那么我们就有了t≤ s≤ τthatdηs |αLs | p-1.= （XLs）-)P-1dMLs- （γs）∧ 五十） |XLs | p-1ds-ZZφs（z）eπ（dz，ds），其中φs（z）=YLs | XLs-|P-1.- λs（z）|βLs（z）| p-1.此外，我们对t≤ s≤ τd（YLs（XLs）p）=-ηs |αLs | p+γLs（XLs）p+ZZλs（z）|βLs（z）| pu（dz）ds+（XLs）-)pdMLs+（XLs）-)pZZ（YLs）-+ ψLs（z））h1.- ζLs（z）P- 1ieπ（dz，ds）证明。为了简化符号，我们设置γLs=γs∧ L.回想一下，xl和yl满足t的以下动力学≤ s≤ τdXLs=-（YLs）q-1ηq-1sXLsds-ZZXLs-ζLs（z）π（dz，ds），dYLs=（p- 1） （YLs）qηq-1s+θ（s，YLs，ψLs）- γLsds+ZZψLs（z）eπ（dz，ds）+dmlst≤ s≤ τletθs=ηs |αLs | p-1+ZstγLu | XLu | p-1du=YLs | XLs | p-1+ZstγLu | XLu | p-1du。将分部积分公式应用于θ结果indθs=（XLs-)P-1dYLs+YLs-d（（XLs）p-1） +d[YL，（XL）p-1] s+γLs | XLs | p-1ds=（XLs）-)P-1dYLs+YLs-（XLs）-)P-1.-（p- 1） （YLs）q-1ηq-1sds+YLs-（XLs）-)P-1ZZ1.- ζLs（z）P-1.- 1.u（dz）ds+YLs-（XLs）-)P-1ZZ1.- ζLs（z）P-1.- 1.eπ（dz，ds）+（XLs）-)P-1ZZψLs（z）1.- ζLs（z）P-1.- 1.π（dz，ds）+pγLs | XLs |p-1ds=（XLt）-)P-1Θ（s，YLs，ψLs）ds+（XLs）-)P-1ZZ（YLs）-+ ψLs（z））1.- ζLs（z）P-1.- 1.u（dz）ds（XLs）-)P-1dMLs+（XLs）-)P-1ZZ（YLs）-+ ψLs（z））1.- ζLs（z）P-1.-1.eπ（dz，ds）=（XLs）-)P-1dMLs+（XLs）-)P-1ZZ（YLs）-+ ψLs（z））1.- ζLs（z）P-1.- 1.eπ（dz，ds）来自ζLandΘ的定义（见等式（24））。

此外，我们有（YLs）-+ ψLs（z））h1.- ζLs（z）P-1.- 1i=λs（z）ζLs（z）p-1.- （YLs）-+ ψLs（z）），从而得出第一个主张。对于第二个等式，我们将分部积分公式应用于过程yl（XL）pto，得到（YLs（XLs）p）=（XLs-)pdYLs+YLs-d（（XLs）p）+d[YL，（XL）p]s=-ηs（XLs）p（YLs）qηqs+γLs（XLs）pds+（XLs）-)pdMLs+（XLs）-)pΘ（s，YLs，ψLs）ds+（XLs）-)pZZ（YLs）-+ ψLs（z））h1.- ζLs（z）P- 1iu（dz）ds+（XLs-)pZZ（YLs）-+ ψLs（z））h1.- ζLs（z）P- 1ieπ（dz，ds）。但请注意|αLs | p=（YLs）q-1ηq-1sXLsp=（YLs）qηqs（XLs）p，从ΘΘ（s，YLs，ψLs）+ZZ（YLs+ψLs（z））h的定义（24）开始1.- ζLs（z）P- 1iu（dz）=ZZ（YLs+ψLs（z））“λs（z）q-1.（YLs）-+ ψLs（z））q-1+λs（z）q-1.!P-λs（z）（|YLs+ψLs（z）|q-1+λs（z）q-1） p-1#u（dz）=-ZZ（YLs+ψLs（z））λs（z）（YLs）-+ ψLs（z））q-1+λs（z）q-1.酸碱度YLs+ψLs（z）Q-1iu（dz）=-ZZλs（z）|ζs（z）| pu（dz）。我们用命题8的证明来结束这一部分。命题8的证明。我们在续集中省略了上标L。Let（t，x）∈ R+×R+。取D（t，x）中的另一个进程x。使用函数y7的凸性→ |y | pandαs≤ 0获得zτt∧τ（ηs（|αs | p- |αs | p）ds≤ -pZτt∧τηs |αs | p-1（αs）-αs）ds=-pZτt∧τηs |αs | p-1（dXs- dXs）+pZτt∧τZZηs |αs | p-1.βs（z）-βs（z）π（dz，ds）=It+It（29）通过对第一个积分进行分部积分，并使用引理4和X和X的有界性（见引理3），我们得到：-佩夫特ητ|ατ| p-1（Xτ）-Xτ）+ 佩夫特Zτt∧τ（Xs）-Xs）dηs |αs | p-1.-佩夫特Zτt∧τZZβs（z）-βs（z）φs（z）π（dz，ds）= -佩夫特YτXp-1τ（Xτ）-Xτ）- 佩夫特Zτt∧τ（γs）∧ 五十） |XLs | p-1（Xs）-Xs）ds-佩夫特Zτt∧τZZβs（z）-βs（z）φs（z）u（dz）ds其中φ的定义如引理4所示。再次利用y7的凸性→ |y | Pyeldseftit≤ -EFt(ξ ∧五十） （Xpτ）-Xpτ）- EFtZτt∧τ（γs）∧ 五十） （Xps）-Xps）ds-佩夫特Zτt∧τZZβs（z）-βs（z）φs（z）u（dz）ds.

（30）此外，我们还有eftit=pEFtZτt∧τZZηs |αs | p-1.βs（z）-βs（z）u（dz）ds（31）现在，使用（29）、（30）和（31）我们得到j（t，X）- J（t，X）≤ EFtZτt∧τZZpβs（z）-βs（z）φs（z）- ηs |αs | p-1.u（dz）ds+EFtZτt∧τZZλs（z）|βs（z）|p- |βs（z）|pu（dz）ds.现在回想一下ηs |αs | p-1=YLs | XLs | p-1.从x 7的凸度定义φ砂→ |x | pwe获得：J（t，x）- J（t，X）≤ EFtZτt∧τZZpYLsβs（z）-βs（z）|XLs-|P-1.- |XLs | p-1.u（dz）ds因此J（t，X）- J（t，X）≤ 仍然需要验证恒等式vL（t，x）=YLt | x | p。但是从引理4我们推断出YLt | x | p=EFtZτt∧τηu |αLu | p+γLu（XLu）p+ZZλu（z）|βLu（z）| pu（dz）du+EFt（YLτ| XLτ| p）=J（t，X）=vL（t，X）。2.4解决约束问题本节致力于定理3的证明。为了方便读者，我们在这里给出了结果。定理4假设（C1）或（C2）成立，并假设（Y，ψ，M）是（3）的最小解，具有来自推论1的奇异终端条件Yτ=ξ，且对于所有s≥ τ.然后v（t，x）=Yt | x | p对于所有（t，x）∈ R+×R.此外，等式（26）X给出的控制*s=x exp“-Zs∨ttYuηuQ-1du#expZs∨TTZLN（1）- ζu（z））π（dz，du）ζt（z）=（Yt-+ ψt（z））q-1[（Yt）-+ ψt（z））q-1+λt（z）q-1] 属于A（t，x），如果t<τ，则满足终端状态约束（22），并且在（23）中是最优的。证据Let（t，x）∈ R+×R+。如果τ=T是确定性的，我们设置τε=T-ε表示ε>0。在τ=τDis由（15）给出的情况下，停止时间τε的定义如（16）所示。观察Y和yl在时间τε之前满足相同的动力学。因此，如果用Y和X代替YLand，引理4的结果仍然成立*. 特别是，它遵循的过程是θs=Ys | X*标准普尔-1.- Yt∧τεX*T∧τεp-1+Zst∧τεγu | X*u|p-1du，s≥ T∧ τε，ε>0，是随机区间[[t]上的非负局部鞅∧ τε，τ[[对于任何ε>0的情况。

因此，它是一个非负的超鞅，因此几乎可以肯定地在R中收敛为s goestoτ（参见[16]中的第V.3章或[6]中的附录a）。亨塞≤ 十、*s=θs- pRst∧τεγu | X*u|p-1杜比∧τ!Q-1.≤θ间谍Q-1.由于Y满足终端条件lim infsτYsS=∞ 我们在集合{t<τ}上有a.s∩S： 0个≤ 十、*s≤θ间谍Q-1.→ 当s变为τ时。如果t<τ，则X满足（22）。再次引用引理4，我们观察到t≤ s<τd（Ys（X*s） p）=-[ηs |α*s | p+γs（X*s） p]ds-ZZλs（z）|β*s（z）| pu（dz）ds+（X*s-)pdMs+（X）*s-)pZZ（Ys）- + ψt（z））[（1- ζs（z））p- 1] eπ（dz，ds）自|X*t|≤ 我们对所有ε>0Yt | x | p=1{t<τ}EFt进行推导Zτε∨ttηu |α*u | p+γu（X*u） p+ZZλu（z）|β*u（z）| pu（dz）du+Yτε∨t | Xτε∨t|p+1{t≥τ} ξ| x | p≥ 1{t<τ}EFtZτε∨ttηu |α*u | p+γu（X*u） p+ZZλu（z）|β*u（z）| pu（dz）du+1{ξ<∞}Yτε∨t | Xτε∨t|p+1{t≥τ} J（t，X）*)利用单调收敛定理yieldslimε→0{t<τ}EFtZτε∨ttηu |α*u | p+γu（X*u） p+ZZλu（z）|β*u（z）| pu（dz）杜= 1{t<τ}EFtZτtηu |α*u | p+γu（X*u） p+ZZλu（z）|β*u（z）| pu（dz）杜因为我们有lim-infε→0Yτε≥ ξ，通过法图引理，我们得到了lim-infε→0{t<τ}EFt{ξ<∞}Yτε∨t | Xτε∨t|p≥ 1{t<τ}EFthlim infε→0{ξ<∞}Yτε∨t | Xτε∨t|pi≥ 1{t<τ}EFt{ξ<∞}ξ| Xτ| p= 1{t<τ}EFt[ξ| Xτ| p]总之，我们得到了Yt | X | p≥ J（t，X）*). 接下来，请注意，对于每个X∈ A（t，x）我们有j（t，x）≥ JL（t，X）。这意味着v（t，x）≥ 每L>0时的vL（t，x）。根据命题8，我们得到了YLt | x | p=vL（t，x）。Y的最小值意味着Y | x | p=limL∞YLt | x | p=limL∞vL（t，x）≤ v（t，x）。回想一下0·∞ := 结果我们得到了y | x | p≥ J（t，X）*) ≥ v（t，x）≥ Yt | x |和x的最优性*. 附录关于命题3证明的一些细节在本节中，我们给出了命题3证明的细节。常数l 在条件A6中定义。让我们从[23]中包含的两个结果开始。

ζ∈ Ll(Ohm), let（Y，ψ，M）∈ sl（0，T）×Llπ（0，T）×Ml（0，T）是BSDE的经典解：Yt=ζ+ZTtg（u，Yu，ψu）du-ZTtZZψu-（z） eπ（dz，du）-ZTTDMU，其中发电机g满足条件A1、A2和A3，gt=g（t、0、0）以H为单位l（0，T）。（Y，ψ，M）的存在性和唯一性同样来自于[23]中的定理2。重新计算ν（x）=|x|-1x1x6=0。第一个结果是It公式。引理5（推论1和[23]中的备注1）设c(l) =l((l-1)∧1） 和0≤ s≤ T≤T，那么它认为| Ys|l≤ |Yt|l+ l中兴通讯|于|l-1ν（Yu）g（u，Yu，ψu）du- c(l)中兴通讯|于|l-2Yu6=0d[M]cu-l中兴通讯|于-|l-1ν（Yu）-)dMu-l中兴通讯|于-|l-1ν（Yu）-)ZZψs（z）eπ（dz，du）-Ztszh|Yu-+ ψu（z）|l- |于-|l- l|于-|l-1ν（Yu）-)ψu（z）iπ（dz，du）-Xs<u≤于思|-+ 穆|l- |于-|l- l|于-|l-1ν（Yu）-)梅。moreovertyu=0d[M]cu=0。第二个结果如下。引理6（引理9在[23]中）如果l < 2.涉及跳跃的非递减过程控制二次变化：X0<u≤于思|-+ 穆|l- |于-|l- l|于-|l-1ν（Yu）-)梅≥ c(l)X0<u≤t|穆||于-|∨ |于-+ 穆|l/2.-1 |于-|∨|于-+Mu | 6=0和Ztzzh | Yu-+ ψu（z）|l- |于-|l- l|于-|l-1ν（Yu）-)ψu（z）iπ（dz，du）≥ c(l)ZtZZ |ψu（z）||于-|∨ |于-+ ψu（z）|l/2.-1 |于-|∨|于-+ψu（z）|6=0π（dz，du）。命题3证明的主要步骤是BSDE（5）的解（YL，ψL，ML）在终端条件ξL=ξ下的收敛性∧ L.为了执行这一步骤，我们需要对差异进行适当的先验估计- 伊恩。我们按照[23]中的命题3进行。它们建立在下面的引理9中。让0≤ s≤ t<t。对于L和Nnonnegative，我们将其设为- YLs，bψs（z）=ψNs（z）- ψLs（z），cMs=MNs-大联盟。我们可以假设l ≤ 我们选择a=lkθkLu/(l - 1).

然后它的公式（见上面的引理5）意味着|l≤ 吃比亚迪|l-Ztsaeau|bYu|l杜+lZtseau|bYu|l-1ν（bYu）（fN（u，YNu，ψNu）- fL（u，YLu，ψLu））du-lZtseau|bYu-|l-1ν（bYu）-)dcMu- lZtseau|bYu-|l-1ν（bYu）-)ZZbψ（z）eπ（dz，du）-Ztseauzh|bYu-+bψu（z）|l- |裴勇俊-|l- l|裴勇俊-|l-1ν（bYu）-)ψu（z）iπ（dz，du）-X0<s≤teauh | bYu-+ cMu|l- |裴勇俊-|l- l|裴勇俊-|l-1ν（bYu）-)cMui-c(l)Ztseau|bYu|l-2bYu6=0d[cM]铜。（32）这里ν（x）=|x|-1x1x6=0和c(l) = l(l - 1)/2. 对于包含生成器的术语|bYu|l-1ν（bYu）（fN（u，YNu，ψNu）- fL（u，YLu，ψLu））≤ |裴勇俊|l-1ν（bYu）（fN（u，YNu，ψNu）- fL（u，YNu，ψNu））+|bYu|l-1ν（bYu）（fL（u，YNu，ψNu）- fL（u，YLu，ψLu））≤ |裴勇俊|l-1ν（bYu）（fu）∧ N- 傅∧ 五十） +|bYu|l-1ν（bYu）（fL（u，YNu，ψNu）- fL（u，YNu，ψLu））≤ |裴勇俊|l-1 |傅∧ N- 傅∧ L |+| bYu|l-1.ZZbψu（z）κYN，ψN，ψLu（z）u（dz）≤ |裴勇俊|l-1 |傅∧ N- 傅∧ L|+kθkLu| bYu|l-1kbψukLu其中我们使用了fLw的单调性A1。r、 t.y（χ=0）和fLw的条件A2。r、 t.ψ。然后是杨的不平等lkθkLu| bYu|l-1kbψukLu≤l(l - 1） kθkLu| bYu|l+c(l)|裴勇俊|l-2kbψukLu。我们定义=吃| bYt|l+ lZteau | bYu|l-1 |傅∧ N- 傅∧ L|du。从引理6我们得到了每一个s∈ [0，t]：eas | bYs|l+ c(l)Xs<u≤图厄|cMu||裴勇俊-|∨ |裴勇俊- + cMu|l/2.-1 |拜-|∨|裴勇俊-+cMu | 6=0+c(l)ZtseauZZ | bψu（z）||裴勇俊-|∨ |裴勇俊-+bψu（z）|l/2.-1 |拜-|∨|裴勇俊-+bψu（z）|6=0π（dz，du）+c(l)Ztseau|bYu|l-2bYu6=0d[cM]铜-c(l)Zts | bYu|l-2kbψukLudu≤ 十、- lZtseau|bYu-|l-1ν（bYu）-)dcMu- lZtseau|bYu-|l-1ν（bYu）-)ZZbψu（z）eπ（dz，du）。（33）事实上，从a的选择来看lkθkLul - 1Ztseau | bYu|ldu=aZtseau | bYu|l互相欺骗。引理9是以下两个引理的结果。引理7t这里存在常数Cl仅仅依靠l 对于任何0<t<t的测试∈[0，t]eas|bYs|l!≤ ClE（X）。（34）证据。

实际上，我们把τkas作为局部鞅的基本停止时间序列。白兰地-|l-1ν（bYu）-)dcMu+ZZbψu（z）eπ（dz，du）和^τkas a本地化时间^τk=infT≥ 0，ZtZZeau | bψu（z）||裴勇俊-|∨ |裴勇俊|l/2.-1 |拜-|∨|bYu | 6=0π（dz，du）≥ K.我们设置τ=τk∧ ^τk∧ t、 现在我们有：EZτeauZU | bψs（u）||比斯-|∨ |比斯-+bψs（u）|p/2-1 |比-|∨|比斯-+bψs（u）| 6=0π（du，ds）=EZτeauZU | bψs（u）||比斯-|∨ |比斯|p/2-1 |比-|∨|bYs | 6=0π（du，ds）=EZτeauZU | bψs（u）| bYs | p-2bYs6=0u（du）ds=EZτeaukbψskLubYs | p-2bYs6=0ds。根据这个等式，并根据（33）中的预期，我们推导出C(l)EX0<u≤τeau|cMu||裴勇俊-|∨ |裴勇俊- + cMu|l/2.-1 |拜-|∨|裴勇俊-+cMu | 6=0+c(l)EZτeau | bYu|l-2bYu6=0d[cM]cu+c(l)EZτeau | bYu|l-2kbψukLudu+c(l)EZτeauZZ | bψu（z）||裴勇俊-|∨ |裴勇俊- +bψu（z）|l/2.-1 |拜-|∨|裴勇俊-+bψu（z）|6=0π（dz，du）≤ 2E（X）（35），我们可以允许τ在最后一个不等式中等于t。然后利用（33）中的Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到：sup0≤s≤茶杯|l≤ E（X）+klE[MY]1/2t+[eπY]1/2t带mys+eπYs=lZsou|bYu-|l-1ν（bYu）-)dcMu+lZsou|bYu-|l-1ν（bYu）-)ZZbψu（z）eπ（dz，du）。自从l > 1，第一个鞅的括号由：k控制lE[MY]1/2t≤ KlE“Zte2au|裴勇俊-|∨ |裴勇俊-+ cMu|l-1 |拜-|∨|裴勇俊-+cMu | 6=0d[cM]u1/2#≤Esup0≤U≤图拜|l+ KlEZTeau | bYu-|l-2 | bYu-|6=0d[cM]cu+KlEX0<s≤图厄|裴勇俊-|∨ |裴勇俊- + cMu|l/2.-1 |拜-|∨|裴勇俊-+cMu | 6=0|cMu|第二次呢lE[eπY]1/2t≤ KlE“sup0≤U≤T白兰地|lZteau|Yu|l-2Yu6=0ZZ |ψu（z）|π（dz，ds）#≤Esup0≤U≤图拜|l+ kpEZteau|Yu|l-2kψukLuYu6=0du.由此证明了不等式（34）。我们再次应用杨氏不等式来得到ClE（X）≤ ClE吃比亚迪|l+埃苏普斯∈[0，t]eas|bYs|l!+\'ClEZteau|fu∧ N- 傅∧ L|ldu（36），我们可以得出这样的结论∈[0，t]eas|bYs|l!≤^ClE吃比亚迪|l+^ClEZteau|fu∧ N- 傅∧ L|l杜。

（37）接下来，我们对ψLand ML导出了一个类似的不等式。引理8t这里存在一个康斯坦特克l对于任何0<t<TE“ZTE2S/ld[cM]sl/2+ZTE2S/lZZ |ψs（z）|u（dz）dsl/2#≤欧共体lE（X）。证据从引理5来看，它保持a.s.ZtbYs=0d[cM]cs=0。亨西“ZTE2S/ld[cM]csl/2#=E“ZTE2S/lYs6=0d[cM]csl/2#≤ E“sup0≤U≤图拜|l(2-l)/2.Zteas比斯l-2bYs6=0d[cM]csl/2#≤2.- lEsup0≤U≤图拜|l+l埃兹提斯比斯l-2bYs6=0d[cM]cs，其中我们使用了H"older和Young的不等式-l+l= 1.利用不等式（35），我们推导出：E“ZTE2S/ld[cM]csl/2#≤eCpE（X）。对于[M]的纯跳跃部分，让ε>0，并考虑函数uε（y）=（|y |+ε）1/2。ThenEX0<s≤氧化钛/l|cMs|l/2.≤ Esup0≤s≤茶/luε（bYs）l(2-l)/2.X0<s≤茶uε（| bYs）-|∨ |比斯- + cMs |）l-2|cMs|l/2.≤（E）sup0≤s≤茶/luε（bYs）l#)(2-l)/2×EX0<s≤茶uε（| bYs）-| ∨ |比斯- + cMs |）l-2|cMs|l/2.≤2.- lEsup0≤s≤teasuε（bYs）l+lEX0<s≤茶uε（| bYs）-| ∨ |比斯-+ cMs |）l-2|cMs|用不等式（35）E将ε设为零X0<s≤氧化钛/l|cMs|l/2.≤2.- lEsup0≤s≤茶杯|l+lEX0<s≤茶|比斯-| ∨ |比斯-+ cMs|l-2 |比-|∨|比斯-+cMs | 6=0|cMs|≤欧共体lE（X）。同样的论点也表明了这一点。”ZTE2S/lZZ |ψs（z）|u（dz）dsl/2#≤欧共体lE（X）。将引理7和8的估计与不等式（36）和（37）相结合，我们得到了预期的结果：引理9 T存在常数Kl因此，对于任何0<t<TE”sups∈[0，t]eas|bYs|l+ZTE2S/lZZ | bψu（z）|u（dz）dul/2+ZTE2S/ld[cM]sl/2#≤ KlE吃比亚迪|l+ KlEZteau|fu∧ N- 傅∧ L|l杜K在哪里l只取决于l.关于条件B和A3’的一些细节回忆起δ*h*由公式（11）和（12）定义。引理10如果ρ>δ*m>h*, 那么就存在这样的r>1χ+K2（（r- 1) ∧ 1)< ρandrΔρ- δ<m.证明。让我们定义函数δ：（1，∞) → R、 δ（R）=Rχ+K2（（r- 1) ∧ 1).我们证明了δ*是δ的最小值。我们首先假设k6=0。然后limr→1δ（r）=+∞.o 案例1：χ<-K/2。

δ在下降，并趋于稳定-∞ 正如r倾向于+∞. 因此δ*= -∞.o 案例2：χ=-K/2。δ是一个非增函数，对于任何r<2=r，δ（r）>0*对于任意r，δ（r）=0≥ 2=r*. 因此δ*= 0.o案例3：χ>-K/2。函数δ趋向于+∞ 当r趋于+∞ 并且最小值为r*∈ [1,2]：r*= 1 +-K<χ≤K+K√2χ>K.此外，最小δ*= δ（r）*) > 0由δ给出*=χ+K= K+2χif- K<2χ≤ K、 χ1+K√2χ= χ（r）*)如果2χ>K.将上述结果聚集在一起，则意味着δ*方程式（11）中定义了δ的最小值。因此，如果ρ>δ*（条件（B）），存在一个开放区间（R，R），使得对于任何R∈ （R，R），ρ>δ（R）≥ δ*. 在案例1中，我们有1<Rand R=+∞; 在案例2中，1<R<2且R=+∞, 在案例3中，1<R<R*< R<+∞. 让我们定义（R，R）函数h（R）=ρRρ- δ（r）。o案例1：这里R=+∞, δ*= -∞. ρ的最佳选择是ρ<0（见备注7）。那么对于任何一个∈ （R）+∞), h（r）≤ 在其他情况下，我们将证明（R，R）上h的最小值为h*. 因此ifm>h*（条件A3\'），存在一个值r∈ （R，R）使得m>h（R）≥ H*由于ρ>δ（r）在这个区间上，证明了引理。请注意，limr→右（r）=+∞ 和ρ>0 s inceδ*≥ h的导数（除r=2外）等于h′（r）=ρ（ρ）- δ（r））ρ - δ（r）+rδ′（r）.当r>2时，h′（r）=ρ/（ρ）- δ（r））>0。对于1<r<2，我们有h′（r）=ρ（ρ- δ（r））ρ -Kr（r）- 1)=ρ(ρ - δ（r））√ρ -Kr√2（r）- 1)√ρ+Kr√2（r）- 1).因此f或一些r+∈ （1,2），h′（r+）=0当且仅当：√2ρK=r+r+- 1.<=> ρ>2k且r+=1+K√2ρ - K∈ (1, 2).根据δ的凸性，如果r+存在，则r<r+<Randh（r+）=-ρδ′（r+）=2ρ(√2ρ - （K）- 2χ.o 案例2：这里χ+K/2=0，R=+∞. 如果ρ≤ 2K当r=2时，h的最小值达到，其中h*= 2.如果ρ>2K，则*= h（r+）=2ρ(√2ρ - （K）- 2χ=2ρ(√2ρ - K） +K=2ρρ+(√ρ - K√2).o 情况3：这里ρ>δ*> 0和1<R<R<+∞.a、 χ<K/2：然后R>2。

如果δ*= K+2χ<ρ<2K，然后*= h（2）=2ρ- （K+2χ）。否则，如果ρ>2Kthenh*= h（r+）=2ρ(√2ρ - （K）- 2χ=2ρ(√2ρ - K） +K- （K+2χ）=2ρρ+(√ρ - K√2)- （K+2χ）最终*=2ρρ - （K+2χ）+(√ρ - K√2） ρ>2K。b、 χ≥ K/2。那么δ*≥ 2K。H值ρ>2K。因此，h的最小值在h（r+）：h时达到*= h（r+）=2ρ(√2ρ - （K）- 2χ=ρ√ρ -√χ -K√√ρ +√χ -K√=ρ√ρ +√χ -K√×√ρ -√χ+K√.现在让我们总结一下结果。H*由（另见方程式（12））得出：*=如果2χ<-K、 2ρρ-δ*+(√ρ-K√2） ρ>2Kif 2 |χ|≤ K、 ρ√ρ+√χ-K√×√ρ-√δ*如果2χ>K，注意对于K=0，公式（11）仍然成立，对于χ=0，h*= 1，对于χ>0，h*= ρ/(ρ - χ). 致谢。作者要感谢推荐人提供的有用意见和建议。托马斯克鲁斯感谢法国银行业联合会通过“转型中的市场”提供的金融支持。参考文献【1】R.Almgren。具有随机流动性和波动性的最优交易。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：163–181，2012年。[2] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[3] S.Ankirchner、M.Jeanblanc和T.Kruse。具有奇异终端条件的BSDE和一个带约束的控制问题。暹罗J.控制优化。，52(2):893–913,2014.[4] S.Ankirchner和T.Kruse。具有随机线性二次成本的最优位置定位。《金融数学进展》，巴纳赫中心出版社第104卷。，第9-24页。波兰阿卡德。Sci。学院数学。，华沙，2015年。[5] 布莱恩博士、德莱恩博士、胡耀东博士、帕杜博士和斯托伊卡博士。后向随机微分方程的LPS解。随机过程。应用程序。，108(1):109–129, 2003.[6] P·卡尔、T·费舍尔和J·鲁夫。在汇率爆炸的情况下对期权进行套期保值。金融斯托赫。，18(1):115–144, 2014.[7] N.El Karoui、S.Peng和M.C.Quenez。金融中的倒向随机微分方程。数学金融，7（1）：1-711997。[8] P.A。

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