时间不一致随机线性二次控制：特征

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收藏 2022-05-08

英文标题：
《Time-Inconsistent Stochastic Linear--Quadratic Control: Characterization
and Uniqueness of Equilibrium》
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作者：
Ying Hu (IRMAR), Hanqing Jin, Xun Yu Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
In this paper, we continue our study on a general time-inconsistent stochastic linear--quadratic (LQ) control problem originally formulated in [6]. We derive a necessary and sufficient condition for equilibrium controls via a flow of forward--backward stochastic differential equations. When the state is one dimensional and the coefficients in the problem are all deterministic, we prove that the explicit equilibrium control constructed in \\cite{HJZ} is indeed unique. Our proof is based on the derived equivalent condition for equilibria as well as a stochastic version of the Lebesgue differentiation theorem. Finally, we show that the equilibrium strategy is unique for a mean--variance portfolio selection model in a complete financial market where the risk-free rate is a deterministic function of time but all the other market parameters are possibly stochastic processes.
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中文摘要：
在本文中，我们继续研究一个一般的时间不一致随机线性-二次（LQ）控制问题，该问题最初在[6]中提出。我们通过向前-向后的随机微分方程流导出了平衡控制的一个充要条件。当状态为一维且问题中的系数均为确定性时，我们证明了在{HJZ}中构造的显式平衡控制确实是唯一的。我们的证明基于导出的平衡点等价条件以及勒贝格微分定理的随机版本。最后，我们证明了在一个完整的金融市场中，均值-方差投资组合选择模型的均衡策略是唯一的，其中无风险利率是时间的确定函数，但所有其他市场参数可能是随机过程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Time-Inconsistent_Stochastic_Linear--Quadratic_Control:_Characterization_and_Uni.pdf
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能者818

2022-5-8 01:12:13

时间不一致随机线性-二次控制：胡平衡的特征和唯一性*金汉清+周迅宇2015年4月28日摘要在本文中，我们继续研究[6]中最初提出的一般时间不一致随机线性二次（LQ）控制问题。我们通过一系列向前-向后的随机微分方程推导出平衡控制的必要和充分条件。当状态为一维且问题中的系数均为确定性时，我们证明了[6]中构造的显式平衡控制确实是唯一的。我们的证明基于导出的平衡等效条件以及Lebesguedifferentiation th eorem的随机版本。最后，我们证明了该均衡策略是唯一的*伊尔马雷恩大学135042雷恩塞德斯，法国。作者的研究部分得到了勒贝格数学中心“avenir投资”项目ANR-11-LABX-002001的支持。+英国牛津大学数学研究所和野村数学金融中心，以及牛津-曼恩定量金融研究所。这位作者的研究部分得到了野村数学金融中心和theOxford–Man定量金融研究所的研究资助英国牛津大学数学研究所、野村数学金融中心和牛津-曼恩金融研究所。

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何人来此

2022-5-8 01:12:17

本文作者的研究得到了牛津大学的一项启动基金以及野村数学金融中心和牛津-曼定量金融研究所的研究资助。完全金融市场中的均值-方差投资组合选择模型，其中无风险利率是时间的确定函数，但所有其他市场参数都可能是随机过程。关键词。时间不一致性，随机线性-二次控制，平衡控制的唯一性，向前-向后随机微分方程，均值-方差投资组合选择。AMS主题。91 B51、93E99、60H101简介动态决策中的时间不一致性在社会系统和日常生活中经常被观察到。经济学家对时间不一致性的研究始于20世纪50年代的斯特罗茨[9]，他提出了一个时间不一致性决策问题的公式，作为控制器在不同时刻的化身之间的博弈。当时间设置是离散的时，博弈公式是相当直接和容易理解的。在连续时间设置中，公式可以以不同的方式概括。Yong[11]和Ekeland以及Pirvu[3]在涉及双曲贴现的问题的反馈策略类中定义了均衡控制，并证明了均衡的存在性。掷弹兵和王[4]用夸张的计算方法研究最佳停车。Bj¨ork和Murgoci[1]公式给出了一个具有时间不一致项的一般马尔可夫随机控制问题，并通过一个广义HJB方程组建立了平衡的充分条件。然后，他们给出了一些特殊情况，包括构造解的线性二次（LQ）控制问题。

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大多数88

2022-5-8 01:12:21

Bj¨ork，Murgoci和Zhou[2]进一步分析推导了具有依赖于状态的风险规避的均值-方差投资组合选择模型的均衡策略。在我们之前的论文[6]中，我们提出了一个一般的非马尔可夫随机LQ控制问题，其中目标泛函包含导致时间不一致的项，并通过一个前向-后向随机微分方程组（F BSDE）导出了平衡的一般有效条件。基于这个条件，我们构造了当状态为标量值且所有系数均为非随机时的显式平衡控制。与在反馈控制类别中定义平衡控制的afo修订工作不同，我们通过开环控制定义我们的平衡。关于时间不一致问题博弈公式的大多数现有文献都集中在均衡的存在性上，根据我们的最佳知识，唯一提到唯一性的论文是Vieille和Weibull[10]，其中作者证明了在离散时间模型中不存在唯一性。独特性在实践和理论中都很重要。在应用中，多重平衡会导致多重价值过程，并且存在使用和实现一个平衡的cho ice问题。从理论上讲，当一个新的、弱的解决方案概念被引入时，唯一性总是很重要的，因为它是新定义是否恰当的试金石之一（非唯一性是一个迹象，表明这个概念可能太弱而没有用处）。另一方面，在数学上，证明较弱概念的唯一性几乎总是具有挑战性的。在本文中，我们承担了为[6]中建立的同时不一致模型建立平衡控制唯一性的挑战。首先，我们推导了平衡控制的一般必要条件和充分条件。

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可人4

2022-5-8 01:12:24

推导过程中的一个关键步骤是证明Lebesgue微分定理的随机版本，它本身就很有趣，对其他随机控制问题可能有用。然后，我们将重点放在状态是一维且问题中的系数都是确定性的情况下。由于导出了平衡的等价条件，我们证明了[6]中构造的显式平衡控制确实是唯一的。最后，我们证明了[6]中再次构造的均衡策略对于完整金融市场中的均值-方差投资组合选择模型是唯一的，其中无风险利率是时间的确定函数，但所有其他市场参数可能是随机过程。本文的其余部分按以下内容组织。在第2节中，我们回顾了在我们之前的工作[6]中研究的时间不一致LQ控制问题的公式。然后，我们在第3节中导出了平衡控制在FBSDE系统解方面的等价特征。在第4节中，我们证明了[6]中得到的平衡是唯一的。第5节讨论了均值-方差portfo-lio选择模型的唯一性。最后，第6节得出结论。附录中列出了一些技术推导。平衡控制的值是相应的目标函数值。一个很好的例子是非线性偏微分方程粘性解的唯一性；参见[12]。2问题公式集（Wt）0≤T≤T=（Wt，··，Wdt）0≤T≤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 P）。

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可人4

2022-5-8 01:12:27

用（Ft）表示（Wt）产生的强化过滤。我们将使用与前一篇文章[6]相同的符号，为了读者方便，我们在这里列出了它：Sl：对称l×l实矩阵集。LG(Ohm; Rl）：随机变量的集合ξ：(Ohm, G）→ （Rl，B（Rl））与E[|ξ|]<+∞.L∞G(Ohm; Rl）：本质上有界的随机变量集ξ：(Ohm, G）→ （Rl，B（Rl））。LG（t，t；Rl）{Gs}s的集合∈[t，t]-适应的进程f={fs:t≤ s≤ T}与EhRTt | fs | dsi<∞.L∞G（t，t；Rl）：本质上有界的{Gs}集合∈[t，t]-适应过程。LG(Ohm; C（t，t；Rl））：连续{Gt}s的集合∈[t，t]-适应的进程f={fs:t≤ s≤ 带E的T}小吃∈[t，t]| fs|< ∞.在本文中，我们经常使用向量和矩阵，其中所有向量都是列向量。对于矩阵M，define′：矩阵的转置M.|M |=qPi，jmij:矩阵M的Frobenius范数。本文考虑的时间不一致LQ控制模型在[6]中介绍。这里我们回顾一下这个公式。让T>0被给定并固定。受控系统由[0，T]上的下列随机微分方程（SDE）控制：（2.1）dXs=[AsXs+B′sus+bs]ds+dXj=1[cjsx+Djsus+σjs]dWjs；X=X，其中A是[0，T]上的有界确定性函数，值为Rn×n，B，Cj，dj是[0，T]上的所有本质有界适应过程，值分别为Rl×n，Rn×n，Rn×l，以及LF（0，T；Rn）中的B和σjare随机过程。

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能者818

2022-5-8 01:12:30

过程∈ LF（0，T；Rl）是控件，X∈ 如果(Ohm; C（0，T；Rn））是初始值为x的对应状态过程∈ 注册护士。随着时间的推移∈ [0，T]，我们需要考虑从T和状态xt开始的受控系统∈ LFt(Ohm; Rn）：（2.2）dXs=[AsXs+B′sus+bs]ds+dXj=1[CjsXs+Djsus+σjs]dWjs，Xt=Xt。对于任何控制u∈ LF（t，t；Rl），存在唯一解Xt，Xt，u∈ 如果(Ohm; C（t，t；Rn））。在系统状态为Xt=Xt的t时，我们的目标是最小化EJ（t，Xt；u）△=EtZTt[hQsXs，Xsi+hRsus，usi]ds+Et[hGXT，XTi]-hhEt[XT]，Et[XT]i- huxt+u，Et[xt]i（2.3）在u上∈ LF（t，t；Rl），其中X=Xt，Xt，u，a和Et[·]=E[·| Ft]。在上述情况下，Q和R都是正半定义且在[0，T]上本质上有界的适应过程，其值分别为Sn和sl，G、h、u、u分别是Sn、Sn、Rn×n、rnn中的常数，而且G是正半定义。我们按照以下方式定义平衡（控制）。给你一个控制*, 无论如何∈ [0，T），ε>0和v∈ LFt(Ohm; 定义（2.4）ut，ε，vs=u*s+v1s∈[t，t+ε），s∈ [t，t]。定义2.1勒图*∈ LF（0，T；Rl）是gi-ven控制和X*国家进程是否与美国相符*. 控制u*被称为平衡iflim infε↓0J（t，X）*Tut，ε，v）- J（t，X）*TU*)ε≥ 0，其中ut，ε，由（2.4）定义，对于任何t∈ [0，T）和v∈ LFt(Ohm; Rl）。请注意，在这里，我们将[6]中的lim更改为该定义中的lim inf，从而产生了一个更精确的定义。因此，在[6]中导出的充分条件也适用于这种新定义。另一方面，新定义的唯一性结果也将意味着旧定义的唯一性。

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mingdashike22

2022-5-8 01:12:33

基于这些原因，上述定义似乎更为恰当。3平衡控制的必要和有效条件在我们的前一篇文章[6]中，通过局部尖峰变化的二阶展开导出了一个有效条件，这与证明随机Pontryagin最大原理的精神相同[7,8,12]。在本节中，我们给出了平衡的一般必要条件和充分条件。这个条件是由一个包含条件期望的随机勒贝格微分定理实现的。后一个定理本身很有趣，据我们所知是新的。接下来，我们从我们之前论文[6]中的一些相关已知结果开始。莱图*成为固定控制和X*是相应的状态过程。无论如何∈ [0，T），定义时间间隔[T，T]内的过程（p（·T），（kj（·T））j=1，·d）∈ LF（t，t；Rn）×（LF（t，t；Rn））是（3.1）的唯一解dp（s；t）=-[A′sp（s；t）+Pdj=1（Cjs′kj（s；t）+QsX*s] ds+Pdj=1kj（s；t）dWjs，s∈ [t，t]，p（t；t）=GX*T- hEt[X*[T]- uX*T- u.此外，定义（P（·t），（Kj（·t））j=1，·d）∈ LF（t，t；Sn）×（LF（t，t；Sn））是（3.2）的唯一解决方案dP（s；t）=-nA′sP（s；t）+P（s；t）As+Pdj=1[（Cjs′P（s；t）Cjs+（Cjs′Kj（s；t）+Kj（s；t）Cjs]+Qsods+Pdj=1Kj（s；t）dWjs，s∈ [t，t]，P（t；t）=G。以下在局部尖峰变化下的估计由[6，命题3.1]复制而来。命题3.1适用于任何t∈ [0，T），ε>0和v∈ LFt(Ohm; 定义，ε，vby（2。

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kedemingshi

2022-5-8 01:12:38

4).然后（3.3）J（t，X*Tut，ε，v）- J（t，X）*TU*) = EtZt+εth∧（s；t），vi+hH（s；t）v，vids+o（ε），其中∧（s；t）△= Bsp（s；t）+Pdj=1（Djs）′kj（s；t）+Rsu*沙H（s；t）△= Rs+Pdj=1（Djs）′P（s；t）Djs。鉴于命题3.1和H（s；t） 0，这是一个很好的方法，可以得到一个平衡点的以下特征。推论3.2 A控制u*∈ LF（0，T，Rl）是一个平衡态，如果只有（3.4）limε↓0εZt+εtEt[λ（s；t）]ds=0，a.s。，T∈ [0，T）。下一个结果为BSDE（3.1）的解提供了一个关键性质，并以一种特殊形式表示过程∧（s；T）。命题3.3适用于任何给定的状态和控制过程对（X*, U*), 对于a.e.s.（3.1）满足k（s；t）=k（s；t）的解≥ 麦克斯（t，t）。此外，还存在λ∈LF（0，T；Rl），λ∈ L∞F（0，T；Rl×n）和ξ∈ L(Ohm; C（0，T；Rn）），使得∧（s；T）具有∧（s；T）=λ（s）+λ（s）ξT的表达式。证明：定义函数ψ（·）为矩阵值有序微分方程（ODE）dψ（T）=ψ（T）A（T）′dt，ψ（T）=In的唯一解，其中不表示n×n单位矩阵。很明显，ψ（·）是可逆的，ψ（·）和ψ（·）都是可逆的-1有界。设^p（s；t）=ψ（s）p（s；t）+hEt[X*T] +uX*t+u和^kj（s；t）=ψ（s）kj（s；t），对于j=1，··，d。然后在t上，区间[t，t]，（p（·；t），k（·；t））满足（3.5）d^p（s；t）=-hPdj=1ψ（s）（Cjs）′ψ（s）-1^kj（s；t）+ψ（s）QsX*sids+Pdj=1^kj（s；t）DWJ，^p（t；t）=GX*T.注意，无论是终端条件还是该方程的系数都不依赖于T；因此，可以将其视为整个时间间隔[0，t]上的BSDE。表示其溶液nas（^p（s），^k（s）），s∈ [0，T]。然后，它来自于在s处BSDEthat（^p（s；t），^k（s；t））=（^p（s），^k（s））的解的唯一性∈ [t，t]对于任何t∈ [0，T]。

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何人来此

2022-5-8 01:12:41

因此，k（s；t）=ψ（s）-1^k（s）：=k（s），证明命题的第一个主张。接下来，p（s；t）=ψ（s）-1^p（s）- ψ（s）-1（hEt[X*T] +uX*t+u）=p（s）+ψ（s）-1ξt，其中ξt:=-hEt[X*[T]- uX*T- u定义过程ξ∈ 如果(Ohm; C（0，T；Rn））和p（s）：=ψ（s）-1^p（s）定义了流程p∈ 如果(Ohm; C（0，T；Rn））。因此∧（s；t）=Bsp（s；t）+dXj=1（Djs）′kj（s；t）+Rsu*s=Bsp（s）+dXj=1（Djs）′kj（s）+Rsu*s+Bsψ（s）-1ξt=λ（s）+λ（s）ξt，其中λ（s）：=Bsp（s）+Pdj=1（Djs′kj（s）+Rsu*沙λ（s）：=Bsψ（s）-1.Q.E.D.我们现在开始推导平衡控制的一般必要和有效条件。虽然（3.4）已经提供了一个表征条件，但它并不是很有用，因为它涉及一个极限。根据勒贝格微分定理的精神，我们很容易期望这里的极限t是∧（t；t）。然而，由于（3.4）中涉及FTI的条件期望，任何人都需要小心。下面的一般结果可以看作是一个随机勒贝格微分定理。虽然它在本文中服务于我们的目的，但它本身是有意义的，可能对各种随机控制问题有潜在的用处。引理3.4 Le t Y∈ LF（0，T；Rl）是一个给定的过程。如果limε↓0εRt+εtEt[Ys]ds=0，a.e.t∈[0，T），a.s.，然后Yt=0，a.e.T∈ [0，T），a.s..证据：自LFT(Ohm; Rl）是一个可分空间，根据（确定性）勒贝斯盖微分定理，存在一个可数稠密子集D LFT(Ohm; Rl）∩L∞英尺(Ohm; 对于几乎所有的t，我们有（3.6）limε↓0εZt+εtE[hYs，ηi]ds=E[hYt，ηi]，η ∈ D、和limε↓0εRt+εtE[Ys]ds=E[Yt]。对于任何η∈ D、定义ηs=Es[η]。然后E[hYs，ηi]=E[hYs，ηsi]。

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能者818

2022-5-8 01:12:45

我们有以下估计：limε↓0εZt+εtE[hYs，ηs- ηti]ds≤ limε↓0εsZt+εtE[Ys]dsZt+εtE[（ηs- ηt）]ds=limε↓0sεZt+εtE[Ys]dssεZt+εtE[（ηs- ηt）]ds≤ limε↓0sεZt+εtE[Ys]dsrsups∈[t，t+ε]E[（ηs- ηt）]≤ 2 limε↓0sεZt+εtE[Ys]dspE[（ηt+ε- ηt）]=0，其中最后一个不等式是由Doob的鞅不等式引起的，因为η是平方可积的。该定理的一个简单版本表明，如果η是[0，t]上的一个可积实函数，则λε↓0εRt+εtа（s）ds=а（t）a.e.t∈ [0，T]。鞅。因此对于任何η∈ D、 E[hYt，ηti]=E[hYt，ηi]=limε↓0εZt+εtE[hYs，ηi]ds=limε↓0εZt+εtE[hYs，ηsi]ds=limε↓0εZt+εtE[hYs，ηti]ds=limε↓0εZt+εtE[hEt[Ys]，ηti]ds=limε↓0EhεZt+εtEt[Ys]ds，ηti.“从那时起”εZt+εtEt[Ys]ds#≤ EZt+εtεdsZt+εtEt[Ys]ds=εEZt+εtEt[Ys]ds≤εZt+εtEYds和limε↓0εRt+εtE[Ys]ds=E[Yt]，存在一个常数δt>0，因此E“εZt+εtEt[Ys]ds#< 2EYt, ε ∈ （0，δt）。这意味着tεRt+εtEt[Ys]ds在ε中是一致可积的∈ （0，δt）。亨塞利姆ε↓0EεZt+εtEt[Ys]ds= Elimε↓0εZt+εtEt[Ys]ds= 因为η本质上是有界的，所以ηt也是有界的；因此，存在一个常数c>0EhεZt+εtEt[Ys]ds，ηti≤ 总工程师εZt+εtEt[Ys]ds→ 0，意味着limε↓0EhεZt+εtEt[Ys]ds，ηti= 因此E[hYt，ηi]=0，a.E.t∈ [0，T]对于任何η∈ D、这意味着y=0，a.e.t∈ [0，T]，a.s。。Q.E.D.我们现在可以提交本节的ma结果。定理3.5给定一个控制u*∈ LF（0，T；Rl），让X*是对应的状态过程s和（p（·；t），k（·；t））∈ LF（t，t；Rn）×（LF（t，t；Rn））dbe是BSDE（3.1）的唯一解决方案。然后你*是平衡控制当且仅当（3.7）∧（t；t）=0，a.s.，a.e.t∈ [0，T]。证明：回想一下，我们有∧（s；t）=λ（s）+λ（s）ξt的表示。

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能者818

2022-5-8 01:12:48

因为λ是本质有界的，ξ是连续的，所以我们有limε↓0EtεZt+εt |λ（s）（ξs）- ξt）|ds≤ c limε↓0εZt+εtEt[|ξs- ξt |]ds=0，其中最后一个等式是因为Et[|ξs- ξt |]是s的连续函数，在s=t时消失。然后它跟随limε↓0εZt+εtEt[λ（s；t）]ds=limε↓0εZt+εtEt[λ（s；s）]ds。现在，如果（3.7）成立，那么limε↓0εZt+εtEt[λ（s；t）]ds=limε↓0εZt+εtEt[λ（s；s）]ds=0。相反，如果（3.4）成立，则limε↓0εRt+εtEt[λ（s；s）]ds=0，通过引理3.4的virtueof得到（3.7）。Q.E.D.4唯一性当状态是一维且系数是确定的时，在我们之前的论文[6]中，当状态变量是标量值，即n=1，且所有系数都是确定的时，显式平衡基本上是基于等价条件（3.7）构建的（尽管我们还无法在那里证明）。在本节中，我们将证明在相同的设置下，平衡实际上是唯一的，这要感谢（3.7）。在本节中，我们假设n=1，所有参数A、B、B、Cj、Dj、σj、qan和R都是t的确定函数。

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能者818

2022-5-8 01:12:52

在这种情况下，受控系统减少到（4.1）dXs=[AsXs+B′sus+bs]ds+[CsXs+Dsus+σs]′dWs；X=X，其中C:=（C，···，Cd）′，D:=（（D）′，···，（Dd）′，σ：=（σ，··，σD）′。因此，BSDE（3.1）被简化为（还注意到k（s；t）≡ k（s））（4.2）dp（s；t）=-[Asp（s；t）+C′sk（s）+QsX*s] ds+k（s）′dWs，s∈ [t，t]，p（t；t）=GX*T- hEt[X*[T]- uX*T- u，而相应的∧（s；t）现在的形式是∧（s；t）=Bsp（s；t）+D′sk（s）+Rsu*s、在[6]中，通过以下常微分方程组的解构造了一个平衡控制（为了简化符号，我们抑制了下标s）：0=˙M+（2A+|C |）M+Q-M（B′+C′D）（R+MD′D）-1[（M- N- Γ（1）B+MD′C]，s∈ [0，T]，MT=G；(4.3)0=˙N+2AN-NB′（R+MD′D）-1[（M- N- Γ（1）B+MD′C]，s∈ [0，T]，NT=h；(4.4)˙Γ(1)= -AΓ（1），s∈ [0，T]，Γ（1）T=u；(4.5)0=˙Φ+{A- [（M）- N） B′+MC′D]（R+MD′D）-1B}Φ+（M）- N） b+C′Mσ- [（M）- N） B′+MC′D]（R+MD′D）-1MD′σ，s∈ [0，T]，ΦT=-u.（4.6）如果这个方程组允许一个解（M，N，Γ（1），Φ），那么反馈控制器aw（4.7）u*s=αsX*s+βsde定义了一个平衡，其中（4.8）αs△= -（Rs+MsD\'sDs）-1[（毫秒）- Ns- Γ（1）s）Bs+MsD′sCs]，βs△= -（Rs+MsD\'sDs）-1（ΦsBs+MsD的σs）；参见[6，定理4.4]。[6]还研究了（4.3）-（4.6）解的存在性。下一个定理规定，上面构造的控制是唯一的平衡。定理4.1如果（4.3）-（4.6）允许解（M，N，Γ（1），Φ），则存在唯一的平衡控制。证明：假设存在另一个平衡态——控制对（X，u）。然后，随着符号的滥用，等式（3.1）与X*替换为X，允许满足∧（s；s）的唯一解（p（·；t），k（·））≡ Bsp（s；s）+D′sk（s）+RSU=0表示a.e。

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何人来此

2022-5-8 01:12:57

s∈ [0，T]。定义p（s；t）：=p（s；t）- （MsXs）- NsEt[Xs]- Γ（1）sXt+Φs，\'k（s）：=k（s）- Ms（CsXs+Dsus+σs）。（X，u）yieldsb的平衡条件p（s；s）+（Ms- Ns- Γ（1）s）Xs+Φs+ D\'s\'k（s）+Ms（CsXs+Dsus+σs）+ RSU=0。由于Rs+D′sMSD是可逆的，我们用上述方程求解f，得到以下表达式（4.9）us=-（Rs+D′sMsDs）-1.Bs-p（s；s）+D\'s-k（s）+（Bs（Ms）- Ns- Γ（1）s）+D′sMsCs）Xs+BsΦs+D′sMsσsi。另一方面，我们可以证明（\'p（·；t），\'k（·））满足以下BSDE（详见附录a）：（4.10）dp（s；t）=-A\'p（s；t）+C\'k（s）- [C\'MD+MB\'][R+D\'MD]-1[B′p（s；s）+D′k（s）]+NB′[R+D′MD]-1EtB\'p（s；s）+D\'k（s）ds+k（s）′dWs，s∈ [t，t]，\'p（t；t）=0，其中我们抑制了A，B，C，D，M，N，R的下标s，我们使用了M，N，Γ（1），Φ的方程。此外，很容易证明EhRT|k（s）|dsi<+∞ 和支持∈[0，T]E小吃≥t|p（s；t）|< + ∞.在下一个定理中，我们将证明方程（4.10）在空间L×L中最多允许一个解，其中L:=（X（·；·）：X（·；t）∈ 左（t，t；R），支援∈[0，T]E小吃≥t | X（s；t）|< + ∞),andL:=（Y（·；·）：Y（·；t）∈ 左（t，t；Rd），主管∈[0，T]EZTt | Y（s；t）|ds< +∞).因此“p（s；t）≡ 0和k（s）≡ 0.最后，堵塞\'p≡“k”≡ 0到（4.9），我们发现u的反馈控制形式与u完全相同*; 见（4.7）。这证明了你和你*导致相同的控制。Q.E.D.（4.10）解的唯一性还有待证明。

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kedemingshi

2022-5-8 01:13:01

事实上，我们将为更一般的方程式（4.11）做这件事dp（s；t）=-Fs、 \'p（s；t），\'p（s；s），Et[l（s）\'p（s；s）]，\'k（s；t），Etl（s）k（s；t）ds+-k（s；t）′dWs，s∈ [t，t]，\'p（t；t）=0，其中land是两个具有适当维数的本质有界的自适应向量过程，f（s，······）是一个确定性函数，满足除s以外的所有变量的统一m Lipschitz条件。定理4.2方程（4.11）在空间L×L中最多有一个解（\'p，\'k）。证明：假设有两个解（\'p（1），\'k（1））和（\'p（2），空间L×L.define’p（s；t）中的k（2）△= \'p（1）（s；t）- \'p（2）（s；t），\'k（s；t）△=\'k（1）（s；t）-\'k（2）（s；t）和f（s；t）△= f（s，\'p（1）（s；t），\'p（1）（s；s）等l（s）p（1）（s；s）,\'k（1）（s；t）等l（s）k（1）（s；t）)-f（s，\'p（2）（s；t），\'p（2）（s；s）等l（s）p（2）（s；s）,\'k（2）（s；t）等l（s）k（2）（s；t）).然后|f（s；t）|≤ C|\'p（s；t）|+|k（s；t）|+|p（s；s）|+Et[|p（s；s）|]+Et|\'k（s；t）|对于某些常数c，和d′p（s；t）=-f（s；t）dt+\'k（s；t）\'dWs，\'p（t；t）=0。无论如何∈ [0，T]，s∈ [t，t]，根据它的^o公式，我们有| | p（s；t）|+ZTs | k（u；t）| du=2ZTs | p（u；t）f（u；t）du- 2ZTs‘p（u；t）’k（u；t）’dWu。苏斯|\'p（s；t）|+ EZTs|k（u；t）|du≤ 总工程师ZTs|p（u；t）||\'p（u；t）|+|k（u；t）|+|p（u；u）|+Et[|p（u；u）|]+Et|\'k（u；t）|杜≤ 总工程师中兴通讯|\'p（u；t）|+|p（u；u）|杜+EZTs|k（u；t）|du,我们使用了不平等性cxy≤ cx+y对于任何非负的c，x，y。因此，存在c>0使得（4.12）E|\'p（s；t）|+ EZTs|k（u；t）|du≤ 总工程师中兴通讯|\'p（u；t）|+|p（u；u）|杜.此外，对于任何∈ [t，t]，我们有|p（s；t）|+ZTs|k（u；t）|du≤ c（T）- t） “苏普∈[t，t]E|\'p（u；t）|+ 苏普∈[t，t]E|“-p（u；u）|#≤ 2c（T）- t）监督≤U≤s≤TE|\'p（s；u）|.因此（4.13）支持≤U≤s≤TE|\'p（s；u）|≤ 2c（T）- t）监督≤U≤s≤TE|\'p（s；u）|.现在取δ∈ （0,1/（4c））。

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能者818

2022-5-8 01:13:04

那么对于任何一个t∈ [T]- δ、我们有SUPT≤U≤s≤TE|\'p（s；u）|≤监督≤U≤s≤TE|\'p（s；u）|,这意味着支持≤U≤s≤TE[| | p（s；u）|]=0。因此，p（s；u）=0，a.s.几乎在{（s，u）：t中的任何地方≤ U≤ s≤ T}。对于t∈ [T]- 2δ，T- δ] 和s∈ [T]- δ、 T]，因为对于任何u，p（u，u）=0∈ [s，T]，我们在（4.12）之前已经知道了（4.14）E|\'p（s；t）|+ EZTs|k（u；t）|du≤ 总工程师ZTs|p（u；t）|du.然后，Grownwall不等式会导致“p（s；t）=”k（s；t）=0。对于t∈ [T]-2δ，T-δ] 和s∈ [t，t]-δ] ，注意“p（T-δ; t） =0，我们可以将前面的参数应用于区域t∈ [T]- δ、 T]和s∈ [t，t]来推断`p（s；t）=`k（s；t）=0。然后我们可以以向后的方式重复相同的分析∈ [T]- 3δ，T- 2δ]所以当我们到达时间t=0时。Q.E.D.5随机参数完全市场中均值-方差均衡策略的唯一性[6]作为时间不一致LQ理论的应用，我们研究了具有随机模型系数的完全市场中的连续时间马尔科维茨均值-方差投资组合选择模型。我们的目标是建立均衡策略的唯一性。该模型在数学上是本文前面提出的一般LQ问题的特例，n=1。然而，由于一些系数允许是随机的，所以前一节的唯一性结果在这里不适用。我们使用与[6]相同的设置。财富方程式由SDE（5.1）管理dXs=rsXsds+θ′susds+u′sdWs，s∈ [t，t]，Xt=Xt，其中r是（不确定的）确定性利息率函数，θ是本质上有界的随机风险溢价过程。状态为Xt=Xt的时间t的目标是最小化EJ（t，Xt；u）△=瓦特（XT）- （uxt+u）Et[xt]（5.2）=Et[XT]- （Et[XT]）- （uxt+u）Et[xt]与u≥ 0

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可人4

2022-5-8 01:13:08

如[6]所述，该模型中存在两个时间不一致性来源，一个来自方差t项，另一个来自均值和方差之间依赖于状态的权衡。在[6，第5节]中，我们通过溶液（M，U），（Γ（1），γ（1）），（Γ（2），γ（2））和（Γ（3），γ（3））构造了一个平衡点，以BSDE:（5.3）dMs=-[2rsMs+（θsMs+Us）′αs]ds+U′sdWs，MT=1，dΓ（1）s=-rsΓ（1）sds+（γ（1）s′dWs，Γ（1）T=u，dΓ（2）s=-[rsΓ（2）s+（θsMs+Us）′βs]ds+（γ（2）s′dWs，Γ（2）T=-u，dΓ（3）s=-[rsΓ（3）s+（θsMs+Us）′βs]ds+（γ（3）s′dWs，Γ（3）T=0，其中（5.4）αs△= -M-1s-θsΓ（1）s+Us- γ（1）s,βs△= -M-1shθs（Γ（2）s）- Γ（3）s）+γ（2）si。在这种情况下，对应于给定策略（控制）u的p（·；t）的BSD E（3.1）*通过财富（状态）过程X*专攻（5.5）dp（s；t）=-rsp（s；t）ds+k（s）′dWs，p（t；t）=X*T- Et[X*[T]- uX*T- u，对应的∧（s；t）是∧（s；t）=p（s；t）θs+k（s）。[6，命题5.1]证明了BSDEs系统（5.3）同时具有M和M的唯一解-1有界，且U·W为BMO鞅。此外，反馈策略（5.6）u*s=αsX*s+βsde在空间LF（0，T；Rd）中定义了一个控制，这是均值-方差投资问题的均衡策略。我们现在宣称上面的平衡是唯一的。对于任何q>1，定义（q）：={X（·；·）：X（·；t）∈ LqF(Ohm; C（t，t；R）） T∈ [0，T]}，andL（q）：=（Y（·）：Y被调整，E“ZTt | Y（s）| dsq/2#+∞).定理5.1对于均值-方差问题（5.1）-（5.2），有一个唯一的均衡策略，它与反馈LAW（5.6）产生的均衡策略相同。证明：假设存在其他均衡财富——策略对（X，u）。然后方程（5.5），X*替换为X，允许满足∧（s；s）的唯一解（p（·；t），k（·））≡p（s；s）θs+k（s）=0表示a.e。

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能者818

2022-5-8 01:13:12

s∈ [0，T]。[6]证明了M，M-1、Γ（1）、Γ（2）和Γ（3）都是有界的，γ（2）·W和U·W都是BMO-mart内浇道。特别是，由于U·W是一个BMO鞅，它遵循John–Nirenberg不等式（见Kazamaki[5，定理2.2，p.29]），存在ε>0，使得EheεRT | Us | dsi<+∞. 所以呢RT | Us | ds齐<+∞ 对于anyq>0。定义p（s；t）：=p（s；t）-hMsXs+Γ（2）s- EMsXs+Γ（3）s- Γ（1）sXti，\'k（s）=k（s）-Msus+UsXs+γ（2）s.检查这一点很容易∈ L（2）。另一方面，k∈ LF（0，T；Rd），Mu+γ（2）∈LF（0，T；Rd），对于任何q∈ （1,2），E“ZT | UsXs | dsq/2#≤ E“sups∈[0，T]| Xs | qZT | Us | dsq/2#≤E“sups∈[0，T]| Xs |#！q/2E“ZT | Us | dsq/（2）-q） #！1.-q/2<+∞.加上LF（0，T；Rd） L（q）Q∈ （1,2），暗示“k”∈ L（q）forq∈ (1, 2).此外，等价条件给出了‘p（s；s）θs+’k（s）+θs[Γ（2）s）- Γ（3）s- Γ（1）sXs]+[Msus+UsXs+γ（2）s]=0。求解（5.7）us中的uswe obta=-M-1sh（美国）- θsΓ（1）s）Xs+θs′p（s；s）+k（s）+θs（2）s- Γ（3）s）+γ（2）si=αsXs+βs- M-1s[θs\'p（s；s）+k（s）]。接下来，我们可以推导出（\'p（·；t）、\'k（·））满足的下列BSDE（详情见附录B）（5.8）dp（s；t）=-卢比（标准差）- （θs+UsM）-1s）′[θs′p（s；s）+k（s）]+Et（θs+UsM）-1s）′[θs′p（s；s）+k（s）]ds+k（s）′dWs，s∈ [t，t]，\'p（t；t）=0。我们将在下一个定理中证明，对于某些q，这个方程在空间L（q）×L（q）中最多允许一个解（\'p，\'k）∈ （1,2），导致“p”≡ 0和k≡ 因此，我们有我们=αsXs+βs。换句话说，我们的反馈形式与u完全相同*s、这就建立了独特性。任意Q的Q.E.D.定理5.2∈ （1,2），等式（5.8）几乎允许一个解（\'p，\'k）∈L（q）×L（q）。证明：固定t。在（5.8）的积分形式的两边取Et[·]，注意到rst＠k·W是鞅，我们得到Et[＠p（s；t）]=ZTsrνEt[＠p（v；t）]dν，这意味着对于任何s，Et[＠p（s；t）]=0≥ T

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何人来此

2022-5-8 01:13:16

特别是，取s=t，我们得到了p（t；t）=0。因此，方程式（5.8）简化为（5.9）dp（s；t）=-卢比（标准差）- （θs+UsM）-1s）′k（s）+Et（θs+UsM）-1s）′k（s）ds+\'k（s）\'dWs，\'p（T；T）=0。由于r是确定性且有界的，我们可以用e来贴现p（s；t）-RTSRVDVT以删除该项-上述等式右侧的rs’p（s；t）；因此，我们假设≡ 0而不丧失通用性。定义p（s；t）：=\'p（s；t）-RTsEt（θv+UvM）-1v）′k（v）dv。然后，p（T；T）=0和dp（s；T）=（θs+UsM）-1s′k（s）ds+k（s）dWs。对于任何“q”∈ （1，q），表示^q=q/^q，和1/^p+1/^q=1。那就吃吧∈[t，t]ZTsEthθν+UνM-1ν′\'k（ν）idν“q”#≤ E“ZTtθν+UνM-1ν′\'k（ν）dν“q”#≤ 行政长官“ZTt|θ′νk（ν）|dν“q#+cE”ZTtM-1|U′νk（ν）|dν“q”#≤ 行政长官“ZTt|k（ν）|dν“q/2#+cE”ZTt | Uν| dν“q/2ZTt|k（ν）|dν“q/2#≤ c+cE“ZTt | Uν| dν“q^p/2#！”！1/^pE“ZTt|k（ν）|dνq/2#！1/^q<+∞,式中c，c，c表示适当常数。另一方面，假设∈ L（q）。因此，E小吃∈[t，t]|p（s；t）| q< + ∞.定义ξ=E(-（θs+UsM）-1s）·W）T≡ E-RT |θs+UsM-1s | ds-RT（θs+UsM）-1s）′dWs。自从嗯-1·W是BMO鞅，E[ξ]=1；因此，它可以用来定义一个新的概率测度bydQdP=ξ，其中^Ws=Ws+Rs（θv+UvM）-1v）dv是标准的布朗运动。此外，dp（s；t）=k（s）\'d^Ws，~p（t；t）=0。应用^o公式，我们得到了dm-1s=-M-2sdMs+M-3S USDS=M-1s（“θ（Γ（1）sMs- 1） UsMs+Γ（1）s |θs | M#ds-U\'sMsdWs）。亨塞姆-1T=M-1exp-ZTU′sθsMs- Γ（1）s |θs | Ms+| Us | Ms- Γ（1）sU\'sθsMsds-ZTU\'sMsdWs.ξ与M的比较-1T，我们推导出ξMT=Mexp-ZTΓ（1）s |θs | Msds经验-ZTΓ（1）sθ′smsusmds经验-ZT |θs | ds-ZTθsdWs.很明显，我-RTΓ（1）s |θs | Msdsis有界，e-RT |θs | ds-RTθ′sdWs∈ 对于任何q>1的。此外，对于任意q>1和任意ε>0，存在一个常数C>0，使得eE-RTΓ（1）sθsmsusmds“q”≤ CEheεRT | Us | dsi。我们之前已经证明存在ε>0，使得EheεRT | Us | dsi<+∞.

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mingdashike22

2022-5-8 01:13:19

因此e-RTΓ（1）sθsmsusmds∈ 这反过来证明了ξMT∈ L\'q.然而，M-1是不可能的，所以ξ∈ 对于任何q>1的。现在来看看“q”∈ （1，q）和^q∈ （1，\'q），我们有eq[sups]∈[t，t]|p（s；t）|q]=E“sups”∈[t，t]|p（s；t）|qξ#≤E“sups∈[t，t]| | p（s；t）| | q#！^q/^qEξ\'q/（\'q）-^q）（`q）-^q）/^q<+∞,这意味着p（·；t）是Q-鞅，因此p≡ 0和k≡ 0.因为p（s；t）=p（s；t）+RTsEt（θv+UvM）-1v）′k（v）dv，我们得出结论≡ 0.Q.E.D.6结论：在缺乏传统时间一致性的情况下，均衡控制是解决动态控制问题的一种替代的、较弱的概念。我们在本文中建立的唯一性结果（如果仅适用于某些特殊情况）不仅从一个重要方面证明了时间不一致动态决策的博弈公式，而且从另一个角度证明了对开放循环（而非反馈）控制集均衡的定义。他们还阐明了寻找更一般问题唯一性的条件。由于均衡是通过博弈公式的局部摄动来定义的，与时间一致性问题的最优解不同，它们本质上不会导致相同的价值过程。解决方案的唯一性确实意味着价值过程的唯一性，而价值过程又解决了诸如“为什么用这种方式定义均衡”或“如果有多个解决方案，选择哪一个”之类的问题。我们意识到，在本文中，唯一性仅针对LQ控制问题的一些特殊类建立。对于一般时间不一致的LQ问题，甚至没有n-LQ问题，平衡点的存在唯一性仍然是一个突出的研究问题。参考文献[1]Bj¨ork T.和A.Murgoci，《马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论》，1694759，社会科学研究网络（SSR N），2010年。

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何人来此

2022-5-8 01:13:22

可在线获取athttp://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1694759.[2] T.Bj¨ork，A.Murgoci和X.Y.Zhou，具有状态依赖风险的平均变量投资组合优化，数学。《金融》，第24期（2014），第1-24页。[3] I.Ekeland和T.A.Pirvu，《没有承诺的投资和消费》，数学。财务部。经济。，2 (2008), 57–86.[4] S.R.Gredadier和N.Wang，《不确定性和时间不一致偏好下的投资》，金融经济学杂志，84（2007），2-39。[5] N.Kazamaki，连续指数鞅和BMO，Springer Verlag，柏林，1994。[6] 胡耀华，金海华和周晓霞，时间不一致随机线性二次控制，暹罗J.控制优化。，50 (20 12), 15 48–1572.[7] L.S.Pontryagin，V.G.Boltyanskii，R.V.Gamkrelidze和E.F.Mishchenko，《最优过程的数学理论》，约翰·威利，纽约，1962年。[8] S.Peng，最优控制问题的一般随机极大值原理，SIAMJ。控制Optim。，28 (1990), 966–979.[9] R.H.Strotz，动态效用最大化中的近视和不一致性，修订版。经济研究，23（1955），165-180。[10] N.Vieille和J.W.Weibull，准优惠折扣下的多重解。《经济理论》，39（2009），51 3-526。[11] J.Yong，时间不一致最优控制问题与平衡HJB方程，数学。控制关系。Fields，2（2012），271–329。[12] 杨勇和周小燕，随机控制：哈密顿系统和HJB方程，S pringer–Verlag，纽约，1999。（4.10）的一个推导，我们将（4.9）写成us=αsXs+βs+vsvs，其中Vs:=-（Rs+MsD\'sDs）-1[Bs\'p（s；s）+D\'s\'k（s）]和α-sandβ由（4.8）给出。

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