1) 对于i=1，2，n、特别是，响应ATI给出了Firm i的可用动作，该动作是非空的、紧凑的、在st中可测量的、在Qt中连续的-1.3. 然后，所有企业的战略选择成为常识，这一阶段的游戏将重复。在周期t中，给定冲击站，输出{qk}1≤K≤用qk=（qk1，…，qkn）乘以时间t，企业i的收益为（q，…，qt，st）=Pt（nXj=1q1j，…，nXj=1qtj，st）- cti（qti，st）qti。给定一个输出序列{qt}t≥1和冲击{st}t≥1.我公司收到报酬（q，s）+∞Xt=2βt-1iuti（q，…，qt，st）。备注1。我们的动态寡头垄断模型具有非平稳结构。特别是，这种转变和回报取决于历史。

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2022-5-8 00:18:57

该示例捕获了一种情况，即同质产品的价格不会立即调整到给定产出水平下其需求函数所指示的价格。如需了解更多具有跨期依赖性效用的应用，请参阅Ryder and Heal（1973）、Fershtman and Kamien（1987）和Becker and Murphy（1988）。如果模型是平稳的，且反向需求函数仅取决于当前的产出，则该示例简化为具有需求波动的动态寡头垄断博弈，如Rotemberg和Saloner（1986）所述。根据上面的条件（1），手臂状态是满足的。也很容易看出，游戏在整体上是连续的。根据定理1，我们得到以下结果。推论1。动态寡头垄断市场具有次优均衡。4主要结果的变化在本节中，我们将考虑主要结果的几种变化。在第4小节。1.我们仍然考虑动态博弈，其参数在动作中是连续的，在状态中是可测量的。我们通过两种方式部分缓解了手臂状况。首先，我们允许在某些阶段只有一个活跃的玩家（但不是自然的），在这里手臂类型条件被删除。其次，我们在任何其他阶段的状态转变中引入了一个附加的弱连续分量。此外，我们允许每个时期的状态转换取决于当前的行为以及以前的历史。因此，我们将动态博弈模型与完美和几乎完美的信息结合起来。我们证明了一个子博弈性能均衡的存在性，即当在某一阶段只有一个活跃的参与者时，该参与者可以作为均衡策略的一部分来使用pu策略。作为一个副产品，我们得到了随机对策的一个新的存在性结果。

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2022-5-8 00:19:00

对于具有完全信息（有或无性质）的动态博弈，给出了纯策略子博弈完美均衡的存在性，作为直接推论。在第4小节。2.我们考虑了连续动态博弈的特例，即所有模型参数在行为变量和状态变量中都是连续的。在s弱的条件下，我们可以得到相应的结果。我们的特例涵盖了具有完全和几乎完全信息的连续动态博弈的所有先前存在性结果。我们将尽可能地遵循第2节中的设置和符号。简单地说，我们只描述我们需要对模型进行的更改。所有的屋顶都留在附录中。4.1具有部分完美信息和广义ARM条件的动态博弈在本小节中，我们将在三个方向上推广第2节中的模型。对ARM条件进行了部分限制，以便（1）在某些阶段允许完全信息，以及（2）在所有其他阶段，状态转换具有弱连续分量。此外，任何时期的国家过渡都会依赖于现阶段的行动计划以及之前的历史。最新的变化使我们能够用完美和几乎完美的信息来梳理动态游戏的模型。第二个推广意味着，在Banach的有限测度中，状态转换不需要是范数连续的。最后一个修改将随机博弈模型作为一个特例。这些变化描述如下。1.状态空间是两个波兰空间的乘积空间；也就是说，对于每个t，St=^St××stt≥ 1.2.

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2022-5-8 00:19:03

每一次我∈ 一、来自Ht的行动响应-1到XTII可测、非空且紧值且在Xt上分段连续-1×^St-1.自然的附加成分由从Gr（At）到^St的可测量、非空且闭值的对应关系^AT0给出，该对应关系在Xt×St上部分连续-1.Th en Ht=Gr（^At0）×St和H∞是x的子集∞×S∞这样（x，s）∈ H∞if（xt，st）∈ HTT≥ 0.3. 自然的选择不仅取决于历史-1，也是在现阶段的行动纲领上。状态转换ft0（ht-1，xt）=^ft0（ht-1，xt）~ft0（高温）-1，xt），其中^ft0是从Gr（At）到M（St）的转移概率，使得^ft0（^At0（ht-1，xt）| ht-1，xt）=1表示所有（ht）-1，xt）∈ Gr（At）和ft0是从Gr（^At0）到M（~St）的转移概率。每一次我∈ 一、 Payoff函数Ui是一个Borel可测量的映射，从H开始∞对于R++而言，它以γ>0为界，并且在X上是连续的∞×^S∞.我们允许玩家在某些阶段拥有完美的信息。对于t≥ 1.Lent=1，如果ft0（ht-1，xt）≡ 对于某些站|{i∈ I:Atiis not point valued}|=1；0，否则，其中| K |表示集合K中的点数。因此，如果某个阶段t的Nt=1，则在该阶段t中处于活动状态的玩家是唯一具有完美信息的活跃玩家。我们将在只有一名球员的情况下，在这些阶段降低手臂状况，并在其他阶段削弱手臂状况。假设3（ARM′）。1.对于任何t≥ 当Nt=1时，sti是一个单态集{st}，λt=δ'st.2。每个t≥ 1当Nt=0时，^ft0在Xt×^St上是分段连续的-1.概率度量ft0（·| ht）-1，xt，^st）对于无原子Borel概率测度λtonStfor all（ht）是绝对连续的-1，xt，^st）∈ Gr（^At0）和^t0（ht）-1，xt，^st，~st）是相应的密度。3.

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2022-5-8 00:19:07

映射φT0是Borel可测的，并且在Xt×^St上是分段连续的，并且在存在λt-可积函数φt:~St的意义下是积分有界的→ R+使аt0（ht-1，xt，^st，^st，）≤ 任何（ht）的φt（~st）-1，xt，^st）。下面的命题表明，在更一般的情况下，存在性结果仍然成立。提议2。如果一个有限视界动态博弈满足ARM条件且在同一时间连续，则它拥有一个子博弈完美均衡f∈ 我和t≥ 1，这样Nt=1，玩家j是这个时期唯一的活跃玩家，FTJC可以是确定性的。此外，平衡支付是非空且紧的，并且在Xt上基本上是分段半连续的-1×^St-1.备注2。上述命题还暗示了随机对策子对策完美均衡的一个新的存在性结果。考虑一个状态不可数的标准随机博弈，如Mertens和Parthasarathy（1987）。Mertens和Parthasarathy（1987）通过假设状态转移对于前一阶段的行为是范数连续的，证明了子博弈完美均衡的存在性。相反，我们的命题2允许状态转换具有弱连续成分。完全信息动态博弈是一类特殊的动态博弈，玩家可以按顺序移动。如脚注6所述，此类博弈已被广泛研究，并在经济学中得到广泛应用。作为中间推论，下面给出了完全信息动态博弈的一个均衡存在性结果。推论2。

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2022-5-8 00:19:10

如果一个完全信息的动态博弈满足ARM条件且在单位上是连续的，则它具有一个纯策略子博弈完美均衡。在本小节中，一个属性被称为λt-几乎所有ht∈ h如果满足λt-almostallst∈■全部站立（xt，^st）∈ Ht（~st）。4.2部分完全信息的连续动态博弈在本小节中，我们将研究一个具有连续结构的有限视界动态博弈。如前一小节所述，我们允许状态转换取决于当前阶段的动作文件以及之前的历史，玩家在某些阶段可能拥有完美的信息。1.每个t≥ 1.自然的选择不仅取决于历史-1，也是在这个舞台上的行动纲领。无论如何≥ 1，假设At0是从Gr（At）到St的连续、非空、闭值对应关系，那么Ht=Gr（At0），H∞是X的子集∞×S∞这样（x，s）∈ H∞if（xt，st）∈ HTT≥ 0.2. 自然的作用是通过从Gr（At）到M（St）的连续映射ft0给出的，这样ft0（At0（ht-1，xt）| ht-1，xt）=1表示所有（ht）-1，xt）∈ Gr（At）。3。每个t≥ 1.Lent=1，如果ft0（ht-1，xt）≡ 对于某些站|{i∈ I:Atiis not point valued}|=1；否则为0。定义3。一个动态博弈称为连续博弈，如果对于每个t和i，1。这种作用在Ht上是连续的-1.2.转移概率FT0在Gr（At）上是连续的；3.支付函数uih是连续的∞.请注意，在连续的动态博弈中，“连续性在一致性”条件会自动得到满足。接下来，我们提出了状态空间上“无原子跃迁”的条件，这意味着状态跃迁在任何阶段都是无原子概率测度。该状况略弱于ARM状况。假设4（无原子跃迁）。1.

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2022-5-8 00:19:14

无论如何≥ 当Nt=1时，Stis-asingleton集{st}。每个t≥ 1，Nt=0，ft0（ht-1）这是每个ht的无原子Borel概率测度-1.∈ Ht-1.由于我们研究的是连续动态博弈，我们可以采用一个稍微强一点的子博弈完美均衡。也就是说，考虑到所有其他玩家的策略，每个玩家的策略在每个子游戏中都是最优的。定义4（SPE′）。子博弈完美均衡是一种策略，对于所有人来说都是如此∈ 一、 t≥ 0和所有ht∈ 玩家我不能通过单方面改变策略来提高他在子游戏中的收益。关于平衡存在性的结果如下所示。提议3。如果一个连续动态博弈有无原子转移，那么它就有一个子博弈完美均衡f。特别是对于j∈ 我和t≥ 1如果Nt=1，且玩家j是这一时期唯一活跃的玩家，则FTJC可以确定。此外，ETI是非空的，紧值的，并且在Ht上是半连续的-1对于任何t≥ 1.备注3。命题3超越了哈里斯、雷尼和罗布森（1995）的主要结果。他们通过引入公共随机化装置，证明了在几乎完全信息的连续动态博弈中存在子博弈完美相关均衡，该装置不影响支付、转移或行动对应。很容易看出，他们的模型自动满足无原子跃迁的条件。我们模型中的状态完全是内生的，即它影响所有模型参数，如支付效应、转换和动作对应。备注4。上述命题3为连续随机对策提供了一个新的存在性结果。如前一小节所述，对于状态转移具有强连续性假设（即范数连续性）的一般随机对策，证明了子对策完美均衡的e xi性。

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2022-5-8 00:19:17

相反，我们只需要要求状态转移是弱连续的。备注5。无原子跃迁的条件是最小的。特别是，纽特默和马里奥提（2003）提供的CounterExample是一个具有完美信息和性质的连续动态博弈，没有任何子博弈完美均衡。在他们的例子中，自然在第三个周期是活跃的，但状态转变可能有原子。因此，我们的无原子跃迁条件被违反了。下一个推论来自命题3，它给出了具有完美信息（和性质）的连续动态博弈的存在性结果。推论3。如果一个具有完全信息的连续动态博弈具有无原子转移，则它具有一个纯策略子博弈完美均衡。备注6。Harris（1985）、Hellwig和Leininge r（1987）、B¨orgers（1989）和Hellwig等人（1990）证明了具有完全信息的连续动态对策中存在次优均衡。特别是，这些论文中都没有大自然。Luttmer和Mariotti（2003）提供了一个具有完美信息的五阶段连续动态博弈的例子，其中存在自然，不存在子博弈完美均衡。据我们所知，唯一已知的具有完美信息和性质的（有限或有限视界）连续动态游戏的普遍存在结果是，通过公共随机化，子游戏完美相关均衡的存在，如inHarris、Reny和Robson（1995）。推论3将所有这些e xi恶臭结果作为特殊情况覆盖。5附录5。1技术准备在这一小节中，我们提出几个引理作为证明定理1的数学准备。

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2022-5-8 00:19:21

由于书信在证明中会被广泛使用，为了方便读者，我们收集了几个已知的结果，称为引理。设（S，S）是可测空间，X是具有Borelσ代数B（X）的拓扑空间。从S到X的对应ψ是从S到X的所有子集的空间的函数。子集A的上逆ψuo X是ψu（A）={s∈ S:ψ（S） A} 。a子集a的下逆ψlof X是ψl（A）={s∈ S:ψ（S）∩ A 6=}.对应关系ψ为1。弱可测，如果ψl（O）∈ 对于每个开子集O 十、2.可测量，如果ψl（K）∈ 每个闭子集K的S ψ的图形用Gr（ψ）={（s，X）表示∈ S×X:S∈ S、 x∈ ψ（s）}。如果Gr（ψ），则响应ψ有助于得到一个可测量的图形∈ s B（X）。如果S是一个拓扑空间，那么ψ是1。上半连续，如果ψu（O）对每个开子集O是开的十、2.下半连续，如果ψl（O）对每个开子集O是开的引理1。假设X是一个波兰空间，K是X的所有非空紧子集的集合，赋以hausdorff度量拓扑。那么K是无偏空间。证据根据Aliprantis和d Border（2006）的定理3.88（2），K是完全的。此外，Aliprantis和Border（2006）的推论3.90和定理3.91暗示K是可分的。因此，K是一个波兰空间。引理2。设（S，S）是一个可测空间，X是一个具有孔lσ-代数B（X）的波兰空间，K是一个具有hausdorff度量拓扑的X的非空紧子集空间。假设ψ：S→ X是一个非空闭值对应。1.如果ψ是弱可测的，那么它有一个可测图。2.如果ψ是紧值，那么以下语句是等价的。（a）对应ψ是弱可测的。（b）对应ψ是可测量的。（c）函数f:S→ K、由f（s）=ψ（s）定义，i是可测量的。3.假设S是一个拓扑空间。

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2022-5-8 00:19:24

如果ψ是紧致值，那么函数f:S→ 由f（s）=ψ（s）定义的K是连续的当且仅当响应ψ是连续的。4.假设（S，S，λ）是一个完全概率空间。那么ψ是S-可测的当且仅当它有一个可测图。5.响应ψ：S→ 在两个波兰语空格之间，以下语句是等效的。（a）对应ψ在点s处是低半连续的∈ S.（b）如果sn→ s、然后每x∈ ψ（s），存在{sn}和元素xk的子序列{snk}∈ 每k的ψ（snk），使得xk→ x、六,。为了响应ψ：S→ 在两个波兰语空格之间，以下语句是等效的。（a）对应ψ在s点是上半连续的∈ S和ψ（S）是紧的。（b）如果ψ图中的序列（sn，xn）满足sn→ s、那么序列{xn}在ψ（s）中有一个极限。给定通信F:X→ Y和G:Y→ Z、由g（F（x））定义的成分F和Gis=∪Y∈F（x）G（y）。上半连续对应的成分是上半连续的。下半连续对应的成分是低流连续的。证据性质（1）、（2）、（3）、（5）、（6）和（7）分别是Aliprantis和Border（2006）的定理18.6、18.10、17.15、17.20、17.21和17.23。性质（4）是赫斯（2002）的定理4.1（c）。引理3。1.从可测空间（S，S）到拓扑空间X的对应ψ是弱可测的，当且仅当其闭包对应ψ是弱可测的，其中对于每个S∈ S、 ψ（S）=ψ（S），而ψ（S）是X.2中集合ψ（S）的闭合。对于从可测空间（S，S）到波兰空间的对应序列{ψm}，并对应ψ（S）=∪M≥如果每个ψ都是弱可测的，那么1ψm（s）是弱可测的。如果每个ψ都是弱可测且紧值的，则相交对应Φ（s）=∩M≥1ψm（s）是弱可测的。3.

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2022-5-8 00:19:27

从可测空间到波兰空间的弱可测、非空、闭值对应允许可测选择。4.紧度量空间与闭图的对应是可测的。5.从可测空间（S，S）到波兰空间的非空紧值对应ψ是弱可测的当且仅当存在序列{ψ，ψ..}ψ的可测量选择，使得ψ（s）={ψ（s），ψ（s），…}对于每个人来说∈ S.6。紧集在紧值上半连续对应下的像是紧的。如果域是紧的，则紧值上半连续对应的图是紧的。7.闭图对应与上半连续紧值对应的交集是上半连续的。8.如果响应ψ：S→ rli是紧值上半连续的，那么ψ的凸包也是紧值上半连续的。证据性质（1）-（7）分别是引理18.3和18.4、定理18.13和18.20、推论18.15、L emma 17.8和定理17.25 inAliprantis和Border（2006）。8号房产是希尔登布兰德的第6号房产（1974年，第26页）。引理4。1.Lusin定理：假设s是Polishspace的Borel子集，λ是s上的Borel概率测度，s是B（s）在给定对应关系F:X的情况下的完备→ Y和X的子集a，F下a的图像定义为bethe集∪十、∈AF（x）。λ以下。设X为波兰空间。如果f是S-toX的S-可测映射，那么对于任何>0，都存在一个紧子集S λ（S\\S）<使得f对Sis的限制是连续的。2.设（S，S）为可测空间，X为波兰空间，Y为可分Banach空间。

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2022-5-8 00:19:30

设ψ：S×X→ 你会成为一个骗子吗 B（X）-可测的，非空的，凸的，紧值对应，在X上是次连续的。然后存在一个SB（X）-在X.3上连续的ψ的可测选择ψ。设（S，S，λ）为有限测度空间，X为波兰空间，Y为局部凸线性拓扑空间。让F:S→ X是一个闭值对应关系，表示Gr（F）∈ s B（X）和f:Gr（f）→ Y是一个在X上分段连续的可测函数。然后存在一个可测函数f′：S×X→ 使得（1）f′是截面连续的inx，（2）对于λ-几乎所有的s∈ S、 f′（S，x）=所有x的f（S，x）∈ F（s）和F′（s，X） cof（s，F（s））。证据Lusin的定理是Bogachev（2007）的定理7.1.13。性质（2）和（3）分别是费罗、马丁内斯和莫拉莱斯（2006）以及布朗和施赖伯（1989）的定理1和定理2.7。下面的引理给出了对应积分的凸性、紧性和连续性。设（S，S，λ）是无原子概率空间，X是波兰空间，f是S到Rl的对应。De noteZSF（s）λ（ds）=ZSf（s）λ（ds）：f是f在s上的可积选择.1.如果F是可测的、非空的、闭值的，且λ-可积有界于某个可积函数ψ：S→ 对于λ-几乎所有的s∈ S、 kyk≤ ψ（s）表示任意y∈ F（s），则rsf（s）λ（ds）是非空的、凸的和紧的，并且zsf（s）λ（ds）=ZScoF（s）λ（ds）。如果G是S×X的可测非空闭值对应→ rl使得（1）G（s，·）在XF上是上半连续的（分别是下半连续的）∈ S、和（2）gisλ-可积有界于某个可积函数ψ：S→ 对于λ-几乎所有的s∈ S、 kyk公司≤ 任意x的ψ（s）∈ X和y∈ G（s，x），则rsg（s，x）λ（ds）是上。

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2022-5-8 00:19:34

对于线性拓扑空间中的任意SETA，coA表示A的凸壳。见定理2、3和4、命题7和命题8，以及D.II部分的问题6。希尔登布兰德（1974）的第4部。下面的结果证明了L yapunov定理的一个可测版本，该定理取自Mertens（2003）。设（S，S）和（X，X）是可测空间。从S到X的概率是从S到（X，X）上概率测度空间M（X）的映射，使得f（B |·）：S→ f（B | s）是每个B的s-可测f∈ 十、引理6。设f（·| s）是从一个可测空间（s，s）到另一个可测空间（X，X）（X是可分离的）的转移概率。设Q是从S×X到Rl的可测、非空、紧值对应，它是f可积的，因为对于Q的任何可测选择Q，Q（·S）对于任何S是f（·S）绝对可积的∈ S.LetRQ df是从S到RlDefined byM子公司的通信=ZQ df（s）=ZXq（s，x）f（dx | s）：q是q的可测量选择.用J表示M的图。设J是乘积σ-代数的限制 B（Rl）到J.1。M是可测的、非空的、紧值对应；（X×J，X）上有一个可测的Rl值函数g J）这样的g（x，e，s）∈ Q（x，s）和e=RXg（x，e，s）f（dx | s）。假设（S，S）是一个可测空间，S是一个赋有Borelσ-代数的Polish空间，S=S×S赋有乘积σ-代数。设D是S的S-可测子集，使得D（S）对anys是紧的∈ S.σ-代数D是S对D的限制。设X是一个波兰空间，是一个从D到X的D-可测、非空、闭值对应，在S上是分段连续的。下面的引理考虑了引理6中定义的对应M的上半连续性。引理7。

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2022-5-8 00:19:37

设f（·| s）是从（D，D）到M（X）的转移概率f（a（s）| s）=1f或任意s∈ D、在S上是分段连续的。设G是从Gr（A）到Rl的丰富的、可测的、非空的、凸的和紧值的对应，它在S×X上是分段上半连续的。Letg df bethe从D到Rl的子集的对应由M（S）定义=ZG df（s）=ZXg（s，x）f（dx | s）：g是g的可测量选择.如果σ-代数是由可数集合生成的，则称其为可分的。那么M是S-可测的、非空的、紧值的，并且在S-证明上是分段上半连续的。定义一个对应关系G:S×X→ RlasG=G（s，x），if（s，x）∈ Gr（A）；{0}，否则。然后M（s）=R~G df（s）=RG df（s）。可测性、非空性和紧性来自引理6。考虑到∈ 假设（1）D（s）6=,（2） f（s，·）和G（s，·，·）是上半连续的。M（s，·）的上半连续性来自引理2 inSimon和Zame（1990）以及引理4 inReny和Robson（2002）。现在我们陈述了过渡对应的一些性质。引理8。假设Y和Z是波兰空间。设G是从Y到M（Z）的可测、非空、凸、紧值对应。确定从M（Y）到M（Z）asG′（ν）的对应关系G′=ZYg（y）ν（dy）：g是g的一个Borel可测选择.1.对应关系G′是可测的、非空的、凸的和紧值的。2.对应关系G是上半连续的当且仅当G′是上半连续的。另外，如果G是连续的，那么G′是连续的。证据（1）是《兰蒂斯和边界》（2006）的引理19.29。根据其中的定理19.30，G是上半连续的当且仅当G′是上半连续的。

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2022-5-8 00:19:42

如果G是低半连续的，我们需要证明G′是低半连续的。设Z有一个完全有界度量，U（Z）Z上有界、实值和一致连续函数的空间有上界范数。选择一个可数集{fm}m≥1. U（Z）使得{fm}集中在U（Z）的单位球中。他不软弱吗*M（Z）的拓扑结构可以通过metricdz进行度量，w（u，u）=∞Xm=1mZZfm（z）u（dz）-ZZfm（z）u（dz）对于每对u，u∈ M（Z）。假设{νj}j≥0是M（Y）中的一个序列，使得→ νas j→ ∞ .选择任意一点∈ G′（ν）。根据G′的定义，存在一个可测量的选择G，使得u=RYg（y）ν（dy）。每k≥ 1，根据引理4（Lusin定理），存在一个紧子集Tdk 使得g在Dk上是连续的，且ν（Y\\Dk）<3k。确定相应的Gk:Y→ M（X）如下：Gk（y）={g（y）}，y∈ Dk；G（y），y∈ 是的。然后gk是非空的，凸的，紧值的，下半连续的。根据定理3.22 inAliprantis和Border（2006），Y是仿紧的。然后根据迈克尔的选择定理（参见定理17.66 inAliprantis and Border（2006）），它有一个连续选择gk。对于每个k，自νj→ ν和gk是连续的，RYgk（y）νj（dy）→RYgk（y）ν（dy）在任何m的意义上≥ 1，ZYZZfm（z）gk（dz | y）νj（dy）→ZYZZfm（z）gk（dz | y）ν（dy）。因此，存在一个点νjk，使得{jk}是ddz的递增序列ZYgk（y）νjk（dy），ZYgk（y）ν（dy）<3k。此外，由于gk与Dk上的g重合，且ν（Y\\Dk）<3k，dzZYgk（y）ν（dy），ZYg（y）ν（dy）<3k。因此，dzZYgk（y）νjk（dy），ZYg（y）ν（dy）<k、对于每个k，设ujk=RYgk（y）νjk（dy）。然后ujk∈ G′（νjk）和ujk→ uas k→ ∞.通过引理2，G′是下半连续的。引理9。设X，Y和Z是波兰空间，G是从X到M（Y）的可测、非空、紧值对应。假设F是从X×Y到M（Z）的可测、非空、凸、紧值对应。

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2022-5-8 00:19:46

从X到M（Y×Z）的∏对应关系如下：∏（X）={g（X） f（x）：g是g的Borel可测选择，f是f}的Borel可测选择。如果F在Y上是分段连续的，则∏是可测的、非空的、紧值对应。2.如果存在一个从X到M（Y）的函数g，使得g（X）={g（X）}f或anyx∈ 十、那么∏是一个可测的、非空的、紧值对应关系。3.如果G和F都是连续对应，那么∏是非空且紧值的连续对应。4.如果G（x）≡ {λ} 对于某些固定的Borel概率测度λ∈ M（Y）和F在X上是分段连续的，那么∏是连续的、非空的、紧值对应。证据（1）定义三个对应关系F:X×Y→ M（Y×Z），^F:M（X×Y）→M（Y×Z）和ˇF:X×M（Y）→ M（Y×Z）如下：~f（x，Y）={δY u: u ∈ F（x，y）}，^F（τ）=ZX×Yf（x，y）τ（d（x，y））：f是f的Borel可测选择,ˇF（x，u）=^F（δx） u).因为F是可测的、非空的、凸的和紧值的，~F是可测的、非空的、凸的和紧值的。通过引理8，相应的^F是可测的、非空的、凸的和紧值的，并且^F（x，·）在任意x的m（Y）上是连续的∈ 由于G是可测且紧值的，因此存在一系列可测选择{gk}k≥G（x）={G（x），G（x），…}对于anyx∈ 引理3（5）的X。每k≥ 1.通过让∏k（X）=71f（X，gk（X））=^F（X）定义一个对应关系∏kfrom X toM（Y×Z） gk（x））。然后∏kis是可测的、非空的、凸的和紧值的。修正任何x∈ 显然∏（X）=ˇF（X，G（X））是一个非空值。由于g（x）是紧的，且71f（x，·）是紧值且连续的，因此∏（x）由引理3紧。因此，{∏（x），π（x），…} π（x）。修正任何x∈ X和τ∈ π（x）。存在一个点∈ G（x）使得τ∈ˇF（x，ν）。

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2022-5-8 00:19:49

自{gk（x）}k≥1在G（x）中是稠密的，它有一个子序列{gkm（x）}，使得gkm（x）→ ν. 由于71f（x，·）是连续的，所以71f（x，gkm（x））→ˇF（x，ν）。也就是τ∈{ˇF（x，g（x）），ˇF（x，g（x）），…}={∏（x），∏（x），…}。因此，{∏（x），π（x），…}=π（x）对于任何x∈ 引理3（5）暗示∏是可测量的。在Harris、Reny和Robson（1955）的引理29中，他们证明∏是上半连续的ifG和F都是上半连续的。（2）如（1）所示，对应^F是可测的、非空的、凸的和紧值的。如果G是一个可测函数，那么∏（x）=^F（x） G（x）），它是可测的，非空的，紧值的。（3）我们继续处理两个对应关系F:X×Y→ M（Y×Z）和^F:M（X×Y）→ M（Y×Z）如第（1）部分所述。通过F上的条件，可以明显地看出，对应关系F是连续的、非空的、凸的和紧值的。引理8暗示了对应关系^F的性质。定义对应关系^G:X→ M（X×Y）as^G（X）=δX G（x）。由于^G和^F都是非空值，因此∏（x）=^F（^G（x））是非空的。由于^G是紧值且^F是连续的，因此∏由引理3是紧值的。由于^G和^F都是连续的，所以∏由引理2（7）连续。（4）下半连续性来自命题4.8因森（1997）。无空性和紧致性来自于Arantis and Border（2006）的推论18.37，而上半连续性则来自于紧致性。下面的结果给出了引理6在传递响应方面的一个变体。引理10。设X和Y是波兰空间，Z是Rl+的紧子集。设G是X-toM（Y）的可测非空紧值对应。假设F是从X×Y到Z的可测的、非空的、凸的、紧的值相关。

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