用高维拟蒙特卡罗方法进行定价和风险管理

2022-5-8 02:05:37

高维准蒙特卡洛和全球敏感性分析的定价和风险管理Marco Bianchetti*, Sergei Kucherenko+和Stefano Scoleri2015年4月14日摘要我们回顾并应用准蒙特卡罗（QMC）和全球敏感性分析（GSA）技术对日益复杂的代表性金融工具进行定价和风险管理（希腊人）。我们使用高维Sobol低差异序列、不同的离散化方法，以及针对有限差异的收敛性、性能、速度、稳定性和误差优化的具体分析，对QMC和标准蒙特卡罗（MC）结果进行了详细比较。我们发现，我们的QMC在MOST情况下优于MC，包括最高维度的模拟和计算，显示出更快、更稳定地收敛到精确或几乎精确的结果。使用GSA，我们能够从QMC模拟的有效维度的减少方面充分解释我们的发现，这在大多数情况下是允许的，但并不总是通过布朗桥离散化。我们得出的结论是，除了定价之外，QMC也是一种非常有前途的计算风险数据的技术，尤其是希腊，sit可以减少现代风险管理中典型的高维蒙特卡罗模拟的计算效果。*市场风险管理，圣保罗联合银行，法拉利广场10号，20121，意大利米兰，马可。bianchetti@intesasanpaolo.com，通讯作者丁+帝国理工学院，伦敦，英国，s。kucherenko@imperial.ac.uk意大利埃森有限公司，斯特凡诺。scoleri@gmail.comContents1导言32金融学中的蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法52.1一般动机。52.2伪随机数和低差异序列。

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2022-5-8 02:05:40

73全局敏感性分析和有效维度104个测试用例和数值结果134.1选定的支付和测试设置。134.2价格和增长的全球敏感性分析。154.3性能分析。244.4加速分析。324.5稳定性分析。335结论38附录A有限差近似中的误差优化39附录B加速计算40JEL分类：C63、G12、G13。关键词：衍生工具，期权，欧洲，亚洲，障碍，淘汰，克里特，希腊人，布朗桥，全球敏感性分析，蒙特卡罗，拟蒙特卡罗，随机，伪随机，拟随机，低差异，Sobol\'，收敛，加速确认：M.B.承认在国际会议上与许多同事进行了卓有成效的讨论，涉及联合圣保罗集团的风险管理，以及Banca IMI的金融工程和交易部门。免责声明：此处表达的观点是作者的观点，不代表其雇主的观点。他们不对这些内容的任何使用负责。1简介如今，基于多维、多步骤蒙特卡罗模拟的市场和交易对手风险度量是管理风险的非常重要的工具，无论是在前端，还是在敏感度（希腊）和信贷、融资、资本估值调整（CVA、FVA、KVA，一般称为XVAs）方面，还是在风险管理方面，都是风险度量和资本分配的重要工具。此外，它们通常需要用于监管风险内部模型，并由监管机构验证。

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2022-5-8 02:05:43

对于具有多个计算方的大型投资组合，每日生成价格和风险度量是一项计算密集型任务，需要复杂的框架和行业方法。这是一个典型的高预算、高效率的银行项目。在过去的几十年里，很多人致力于将蒙特卡洛技术应用于衍生品定价[Boy77、BBG97、Jac01、Gla03]。主要原因是，复杂的金融工具通常无法通过解析公式定价，需要计算高维积分。因此，蒙特卡罗模拟是解决此类问题的常用方法，因为它减少了在许多随机点对函数求值的积分和对这些值的平均。因此，几乎任何产品都可以在任何维度上轻松定价。然而，由于均方根误差随N衰减，该方法耗时长，收敛速度慢-1/2，其中N是采样点的数量。存在各种各样的“方差缩减”技术，可以提高模拟的效率，但它们不会改变收敛速度[Jac01，Gla03]。准蒙特卡罗代表了标准蒙特卡罗的一种非常有效的替代方法，在许多情况下，它能够实现更快的收敛速度，从而获得更高的精度[Jac01、Gla03、MF99、SK05b、SK05a、Wan09、KFSM11、SAKK12]。准蒙特卡罗方法背后的想法是使用低差异序列（LDS，也就是准随机数）代替伪随机数（PRN）作为采样点。这种LDS的设计方式是尽可能均匀地覆盖积分域，而PRN已知会形成点簇，并且总是留下一些空白区域。

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2022-5-8 02:05:46

事实上，PRNGenerator的随机性意味着，新添加的点有可能最终接近之前的采样点，因此它们被浪费在已经探测到的区域，从而导致相当低的收敛性。相反，LDS“知道”之前采样点的位置，并填补它们之间的空白。在几个已知的LDS中，Sob-ol\'序列显示出比其他序列更好的性能，因此它们在金融中被广泛使用[Jac01，Gla03]。然而，有效的Sobol序列的构造严重依赖于所谓的初始数，因此在实际测试中很少有Sobol序列生成器能够提高效率[Sakkk12]。与蒙特卡罗方法相比，准蒙特卡罗方法也有一些缺点。首先，没有“样本内”误差估计：因为LDS是确定性的，所以没有概率误差的概念。已经开发了一些技术，称为随机准蒙特卡罗，在LDS的构造中引入了适当的随机性，在保持准蒙特卡罗的收敛速度的同时，打开了通过密集区间测量误差的可能性[Gla03]。缺点是计算速度太慢，而且通常会有一些精度。其次，拟蒙特卡罗的有效性取决于被积函数，最重要的是，收敛速度取决于问题的维数。

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2022-5-8 02:05:49

后者可以被视为一大障碍，因为金融工程（尤其是风险管理）中的许多问题都是由约翰·冯·诺伊曼、斯坦尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室（Los Alamos National Laboratory[VN51]）研究nu clear武器（曼哈顿项目）的蒙特卡罗方法在20世纪40年代创造的。Metropolis提出了Monte Carlo这个名字，指的是Monte Carlo赌场，Ulam的叔叔经常在那里把钱藏起来[Met87]。恩里科·费米被认为在20世纪30年代使用了某种“人工模拟”，在没有计算机的情况下计算出由慢中子引起的核反应的数值估计[Lab66，Met87]。保持高维度。然而，据报道，在许多金融应用中，即使存在非常高的维度[PT95、PP99、CMO97、KMRZ98a、KMRZ98b、KS07、SAKK12]，QuasiMonte Carlo仍能达到标准蒙特卡罗的性能。这种f行为通常是通过减少问题的有效维度（相对于其名义维度）来解释的。[CMO 97]中引入了有效维度的概念。有人建议，如果被积函数的有效维数不太大，QMC将被授予MC。该结论基于方差分析（ANOVA）。[LO00]展示了方差分析成分如何与QMC整合方法的有效性相联系。为了提高准蒙特卡罗算法的效率，测量有效维数非常重要。此外，可以使用各种技术来减少有效维度，从而提高效率：这是可能的，因为有效维度可以通过改变变量的采样顺序而变化。实现这一目标的最佳方法可能是一项艰巨的任务，可能取决于具体的模型，目前还不知道通用的解决方案。

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2022-5-8 02:05:53

关于路径相关期权定价的金融文献[CMO97，KS07]中一个流行的选择是将布朗桥离散化应用于基于条件分布的更深层随机过程的模拟。与标准离散化不同，标准离散化沿时间范围连续生成布朗运动值，布朗桥离散化在终点生成布朗运动值，然后使用在终点处已经找到的值填充一个中点，然后使用之前步骤中已经模拟的点填充连续中点处的后续值。就QMC采样而言，该模拟方案表示，使用Q MC向量的第一个坐标来模拟布朗运动的终值，而后续坐标用于生成中间点。许多研究表明，与使用MC或QMC抽样的标准离散化方法相比，使用布朗桥离散化的QMC方法在亚洲期权等方面具有更高的性能[CMO97，KS07]。然而，在[Pap01]中指出，在某些情况下，布朗桥的性能可能比QMCsimulation中的标准离散化差。最大的问题是如何确定哪种数值格式将在QMC模拟中提供更高的效率。全球敏感性分析（GSA）就是答案。GSA是分析复杂模型的一个非常强大的工具，因为它提供了一种全面的模型分析方法。传统的灵敏度分析，在当前上下文中称为局部灵敏度分析，应用于函数f（x）是基于在函数域中指定一个点，然后计算一个导数Fxat x=x。

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2022-5-8 02:05:56

相反，GS A不需要在域中指定特定的点，因为它探索整个域（因此称为global）。它还量化了改变给定输入（或一组输入）的影响，同时所有其他输入也发生了变化，提供了变量之间相互作用的度量。GSA用于识别不确定性对输出影响最大的关键参数。这些信息可以用来储存变量，过滤非本质变量，降低问题维度。对GSAcan的审查可在[SK05a]和[SAA+10]中找到。Sobol[Sob01]开发的基于方差的全局敏感性指标方法因其高效且易于解释而在从业者中非常流行。Sobol的敏感性指数有两种类型：以骰子表示的主要影响，用于估计每个输入参数对ou tputvariance的单独贡献；以及总敏感性指数，用于测量单个输入因子或一组输入的总贡献。为了建模和降低复杂性，区分模型标称尺寸和有效尺寸很重要。[CMO97]中引入了截断和叠加意义下的有效维数概念。此外，O wen补充了“平均维数”的概念，这从计算角度来看更实用[LO06]。有效维度的定义和评估基于以下知识：实际上，可以通过这种方式降低运行意义上的有效维度。有效尺寸的形式定义见第3节。索波尔敏感指数。通常，复杂的数学模型的有效尺寸比其标称尺寸低。模型有效维度的知识非常重要，因为它允许应用各种复杂度降低技术。

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2022-5-8 02:05:59

在定量金融的背景下，GSA可用于估计给定问题的有效维度。特别是，它可以评估特定数值格式（例如Brow-Bridge或标准离散）的效率。论文组织如下：第2节简要回顾了准蒙特卡罗方法和低差异序列，特别强调了金融应用。第3节介绍了GSA和有效维度的概念，建立了与QMC效率的联系。在第4节中，我们展示了选定支付的价格和敏感性（希腊语）计算结果：进行了GSA和收敛性分析，目的是通过彻底的误差分析来比较MC和QMC的效率。最后，第5节给出了结论和未来工作的方向。特别是，我们建议将您的方法应用到风险管理问题上，在计算效率和预算方面，更快、更平滑的收敛将代表巨大的优势。附录中讨论了一些技术细节。2财务中的蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法2。1一般动机在金融学中，许多利息量（如价格和希腊货币）被定义为给定概率测度下的期望值，因此其评估需要计算（通常比较复杂）函数的多维积分。让我们来考虑一个通用金融工具，它写在一个资产s上，有一个付款日期T。

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2022-5-8 02:06:02

我们将工具在时间T的收益表示为P（St，θ），其中Sti是时间T的基础资产价值∈ [0，T]和θ是一组相关参数，包括合同中描述的工具参数，如罢工、障碍、标的资产的融资日期、可赎回日期、付款日期等，以及与定价模型相关的定价参数，如利率、波动率、相关性等。使用标准无套利定价理论，参见[Duf01]，工具在t=0时的价格由v（θ）=EQ[D（0，t）P（St，θ）|F]，（2.1）D（0，t）=exp-ZTr（t）dt, （2.2）在哪里(Ohm, F、 Q）是一个概率空间，具有风险中性概率测度Q和过滤Ftat时间t，EQ[·]是关于Q的期望，D（0，t）是随机贴现因子，r（t）是风险中性短期现货利率。请注意，在最终支付日期t之前的中间时间t，S的值可能会进入支付P的定义。为了对金融工具进行定价，我们假设基础资产S的动态的通用维纳扩散模型，dSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWPt，（2.3），初始条件为S，其中P是真实世界的概率度量，μ是真实世界的漂移，σ是波动率，WPtis是P下的布朗运动，比如dWt~ Z√dt，在哪里~ N（0，1）是标准正态随机变量。式（2.3）的解由t=S+Ztu（u，Su）du+Ztσ（u，Su）dWPu给出，（2.4）参见例[Oks92]。特别是，在Black-Scholes模型中，标的资产St遵循简单的对数正态s-ToCastic过程Dst=uStdt+σStdWPt，（2.5），常数为u和σ。在风险中性世界中（在风险中性概率测度Q下），方程（2.5）的解由t=Sexp给出R-σt+σWQt. （2.6）“希腊人”是价格V（θ）w.r.t.特定参数θ的衍生物。

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2022-5-8 02:06:06

它们是非常重要的数量，需要为边缘和风险管理目的进行计算。在目前的工作中，我们将特别考虑以下几点： =五、S、（2.7）Γ=五、S、（2.8）V=五、σ、（2.9）分别称为delta、gamma和vega。请注意，在Black-Scholes模型中，Deltai正是金融工具w.r.t.的对冲。风险基础S，vega是一个非激励的w.r.t.模型参数（Black-Scholes SDE中的常数波动率σ（2.5））。定价方程（2.1）的解需要了解相关合同日期{T，…，Tn}的标的资产S的价值。可通过求解SDE（2.4）获得此类值。如果SDE不能明确求解，我们必须求助于一种离散化方案，计算时间网格{t，…，tD}上的S值，其中t<t<···<tD，D是时间步数。请注意，合同日期必须包含在时间网格中，{T，…，Tn} {t，…，tD}。例如，Euler离散化方案由近似积分方程（2.4）bySj=Sj组成-1+u（tj-1，Sj-1) tj+σ（tj-1，Sj-1) Wj，j=1，D、（2.10）在哪里tj=tj- tj-1.Wj=Wj- Wj-1，t=0。特别是，Black-Scholes解（2.6）的离散化导致j=Sj-1expR-σtj+σWj, j=1，D.（2.11）显然，等式（2.1）中的价格将取决于所采用的离散化方案。有关Euler和其他离散格式的收敛阶，请参见[KP95]。我们考虑公式（2.11）中的两种离散化：标准离散化（SD）和布朗-伊恩桥离散化（BBD）。在SD s模式中，Br ownian运动离散化如下：Wj=ptjZj，j=1，D

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mingdashike22

2022-5-8 02:06:11

（2.12）在BBD方案中，第一个变量用于生成布朗运动的终值，而随后的变量用于生成中间点，以点为条件。为了简单起见，我们假设一个恒定的利率r。参见附录B中的[BM06]等，了解对短期利率的概括。根据以下公式，W=0，WD=p，已在早期和后期时间步模拟tD0Z，Wj=tkj猕猴桃+tjitkiWk+stkjtjitkiZl，ti<tj<tk，l=2，D、（2.13）在哪里tab=ta-肺结核。与SD方案不同，BBD方案使用不同的顺序生成布朗运动，因此，对于相同的时间步长，（2.13）的随机部分的方差小于（2.12），因此前几个点包含了大部分方差。这两种方案具有相同的方差，因此它们的MCconvergence率是相同的，但QMC采样显示SD和BBD的效率不同，这将在以下章节中讨论。SDE（2.10）离散化所需的时间步数D是计算问题的名义维度：事实上，（2.1）中的期望值形式上是支付的积分，被视为Z的函数，ZD。一般而言，金融工具可能依赖于多个基础资产，SM：在这种情况下，问题的维数由D×M给出。总之，定价问题（2.1）简化为高维积分的计算。这激发了蒙特卡罗技术的使用。在这项工作中，我们将重点关注维度D和离散方案对MC和QMC模拟的相对影响。因此，为了简单起见，我们将假设一个简单的BlackScholes基本动力学。这一选择也将被用作参考案例，以解释基于更复杂动力学的进一步结果。

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2022-5-8 02:06:14

我们强调，由于计算瓶颈，在风险管理实践中，对于具有多个潜在风险因素的大型投资组合的风险度量计算，使用简单且可解的动力学是一种常用的近似方法。2.2伪随机数和低差异序列标准高斯数Zjare使用均匀变量xj变换计算~i、 i.d.U（0,1），Zj=Φ-1（xj），j=1，D、（2.14）其中：-1是标准正态分布的逆累积分布函数。因此，定价问题（2.1）可以简化为以下通用公式v=ZHDf（x）dDx（2.15）的积分计算，其中HD=[0，1]表示D-维单位超立方体。（2.15）h的标准蒙特卡罗估计NNXk=1f（xk），（2.16），其中{xk}Nk=1是HD中N个随机点的序列。序列{xk}Nk=1由适当的随机数生成器（RNG）生成。特别是，伪随机数发生器（PRNG）是一种计算机算法，可以产生伪随机数的确定性序列（PRN），模拟真实随机序列的特性。这种序列完全由一组初始值决定，称为PRNG状态。因此，伪随机序列是可重复的，使用相同的状态变量集。例如，我们可以引入跳跃或Heston动力学，参见[Wil06]。通过seed，即一个用于初始化PRNG的dom数，不重复序列在所有可能状态变量上的周期，即最大长度，以及生成的随机数的分布，通常是均匀的[0,1]。最著名的PRNG是Mersenne Twister[MN98]，最长的周期为2- 1和良好的均分性能，保证至少达到623个尺寸。

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2022-5-8 02:06:17

伪随机序列已知会受到聚类问题的困扰：由于新点是随机添加的，它们不一定会填补以前采样点之间的差距。这种f行为导致了相当慢的收敛速度。考虑一个积分误差ε=|V- VN |。（2.17）根据中心极限定理，蒙特卡罗方法的均方根误差为εMC=E（ε）1/2=σf√N、（2.18）式中，σf是f（x）的标准偏差。虽然εMCdoes不依赖于d im，但与规则网格上的晶格积分一样，它随着n的增加缓慢减小。方差缩减技术，如对偶变量[Jac01，Gla03]，仅对（2.18）中的数值产生影响。为了提高收敛速度，即增加（2.18）的分母中N的幂，必须使用低差异序列（LDS），也称为拟随机数（QRN），而不是伪随机数。序列{xk}Nk=1的差异是衡量该序列在单位超立方体HD内均匀分布的一个指标。从ally的形式来看，它由[Jac01]DDN（x，…，xN）=supξ定义∈高清NSD（ξ），x，xNN- m（ξ）,SD（ξ）=[0，ξ）×··×[0，ξD） HD，m（ξ）=DYj=1ξj，（2.19），其中SD（ξ），x，xN=NXk=1{xk∈SD（ξ）}=NXk=1DYj=1{xk，j≤ξj}（2.20）是包含在hyp er矩形SD中的采样点的数量高清。可以看出，伪随机序列的期望偏差为ln（ln）级/√N.低差异序列是hdn中的序列{xk}Nk=1，对于任何N>1，第一个N点x，xN满足不平等性Ddn（x，…，xN）≤ c（D）lnDNN，（2.21）对于某些常数c（D），仅依赖于D[Nie88]。与PRNG不同，低差异序列是点的确定集合。它们通常使用数论方法构造。它们被设计成尽可能均匀地覆盖单位超立方体。

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2022-5-8 02:06:20

在顺序采样的情况下，新点会考虑已采样点的位置，并填补它们之间的间隙。请注意，HDM中规则的点栅格不能确保低差异，因为投影相邻标注很容易产生重叠点。积分（2.15）的Qua-asi Monte Carlo（QMC）估计量的形式为（2.16），唯一不同的是，序列ce{xk}Nk=1是使用LDS而不是PRN采样的。Koksma-Hlawka不等式εQMC给出了QMC积分误差的上界≤ V（f）DDN=OlnDNN, （2.22）式中，V（f）是被积函数在Hardy和Krause意义下的变化，这是有界变化函数的定义[KFSM11]。（2.22）的收敛速度渐进地快于（2.18），但对于可行N来说相当慢。此外，它取决于维数D。然而，等式（2.22）只是一个上界：在大多数数值测试[KFSM11，CMO97]中观察到的是幂律εQMC~cNα，（2.23），其中α的值取决于模型函数，因此，不是先验地确定为f或MC。当α>0.5时，QMC方法优于标准MC：这种情况在财务问题中非常常见。我们将测量一些具有代表性的金融工具的α，表明当金融机构的有效维度较低时，其值可能非常接近1，而与名义维度D无关。有效维度的概念和计算方法将在以下章节中介绍。我们强调，单因素是确定性的，不存在与之相关的方差等统计指标。因此，（2.23）中的常数c不是方差，（2.23）没有标准MC的概率解释。

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2022-5-8 02:06:25

为了克服这一局限性，Owen建议在LDS中引入随机化，同时保留其相对于单一属性的优势[Owe93]。这种LDS被称为“扰码”（另见[Gla03]）。在实践中，MC和QMC方法对任意固定N的积分误差都可以通过计算以下误差来估计：εN=VuTllxl=1.五、- 五(l)N, （2.24）式中，V是精确的，或估计为非常大的极值N→ ∞, 积分和V的值(l)Nis的模拟值lth r un，使用N PR Ns、LDS或扰码DLD执行。对于基于加扰LDS的MC和QMC，基于不同种子点的运行在统计上是独立的。在QMC的情况下，使用LDS的非重叠部分获得不同的运行。实际上，加扰LDS削弱了蒙特卡罗收敛的光滑性和稳定性，我们将在第4.5节中看到。因此，在本文中，我们将使用基于非重叠LDS的方法，如[SK05b]所示。最著名的LDS是Halton、Faure、Niederreiter和Sobol’序列。Sobol’序列，也称为LPτ序列或碱基2中的（t，s）序列[Nie88]，由于其高效性，成为金融领域最广为人知和使用最广泛的LDS[Jac01，Gla03]。Sobol’序列是根据以下要求构造的[Sob 67]：。最佳分配均匀度为N→ ∞.2.对于较小的初始集，分布良好。3.一种非常快速的计算算法。Sobol’ld的效率取决于所谓的初始化数。在这项工作中，我们使用了BRODA[BRO]提供的SobolSeq8192发电机。SobolSeq是8192维Sobol\'序列的一种实现，带有修改的初始化编号。

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2022-5-8 02:06:28

SobolSeq8192生产的Sobol“Sequences”可以达到并包括维度2，并满足额外的一致性属性：所有维度的属性A和相邻维度的属性A（详情请参见[SAKK12]）。在[SAKK12]中发现，SobolSeq发电机在速度和精度上都超过了Orm所有其他已知的LDS发电机。BRODA还发布了SobolSeq32000和SobolSeq640003全球敏感性分析和有效维度。正如我们在导言和第2.2节中提到的，有效维度是解释Q MC w.r.t.MC优越效率的关键。因此，开发技术来估计有效维度并在MC模拟中找到最重要的变量至关重要。Sobol’开发的基于方差的全球敏感性指数方法在从业者中非常流行，因为其效率高且易于解释[SK05a，SAA+10]。Sobol的敏感性指数有两种类型：主要影响指数，用于估计每个输入参数对输出方差的单独贡献；总敏感性指数，用于测量单个输入因子或一组输入的总贡献。Sobol指数可用于按重要性顺序排列变量，识别非重要变量，然后将其固定在标称值，以降低模型复杂性，并分析各种数值模式的效率。考虑一个由可积函数f（x）描述的数学模型，其中inputx=（x，…，xD）取D维域Ohm 输出是一个标量。在不失去普遍性的情况下，我们选择Ohm 成为超立方体HD的单位。输入变量x，因此，xd可以被视为独立的均匀随机变量，每个变量在单位区间[0,1]中定义。

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2022-5-8 02:06:31

全局敏感性分析（GSA）的起点是模型函数的方差分析（ANOVA）分解，f（x）=f+Xifi（xi）+xi<jfij（xi，xj）+f1 2··D（x，…，xD）。（3.1）扩展（3.1）是唯一的，证明zfi··是（xi，…，xis）dxik=0，k=1，s（3.2）ANOVA分解将函数f扩展为一个项的总和，每个项取决于变量数量的增加：依赖于变量的通用分量fi···is（xi，…，xis）称为s阶项。从（3.2）可以看出，方差分析分解是等正交的，其项可以明确地找到如下，f=ZHDf（x）dDx，fi（xi）=ZHD-1f（x）Yk6=idxk- f、 fij（xi，xj）=ZHD-2f（x）Yk6=i，jdxk- F- fi（xi）- fj（xj），（3.3）等等。如果f是square可积的，则其方差分解为部分方差之和：σ=Xiσi+Xi<jσij+…+σ12··D，（3.4），其中σi··is=Zfi··is（xi，…，xis）dxi··dxis。（3.5）Sobol的敏感性指数是根据··is=σi··isσ（3.6）定义的，并测量方差分析分解的每个fi··isterm所占总方差的分数。从（3.4）可以看出，所有Sobol’指数都是非负的，并且标准化为1。一阶Sobol指数模拟了单变量对输出函数的影响；二阶Sobol指数衡量变量对之间的相互作用，即变量XAND Xj导致的总方差的分形，不能用单个变量的影响之和来解释；高阶Sobol指数Si··················································································································································，这不能用单变量或低阶相互作用的综合效应来解释。公式（3.6）中Sobol敏感性指数的计算原则上要求对公式（3.6）中的多维积分进行2次评估。

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2022-5-8 02:06:34

（3.5），这是一项非常繁琐甚至不可能的计算任务。此外，出于实际目的，尤其是当函数F具有低阶相互作用时，实际上不需要知道所有可能的Sobol’指数，只需要适当地选择它们。因此，为变量集和总Sobol指数引入Sobol指数非常有用。设y={xi，…，xim} x、一,≤ 我≤ . . . , ≤ 感应电动机≤ D、是x的子集，z=y x其互补子集，定义=DXs=1X（i<··<is）∈KSi··is，Stoty=1- Sz，（3.7），其中K={i，…，im}。注意，0≤ Sy≤ 斯多蒂≤ 1.数量不稳定-Sy解释了子集y和z中变量之间的所有相互作用。事实证明，存在有效的公式，可以避免方差分析成分的知识，并直接从函数f的值计算Sob ol’指数[Sob01]。这些公式基于以下积分Sy=σZ[f（y′，Z′）- f] [f（y′，z）- f（y，z）]dy-dz-dy′dz′，Stoty=2σz[f（y，z）- f（y′，z）]dy-dz-dy′，σ=Zf（y，z）dy-dz- f、 f=Zf（y，z）dy dz，（3.8），其中积分变量是向量y，z，y′，z′的分量，因此x=y∪z、前两个积分取决于y的选择。通常，此类积分可以通过MC/QMC技术进行评估[KFSM11，Sal02]。此外，通常一阶指数Sian和相应的总效应指数Stoti已经给出了足够的信息，与单个变量y={xi}相关。对于这些Sobol\'index，很容易看出oStoti=0：输出函数不依赖于xi，oSi=1：输出函数只依赖于xi，oSi=Stoti：Xian和其他变量之间没有交互作用。请注意，每个MC试验只需进行D+2功能评估，即可计算公式中的所有SiandStotiindex。

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2022-5-8 02:06:37

（3.8）：在点x={y，z}处进行一次函数求值，在点x′={y′，z′}处进行一次函数求值，在点x′处进行D次函数求值，{y′，z}， y′={xi}，i=1，D.我们强调，上述方法仅适用于独立输入变量的情况，这允许进行唯一的方差分析分解。在依赖（相关）输入变量的情况下，更需要计算基于方差的全局敏感性指数。GSA对因变量的推广可在[K TA12]中找到。我们最终得出了有效维度的概念，该概念首次在[CMO97]中介绍。设| y |为变量y子集的基数。对于D个变量的函数f，叠加意义下的有效维数是s最小的整数dSsuch thatX0<| y |<dSSy≥ 1.- ε（3.9）对于某些阈值ε（任意，通常选择小于5%）。如果一个函数在叠加意义上有一个有效维数Ds，它可以用一个Ds维数项的和来近似，近似误差小于ε。截断意义下的有效维数是最小的整数dtxy{1,2，…，dT}Sy≥ 1.- ε. （3.10）有效维度Ds不取决于变量的采样顺序，而Dt则取决于采样顺序。一般来说，以下不等式成立，dS≤ dT≤ D.（3.11）有效维度可仅通过指数Si和Stotie使用等式进行估算。（3.8）Y=i，如[KFSM11]所述，其中此类指数之间的关系用于根据其对变量的依赖性将函数分为三类。对于所谓的A型函数，变量并非都同等重要，截断感知DTD中的有效维度很小，因此dS≤ dT<< D.它们的特点是以下关系：|>>斯托茨| z |，（3.12）其中y x是变量的前导子集，z=y x它的互补子集。

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2022-5-8 02:06:41

具有同等重要变量的函数具有dT 它们可以进一步分为两类：B型和C型功能。在叠加意义下，B型函数具有占主导地位的低阶相互作用和较小的有效维数，因此<< dT D.对于此类函数，Sobol’指数满足以下关系：斯托蒂， i=1，D、 DXi=1Si 1.（3.13）C型函数具有主导的高阶相互作用<< 斯托蒂，DXi=1Si<< 1（3.14）和有效尺寸dS dT D.表1总结了这种分类。Owen在[Owe03]中引入了平均维数dA的概念，它可以假设分数，定义为dA:=X0<| y |<D | y | Sy，（3.15）类型描述关系。D维度几个重要变量Stoty/|y |>> 斯托茨| z | dS≤ dT<< 低阶相互作用 Sj，Si 斯托蒂， i、 j dS<< dT 直流高阶相互作用 Sj，Si<< 斯托蒂， i、 j dS dT 表1：基于GSA的函数w.r.t.对变量的依赖性分类。并表明它可以相当直接地计算为da=DXi=1Stoti。（3.16）在[SS14]中，有人建议，当发生dA时，QMC的表现应优于MC。3.我们的发现证实了这一点，见第4.2节。许多著作[KFSM11、CMO97、Owe03]已经证明，无论名义尺寸如何，只要有效尺寸在一个或多个意义上较低，QMC都优于MCC。因此，在A型和B型f函数的情况下（我们假设函数非常平滑），QMC总是优于MC，而对于C型函数，这两种方法的效率是相似的。实际上，A型和B型函数在金融问题中非常常见。

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2022-5-8 02:06:44

我们还注意到，通过使用有效的降维技术，例如布朗桥，可以大大提高QMC方法对A型函数的性能，这将在下一节中演示。4.测试案例和数值结果在本节中，我们将MC和QMC技术应用于高维定价问题。我们的目标是测试QMC相对于标准MC在计算价格和希腊语（delta、gamma、vega）方面的效率，以及在复杂度和路径依赖性不断增加的情况下，所选支付的P。4.1选择的支付和测试设置我们选择以下仪器作为测试用例。1.欧洲电话：P=max（SD）- K、 0）。(4.1)2. 亚洲电话：P=max（`S- K、 0）、S=DYj=1Sj1/D.（4.2）3。双重淘汰：P=最大值（SD）- K、 0）1{Bl<Sj<Bu}，j=1，D.（4.3）4。Cliquet:P=maxDXj=1max0分钟C、 Sj- Sj-1Sj-1., F. （4.4）在上述定义中，K表示执行价格，B表示下限和上限，C表示本地上限，F表示全球下限。在所有测试案例中，我们使用以下支付参数：o成熟度：T=1，o罢工：K=100，o下巴里耶：Bl=0.5秒，o上屏障：Bu=1.5秒，o全球流动：F=0.16，o局部上限：C=0.08。这种选择保证了复杂性和路径依赖性的提高。Europeancall只是一个简单的参考案例，Price和Greens都提供了分析公式，参见[Wil06]。算术平均的亚洲电话是最简单、最常用的非欧洲电话支付方式；我们选择几何平均支付，以便提供分析公式。双重屏障是另一种非常不同的支付方式，具有更强的路径依赖性。最后，Cliquet期权是一种典型的基于非减持股票表现的强路径依赖性支付。

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kedemingshi

2022-5-8 02:06:47

显然，许多其他可能的回报可以添加到测试中（例如自动调用），但我们认为，这样的选择应该足够完整，以覆盖蒙特卡罗模拟中相关的大部分路径依赖特征。我们假设基本过程遵循第2.1节所述的几何布朗运动，模型参数如下：o现货：S=100，o波动率：σ=0.3，o时间步数：D=32。该过程在D个时间步{t<···<tj<···<tD}之间离散，因此SDI是其在到期时的价值。回想一下，在单一资产的情况下，时间模拟步骤的数量与路径相关模拟的尺寸相等。正如第2节末尾所讨论的，我们选择了一个简单的STC动力学，因为我们的主要目标是比较MC和QMC模拟。r、 t.尺寸D和离散化方案的影响。数值计算是在Matlab中使用三种不同的采样技术进行的：oMC+SD+对偶变量+梅森捻线器生成器，oQMC+SD+SobolSeq8192生成器，oQMC+BBD+SobolSeq8192生成器。模拟参数的符号为：oN：底层模拟路径的数量，oD：用于离散每个底层路径的时间步数，oL：独立运行的数量。参见例如[Wil06]和其中的参考文献。请注意，使用Black-Scholes模型，时间步数D也是MC模拟的名义维度。

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2022-5-8 02:06:50

根据Sobol’序列的具体情况，我们取N=2p，其中p是一个整数，因为这保证了最小的离散性。模拟误差εN通过计算（2.24）定义的均方根误差（RMSE）进行分析，其中V是分析公式（适用于欧洲和几何亚洲期权）给出的价格或希腊人的参考值，或通过大量场景（N=2）（适用于双重淘汰和Cliquet期权）进行模拟。为了评估和比较MC和QMC方法与不同离散化方案的性能，我们通过用幂律c N拟合函数εN来计算作为N函数的theRMSE标度-α(2.23). 在MCcase中，所有情况下α的值预计为0.5，而在QMC情况下，对于Ty-pe A和B函数，α的值预计高于0.5。最后，使用delta、gamma和vega的中心差分公式，结合移位参数，通过有限差分计算上述支付，P=副总裁s副总裁（S+h）- 副总裁（S）- h） 2h，ΓP=副总裁s副总裁（S+h）- 2VP+VP- h） h，副总裁=副总裁σVP（σ+h）- VP（σ）- h） 2h，（4.5），其中增量h选择为h=S，对于δ和γ，对于织女星，对于给定的“移位参数”。请注意，普赖斯和三个希腊人的计算使用了等式。（4.5）和支付（4.1-4.4）高于r equires Np=5+5+5+3=18个函数评估（液体具有零增量和伽马）。在针对希腊人的MC模拟中，我们使用伪随机序列和LDS序列的路径循环来最小化希腊人的方差，如[Jac01]和[Gla03]中所建议的。请注意，一般而言，希腊人的RMSE分析比价格分析更复杂，因为MC模拟的方差与偏差混合在一起，这是由于衍生工具的近似值与shift的有限差异造成的。

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2022-5-8 02:06:53

我们在附录A.4.2中讨论了如何处理这一问题，即使用等式计算标准和布朗桥离散化的价格和格里克索波尔指数Siand Stotiare的全球敏感性分析。（3.8），其中f是相关的模型函数（工具payoff或希腊语，具有有限的差异），y={xi}，y′={x′i}，z={x，…，xi-1，xi+1，xD}，z′=x′，x′i-1，x′i+1，x\'D. 这里是统一变量xi~ i、 i.d.U[0,1]使用ineq。(2.14). 等式中的积分。（3.8）使用QMC模拟和以下参数计算：o模拟次数：N=2，o有限差异的移位参数：=10-4, 10-3, 10-2.有效维度按以下方式估算：o使用不等式（3.12）计算转换意义下的有效维度，寻找f或一组最小变量y={x，…，xdT}，从而使相对Stotz | y |/Stoty | z |小于1%。由于DTS的计算取决于采样变量的顺序，因此结果取决于使用的离散化方案，即SD或BBD。参见附录A。支付函数Si/Stotipisiddsda对欧洲价格的影响0.49 0.68 32<32 1.40 Delta 0.26→0.23 0.7 32<32 3.2 10-4.→ 10-2.-4.→ 10-232 32 32高织女星0.33 0.543 32<32 1.64诺亚价格0.54→0.43 0.714<32<32 1.38δ0.32→ 10-20.71→0.74 3 2<32 3.5 10-4.→ 10-2.-4.→ 10-232 32 31 → 25高织女星0.42→0.01 0.61 1<32<32 1.57 noDouble KO价格0.01→0.15 0.22 32<32 8.5δ0.01→ 0.12 0.22 32<32 7.6 noGamma 10-5.→ 10-7.-4.→ 10-232 32 31.2 → 29.8高织女星10-5.→ 10-8.-4.→ 10-232 32 28 highCliquet Price 1 1 32 1 1 Vega 1 1 32 1 1值得注意的2：GSA指标总结以及SD方案的价格和有效维度。

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2022-5-8 02:06:56

“箭”→” 在Si/Stotidenotes列中，值随指数i的增加和/或移位参数的增加而变化；在forPiSiit列中，它表示值随移位参数的增加而变化。本表中图形的数值计算需要NP×（D+2）×N×N=18×34×3×2=240,64,8,192次功能评估。我们只显示重要数字，由于空间有限，我们不显示MC错误叠加传感器中的有效维数是根据不等式（3.11）使用张力作为上界估计的。为了区分典型的e带典型的C函数，我们根据等式观察Si/StotiandPisi的比率。(3.13), (3.14).o 根据公式（3.16）计算有效平均尺寸dAis。SD的GSA结果如图1-4所示。表2给出了基于Sobol指数的衡量标准。根据表1.0 5 10 25 350.020.0250.030.0350.040.045 SiSitot（a）Price0 5 15 20 25 350.020.060.070.080.090.10.11 Si，根据ε=10，使用这些度量来计算有效维数，并将被积函数分类到（2.15）中，对应于价格和希腊语-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）ε=10的Gamma0 5 10 15 20 25 30 350.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.055硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 1：欧洲看涨期权价格（a）和希腊（b）、（c）、（d），SD，d=32。

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2022-5-8 02:06:59

一阶Sobol指数和总灵敏度指数Stotiversus时间步长i.0 5 10 15 20 25 30 3500.020.040.060.080.10.120.14 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.0500.050.10.150.20.250.3硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）ε=10的Gamma0 5 10 15 20 25 30 3500.020.040.060.080.10.120.14硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 2：亚洲所有选项。参数如图1.0 5 10 15 20 25 30 3500.050.10.150.20.250.30.35 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 25 3500.050.10.150.20.250.30.35 Si，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 3：双重淘汰看涨期权。参数如图1.0 5 10 15 20 25 30 350.0260.0270.0280.0290.030.0310.0320.0330.0340.035 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 25 30 350.0260.0270.0280.0290.030.0310.0320.0330.0340.035 Si，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）VegaFigure 4：Cliquet选项。参数如图1所示。对于Cliquet选项，Delta和gamma为空。从这些结果中，我们得出以下结论。1.欧盟罗珀期权（图1）：price、delta和vega为B型函数，而gamma为C型函数。2.

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2022-5-8 02:07:03

亚式期权（图2）：价格和织女星是B型函数，而δ和γ是C型函数。3.双KO选项（图3）：price和all Greens都是C型函数。4.Cliquet选项（图4）：price和vega是dS=1的B型函数（Cliquet选项的delta和Gamma为空）。我们记得dS=1意味着变量之间没有相互作用。图5-8和表3显示了GSA对BBD的类似结果。支付函数Si/StotipisiddsdadEuropean Price 1 Delta 1 noGamma 1 noVega 1 noAsian Price 0.853的影响→0.4 0.875 2 ≤2 1.13δ0.733→0.01 0.778 4 ≤4 1.68 → 1.43.10-2.→ 10-40.022→ 10-432 32 31 → 8 highVega 0.802→0.03 0.827 2 ≤2 1.20无二倍KO价格0.70→0.01 0.70 2.≤2 1.63δ0.83→0.01 0.83 2 ≤2.1.37诺加玛1→ 0.95 11.0小织女星10-4.→ 零点二一零-6.→ 10-432 32 4.8 → 3.9高价0.978→0.2 0.892 2.≤ 2 1.19织女星0.595→0.001 0.32 32≤ 32.2.6值得注意的3：GSA指标和BBD计划的价格和gre EK的有效维度摘要。详情见表2.0 5 10 15 20 25 30 35-0.200.20.40.60.811.2西西托（a）价格0.5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 5：欧洲看涨期权价格（a）和希腊看涨期权价格（b），（c），（d），BBD，d=32。

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2022-5-8 02:07:06

一阶Sobol’s指数和总灵敏度指数Stotiversus time s tep i.0 5 10 15 20 25 30 3500.10.20.30.40.50.60.70.80.9 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 30 35-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9硅，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9硅，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 6：亚洲看涨期权。详情如图5.0 5 10 15 20 25 30 35所示-0.200.20.40.60.81西西托（a）价格0.5 10 15 20 25 35-ε=10的0.200.20.40.60.81硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 7：双重淘汰看涨期权。详情如图5.0 5 10 15 20 25 30 3500.10.20.30.40.50.60.70.8 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 30 35-ε=10的0.100.10.20.30.40.50.6硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）VegaFigure 8：Cliquet选项。细节如图5所示。从这些结果中，我们得出以下结论。1.Eu-ropean选项（图5）：price和all-Green是dS=1的A类函数。

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