此外，窄可信带包含f（·）和bf（v | Y）≈ f（v）在整个再补给港[0,1]；这个估计是准确的。此外，因为我们知道f（·），我们可以通过估计值和真实密度之间的L距离来测量精度：d[bf（·| Y），f（·）]=Z[bf（x | Y）- f（x）]dx1/2= 0.069.图11（b）是{θu，（s）}（CRR A系数）的柱状图，该柱状图是根据第一次价格拍卖25中的歧义性得出的。正确估值的后验概率0.5100.511.522.5（a）估值密度的后验概率值密度的后验概率0.050100150200250300（b）CRRA系数的后验概率CRRAHISTOGRAM0.5100.20.40.60.81（c）D函数的后验概率真实概率扭曲概率0.5100.20.40.60.8保留价格收入（D）收入函数，n=20.5100.20.40.60.8保留价格收入（e）收入函数，n=5图12*图（a）显示了估值密度的后验均值和95%可信区间。小组（b）是CRRA系数的后部。面板（c）总结了D功能的后部。图（d）和图（e）显示了n=2和n=5病例的收入函数。在面板（a）、（c）、（d）和（e）上，真实量a是实线。（面板（c）显示身份。）后验分布。确定CRRA系数bθu:=SSXs=1θu，（s）a.s.的贝叶斯估计-→ E[θu | Y]作为S→ ∞,这是θu的后验平均值。我们得到bθu=0.29(≈ θu=0.3），后标准偏差为0.14。预测D（γ）f或γ的概率∈ [0，1]由bd（γ| Y）：=SSXs=1D（γ|θ（s））a.s.给出-→ E[D（γ|θ）| Y]，作为S→ ∞.图11（c）显示了SBD（·| Y）及其逐点2.5和97.5后百分位数（虚线）。可信区间似乎包含D（·）（实线）和D[bD（·| Y），D（·）]=0.018，这表明我们的估计具有很高的准确性。26 G.ARYAL和D。

Kims投标人是模糊中性的后验概率由sxs=1hθD（s）<0ia估计。s-→ EhθD（s）<0易建联→ ∞. （17） 我们发现后验概率仅为2.13%，因此提供了模糊厌恶的有力证据。接下来，我们考虑选择一个保留价格ρ以使卖方的预期收益最大化的决策问题。设∏n（θ，ρ）表示卖方在θ下ρ处的预期均衡∈ Θ在与n名投标人的首价拍卖中。然后，给出了后预测收益的表达式为[n（θ，ρ）|Y]=ZΘ∏n（θ，ρ）p（θ| Y）dθ。（18） 主观预期效用理论（1954）；Anscombe和Aumann（1963）假设最大化是合理的（18）。设ρBn:=arg maxρE[πn（θ，ρ）|Y]，称为贝叶斯作用。为了选择ρBn，我们用b∏n（ρ）：=SSXs=1∏n（θ（s），ρ），（19）估计（18），如图11（d）所示，n=2（和图11（e）所示，n=5），以及95%的后验可信带（虚线）。表1的第1行显示ρBn=2=0.26，在该值下，预测收益b∏n=2（ρBn=2）=0.312。此外，b∏n=2（θ，ρBn=2）的后验百分位数2.5和97.5构成了ρBn=2时收入的95%后验可信区间[0.296,0.329]。该区间包括真实收入∏n=2（ρBn=2）=0.309，这基本等同于∏n=2（ρn=2），其中ρn=arg maxρn（ρ）。因此，与使用ρn=2相比，使用ρBn=2没有收益。表1的第4行总结了n=5.3.4的政策含义。讨论在结束本节之前，我们将讨论为什么我们在贝叶斯框架中采用直接方法，而不是采用自Guerre、Perrigne和Vuong（2000）以来一直使用的间接方法——后者首先估计投标分布函数，并根据一阶条件从估计中恢复原语。

首先，由于在直接方法下施加形状限制是相对直接的，我们可以很容易地得出，在平均风险原则下，s解ρbn也是最优的，这是一种广泛使用的频繁决策准则；希伯格（1985）；金（2013、2014）。此外，我们还注意到，估计问题是决策问题的一个特例，其中参数的后验平均值是与平方误差损失有关的Bayes作用。因此，贝叶斯估计在理论上是最优的。首次价格拍卖中的模糊性：建立一个实证框架，其中计量经济学方法与基础经济模型内在一致。例如，在直接方法下，投标函数的单调性会自动满足，但与估计的投标分配函数（间接方法）相关的反向投标函数可能不是单调的，除非明确施加。这种违反形状条件的行为可能会降低效率，因为可用信息没有得到充分利用，而且还会使政策建议无效，因为替代政策下的反事实分析只有在满足模型假设（如投标单调性）时才有效，见Kim（2014）。第二，如今，计算功能远比几十年前强大，而且更便宜。Guerre、Perrigne和Vuong（2000）通过提供一个计算上可行的非参数框架，广泛拓宽了经验拍卖文献的范围，在90年代或之前，这些文献在几个非常简单的理论框架内放弃了严格规定的统计模型，这主要是因为评估可能性的计算困难。我们不再有这样的计算限制。

在接下来的部分中，我们将使用作者的台式/笔记本电脑在许多蒙特卡罗实验中运行我们的经验方法。一旦选择了直接方法，贝叶斯方法比频繁方法有几个优点。来自首次价格拍卖的投标数据的统计模型是不规则的，因为投标的支持取决于兴趣参数。Hirano和Porter（2003）表明，在这种情况下，贝叶斯估计是有效的，但最大似然估计（MLE）是无效的。此外，贝叶斯方法提供了一个自然环境的决策理论框架，这对希望选择一个备用价格以实现预期收益最大化的卖方是有用的；seeAryal和Kim（2013）；金（2013、2014）。最后，在参数空间边界上的参数情况下，贝叶斯方法更有用，在这种情况下，贝叶斯估计量和最大似然估计通常都有偏差。正如前面提到的，通过在参数空间的子空间上设置一个正的先验，我们可以减少贝叶斯分析的偏差。例如，即使真正的D-函数是恒等式（无歧义），限制D-函数被恒等式函数约束的经验方法也会产生向下偏差的估计。Rano和Porter（2003）的结果是否在相当弱的损失函数和收益假设下得到，包括我们在本文中使用的误差平方损失和预期收益。（收入的负值是我们分析的不足之处。）28 G.ARYAL和D.Kimal表1。卖方收入的后验分析是预测95%可信的真实收入。在Rev。B.行动的损失（%）行动收入间隔，ρBnwrt最大值。

牧师。ρBnb∏n（ρBn）收入∏n（ρBn）[（D）-（B）]/（B）（A）（B）（C）（D）×100%=（E）n=2修正0.260.312[0.296,0.329]0.309 0.000冗余0。28 0.297[0.283,0.310]0.2920.083被指定为0.12 0.316[0.308,0.324]0.301 2.651n=5正确的0.11 0.538[0.513,0.563]0.524 0.000冗余0。12 0.496[0.480,0.512]0.485 0.000误判0.10 0.537[0.513,0.557]0.524 0.000表2*第（A）列显示了Bayes行动，第（B）列和第（C）列总结了Bayes行动下收入的平均分布和95%可信区间。第（D）列显示了贝叶斯行动的真实收入，第（E）列显示了使用贝叶斯行动相对于真实最大收入的收入损失。通过在θD<0的事件上施加一个正的先验质量来处理这个问题。在下一节中，我们将证实，在没有歧义的情况下，这样一个先验质量可以使后验概率预测D-函数成为身份映射。这样做的代价是，当存在歧义时，后验概率会给身份带来一个正的、不可忽略的概率。4.在本节的Carlo研究中，我们考察了我们的贝叶斯方法在三种不同情况下重复抽样的性能：（i）正确的模型——投标人反对模糊，计量经济学家允许模糊；（ii）冗余模型——投标人是模糊中立的，但计量经济学家允许模糊厌恶；以及（iii）不明确的模型——投标人不喜欢含糊不清，但计量经济学家忽略了这一点。对于每种情况，我们都研究了贝叶斯预测估计的抽样分布，并量化了模型选择对卖方预期收入的影响。总结一下我们的结果：我们证明了我们的方法在不存在歧义（正确）的情况下表现良好，即使没有歧义（冗余），它仍然表现良好。

特别是，不存在过度规范的不可忽视的影响——在首次价格拍卖中重复建模模糊性29图13。正确模型价值0.5 10.51.5（a）密度估计CRRA 0.2 0.4 0.6（b）CRRA系数真实概率0.5 10.20.40.60.8（c）D函数保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.50.60.8（D）收益函数，n=2保留价格0.5 10.10.20.30.50.70.8（e）收益函数，n=5图14*面板（a）显示了估计估值密度的点平均抽样分布和95%的频带。面板（c）是CRRAestimates的柱状图。面板（c）展示了估计的D函数的抽样分布。面板（d）和（e）用于估算收入函数，以及备选投标人数量。实线代表真实的数量。没有——卖方的收入。然而，如果我们使用了一个错误的模型，忽略了模糊性，那么它可能会造成巨大的收入损失。我们通过研究N.4.1的较大集合的情况来结束本节。正确的型号。我们从图3所示的数据集中独立地绘制了M个数据集{zm}Mm=1。然后，对于每个数据实现，我们将在第3节中应用我们的方法。3.这项蒙特卡罗研究产生了估计值{bfm，bDm，bθum}Mm=1和贝叶斯行动，以及相关的真实收入{ρBn，m，n（ρBn，m）}Mm=1∈ {2, 5}. 我们使用M=300并分析zin子段3。3.图13（a）总结了{bfm}Mm=1的抽样分布，通过它们的整体平均值，以及2.5%和97.5%的分位数（虚线）。逐点均值近似于f（实线），9.5%的频带较窄。As30 G.ARYAL和D。

Kim在第3小节中进行了讨论。3.4，此处估计值的抽样分布不同于第3小节中的后验分布。3：后一个数量表示给定数据的θ的不确定性，而for mer表示与z的随机性相关的贝叶斯估计（后验平均值）的变化。{bDm}Mm=1的抽样分布类似地显示在面板（c）中。面板中的其他曲线具有与之前相同的解释。表3显示，平均积分平方误差（MISE）ofbf为0.0083，MISE ofbD为0.0009，这表明了我们方法的高精度。面板（b）显示了{bθum}Mm=1的直方图——样本平均值为0.293，标准偏差为0.017。均方误差（MSE）由asE[（bθu）给出- θu）]=0.007，其中期望值取样本z。图13中的面板（d）和（e）分别显示了{b∏n=2，m}Mm=1和{b∏n=5，m}Mm=1的抽样分布。回想一下，b∏n（ρ）表示（19）中的后验预测收益，贝叶斯作用是ρBn:=ar g maxρb∏n（ρ）。此外，∏n（ρ）是卖方不知道的真实收入；参见图3（d），ρn:=a r g maxρ∏n（ρ），这是不可行的。因此，卖方可以选择ρBn，并获得∏n（ρBn）的真实收入——我们关注{ρBn，m，∏n（ρBn，m）}Mm=1的抽样分布。{ρBn=2，m}Mm=1的平均值为0.248，标准偏差为0.037，{∏n=2（ρBn=2，m）}Mm=1的平均值为0.308，标准偏差为0.001。

此外，就t∏n=2（ρn=2）而言，采用ρBn=2的平均收入损失仅为0.398%。最后，我们考虑更大的样本：（i）（Tn=2，Tn=5）=（300120），即2Tn=2+5Tn=5=1200；和（ii）（Tn=2，Tn=5）=（600240），即2Tn=2+5Tn=5=2400。如上所述，对于每种情况，我们用M=300次重复重复进行蒙特卡罗实验，结果发现，随着样本量的增加，估计值变得更准确，收入损失减少，见表3。4.2. 冗余模型。我们独立于图3所示的DGP生成数据集{zm}Mm=1，但我们使用D（γ）=γ，即无歧义厌恶模型。换言之，投标人之间没有歧义。然后，对于每个zm，我们像以前一样应用我们的方法，允许歧义厌恶。我们首先讨论第一个数据的后验分析，然后使用许多数据集{zm}Mm=1研究抽样分布。priorLet^fy是由数据y为真函数f构造的估计。然后，M ISE（^f）=REyh（^f（x）- f（x））idx=RVy[^f（x）]dx+R{Ey[^f（x）]- f（x）}dx=偏差+偏差。只有当方差和偏差都很小时，TheMISE才很小。第一次价格拍卖的模糊性见表3。蒙特卡罗研究，N={2,5}总N.M ISE（bf）M ISE（bD）MSE（bθu）Rev。损失（%）标书规格（A）（B）（c）n=2（D）正确600 0.0083 0.0009 0.007 0.3981200 0.0054 0.0006 0.006 0.30724000 0.0040 0.0004 0.005 0.165冗余600 0.0049 0.0004 0.007 0.1891200 0.0025 0.0004 0.005 0.09424000.0015 0.0003 0.004 0.0100.0128 0.078 2.890.0230 0.087 0.098表0*（A）列和（B）列分别记录了估值密度估计和数据函数估计的MISE。C列（C）显示了CRRAC效率估算的MSE。

（D）列提供了Bayes拍卖相对于真实最大收入的收入损失。对Z的汇总统计数据进行后验预测分析，得出与图5和图9几乎相同的结果。图15显示了图11所示的感兴趣数量的后验分布。值得注意的是bd（γ）≈ D（γ）=γ，其95%可信区间很窄，正确地预测了投标人不会反对模糊性。此外，我们发现无歧义厌恶的后验概率（17）为55%，而先验概率为26%。如果我们在歧义规避模型和歧义中性模型之间选择一个模型，根据贝叶斯模型选择，我们将选择后验概率最大的模型。因此，由于po-steriorad比率为前Pr（无歧义厌恶）后Pr（歧义厌恶）=0.550.45>1，我们将选择无歧义厌恶模型。因为D（·|θ）被限制在恒等式之下；见（10），逐点上界不能大于D。贝叶斯模型比较通常由B-ayesian信息标准或Akaike信息标准近似，每个标准假设不同的先验值。32 G.ARYAL和D.Kim图15还显示，BF和B∏近似于fand∏N，具有nar row可信带，即使歧义规避的冗余建模会产生额外的参数不确定性。此外，冗余建模不会使我们方法的政策建议无效。表1的第2行显示，ρBn=2=0.28，在该值下，后验预测收益b∏n=2（ρBn=2）=0.297。此外，b∏n=2（θ，ρBn=2）的2.5和97.5后百分位构成了ρBn=2时收入的95%后验可信区间[0.283,0.310]。

该区间包括实际收入∏n=2（ρBn=2）=0.290，这非常接近∏n=2（ρn=2）——使用ρBn=2的相关收入损失仅为0.083%。表1第5行还总结了n=5对卖方收入的政策影响。请注意，真正的收入函数不同于上一小节中的函数，因为D是它们的同一性。现在，我们考虑重复抽样，它生成估计值{bfm，bDm，bθum}Mm=1和贝叶斯行动，并关联真实收入{ρBn，m，n（ρBn，m）}Mm=1∈ {2, 5}. 图17总结了感兴趣估计的抽样分布。{bfm}Mm=1，{bDm}Mm=1，{b∏n，m}Mm=1的分布几乎接近真量（精确），它们95%的频带都很窄（精确）。表3显示，平均积分平方误差（MISE）ofbf为0.0049，MISE ofbD为0.0004，这也表明了我们方法的高精度。面板（b）显示了{bθum}Mm=1的直方图——估计值被略微低估，但表3记录了MSE测量的精度为0.0 07，这与正确的模型相同。此外，贝叶斯行动ρbn产生了本质上最优的收入。最后，我们发现，随着样本规模的增加，估计值变得更加准确，收入损失减少；见表3。总之：即使投标人不反对模糊性，D函数的冗余建模既不会降低估计的准确性/精度，也不会使政策建议无效。4.3. 错误的模型。我们独立于图ur e3所示的DGP生成数据集{zm}Mm=1，其中D（γ）位于面板（b）上，即投标人反对歧义。因此，DG P与第4小节中的相同。1，但我们认为计量经济学家忽视了模糊性的存在。

也就是说，对于每个zm，我们应用我们的方法，将D限制为同一性，以调查此类误判对估计和政策影响的影响。第一次价格拍卖中的模糊性如图15所示。冗余模型的后验值0.5 10.51.52.5（a）估值密度的后验值0.2 0.4 0.6（b）CRRA系数的后验真概率0.5 10.20.40.60.8（c）D函数的后验值保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.8（D）收益函数，n=2保留价格0.5 10.10.20.30.50.60.70.8（e）收益函数，n=5图16*面板（a）显示了估值密度的后验点均值和95%可信区间。小组（b）是CRRA系数的后部。面板（c）总结了D功能的后部。图（d）和图（e）显示了n=2和n=5病例的收入函数。在面板（a）、（c）、（d）和（e）上，真实量a是实线。（面板（c）显示身份。）我们首先检查了第一个数据集z的后验分析。对ZI汇总统计数据的前验分析与图5的结果几乎相同，因为数据可以被视为前验数据下的典型实现，这是不同的用途。然而，汇总统计的后验分布，尤其是r n=2，不能预测数据；参见图19，这表明计量经济学家可能需要改进这一规定或修改模型。此外，图21显示，估值密度的后验可信区间不包括很大一部分支撑，θu的后验支撑不包含真实的θu，即估计不准确。模糊厌恶建模的失败会使政策建议失效。表1显示，ρBn=2=0.12预测了b∏n=2（ρBn=2）=0.316的收入，95%可信区间为[0.308,0.324]。

但是，这是34 G.ARYAL和D.Kim图17。冗余模型值0.5 10.51.5（a）密度估计值CRRA0的蒙特卡罗研究。1 0.2 0.3 0.4（b）CRRA系数真实概率0.5 10.20.40.60.8（c）D函数保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.70.8（D）收益函数，n=2保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.70.8（e）收益函数，n=5图18*面板（a）显示了估计估值密度的点平均抽样分布和95%的频带。面板（c）是CRRAestimates的柱状图。面板（c）展示了估计的D函数的抽样分布。面板（d）和（e）用于估算收入函数，以及备选投标人数量。实线代表真实的数量。可信区间不包含真实收入∏n=2（ρBn=2）=0.301，因此，平均收益预测不准确。此外，使用ρBn=2，在与最大收入相关的错误指定下，收入损失约为2.65%。这种收入损失也可以被视为与正确模型相关的收入损失，因为后者本质上产生了最大收入。现在，我们研究了估计{bfm，bDm，bθum}Mm=1和贝叶斯作用的抽样分布，以及相关的真实收入{ρBn，m，∏n（ρBn，m）}Mm=1∈ {2, 5}. 图23总结了感兴趣估计的抽样分布。{bfm}Mm=1的分布并不接近真实的FAN，CRR系数被高估，以至于真实的θu不在直方图的支持下。表3记录了MISE ofbf为0.0214，这是正确特定情况下MISE ofbf的2.57倍，图19显示了首次价格拍卖中的模糊性。

误判模型的后验预测分析0。1 0.2 0.30.20.40.60.8std（bn=2）平均值（bn=2）-1 10.20.40.60.8偏度（bn=2）平均值（bn=2）-1 10.050.10.150.20.250.3倾斜度（bn=2）标准差（bn=2）0.1 0.2 0.30.20.30.40.50.60.70.8标准差（bn=5）平均值（bn=5）-2.-1 10.20.30.40.50.60.70.8偏斜度（bn=5）平均值（bn=5）-2.-1 10.10.150.20.250.3倾斜度（bn=5）标准（bn=5）图20*每个面板通过后面的投标数据点以及实线中原始数据的汇总统计来演示汇总统计的分布。bθu的均方误差是10倍大。此外，与真正的最佳收入∏n（ρn）相比，错误指定下ρbn的收入损失约为2.9%。最后，我们发现，随着样本量的增加和收入损失没有消失，估计值并没有变得更准确（MISE ofbf）。因此，当实证分析没有考虑歧义厌恶时，估计可能不准确，政策建议可能无效，这与没有歧义时对歧义进行冗余建模的情况不同。4.4. n的丰富变化。到目前为止，我们一直在考虑n={2,5}，也就是说，我们观察到两个投标人的拍卖和五个投标人的拍卖。在这里，我们考察了投标人数量变化较大的经验环境——我们考虑N:={2,4,5}，然后N:={2,3,4,5,6}。对于b oth Nand N，与之前一样，我们研究了总共观察到600个投标、1200个投标和每个N的2400个投标的案例∈ NJ竞拍者平等分享竞拍。例如，当我们观察到N的1,200个出价时，我们看到了36 G.ARYAL和D.Kim图21。

错误ci模型的后验值0.5 10.51.52.5（a）估值密度的后验值RRA0。4 0.5 0.6 0.7（b）CRRA系数的后验真概率0.5 10.20.40.60.8（c）D函数的后验保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.70.8（D）收益函数，n=2保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.8（e）收益函数，n=5图22*面板（a）显示了估值密度的后验点均值和95%可信区间。小组（b）是CRRA系数的后部。面板（c）总结了D功能的后部。图（d）和图（e）显示了n=2和n=5病例的收入函数。在面板（a）、（c）、（d）和（e）上，真实量a是实线。（面板（c）显示身份。）观察每一个n的400个出价∈ {2,4,5}投标人拍卖，即我们观察了2002年的两个投标人拍卖、100个四投标人拍卖和80个五投标人拍卖。由于我们考虑了两个N和三个样本大小{600个投标、1200个投标、2400个投标}，因此我们有六对N和样本大小，我们分别考虑了校正模型、冗余模型和误判模型。除了前几小节中的9个实验外，我们在本小节中进行了18个实验。表5和表7分别记录了NandN的蒙特卡罗研究结果。在这两种情况下，我们观察到的模式与我们在N的情况下观察到的模式相同。正确的模型和冗余模型会对模型原语产生准确的估计，而对储备价格的Bayes作用基本上会产生最大的收入。此外，随着样本量的增加，该方法在第一次价格拍卖中变得相似，如图23所示。

错配模型值0.5 10.51.52.5（a）密度估计CRRA0的蒙特卡罗研究。5 0.55 0.6 0.65（b）CRRA系数真实概率0.5 10.20.40.60.8（c）D函数保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.70.8（D）收益函数，n=2保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.60.70.8（e）收益函数，n=5图24*面板（a）显示了估计估值密度的点平均抽样分布和95%的频带。面板（c）是CRRAestimates的柱状图。面板（c）展示了估计的D函数的抽样分布。面板（d）和（e）用于估算收入函数，以及备选投标人数量。实线代表真实的数量。更加准确，收入损失也会减少。另一方面，忽略模糊性的错误指定模型导致对模型原语的估计远不准确，收入损失约为3%。结论我们研究了第一价格拍卖模型，其中规避风险的投标人对估值分布有模糊性。在投标人认为多重分布同样合理，且其偏好由最大最小期望效用表示的环境中，我们刻画了对称单调均衡（投标）策略。我们表明，投标商的外生输入有助于确定模型结构（真实估值分布，衡量模糊性和风险规避水平的数据函数）38 G.ARYAL和D.Kimal表5。蒙特卡罗研究，N={2,4,5}总N.M ISE（bf）M ISE（bD）MSE（bθu）Rev。

损失（%）标书规格（A）（B）（c）n=2（D）正确600 0.0075 0.0011 0.007 0.4321200 0.0046 0.0007 0.005 0.3150.0033 0.0004 0.004 0.122600 0.0043 0.0004 0.006 0.1481200 0.0024 0.0004 0.005 0.0760.0012 0.0003 0.003 0.045不合格600 0.0197 0.0128 0.078 2.9000.0208 0.0128 0.082 0.0128 0.268*（A）列和（B）列分别记录了估值密度估计和数据函数估计的MISE。C列（C）显示了CRRAC效率估算的MSE。（D）列提供了Bayes拍卖相对于真实最大收入的收入损失。效率）。为了确定数据中是否存在歧义，只需检查D函数是否严格低于身份函数即可。然后，我们提出了一种使用Bernsteinpolynomials的灵活贝叶斯估计方法。由于实证拍卖的主要目的是使用数据设计最优拍卖，我们考虑了大量模拟练习来评估我们方法的性能，并分析模糊性对卖家的重要性。我们证明，当存在歧义时，我们的方法能够正确地检测歧义，当没有歧义但我们允许歧义时，卖方使用我们的方法不会有明显的损失。另一方面，如果存在模糊性，我们忽略它，我们表明估计值是双倍的，因此卖方可能会损失大量收入（在我们的练习中为3%）。这些实践表明，在实证拍卖中，最好允许存在歧义，除非计量经济学家绝对确定竞买人之间没有歧义。最后，我们指出了几个扩展的途径。首先，我们可以考虑进入是内生的可能性。

有适当的排除限制，如inBajari和Horta,csu（2003年）；Haile、Hong和ShumamBigunity首次价格拍卖397。蒙特卡罗研究，N={2,3,4,5,6}总N.M-ISE（bf）M-ISE（bD）MSE（bθu）Rev。损失（%）标书规格（A）（B）（c）n=2（D）正确600 0.0075 0.0013 0.009 0.5961200 0.0042 0.0006 0.004 0.2600.0030.0004 0.003 0.084冗余600 0.0040 0.0004 0.005 0.1391200 0.0020 0.0004 0.004 0.0580.0010 0 0.0004 0.003 0.034MISSPEC 600 0.0180 0.084 0.084 0.0241200 0.018 0.090.018.098.090.098*（A）列和（B）列分别记录了估值密度估计和数据函数估计的MISE。C列（C）显示了CRRAC效率估算的MSE。（D）列提供了Bayes拍卖相对于真实最大收入的收入损失。(2006); Krasnokutskaya和Seim（2011），该模型仍然可以识别。其次，我们可以考虑动态拍卖，了解投标人从一组外部指定的分布开始，并在每次拍卖后更新他们的信念。众所周知，MEU模型不需要与完全贝叶斯更新动态一致，见Hanany和Klibano ff（200 7）和Pstein和Schneider（2003）；爱泼斯坦和谢德（207）。Arya l和Stauber（2014）表明，Epstein和Schneider（2003）提出的解决动态不一致性的方法不能扩展到多玩家游戏。因此，我们如何描述平衡策略还不清楚。此外，如果投标人有学习的动机，那么卖方可能会通过拒绝投标而产生激励混淆，同时导致确定最佳披露规则的问题，Bergemann和Wambach（2013）以及未形成的主要问题Myerson（198 3）；马斯金和蒂罗尔（1990年）。参考sAndrews，D.W.K。

（1999）：“当一个参数在边界上时的估计”，《计量经济学》，67，1341–1383.40 G.ARYAL和D.KIMAnscombe，F.J.和R.J.Aumann（1963）：“主观概率的定义”，《数学统计年鉴》，34（1），199–205。阿拉迪拉斯·洛佩兹，A.，A.甘地和D。Quint（2013）：“在具有相关私人价值的升序拍卖中的识别和测试”，经济计量学，81（2），489–534。Aryal，G.，an d.-H.Kim（2013）：“部分识别模型的点决策”，《商业与经济统计杂志》，31（4），384-397。Aryal，G.和R.Stauber（2014）：“关于具有模糊规避参与者的库恩定理的注释”，《经济通讯》，125（1），110-114。Athey，S.（2001）：“不完全信息博弈中的单交叉性质和纯策略均衡的存在”，计量经济学，69（4），861–889。Athey，S.和P.A.Haile（2002）：“标准拍卖模型的识别”，经济计量学，70（6），210 7–2140。（2007）：“拍卖的非参数方法”，《计量经济学手册》，6A。Athey，S.，J.Levin和E.Seira（2011）：“比较开放式和封闭式拍卖：来自木材拍卖的证据”，《经济学季刊》，126（1），207–257。Bajari，P.和A.Hortac,su（2003）：“赢家的诅咒、保留价格和内生进入：来自eBay拍卖的经验见解”，《RANDJournal of Economics》，34（2），329–355。（2005）：“拍卖模型的结构估计是否合理？来自实验数据的证据”，《政治经济学杂志》，113（4），703-741。Bergemann，D.和A.Wambach（2013）：“拍卖中的顺序信息披露”，Co wl es基金会讨论文件第19 00号。Berger，J.O.（1985）：统计决策理论和贝叶斯分析。，统计学中的斯普林格系列。斯普林格，纽约。伯杰、J.O.和L.M。

Berliner（1986）：“稳健贝叶斯和经验贝叶斯分析与- 被污染的前科，《统计年鉴》，第14、4、61–486页。博多·克里德（Bodoh Creed，A.L.（2012）：“不明确的安全带和机制设计”，《游戏与经济行为》，第75（2），51 8–537页。Bose，S.，E.Ozdenoren和A.Pap E（2006）：“具有模糊性的最优拍卖”，理论经济学，1（4），411-438。第一次价格拍卖中的模糊性41Bose，S.和L.Renou（2014）：“具有模糊通信设备的机构设计”，计量经济学，82（5），1853-1872年。Camerer，C.F.和R.Karjalainen（1994）：“非合作博弈中的模糊厌恶和非加性信念：实验证据”，《风险与理性中的模型与实验》，29325–358。Campo，S.，E.Guerre，I.Perrigne和Q.Vuong（2011）：“具有风险规避投标人的首价拍卖的半参数估计”，Revi-ewof Economic Studies，78（1），112–147。Cerreia Vioglio，S.，F.Maccheroni，M.Marinacci和L.Montrucchio（2013）：“模糊性和稳健统计”，经济理论杂志，148（3），974-1049。夏多诺夫，A.，F.麦克·c·赫罗尼，M.马里纳奇，A和J.-M.塔隆（2005）：“莫诺一连续多重先验”，经济理论，26973-982。Donald，S.和H.Paarsch（1993）：“拍卖经验模型中的分段伪最大似然估计”，国际经济评论，34121–148。杜普伊斯，P.和R。S.Ellis（1997）：大偏差理论的弱收敛方法，概率统计中的Wiley级数。威利。Ellsberg，D.（1961）：“风险、模糊性和野蛮公理”，《经济学季刊》，75（4），643-669。Epstein，L.（19 99）：“不确定厌恶的定义”，《经济研究评论》，66（3），579-608。L.爱泼斯坦和M.谢德（2007）：“在模糊中学习”，《经济学研究评论》，第7（4），1275-1303页。爱泼斯坦、L.G.和M。

施耐德（2003）：“递归多重先验”，经济理论杂志，113（1），1-31。Escobar，M.D.和M.West（1995）：“使用混合的贝叶斯密度估计和干扰”，《美国统计协会杂志》，90（430），577-588。Ferguson，T.S.（1973）：“一些非参数问题的贝叶斯分析”，《统计年鉴》，1（2），209-230。Fox，C.R.和A.Tve rsky（1995）：“歧义厌恶和相对无知”，经济经济学季刊，110，58 5–603。Geweke，J.（2005）：当代贝叶斯计量经济学和统计学。约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯市。42 G.ARYAL和D.KIMGilboa，I.（2009）：不确定性下的决策理论。剑桥大学出版社。I.Gilboa和D.Schmeidler（1989）：“具有非唯一先验的Maxmin预期效用”，《数理经济学杂志》，18141-153。（1993）：《更新模糊信念》，经济理论杂志，59（1），33-49。Grundl，S.和Y.Zhu（2013）：“具有模糊信念的首次价格拍卖的识别和评估”，Mimeo。Guerre，E.，I.Perrigne和Q.Vuong（2000）：“首次价格拍卖的最佳非参数估计”，计量经济学，68（3），525–574。（2009）：“排除限制条件下首次价格拍卖中风险规避的非参数识别”，《计量经济学》，第7（4）卷，1193-1227页。Haario，H.，E.Saksman和J.Tamminen（2001）：“一种自适应大都会算法”，B E rnoulli，7223-242。Haile，P.，H.Hong，and d M.Shum（2006）：“第一次价格密封投标拍卖中共同价值的非参数检验”，NBER工作文件系列。Halevy，Y.（207）：“重新审视埃尔斯伯格：一项实验研究”，经济计量学，75503–536。Hanany，E.和P.Klibanoff（2007）：“用多个先验更新偏好”，理论经济学，2261-298。汉森，L.P。

（2014）：“诺贝尔演讲：经济模型内外的不确定性”，《政治经济杂志》，122（5），945-987。汉森，L.P.和T.J.萨金特（2001）：“鲁棒控制和模型不确定性”，《美国经济评论》，P&P，91（2），60–66。Harsanyi，J.C.（1967）：“贝叶斯”玩家玩的信息不完整的游戏，I-III第一部分。基本模型”，管理科学，14（3），320-334。K.亨德里克斯和R.H.波特（2007）：“对生产的经验视角”，《产业组织手册》，第32章。平野，K.和J.P orter（2003）：“参数依赖支持下参数结构模型的渐近有效性”，计量经济学，711307–1338。Huber，P.J.（1973）：“在统计中使用Cho quet能力”，《国际统计研究所公报》，第45181–191页。凯恩斯，J.M.（1921）：关于概率的论文。麦克米伦。《第一次价格拍卖中的模糊性》（2013年）第43Kim，D.-H.：“在不确定性条件下选择一个保留价格”，国际工业组织杂志，31（5），587–602。（2014）：“使用模拟可能性对首次价格拍卖进行灵活的贝叶斯分析”，定量经济学，即将出版。（2015）：“首次价格拍卖中效用函数的非参数分析”，《经济s快报》，126（1），101-106。奈特·F.（1921）：风险、不确定性和利益。霍顿·n·米·菲林公司，克拉斯诺库茨卡亚，E。，和K.Seim（2011）：“投标优惠计划和参与公路采购拍卖”，《美国经济评论》，101（6），2653-2686。Lo，K.C.（1998）：“具有不确定性厌恶投标人的密封投标拍卖”，《经济学理论》，第12，1-20页。Lu，J.和I.Perrigne（2008）：“评估上升和密封出价拍卖的风险规避：木材拍卖数据的案例”，《应用计量经济学杂志》，23（7），871-896。马斯金，E.和J。

里利（1984）：“风险规避买家的最优拍卖”，《计量经济学》，52（6），1473-1518。Maskin，E.和J.Tirole（1990）：“与知情委托人的委托代理关系：私人价值的案例”，《经济分析》，58（2），379–409。迈尔森，R.B.（1983）：“由知情的负责人进行的机制设计”，计量经济学，51（6），1767-1797。西村，K.G.和H.Ozaki（2004）：“搜索和骑士不确定性”，《经济理论杂志》，119（2），299-333。Petrone，S.（1999a）：“使用伯恩斯坦多项式的贝叶斯密度估计”，加拿大统计杂志，27，105–126。（1999b）：“R andom Bernstein多项式”，斯堪的纳维亚统计杂志，26373-393。萨维奇，L.（1954）：统计学基础。《威利》，1972年由纽约多佛重新发行。Siniscalchi，M.（2011）：“模糊下的动态选择”，理论经济学，6（3），379-421。Strzalecki，T.（2011）：“多重就业偏好的公理基础”，计量经济学，79（1），47-73。